Radiologická fyzika
rovnice a funkce
neznámé a proměnné
řešení a grafy
podzim 2009, čtvrtá přednáška

Rovnice, neznámé, řešení
aneb
neznámé se schovávají v rovnicích,                  ale my je odhalíme

Zlý sen vrchní sestry
aneb
k čemu jsou zdravotnickému personálu rovnice
V jedné nejmenované nemocnici byli zvyklí na dodávku ampulí
s lékem, který se přidával do infuzí. Ampule měly vždy objem V a koncentrace účinné látky v ní byla
p% objemových. Personál měl    příkaz vrchní sestry dávat do infuze o výsledném objemu W vždy jednu
ampuli léku.
Jednou dodala lék jiná firma a ampule měly objem dvojnásobný, tj. 2V, koncentrace účinné látky byla
také dvojnásobná. Vrchní sestra přikázala dávat do infuzí polovinu obsahu ampule.
Co myslíte, je to správný příkaz??

Řešení úlohy
Označení: objemy v cm3 (ml)
W … objem infuze
V  … objem ampule první firmy
p   … koncentrace účinné látky v objemových procentech
W… výsledný objem v obou případech
Objem účinné látky
Předepsaná koncentrace
účinné látky v infuzi
Koncentrace účinné látky
podle nového příkazu
Závěr: Snad nebyla dvojnásobná dávka smrtelná.

Řešení úlohy názorně
W-V
W-V
W
W
V
V
 V  V

Obecnější úloha
Předpokládejme, že druhá firma dodala ampule o objemu Ω = 20 ml s koncentrací účinné látky π = 50 %
(objemových). Do jakého objemu základu infuze mají sestry vmíchat jednu ampuli, aby dosáhly
předepsané koncentrace q = 5 % ?
x  … objem základu infuze (místo objemu W – V z předchozí úlohy)
Objem účinné látky v ampuli
Rovnice pro x
lineární rovnice
o neznámé x
řešení
ml

Ještě doplnění
Jaká část objemu ampule bude v infuzi, jejíž výsledný objem je předepsán jako W ? Jaký výsledek
očekáváte pro W = 200 ml?
y … část objemu ampule v infuzi o předepsaném objemu W
Objem účinné látky v infuzi
Rovnice pro y
lineární rovnice
o neznámé y
řešení

Složitější úloha
    Do infuze o celkovém objemu W  = 200 ml se přidávají dvě účinné látky. První z nich je v
ampulích o objemu V1 = 20 ml v koncentraci p1 = 30 %  (objemových), druhá v ampulích o objemu  V2
= 40 ml v koncentraci p2 = 50 %. Výsledná koncentrace obou účinných látek v  infuzi má být q = 15 %
         a poměr jejich koncentrací q1 / q2 = p = 0,5 (jedna ku dvěma).
(1) Kolik ml roztoku 1 a kolik ml roztoku 2 je třeba dát do infuze ?
(2) Kolik infuzí připravíme, máme-li k dispozici a = 20 ampulí
      roztoku 1 a b = 15 ampulí roztoku 2 ?
      Část (1) spočteme nyní, část (2) snadno dokončíte sami.

Řešení složitější úlohy – sestavení rovnic
x … hledaný objem roztoku 1 (první neznámá)
y … hledaný objem roztoku 2 (druhá neznámá)
U1 … objem účinné látky 1 v objemu x
U2 … objem účinné látky 2 v objemu y
koncentrace
q1 … látky 1 v infuzi
q2 … látky 2 v infuzi
soustava lineárních rovnic
o dvou neznámých x, y

Řešení složitější úlohy – řešení rovnic
výchozí rovnice
odečtení druhé rovnice od první
dosazení y do kterékoli z výchozích rovnic – x vyjde stejně
získaná dvojice  x=33 ml, y = 40 ml  je řešením soustavy
I ve zdravotnictví někdy třeba řešit rovnice, hlavně lineární.

Řešení soustavy více lineárních rovnic
snadno a rychle
soustava m lineárních rovnic                  matice soustavy
o n neznámých                                        rozšířená matice soustavy
aij, bi, 1 ≤ i  ≤ m, 1 ≤ j ≤ n … koeficienty (známá čísla)
(x1,  x2, …, xn) … neznámé
všechny n-tice, které vyhovují rovnicím, tvoří řešení soustavy rovnic

Ekvivalentní úpravy
ekvivalentní úpravy soustavy rovnic
jsou ty, které nemění její řešení
(1) násobení libovolné rovnice nenulovým číslem
(2) přičtení k-násobku libovolné rovnice k jiné libovolné rovnici
ekvivalentní úpravy matice soustavy
co provádíme s rovnicemi, provádíme s příslušnými řádky matice
(1) násobení všech prvků v libovolném řádku nenulovým číslem
(2) přičtení k-násobku prvků v libovolném řádku k jinému libovolnému řádku
(3)
poznámka: možnosti pro m a n … m = n … m < n … m > n

Případ m = n = 3 … příklad 1 … (I)
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2) první rovnici vynásobenou (–1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji)

Případ m = n = 3 … příklad 1 … (II)
další úpravy
(3) druhou rovnici násobíme 1/5 (tj. dělíme ji 5)
(4) druhou rovnici (po předchozí úpravě) přičteme k třetí rovnici
ekvivalentní soustava rovnic (která má stejné řešení jako původní)
řešení najdeme dosazováním „odzadu“
jediné řešení … x = 1, y = 2, z = –1 Proveďte zkoušku, prosím !
A ještě se podívejte na matici – je ve schodovitém tvaru.
Matice z koeficientů levých stran má stejně schodů jako celá
matice (braná i se sloupcem pravých stran).

Případ m = n = 3 … příklad 2 … (I)
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2) první rovnici vynásobenou 3 přičteme k třetí

Případ m = n = 3 … příklad 2 … (II)
další úpravy
(3) druhou rovnici násobíme 1/5 (tj. dělíme ji 5)
(4) třetí rovnici násobíme 1/10 (tj. dělíme ji 10)
(5) druhou rovnici vynásobenou (–1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji)
ekvivalentní soustava rovnic (která má stejné řešení jako původní)
řešení najdeme dosazováním „odzadu“
                                                                        jedna volná
neznámá
nekonečně mnoho řešení … x = –z,  y = 1 – z,  z je libovolné
Proveďte zkoušku! Matice jsou opět ve schodovitém tvaru.
Matice mají shodný počet schodů, ale o jeden menší než počet neznámých.

Případ m = n = 3 … příklad 3 … (I)
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2) první rovnici přičteme k třetí

Případ m = n = 3 … příklad 1 … (II)
další úpravy
(3) druhou rovnici vynásobenou (–1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji)
(4) Druhou rovnici násobíme 1/5 (tj. dělíme ji 5)
ekvivalentní soustava rovnic (která má stejné řešení jako původní)
řešení najdeme dosazováním „odzadu“
žádné řešení … poslední rovnici nelze splnit
Matice jsou zase ve schodovitém tvaru. Ale:
Matice koeficientů levých stran má méně schodů než celá matice.

Případ m < n … příklad 1
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2) upravenou druhou rovnici vynásobíme 1/5 (tj. vydělíme 5)
(3)
(3)
                                                                   jedna volná neznámá
nekonečně mnoho řešení … x = –z,  y = 1 – z,  z je libovolné
Matice jsou opět ve schodovitém tvaru.
Matice mají shodný počet schodů, ale o jeden menší než počet neznámých.

Případ m < n … příklad 2
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2)
(2)
žádné řešení … druhou rovnici nelze splnit
Matice jsou opět ve schodovitém tvaru.
Matice koeficientů levých stran má méně schodů než celá matice.

Případ m > n … příklad 1 … (I)
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2) první rovnici vynásobenou (–1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji)
(3) první rovnici přičteme ke třetí

Případ m > n … příklad 1 … (II)
další úpravy
(3) druhou rovnici vynásobíme 1/5 (tj. vydělíme 5)
(4) upravenou druhou rovnici přičteme k třetí rovnici
(5) upravenou druhou rovnici vynásobenou (–4) přičteme k třetí
(6) upravenou třetí rovnici odečteme od čtvrté
Dokončete a charakterizujte řešení. Popište schodovitý tvar
obou matic.

Případ m > n … příklad 2 … (I)
úpravy
(1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé
(2) první rovnici přičteme k třetí
(3) první rovnici vynásobenou (–3) přičteme ke čtvrté

Případ m > n … příklad 2 … (II)
Úpravy rovnic, které vedly ke schodovitému tvaru matic popište.
nekonečně mnoho řešení
x = – z, y = 1 – z, z libovolné (volná neznámá)
Počet schodů obou matic je stejný a roven 2, o jeden menší
než počet neznámých.

Případ m > n … příklad 3 … (I)
Popište úpravy a získejte ekvivalentní soustavu ve tvaru
nekonečně mnoho řešení x = 2 – 2y – 3z, y a z libovolné
dvě volné neznámé – počet schodů matic je shodný a o dvě menší
než počet neznámých

Obecné závěry
Gaussova eliminační („likvidační“) metoda
právě předvedený způsob řešení soustavy rovnic převodem matice a rozšířené matice (o sloupec
pravých stran) na schodovitý tvar
hodnost matice
počet nenulových řádků jejího schodovitého tvaru
soustava lineárních rovnic
h(A), h(B) … hodnosti matice a rozšířené matice soustavy
řešitelnost soustavy m rovnic o n neznámých ó h(A) = h(B) = h (schodovité tvary matic mají stejně
schodů)
počet volných neznámých … d = n – h
jediné řešení ó d = 0, tj. h = n

Úlohy na rovnice
Úloha 1. Proveďte rozbor řešitelnosti a počtu řešení soustavy m lineárních rovnic o n neznámých,
jsou-li všechny pravé strany nulové. Zdůvodněte, proč má vždy řešení a jaké.
Úloha 2.                                         Úloha 3.

Úloha 5. Vymyslete soustavu tří rovnic o dvou neznámých, která má právě jedno řešení.

Úloha 4. Vymyslete soustavu tří
rovnic o třech neznámých, která
nemá řešení.

Funkce, proměnné, grafy
aneb
podnět, odezva a jejich znázornění

Dokonalé smysly
a jak to souvisí s funkcemi
„Kdyby náš sluch, zrak, čich, hmat a chuť reagovaly úměrně  intenzitě působících podnětů, čili
lineárně, nebylo by možné obsáhnout tak velký rozsah jejich intenzity, s nimiž se setkáváme.
Například bychom dobře viděli doma při práci, ale navečer by pro nás byla úplná tma. Naopak za
slunného dne bychom oslepli. Každé čidlo je totiž nejcitlivější při určité dopadající intenzitě.
Při nepatrných intenzitách nereaguje, naopak příliš velké intenzity jej zahltí nebo i zničí.“
„Je umožněno vnímání v obrovském rozsahu, ale je i zachována výborná rozlišovací schopnost
relativních změn. Např. změní-li se intenzita nějakého pole z hodnoty 1000 na 10 000, vnímáme tuto
změnu stejně dobře jako např. z hodnoty 0,1 na 1. Je to výborně zařízeno.“
Ale jak je to zařízeno?
Smysly umí převádět násobení na sečítání – vnímají logaritmicky.

Naše smysly
•sluch … Tím, že ucho vnímá logaritmicky, je schopno pojmout
•obrovský rozsah intenzit. Obdobně jsou na tom ostatní smysly.
•
•zrak ... Oko je schopné vnímat bodový zdroj, ze kterého dopadají
•desítky fotonů za sekundu, výjimečně i jen několik za sekundu.
•
•čich …  Zředění čichově rozeznatelných látek může dosahovat
•hodnot jedna ku miliardě, i vyšší. Taková ohromná citlivost není
•často možná ani s použitím nejlepší techniky.
•
•chuť … Citlivost je podobná jako u čichu, navíc čich pomáhá k
•lepšímu rozlišení.

Co jsou to decibely
aneb
uši umí logaritmovat
Kavárna byla prázdná, jen někde v rohu tiše hrál houslista a kousek opodál prováděl asistent
hygienika měření hlučnosti prostředí. Naměřil 30 decibelů. Přicházeli lidé, usedali ke kávě a
hovořili.  Měření ukázalo 50 decibelů. Začala diskotéka, hudba sílila, a naráz bylo 100 decibelů.
Zaburácel hrom – 120 decibelů.
Co to znamená? Znamená to, že zvuk diskotéky je dvakrát intenzivnější než hovor v kavárně?
K odpovědi na tuto a podobné otázky potřebujeme samozřejmě definici intenzity, definici hlasitosti
a také vědět něco o matematických závislostech – funkcích.

intenzita zvuku
                      energie zvukového vlnění, která projde plochou 1m2  za dobu 1s
jednotky … J m-2s-1 = W m-2
akustický tlak … p, I ~ p2
práh slyšení … I0 = 10-12 W m-2, p0 = 2 10-5 Pa
práh bolesti … IB = 10 W m-2
rozsah intenzit … 13 řádů
Aritmetické a geometrické narůstání
intenzita zvuku
1m2 … I = P/4πR2

Aritmetické a geometrické narůstání
hladina intenzity zvuku (hlasitost) (I)
Weberův – Fechnerův zákon
narůstá-li intenzita řadou geometrickou, narůstá subjektivní
sluchový vjem řadou aritmetickou
vzroste-li intenzita desetkrát, vzroste hladina intenzity, vyjadřující
sluchový vjem, o 1 B (bel)
vzroste-li intenzita stokrát, vzroste hladina intenzity, vyjadřující
sluchový vjem, o 2 B
vzroste-li intenzita 10n - krát, vzroste hladina intenzity, vyjadřující
sluchový vjem, o n B

Aritmetické a geometrické narůstání
hladina intenzity zvuku (hlasitost) (II)
stupnice intenzity a hladiny intenzity

10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
0   1    2    3   4    5    6   7    8    9   10  11  12  13
intenzita W m-2
hlasitost B
10-11
10-9
10-7
10-5
10-3
10-1
101
jednotka hlasitosti L … 1 decibel

Závislost hlasitosti na intenzitě
logaritmicke_funkce_dekadicky
~I/I0
L [dB]
[×10]

Závislost hlasitosti na intenzitě
celý rozsah
logaritmus logaritmus-1

S I T U A C E
L [dB]
I [W m-2 ]
p [Pa]
práh slyšitelnosti
    0
   10-12
0,000 02
šepot, šelest listí
  10
   10-11
0,000 065
tichá zahrada
  20
   10-10
0,000 2
housle – pianissimo
  30
  10-9
0,000 65
kroky, tichá hudba
  40
  10-8
0,002
hluk v kavárně
  50
  10-7
0,006 5
hluk v obchodě
  60
  10-6
0,02
hluk automobilu
  70
  10-5
0,064 5
kancelář s psacími stroji
  80
  10-4
0,204
rušná ulice, klakson auta
  90
  10-3
0,645
orchestr fortissimo, siréna
  100
  10-2
2,04
sbíječka
  110
  10-1
6,45
tryskový motor, hrom
  120
  1
20,4
práh bolesti
  130
10
64,5

Citlivost ucha k frekvencím
graf1
W m-2

Jak se tlumí záření
aneb
potřebuje funkce také radiologický asistent?
Tento příběh se stal při jedné exkurzi skupiny studentů lékařské fyziky na velmi dobře vybavené
rentgenové pracoviště. Vedoucí radiologický asistent se studentům velice ochotně věnoval, ukazoval
jim funkci přístrojů a zabýval se také problematikou ochrany před zářením.
Ujišťoval studenty, že se personálu nemůže nic stát, neboť obsluhuje přístroj zpoza dveří se
zabudovanou olověnou deskou, přičemž rentgenové záření se v desce tlumí „úměrně čtverci její
tloušťky“. Studenti fyziky se poněkud rozpačitě usmívali.
Víte proč? Báli se ozáření nebo byl důvod jiný?

Jak by mělo vypadat tlumení intenzity                „se čtvercem tloušťky“ ?
x
0
I0
I(x)
kvad1 kvadrat1
I(x)=10 I0
I(x)= I0
x
x
Pb,  ρ = 11 800 kg m-3
          m = 23,6 t
A co teprve zástěra ?
1 m
dveře 2x1x1 m

A jak to je doopravdy ?
•
•
               0 1 2  …   n
stejně tlusté vrstvy, tloušťka d
I0
In
expo
x [mm]
I/I0
lineární koeficient absorpce
               μ= 1,18 mm-1
pro λ = 6.10-3 nm (E = 0,2 MeV)
Ke snížení intenzity na polovinu stačí ani ne milimetr silná deska.
Hmotnost olověné výplně dveří 1 mm x 1 m x 2 m je asi m= 23,6 kg.

Srovnání absorpce materiálů – čísla
http://www.eamos.cz/amos/kbf/externi/kbf_0252/ra-rozpad_absorpce.ppt
Eγ [MeV]
μ [cm-1]
d1/2 [mm]
Pb (Z=82)
Fe (Z=26)
Al (Z=13)
Pb (Z=82)
Fe (Z=26)
Al (Z=13)
   0,15
24,4
1,58
0,362
0,28
4,39
19,15
   0,175
15,4
1,27
0,336
0,45
5,44
20,63
   0,2
11,8
1,13
0,323
0,59
6,13
21,46
   0,25
6,58
0,94
0,296
1,05
7,37
23,42
   0,3
4,76
0,85
0,278
1,46
8,15
24,93
   0,5
1,72
0,66
0,228
4,03
10,50
30,40
   1,0
0,79
0,47
0,166
8,77
14,75
41,76
   2,0
0,51
0,43
0,117
13,59
21,00
59,24
   5,0
0,49
0,25
0,075
14,15
27,73
92,42
 10,0
0,60
0,23
0,062
11,55
30,14
111,8

Srovnání absorpce materiálů – grafy
absorpce
Pb
Fe
Al
Význam hodnoty d1/2
(polovrstva):
Pro x = d1/2 klesne hodnota
intenzity záření na polovinu
původní hodnoty.
E = 0,2 MeV

Co jsou to funkce ?
Reálná funkce jedné reálné proměnné
ucho
podnět – zvuková vlna
odezva – do mozku (vjem)
nezávisle proměnná
( x … intenzita zvuku)
závisle proměnná
( y … hlasitost, y = f (x))
funkční předpis
f

Obory funkce
•Definiční obor funkce Df
•soubor přípustných hodnot nezávisle proměnné x
•Příklad: x=I (intenzita slyšitelného zvuku), Df = [10-12, 10] [W m-2]
•Obor hodnot funkce Hf
•soubor hodnot, kterých nabývá závisle proměnná y, když x
•proběhne celý definiční obor. Každému x se přiřadí právě jedno y.
•Příklad: y = L (hlasitost), Hf = [0, 130] [dB]
•Graf funkce Gf
•soubor dvojic [x,y], kde y= f(x), většinou znázorněný v rovině x-y
•
•Úkol: Zamyslete se nad tím, jaký asi je Df  a Hf  pro funkci popisující  závislost
•intenzity záření na  tloušťce materiálu, jímž záření prošlo. Vezměte v úvahu, že
•některé veličiny mohou nabývat (z matematického hlediska) i libovolně velkých
•(malých) hodnot, i když se tyto hodnoty nedají prakticky realizovat.
!!

Způsoby zadání funkce
•Funkce je pravidlo, které každé hodnotě x z Df přiřadí právě
•jedno y = f (x). Je zadána vždy spolu s definičním oborem.
•Definiční obor buď zadáme přímo, nebo jej určíme z funkčního
•předpisu tak, aby všechny operace v předpisu měly smysl.
•Obor hodnot je pak již jednoznačně určen zadáním funkce.
•
zadání předpisem
zadání tabulkou
zadání grafem
jen některé hodnoty
x
y=f(x)
 – 1,00
  0,00
 – 0,50
  0,87
    0,00
  1,00
    0,50
  0,87
    1,00
  0,00
odmocnina
Df
Hf
Gf
Pro x mimo Df  nemá odmocnina smysl.

Vsuvka – funkce několika proměnných – I
Reálná skalární funkce více reálných proměnných
nezávisle proměnné x,y,z …
(třeba souřadnice)
závisle proměnná w
(třeba hustota, w = f (x,y,z))
funkční předpis
f
(x,y,z)
w = f (x,y,z))
Reálná vektorová funkce několika reálných proměnných
Například indukce magnetického pole Země v závislosti na poloze

Vsuvka – funkce několika proměnných – II
•Příklad funkce dvou proměnných
•hustota tkáně v pomyslném řezu tělem (zviditelněná zobrazením CT)
•
klobouk
x
y
x
y
barva odpovídá jistému
rozmezí funkčních hodnot w,
tj. hodnot hustoty tkáně
(x,y) … souřadnice
v rovině řezu tělem

Vsuvka – funkce několika proměnných – III
•skutečný rentgenový počítačový tomogram
tomogram břišní
dutiny
místo barvy jsou
hodnoty hustoty
odstupňovány
odstíny šedi

Divné funkce - příklady
•(1)                                                      1 … pro x racionální
•Df = [0,1] … f : x → y = f (x) =
•Hf = {0, 1}                                         0 … pro x iracionální
•(2)
•Df = [1,2,3,…] … f : xi → yi = f (xi) … posloupnost
•Hf = {y1, y2 ,  y3, … }
•(3)
•Df = R \ {1, 2} … f : xi → yi = f (xi) =
•Hf = R \ {5, 7}
•
•Některé funkce nemají hladké nebo spojité grafy, nebo je ani
•graficky znázornit nelze. Ale těmi se zatím zabývat nebudeme.

Základní vlastnosti funkcí – I
• Monotonie na intervalu – A
monotonie
funkce na intervalu [a,b]
rostoucí
pro všechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]
platí f (x1)  <  f (x2)
klesající
pro všechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]
platí f (x1)  >  f (x2)
neklesající
pro všechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]
platí f (x1)  ≤  f (x2)
nerostoucí
pro všechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]
platí f (x1)  ≥  f (x2)
klesající           rostoucí
[ a, b ] = [– 1, 2]

Základní vlastnosti funkcí – II
•Monotonie na intervalu – B
parabola odmocnina-1
Úkol: Určete největší možné definiční obory a obory hodnot znázorněných funkcí
a intervaly, na kterých jsou tyto funkce rostoucí, resp. klesající.

Základní vlastnosti funkcí – III
• Symetrie
funkce na intervalu [– a, a ],
(resp. oboru, který spolu s každou
hodnotou x obsahuje také  – x)
sudá
pro všechny hodnoty x z [– a,a]
platí f (x)  =  f (–x)
lichá
pro všechny hodnoty x  z [– a,a]
platí f (x)  = – f (–x)
na obrázku … cos x (sudá na [– π, π])
                        sin x (lichá na [– π, π])
[– a, a ] = [– π, π]
sin-cos
sudá                    lichá
Úkol: Na kterých intervalech z obrázku (a určete to i obecně) jsou funkce cos x a sin x
rostoucí, resp. klesající? Jsou tyto funkce rostoucí či klesající na celém  [– π,π]?

Základní vlastnosti funkcí – IV
• Periodicita
funkce na oboru D, který spolu s
každou hodnotou x obsahuje také
x + p, p > 0 … perioda
periodická
pro všechny hodnoty x ä D
platí f (x)  =  f (x + p)
na obrázku … tan x, cotan x
(periodické na R s periodou p = π)
Úkol: Na kterých intervalech jsou  tan x a cotan x rostoucí, resp. klesající? Na kterých
intervalech jsou sudé, resp. liché? Jsou sin x a cos x periodické? S jakou periodou?
tan-cot
     tan x      cotan x
-π
π
0
x
y

Základní vlastnosti funkcí – V
• Konvexnost - konkávnost
funkce na intervalu [a, b]
konvexní
pro všechny hodnoty x1, x2  z [a, b]
leží graf funkce mezi body [x1, f(x1)]
a [x2, f(x2)] pod jejich přímou spojnicí
konkávní
pro všechny hodnoty x1, x2  z [a, b]
leží graf funkce mezi body [x1, f(x1)]
a [x2, f(x2)] nad jejich přímou spojnicí
na obrázku …
[ a, b ] = [ – 2, 2]
Úkol: U všech předchozích grafů rozhodněte, na kterých intervalech jsou znázorněné funkce konvexní,
resp. konkávní.
y
konvex
konvexní
konkávní

Základní vlastnosti funkcí – VI
•„Komplexnější“ úloha
Úkol: Určete největší možný definiční obor a obor hodnot znázorněné funkce,
a intervaly v [ a, b ] , na kterých je rostoucí, resp. klesající, sudá, resp. lichá,
konvexní, resp. konkávní. Je tato funkce periodická ?
uloha
Funkce je zadána na
intervalu [ a, b ] předpisem

Elementární funkce - I
•Polynomy (stupně n s reálnými koeficienty)
•
•
•n = 1 … lineární funkce   y = ax+b
•n = 2 … kvadratická funkce  y = ax2 + bx + c
•
lin para poly
y = 4x + 1                             y = – 4x2 + 2x + 3               y = 2x5 + 3x3 – 2x + 1

Elementární funkce - II
•Racionální lomené funkce
•
•
•
•n = 0, m = 1 … nepřímá úměra   y = a (x – c)–1
•
hyp hyp2
(1)
(2)

Elementární funkce – III
•Goniometrické funkce … sin x, cos x, tan x, cotan x
•Připomeňte si dosud uvedené vlastnosti těchto funkcí.
•Goniometrické funkce obecného lineárního argumentu A = ax+b
•
kosin kos2 kos

Elementární funkce - IV
•Exponenciální a logaritmické funkce
•Umocnění pevného základu na hodnotu x a inverzní operace
•
log exp logexp
y = 1
x = 1

Radiologická fyzika
základy diferenciálního počtu
derivace a tečny, integrály a plochy
diferenciální rovnice
podzim 2009, pátá přednáška
Příště: