Jednovrstvá antireflexní úprava
Předpokládejme rovinné rozhraní mezi dvěma neabsorbujícími materiály, o indexech lomu n a n'. Kolmá odrazivost R a kolmá propustnost T tohoto rozhraní jsou dány jako speciální případ Fresnelových vztahů,
R
n + n'
T :
Ann' (n + n')2
(1)
nezávisle na pořadí prostředí při přechodu rozhraním a nezávisle na (lineární) polarizaci dopadajícího světla. Světelný svazek, dopadající na rozhraní s intenzitou Iq bude mít z definice po odrazu od rozhraní intenzitu RIq a po průchodu rozhraním T Iq.
Předpokládejme tedy planparalelní desku (což může přibližně popisovat i čočku poblíž jejích vrcholů) o indexu lomu n\ ponořenou ve vzduchu (viz Obr. 1). Potom při skoro kolmém dopadu
n=l
R^ =
Tli — 1
ni + 1
T =
4ni
Tn,Rn
(ni + l)2
První paprsek prošlý deskou má intenzitu
16n2
r -/n
(m +1)4
každý další prošlý paprsek přibere dva odrazy sklo-vzduch
(2)
Ia — R^T?In, Ir — R^Tfli
Jednotlivé paprsky tedy představují členy geometrické posloupnosti s prvním členem T^/n a kvocientem R\. Odpovídající geometrickou řadu dokážeme sečíst,
Obr. 1: Planparalelní deska ponořená do vzduchu.
Inci — I?.
Po dosazení tak pro celkovou intenzitu prošlého světla včetně započtení násobných odrazů uvnitř desky dostáváme
To = —-2^0' (3)
1 + n\
Uvažujme konkrétně sklo s indexem lomu n\ = 1.5. Pro něj má první prošlý paprsek intenzitu I2 = 0.9216/n o, všechny prošlé paprsky se složí do celkové intenzity jen nepatrně vyšší, přibližně 1^ = 0.9231/n ■
Pokusme se nyní zjistit, zda by celkovou propustnost bylo možné zvýšit nanesením vhodné vrstvy na přední stěnu desky. Předpokládáme-li vrstvu s indexem lomu 712 (viz Obr. 2), dostáváme skoro kolmé odrazivosti a propustnosti mezi jednotlivými typy prostředí:
i?2 =
R = Ri =
První prošlý paprsek bude mít intenzitu
( n2	- 1
\n2	+ 1
ni -	n2
ni +	
/ ni	- 1
	+ 1
T2 =
4n2
T =
Ti
64n2n2
(n2 + l)2
Anin2 (ni + n2)2
4ni (ni + l)2
(n2 + l)2(ni +n2)2(ni + l)2
(4)
1
struktura násobných odrazů však bude v tomto případě bohatší: kromě paprsků, které se odráží uvnitř první vrstvy, se také mohou vracet paprsky od zadní stěny desky, a budto se odrazit zase zpět, nebo znovu vstoupit do první vrstvy a tam způsobovat další násobné odrazy. Abychom mohli výpočet rozumně dokončit, zanedbáme paprsky vracející se zpět druhým prostředím a násobné odrazy necháme probíhat jen v horní vrstvě a to pouze z úplně prvního paprsku, který do ní vstoupil. Tento postup není kritický: jak demonstruje výše uvedený příklad, největší množství světla je shromážděno právě v paprscích, které prodělaly minimum parazitních odrazů.
Každý další uvažovaný paprsek tedy projde navíc dvěma odrazy: jedním od rozhraní vrstva-vzduch, a druhým od rozhraní vrstva-sklo:
I4 = RR2TiTT2Io,h = (RR2)2TiTT2Io, ■ ■ ■
Jedná se opět o geometrickou řadu, kterou dokážeme sečíst, takže celková intenzita prošlého světla se započtením uvažovaných násobných odrazů má tvar
b
T{ľT2
la =
\Qn\n2
Obr. 2: Jednovrstvá antireflexní úprava. Pro jednoduchost započteme pouze primární násobné odrazy v antireflexní vrstvě.
(5)
Hledáme-li maximum posledního výrazu vzhledem k proměnnému indexu lomu 712 vrstvy, klademe
d/oo     l&n\(ni + l)3(ni + rif) - ?>2n\n\(nx + l)3
dn2
odkud dostáváme podmínku
(ni + l)6(ni +nl)2
-la = 0,
n2
(6)
Lze snadno ověřit, že se skutečně jedná o maximum, a s dosazením této hodnoty pro optimální propustnost sytému vrstva-deska dostáváme
7max ~ (n1 + l)37°- (7)
Pro výše zvolené sklo to znamená optimálni index lomu vrstvy přibližně 712 = 1.22 a nejlepší dosažitelnou propustnost asi 0.94/q, tedy o necelá dvě procenta vyšší, než bez vrstvy.
2