Maticová optika
Lenka Přibylová
24. října 2010
c Lenka Přibylová, 2010 ×
Maticová optika
Při průchodu světla optickými přístroji dochází k transformaci
světelného paprsku, vlnový vektor mění úhel, který svírá s optickou
osou, paprsek vychází v jiné vzdálenosti od optické osy, než při vstupu
do optického přístroje.
x1
x2
ϕ2
ϕ1
optick´y prvek
vstup v´ystup
optick´a osa
c Lenka Přibylová, 2010 ×
Elementární optické prvky popisujeme buď zobrazovacími rovnicemi
nebo pomocí matic. Maticová optika se využívá především při použití
více optických prvků za sebou.
Označíme-li x1 polohu vstupu optickeho prvku, x2 je polohu jeho
výstupu, y1 tangens úhlu ϕ1 na vstupu optického prvku a y2 tangens
úhlu ϕ2 na jeho výstupu (vzhledem k optické ose), můžeme obecně
zapsat zobrazovací rovnice lineární soustavou rovnic
x2 = Ax1 + By1
y2 = Cx1 + Dy1,
přičemž A =
x2
x1
|y1=0, B =
x2
y1
|x1=0, C =
y2
x1
|y1=0 a D =
y2
y1
|x1=0.
Zobrazovací rovnice můžeme maticově zapsat takto:
x2
y2
=
A B
C D
·
x1
y1
, (1)
kde · na pravé straně značí násobení matic. Nevím vůbec, co je matice...
c Lenka Přibylová, 2010 ×
Podívejme se blíže na důležité některé příklady matic z (1):
• D = 0,
pak y2 = Cx1, tedy úhel výstupu záleží pouze na x1 vstupu, proto
objekt na vstupu leží v první ohniskové rovině, na výstupu jsou
paprsky rovnoběžné.
• A = 0,
pak x2 = By1, tedy naopak rovnoběžmě vstupující paprsky se
zobrazují do stejné x2 výstupu, proto obraz objektu leží v druhé
ohniskové rovině.
• B = 0,
pak x2 = Ax1, tj. všechny paprsky na vstupu x1 stejný výstup x2,
proto jsou roviny vstupu a výstupu konjugované, objekt na vstupu
ze zobrazuje na výstup. Navíc A = x2
x1
je zvětšení systému.
• C = 0,
pak y2 = Dy1, tj. paprsky vstupující rovnoběžně také rovnoběžně
vystupují, jde o tzv. teleskopický systém. D pak představuje úhlové
zvětšení.
c Lenka Přibylová, 2010 ×
1. příklad:
Napište zobrazovací rovnice a přenosovou matici pro úsek volného
prostoru o délce d.
Řešení.
2. příklad:
Napište zobrazovací rovnice a přenosovou matici pro pro tenkou čočku
o ohniskové vzdálenosti f.
Řešení.
c Lenka Přibylová, 2010 ×
Tabulka přenosových matic základních optických prvků:
volný prostor
1 d
0 1
d - délka úseku volného pros-
toru
tenká čočka
1 0
− 1
f 1
f - ohnisková vzdálenost čočky
lom na rovné ploše
1 0
0 n1
n2
n1 - index lomu vstupu,
n2 - index lomu výstupu
lom na zakřivené
ploše
1 0
n1−n2
R·n2
n1
n2
R - poloměr křivosti (konvence:
R > 0 pro konvexní povrch, tj.
střed za vstupem)
odraz v zrcadle
1 0
0 1
jednotková matice
odraz v zakřiveném
zrcadle
1 0
− 2
R 1
R - poloměr křivosti (konvence:
R > 0 pro konkávní zrcadlo)
c Lenka Přibylová, 2010 ×
V případě složitějšího optického systému matice jednotlivých prvků
maticově násobíme k dosažení popisu výsledného obrazu.
3. příklad:
Vynásobte matice
2 −1
4 1
·
2 1
3 −2
.
Řešení.
4. příklad:
Vynásobte matice
1 −1
2
0 1
·
1 0
1 −2
.
Řešení.
c Lenka Přibylová, 2010 ×
5. příklad:
Napište přenosovou matici pro optický systém složený z tenké čočky o
ohniskové vzdálenosti f1 = 2 m, úseku volného prostoru o délce
d = 0.1 m a další tenké čočky s ohniskovou vzdáleností f2 = 3 m.
Řešení.
6. příklad:
Napište přenosovou matici pro optický systém složený z tenké čočky o
ohniskové vzdálenosti f1 = 2 m, úseku volného prostoru o délce
d = 0.5 m, rovinného zrcadla, úseku volného prostoru o délce d = 0.1 m
a konkávního zakřiveného zrcadla s poloměrem křivosti R = 1 m.
Řešení.
c Lenka Přibylová, 2010 ×
7. příklad:
Odvoďte přenosovou matici tenké čočky o poloměrech křivosti vstupu
R1 a výstupu R2, která je z materiálu o indexu lomu n, umístěná ve
vzduchu. Určete její ohniskovou vzdálenost a mohutnost.
Řešení.
8. příklad:
Odvoďte přenosovou matici obecné čočky o poloměrech křivosti vstupu
R1 a výstupu R2 a vrcholové tloušťce d, která je z materiálu o indexu
lomu n, umístěná ve vzduchu. Určete její ohniskovou vzdálenost a
mohutnost.
Řešení.
c Lenka Přibylová, 2010 ×
9. příklad:
Plastová tyč s indexem lomu n = 1.56 je ukončena sférickým povrchem
o poloměru R = 2.8 cm. Objekt vysoký 2 cm je umístěn ve vzdálenosti
d = 15 cm od tyče. Zjistěte umístění a velikost obrazu v tyči.
Řešení.
c Lenka Přibylová, 2010 ×
Konec
c Lenka Přibylová, 2010 ×