. • • • • • •2021 •Optometrie – poznámky- Gravitační pole • Škorpíková Gravitační pole •Matematická formulace zákona gravitačního silového působení byla historicky spojena s vyjádřením zákonů pohybu planet v heliocentrické soustavě, ve které je Slunce v počátku souřadnic a souřadné osy míří k určitým hvězdám. •Johanus Kepler (1571-1630). •Analýzou těchto zákonů pohybu planet a spojením s obecnými zákony pohybu ( Newtonovy pohybové zákony), odvodil I. Newton v r. 1666 zákon všeobecné gravitace ( publikován v r. 1687) • Gravitační zákon •Matematické vyjádření síly, kterou na sebe působí dva hmotné body je dáno vztahem /1/: • • F12 = - ϰ m1 m2 / r 2 12 . r o12 • • kde ϰ = 6,67. 10-11 Nm 2 kg -2 •Gravitační interakce mezi dvěma tělesy, které můžeme považovat za bodová, je vyjádřena přitažlivou centrální silou, přímo úměrná hmotnosti těles a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi tělesy. •Na povrch Země působí dle N.z. na těleso hmotnosti m gravitační síla Země • F= ϰ m.M / R2 . •Vzájemný pohyb v soustavě Země + těleso, který vznikne působením gravitační síly vzájemného působení, lze interpretovat jako pohyb těles vzhledem k Zemi. •Vztah pro gravitační zrychlení vyplývá z II. Newtonova pohybového zákona, protože působí- li na těleso m síla Fg, platí • Fg = ϰ m.M/R2 = mag • ag = ϰ M/R2 • g = ϰ M/ R2 Gravitační potenciální energie •Gravitační síla Fg (vyjádřená vztahem 1) vykoná při přemístění tělesa m2 práci , která závisí jen na počáteční a konečné poloze působících těles. •W = ƪ Fg.dr = -ƪϰ m1.m2 /r212 .ro 12 . dr = ϰ m1.m2 /r2 -ϰ m1.m2/r1 • W = Ep (r2) – Ep (r1) • porovnáním rovnic pak dostaneme pro potenciální energii v bodě r1 Ep (r1) = - ϰ m1 . m2 /r1 + C •Hodnotu poten. energie volíme nulovou v nekonečnu a pak C=0 . •Pokud platí C=0 je tedy potenciální enetgir soustavy dvou těles ve vzájemné vzdálenosti r •Ep ( r) = - ϰ m1. m2 / r . •Potenciální energie je pro konečné vzdálenosti záporná. •( poznámka- lze ukázat , že potenciální energie přejde ve známý výraz Ep= mgy při volbě Ep=0 pro r = R Země při y << R ) •Celková energie soustavy je E = Ek1 + Ek2 + Ep •Celková energie může být kladná i záporná v závislosti na počátečních podmínkách v soustavě Intenzita a potenciál gravitačního pole •Příklad – gravitační interakce dvou těles je vyjádřena grav.silou F12 •Vektorová veličina intenzita gravitačního pole •K = F12 / m2 •Charakterizuje gravitační pole tělesa hmotnosti m1 v každém místě r. Nezávisí na veličinách charakterizující jiná tětšlesa a umožnňuje určit sílu , kterou bude pole působit na jakékoliv jiné těleso hmotnosti m vztahem • Fg = K. m /K/ = N. kg-1 ´= m . s-2 •Fg = mag ag = K • pro pole hmot.bodu m1 je K = F12/m2 = - ϰ m1 / r2 . ro Potenciál gravitačního pole •Potenciál gravitačního pole definujeme jako potenciální energii hmotného bodu v daném místě pole, dělenou hmotností tohoto bodu - -označení symbolem V. •V = Ep(m) / m / V = J . kg-1 / •Stejně jako potenciální energie závisí na volbě místa kde je Ep = 0 •Potenciál grav.pole hm.bodu m1 ve vzdálenosti r od něj vyjádříme •V = - ϰ m1 / r •Potenciál pole pro n hmotných bodů V = - { ϰ mi / ri . Vztah mezi intenzitou a potenciálem gravitačního pole •Plyne z definice potenciální energie •dEp = - Fg. dr dělením hmotností dostaneme dV = - K. dr . •Rovnici lze zapsat pomocí operace grad K = - grad V •Známe-li intenzitu můžeme integrací dV = - K. dr určit potenciál v místě r pole V(r) = - ƪr ̴ K dr •Potenciál daného místa pole je roven záporně vzatému integrálu intenzity pole z místa kde volíme potenciál nulový, do místa jehož potenciál určujeme. •Siločáry pole . Ekvipotenciální plochy.