Matematika pro radiologické asistenty Studijní materiál Jana Musilová a Michal Lenc 1. Základní pojmy..................................................................................................................2 1.1 Úvod...........................................................................................................................2 1.2 Reálná čísla................................................................................................................3 1.3 Eulerovo číslo.............................................................................................................4 1.4 Mocnina......................................................................................................................5 2. Funkce, její limita a spojitost.............................................................................................6 3. Některé elementární funkce...............................................................................................8 3.1 Polynomy...................................................................................................................8 3.2 Racionální funkce lomená..........................................................................................9 3.3 Exponenciální funkce a logaritmus............................................................................9 3.4 Goniometrické funkce..............................................................................................13 4. Počítání s vektory.............................................................................................................16 5. Soustavy lineárních rovnic, matice..................................................................................20 5.1 Triviální příklady......................................................................................................20 5.2 Matice.......................................................................................................................21 5.3 Matice a řešení soustavy rovnic...............................................................................23 5.4 Shrnutí Gaussovy eliminační metody......................................................................28 6. Limita a derivace..............................................................................................................29 6.1 Motivace - rychlost a zrychlení...............................................................................29 6.2 Funkce, její limita a spojitost...................................................................................32 6.3 Derivace funkce, tečna.............................................................................................35 6.4 Pravidla pro počítání derivací..................................................................................36 6.5 Přibližné vyjádření diferencovatelné funkce............................................................40 7. Řešení dvou jednoduchých diferenciálních rovnic..........................................................43 7.1 Rovnice radioaktivního rozpadu..............................................................................43 7.2 Rovnice harmonického oscilátoru............................................................................45 8. Stručně o integrálu...........................................................................................................47 8.1 Neurčitý integrál - primitivní funkce.......................................................................47 8.2 Určitý (Riemannův) integrál....................................................................................50 9. Pravděpodobnost..............................................................................................................52 9.1 Náhodné jevy a jejich pravděpodobnost..................................................................52 9.2 Kombinatorika..........................................................................................................53 9.3 Pravděpodobno sti složených j evů............................................................................55 10. Měření a zpracování dat...............................................................................................58 10.1 Měřené hodnoty veličin jsou „náhodné"..................................................................58 10.2 Náhodná veličina s diskrétním rozdělením..............................................................58 10.3 Náhodná veličina se spojitým rozdělením...............................................................62 10.4 Jaký průměr?............................................................................................................65 10.5 Přechod od Bernoulliova ke Gaussovu rozdělení....................................................67 1. Základní pojmy 1.1 Úvod Fyzika jako exaktní věda má svůj jazyk - matematiku. Ve Feynmanově knize Feynman's Tips on Physics se o tom píše: „Matematika je překrásný předmět, má své vstupy a výstupy, ale my se snažíme zjistit, co obsahuje to minimum, které musíme znát pro potřeby fyziky. Přístup, který teď zvolím se neohlíží na matematiku a sleduje pouhou účelnost. Nepokouším se pronikat do matematiky. Nejdřív se musíme naučit derivovat tak, jako když počítáme 3 krát 5 nebo 5 krát 7....."No dobře, Feynman mluví o studentech inženýrství. Jak je tomu tedy s potřebnou matematikou pro studenty bakalářského studia oboru Radiologický asistent? Určitě se dají znalosti matematiky potřebné pro pochopení principů diagnostických nebo terapeutických metod, se kterými se bude v praxi radiologický asistent setkávat hodně redukovat. Ale třeba to zmíněné derivování se objeví mnohokrát, byť v podobně jednoduché formě, jako na ilustračním obrázku. Rozpad jader 1.2 Reálná čísla Počátek představ o množině reálných čísel je v úvahách o operacích sečítání a odečítání přirozených čísel, tj. čísel 1,2,3,... Velmi brzo dojdeme k tomu, že abychom zůstali při odečítání v této množině, bylo by třeba zavádět nepohodlná omezení. Množina přirozených čísel byla proto velmi brzo rozšířena o záporná celá čísla a nulu na množinu celých čísel. 1 2 ••• ••• -2-1012 ••• Ale opět při operacích násobení a dělení je možno zůstat v množině celých čísel jen při zavedení nepohodlných omezení. Množina celých čísel byla proto rozšířena na množinu racionálních čísel, tvořenou všemi různými podíly celých čísel (se zákazem nuly ve jmenovateli). ... _i 0 1 ••• ... , ... _2 ... 1 ... o ... I ... i ... i ... 4 2 3 5 Stále však nemáme všechna reálná čísla. Pokud mají být odmocniny z reálných kladných čísel opět reálná čísla, nemohou být tato čísla pouze racionální, tj. vyjádřitelné ve tvaru zlomku. Vezmeme velmi jednoduchý příklad: druhou odmocninu ze dvou. Platí nerovnosti —=1,416666667 12 99 — = 1,414285714 70 3363 > V2 > 2378 = 1,414213625 > 4l > 41 29 239 169 1393 985 = 1,413793103 =1,414201183 = 1,414213198 Vidíme, jak se interval ohraničený dvěma zlomky (tj. racionálními čísly) zmenšuje, ale číslo zlomkem vyjádřit nejde, říkáme, že je to číslo iracionální. Iracionálními čísly jsou mimo jiné Ludolfovo číslo K (podle Ludolpha van Ceulena), Eulerovo číslo e (podle Leonharda Eulera). Číselná osa (uspořádaná množina reálných čísel K.) je tvořena podle velikosti uspořádanými racionálními a iracionálními čísly. 1.3 Eulerovo číslo Všimněme si hodnot posloupnosti 1+ 1+ 1+- nebo i 1 i 1 1 i 1 1 1 1+—, 1+—+—, 1+—+—+— 1! 1! 2! 1! 2! 3! 1+- 1 1 1 1+—+••• + — 1! n\ v následující tabulce n Kľ n i Ůík\ 1 2 2 2 2,25 2,5 4 2,441406250 2,708333333 8 2,565784514 2,718278770 16 2,637928497 2,718281828 32 2,676990129 2,718281828 64 2,697344953 2,718281828 Vidíme, že se členy posloupnosti blíží (u první pomaleji, u druhé rychleji) limitní hodnotě. Tato hodnota je iracionální číslo, které je nazýváno Eulerovým číslem (taktéž základem přirozených logaritmů) a značení se e. Přibližné hodnoty dvou základních čísel elementární matematiky jsou K = 3,1415926535897932385 e = 2,7182818284590452354 Číslo e je tedy limitní hodnota konečné řady pro n —>°° Faktoriál nuly je definován jako 0!=1, proto můžeme užít kompaktnějšího zápisu i+y-=y- 1.4 Mocnina Základem jsou mocniny s celočíselnými koeficienty, n-tá mocnina je n-krát opakované násobení čísla sebou samým « _ 1 _ 2 _ JC — JC' JC • • •" JC 7 JC — JC 7 JC — JC' JC • • • Je hned vidět, že n + l _ _ _ n JC — JC' JC • • • JC — JC' JC' JC • • • JC — JC' JC Je-li n—0, dostáváme x = x-x° jc°=1 Je-li n--l, dostáváme x°=x-x~1 l-x-x1 x1- — X obecně x- =-L x" Další důležité pravidlo je (jc") = [x-x-x)\x-x-x)-...\x-x-x) - x■. tedy (x"f =xnk Stejnými úvahami odvodíme pravidla (\n n n n+k n k x y) —x y , x -xx Velkým zobecněním je zavedení n - té odmocniny jako čísla, pro které platí x Běžně užívané značení je 4x- f i Y i ■x" x' v y ■ x - x Definiční obor n - té odmocniny není triviální, vždy jsou to však všechna nezáporná reálná čísla. Nyní máme připraveno zobecnění mocnitele na racionální čísla jako k f \ Poslední zobecnění mocnitele je mít na jeho místě libovolné reálné číslo, toto zobecnění může počkat až po definici exponenciální a logaritmické funkce. 2. Funkce, její limita a spojitost S jistou dávkou matematické nepřesnosti lze říci, že funkce vyjadřuje závislost určité veličiny (závisle proměnné) na veličinách jiných (nezávisle proměnných). Příkladem mohou být již zmíněné závislosti souřadnic částice na čase. Uvažujme nyní o případu jedné reálné nezávisle proměnné t a jedné reálné závisle proměnné x. Píšeme x = f(t) a čteme je funkcí ť. Symbol/, tzv. funkční předpis, určuje pravidlo, kterým jsou hodnotám t přiřazeny hodnoty x. Někdy píšeme jen x = x(t) (tento zápis bývá ve fyzice častější). Hodnoty, kterých může nabývat proměnná t, tvoří definiční obor funkce značený Df. Obor Df je buď zadán současně s uvedením pravidla /, nebo je automaticky chápán jako množina všech hodnot t, pro něž lze podle pravidla / vyčíslit hodnotu x. Např. pro x-yft musí být ř>0, neboť záporné hodnoty nelze odmocňovat. Říkáme, že / je definována na množině Df. Hodnoty, jichž bude nabývat proměnná x, probíhá-li t definiční obor Df, tvoří obor hodnot funkce, Hf . V rovině souřadnic t (vodorovná osa) a x (svislá osa) vytvoří body o souřadnicích [ŕ,/(ŕ)]graf funkce, označovaný jako Gf. Na následujících obrázcích jsou čtyři příklady. -2 -1 O 1 2 -1 O 1 2 3 4 Na prvním obrázku je graf funkce x-t1. Definičním oborem je celá reálná osa D/ = (-00,00), obor hodnot funkce je Hf = [0,oo). Na druhém obrázku je graf funkce x = \[t. Definičním oborem je kladná reálná poloosa Df = [0, 00), obor hodnot funkce je H f =[0,°°). Na třetím obrázku (nalevo) je graf funkce x-t + l. Definičním oborem je celá reálná ). Na čtvrtém x =- t-l Tato funkce není definována v bodě t-l, je tedy jejím definičním oborem sjednocení intervalů £^=(-00,1)1^1(1,00) a oborem hodnot ^=(-00,2)1^(2,00). Protože však tato funkce má v bodě t-l limitu ř2_l (t-i)(t + i) tim--= lim-^-^-'- = lim(ř + l) = 2 f_l Hl t-l ř^l můžeme definovat novou funkci ŕ-1 2 ř = l a tato funkce už má jako definiční obor i obor hodnot celou reálnou osu. Toto je příklad, kdy „dodefinováním" původní funkce dosáhneme toho, že „nová" funkce má širší definiční obor, často pak celou reálnou osu 3. Některé elementární funkce 3.1 Polynomy Funkci \x) = a0 + Aj x + a2 x H-----Y an_xx +anx kde koeficienty jsou reálná čísla (a0,...an e M) nazýváme polynomem n-tého stupně (předpokládáme an ^0). Pomocí součtového symbolu zkracujeme zápis na n k = 0 Při tomto zápisu bereme v úvaho, že x°-l pro všechna x. Vezměme polynomy nejnižších stupňů (pro vytvoření grafu funkce v rovině x-y značíme y-f(x)) y — a , y-ax+b , y-ax2+bx + c Grafem polynomu stupně nula je přímka vedená rovnoběžně s osou x ve vzdálenosti a, grafem polynomu stupně jedna je přímka se směrnicí a (podle předpokladu je a jako koeficient u nejvyšší mocniny různý od nuly), která protíná osu y v bodě b a osu x v bodě -b/a . Grafem polynomu stupně dva je parabola, která protíná osu y v bodě c, protíná osu x ve dvou bodech (pokud b2 >4ac ), dotýká se osy x v bodě -b/(2a) (pokud b2 =4ac ) nebo leží celá nad nebo pod osou x (pokud b2 < 4a c ). Uvedené tři případy jsou na obrázcích. Zmíníme se ještě o polynomu, který vzniká z mocniny dvoj členu n-\ , x a + - í n \ x + ■ + [n- n-\ . n xa +a kde , n! = n-(n-l)-...-2-l , 0! = 1 (n-k)\k\ S výrazy typu kombinačního čísla nebo faktoriálu se také setkáme při úvahách o pravděpodobno sti. 3.2 Racionální funkce lomená anxn + an_lxn 1 + ••■ + a2x2 + axx + a0 bmxm + bm_lxm~1 + ••■ + b2x2 + bxx + b0 n = 0, m = 1 ... nepřímá úměra y = a (x - c)~ 3.3 Exponenciální funkce a logaritmus Připomeňme, že jsme zapsali Eulerovo číslo jako nekonečnou řadu '=1- Nyní definujeme exponenciální funkci jako y = e I k = 0 X Ti Pro exponenciální funkci se často užívá také označení exp(^). Při zápisu prvních několika členů řady máme x x2 exp(^) = 1H---1---1— 1! 2! Vezměme součin dvou exponenciálních funkcí exp(jc)exp(>>) . x x 1! 2! 1! 2! x+y x2 + 2xy + y2 , 1 +-- +--—— + "- = exp(jc+y) 1! 2! Toto je velmi důležitá vlastnost: exponenciální funkce součtu je rovna součinu exponenciálních funkcí jednotlivých sčítanců exp(* + ;y) = exp(*)exp(;y) exp(kx) = exp(^) Z definice exponenciální funkce pomocí nekonečné řady plyne exp(0)=l. Dále vidíme, že funkční hodnoty nabývají pouze kladných hodnot. Pro x>0 je zřejmé z definice pomocí řady (všechny členy jsou kladné a prvním členem je jednička), že dokonce x>0 => exp(^) >1. Pro x<0 vyjdeme ze vztahu 1 exp(jc)exp(-jc) = 1 => exp(jc) >0 exp(-jc) aprotože -x je kladné, je jako v předešlém případě exp(-jc) kladné a větší jak jedna. Rozdíl je v tom, že nyní x<0 => 00 je exp(x + y) -exp(jc) = exp(x)[exp(;y)-l] > 0 Graf exponenciální funkce je na obrázku. exp(x) exp(x) Přirozený logaritmus je inversní funkcí k exponenciální funkci. To znamená, že zobrazujeme-li funkcí přirozený logaritmus číslo, které jsme získali zobrazením čísla x exponenciální funkcí, dostaneme opět číslo x, resp. v opačném pořadí zobrazujeme-li exponenciální funkcí číslo, které jsme získali zobrazením čísla x logaritmickou funkcí, dostaneme opět číslo x ln(exp(^)) = ^ , exp(ln(^)) = ^ Z definice je zřejmé, že definičním oborem funkce logaritmus jsou nezáporná čísla. Protože exp(0)=l, musí být ln(l)=0 . Označíme-li si ^=exp(^) a _y=exp(^), můžeme psát ln(jc) + ln(>>) = č, + tj = ln(exp(£+/7)) = ln(exp(^)exp(^)) = ln(jc;y) Dostáváme tak důležitý vztah: logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých součinitelů ln(jc;y)=ln(jc) + ln(;y) ln[xk) = kln(x) Jak z této vlastnosti plyne (položme y = l/x), platí ln(jc) = -ln x a logaritmus je rostoucí funkce, pro x>\ kladná, pro 0 Nejčastěji je užíván dekadický logaritmus (tj. logaritmická funkce se základem a =10), mnohdy proto není ani základ zmiňován, mluví se prostě o logaritmu. Graf dekadického logaritmu log(^) s vyznačením log(l0)=l a log(100)=log(l02) = 2je na obrázku. Na obrázku je znázorněno několik příkladů umocnění pevného základu na x a odpovídající inverzní operace. y = zx, x = logz y, z > 0, z * 1 0,5*, 2X, 3X log05 x,log2 x,log3 x 10*,log x 3.4 Goniometrické funkce Vycházíme z pravoúhlého trojúhelníku na obrázku. Goniometrické funkce jsou pro úhly z intervalu (0,^/2) definovány jako poměry stran tohoto trojúhelníku: osa y \ y ! ) x -osa x Je přímo vidět, že ■ * y „ x y x s,mv = — , cos6' = — , tgff — — , cotgc' = — r r x y _ siné? . cos# 1 tg0 =-- , cotg# = — COS0 sin6> tg6> a z Pythagorovy věty x2 + y2=r2 => ^ + ^ = 1 => (cos#)2 + (sin#)2=l r r V krajních hodnotách intervalu je sinO = tgO = 0 , cosO = 1 , cotgO = °° cos— = cotg— = 0 , sin— = 1 , tg— = oo 2 2 2 2 O znaménku funkcí sinus a kosinus ve čtyřech kvadrantech dává představu následující obrázek: Průběh funkcí sinus a kosinus na intervalech a [0,2;r] je na obrázcích: Na dalších obrázcích je na těchže intervalech zobrazen průběh funkcí tangens a kotangens: 1 10i y tg 11 1 1 1 -2 i i i otg M ' -i<ř i tg r i i i i- n r 1 t 1 4 cotg S\6 Vzhledem k vlastnostem průmětů průvodičů bodů na jednotkové kružnici a periodě 2 n na této kružnici můžeme pro goniometrické funkce psát řadu užitečných vztahů. Pro kosinus tak máme sin6> = ún(2n+0) - sin(n-O) - -sin(-6>) = -ún(n+0) - cos —-0 - -cos —+0 U J u a pro kosinus cos6> = cos(2n+0) - -cos(n-O) - cos(-6>) = -cos(n+0) - sin —-0 =sin —+ 6> U ) u Funkce tangens a kotangens jsou periodické s periodou n, takže tg0 = tg(;r+0) = -tg(-0) cotg6> = cotg(n+0) = -cotg(-6>) Již jsme uvedli důležitý vztah (všimněte si trochu jiného zápisu druhé mocniny) sin20 + cos20 = l Pro úpravy výrazů s goniometrickými funkcemi jsou nepostradatelné tzv. součtové vzorce. Pro funkce součtu či rozdílu dvou úhlů platí sin(a±/?) = sinacos/? ± cosasin/? cos(a+/3) - cosacos/? + sinasin/? Pro součet nebo rozdíl funkcí dvou úhlů pak platí . n n . cc+B a-B n n a+B a-B sina + sin/? = 2sin-cos- , cosa +cos/? = 2cos-cos- 2 2 2 2 .„n- a~P a+P p r, ■ a+fí ■ cc-P sin a - sin B - 2 sin-— cos-— , cosa-cosp = -2 sin-— sin-— 2 2 2 2 Na obrázku jsou příklady goniometrických funkcí obecného lineárního argumentu a-ax+b cos x, cos(x - f) COS X, cos -§ COS X, cos f, cos 2x 4. Počítání s vektory (Většina obrázků převzata z učebnice HRW: Fyzika.) Vektor je zadán směrem a velikostí. Je tedy zobrazen orientovanou úsečkou (vyznačení šipkou). O Vektory můžeme násobit reálnými čísly. Absolutní hodnota násobitele udává, kolikrát se změní délka vektoru, znaménko pak, zůstane-li orientace stejná nebo zda se změní na opačnou. Vektory můžeme sčítat a odečítat (odečtení vektoru b od vektoru a je totéž jako přičtení vektoru —b k vektoru a. Grafické znázornění je na následujících dvou obrázcích. Všimněme si, že i když budeme uvažovat vektory ve třech rozměrech našeho prostoru, vždy najdeme rovinu (tedy dvourozměrný prostor), ve které leží uvažované dva vektory a obrázky tedy můžeme pohodlně malovat v této rovině. Sečítání vektorů je komutativní (nezáleží na pořadí sčítanců). začátek vektorový součet konec Odečtení vektoru je, jak již bylo řečeno, totéž jako přičtení vektoru opačně orientovaného: d—a—b Konec a počátek sčítaných vektoru splývají. Početně je snadnou cestou rozklad vektorů do složek kartézské soustavy (ax-a cosO ,a —a siné? ), takže pro součet vektorů je d = ú + b , cx=ax+bx , cy=ay+by Ve třech rozměrech značíme tři základní jednotkové vektory (pravotočivé) kartézské soustavy i ,j ,k a libovolné dva vektory zapíšeme jako a-ai+aj+ak , b -b Á + b„ j + bk y T"t>- Běžný způsob zápisu vektoru pomocí jeho složek je a = (ax,ay ,az) Lineární kombinace vektorů a a b (první vektor násobíme nějakým reálným číslem a a přičteme k němu druhý násobený číslem P) je opět vektor c=aa + fib , Č = (aax + J3bx,aay+ J3by ,CCaz+ J3bz) Při násobení vektorů rozeznáváme dva druhy součinů - skalární a vektorový. Pro skalární součin je a b =abcos

(c,k) = (aik) + (blk) = (aik+blk) C = aA ^> {cik) = a{aik) = (aaik) Matici A dimense mxn můžeme zprava vynásobit maticí b dimense nxs a získat tak matici C dimense mxs C = A b f n \ nebo můžeme matici A dimense m x n vynásobit zleva maticí b dimense s x m a získat tak matici C dimense s x n C = b A pk ví>=1 J Vidíme, že pro sčítání zůstává komutativita (nezávislost na pořadí) sčítanců zachována i u matic, u násobení to pro součinitele obecně neplatí. Především: násobit můžeme jen matice, které mají stejný počet řádků nebo sloupců. Ale i pro čtvercové matice (dimense nxn) je komutativita spíše výjimkou. Obrazně vyjádřeno, prvky matice součinu vytváříme takto: v prvním řádku jsou postupně „první řádek levé matice krát první sloupec pravé matice", „první řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice" až „první řádek levé matice krát poslední sloupec pravé matice", v druhém řádku jsou postupně „druhý řádek levé matice krát první sloupec pravé matice", „druhý řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice" až „druhý řádek levé matice krát poslední sloupec pravé matice" atd. až po poslední řádek matice součinu, kde jsou postupně „poslední řádek levé matice krát první sloupec pravé matice", „poslední řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice" až „poslední řádek levé matice krát poslední sloupec pravé matice". Součin „řádek krát sloupec" pak znamená, že sečteme součin prvního prvku řádku s prvním prvkem sloupce se součinem druhého prvku řádku s druhým prvkem sloupce atd. až po součin posledního prvku řádku s posledním prvkem sloupce. Příklad pro čtvercové matice dimense 2: fi o^ A = , b = Počítáme a b = ba a a b b fi o Vo O í í-o+o-i í-i+o-o^ í o O 0 -1 1 o 10+-11 01+-10 J -1 o ío íVi o^ ro-i+i-o o-o+i—f\ ío -f\ 1 o n o^ O -1 O -1 íi o^ O -1 11+0—1 10+0—1 J 1 o í 1-1+0-0 1-0+0—1 Wl 0^ 0 1+-1 0 0 0+-1—1 J O 1 ro nro n 1 o 1 o roo+i-i 0-1+1-0^ fi o^ 10+01 11+00 J O 1 Při počítání se nám objevila (ne náhodně, příklad je tak vybrán) jednotková matice (1 O ••• 0^ O 1 ••• o e = (4) = o o tj. čtvercová matice, která má na diagonále jedničky a ostatní prvky jsou rovny nule. Symbol Sik je Kroneckerovo delta, pro které Násobení jednotkovou maticí ponechává původní matici nezměněnou. Vezměme jednotkovou matici dimense nxn , matici a dimense mxn a matici b dimense nxs . Potom je c = a e Za. S ip i pk c = e b ■■ÝS. b Z—i 'p j pk Obecně nemusí být všechny řádky matice lineárně nezávislé (tj. pro nějaký řádek je v takovém případě možné najít lineární kombinaci zbývajících řádků, že je rovna tomuto řádku). Totéž platí, uvažujeme-li místo řádků o sloupcích. Hodnost matice je definována jako maximální počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice hraje podstatnou roli při úvahách o počtech řešení soustavy lineárních rovnic. 5.3 Matice a řešení soustavy rovnic Uvažujme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých a2\ x\ ~*~ anx2 + ... + a2n xn — b2 a. x + a~ x + ... + a x„ = b ml 1 ml 1 mn n m kde ciy , bi (l-+3z = 2 -2x + y- z-l x + y + z - 2 -x + 2;y =3 ^ 1 2 3 -2 1 -1 1 1 1 v-l 2 O 2^ 1 2 3y Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé, (2) první rovnici vynásobenou (-1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji) a (3) první rovnici přičteme ke třetí x + 2>- + 3z = 2 5}- + 5z =5 -y-2z=0 4j+3z=5 2 5 0 0 -1 v° 4 2^ 5 0 5v Další úpravy jsou: (3) druhou rovnici vynásobíme 1/5 (tj. vydělíme 5), (4) upravenou druhou rovnici přičteme k třetí rovnici, (5) upravenou druhou rovnici vynásobenou (-4) přičteme k třetí a konečně (6) upravenou třetí rovnici odečteme od čtvrté x + 2>- + 3z = 2 y + z = l -z = l 0 = 0 ^12 3 0 1 1 0 0-1 vo o o 2^ 1 1 Řešení této ekvivalentní soustavy rovnic najdeme dosazováním „odzadu". Soustava má jediné řešení x=l, y=2, z=-l. Matice i rozšířená matice jsou ve stejném schodovitém tvaru a mají tři nenulové řádky - hodnost obou matic (h(A)=h(B)=3) je rovna počtu neznámých, dostáváme jediné řešení. Příklad7 (m = 4,n=3): x + 2>- + 3z = 2 -2x+ y-z-l -x + 3y + 2z=3 3x + >- + 4z=l ^ 1 2 3 -2 1 -1 -13 2 v 3 14 2^ 1 3 Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé, (2) první rovnici přičteme k třetí a (3) první rovnici vynásobenou (-3) přičteme ke čtvrté x + 2>- + 3z = 2 5.y + 5z = 5 5.y + 5z = 5 -5y-5z = -5 1 2 3 2 0 5 5 5 0 5 5 5 0 -5 -5 -5 Při dalších úpravách (4) přičteme druhou rovnici ke čtvrté, (5) odečteme druhou rovnici od třetí a nakonec (6) vynásobíme tuto rovnici 1/5 (dělíme 5) x + 2>- + 3z = 2 y + z = l 0 = 0 0 = 0 ^12 3 0 1 1 0 0 0 vo o o 2^ 1 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení x = - z, y = 1 - z, z libovolné. Počet schodů, tj. počet nenulových řádků obou matic je stejný, jejich hodnosti h(A) = h(B) = 2, což je hodnota o jedničku menší než počet neznámých n-3. Příklad7 (m = 4,n = 3): x + 2>- + 3z = 2 -x-2y-3z--2 2x+4y+6z=4 -3x-6y - 9z--6 -3 2^ -2 4 -6y Provedeme úpravy, v tomto příkladu velmi jednoduché: (1) první rovnici přičteme ke druhé, (2) první rovnici vynásobenou (-2) přičteme ke třetí a (3) první rovnici vynásobenou 3 přičteme ke čtvrté ( 1 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x + 2>- + 3z = 2 0 = 0 0 = 0 0 = 0 Hodnosti matic jsou shodné h(A)-h(B)-l a jsou o 2 menší než počet neznámých n-3 . Soustava má nekonečně mnoho řešení x = 2 - 2y - 3z, y a z libovolné. 5.4 Shrnutí Gaussovy eliminační metody V předchozí části byl na příkladech ukázán způsob řešení soustavy rovnic převodem matice soustavy rovnic a rozšířené matice (tj. k matici soustavy přidáváme sloupec pravých stran) na schodovitý tvar. Tomuto způsobu říkáme Gaussova eliminační („likvidační") metoda. Zavedli jsme pojem hodnost matice (počet nenulových řádků jejího schodovitého tvaru) a označení h(A) pro hodnost matice soustavy a h(B) pro hodnost rozšířené matice. Soustava m rovnic o n neznámých má řešení právě tehdy, je-li h(A) = h(B) = h, tj. počet nenulových řádků je stejný (schodovité tvary mají stejný počet schodů). Počet volných neznámých je To znamená, že soustava má jediné řešení (nejsou žádné volné neznámé) pro d-0, tedy v případě, kdy hodnosti matic jsou stejné a rovnu počtu neznámých. 6. Limita a derivace 6.1 Motivace - rychlost a zrychlení Všimněme si úseku trajektorie částice (říkáme také hmotného bodu) mezi blízkými body A a B, ve kterých se částice nachází v čase t a t+At. Některé veličiny se vztahují k jednomu časovému okamžiku, jiné k intervalu mezi dvěma časovými okamžiky. V našem příkladu máme: d — n —h polohový vektor částice v časovém okamžiku t r{t) = (x{t),y{t),z{t)) polohový vektor částice v časovém okamžiku t+At r (t+At) = (x(t+At), y (t+At),z(t+At)) rychlost částice v časovém okamžiku ř v(0 = W0.v,(í).vz(í)) rychlost částice v časovém okamžiku ř+Ař v(t + At) = (vx(t + At),vy (t + At),vz(t + At)) vektor posunutí částice v časovém intervalu [ř,ř + Ař] ^\t,t^t]=r{t + At)-r{t) = (x{t + At)-x{t),y{t + At)-y{t),z{t + At)-z{t)) vektor průměrné rychlosti částice v časovém intervalu [ř,ř + Ař] r(t + At)-r(t) (x(t + At)-x(t) y(t + At)-y(t) z{t + At)-z{t)^ Ař Ař Ař Ař vektor změny rychlosti částice v časovém intervalu [ř,ř + Ař] a%,,+a,] = v (ř+Ař)-v (ř) = (vx {t+At)-vx {t),vy {t+At)-vy {t),vz {t+At)-vz (ř)) vektor průměrného zrychlení částice v časovém intervalu [ř,ř + Ař] \ /\t,t+At\ v{t + At)-v{t) _(vx{t + At)-vx{t) vy{t + At)-vy{t) vz(ř + Ař)-vz(ř)^ Ař Ař Ař Ař Vektor průměrné rychlosti vystihuje přibližně, jak rychle měnil hmotný bod svou polohu během časového intervalu [ř,ř + Ař]. Během tohoto intervalu se částice přemístila po nějaké trajektorii z místa r (ř) v čase ř do místa r (ř + Ař) v čase ř + Ař. Za stejnou dobu Ař by se také mezi těmito místy přemístila částice pohybující se rovnoměrně přímočaře průměrnou rychlostí, neboť ' (') + H,,,., * = + ĽflÉgm* = ŕ(í+Af) Náhrada skutečného pohybu bodu po křivce v časovém intervalu [ř,ř+Ař] pohybem rovnoměrným přímočarým bude přirozeně tím přesnější, čím bude interval [ř,ř+Ař] kratší. Provádíme tzv. limitní přechod Ař —> 0. Co se však přitom děje se souřadnicemi vektoru průměrné rychlosti? Přestože se jmenovatelé i čitatelé zlomků x(t+At)-x(t) y (ř+Ař)-y (t) z(ř+Ař)-z(ř) Ař ' Ař Ař stávají libovolně blízkými nule, jejich podíly nabývají rozumných hodnot a blíží se při zmenšujících se Ař ke konečným číslům - svým limitním hodnotám. Ty již, na rozdíl od veličin průměrných, nezávisí na délce časového intervalu At, ale pouze na jeho počátečním okamžiku t a udávají tak souřadnice tzv. vektoru okamžité rychlosti hmotného bodu. Píšeme v (ŕ) = lim (A Al Poznámka: Z předcházejícího výkladu je zřejmé, že velikost vektoru průměrné rychlosti je něco jiného než průměrná hodnota velikosti vektoru okamžité rychlosti (I^I)[í t+M]' k-terá se v běžné řeči označuje slovním spojením „průměrná rychlost". Jednoduchý příklad limitního přechodu je znázorněn na obrázku. Jde o rovnoměrný pohyb po kružnici 2kí „ . 2nť\ :(t) = \R cos- , R sin- T T J Pro průměrnou rychlost dostáváme (při úpravách používáme známých vztahu pro goniometrické funkce) Xr.r + Afl r (t + At)-r (t) _ R ( 27t(t + At) iKt . 27t(t + At) . Int At . 71 At sin-f At cos T -cos- 27?- T At 7c(2t+At) 7c(2t+At) sin—---, cos—--- T ,sin- T --sin- T T T Velikost vektoru průměrné rychlosti je pak WlM+a,] | = ^((V4»aJ + ((VAm + aJ = 2R sin- TCAt T At Zvolíme-li poloměr R=l m a periodu T=4 s, dostáváme pro zkracující se intervaly hodnoty velikosti vektoru průměrné rychlosti uvedené v tabulce. Výpočet limity pro At—>0 dává přesnou hodnotu |v|=^"/2ms 1, proto pro lepší zviditelnění toho, jak se hodnoty blíží k přesné hodnotě uvádíme v tabulce 2/71 násobky velikosti vektoru průměrné rychlosti. Ař[s] 1 0,9003 1/2 0,9745 1/4 0,9936 1/8 0,9984 1/16 0,9996 ->0 í -> 1 6.2 Funkce, její limita a spojitost Funkce vyjadřuje závislost určité veličiny (závisle proměnné) na veličinách jiných (nezávisle proměnných). Příkladem mohou být již zmíněné závislosti souřadnic částice na čase. Uvažujme nyní o případu jedné reálné nezávisle proměnné t a jedné reálné závisle proměnné x. Píšeme x = f(t) a čteme je funkcí ť. Symbol/, tzv. funkční předpis, určuje pravidlo, kterým jsou hodnotám t přiřazeny hodnoty x. Někdy píšeme jen x = x(t) (tento zápis bývá ve fyzice častější). Hodnoty, kterých může nabývat proměnná t, tvoří definiční obor funkce značený Df. Obor Df je buď zadán současně s uvedením pravidla / nebo je automaticky chápán jako množina všech hodnot t, pro něž lze podle pravidla / vyčíslit hodnotu x. Např. pro x = \[t musí být ř>0, neboť záporné hodnoty nelze odmocňovat. Říkáme, že / je definována na množině Df. Hodnoty, jichž bude nabývat proměnná x, probíhá-li t definiční obor Df, tvoří obor hodnot funkce, Hf . V rovině souřadnic t (vodorovná osa) a x (svislá osa) vytvoří body o souřadnicích [ř,/(ř)]graf funkce, označovaný jako Gf . Definice: Funkce g je inversní funkcí k funkci / jestliže její definiční obor obsahuje obor hodnot funkce fa platí *(/(')) = ' Jako příklady uveďme exp(ln(ř)) = ř , ln(exp(ř)) = ř , /ř)2=ř , sin(arcsin(ř)) = t , arcsin(sin(ř)) = t U posledního vztahu je třeba jisté opatrnosti, protože funkce sinus je periodická. Následující obrázky ukazují příklady grafů funkcí, které v určitém bodě (ř = 0) limitu vůbec nemají (plný kroužek = bod patří do definičního oboru funkce, prázdný kroužek = bod nepatří do definičního oboru funkce). Jedná se postupně o funkce . , -cosŕ ŕ<0 . . . . / 0= t ^n > /OH 0 ř=0 » / ř = cosŕ ŕ>0 cosŕ ř<0 -cosř ř<0 cosř ř>0 cosř ř>0 Ve všech případech mají funkce v bodě ř0=0 limitu zleva (t se blíží k nule ze strany záporných čísel) a limitu zprava (t se blíží k nule ze strany kladných čísel). Píšeme lim/(ŕ) = Lj =-1 , lim/(r) = L2=l Protože Ij^L2, limita neexistuje. Ve všech případech je funkce v bodě ř0=0 nespojitá. V prvním případě (levý obrázek) je však spojitá zleva. Platí zde lim/(ř) = /(0) (v našem příkladu /(0) = -l). Obdobně ve třetím případě (pravý obrázek) je funkce spojitá zprava. Platí zde tedy lim/(/) = /(0) (v našem příkladu / (0)=1). Přesná definice limity je následující: Definice: Číslo L se nazývá limitou funkce x = f(t) v bodě t0, jestliže pro libovolně zvolené (jakkoli malé) číslo £>0 dokážeme najít takový interval (t0-S,t0 + S), S>0, že platí (a) funkce f(t) je definována ve všech bodech množiny (t0-S ,t0)u(t0,t0 + S) (b) pravšechna čísla te (t0-S ,t0)u(t0,t0 + S)je |/(r)-Z,|<£ Píšeme pak lim/ (t) = L. '->'o Množina (ř0-S,t0)u(t0,t0 + S) se nazývá 5-okolí bodu t0. Všimněte si, že díky definici 5-okolí, která vynechává bod t0, může existovat limita funkce i v bodě, kde tato funkce není definována. Definici limity můžeme číst i takto" Číslo L je limitou funkce /(ŕ) v bodě t0, jestliže se funkční hodnoty nevzdalují od L více než o £, pohybuje-li se proměnná t dostatečně blízko bodu t0. Číslo £ je přitom zvoleno libovolně (malé) předem. I\\x t0 — Si t0 t0 + §i Způsob nalezení čísla ô při zvoleném s ukazuje předchozí obrázek, ô je menší z čísel St,S2. Graf funkce je záměrně zvolen složitě, takže funkční hodnota (plný kroužek) v bodě t0 se nerovná limitě funkce (prázdný kroužek) v tomto bodě - funkce není spojitá. Přesná definice spojitosti je jednoduchá: Definice: Funkce x = f(t) se nazývá v bodě t0 spojitá, je-li lim/ (t) - f (t0). t—>í0 Uvedeme ještě dvě jednoduchá pravidla pro počítání s limitami: (a) Je-li lim/(ř) = F , lims(r) = G t—>í0 t—>í0 potom Km[f{t)±g{t)\ = F±G , )ím[f{t)g{t)\ = FG t —y t q t —^ íq a pokud pro t z nějakém ô-okolí bodu t0 platí g (t)^0 a také G^O, potom (b) Předpokládejme, že funkce x = f(t)je v bodě t0 spojitá. Dále uvažujme o funkci y = g(x), definované na množině D obsahující obor hodnot funkce/. Předpokládejme, že funkce g (x) je spojitá v bodě x0 = f(t0). Pak je i složená funkce y-F (t)-g [/ (ŕ)] spojitá v bodě t0. Funkce/a g představují vnitřní resp. vnější složku složené funkce. 6.3 Derivace funkce, tečna Pojem tečny ke grafu funkce je možné zavést pomocí limitního přechodu pro sečny grafu. Na obrázku vidíme tři sečny, přitom platí (značíme Ařj -tx-t0, At2-t2-t0, At3 -t3-t0) sečny nerovnosti Ařj > At2 > At3. Ve zkratce můžeme psát At—>0 ^> sečna—>tečna . Tečna ke grafu funkce v bodě [í0'/(O] Je limitním případem sečny spojující body A = [í0,/(í0)]a fí = [ř0 + Ař0,/(ř0 + Ař0)]pro Ař^O. f{h+At) 1 »=*) 1-► Směrnice sečny je to+At tga = /(ř0+Ař)-/(ř0) Ař Směrnice tečny je limitou směrnice sečny pro Ař—>0 f(tn + At)-f(tn) lim tga= lim ^-!_LA±L Aí->0 Aí->0 Aí Tečnu ke grafu funkce x = f(t) v bodě [ř0,/(ř0)]lze tedy zkonstruovat, existuje-li tato limita. Tato limita se nazývá derivace funkce / (t) v bodě t=t0 a značí se /'(,„)= limf('«+A')-fM Rovnice tečny (tj. přímky procházející bodem [ř0, / (ř0) J se směrnicí /' (ř0)) je x = f{t0) + f'{t0){t-t0) Derivace funkce x = f(t) v obecném bodě t /'(f)=lim/'f+A,)-/'f» v ' a/-»o Ař je sama také funkcí proměnné t. Derivace funkce f(t) se nezkráceně zapisuje jako df{t) dt Výrazy, které teď můžeme zapsat v limitě Ař—>0 jako derivace, jsme viděli u výpočtu rychlosti a zrychlení: v(t) = (vx(t),vy(t),vz(t)) = (x<(t),y<(t),z<(t)) 5(o=K(o.s(o.^(o)=(v:(o.v;(o.v;(o)=K(o.y,(o^,,(o) Používáme běžného značení derivace jednou čárkou v horním pravém indexu (nebo jednou tečkou nad symbolem), druhou a třetí derivaci pak značíme dvěma a třema čárkami (nebo tečkami), vyšší derivace mají římskou číslici v horním pravém indexu dt dt dt dt ^=/w.^=/w.£2íí)=7w.£21í)=/<"»(().... dt dt dt dt 6.4 Pravidla pro počítání derivací Začneme přehled podrobným rozborem dvou příkladů, velmi jednoduchého a poněkud komplikovanej šího. Příklad 1: vezměme funkci x = f{t)=^at2 Při výpočtu derivace máme z definice — a(t + At)2 ——at2 — a t2 + a t At+—a (AtÝ ——at2 f (t) = lim^--'—2^- = lim 2-2 2 aí^o Ař Aí^° Ař aAřl ř + —Ař , 2 j r i lim---- = lima řH—Ař \ — at a;^o Ař A'^o y 2 J Podstatným krokem při výpočtu bylo užití „metody vykráčení nepohodlného výrazu". Příklad 2: vezměme funkci x = f (ř) = sinř Opět z definice „ . Ař ( At . , . N . zsin—cos| t + , . . sin ř + Ař)-sinř f' (t)= lim—i-í-= lim a;^0 Ař Al^° At sinAřcos(ř+Ař) sinAř , 4 , lim---L = lim-lim cosi ř + Ař) = cosř a;->o Ař Aí->o Ař a;->o Opět podstatným krokem při výpočtu bylo užití „metody vykráčení nepohodlného výrazu" -tentokrát jsme využili toho, že pro malé hodnoty argumentu je funkční hodnota sinu rovna tomuto argumentu sinAř = Ař-(Ař)3/6H— . Můžeme si ukázat výpočet limity sinAř . lim-= 1 aí->o Ař takto: Podle obrázku platí (sinAř červeně, délka oblouku Ař modře, tgAř zeleně) sinAŕcosAř sinAŕ At sinAŕ ^sinAŕ . A"\ 1 >-> cosAř _^ 1 Ař ^ sinAř A'^°, "ÄT-* V dalším už uvedeme jen výsledky pro nej důležitější elementární funkce: mocninu, sinus a kosinus a exponenciálu a logaritmus. f{t) = ť , /'(/) = /■/' /(ŕ) = sinŕ , f'(t)-cost /(ŕ) = cosŕ , =-siní f{t) = e' , /'(') = *' , f{t) = a' , f'(t)-a'ma , /(ř) = lnř , /(O = logflř ŕ ln a Pro derivaci součtu či rozdílu funkcí platí f(t)±g(t)l=f'(t)±g'(t) Pro derivaci funkce násobené konstantou ce K. platí cf(t)l=cf'(t) Pro derivaci součinu dvou funkcí platí f(t)8(t)l=f'(t)8(t) + f(t)8'(t) Pro derivaci podílu dvou funkcí platí [/(Ol ' f'(t)8(t)-f(t)g'(t) [*(0]2 Pro derivaci složené funkce platí F(t) = g(f(t)) , F'(t) = g'(f(t))f'(t) Připomeňme si, že čárkou značíme derivaci funkce podle argumentu. Aby bylo pravidlo pro derivování složené funkce zcela jasné, rozepišme si složenou funkci jako F{t) = g{x) , x = f{t) Potom F> (ř) s *m=dgWdfit) sgl{f {t)) f/ {t) dt dx dt Zobrazení složenou funkcí včetně definičních oborů a oborů hodnot je ukázáno na obrázku. D 7 D o f(0 = g(x) = H 7 ::::: Důkazy pravidel pro derivování jsou většinou jednoduché, například rc/(,)T = limc/<'+A')-':/<,>=clim/('+A,>-/(')=c/'(,) Ař Aí->0 Ař nebo /(ř+Ař)g(ř+Ař)-c/(ř)g(ř) Ař iim[/(ř+Ař)-/(ř)]g(ř+Ař) + iim/(ř)[g(ř+Ař)-g(ř)] = a;^o Ař Aí^° Ař limíi^!tm limgi,+A,)+fil) lim^«t+A'>-«"fl= a;^0 Ař a;^0 a;^0 Ař f'(t)g(t) + f(t)g'(t) Podle těchto pravidel pak dokážeme najít derivace i velmi složitých výrazů. Pro dobré pochopení je vhodné všimnout si vnitřní konsistence těchto pravidel. Příklad 3. Nepochybně je derivace konstanty rovna nule. Zapsáno z definice je pro součin konstanty c a funkce / (ř) = l=ř° \c ■ 1]' = lim ——— = c lim -—- = c ■ 0 = 0 aí^o Ař A'^° Ař Příklad 4. Víme, že derivace funkce sinus je rovna funkci kosinus. Podle pravidla o derivaci složené funkce (a je konstanta) [sin(ř + a)]/ =cos(t+a)(t+a)' =cos(ř+a) Zvolíme-li a=7u/2, dostáváme s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce pravidlo [cosi]' =-sinř. Příklad 5. Derivace funkce l/g(ř). Použijeme vztah pro derivaci podílu funkcí, přitom /(ř) = l. Máme o-«(0-i-«'M_ «'(') *MJ [«(«)T [«(«)]" Příklad 6. Obecnějším případem složené funkce než funkce v Příkladu 4 je F (t) = g (at+b), kde a,be K. jsou libovolné reálné konstanty. Potom F;(í) = g' (at+b)[at+b]' - a g' (at+b) Příklad 7: Funkce tangens je podílem sinu a kosinu. Podle pravidla o derivování podílu máme (tg')' = ' siní ^ cosř-cosř - siní-(-siní) (cosř)2 + (sinř)2 1 ^cosřy (cosi) (cosi) (cosi) Příklad 8: Funkce kotangens je podílem kosinu a sinu. Podle pravidla o derivování podílu máme (cotgí/ = r V ' cosi 1 -sinř-sinř-cosř-cosř _ (sinř)2 + (cosř)2 1 ^sinřy (siní) (siní) (siní) Příklad 8: Derivace inversní funkce. Budeme inversní funkci chápat jako složenou funkci, tj. F(í) = í(x(í)) = í : F'(t)=— — = 1 dx dt dt _ 1 dx dx_ dt Například pro výpočet derivace funkce arcsin dostáváme x(t) - siní, t(x) - arcsin x , - cosi = -t/l-(siní)2 = Jl- dt ■x (arcsin x)' a podobně pro výpočet derivace funkce arccos x(t) - cosi, t(x) - arccosjc, - -siní = -*/l-(cosí)2 = —Jl — dt x (arccosjc)' = ■ ■x 6.5 Přibližné vyjádření diferencovatelné funkce V následující části budeme nezávisle proměnnou značit x a funkce této proměnné pak y-f(x). Obrázek nám na příkladu funkce y-2x1 -4x+3 ukazuje možnosti přibližného vyjádření funkce v okolí určité zvolené hodnoty nezávisle proměnné, v tomto případě x0 -2 . -20- Modrá barva vyznačuje graf funkce, zelená sečnu spojující funkční hodnoty v x0-2 a x0 + Ax =4 a červená tečnu ke grafu funkce v bodě x0 -2 . Rovnice funkce, sečny a tečny jsou yf=2x2-4x + 3 , ys =8*-13 , yt=4x-5 Takto vypadají rovnice dost odlišně, ale přepíšeme-li je v „proměnné" Č, =x-x0=x-2, máme y/=3 + 4<ř + 2f , ys=3 + SŠ , y,=3 + 4 — = 1+jc+—+—+—+••• n=0n\ 2 6 24 Příklad 2. Najděme Taylorův rozvoj funkce f(x) = ln(x) v okolí bodu x0-l (potom Áx-x-1). Pro logaritmus je první derivace [ln^)]'-1/x, druhá derivace pak [ln(jc)] = -l/x2, třetí derivace [ln(*)] = 2/V atd. Dále je /(l)=ln(l)=0 a pro n-tou derivaci f[n) (l) = (n-l)!(-l)nl. V Tayl ořově řadě zkrátíme (n-l)\/n\-l/n a máme konečně inw=ž(-ir^ neboli ( y\n 2 3 4 { ' {ť, ' n 2 3 4 Příklad 3. Najděme Taylorův rozvoj funkce f (x)-sin(x) v okolí bodu x0-0 (potom Áx — x). Pro derivace sinu máme následující schéma (sinjc)' = cosjc (sinjc)" =(cosjc); =-sinjc (sinjc)//; =(cosjc)/; =(-sinjc); =-cosjc í ■ \íw) í Y" í ■ \" í Y (sinjc) = (cosjc) =(-sinjc) =(-cosjc) = sinjc Vidíme, že pro derivace lichého řádu 2^ + 1,^=0,1,2,... máme (sinx )("+1)=(-l)* cosjc a pro derivace sudého řádu 2k ,£=0,1,2,...je (sinx sinx. Protože sin0=0 a cos0 = l, dostáváme pro Taylorův rozvoj funkce sinus sin(x) = £(-!)" ŕ 3 5 X X ■-x--+ - n = 0 (2n + l)\ 6 120 Příklad 4. Najděme Taylorův rozvoj funkce f (x) = cos(x) v okolí bodu x0-0 (potom Ax- x). Pro derivace sinu máme následující schéma (cosjc)' = -sinx (cosjc)" =(-sinjc); =-cosx (cosjc)"' = ( — smx)" =(-cosjc); = sinx í ^/y) í ■ V" í Ví- V (cosx) =(-sinx) =(-cosx) =(sinx) =cosx Vidíme, že pro derivace lichého řádu 2£ +1, £ =0,1,2,... máme (cosx )(2t+1)=-(-l)* cosjc a pro derivace sudého řádu 2k ,£=0,1,2,...je (cosx )(2t)=(-l)* cosx. Protože sin0=0 a cos0 = l, dostáváme pro Taylorův rozvoj funkce kosinus cos(x) = ^ (-!)"■ 2 4 -1 X + X n=0 (2n)\ 2 24 Příklad 5. Velmi jednoduchý na zapamatování je Taylorův rozvoj funkce f[x)-lj{l-x) v okolí bodu xn =0 . Pro derivace máme 1-JC (1-*) l-x 1-2 (l-x)' l-x {i-xT a v x0 =0 tedy zůstávají z derivací pouze faktoriály, je tedy —!— = ^xn =1 + x + x2 + x3 +••• l — x n=0 7. Řešení dvou jednoduchých diferenciálních rovnic 7.1 Rovnice radioaktivního rozpadu Statistická podstata procesu rozpadu je vyjádřena tvrzením, že pro vzorek s ./V radioaktivními jádry je rychlost rozpadu -dN/dt úměrná N dN(t) „ , , dt Konstanta rozpadu X má charakteristickou hodnotu pro každý radionuklid. Jak vidíme z rovnice, její rozměr v soustavě SI je převrácená sekunda (s1). Jak najdeme řešení rovnice? Nechceme-li užívat pojmu integrálu (což by byl standardní postup), zavedeme nejprve novou proměnnou x——At , v této proměnné má rovnice tvar dNÍx) , s dx Vzpomeneme si, že toto platí právě pro exponenciální funkci, tj. dx Nakonec uvážíme, že derivace součinu konstanty a libovolné funkce je součin této konstanty s derivací funkce. Takže i exponenciála vynásobená konstantou vyhovuje naší rovnici. Máme tedy řešení N(x) = N0 exp(x) neboli N(t) = N0exp(-At) Označení konstanty indexem nula má důvod: N0 je počet jader v počátečním čase t-0 , neboť JV(0) = iV0exp(0) = AV Radionuklidy bývají také charakterizovány poločasem rozpadu x. Souvislost této charakteristiky s konstantou rozpadu je jednoduchá. Z definice poločasu je N(t)=±N(0)=^ Af0exp(-^) = ^ Vykráčení rovnice nenulovou konstantou JV0 a logaritmování dává pak hledaný vztah mezi poločasem rozpadu x a rozpadovou konstantou X ln2 t-- A Při logaritmování jsme použili skutečnosti, že logaritmus a exponenciála jsou inversní funkce, tj. ln(exp(x))=x. Dále pak toho, že logaritmus mocniny čísla je součinem mocnitele a logaritmu základu, tj. ln(xa)=aln(jc) - v našem případě x-2,a--l. Místo tohoto obecného vzorce jsme mohli uvážit, že logaritmus převrácené hodnoty čísla je roven záporně vzatému logaritmu čísla ln(l/x) = -ln(x), což vidíme z rovností 7.2 Rovnice harmonického oscilátoru Budeme pro jednoduchost uvažovat jen pohyb na přímce. Předpokládejme, že částice hmotnosti m má stabilní rovnovážnou polohu v x-0. Pokud je z této polohy vychýlena, bude přitahována zpět silou tím větší, čím větší je výchylka. V nejjednodušším přiblížení bude závislost síly na výchylce lineární F --k x kde £>0je konstanta. Znaménko mínus vyjadřuje působení síly směrem k rovnovážné poloze. Je-li částice vychýlena zpočátku ve směru orientace osy x (x>0), působí síla v opačném směru (F <0) a podobně je-li částice vychýlena z počátku proti směru orientace osy x (x<0), působí síla ve směru orientace osy x (F >0). Druhý Newtonův zákon pak říká, že d2x(t) . . m-±-Ĺ = -kx[t) dŕ V ' Rovnici vydělíme m a kladnou konstantu k/m označíme co1 ^p- = -úfx(t) Této rovnici říkáme rovnice harmonického oscilátoru. Zavedeme si novou proměnnou t-cot, ve které bude mít rovnice tvar d2x(r) . . Vzpomeneme si, že toto platí jak pro funkci sinus, tak pro funkci kosinus. Rovnici vyhovují také tyto funkce vynásobené konstantu a stejně tak jejich součet (říkáme, že rovnice pro funkci x(f) je lineární). Máme tedy řešení x(t) = Asin(t) +Bcos(t) neboli x(t) = Aún(ú)t) + Bcos(cot) kde A a B jsou zatím neurčené konstanty. Rovnice radioaktivního rozpadu byla prvního řádu, obsahovala proto jedinou konstantu - tu jsme určili jako počet jader v čase t-0. Rovnice harmonického oscilátoru je druhého řádu, budeme tedy pro určení dvou konstant potřebovat dvě podmínky. Jednou z nich může být výchylka v čase t-0, kterou si označíme x0. Protože sinO=0 a cosO=l, dostáváme x(0) = B=x0. Druhou podmínkou může být počáteční rychlost, tj. rychlost v čase t-0, kterou si označíme v0. Rychlost je okamžitá časová změna výchylky, tedy derivace funkce x(t). Potřebné derivace dobře známe, můžeme tedy psát v(t) = ^*(0 = a>Acos(a>t) - ú)Bún(ú)t) dt Po dosazení sinO=0 a cosO=l dostáváme v(0) = (oA=v0. Konečně tedy můžeme psát x(t) -—sin(cot) + x0cos(cot) (O Nad získaným výsledkem je vždy velmi dobré provést co nejvíce kontrolních úvah. U našeho řešení především musí souhlasit rozměry členů. Složitější kontrolou je limitní přechod pro (O—>0. Potom je totiž výchozí rovnice rovnicí pohybu volné částice a její řešení musí být rovnoměrný pohyb X(t) -Xr,+Vr,t Provedeme potřebné limity (tyto případy známe) sin(ťyř) , . lim-^—- = t , hmcos(ft)n=l í£>—>0 Q) 0)^0 a zjistíme, že naše řešení skutečně přechází pro co—>0 na řešení, popisující rovnoměrný pohyb. 8. Stručně o integrálu 8.1 Neurčitý integrál - primitivní funkce Často se vyskytuje úloha, kdy máme zjistit, zda nějaká funkce f(x) vznikla derivací jiné funkce a takovou funkci F (x) najít. Definice. Na otevřeném intervalu (a,b) je definována funkce f(x). Funkci F(x) nazveme primitivní funkcí k funkci f(x) na (a,b), je-li F(x) na (a,b) definována, má tam derivaci a pro všechna xe(a,b) platí F1 (x) = f (x). Bez důkazu uveďme, že ke každé spojité funkci f(x) primitivní funkce existuje. Vzhledem k tomu, že derivace konstanty je nula, je primitivní funkce (říkáme také neurčitý integrál) určena až na konstantu F(x) = \f(x)dx + C V jednoduchých případech najdeme primitivní funkci tak, že předpisy pro derivaci funkce „čteme odzadu". Tak například x1 -1 o jdx - x [sin(x)]/=cos(x) o jcos(x)dx - sin(x) + C rin(jc)T=- o ľ— = ln(*) + C x J X Příklady se liší v tom, že první dva platí na celé reálné ose, ve třetím uvažujeme pouze kladnou poloosu, přesněji interval (0,°°). Rozšíření na celou reálnou osu dostaneme, vezmeme-li v argumentu logaritmu absolutní hodnotu proměnné a derivujeme jako složenou funkci d\n(\x\) _ d\n(\x\) d\x\ _ 1 f+lY+1j_l dx d\x\ dx \x\ dx y x J x tedy [MH)J=7 « íf=KH)+c Z vlastností derivací vyplývá, že pro primitivní funkce platí \[f{x)±g{x)]dx = jf(x)dx±jg(x)dx | c / (x) d x - c | / (x) d x Velmi účinnou metodou hledání primitivní funkce je metoda integrace per partes. Vychází z výrazu pro derivaci součinu funkcí f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = [f(x)g(x)l Integrujeme-li obě strany rovnice, známe hned (z definice primitivní funkce) integrál pravé strany, tj. / (x)g(x). Převedeme druhý integrál z levé strany na pravou a dostáváme vzorec pro integraci per partes \f'{x)g{x)dx = f{x)g{x)-\f{x)g'{x)dx I když je tento předpis velmi jednoduchý, je třeba stejně jako u dalších metod integrace značné představivosti doplněné zkušeností. Příklad 1. Najděte primitivní funkci k funkci h(x)=xsin(x). Zvolíme f'(x) = sm(x) => f(x) = -cos(x) \ \ í \ / x _ // x ! f(*)8 {x) = -COs{x) g(x) = x => g (x) = l Integrovat kosinus umíme, takže ze vzorce pro integraci per partes pak máme j xún(x)dx --xcos(x) + sin(x) + C Příklad 2. Najděte primitivní funkci k funkci h(x) = ln(x). Zvolíme f'{x) = l f{x) = x g(x) = \n(x) g [x)=- X Integrovat konstantu (v našem případě rovnu jedné) umíme, takže j\n(x)dx - xln(x) - x + C Na rozdíl od určitého integrálu, který je stručně pojednán v další části, neexistují pro nalezení primitivní funkce numerické metody. Tabulka neurčitých integrálů některých elementárních funkcí shrnuje ty nejjednodušší případy, které můžeme snadno získat „obráceným čtením" tabulky pro derivování funkcí: /(*) H*) n + l cos(jc) sin(jc) sin(jc) -cos(jc) exp(jc) exp(jc) I ln(H) a>0 \n(a) ažl 1 ,, u a>0 Kromě metody integrace per partes existuje celá řada dalších metod. Zmíníme ještě metodu substitucí, kdy v integrálu zavedeme novou proměnnou vztahem x = (p{u). Máme potom j f (x)d x = j f[ 1 ln Im 2 x + l ~x^i 8.2 Určitý (Riemannův) integrál Obrázek ukazuje vše potřebné k definici určitého integrálu. Úkolem je spočítat plochu vymezenou grafem y = f(x) a osou x mezi x-a a x-b. Při fyzikálních aplikacích může mít tato plocha nejrůznější význam. Například při pohybu částice po přímce: je-li x čas a y rychlost, počítáme dráhu, je-li x poloha a y působící síla, počítáme práci. Na intervalu [a ,b] vytvoříme dělení intervalu D D : a - x0< xx< ...< xn_x 0 . Změní-li se nyní vzdálenost z ra na rb (působením nějaké vnější síly), je práce vykonaná gravitační silou Wř=j/(r)dr = -*J"^ = * \rb raJ (primitivní funkcí k -l/r2 je 1/r + C). Práce vykonaná vnější silou má stejnou velikost, ale opačné znaménko W=k Je-li konečná vzdálenost větší než počáteční (tj. rb >ra), je práce vykonaná vnější silou kladná - bylo třeba překonat vzájemnou přitažlivost. 9. Pravděpodobnost 9.1 Náhodné jevy a jejich pravděpodobnost Začneme dvěma velmi známými příklady ze života: Příklad 1. Házení mincí - náhodný pokus: jsou celkem dvě možnosti - náhodné jevy (orel, hlava). Sledujeme jev A: padne orel - jedna z možností je příznivá, p=1/2 . Příklad 2. Házení kostkou - náhodný pokus: je celkem šest možností - náhodných jevů (1,2, 3, 4, 5, 6). Sledujeme jev A: padne šestka - jedna z možností je příznivá, p=l/6. Definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost nastoupení jevu A je podílem počtu případů M, v nichž jev A nastal (čitatel), a počtu ./V všech možných případů (jmenovatel). Příklad s jednou kostkou (všech možných případů je N = 6): a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo? Příznivé jsou ty případy, kdy padne dvojka nebo čtyřka nebo šestka, tedy M =3 . Pravděpodobnost je p=3/6 = 1/2 . b) Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné třemi? Příznivé jsou ty případy, kdy padne trojka nebo šestka, tedy M =2. Pravděpodobnost je p = 2/6=1/3 . c) Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo menší než tři? Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička nebo dvojka, tedy M = 2. Pravděpodobnost je p = 2/6 = 1/3 . Příklad se dvěma kostkami (všech možných případů je ./V=36, každá ze 6 možností, které mohou padnout na první kostce, se nezávisle kombinuje s každou ze 6 možností na druhé kostce): a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami (současně) padne součet sedm? Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička na první a šestka na druhé kostce, nebo naopak, dvojka na první a pětka na druhé kostce, nebo naopak, trojka na první a čtyřka na druhé kostce, nebo naopak), tedy M =6. Pravděpodobnost je p = 6/36 = 1/6. b) Jaká je pravděpodobnost, že součin padnuvších čísel bude lichý? Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, trojka na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, pětka na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, tedy M - 9. Pravděpodobnost je p=9/36 = 1/4. Jakých hodnot může pravděpodobnost v principu nabývat? Z definice je zřejmé, že hodnoty budou v intervalu mezi nulou a jedničkou 0k>l je Vk (n) Na obrázku je Bernoulliovo rozdělení pro n = 120 a dvě hodnoty q: q = 1/6 (házení kostkou, červeně) a q = 1/2 (házení mincí, modře) - pro lepší viditelnost jsou body spojeny plnou křivkou. Maximum je v obou případech u střední hodnoty {j)=qn (střední hodnotu definujeme dále), tj. (j} = 20 pro házení kostkou a (j) = 50 pro házení mincí. Na příkladu střelce, který vystřelí n-krát na terč si ukážeme, jak zjistit rozdělení experimentálně. Dosažené počty bodů při jednotlivých výstřelech představují hodnoty náhodné veličiny. Jaké jsou pravděpodobnosti jednotlivých hodnot? Pro n = 50 například: hodnoty 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 četnosti 0 0 1 1 2 2 3 3 8 20 10 pravděp 0,00 0,00 0,02 0,02 0,04 0,04 0,06 0,06 0,16 0,40 0,20 Při různých počtech výstřelů n se pravděpodobnosti budou obecně měnit. Pro rostoucí n budeme pozorovat jejich „ustalování". Která hodnota nejlépe reprezentuje rozdělení? Náhodnou veličinu samozřejmě nejdokonaleji reprezentuje zadání jejího rozdělení. To je ovšem poněkud nepraktické. U střelce jsme viděli, že jeho kvalita je reprezentována hodnotou blízkou devítce. Realizovala se nejčastěji, má největší váhu. Vhodnější reprezentativní hodnotou bude aritmetický průměr všech hodnot včetně „násobnosti" V) 10 10 w0-0+w1-l+- + w10-10=^,.»J j = Yp. j=S ,12 Obecně pak (x) = Í1Pjxj ' í>,=1 j=o j=o Takto definovaná hodnota (x) je váženým průměrem jednotlivých hodnot a nazývá se střední hodnotou náhodné veličiny. Výpočet střední hodnoty náhodné veličiny, která má Bernoulliovo rozdělení není komplikovaný: / A "ST1 • n! it\ ^ (n-1)! ._j W=ŠJ«,H ="*?í(y-i)i:«-i-(y-i)]!* (l~q) a s označením / = j-l, m-n-\ pak i=0i!(/n-i)! Před zavedením další charakteristiky rozdělení uvedeme další příklad, tentokrát se dvěma střelci, z nichž každý vystřelí n-krát na terč. Zvolme opět n-50: hodnoty 0 1 2 J 4 5 6 7 8 9 10 četnosti 0 1 3 6 10 11 10 5 3 1 0 pravděp 0,00 0,02 0,06 0,12 0,20 0,22 0,20 0,10 0,06 0,02 0,00 hodnoty 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 četnosti 0 0 2 3 6 28 6 3 2 0 0 pravděp 0,00 0,00 0,04 0,06 0,12 0,56 0,12 0,06 0,04 0,00 0,00 Na obrázku jsou zobrazena rozdělení obou střelců (pro prvého bílými, pro druhého modrými sloupečky). Výpočtem zjistíme, že oba dosáhli střední hodnoty 5. Čím se tedy jejich výsledky 0,6 8 0,5 c n n 4 o ' o 0,3 f 0,2 E 0,1 0 01 23456789 10 liší? Je to rozptyl nebo z něho vypočtená směrodatná odchylka. Jak se k této charakteristice dostaneme? Uvažujme náhodnou veličinu Y = f (X). Má-li veličina X rozdělení (x. ,Pj), má veličina Y rozdělení (y};,p};) = (/{xi ),Pj) ■ Jaká veličina by tedy mohla charakterizovat „odchýlení" hodnot od střední hodnoty? Nejjednodušší možnost Y = X-(x} není vhodná, protože pro libovolné rozdělení je ( y) = 0: n n n n (y)=Z y j p j = Z (xj -(-*» p j = Z xj p j - (x)Hpj = (x) - (x)=0 j=0 J=0 j=0 j=0 Takže musíme vzít náhodnou veličinu Y = (X- (x}) . Střední hodnotu této veličiny nazýváme rozptylem D(X) = (^X -(x))2^j • Provedeme-li umocnění, máme pro rozptyl D{X) = (x2 - 2X (x) + (xf) = (X2) - (xf Odmocnina z rozptylu (jak vidět z definice rozptyl je vždy kladný) je tzv. směrodatná odchylka a(X)=fi(X-)=J(x2)-{x)2 Pro úplnost příkladu dodejme, že směrodatná odchylka vyjde 1,7 pro prvého a 1,2 pro druhého střelce. Pro Bernoulliovo rozdělení je i=0 f=i (i —l)!|_w —2 —(í—1)J! n-2 (n-2)\ -qk (l-q)" - n q + n (n-i) q2 - n2 q2 + n q(l-q) ^nq + n(n-\)q2YJ- , M,-k=0k\{n-2-k)\ Rozptyl Bernoulliova rozdělení je tedy D{j) = (j2)-(j)2 = np{l-p) Distribuční funkci F (x) definujeme na reálné ose K. součtem pravděpodobností p0 H-----v ps odpovídajících hodnotám menším než xs+i F(x) = 0 Po ^Cq — JC ^ JC-^ x > x. Naopak pravděpodobnosti dostaneme jako Po = Fixo) > Pj=F(xj)-F(xj-i) l^J^n Medián rozdělení je taková hodnota xs, pro kterou F (xs) <0,5 a f(jcs+1) > 0,5. Pro n —>°o a j malé přejde Bernoulliovo rozdělení na Poissonovo rozdělení. Upravujeme tedy n^j\{n-j)\ lim- V n j -lim V n j Využijeme vztahů platných pro n->«>a j malé: nl~nJ (n-l)l, (l-^/řz^-l a definice exp(-^) = lim^l-^y^/řz)". Dostáváme tak Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení se projeví třeba tehdy, sledujeme-li časový průběh počtu produktů radioaktivního rozpadu: počítáme částice detekované v nějakých časových intervalech, ale ty tvoří jen nepatrnou část částic v těchto intervalech vzniklých při rozpadu radioaktivních jader zdroje. 10.3 Náhodná veličina se spojitým rozdělením Náhodná veličina X, která nabývá všech reálných hodnot x z intervalu [xm, xM ] má (spojité) rozdělení dané funkcí w(x) na tomto intervalu s vlastnostmi w M (x)>0 xm x = ^Jab a v druhém případě pro poloměr koule 4 4 3 i- V-— Ttabc-— 71 x => x-yjabc 3 3 y V obou případech se jedná o tzv. geometrický průměr. Pro obecný počet n hodnot máme následující výrazy pro výpočet průměru: aritmetický průměr geometrický průměr harmonický průměr {x)a W=i~^r—r ■+—+•••+■ x„ Platí nerovnost {*)Mx)MX)n Pro n= 2 je to hned vidět (napišme nerovnosti pro druhé mocniny průměrů) (*)!-(*)* ^Xx+^ >xxx2 <= ^(xl + x2)2-xlx2=(xl-x2)2>0 I \ 2 ^ / \2 ^ 4- X, X2 [X, + -^2/^22 \X)g^\X)h *= X^ 2 + ~ , 2 <= XlX2^—^->XlX2 10.5 Přechod od Bernoulliova ke Gaussovu rozdělení Bernoulliovo rozdělení je n\ Xj=j , P j = .,, ' , 0 < ^ < 1 , 7=0,1,...,« Logaritmus pravděpodobnosti je ln(/?.) = ln(n!)-ln(j!)-ln([n-j]!) + jln(^) + (n-j)ln(l-^) Stejně jako při přechodu kPoissonovu rozdělení předpokládáme n—>°°, ale teď budeme předpokládat, že počet zdarů a nezdarů se nebude příliš lišit, tj. také j a «-_/ jsou velká čísla. k Základem pro výpočet bude přibližné vyjádření ln(£!) = ^ln(r) (logaritmus součinu je T = \ roven součtu logaritmů součinitelů) pro velké hodnoty k. Protože logaritmus je monotónně rostoucí funkce, můžeme napsat nerovnost, kdy integrál z logaritmu na intervalu jednotkové délky je větší než hodnota logaritmu ve spodní mezi a menší než hodnota logaritmu v horní mezi Jln(