Práce, výkon, energie. • • • • • • • Jiřina Škorpíková 2020 MECHANICKÁ PRÁCE •Pojmy práce a energie umožňuji značné zjednodušení formulace fyzikálních zákonů a popisu fyzikálních procesů. •Ve všech případech pohybu (výslednice F nulová nebo nenulová)můžeme hodnotit účinek kterékoliv síly pomocí veličiny práce dW = F . dr , • pomocí polohových vektorů W= integr F . dr •dW = F.dr = F.ds ṫ = F.ds cos α •Kde α úhel který svírá síla F a tečna k dráze • Definice plynou závěry: je-li α = 0, < 90°, = 90° , > 90° Dokažte , že práce tíhové sily (konzervativní) po uzavřené dráze se rovná nule. •Vypočítáme práci kterou vykoná tíha, působící na hmotný bod při přemístění z A do B. V prostoru je silové pole tíhy, které na h.bod působí silou G = -mgk, konstantní co do směru i velikosti. dW= G.dr. •W=integr. G.dr= mgzA – mgzB = mg(zA-zB) Práce je dána součinem velikosti síly a průmětu dráhy do směru síly. Nezávisí na tvaru dráhy mezi body AB, ale jen na poloze počátečního a koncového bodu –konzervativní síly (příklady?) • •Důkaz: na uzavřené dráze (elipsa) zvolíme bod 1,2, vymezují dráhu a,b. Dokažte , že práce tíhové sily (konzervativní) po uzavřené dráze se rovná nule. •Pro konzervativní síly platí W1-a-2 = W1-b-2 •Při změně směru pohybu změní práce znaménko •W1-b-2 = - W2-b-1 •Práce konzervativní síly po uzavřené dráze je •W1-a -2 + W2-b -1 = W1-a-2 - W1-b-2 = 0 • integrál F . dr = 0 •Silové pole , v němž práce nezávisí na tvaru dráhy se nazývá konzervativní ( např. ?) VÝKON •Fyzikální veličina výkon, vyjadřuje rychlost konání práce. •P = dW/dt / P / = J .s-1 = W (watt) •udává okamžitou hodnotu výkonu. •Pohybuje-li se bod působením F, pak elementární práce dW = F.dr, • Výkon vyjádřit P = dW/dt = F.dr/dr = F . v •Je-li výkon stálý W = P.t •Jednotky práce vyjádřené v jednotkách výkonu a času 1 Ws = 1 J, •1 Wh = 3600 J = 3,6 kJ , 1 kWh = 3,6 MJ Mechanická energie -je skalární fyzikální veličina, která charakterizuje stav soustav těles. •Její přírůstek je roven práci, vykonané vnějšími silami, které působí na soustavu. dE = E2 – E1 = W ext, dE = dWext = Fext . dr, určuje pouze rozdíl dvou energií, který je dán prací vnějších sil. •Chceme-li určit energii samotnou, musíme zvolit určitý stav základní a přiřadit mu určitou energii E0. Energie libovolného stavu soustavy •E = E0 + Wext •V případě , že práce vnějších sil působících na těleso je nulová je celková energie konstantní - zákon zachování mechanické energie. Příklad – na hmotný bod působí vnitřní a vnější síly . •Výsledná síla je F = Fint + F ext , Fext = F – Fint •jestliže rovnici násobíme skalárně vektorem dr a integrujeme: •Integrál Fext. dr = intgr. F. dr + integr. – Fint. dr • = přírůstek Ek + přírůstek potenciální Ep •Ek hmotného bodu se tedy rovná práci kterou vykoná výslednice sil působící na hmotný bodm, aby byl hm.bod uveden se stavu klidu do pohybu. W = Ek = 1/2mv2 •Práce vnitřních sil se projeví úbytkem potenciální energie -Ep =Fint.dr •( Fint se vyskytují pouze v soustavě těles – mluvíme o Ep soustavy Příklady potenciální energie v poli Zákon zachování mechanické energie -v homogenním poli Fint = G, G.dr = -mgds Ep = mgz -V poli pružné síly ( např.kulička na pružině) Fint = -kxi , -Ep = -kxi . dr •integrací dostaneme ….. Ep = ½ kx2 •Zákon zachování mechanické energie dE= dEk + dEp = d(Ek+Ep). •E = Ek + Ep . Je-li práce vnějších sil nulová je dE = 0 a celková mechanická energie je konstantní Ek1+Wp1= Ek2+Ep1=konst. •Celková energie soustavy, ať v ní probíhají jakékoliv děje, je konstantní. Různé její formy však mohou uvnitř soustavy přecházet jedna •v druhou. Zákon zachování mechanické energie platí pouze v konzervativním poli. Dynamika soustavy hmotných bodů •Charakteristika soustavy a pojmy umožňující formulovat zákony pro pohyb soustavy jako celku. •Celková hmotnost soustavy •Vektor celkové hybnosti soustavy •Otáčivý účinek síly vzhledem k libovolnému bodu 0 – moment síly • M = r x F, M = F r sin α = F p ( p je kolmá vzdálenost přímky F od bodu 0 – rameno síly). M=0 když a = 0. •Směr M je totožný se směrem osy jdoucí bodem 0 kolmo k rovině určené F a r . •Moment výsledné síly je roven součtu momentů jednotlivých složek Síly vnitřní a vnější •O tom je-li určitá síla silou vnější nebo vnitřní rozhoduje její vztah k soustavě bodů. •Soustava se skládá se 3 bodů – 3.N.z. F12 = - F21 , • F12 + F21= 0, F23 + F32 =0, F13 + F32 = 0 • Součet všech vnitřních sil soustavy hmotných bodů je roven nula. •M1 +M2 = r1xF12 + r2x (- F12)=r1 x F12 – r2 x F12= (r1 –r2 )x F12=0 •Výsledný moment všech vnitřních sil soustavy vzhledem k libovolnému bodu v prostoru je nulový První impulsová věta. Hmotný střed soustavy •Pohybová rovnice pro i-tý člen soustavy dpi/dt =Fi, Fi= Fi,ext + F i,int •{ Fi,int = 0 { dpi/dt= d/dt { pi = dp/dt dp/dt = Fex •Časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výsledné vnější síle. •Těžiště je bod, ve kterém působí celková tíha soustavy. Jeho poloha se určí –M vzhledem k libovolnému bodu se rovná součtu momentů všech sožek k témuž bodu. • polohový vektor r0= {miri/m Druhá impulsová věta •Zavádíme míru otáčivého pohybu tělesa – moment hybnosti /točivost/. •b = r x mv , kde r polohový vektor hm. bodu vzhledem k bodu 0. •db/dt = dr/dt x mv + r x mdv/dt vektory dr/dt a v jsou rovnoběžné = 0 • r x ma = r x F = M •db/dt = M Mi = Mi,ext + Mi,int . { Mi,int = 0 , { Mi,ext= Mi,ext • db/dt = Mext •Časová změna momentu hybnosti soustavy hmotnných boidů vzhledem k libovolnému bodu je rovna výslednému momentu vnějších sil vzhledem k témuž bodu Výsledky plynoucí z 1. a 2. impulsové věty •Na soustavu nepůsobí vnější síla nebo výslednice Fext=0 a Mext=0 pak takovou soustavu nazýváme je izolovanou. •Zákon zachování hybnosti •Zákon zachování momentu hybnosti •Oba uvedené zákony platí nezávisle během pohybu •( př. mrštíme-li nějakou tyčí). Pohyb tuhého tělesa •Posuvný (translační) pohyb – všechny body tělesa opisují stejné dráhy, mají stejnou rychlost a stejné zrychlení. •Otáčivý (rotační) pohyb kolem osy - body na ose rotace jsou v klidu, ostatní body tělesa opisují kružnice se středy na ose rotace.Roviny těchto kružnic jsou kolmé na osu rotace – všechny body mají sstejnou úhlovou rychlost a stejné úhlové zrychlení. •Kinetická energie hmotného bodu Ek = ½ mivi2 •Těleso koná pouze posuvný pohyb Ek = { ½ mivi2 = v2/2{ mi = ½ mv2 •Těleso se otáčí kolem pevné osy Pohyb tuhého tělesa •Těleso se otáčí kolem pevné osy - úhlová rychlost je stejná, vi = riʊ •Ek = { ½ mivi2 = { ½ miri2 ʊ2 =ʊ 2/2 { miri2 • { miri2 = J Ek = ½ J ʊ2 •Těleso koná posuvný i otáčivý pohyb • Ek = ½ mv2 + ½ J0 ʊ2 J0- moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm •Steinerova věta J = J0 + ma2 •Moment setrvačnosti tělesa k libovolné ose se rovná momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose, procházejíc těžištěm, zvětšeném o součin hmotnosti tělesa a čtverce vzdálenosti obou os. Pohybová rovnice pro rotaci tělesa kolem pevné osy •Součin momentu setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace a úhlového zrychlení se rovná momentu všech vnějších sil vzhledem k pevné ose rotace J ɛ = M -je-li M=0 je ɛ =0 ʊ = konst. , těleso se otáčí konstantní úhlovou rychlostí nebo je v klidu -je-li M = konst. Je ɛ = konst. ʊ = ʊ0 + ɛt = ʊ + M/J otáčivý pohyb je rovnoměrně proměnný J ɛ = M • Je-li M=0 J ʊ = konst. (J1ʊ1 = Jʊ2). •Zákon zachování momentu hybnosti rotujícího tělesa. Při změně momentu setrvačnosti tělesa se mění úhlová rychlost tak, že moment hybnosti tělesa zůstává konstantní. Příklady -práce, výkon, mechanická energie •Sáně jedou z kopce po dráze s1 rovnoměrně zrychleně a pod svahem po vodorovné dráze s2 rovnoměrně zpožděně, než zastaví. Určete součinitel tření, známe-li s1, s2 a úhel sklonu α. Řešení •Pohyb rovnoměrně zrychlený platí (v0 =0) •v= at s = ½ at2 , • t= v/a, s= 1/2a v2/a2 = v2/2a •Rychlost saní na konci svahu po uražení s1 v= odm. 2as1 •Pro průměty sil do zvolených os x/ G sin α - Ft =ma •Y/ N – G cos α = 0 upravit a = g sin α – kg cos α • v = odm 2s1 g (sin α– k cos α) Ft = kN • •Energie na konci svahu Ek = ½ mv2 po zastavení v rovině je Ek =0. Úbytek Ek = práci vykonanou Ft na dráze s2. •Platí ½ mv2 = Fts2 Ft = kN = kG= k mg •1/2mv2 = k mg s2 dosazením za rychlost v dostaneme •½ 2s1g(sin α– k cos α ) = k g s2 •s1 sin α - k s1 cos α =k s2 • k = s1 sin α /s2 + s1 cos α • Příklad •Letadlo se rozjíždí po zemi a pohybuje se rovnoměrně zrychleně. Od země se odpoutá při rychlosti v = 108 km/h. Této rychlosti dosáhne za dobu t=20s. • Určete: •A) výkon motoru letadla v okamžiku vzletu •B) průměrný výkon motoru během pohybu po zemi. •Hmotnost letadla m =1960 kg, součinitel tření k= 0,05 Řešení •Okamžitý výkon P= F.v . Je-li mezi vektory F,v úhel α=0, platí P= F.v •Tažnou silou motoru F určíme s 2. pohybového zákonu F – Ft = ma, • kde síla tření Ft = k mg . Platí tedy F = m( k g +a) •Zrychlení letadla v tomto případě (a= konst) je a= v/t. •Okamžitý výkon je P= mv (k g +v/t) = 17,6. 10 4 W •Průměrný výkon je určen podílem vykonané práce a k tomu potřebného času. P= W/t = F.s/t = F.a.t2/2t = F.a.t/2 =1/2F.v = F.v = •= 8,8. 10 4 W Příklad •Po hladké vodorovné rovině se pohybují dvě tělesa, spojená nití. Na těleso hmotnosti m1 působí síla F1, na těleso hmotnosti m2 působí síla F2. Určete zrychlení těles a sílu, kterou je napínaná nit. • •( 2 bedničky spojené nití na podlaze, nákres osa x – podlaha, kolmo na ose x osa y). Kontrola z minulé hodiny •Lyžař sjíždí se svahu, který má sklon 30 stupňů. Odpor vzduchu závisí na rychlosti podle vztahu Fo = Av2, kde A = konst. • Při rychlosti v´ = 1 m s-1 je Fo´ = 0,63 N. • Určete maximální rychlost lyžaře. Hmotnost lyžaře je 90 kg, součinitel tření lyží na sněhu je 0,1. • Příklad •Střela o hmotnosti m=0,02 kg byla vystřelena ve vodorovném směru do balistického kyvadla hmotnosti M = 5 kg. Po nárazu se těžiště kyvadla zvedlo o h = 0,1 m. Určete rychlost střely.