Skalární a vektorové veličiny •Jednotkový vektor a skalární násobek vektoru / a´ / = 1 •Jednotkové vektory v kladném směru souřadných os x, y, z •značíme i, j, k •Skalárním násobkem vektoru a libovolným reálním číslem s =/ 0 •nazýváme vektor b = s a •Absolutní hodnota vektoru b se rovná součinu absolutních hodnot reálného čísla s a vektoru a, / b/ = /s/. /a/ Skalární a vektorové veličiny •Součet a rozdíl vektorů c = a + b •Platí zákon komutativní (výsledek nezávisí na pořadí sčítanců) tj. • a + b = b + a •Velikost vektoru c vypočítáme podle kosinové věty • c = odmocnina z a2 + b2 + 2ab cos fí •Pro rozdíl vektorů a, b, platí • d = a - b = a + (- b) Analytické vyjádření vektorů •Vektor a ležící v rovině x, y. •Jednotkové vektory v kladném směru těchto os jsou i, j. •Pro rozklad platí a = axi + ay j nebo a = ax + ay •Složky vektoru ax = axi , ay = ayj •Pro souřadnice platí ax = a cos alfa ay = a cos beta •Velikost vektoru a = odmocnina ax2 + ay2 • •Jednotkové vektory v trojrozměrném prostoru i, j, k. Analytické vyjádření vektorů Násobení vektorů •a = axi + ayj +azk b = bxi +byj +bzk •a + b = (ax+bx)i + (ay +by)j +(az + bz)k • a - b = (ax - bx)i + (ay - by)j +(az - bz)k • •Polohový vektor r = xi +yj +zk velikost r = odm. X2 + y2 +z2 • •Skalární součin dvou vektorů – je definován jako skalár, který se rovná součinu velikosti obou vektorů a kosinu úhlu, který tyto vektory svírají • a . b = ab cos alfa •Vlastnosti platí zákon komutativní a distributivní Násobení vektorů •a . b = b . a (a + b ) . c = ac + bc •Skalární součin dvou stejných vektorů a . a = a. a. cos0 = a2 • dvou rovnoběžných vektorů a.b = a.b.cos0 = a.b • dvou vzájemně kolmých vektorů a.b = a.b.cos90 = 0 •Pro jednotkové vektory platí: i.i = j.j = k.k = 1 i.j = j.k = k.i = 0 •a. b = ( axi+ayj+azk). (bxi+byj+bzk) = axbx+ayby+azbz •cos úhlu= a.b/ a.b •Ve fyzice má skalární součin použití například? Vektorový součin dvou vektorů •c = a x b, jehož směr a velikost se určí /c/ = / a x b/= a b . sin alfa • velikost vektorového součinu se číselně rovná plošnému obsahu rovnoběžníka, sestrojeného z obou vektorů. •Směr vektroru c je kolmý na rovinu, určenou vektrory a,b, a míří do toho poloprostoru, z něhož otočení od a k b ( o úhel menší než 90st.) se děje v kladném smyslu tj. proti pohybu hodinových ručiček. •Vlastnosti: neplatí komutativní zákon a x b = - (b x a) •platí zákon distributivní a x (b + c) = a x b + a x c • (a + b) x c = a x c + b x c Vektorový součin dvou vektorů •Vektorový součin dvou vzájemně rovnoběžných vektorů • /a x b/ = absin0 = 0 • dvou vzájemně kolmých vektorů / a x b / = ab sin 90 = ab •Pro jednotkové vektory platí: • i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k, j x k = i , k x i = j • •Uveďte příklad fyzikální veličiny, která je definovaná pomocí vektorového součinu? Vektor jako funkce skalárního argumentu •Jeli vektor a funkcí spojité proměnné skalární veličiny např. času t, tento vektor mění s časem svou velikost i směr a = a (t) • - analytické vyjádření a= ax(t)i + ay (t)j + az(t)k • - derivace a(t) podle proměnného skaláru • da(t)/dt = dax(t)/dt i + day(t)/dt j + daz(t)/dt k •Souřadnice vektoru da(t)/dt jsou derivace souřadnic vektoru a(t) •Geometrický význam derivace vychází z definice derivace pomocí limity •Derivace vektoru a(t) je tedy vektor, který má směr přírůstku vektoru a Příklad ze základů vektorového počtu •1/Vektory a, b, jsou dány svými souřadnicemi: •a (5, 3, -6), b (0, -7, 4). Napište jejich analytické vyjádření a určete: a)Součet vektorů a + b, jeho absolutní hodnotu a jeho směrové kosiny. b)Rozdíl vektorů a - b, jeho absolutní hodnotu a jeho směrové kosiny. •c) Skalární součin a . b a úhel Fí, který spolu vektory svírají. Příklady z vektorového počtu •Najděte velikost průmětu vektoru a( -2, -6, 2) do směru vektoru • b( -3, 7, -4). • Úvod k příkladům – Dynamika hmotného bodu •Při řešení příkladů z mechaniky pomocí Newtonových zákonů : •- rozhodneme, zda těleso můžeme považovat za hmotný bod -zjistíme síly, kterými okolí tělesa působí na hmotný bod -volíme vhodný vztažný systém /volba počátku a souřadných os/ -nakreslíme těleso a vyznačíme všechny vektory působících sil -vyjádříme Newt. pohybovou rovnici vektorově - Suma F=ma -Najdeme průměty sil do zvolených os. Dostaneme 3 skalární veličiny • Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az OPAKOVÁNÍ •Fyzikální veličiny a jejich jednotky •-vzdálenost, hmotnost, čas, elektrický proud, termodynamická teplota, • látkové množství, svítivost -Elektrický náboj, intenzita elektrického pole, indukčnost, impedance, elektrická • kapacita, intenzita magnetického pole, magnetický indukční tok, magnetická • indukce, frekvence, elektrická vodivost, osvětlení, optická mohutnost čočky, • světelný tok, zářivý tok, aktivita, absorbovaná dávka Otázky z nabídnutou odpovědí •1) Najdi jednotku která má fyzikální rozměr kg.m-1.s-2 • a/joule b/newton c/ pascal d/ watt •2) Která z následujících fyzikálních jednotek je bezrozměrná? • a/ decibel b/ stupeň Celsia c/ mol d/ dioptrie •3/ Nalezněte jednotku (fyzikální rozměr)ramene valivého odporu • a/ m b/ N.m c/N.m-1 d/ N.s-1 •4/ Nalezněte fyzikální rozměr momentu síly • a/ kg.m.s b/kg.m2.s-1 c/ kg.m.s-2 d/N. m-1 • Otázky z nabídnutou odpovědí •5) Nalezněte fyzikální rozměr (jednotku)momentu setrvačnosti • a/ N.m.s b/ N.m c/ J.m d/ kg.m-2 •6/ Nalezněte fyzikální rozměr (jednotku) součinitele smykového tření • a/ kg.m b/ kg.m2.s-1 c/kg.m.s-2 d/N.m-1 •7) Když vynásobíme 1 nJ číslem 1018 , získáme • a/ MJ b/ 1 TJ c/ 1 GJ d/ PJ •8/ Nesprávný přepočet • a/ 1 t = 1Mg b/ 100A = 10 11 nA c/ 1h = 3,6 10 15 ps d/ 1kJ=3,6Wh Otázky z nabídnutou odpovědí 9)Která z uvedených veličin je skalárem? • a) tíha b/ okamžitá rychlost c/ odstředivá síla d/ hydrostatický tlak 10)Součinem jedné z následujících dvojic veličin je veličina vektorová: • a/ síla x dráha, po které síla působí • b/ tlak x obsah plochy, na kterou tlak působí • c/ elektrické napětí x kapacita kondenzátoru • d/ velikost síly působící na těleso x velikost okamžité rychlosti • tělesa • •