Užití l'Hospitalova pravidla
Robert Mařík a Lenka Přibylová
28. července 2006
Obsah
lim
x0
arcsin x
1 - ex
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
lim
x0
x - arctg x
x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
lim
x0
x - sin x
sin3
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Vypočtěte lim
x0
arcsin x
1 - ex
lim
x0
arcsin x
1 - ex
=
0
0
l'H
= lim
x0
1
1-x2
-ex
= -1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
arcsin x
1 - ex
lim
x0
arcsin x
1 - ex
=
0
0
l'H
= lim
x0
1
1-x2
-ex
= -1
Dosadíme. Protože arcsin0 = 0 a e0
= 1, dostáváme neurčitý
výraz.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
arcsin x
1 - ex
lim
x0
arcsin x
1 - ex
=
0
0
l'H
= lim
x0
1
1-x2
-ex
= -1
Použijeme l'Hospitalovo pravidlo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
arcsin x
1 - ex
lim
x0
arcsin x
1 - ex
=
0
0
l'H
= lim
x0
1
1-x2
-ex
= -1
Podle tohoto pravidla platí
lim
x0
arcsin x
1 - ex
= lim
x0
(arcsin x)
(1 - ex)
,
pokud limita vpravo existuje (at'konečná nebo nekonečná).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
arcsin x
1 - ex
lim
x0
arcsin x
1 - ex
=
0
0
l'H
= lim
x0
1
1-x2
-ex
= -1
Dosazením dostáváme
lim
x0
1
1-0
-1
=
1
-1
= -1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte limitu lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
.
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
=


l'H
= lim
x0+
1
sin 2x cos 2x  2
1
sin x cos x
= lim
x0+
2cos2x
2sin xcos x
sin x
cos x
= 1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte limitu lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
.
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
=


l'H
= lim
x0+
1
sin 2x cos 2x  2
1
sin x cos x
= lim
x0+
2cos2x
2sin xcos x
sin x
cos x
= 1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte limitu lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
.
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
=


l'H
= lim
x0+
1
sin 2x cos 2x  2
1
sin x cos x
= lim
x0+
2cos2x
2sin xcos x
sin x
cos x
= 1
ˇ Protože sin 0 = 0 a v pravém okolí nuly má sin x kladné
hodnoty, je lim
x0+
ln sin x = .
ˇ Stejně jako ve jmenovateli vyjde i limita v čitateli. Výraz je
typu


.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte limitu lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
.
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
=


l'H
= lim
x0+
1
sin 2x cos 2x  2
1
sin x cos x
= lim
x0+
2cos2x
2sin xcos x
sin x
cos x
= 1
Použijeme l'Hospitalovo pravidlo a derivujeme zvlášt'čitatel a
zvlášt'jmenovatel jako složené funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte limitu lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
.
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
=


l'H
= lim
x0+
1
sin 2x cos 2x  2
1
sin x cos x
= lim
x0+
2cos2x
2sin xcos x
sin x
cos x
= 1
Výraz upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte limitu lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
.
lim
x0+
ln sin 2x
ln sin x
=


l'H
= lim
x0+
1
sin 2x cos 2x  2
1
sin x cos x
= lim
x0+
2cos2x
2sin xcos x
sin x
cos x
= 1
ˇ Zkrátíme sin x
ˇ Protože cos x a cos 2x jsou v nule spojité funkce a jsou v nule
rovny jedné, je možné použít větu o součinu limit a vynést je
před znak limity jako číslo 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
Dosadíme. Dostáváme
 ln 

=


.
Jedná se o neurčitý výraz.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
Použijeme l'Hospitalovo pravidlo. Při derivování dostáváme
lim
x
(x ln x)
(x2 + x + 1)
= lim
x
ln x + x1
x
2x + 1
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
Dosadíme. Dostáváme
ln  + 1

=


.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
Použijeme ještě jednou l'Hospitalovo pravidlo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x
x ln x
x2 + x + 1
lim
x
x ln x
x2 + x + 1
=


l'H
= lim
x
ln x + 1
2x + 1
=


l'H
= lim
x
1
x
2
= 0
Dosadíme. Dostáváme
1

2
=
0
2
= 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Find lim
x0
x - arctg x
x3
lim
x0
x - arctg x
x3
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 -
1
1 + x2
3x2
=
0
0
upr.
= lim
x0
1
3(1 + x2)
=
1
3
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Find lim
x0
x - arctg x
x3
lim
x0
x - arctg x
x3
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 -
1
1 + x2
3x2
=
0
0
upr.
= lim
x0
1
3(1 + x2)
=
1
3
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Find lim
x0
x - arctg x
x3
lim
x0
x - arctg x
x3
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 -
1
1 + x2
3x2
=
0
0
upr.
= lim
x0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Po dosazení dostáváme neurčitý výraz
0
0
. Připomeňme, že
arctg 0 = 0. Použijeme l'Hospitalovo pravidlo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Find lim
x0
x - arctg x
x3
lim
x0
x - arctg x
x3
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 -
1
1 + x2
3x2
=
0
0
upr.
= lim
x0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Dosadíme a dostáváme neurčitý výraz
0
0
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Find lim
x0
x - arctg x
x3
lim
x0
x - arctg x
x3
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 -
1
1 + x2
3x2
=
0
0
upr.
= lim
x0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Nejprve upravíme:
1 -
1
1 + x2
3x2
=
x2
1 + x2
3x2
=
x2
(1 + x2)3x2
=
1
3(1 + x2)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Find lim
x0
x - arctg x
x3
lim
x0
x - arctg x
x3
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 -
1
1 + x2
3x2
=
0
0
upr.
= lim
x0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Dosadíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
Dosadíme. Dostáváme
0 - sin 0
sin3
0
=
0
0
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
ˇ Užijeme l'Hospitalovo pravidlo.
ˇ Podle pravidla pro derivaci složené funkce platí
(sin3
(x))
= 3 sin2
x(sin x)
= 3 sin2
x cos x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
Dosadíme. Protože cos 0 = 1 a sin 0 = 0, dostáváme stále
0
0
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
Užijeme l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou. Ve jmenovateli
dostáváme
(3 sin2
x  cos x)
= 3.2 sinx cos x cos x + 3 sin2
x(- sin x)
(derivace součinu a derivace složené funkce).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
Dosadíme. Stále
0
0
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
Užijeme l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte lim
x0
x - sin x
sin3
x
lim
x0
x - sin x
sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
1 - cos x
3 sin2
x cos x
=
0
0
l'H
= lim
x0
sin x
6 sin x cos2 x - 3 sin3
x
=
0
0
l'H
= lim
x0
cos x
6 cos3 x - 6.2. sin2
x cos x - 9 sin2
x cos x
=
1
6
Dostáváme funkci, která je spojitá v x = 0. Dosazením dostáváme
definovaný výraz a máme výsledek.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×