Masarykova univerzita v Brně
Lékařská fakulta – Biofyzikální ústav
Získávání a analýza obrazové
informace
Jaromír Šrámek
Ondřej Ráček
Martin Sedlář
Vojtěch Mornstein
Obsah
Předmluva 8
1 Získávání obrazu 9
1.1 Barva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Černobílý obraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Barevný obraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2.1 Barevný model CIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2.2 Barevný model RGB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2.3 Barevný model CMY a CMYK . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2.4 Barevný model HSV a HSL . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Detekce obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Sejmutí fyzicky existujícího obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Vizualizace prostorového rozložení fyzikální veličiny jako obrazu . . 20
1.2.3 Vizualizace dat jako umělého obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Datové formáty pro obrazová data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Datový formát BMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Datový formát GIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Datový formát PNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4 Datový formát JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.5 Datový formát TIFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.6 Datový formát DICOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Charakteristiky obrazu 31
2.1 Globální charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Hloubka obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Dynamický rozsah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Jas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.4 Kontrast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.5 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Lokální charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1.1 Statistické míry prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1.2 Texturní míry odvozené z koincidenční matice stupňů šedi 38
1
2.2.2 Texturní míry odvozené z run-length matice . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3 Lawsovy filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Spektrální vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.5 Fraktální dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6 Tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.6.1 Detekce hranice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.6.2 Popis tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.7 Analýza opakujících se motivů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.7.1 Voronoiův diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.7.2 Delaunayova triangulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.7.3 Použití . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Operace s obrazem 60
3.1 Manipulace s histogramem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Změna jasu a kontrastu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1.1 Změna jasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1.2 Změna kontrastu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1.3 S-křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Prahování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.3 Ekvalizace histogramu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.4 Gama korekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Lineární filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 Konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Filtr typu průměr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.3 Hranové detektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3.1 Laplaceův operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3.2 Prewittové operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3.3 Sobelův operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3.4 LoG operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.3.5 Cannyho hranový detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Nelineární filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Filtr typu rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2 Mediánový filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Filtry minimum a maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Matematická morfologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.1 Binární matematická morfologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.2 Šedotónová matematická morfologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.3 Granulometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5 Zpracování ve frekvenční oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.1 Vzorkování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.2 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.2.1 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.2.2 Jednorozměrná Fourierova transformace . . . . . . . . . . 89
2
3.5.2.3 Fourierova transformace diskrétního signálu . . . . . . . . 89
3.5.2.4 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) . . . . . . . . . 90
3.5.2.5 Funkce okna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.2.6 Diskrétní Fourierova transformace digitálního obrazu . . . 92
4 Biomedicínské obrazy 95
4.1 Úpravy biomedicínských obrazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.1 Korekce šumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.2 Zvyšování kontrastu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.2.1 Zvýšení kontrastu detekcí hran . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.2.2 Zvýšení kontrastu analýzou textury . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.3 Použití nepravých barev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.4 Fúze obrazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Hodnocení kvality zobrazovacích metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 Prostorové rozlišení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2 Časové rozlišení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.3 Energetické rozlišení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.4 Linearita převodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.5 Homogenita procesu zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Počítačová podpora diagnostiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Volba příznakový vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.2 Expertní a konzultační systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Software 107
5.1 GIMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 ImageJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3
Seznam obrázků
1.1 Spektrální citlivost fotoreceptorů předpokládaná v modelu CIE 1931 . . . . 11
1.2 Chromatický diagram v modelu CIE 1931. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Detail stínítka barevné obrazovky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Kožní léze při leishmanióze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Obrovský lipom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Zpracování obrazu cervikální biopsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Analýza barevného obrazu kožních afekcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Chernoffovy tváře . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Ultrazvukový snímek fantomu, Q = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10 Ultrazvukový snímek fantomu, Q = 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Ultrazvukový snímek fantomu, Q = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Ultrazvukový snímek fantomu, Q = 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Ultrazvukový snímek fantomu, Q = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Závislost Haralickový měr na koeficientu kvality Q . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Histogram stupňů šedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Noční hlídka (Rembrandt) a její barevný histogram . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Dva obrázky se shodným histogramem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Surface plot sonogramu jater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Aplikace Lawsova filtru S5E5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Cirrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Jedna hrana Kochovy vločky, čtyři iterace konstrukce. . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Odhad fraktální dimenze na fantomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Odhad fraktální dimenze chromatinu melanomu . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10 Obraz sítnice z funduskamery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11 Maligní lymfatická uzlina – ultrasonografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.12 Epidemie cholery v Londýně, 1854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Jednoduchá manipulace s jasem a kontrastem . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Nastavení s-křivky v programu GIMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Příklady s-křivek pro manipulaci s jasem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Příklady s-křivek pro manipulaci s kontrastem . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Tkáňová okna (CT Window) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Ekvalizace histogramu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4
3.7 Grafický průběh gama korekce pro některé hodnoty parametru γ . . . . . . 71
3.8 Manuální sestavení konvoluční matice v progamu GIMP. . . . . . . . . . . 73
3.9 Aplikace průměrového filtru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.10 Příklady použití hranových detektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.11 Příklady použití filtru typu rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12 Aplikace mediánového filtru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.13 Aplikace binární morfologie – měření zloušťky podkoží. . . . . . . . . . . . 86
3.14 Amplitudové spektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1 Vyhlazení ploch pomocí morfologických operátorů. . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Příklady použití nepravých barev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Morphing, jehož mezikroky zjevně nemají biologický smysl . . . . . . . . . 99
4.4 DSA lebky – aneurysma jako projev Takayasuovy arteritidy. . . . . . . . . 100
5
Seznam tabulek
1.1 Haralickovy texturní míry fantomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Přehled vlastností obrazových formátů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 Vektory pro konstrukci Lawsových filtrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Počty Lawsových filtrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6
Tento text vznikl s podporou projektu FRVŠ č.2487/2011
Tento text je uvolněn pod licencí CC BY-NC-SA 3.0 Česko
7
Předmluva
Předkládaný text vznikl jako výstup projektu Fondu rozvoje vysokých škol FRVS 2487/2011,
který byl řešen na Biofyzikálním ústavu Lékařské fakulty Masarykovy univerzity v Brně.
Cílem bylo vytvořit text, který poskytne především motivovanému studentovi medicínského
a případně i biologického oboru přehled toho, jakým způsobem jsou prováděny běžné
operace s obrazovými daty. Znalosti, které by si měl čtenář osvojit, poslouží nikoliv k samostatné
práci, ale především k tomu, aby byl schopen účelně využívat základní funkce
nabízené v běžně dostupném software a aby byl v případě potřeby schopen komunikace
s informatikem zabývajícím se analýzou obrazu.
Text je záměrně licencován jako Creative Commons – na jedné straně totiž autoři
přejímají řadu snímků z internetových projektů pracujících právě s touto licencí, zejména
pak Wikimedia a Radiopaedia, na straně druhé pak nechtějí bránit tomu, aby byla alespoň
část tohoto textu šířena tak, aby byla užitečná, tedy především na projektech WikiSkripta
a na české mutaci Wikipedie.
Přáním autorského kolektivu je i to, aby si čtenář po dočtení textu sám uvědomil, že
nejen o ohni lze prohlásit, že je dobrým sluhou ale špatným pánem. Manipulace s obrazovými
daty vede pouze ke změně předkládané informace, v nejlepším případě se žádná
informace neztrácí. Bohužel ve filmové tvorbě jsme někdy konfrontováni s tím, že se filmovému
hrdinovi podaří provést takovou manipulaci s obrazem, že v obraze vzniká nová
informace. Takovéto vzory mohou někdy vést k nereálným očekáváním od uživatelů obrazové
analýzy a následnému zklamání nad reálnými možnostmi, které může vyústit do
opačného extrému, tedy do přemrštěné skepse.
J.Š., Střelice u Brna
prosinec 2011
8
Kapitola 1
Získávání obrazu
Položme si nejprve jednoduchou otázku: Co je obraz? Jednou z možných odpovědí je to,
že obraz je zrakový vjem. Zrakový vjem vzniká zhruba tak, že vnímáme vlastnosti dopadajícího
světla na jednotlivé body sítnice. Těmi vlastnostmi jsou především intenzita a
spektrální složení. Zobecněním tého představy se dostaneme k tomu, že se takto mohla na
sítnici promítnout nějaká rovina pokrytá bodovými zdroji světla. Za obraz pak můžeme
pokládat právě takovou rovinu.
Výše uvedenou úvahu lze matematicky formalizovat. Za obraz budeme pokládat funkci
dvou proměnných, která každému bodu z roviny obrazu přiřadí nějakou hodnotu, kterou
kódujeme její barevné vlastnosti1
. Protože se nadále omezíme pouze na digitální obrazy,
můžeme rovinu obrazu pokládat za matici, jejíž prvek určuje barevné vlastnosti. Dále se
ukáže, že je tato představa velmi užitečná.
1.1 Barva
Barva je kvalitou záření, která má vztah ke spektrálním vlastnostem záření. Barvu můžeme
vnímat díky tomu, že v naší sítnici se nacházejí tři populace čípků s různým maximem
citlivosti2
.
Z uvedného je zřejmé, že pro věrohodnou reprezentaci barvy bude nejspíše třeba nejméně
trojice čísel. Ve skutečnosti tomu tak skutečně je a k záznamu barevné informace se používají
různé systémy. Každý z takových systémů má své výhody i nevýhody, proto se
nepoužívá jen jeden.
1
K reprezentaci barevných vlastností nepostačuje jen jedno číslo, proto se hovoří o barevném prostoru.
2
Gen zodpovědný za funkci čípků s citlivostí pro červenou barvu se vyskytuje v populaci ve dvou
variantách s mírně posunutou maximální citlivostí. Protože se tento gen nachází na X chromosomu, mohou
se v populaci vyskytovat ženy, které dokáží rozlišit více barev.
9
1.1.1 Černobílý obraz
Nejjednodušším přístupem k záznamu barevné informace je na barvu prostě zapomenout.
Lidský mozek vnímá barvu a jas jako dvě různé informace, takže obraz obsahující pouze
informaci o jasu nebudeme pokládat za obraz poškozený nebo neúplný. Výhodou černobílého
– přesněji šedotónového – obrazu je to, že k reprezentaci jasu postačuje jedno jediné
číslo. Protože počítače pracují nejlépe s celými čísly, je jas reprezentován jako celé číslo.
Obvyklou konvencí je použití čísla 0 jako kódu pro nejtmavší odstín, tedy pro černou barvu,
a maximální použitelnou hodnotu pro barvu bílou.
Černobílý obraz je vlastním výstupem většiny zobrazovacích metod, tedy má mimořádnou
důležitost. Navíc většina algoritmů zpracování a analýzy obrazu pracuje s černobílým
obrazem, vnesením informace o barvě se výpočet obvykle podstatným způsobem kompli-
kuje.
1.1.2 Barevný obraz
Barevný obraz obsahuje informaci nejen o jasu ale i o barevných vlastnostech obrazu.
K reprezentaci barev se používá několik přístupů, hovoříme o barevných modelech.
Společným rysem všech moderních barevných modelů je to, že k určení barvy používají
nejméně tři parametry. Barevné modely využívané především k analogovému vysílání
barevné televize zde zmíněny nebudou.
1.1.2.1 Barevný model CIE
CIE je akronym označující organizaci Commission internationale de l’éclairage (Mezinárodní
organizaci pro osvětlování) založenou v roce 1913. CIE je mezinárodní organizací,
která určuje standardy v oblastech týkajících se světla a barev.
CIE vydala několik standardů barevného vnímání založených na hodnocení fyziologického
vnímání. Výchozím barevným modelem je model CIE 1931.
Pro model CIE 1931 jsou výchozí tři empiricky získané křivky spektrální citlivosti
jednotlivých barevných receptorů (viz obr.1.1).
Studované záření je určené spektrální hustotou výkonu I(λ), což je veličina, která udává,
jaká část energie z celkové intenzity záření I je nesena zářením o vlnové délce λ.
Barevnou kvalitu záření pak určuje trojice parametrů3
X, Y a Z definovaných následujícím
způsobem:
3
Čtenáři doporučujeme důsledně rozslišovat mezi malými a velkými písmeny, jinak hrozí riziko ztráty
stopy v textu.
10
Obrázek 1.1: Spektrální citlivost fotoreceptorů předpokládaná v modelu CIE 1931
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:CIE 1931 XYZ Color Matching Functions.svg
X =
∞
0
I(λ) x(λ) dλ (1.1)
Y =
∞
0
I(λ) y(λ) dλ (1.2)
Z =
∞
0
I(λ) z(λ) dλ (1.3)
Parametry lze „normovat tak, že se podělí svým součtem. Tímto způsobem lze získat
odvozené parametry:
x =
X
X + Y + Z
(1.4)
y =
Y
X + Y + Z
(1.5)
z =
Z
X + Y + Z
(1.6)
Není obtížné ukázat, že platí:
z = 1 − x − y
To tedy znamená, že postačuje znát pouze dvě hodnoty parametrů odvozených a třetí
parametr je již těmito hodnotami plně určen. Parametr Y byl zvolen tak, aby jeho hodnota
odpovídala jasu barevného bodu, odvozené parametry x a y pak obsahují veškerou informaci
o barevné kvalitě bodu. Při pevně zvoleném jasu, tedy parametru Y tak lze vytvořit
11
Obrázek 1.2: Chromatický diagram zahrnuje barvy určené odvozenými parametry x a y při
pevně daném jasu v modelu CIE 1931.
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:CIExy1931.png
rovinný obrazec, jehož každý bod bude mít barevné vlastnosti určené pouze souřadnicemi
(tedy odvozenými parametry) x a y (viz obr.1.2).
Chromatický diagram je zajímavý tím, že na jeho obvodu se nalézají všechny čisté
barvy, na spojnici dvou bodů se pak nacházejí všechny barvy, které lze získat míšením
příslušných barev.
CIE barevný model i veškeré jeho aktualizace se používají především k teoretickému
studiu vnímání barev a k měření barev (kolorimetrii). V počítačové grafice se používají
spíše jiné modely, které mají některé technicky nebo uživatelsky vhodnější vlastnosti –
CIE model je však jejich teoretickým základem.
12
1.1.2.2 Barevný model RGB
Barevný model RGB je zřejmě nejčastěji používaným barevným modelem. Pro vyjádření
barvy i jasu je využita trojice čísel odpovídající množství jednotlivé barevné složky. Model
je založen na lidském vnímání barev, jeho jednotlivé složky odpovídají citlivostli jednotlivých
čípků lidského oka:
R (red) – červená složka
G (green) – zelená složka
B (blue) – modrá složka
RGB je model aditivní, to znamená, že výsledná barva vzniká „sčítáním jednotlivých
složek. Černá barva tedy znamená, že není přidána žádná barva, bílá naopak znamená, že
jsou přidány všechny tři barvy v maximálním možném množství.
Asi nejvíce názornou představu o tom, jak se v modelu RGB reprezentuje barva, poskytne
detailní pohled na stínítko barevné obrazovky (obr.1.3), na kterém jsou různým
způsobem uspořádané tečky luminoforu, tedy látky, která po dopadu elektronů emituje
viditelné světlo příslušné vlnové délky.
Obrázek 1.3: Detail stínítka barevné obrazovky. Podle konkrétního technického uspořádání
se lze setkat s několika možnými uspořádání teček luminoforů.
modifikováno podle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:CRT mask types en-de.svg
Jestliže se rozzáří všechny body maximální možnou intenzitou, uvidíme bílou barvu,
naopak jestliže nezáří, vnímáme obrazovku jako černou. Veškeré barvy jsou pak vytvořeny
jako kombinace jasu jednotlivých červených, zelených a modrých bodů.
Právě pro svoji přirozenost týkající se vnímání má model RGB poměrně dlouhou his-
torii4
a široké využití. Protože je základním barevným modelem, který využívají barevné
obrazovky, stal se RGB model základním modelem pro reprezentaci barev v paměti po-
čítače5
. Vlastní technické parametry, tedy především definice základních barev (červené,
4
Teorie vnímání barev odpovídající modelu RGB se pojí především se jménem skotského fyzika a
matematika Jamese Clarka Maxwella (1831 – 1879). Svůj objev demonstroval tak, že v roce 1861 vytvořit
barevnou fotografii, ovšem díky problémům zejména s různou citlivostí fotografického materiálu na různé
barvy byl jeho objev zapomenut a znovuobjeven až o třicet let později.
5
Mezi jednotlivými barevnými modely lze sice přepočítávat, obvykle jde dokonce o jednoduché lineární
transformace, ovšem vzhledem k rozsahu obrazových dat i v tom nejmenším rozlišení umožňujícím seriózní
13
zelené a modré) jsou určeny technickými normami ve vztahu k modelu CIE. Důsledkem pro
uživatele je především to, že na správně fungujícím výstupním zařízení by nemělo docházet
ke zkreslení barev.
Hodnoty parametrů R, G a B, které určují výslednou barvu, se nacházejí v intervalu
[0, 1]. Protože pro počítačové zpracování jsou reálná čísla nedosažitelná a racionální
výpočetně náročná, ukládají se v paměti hodnoty parametrů jako celá čísla. Pokud je pro
každou složku v paměti určen jeden byte, používá se pro takový obraz označení true color.
Protože lidské oko není ke všem barvám stejně citlivé, může být pro každou složku v paměti
vyhražen jiný počet bitů. Toho využívá např. systém používající dva byte6
pro všechny tři
parametry označovaný obvykle high color. Parametrům R a B je v tomto případě přiděleno
5 bitů a parametru G je přiděleno 6 bitů.7
Největší nevýhodou pro koncového uživatele je to, že RGB model sice poměrně věrně
zachycuje to, jak barvy vnímá lidské oko, ovšem lidský mozek vnímá barevnou informaci
nejspíš tak, že hodnotí jas, převažující vlnovou délku (barva) a energii nesenou zářením
na ostatních vlnových délkách (sytost). Pokud chce například grafik měnit barevné vlastnosti
nějakého povrchu, uvažuje právě v těchto parametrech. Naopak při změnách barevných
vlastností manipulacemi s jednotlivými parametry RGB je výsledek takového zásahu
značně neintuitivní a málo očekávatelný.
1.1.2.3 Barevný model CMY a CMYK
Barevný model CMYK (Cyan, Magenta, Yellow, blacK) je běžným modelem používaným
při tisku. Jde o model subtraktivní, tedy základní barvy (modrozelená, fialová a žlutá) se
od původně bílého odkladu „odečítají . Přidáním všech těchto barev by měla vzniknout
barva černá. K tomu však z technických důvodů nemusí dojít, navíc v případě tisku by byl
tento postup málo hospodárný, takže se ke trojici barev přidává ještě barva černá. Model
bez černé barvy se obvykle označuje jako model CMY. Pro přepočet mezi modelem RGB
a CMY platí jednoduchý vztah:
C = 1 − R (1.7)
M = 1 − G (1.8)
Y = 1 − B (1.9)
práci by představovala transformace obrazových dat do RGB buď nepřijatelnou výpočetní zátež navíc,
nebo přidání další komponenty do počítače a tím navýšení jeho ceny.
6
Jen pro připomenutí – jeden byte („bajt ) je osm bitů
7
Vyšší citlivosti lidského oka na zelenou barvu je využito i v řadě dalších případů. Za pozornost stojí
zejména barevná CCD kamera, která může být uspořádána tak, že polovina plochy je citlivá na zelenou
barvu a jen polovina stačí ke snímání modré a červené složky.
14
K převodu do modelu CMYK může posloužit poměrně jednoduchý vztah:
K = min {R, G, B} (1.10)
C = C − K (1.11)
M = M − K (1.12)
Y = Y − K (1.13)
V praxi je však algoritmus převodu složitější, protože je třeba respektovat omezení
zapříčiněná např. tím, že výsledný obraz nevzniká míšením ale vrstvením jednotlivých
barev.
1.1.2.4 Barevný model HSV a HSL
Modely HSV (Hue, Saturation, Value) a HSL (Hue, Saturation, Lightness) jsou modely
používané zejména v počítačové grafice k intuitivnímu míchání barev. Barevná informace
není kódována tak, aby byla snadno zobrazitelná nebo vnímatelná okem, ale tak, jak je
barevná kvalita zpracovávána lidským vědomím. I když totiž oko pracuje trichromaticky,
výslednou barevnou kvalitu vnímáme tak, že hodnotíme následující kvality:
1. barevný tón
2. sytost barvy
3. jas
1.1.2.4.1 Barevný tón fyzikálně odpovídá převažující vlnové délce v daném barevném
podnětu. Barvy ve stupních šedi, tedy i černou a bílou, považujeme za barvy, které
mají vyrovnané zastoupení všech vlnových délek. V modelu HSV i HSL barevnému tónu
odpovídá parametr H. U stupňů šedi není parametr H definován.
1.1.2.4.2 Sytost barvy fyzikálně odpovídá energii, jaká je nesena zářením mimo dominantní
vlnovou délku určující barevný tón. Lze jej také chápat jako příměs bílého světla
k základnímu barevnému tónu. V modelu HSV i HSL odpovídá sytosti parametr S.
1.1.2.4.3 Jas fyzikálně odpovídá celkové energii záření nesené všemi vlnovými délkami
viditelného světla. Jasu odpovídají parametry V resp. L u obou modelů. Rozdíl mezi oběma
modely tkví především v tom, že HSL více odpovídá intuitivnímu očekávání toho, jak se
budou barvy v závislosti na změnách jasu chovat.
15
1.2 Detekce obrazu
Detekcí obrazu je myšlen převod obrazu do nějaké jiné formy signálu, která má pro další
zpracování výhodnější vlastnosti. Takovou detekcí obrazu je i klasická fotografie, která
převede obraz na chemické změny ve filmu. Pro naše potřeby je však nejdůležitější detekce
spojená s digitalizací, tedy pořízení digitálního obrazu do paměti počítače. V zásadě jsou
možné tři způsoby, které lze pokládat za detekci digitálního obrazu:
1. sejmutí fyzicky existujícího obrazu
2. vizualizace prostorového rozložení fyzikální veličiny jako obrazu
3. vizualizace dat jako umělého obrazu
1.2.1 Sejmutí fyzicky existujícího obrazu
Sejmutím fyzicky existujícího obrazu se myslí pořízení snímku běžným zařízením, tedy
především digitálním fotoaparátem nebo kamerou.
I když jsou činěny pokusy o pokročilejší analýzu klinické fotografie, naráží realizace
těchto snah na problematiku standardizace podmínek, za kterých je fotografie pořízena.
Pro odborníka stačí prostý snímek (např. obr.1.4) nebo snímek doplněný o měřítko (např.
obr.1.5), ovšem při počítačovém zpracování takových obrazových dat je vnesená nejistota
velkou překážkou precizní analýzy.
Poněkud jiná je situace v oblasti zpracování snímků pořízených světelným mikroskopem.
Sama konstrukce mikroskopu zajišťuje, že podmínky pořízení snímku jsou relativně stálé
– jedniným faktorem, který lze na běžném mikroskopu měnit, je clona kondenzoru, ovšem
takto definované změny osvětlení zde korekcí obrazu na konkrétní celkový jas poměrně
dobře korigovatelné.
Mikroskopické snímky lze obvykle doplnit měřítkem velikosti, ať již explicitně zobrazeným
nebo předpokládaným ze zvětšení, a tak lze v obrazu např. automaticky měřit velikost
objektů, vyhledávat konkrétní objekty nebo analyzovat tvarové či texturní charakteristiky
konkrétních útvarů. Příklad takové pokročilé analýzy mikroskopického obrazu je na obr.1.6.
Navzdory poněkud problematické standardizaci podmínek je častou oblastí, ve které
se nasazují metody analýzy obrazu, endoskopie. Zejména endoskopie kapsulová, při které
se získá poměrně dlouhý záznam, je cílem snahy omezení práce specialisty při hodnocení
léze. Nosnou myšlenkou je to, že algoritmus klasifikuje snímky do kategorie „normální a
„suspektní , přičemž hodnocení suspektního snímku je přenecháno specialistovi.
V případě kožních lézí slouží dermatologům k vyšetření speciální lupa nazývaná dermatoskop.
Zvětšuje obvykle 10×, má vlastní osvětlení vyšetřovaného pole, definovanou
vzdálenost od léze a obvykle je spojena s videokamerou. Jsou tedy splněny podmínky
pro reprodukovatelnost snímků a tak lze při aplikaci metod analýzy obrazu očekávat, že
výsledek bude aplikovatelný. Příklad analýzy dermatoskopického snímku je na obrázku 1.7
16
Obrázek 1.4: Kožní léze na levé ruce mladého muže způsobená parazitickým prvoky rodu
Leishmania. Prostá fotografie má pro další analýzu jen omezený význam, protože podmínky
pořízení obrazových dat nejsou standardizovány a chybí i přesné měřítko.
zdroj: Centers for Disease Control and Prevention’s Public Health Image Library, obrázek č.352
Obrázek 1.5: Obrovský nezhoubný nádor z tukové tkáně (lipom). Fotografie je doplněná
měřítkem, takže si lze udělat představu velikosti tumoru. Nejsou však zaručeny standardní
podmínky osvětlení ani umístění fotoaparátu. Pro ilustraci je uveden i rentgenový snímek
předloktí, na kterém se lipom nacházel.
zdroj: [18]
17
Obrázek 1.6: Histopatologický obraz cervikální biopsie a jeho další analýza. (1) Výchozí šedotónový
snímek, modifikované Weigertovo barvení, ze kterého byly ručně odstraněny všechny
neepiteliální struktury. (2) Segmentace podle jader. (3) Voronoiovo dláždění. (4) Delaunayova
triangulce. Parametry zpracovaných obrazů posloužily autorům jako parametry, podle kterých
bylo možno provést automatický grading cervikálního nálezu.
Výše uvedené postupy jsou příkladem matematické morfologie, tedy nelineárních operací s obrazem
založených na přístupu k obrazovým datům jako k množinám. Jde o operace, jejichž
teoretický základ je poměrně komplikovaný, vlastní výpočet obvykle trvá delší dobu, ovšem
díky tomu, že jde o nelineární operace, jsou možnosti jejich využití mnohem širší.
zdroj: [10]
18
Obrázek 1.7: Analýza barevného dermatoskopického snímku melanomu, benigního névu a
benigního névu smíšeného s angiomem.
Přístup k analýze vlastností povrchu byl založen na analýze barevné textury. Autoři práce, ze
která tento obrázek pochází, rozdělili obraz na jednotlivé kanály (složky barevného modelu)
R, G a B a na následnou analýzu vztahů mezi nimi. Výsledek je přínosem pro objektivizaci
posuzování rozdílů mezi jednotlivými nálezy.
zdroj: [4]
19
1.2.2 Vizualizace prostorového rozložení fyzikální veličiny jako
obrazu
Vizualizace prostorového rozložení nějaké fyzikální veličiny je cílem lékařských zobrazovacích
metod používaných zejména v radiologii a nukleární medicíně. Bez nároku na úplnost
uvedeme přehled běžných i méně běžných technik doplněný o údaj o tom, čeho je vlastně
měřena prostorová distribuce8
.
• skiagrafie – útlum rentgenového záření
• počítačová tomografie (CT) – útlum rentgenového záření
• magnetická rezonanční tomografie (MRI) – kvantové chování atomových jader
v magnetickém poli
• ultrasonografie – odrazivost ultrazvukového vlnění
• scintigrafie – aktivita podaného nuklidu
• pozitronová emisní tomografie – aktivita podaného nuklidu
• elastografie – Youngův modul pružnosti
• termografie – teplota
• spektroskopie v blízké infračervené oblasti (NIRS) – útlum infračerveného
záření
• mikrovlnná spektroskopie – útlum mikrovlnného záření
• elektroimpedanční tomografie – vodivost a permitivita
• optická koherenční tomografie – útlum viditelného světla
• laser-CT – útlum záření na hemu
Protože v počítačové analýze nelze pracovat se spojitými změnami, je třeba definovat
nejmenší prvek prostoru, který budeme brát jako základní homogenní oblast, ve které
příslušnou fyzikální charakteristiku měříme. V paměti počítače chápané jako data trojrozměrného
obrazu tomuto nejmenšímu prvku říkáme voxel (Volumetric Picture Element)).
O odpovídajícím objemovém elementu ve tkáni obvykle předpokládáme, že je homogenní.
Velmi podstatnou informací pro úvahy o další analýze obrazových dat je to, jakým
způsobem byl vytvořený obraz rekonstruován. Pokud jde totiž o obraz do jisté míry přirozený,
tedy dobře definovaný a vlastní měření je dobře reprodukovatelné, pak mají metody
analýzy obrazu mnohem větší šanci na úspěšné nasazení. Vždy je však třeba mít na mysli
8
Namísto prostorové distribuce by bylo jistě vhodnější hovořit o poli, ovšem autoři se obávají, že např.
pojem „pole Youngova modulu pružnosti by byl pro typického čtenáře poněkud matoucí.
20
to, že prezentovaný obraz je před vlastním zobrazením více nebo méně zpracován tak, aby
byl lidským okem snáze vnímatelný. Tím pochopitelně dochází ke zkreslení některých jeho
vlastností, takže při analýze obrazu je třeba důsledně dbát na to, aby byly srovnávány
stejně zpracované obrazy.
Nejjednodušší na pochopení je situace u počítačové tomografie (CT). Výstupem měření
na CT je matice Hounsfieldových čísel (HU). Hounsfieldovo číslo konkrétního voxelu je jednoznačně
určeno lineárním koeficientem zeslabení µ příslušného voxelu. Referenční látkou
je destilovaná voda při standardní teplotě a tlaku, jejíž lineární koeficient zeslabení µw má
význam konstatny v definičním vztahu:
HU =
µ − µw
µw
· 1000 (1.14)
Běžné hodnoty Hounsfieldových čísel se pohybují od −1000 u vzduchu až po 3000
u kompaktní kosti. Kdyby se měla každá hodnota kódovat jedním stupněm šedi, dynamický
rozsah výsledného obrazu by dalece přesahoval možnosti lidského zraku. Proto se
používají tzv. okna – v obraze se prahováním potlačí hodnoty nižší než referenční hodnota
(Level) a na rozsah povolených stupňů šedi se rozprostře pásmo jen pásmo o určité šířce
(Width). Pixely odpovídající tkáni, jejíž radiodenzita je nižší než Level, se tedy zobrazí
černě, pixely odpovídající tkáni, jejíž radiodenzita je vyšší než Level + Width, se zobrazí
bíle. V takto upraveném obraze dochází k obrovské ztrátě informace, ovšem vybraná
informace je vnímatelná lidským okem.
Metody zpracování obrazu je výhodnější aplikovat na obraz, který není zobrazen v žádném
okně, protože obsahuje podstatně větší množství informace. Vzhledem k tomu, že
jsou parametry běžných oken ustáleny, lze však metody zpracování obrazu aplikovat i na
snímky pořízené v konkrétním okně, protože i poté bude výsledek reprodukovatelný.
Podstatně složitější je situace u modalit, kde je vlastní obraz získán náročnější manipulací
s měřenými veličinami (MRI) nebo kde je vlastní obraz určen řadou parametrů a nelze
zcela bezpečně vyloučit ani to, že se na zejména texturních vlastnostech nemalou měrou
podílí i vlastní přístroj (ultrasonografie). V takových případech je třeba přistupovat k nasazení
metod počítačové analýzy obrazu s rozmyslem a vždy dbát na důsledné ověřování
výsledků.
Zvláštní pozornost si zaslouží zejména ultrasonografie. Svým charakterem si ultrazvukové
snímky získaly pozornost již v dobách pionýrských pokusů s počítačovou analýzou
biomedicínských obrazů. Vždy je u nich třeba mít na paměti to, že přístroj data před poměrně
sofistikovaným způsobem zpracovává zejména za účelem zlepšení subjektivně vnímaného
kontrastu mezi jednotlivými strukturami. Informace o textuře příslušného orgánu
tak může bývá změněna a při analýze informací o textuře je třeba být velmi opatrný.
21
1.2.3 Vizualizace dat jako umělého obrazu
Konečně jako obraz mohou být prezentovány i některé komplexní nebo příliš rozsáhlé informace.
Klasickým příkladem jsou Chernoffovy tváře (viz obr.1.8), pomůcky při explorativní
analýze mnohorozměrných dat, nicméně mohou se vyskytnout i složitější struktury.
Nasazování metod počítačové analýzy obrazu by bylo v tomto případě obvykle chybou,
protože takovýto arteficiální obraz slouží jako reprezentace nějakých konkrétních a obvykle i
dostupných dat. Při vizualizaci se obvykle část informace ztratí, takže je mnohem vhodnější
používat k analýze přímo výchozí data.
Obrázek 1.8: Chernoffovy tváře generované ve statistickém programu R pomocí
funkce z knihovny TeachingDemos.
Jedna tvář reprezentuje mnohorozměrný datový vektor. Každé složce vektoru je
přiřažen jeden „rys tváře a do jeho rozměrů je zakódována konkrétní hodnota.
Jednotlivým prvkům tak odpovídá např. tvar a délka úst, velikost nosu nebo
vzdálenost očí. Využití má takováto vizualizace např. v tzv. explorativní analýze
dat, při které lze při troše cviku vizuálně odhadnout, jestli ve výsledkcích není
několik skupin poměrně podobných vektorů.
22
1.3 Datové formáty pro obrazová data
Pro ukládání obrazových dat se používá několik datových formátů. Obecně lze obrazové
datové formáty rozdělit podle na nekomprimované a komprimované. Komprimované obrazy
mohou být komprimovány bezeztrátovými a ztrátovými algoritmy.
Nekomprimované formáty jsou obvykle poměrně velké, ale zejména ve starších počítačích
bylo jejich velkou výhodou okamžité načtení a zobrazení bez nutnosti další manipulace
s daty. V nekomprimovaných datových formátech totiž odpovídá jednomu pixelu jeden datový
úsek9
.
Snad nejrozšířenějším příkladem nekomprimovaného datového formátu je BMP (Windows
Bitmap), byť novější modifikace již kompresi dat umožňují. Přesto je však tento
formát pokládán za málo vhodný zejména pro sdílení a zasílání dat.
Komprimované formáty mají menší velikost, ale na starších počítačích trvalo zobrazení
déle, protože musela proběhnout dekomprese dat. Vzhledem k tomu, že typický obraz je
tvořen různě velkými plochami, u kterých lze předpokládat homogenitu, bývá kompresí
dosaženo poměrně velké datové úspory.
Bezeztrátová komprese je obvykle založena na tom, že se hodnoty jednotlivých barev
pixelů opakují, a proto lze vhodným matematickým postupem snížit počet čísel nutných
k reprezentaci všech informací v obraze. Snad nejrozšířenějším formátem dat s bezeztrátovou
kompresí je PNG (Portable Network Graphics).
Ztrátová komprese je založena na záměrné ztrátě té části informace, kterou lidské oko
nevnímá, nebo ji vnímá jen velmi slabě a nemá velký vliv na celkový vjem. Nejznámějším
a daleko nejrozšířenějším formátem využívajícím ztrátové komprese je JPEG (Joint Photographic
Experts Group). V případě ztrátové komprese dochází ke ztrátě informace, tedy
obraz je oproti originálu změněn. Na to je třeba myslet vždy, když se analyzují obrazová
data, protože různá míra komprese může hrát roli nevítaného faktoru zkreslující výsledky.
Pro sdílení obrazových informací v biomedicíně byl vytvořen standard DICOM. Jde
vlastně o datový rámec obsahující především obrazy a videosekvence v některých běžných
datových formátech a doplňující textové informace.
Všechny výše uvedené informace se týkaly tzv. rastrových formátů, tedy formátů, ve
kterých je obraz reprezentován jako množina pixelů. Vedle toho však existují tzv. vektorové
formáty. V těchto formátech je obraz reprezentován jako množina křivek a parametrů těchto
křivek, tedy matematickým popisem. Takovéto formáty mají řadu výhod při manipulaci
s měřítkem, ovšem jsou obvykle výstupem grafických editorů a jejich použití k uchovávání
obrazových dat získaných jako záznam fyzikální reality je v rámci současných možností
prakticky nemožné.
1.3.1 Datový formát BMP
Datový formát BMP (Windows Bitmap) je velmi rozšířený rastrový formát. I když umožňuje
jednoduchou kompresi dat, tak obvyklé je to, že data jsou ukládána v nekomprimované
9
Podle konkrétního obrazu může být ten datový úsek různě velký. Typicky jeden bite (černobílý obraz),
polovina byte (šesnáctibarevný obraz), jeden byte (256 barev) ale třeba i 3 byte (true color)
23
formě. Toto představovalo výhodu v tom, že obraz bylo možné snadno zobrazit. Tento
formát je nativním datovým formátem řady grafických editorů.
V současné době je použití tohoto formátu neopodstatněné, pokud je třeba uchovat obrazovou
informaci bez ztráty jakékoliv informace, vhodnější jsou formáty PNG nebo TIFF,
pokud je ztráta informace přijatelná, vhodnější je formát JPEG. Toto je třeba mít na
mysli zejména v případě zasílání obrazové dokumentace e-mailem, protože kapacita poštovních
schránek nebývá neomezená a zejména při větším počtu zasílaných obrazů může
být schránka zaplněna.
1.3.2 Datový formát GIF
Datový formát GIF (Graphics Interchange Format) je rastrový komprimovaný formát s bezeztrátovou
kompresí. Jeden pixel je reprezentován jedním byte. Tento byte neobsahuje
přímo informaci o barvě pixelu, ale jde pouze o index v tabulce (paletě) definovaných barev.
Obrázek tak může obsahovat pouze 256 libovolných ale pevně daných barev. Takovýto
formát se příliš nehodí pro reprezentaci komplexních obrazových dat, ve kterých je třeba
uchovávat více informací o barevných vlastnostech (fotografie, medicíncké obrazy), je však
dobře uzpůsoben k prezentaci na Internetu, především jako formát pomocných grafických
elementů v dokumentech HTML. Mimo jiné umožňuje nastavit jednu barvu jako průhlednou
(tzv. α-kanál) nebo může obsahovat sekvenci obrázků a zobrazit je jako animaci.
1.3.3 Datový formát PNG
Datový formát PNG (Portable Graphics Network) je rastrový komprimovaný formát s bezeztrátovou
kompresí. Formát umožňuje uchovávat obrazová data i ve velmi vysokém počtu
rozlišených barev10
. Formát PNG používá ke kódování barev model RGBA, což je barevný
model RGB doplněný o α-kanál, tedy informaci o průhlednosti. Podle hodnoty parametru
α bude daný pixel více či méně transparentní a ve výsledném zobrazení bude více či
méně spojen s barvou podkladu.
Formát PNG primárně slouží ke zobrazování grafických prvků v prostředí Internetu jako
modernější náhrada formátu GIF, s oblibou je však využíván v řadě aplikací počítačové
grafiky11
. Pro archivaci biomedicínských dat by bylo možné jej použít, nehrozí riziko ztráty
informace.
1.3.4 Datový formát JPEG
Datový formát JPEG je rastrový komprimovaný formát se ztrátovou kompresí obrazových
dat. Jedná se o běžný formát sloužící k archivaci a přenosu komplexních obrazových dat,
tedy např. biomedicínských obrazů. Naopak se nehodí jako formát pro ukládání malých
10
Lze vyhradit až 2 byte na jednu barevnou složku, tedy 6 byte na informaci o barvě pixelu. Další až
2 byte lze vyhradit na α-kanál, tedy celkem může jeden pixel reprezentovat až 8 byte.
11
Například řada ilustrací v tomto textu byla vytvořena nebo převedena na obrázek ve formátu PNG
24
grafických prvků internetových stránek, výrazně nevhodný je pak pro ukládání schématických
náčrtků. Míru ztráty informace lze volit, takže uživatel může ovlivnit velikost a
kvalitu uloženého snímku.
Komprese je založena na diskrétní kosinové transformaci12
, která, velmi hrubě řečeno,
určí nejméně významné rysy obrazu, které pak lze jen z malou ztrátou kvality obrazu
vypustit.
Vlastní matematické detaily jsou velmi zajímavé, nicméně pro potřeby očekávaného
čtenáře jde skutečně o detaily nepodstatné. Z průběhu komprese lze snad za důležité považovat
především následující body:
• Vlastní komprese a následné uložení do paměti probíhá v barevném modelu Y CBCR,
ve kterém je explicitně vyjádřen jas a doplněk k modré a k červené barevné složce.
• Dochází k redukci počtu barev.
• Vlastní redukce informace probíhá tak, že se vypočítá obraz v diskrétní kosinové
transformaci ve čtverci 8 × 8 pixelů. Zaokrouhlení určuje uživatel volbou koeficientu
kvality Q z intervalu 1 až 100, toto zaokrouhlení se podílí i na velikosti výsledného
souboru.
• Data jsou uložena v podobě dat transformovaných. Před zobrazením je tedy třeba
provést zejména inverzní diskrétní kosinovou transformaci. Zobrazení zejména rozsáhlých
obrázků tak může na běžném počítači trvat delší dobu než zobrazení jiných
formátů.
• Transformovaná data mají formu vhodnější pro bezeztrátovou kompresi, takže je
dosaženo výrazné komprese.
• Způsob, jakým jsou data uložena, umožňuje generovat náhled obrazu.
Datový formát JPEG je běžným formátem, ve kterém se ukládají biomedicínská data.
Pro klinické potřeby a hodnocení lékařem jde o velmi vhodný formát, při použití metod
pokročilejší analýzy obrazu je však třeba mít na mysli to, že při kompresi dat dochází ke
ztrátě informace. Toto může hrát roli zejména tehdy, je-li použita velmi citlivá analýza
textury. Texturní míry téže oblasti se na snímcích uložených s různým koeficientem kvality
mohlou lišit. Situaci ilustrují obrázky 1.9, 1.10, 1.11, 1.12 a 1.13, na kterých je jednak
identický snímek uložený při různém koeficientu kvality a jednak hodnoty pěti Haralickových
texturních měr (viz tab.1.1 a obr.1.14). Klesající kvalita reprodukce je zpočátku jen
málo zřetelná, nicméně s klesající hodnotou koeficientu kvality klesá kvalita dramatickým
způsobem.
12
Název této integrální transformace je uveden záměrně. Pokud by totiž někdy laskavého čtenáře napadlo
využít této transformace např. k analýze textury nebo ke zlepšení subjektivní kvality obrazu, může být
velmi nepříjemným způsobem překvapen tím, jak jeho odladěný postup tragicky selhává na snímcích, které
dodal kolega sídlící v jiné budově a používající jiný software s jinou mírou komprese.
25
ASM = 0.018 • CON = 5.308 • COR = 0.025 • IDM = 0.452 • ENT = 4.632
Obrázek 1.9: Ultrazvukový snímek fantomu (klasická mycí houbička zalitá v želatině) uložený
jako soubor JPEG s koeficientem kvality Q = 100.
ASM = 0.006 • CON = 5.115 • COR = 0.024 • IDM = 0.446 • ENT = 5.408
Obrázek 1.10: Ultrazvukový snímek fantomu (klasická mycí houbička zalitá v želatině) uložený
jako soubor JPEG s koeficientem kvality Q = 75.
26
ASM = 0.008 • CON = 5.106 • COR = 0.026 • IDM = 0.497 • ENT = 5.280
Obrázek 1.11: Ultrazvukový snímek fantomu (klasická mycí houbička zalitá v želatině) uložený
jako soubor JPEG s koeficientem kvality Q = 50.
ASM = 0.024 • CON = 5.602 • COR = 0.023 • IDM = 0.651 • ENT = 4.858
Obrázek 1.12: Ultrazvukový snímek fantomu (klasická mycí houbička zalitá v želatině) uložený
jako soubor JPEG s koeficientem kvality Q = 25.
27
ASM = 1 • CON = 0 • COR = — • IDM = 1 • ENT = 0
Obrázek 1.13: Ultrazvukový snímek fantomu (klasická mycí houbička zalitá v želatině) uložený
jako soubor JPEG s koeficientem kvality Q = 1.
Q 100 75 50 25 1
ASM 0.018 0.006 0.008 0.024 1
CON 5.308 5.115 5.106 5.602 0
COR 0.025 0.024 0.026 0.023 —
IDM 0.452 0.446 0.497 0.651 1
ENT 4.632 5.408 5.280 4.858 0
Tabulka 1.1: Haralickovy texturní míry horního fantomu na obrázcích 1.9, 1.10, 1.11, 1.12 a
1.13. Výpočet pro vzdálenost 1px a směr O◦ v prostředí ImageJ.
28
-2
-1
0
1
2
25 50 75 100
koeficient kvality Q
ASM
×
×
×
×
×
CON
COR
IDM
++
+
+
+
ENT
e
e
e
e
e
Obrázek 1.14: Závislost Haralickových texturních měr stanovených v obrázcích 1.9, 1.10,
1.11, 1.12 a 1.13 na koeficientu kvality Q formátu JPEG. Aby bylo možno jednotlivé hodnoty
srovnat, jsou hodnoty uvedené v tabulce 1.1 standardizovány.
1.3.5 Datový formát TIFF
Datový formát TIFF (Tag Image File Format) představuje datový formát, který prodělal
dramatický vývoj. Původně se jednalo datový formát pro přenos černobílých dokumentů
faxem, nicméně dalším vývojem se z něj stal datový formát pro ukládání barevných obrazů
ve velkém rozlišení. Barevná informace může být nesena jedním bitem (černá/bílá), šedotónová
nebo v modelu RGB. Možné je i použití barevné palety. Výchozí komprese používá
stejná jako u formátu JPEG, tedy komprese je ztrátová. V nových verzích formátu TIFF je
možné snadno získávat náhledy dílčích regionů – tato vlastnost jej předurčuje především
k práci s velkoplošnou grafikou. Použití tohoto formátu pro archivaci medicínských obrazů
tedy není navzdory možným obavám plynoucím z toho, že se dříve jednalo o formát určený
pouze pro černobílé dokumenty, vůbec chybou. Protože může být zvolena bezeztrátová
komprese, může být dokonce formát TIFF vhodnější než obvyklý formát JPEG.
1.3.6 Datový formát DICOM
DICOM (Digital Imaging and Communications in Medicine) je označení datového formátu a
současně i síťového komunikačního protokolu, který slouží k ukládání a přenosu biomedicínských
obrazových dat. DICOM by vyvinut v polovině 80. let za spolupráce American College
of Radiology (ACR) a National Electrical Manufacturers Association (NEMA). Na vývoji
aktuální verze 3.0 se podílela především Radiological Society of North America (RSNA),
konkrétně její Electronic Communications Committee, technicky pak především NEMA.
29
NEMA vyčlenila sekci Medical Imaging & Technology Alliance (MITA), která spravuje
vývoj formátu DICOM.
DICOM jako datový formát zapouzdřuje informace jednak o vlastním obrazu nebo videosekvenci
a jednak řada popisných informací obsahujících jak informace o datech vč.
diagnostické modality, která byla použita, tak i informace o pacientovi. Obrazová data
mohou být komprimována řadou algoritmů, je podporována ztrátová komprese (JPEG) i
komprese bezeztrátová.
Zajímavostí je, že z důvodů historické kompatibility by měl mít datový soubor jméno
dlouhé maximálně osm znaků a není povolena přípona. Někdy se vyskytující přípony jako
např. ∗.DCM jsou sice v rozporu se specifikací, nicméně v nových systémech obvykle nepředstavují
problém.
formát komprese barvy vhodnost pro biomedicínské obrazy
BMP ne model RGB ne
GIF bezeztrátová paleta ne
PNG bezeztrátová model RGB ano
JPEG ztrátová model Y CBCR podmíněně
TIFF volitelné volitelné ano
Tabulka 1.2: Přehled vlastností obrazových formátů
30
Kapitola 2
Charakteristiky obrazu
Obrazovou informaci lze chápat jako soubor pixelů a pokusit se o interpretaci tak, že se
na pixely budeme dívat jako na statistický soubor. Pokud vůbec nezohledníme vzájemnou
polohu pixelů, můžeme snadnou statistickou analýzou dostat základní informace o obraze,
ovšem ztratíme většinu informací. Pro preciznější charatrerizaci obrazu je tedy třeba zohlednit
i vzájemné polohy pixelů. Celou za toto je jednak obtížnější výpočet a jednak ztráta
jasného významu takto vypočítaných parametrů.
Níže uvedené dělení charakteristik na globální a lokální je především didaktické. Po
prostudování kapitoly by měl čtenář sám nahlédnout, že globální charakteristiky lze použít
k analýze vybraného regionu a naopak některé lokální charakteristiky charakteristiky
mohou dát nějaký výsledek i při aplikaci na celý obraz.
Jisté upřesnění si zaslouží i pojem charakteristika. Charakteristikou je zde míněn údaj
charakteru čísla, vektoru nebo i matice, který v sobě nese nějakou informaci o vlastnostech
obrazu. Pro číselnou charakteristiku v případě kvantifikace textury použijeme pojem míra
resp. texturní míra. Jde o jeden z používaných překladů anglického texture feature, ze
sporadického českého odborného písemnictví na toto téma podle našeho názoru působí
nejlibozvučněji. V případě kvantifikace tvarových vlastností regionu se obvykle používá
pojem tvarový deskriptor.
2.1 Globální charakteristiky
Globální charakteristiky obrazu v pojetí, kterého se přidržíme, představují takové charakteristiky,
které charakterizují obraz jako celek a ignorují detailní informace např. o poloze
jednotlivých pixelů. Jejich výpočet je poměrně snadný a jejich význam je obvykle zřejmý.
Jedná se o charakteristiky související s takovými vlastnostmi obrazu, jakými je především
barevný rozsah nebo jasové poměry obrazu.
31
2.1.1 Hloubka obrazu
Hloubka obrazu, též bitová hloubka, je počet bitů, které jsou vyhrazeny pro jeden pixel.
Udává se obvykle jako počet bitů přiřazených k vyjádření jasu jednoho pixelu. Tedy např.
černobílý obraz o hloubce 8 bitů může obsahovat až 256 různých odstínů šedi.
V případě barevných obrazů je situace nepatrně složitější, protože je třeba reprezentovat
informaci o třech barevných kanálech. Informaci o hloubce obrazu lze vyjádřit buď jako
hloubku každého kanálu nebo jako celkový počet bitů nebo i bytů vyhrazených jednomu
pixelu.
2.1.2 Dynamický rozsah
Dynamický rozsah je charakteristika doplňující hloubkou obrazu. Zatímco hloubka obrazu
ukazuje nejvyšší dosažitelný počet jasů v aktuální reprezentaci obrazu v počítači, dynamický
rozsah charakterizuje skutečné zobrazení jasových poměrů. K vyjádření se používají
dva přístupy, oba využívají jasu nejtmavšího pixelu amin a jasu nejsvětlejšího pixelu amax.
Dynamický rozsah lze vyjádřit jako poměr těchto dvou hodnot:
DRR = amax : amin (2.1)
Výsledný dynamický rozsah se obvykle upravuje tak, aby měl tvar N : 1.
Alternativně lze použít i logaritmického vyjádření, potom bude mít dynamický rozsah
hodnotu v decibelech (dB):
DRL = 20 log
amax
amin
(2.2)
2.1.3 Jas
Jas obrazu je středním jasem všech pixelů v obraze obsažených. Ke kvantifikaci jasu může
posloužit aritmetický průměr jasu všech pixelů. Někdy může být vhodnější medián jasu,
například pokud celkově tmavý obraz obsahuje pouze několik málo velmi jasných bodů.
V případě barevných obrazů hraje v subjektivním vnímání jasu velkou roli rozdílná
citlivost lidského oka na jednotlivé barvy. K vyjádření jasu barevného obrazu v modelu
RGB při znalosti jasu jednotlivých složek lze použít empirického vztahu:
I = 0.299R + 0.587G + 0.114B (2.3)
2.1.4 Kontrast
Kontrast obrazu má vztah k dynamickému rozsahu i k hloubce obrazu. Nepřihlíží však ani
tak k extrémním hodnotám jasu, jako spíše ke vztahu extrémních hodnot k hodnotě typické
či průměrné nebo k tomu, jak se od sebe jednotlivé pixely liší svým jasem. V literatuře
lze najít několik vztahů pro výpočet, poměrně dobrou představu o kontrastu obrazu si
můžeme udělat například te směrodatné odchylky nebo z mezikvartilového rozpětí stupňů
šedi jednotlivých pixelů.
32
2.1.5 Histogram
Základním zdrojem informace o poměrech jasu a kontrastu v obraze je histogram stupňů
šedi. Nejde o nic jiného, než o vyjádření relativní četnosti všech stupňů jasu. Z matematického
pohledu je vlastně histogram odhadem pravděpodobnostní funkce popisující jas
jednotlivých pixelů za předpokladu, že zcela zanedbáme informaci o souřadnicích každého
pixelu.
Histogram je tedy vektor, jehož délka je totožná s počtem všech zobrazitelných stupňů
šedi. Pokud bychom uvažovali šedotónový obraz, jehož hloubka by byla 8 bit˚u, byla by délka
vektoru 28
tedy 256. Takový vektor je pro vizuální hodnocení prakticky nepoužitelný, existuje
však celkem jednoduchý způsob, histogram zobrazit. Díky tomu se z histogramu stal
jeden z nejpoužívanějších nástrojů pro vizuální hodnocení technické kvality snímku. Vlastní
vizualizace histogramu nepotřebuje bližšího komentáře, obrázek 2.1 je samovysvětlující.
Obrázek 2.1: T1 vážený snímek z magnetické rezonance hlavy. Hypersignální léze v pravé
dolní čásky snímku je hemoragický (prokrvácený) maligní nádor glioblastoma multiforme.
Histogram v je vlastně sloupcový graf, kde na vodorovné ose jsou hodnoty jasu jednotlivých
pixelů, výška sloupce pak odpovídá relativní četnosti pixelů o daném jasu.
zdroj: Dr. Frank Gaillard: Glioblastoma multiforme -- haemorrhagicRadiopaedia.org, histogram
byl vytvořen pomocí programu ImageJ
V případě, že je obraz barevný, lze jasy jednotlivých barevných složek pixelu transformovat
v jas pomocí jednoduchého vztahu:
I = 0.299R + 0.587G + 0.114B (2.4)
Pokud je třeba posuzovaz i barevnou vyváženost obrazu, lze zcela analogicky sestrojit
i histogram pro každou složku barevnou složku zvlášť a hodnotit tak trojici histogramů.
Příklad takového histogramu je na obrázku 2.2.
Z histogramu lze na první pohled snadno zhodnotit poměry obrazu týkající se jasu a
kontrastu. Je-li histogram poměrně úzký, znamená to, že je obraz málo kontrastní. Naopak
široký histogram znamená, že je obraz výrazně kontrastní. Je-li maximum histogramu posunuto
výrazně doleva, indikuje to poměrně tmavý snímek, ve fotografické terminologii by
se hovořilo o podexponovaném snímku. Je-li naopak maximum posunuto výrazně vpravo,
33
Obrázek 2.2: Obraz Noční hlídka od nizozemského malíře Rembrandta van Rijna (1606–
1669) je příkladem obrazu, který je mimořádně tmavý. Toto je patrné i na histogramu kanálů
barevného modelu RGB. Je historickou zajímavostí, že tmavý nádech získal obraz až dodatečným
nátěrem, ve skutečnosti zachycuje denní výjev. Proto byl také tmavý nátěr v polovině
20. století odstraněn a dnes je obraz již jasný jako v době, kdy byl namalován.
Ke získání histogramu byl použit program ImageJ.
je obraz příliš jasný, ve fotografické terminologii přeexponovaný. Pokud jsou v histogramu
patrná výrazná a od sebe oddělená maxima, znamená to, že na obrázku je nejspíš několik
ploch o různém jasu.
Je třeba zdůraznit, že identický histogram mohou mít i dva naprosto odlišné obrazy.
Tuto skutečnost demonstruje obrázek 2.3.
34
Obrázek 2.3: I dva různě vypadající obrazy mohou mít shodný histogram. Na levém snímku
je standartní testovací obrázek – tvář švédské modelky Leny Söderberg (1951). Na pravém
snímku je tentýž snímek, ovšem jsou „popřehazovány jeho části. Uprostřed je jejich společný
histogram vytvořený pomocí programu ImageJ.
2.2 Lokální charakteristiky
2.2.1 Textura
Textura je vlastností plochy v obraze, vlastně jde o strukturu výplně této plochy. Zcela
neformálně lze na texturu pohlížet jako na charakteristiku např. hladkosti, hrubosti nebo
nepravidelnosti vzoru v dané ploše.
Důležitou intuitivně očekávanou vlastností textury je její jistá pravidelnost, tedy představa
jakéhosi elementárního prvku nebo elementárních prvků, které nějakým pravidelným
způsobem vyplňují plochu. Elementární prvek takto chápané textury se nazývá texon.
Nicméně na textury nelze nahlížet ani jako na vzor složený podle nějakého jednoduchého
a jasného pravidla z texonů, protože přirozené textury sice vykazují jistou pravidelnost,
ovšem tato pravidelnost se projevuje spíše v jisté podobnosti opakujících se míst než v jejich
úplné identitě. Například kresba na dřevě je obvykle pokládána za texturu, nicméně nelze
v ní žádnou pravidelnou strukturu odpovídající texonu nalézt.
Výše uvedené pojetí pojmu textura je používané spíše v počítačové grafice, protože je
svým způsobem konstruktivní, poskytuje návod, jak takovou texturu na ploše grafického
objektu vytvořit. V analýze textury však představuje problém již například identifikace
texonu a dále jeho rozumný popis. Proto se preferuje definice, která sice neposkytuje návod
na pokrytí objektu texturou, ale poskytuje návod na konstrukci rozhodovacího pravidla
o shodnosti textur: Řekneme, že dva regiony jsou pokryty stejnou texturou, mají-li shodné
statistické a strukturná vlastnosti.
Statistickými vlastnostmi jsou míněny v zásadě veškeré myslitelné postupy statistické
charakterizaze souboru pixelů podle jejich jasu, strukturními vlastnostmi jsou pak myšleny
vzájemné prostorové vztahy pixelů.
Velmi užitečný a intuitivní je náhled na texturu jako na jistou „zrnitost . Představme si
na chvíli, že informace o jasu pixelu je informací o výšce bodu nad rovinou obrazu. Plošný
obraz tedy převedeme na prostorový obraz jakési virtuální krajiny plné hor a údolí, ukázka
je na obrázku 2.4.
35
Obrázek 2.4: Tzv. surface plot vizualizuje texturu jako virtuální krajinu. Na levém obrázku je
výřez sonogramu zdravých jater, na pravém pak výřez sonogramu jater steatotických. Surface
plot byl vytvořem pomocí programu ImageJ.
zdroj: Dr. Frank Gaillard, Radiopaedia.org
K analýze textury, tedy především k její kvantifikaci, se používá řada přístupů. Obecně
je lze rozdělit do tří skupin:
1. statistický přístup
2. strukturní přístup
3. spektrální přístup
Výstupem analýzy textury může být konkrétní číslo anglicky zvané texture feature.
Český překlad není ustálený, nadále bude používáno označení texturní míra. Výstupem ale
může být i vektor nebo matice, tedy struktura, která se bezprostředně nehodí k vnímání
člověkem. Právě informace o textuře bývá poměrně často vstupem expertních a konzultačních
systémů, takže toto nepředstavuje velký problém.
2.2.1.1 Statistické míry prvního řádu
Statistickou mírou prvního řádu se myslí taková texturní míra, která je odvozena od histogramu.
K obrazu tedy přistupuje jako ke statistickému souboru pixelů, zcela ignoruje
jejich vzájemnou pozici. Stupeň šedi resp. hodnota jasu jednotlivých složek v barevném
modelu je chápána jako jediná hodnota znaku neseného příslušným objektem. Základním
prvkem pro konstrukci takovýchto ukazatelů jsou tedy statistické momenty a samozřejmě
histogram.
Pro další úvahy týkající se nejen této kapitoly se domluvme na označení. Stupeň šedi
pixelu na pozici (i, j) budeme značit pi,j, relativní četnost stupně šedi c v histogramu
relativních četností budeme značit h(c).
36
Jako n-tý centrální moment označíme číslo Mn definované vztahem:
Mn =
Colors−1
i=0
i · (i − m)n
· h(i) (2.5)
Nultý centrální moment má vždy hodnotu jedna, první centrální moment má vždy
hodnotu nula. Druhý centrální moment se označuje jako rozptyl. Je texturní mírou úzce
související s kontrastem dané plochy. Odvozují se od něj dvě častěji používané míry, směrodatná
odchylka a relativní hladkost:
Směrodatná odchylka S je definována vztahem:
S = M2 (2.6)
Relativní hladkost R je definována vztahem:
R = 1 −
1
1 + M2
(2.7)
Relativní hladkost nabývá hodnot od nuly do jedničky. Nulovou hodnotu relativní hladkosti
má homogenní plocha, protože rozptyl (M2) je nulový. S rostoucím rozptylem se
hodnota relativní hladkosti blíží jedničce, protože hodnota zlomku se postupně snižuje.
Z vyšších statistických momentů se používají především koeficient šikmosti a koeficient
špičatosti:
Koeficient šikmosti SKW je definován vztahem:
SKW =
M3
S3
(2.8)
Koeficient špičatosti CRT je definován vztahem:
CRT =
M4
S4
− 3 (2.9)
Statistické míry prvního řádu odvozené z histogramu jsou především kvantily (zejm.
medián) a mezikvantilová rozpětí. Výhodou ve srovnání s měrami odvozenými od statistických
momentů je jejich větší robustnost, tedy malá citlivost na vychýlení v důsledku
několika málo odlehlých hodnot.
K charakterizaci textury používají i další hodnoty, zejména informační entropie a uni-
formita.
Informační entropie H, též entropie či průměrná entropie, obrazu s histogramem
relativních četností h(i) je definována vztahem:
H = −
Colors−1
i=0
h(i) log2 h(i) (2.10)
37
Pro praktické výpočty není logaritmus o základu 2 příliš vhodný, lze však nahradit
logaritmem přirozeným:
H = −
1
ln 2
Colors−1
i=0
h(i) ln h(i) (2.11)
Uniformita U je definována vztahem:
U =
Colors−1
i=0
h2
(i) (2.12)
2.2.1.2 Texturní míry odvozené z koincidenční matice stupňů šedi
Koincidenční matice stupňů šedi (GLCM, z anglického Gray Level Co-occurence Matrix)
se používá při výpočtu texturních měr respektujících alespoň částečně vzájemnou polohu
pixelů.
Koincidenční matice stupňů šedi obsahuje informaci o vzájemném vztahu jasu definované
dvojice pixelů. Koincidenční matice stupňů šedi na volbě této dvojice závisí, proto
je třeba uvádět, pro jakou dvojici pixelů byla matice počítána. Dvojice se udává buď jako
relativní souřadnice druhého pixelu vzhledem k prvnímu, např. pixel ležící těsně vpravo od
prvního pixelu má souřadnice (1, 0), nebo jako vzdálenost dvou pixelů a orientovaný úhel,
jaký svírá jejich spojnice s jednou osou souřadnicového systému.
Koincidenční matice je čtercová matice o rozměrech n × n, kde n je počet stupňů šedi
v obraze. Při výpočtu se postupuje tak, že se vezme definovaná dvojice pixelů z obrazu.
Hodnoty jasu těchto pixelů představují indexy prvku v matici, jehož hodnota se zvýší
o jedničku. Když se vyčerpají všechny dostupné dvojice, každý prvek matice se vydělí
součtem všech prvků. Tím dostane prvek aij význam pravděpodobnosti, s jakou se v daném
obrázku vyskytuje dvojice pixelů určená zadaným vektorem taková, že jas prvního je i a
druhého je j.
Vlastní výpočet si přiblížíme na příkladu – máme určit koincidenční matici stupňů šedi
pro vektor (1, 1) na následujícím „obrázku :
Stupně šedi jsou v tomto obrázku čtyři (A,B,C a D), vektor (1, 1) znamená, že budeme
hodnotit dvojici pixel a pixel ležící pravo dole1
od prvního pixelu. Počty jednotlivých dvojic
udává následující tabulka (ve sloupci je jas prvního pixelu, v řádku jas druhého pixelu):
1
V počítačové grafice má osa x obvyklou orientaci, osa y má orientaci opačnou než jakou má v geometrii.
38
A B C D
A 3 3 1 1
B 1 0 2 0
C 2 1 0 0
D 0 0 0 1
Po vydělení této matice součtem všech prvků v matici získáme frekvence (odhady pravděpodobnosti
výskytu) jednotlivých dvojic pixelů, tedy vlastní koincidenční matici stupňů
šedi:
GLCM =




0.200 0.200 0.067 0.067
0.067 0.000 0.133 0.000
0.133 0.067 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.067




Matematicky rigorózním způsobem lze koincidenční matici stupňů šedi pro směrový
vektor d = (∆x, ∆y) a obraz o rozměrech (m + ∆x, n + ∆y) a o hloubce Colors zavést
následujícím vztahem:
GLCMd[i, j] =
n
p=1
m
q=1
1 : f(p, q) = i a současně f(p + ∆x, q + ∆y) = j
0 : jinak
(2.13)
Takto definovaná matice je maticí absolutních četností, přepočet na matici relativních
četností je snadný, pouze jeho zápis by byl komplikovaný.
Koincidenční matice stupňů šedi (GLCM, Gray Level Co-occurrence Matrix) představuje
způsob zohlednění nejen pravděpodobnostího charakteru obrazu jako množiny pixelů,
ale, na rozdíl od histogramu, částečně zohledňuje i vzájemnou polohu pixelů. Koincidenční
matice stupňů šedi je závislá nejen na vlastnostech obrazu, ale i na volbě směrového vektoru
d, není tedy rotačně invariantní. Typickým použitím GLCM je výpočet texturních
měr při segmentaci a klasifikaci obrazových dat. Protože jde o výpočet poměrně náročný,
často se, zejména je-li cílem segmentace podle dostatečně odlišitelných textur, uměle snižuje
bitová hloubka segmentovaného obrazu např. na pouhé 4 bity.
Pro výpočet Haralickových měr se používá matice relativních četností. V dalším textu
bude značena (π) a její prvky obvyklou maticovou notací πij. Na matici (π) se lze dívat
jako na dvojrozměrnou diskrétní pravděpodobnostní funkci. K té lze zavést marginální
pravděpodobnostní funkce πx a πy a k nim marginální střední hodnoty µx a µy a marginální
rozptyly σx a σy:
πx(i) =
Colors
j=1
πi,j (2.14)
µx =
1
Colors
Colors
i=1
πx(i) (2.15)
σx =
1
Colors − 1
Colors
i=1
(πx(i) − µx)2
(2.16)
39
Dále se zavádí pravděpodobnostní funkce πx+y a πx−y:
πx+y(k) =
i+j=k
πi,j (2.17)
a
πx−y(k) =
|i−j|=k
πi,j (2.18)
Ve své práci Haralick míry jednak pojmenoval a jednak očísloval, třípísmenné zkratky
zde použité nejsou kodifikovány, lze se setkat i s jiným značením.
Angular second moment (ASM, f1):
ASM =
Colors
i=1
Colors
j=1
π2
i,j (2.19)
Contrast (CON, f2):
CON =
Colors−1
n=0
n2


|i−j|=n
πi,j

 (2.20)
Correlation (COR, f3):
COR =
Colors
i=1
Colors
j=1 ijπi,j − µxµy
σxσy
(2.21)
Sum of Squres (Variance, V AR, f4):
V AR =
Colors
i=1
Colors
j=1
(i − µ)2
πi,j (2.22)
Inverse Difference Moment (IDM, f5):
IDM =
Colors
i=1
Colors
j=1
1
1 + (i − j)2
πi,j (2.23)
Sum Average (SAV , f6):
SAV =
2Colors
i=2
iπx+y(i) (2.24)
Sum Variance (SV R, f7):
SV R =
2Colors
i=2
(i − SEN)2
πx+y(i) (2.25)
40
Sum Entropy (SEN, f8):
SEN = −
2Colors
i=2
px+y(i) ln(πx+y(i) + ε) (2.26)
Konstanta ε je malé kladné číslo, které se volí arbitrálně pro konkrétní úlohu. Důvodem
pro použití této konstanty je to, že logaritmus nuly není definován.
Entropy (ENT, f9):
ENT =
Colors
i=1
Colors
j=1
πij ln(πij + ε) (2.27)
Difference Variance (DV R, f10):
DV R = D(πx−y(i)) (2.28)
Difference Entropy (DEN, f11):
DEN = −
Colors−1
i=0
πx−y(i) ln(πx−y(i) + ε) (2.29)
Information Measure of Correlation (IMC1, IMC2, f12, f13):
IMC1 =
ENT − HXY 1
max {HX, HY }
(2.30)
IMC2 = 1 − exp (−2(HXY 2 − ENT)) (2.31)
Kde symboly HY , HY , HXY 1, HXY 2 jsou informační entropie:
HX = −
Colors
i=1
πx(i) ln(πx(i) + ε) (2.32)
HY = −
Colors
i=1
πy(i) ln(πy(i) + ε) (2.33)
HXY 1 =
Colors
i=1
Colors
j=1
πi,j ln(πx(i)πy(j) + ε) (2.34)
HXY 2 =
Colors
i=1
Colors
j=1
πx(i)πy(j) ln(πx(i)πy(j) + ε) (2.35)
Maximal Correlation Coefficient (MCC, f14) je definován jako druhá odmocnina
druhého největšího vlastního čísla matice (q):
qi,j =
k
πi,kπj,k
πx(i)πy(k)
(2.36)
Protože výpočet vlastních čísel zejména velkých matic představuje problém, který není
obecně řešitelný jinak než numericky, tato poslední texturní míra se příliš nepoužívá.
41
2.2.2 Texturní míry odvozené z run-length matice
Texturní analýza založená na run-length2
matici představuje statistický přístup vyššího
řádu, protože při vlastní analýze je zohledněna vzájemná poloha většího množství pixelů.
Metodu publikoval Galloway v roce 1975.
Koncept run-length matice, přesněji šedotónové run-length matice (anglicky Gray Level
Run-Length Matrix, zkratka GLRLM nebo RLM), je založen na poměrně jednoduché úvaze,
totiž že texturu mohou charakterizovat četnosti a velikosti ploch stejné barvy. Velikost
těchto ploch se v tomto případě odhaduje tak, že se přes obraz postupně kladou přímky
se směrnicí θ, obvykle se používají pouze rovnoběžky se souřadnicovými osami a někdy i
s osami kvadrantů. Podél těchto přímek se počítá délka úseků3
stejné barvy. Výsledky se
vynášejí do matice typu i × j, kde i je počet stupňů šedi v analyzovaném obraze a j je
nejdelší souvislý úsek jedné barvy. Pro daný směr θ je v prvku Πi,j(θ) matice Π(θ) počet
souvislých intervalů barvy i a délky j, které jsou v daném obraze zachyceny při jeho úplném
pokrytí přímkami o směrnici θ. V praxi se obvykle před výpočtem GLRLM snižuje počet
stupňů šedi, protože běžná hodnota, tedy 256 nebo víc by u běžných ploch vedla na příliš
řídkou matici, její výpočet by však vyžadoval mnohem více paměti i strojového času. Ze
stejného důvodu se analogickým způsobem snižuje i počet délek běhů.
Protože je matice absolutních četností Π(θ) závislá na velikosti plochy, přechází se obvykle
k matici relativních četností π(θ). Počet řádků matice se značí G, jedná se vlastně
o počet stupňů šedi v analyzovaném obraze. Počet sloupců matice R označuje délku nejdelšího
souvislého úseku. Pro počet všech pixelů v analyzovaném obraze se zavání označení N.
Protože má matice relativních četností vlastně pravděpodobnostní funkcí diskrétního
dvojrozměrného náhodného rozdělení, lze zavést marginální pravděpodobnostní funkce4
:
rj(θ) =
G
i=1
πi,j(θ) (2.37)
a
gi(θ) =
R
j=1
πi,j(θ) (2.38)
Význam marginálních pravděpodobností je odlišný než u GLCM. Zatímco u GLCM
sloužily marginální pravděpodobnosti jako prostředek k výpočtu některých texturních měr,
lze všechny texturní míry počítané z GLRLM vyjádřit výhradně pomocí jedné nebo druhé
marginální pravděpodobnostní funkce. To představuje značnou výhodu, neboť paměťová
náročnost R · G tak vlastně klesá na paměťovou náročnosti R + G a zcela analogicky klesá
i výpočetní náročnost výpočtu jednotlivých texturních měr.
2
český překlad run-length jako např. délka běhu se příliš nepoužívá
3
Kvůli šikmým přímkám se uvažuje 8-konektivita, tedy za sousedy pixelu je považováno všech osm
pixelů v jeho nejbližším okolí
4
Značení jsem se pokusil sjednotit s výše uvedeným značením použitým u koincidenční matice stupňů
šedi. Obvyklé značení je totiž π(i, j|θ), tedy explicitní zdůraznění, že GLRLM má charakter podmíněné
pravděpodobnosti.
42
Short Run Emphasis (SRE)
SRE =
1
S
G
i=1
R
j=1
πi,j(θ)
j2
=
1
S
G
j=1
rj(θ)
j2
(2.39)
Long Run Emphasis (LRE)
LRE =
1
S
G
i=1
R
j=1
j2
πi,j(θ) =
1
S
G
j=1
j2
rj(θ) (2.40)
Gray Level Non-uniformity (GLN)
GLN =
1
S
G
i=1
R
j=1
πi,j(θ)
2
=
1
S
G
i=1
(gi(θ))2
(2.41)
Run Length Non-uniformity (RLN)
RLN =
1
S
R
j=1
G
i=1
πi,j(θ)
2
=
1
S j=1
R (rj(θ))2
(2.42)
Run Percentage (RP)
RP =
S
N
(2.43)
Low Gray Level Run Emphasis (LGRE)
LGRE =
1
S
G
i=1
R
j=1
πi,j(θ)
i2
=
1
S
G
i=1
gi(θ)
i2
(2.44)
High Gray Level Run Emphasis (HGRE)
HGRE =
1
S
G
i=1
R
j=1
i2
πi,j(θ) =
1
S
G
i=1
i2
gi(θ) (2.45)
2.2.3 Lawsovy filtry
Lawsův přístup k textuře je založen na filtraci5
obrazu pomocí speciálních filtrů vytvořených
nikoliv na základě rigorózní matematické analýzy problému, ale na základě intuitivního
přístupu k tomu, jaké parametry textury hodnotí při vnímání člověk. Výsledné
texturní míry jsou pak získány jako jednoduché statistické míry filtrovaných obrazů, tedy
zejména průměr a směrodatná odchylka. Lawsovy filtry mají jednu vlastnost usnadňující
5
Pojmy filtr a filtrace a také související pojem konvoluce budou vyloženy v kapitole 3
43
jejich výpočet, totiž jde o filtry separabilní. Tato vlastnost znamená, že je lze vyjádřit
jako součin dvou vektorů a výsledkou konvoluci se čtvercovou maskou lze nahradit početně
méně náročnou řádkovou a sloupcovou konvolucí nejprve s jedním a poté s druhým vektorem.
Běžně se používají vektory délky 3, 5 a 7, jejich zkratky jsou mnemotechnickými
popisy jejich grafického znároznění: L (Level), E (Edge), S (Spot), W (Wave), R (Ripple) a O
(Oscilation). Tyto vektory jsou definovány následujícím způsobem:
L3 = (1, 2, 1) L5 = (1, 4, 6, 4, 1) L7 = (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)
E3 = (−1, 0, 1) E5 = (−1, −2, 0, 2, 1) E7 = (−1, −4, −5, 0, 5, 4, 1)
S3 = (−1, 2, −1) S5 = (−1, 0, 2, 0, −1) S7 = (−1, −2, 1, 4, 1, −2, −1)
W5 = (−1, 2, 0, −2, 1) W7 = (−1, 0, 3, 0, −3, 0, 1)
R5 = (1, −4, 6, −4, 1) R7 = (1, −2, −1, 4, −1, −2, 1)
O7 = (−1, 6, −15, 20, −15, 6, −1)
Tabulka 2.1: Vektory pro konstrukci Lawsových filtrů velikosti 3 × 3, 5 × 5 a 7 × 7
Vlastní filtr se pak značí podle dvojice použitých vektorů. Například filtr S5E5 je definován
jako součin vektorů:
S5E5 := ST
5 · E5 =






−1
0
2
0
−1






· (−1 − 2 0 2 1) =






1 2 0 −2 −1
0 0 0 0 0
−2 −4 0 4 2
0 0 0 0 0
1 2 0 −2 −1






(2.46)
Za povšimnutí stojí skutečnost, že filtr S5E5 není totožný s filtrem E5S5. Když nás tedy
bude zajímat, jaký počet filtrů nakonec bude k dispozici, musíme toto zohlednit. Konkrétní
hodnoty jsou v tabulce 2.2
délka vektoru počet vektorů počet filtrů
3 3 6
5 5 20
6 6 35
Tabulka 2.2: Počty Lawsových filtrů pro jednotlivé délky generujících vektorů.
Pro další zpracování obrazu je výhodné, aby byl součet všech koeficientů filtru roven
jedné nebo nule. To je splněno u všech filtrů, které nejsou zkonstruovány pomocí vektorů
L. V praxi se proto obvykle výsledek konvoluce s vektorem L3 dělí číslem 4, výsledek
konvoluce s vektorem L5 číslem 16 a výsledek konvoluce s vektorem L7 číslem 64.
Texturní míra se pak zjistí jako jednoduchá statistická texturní míra filtrovaného regionu.
Obvykle se používá aritmetický průměr a rozptyl nebo směrodatná odchylka, protože
jsou snadno implementovatelné. Příklad analýzy textury pomocí Lawsova filtru S5E5 je na
obrázku 2.5.
44
Obrázek 2.5: Aplikace Lawsova filtru S5E5. V levém sloupci je ultrazvukový obraz zdravé
jaterní tkáně, v pravém obraz steatotické tkáně. V prvním řádku je výřez ze sonogramu, ve
druhém je tentýž obraz po aplikaci Lawsova filtru S5E5. Jako vlastní texturní míry slouží
průměrný stupeň šedi ¯X a rozptyl S2:
obraz zdravých jater obraz steatotických jater
¯X = 4.023 ¯X = 12.243
S2 = 31.047 S2 = 316.982
zdroj: Dr. Frank Gaillard, Radiopaedia.org. Filtrace vzorku byla provedena manuálně v programu
gimp.
45
2.2.4 Spektrální vlastnosti
K analýze textury lze využít i jejích spektrálních vlastností. Mezi nejobvyklejší přístupy
patří dvojrozměrná Fourierova transformace (viz kapitola 3.5.2). Zajímavým ale výpočetně
poměrně náročným přístupem je analýza granulometrického spektra. Granulometrické
spektrum je jednou z aplikací metod spadajících do oblasti matematické morfologie
(viz kapitola 3.4).
Obecně lze konstovat, že spektrální přístup je zejména u textur vykazujících značnou
a přitom podle typu objektu proměnlivou periodicitu poměrně účinný, nicméně výstupem
je obvykle vektor nebo matice hodnot, takže se hodí spíše jako vstup pro expertní systém
než jako hodnoty vhodné k přímé vizualizaci. Protože je však zejména vektor obsahující
spektrální vlastnosti přirozeným způsobem uspořádaný, má smysl jej zobrazit jako histo-
gram.
46
2.2.5 Fraktální dimenze
V klasické euklidovské geometrii se pracuje s ideálními útvary – bodem, úsečkou nebo
třeba koulí. Stačí letmý pohled z okna a je zřejmé, že jde o idealizace přírodních útvarů.
Od reálných objeků se objekty euklidovské geometrie odlišují především hladkostí (viz
obr.2.6).
Obrázek 2.6: Typ oblaku zvaný Cirrus (řasa) je esteticky hezkou ukázkou objektu,
který lze jen obtížně popsat pomocí objektů klasické geometrie, ovšem fraktální geometrie
poskytuje dostatek nástrojů k jeho popisu.
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:Cirrusclouds-Georgia-Oct1st.jpg
Na fraktály lze skutečně nahlížet jako na objekty, které jsou výrazně členité. Toto však
nepostačuje a obvykle se doplňuje, že fraktálem je jen soběpodobný výrazně členitý útvar.
Vlastnost soběpodobnosti znamená, že když se podíváme na oblast fraktálu a porovnáme
ji s její vhodně zvětšenou částí, uvidíme stejný obraz. Toto možná lépe pochopíme, když
si předsravíme konstrukci jedné hrany fraktálního útvaru nazývaného Kochova vločka –
obr.2.7.
Vedle soběpodobných fraktálů existují ještě fraktály soběpříbuzné. Zatímco opakování
pravidla ke konstrukci soběpodobných fraktálů, které je naznačeno na obr.2.7, je přísně
pravidelné, v konstrukci soběpříbuzných fraktálů hraje jistou roli i náhoda – v každé iteraci
je konstrukční pravidlo lehce ovlivněno malou náhodou fluktuací. Uplatněním náhody se
při změně měřítka pohled liší, ovšem je patrná příbuznost.
Fraktály mají své místo v počítačové grafice i v řadě oblastí matematiky a fyziky.
V případě analýzy obrazových dat se využívá především odhadu fraktální dimenze.
Pokud si představíme objekty klasické geometrie, můžeme si jejich dimenzi představit
jako počet parametrů, které nám postačují k jednoznačnému určení polohy bodu v daném
objektu. Tak například přímka nebo úsečka mají topologickou dimenzi jedna, plocha, čtverec
nebo třeba kružnice mají dimenzi dva a krychle nebo dvanáctistěn mají dimenzi tři.
Takováto dimenze se nazývá topologická dimenze.
47
Obrázek 2.7: Kochova vločka je útvar vzniklý tak, že se na na strany rovnostranného
trojúhelníka aplikuje postup, jaký je zde naznačen pouze pro úsečku. V prvním kroku
se úsečka rozdělí na třetiny. Ve druhém kroku se prostřední třetina úsečky doplní na
rovnostranný trojúhelník a strana ležící na původní úsečce se vypustí. Postup se opakuje
na všechny nově vzniklé úsečky, protože jde o matematickou abstrakci, můžeme prohlásit,
že se postup opakuje nekonečněkrát. Na obrázku jsou první čtyři iterace tohoto postupu.
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:Koch snowflake0192.png
48
Vedle topologické dimenze lze zavést dimenzi Hausdorffovu, někdy nazývanou dimenzí
Hausdorfovou Besicovitchovou, v počítačové grafice se pak obvykle hovoří o fraktální dimenzi.
Její rigorózní definice je pro nematematiky poměrně komplikovaná, proto se v nematematických
textech obvykle uvádí pouze volná formulace, která říká, že Hausdorfova
dimenze udává, s jakou rychlostí roste míra6
útvaru při změně měřítka.
Představme si opět Kochovu vločku (obr. 2.7. Před první iterací máme úsečku délky d.
Po první iteraci se prostřední třetina vyjme a přidají se dvě úsečky délky třetina d, takže
úsečka má délku 4
3
d. Není obtížné ukázat, že po nekonečném počtu iterací bude mít vzniklý
útvar nekonečnou délku. Toto je obecnou vlastností fraktálních objektů.
Představme si, že r× zmenšíme měřítko, tedy r× provedeme iteraci pravidla pro konstrukci
fraktálu. Soběpodobný fraktál se pak bude skládat z N identických kopií „podjednotek
. Pro výpočet fraktální dimenze D se zavádí následucící vztah:
D = − lim
r→∞
log N
log r
(2.47)
Rovnice 2.47 je základem numerických metod odhadu. Aplikace odhadu fraktální dimenze
jako texturní míry je naznačena na obrázku 2.8.
Příklad aplikace stanovení fraktální dimenze k využití obrazové informace jako prediktivního
faktoru je na obrázku 2.9.
6
Pojem míra je zobecněním pojmů délka, plocha, objem,. . .
49
Obrázek 2.8: Odhad fraktální dimenze textury ultrazvukového snímku fantomu – suspenze
koňských erytrocytů v želatině. Na prvním obrázku je ultrazvukový snímek fantomu. Na druhém
je prahovaný obrázek, práh byl zvolen jako modus v histogramu. Důvodem pro prahování
je to, že je výpočetně snazší počítat odhad fraktální dimenze útvaru v rovině, stejně tak by
bylo možné počítat fraktální dimenzi trojrozměrného útvaru, jehož třetím rozměrem by byl
stupeň šedi.
Na grafech je naznačen princip odhadu fraktální dimenze pomocí mřížkové metody. Metoda
spočívá v tom, že se těleso pokryje mřížkou stejně velkých buněk (boxů), podle topologické
dimenze jsou buňkami úsečky, čtverce nebo krychle. Úpravou rovnice 2.47 se získá vztah:
N(r) = k r−D
Parametr r označuje velikost boxu, parametr N označuje počet boxů, které byly třeba k pokrytí
tělesa. Na obou grafech jsou vyneseny hodnoty r (vodorovná osa) a N (svislá osa) pro
prahovaný obrázek. Protože počet boxů může být pro malou velikost několikanásobně vyšší, je
použito zobrazení jak v lineární tak i v logaritmické škále. Hodnota fraktální dimenze D se pak
zjistí tak, že se zjištěné hodnoty aproximují vhodnou křivkou (zde naznačeno červeně), která
umožní snadné určení limity pro nekonečně veliké r. Fraktální dimenze vypočítaná pomocí
programu ImageJ je D = 1.861.
50
Obrázek 2.9: Poměrně typickou aplikací odhdu fraktální dimenze je použití fraktální dimenze
jako markeru malignity. Podle názoru autora J.Š. jde spíše o fascinaci fraktály jako „patologickým
jevem v geometrii a vyvozování chybné analogie, nicméně i tento přístup k analýze
obrazu má své výsledky a proto není důvod jej zavrhovat.
Příkladem je práce autorů Bedin a kol., ve které se zaměřili na analýzu odhadu fraktální
dimenze histopatologického obrazu jádra jako prognostického markeru melanomu. Za přesně
definovaných podmínek pořídili snímek tkáně, za zmínku stojí především to, že své snažení neznehodnotili
technickou chybou a obrazová data ukládali bez použití ztrátové komprese, tedy
nepoužili obvyklý formát JPEG. Na prvním obrázku je výřez jádra v barvení hematoxylinem
po převedení do stupňů šedi. Na druhém obrázku je tentýž útvar, ovšem převeden na surface
plot, tedy na objemová data. Na třetím je naznačen výpočet fraktální dimenze mřížkovou
metodou, fraktální dimenze je směrnicí přímky v logaritmické škále. Statistickou analýzou
autoři zjistili, že lze takto spočítanou fraktální dimenzi pokládat za negativní prognostický
faktor, tedy čím je hodnota vyšší, tím méně příznivá je prognóza.
Tento závěr není překvapující. Vyšší fraktální dimenze neznamená nic jiného než vyšší členitost
hranice. V pojetí autorů je tou hranicí surface plot, tedy vyšší fraktální dimenze znamená,
že se častěji a výrazněji střídají okrsky více a méně barvitelné. Poruchy a atypie v barvitelnosti
jader jsou však jedním k klasických mikroskopických znaků malignity. Jejich molekulárním
korelátem je zřejmě poměrně náhodná aktivace a deaktivace transkripce a translace v rámci
celého genomu nádorové buňky. Přirozený lidský jazyk však nemá prostředky pro kvantifikaci
toho, jak moc je chromatin členitý, takže kvantifikace třeba i cestou fraktální dimenze představuje
získání další informace.
zdroj: [5]
51
2.2.6 Tvar
Tvar je vlastnost obrazového objektu, která je intuitivně uchopilená podstatně snáze než
textura. Tvar objektů známých z klasické geometrie je jasnou záležitostí, obšem problém
nastává u velmi členitých objektů. U nich se uplatní opět fraktální geometrie, takže záleží
jen na uspořádání úlohy, zda se na fraktální dimenti odvozenou od konkrétního objektu
budeme dívat jako na míru textury nebo míru tvaru.
Analýza tvaru má v biomedicínských aplikacích obvykle menší význam než analýza
textury, protože řada lézí má víceméně oválný tvar s pravidelnou a málo členitou hranicí,
veškerou dostupnou informaci o charakteru léze lze získat tak, že porovnáme délky nejvetšího
a nejkratšího rozměru a případně úhel, jaký tyto dvě úsečky svírají. Přesto však
existuje řada klinicky významných situací, kdy je právě pravidelnost nebo členitost léze
diagnosticky významná, řada dalších lézí se šíří difúzně, takže nelze zcela korektně hovořit
o málo členité hranici.
Pro ilustraci uvádíme vybrané léze podle jejich tvarové charakteristiky. Je třeba zdůraznit,
že je míněna obvyklá situace, existují výjimky, jejichž četnost není zanedbatelná.
• pravidelný víceméně oválný tvar
– lymfatická uzliny vyplněná zánětlivým infiltrátem
– lymfatická uzliny vyplněná nádorovým infiltrátem
– expanzivně rostoucí nádor
– aneurysma
– absces
• nepravidelný či difúzní tvar
– infiltrativně rostoucí nádor
– infiltrativně rostoucí metastáza
– flegmóna
– okraje ran vzniklých při některých úrazových dějích
V analýze mikroskopického obrazu je důležitý tvar buněk a buněčných organel. Jejich
tvar nemusí být podle typu tkáně oválný, nicméně obvykle je geometricky poměrně
jednoduchý – vřetenitý, válcovitý nebo blízký hranolu s jednoduchou základnou.
Dalším zajímavým tvarem, jehož analýza může mít klinický význam, je analýza tvaru
krevního řečiště. Například diabetická retinopatie se projeví i změnami na cévách sítnice,
viz obr. 2.10.
2.2.6.1 Detekce hranice
K detekci hranice objektů existuje řada algoritmů. Jako hranice, obvykle však spíše hrana,
se označuje takové místo v obraze, ve kterém se výrazně mění lokální charakteristiky obrazu.
Obecně lze k detekci hranic přistoupit buď jako k detekci maximální změny nebo
52
Obrázek 2.10: Obraz sítnice z funduskamery. Na levém snímku je obrázek zdravé
sítnice, na pravém je snímek chorioretinitidy při AIDS. Analýza takového obrazu může
být diagnosticky užitečná při hodnocení závažnosti poškození.
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:Fundus of eye normal.jpg,
File:Chorioretinitis AIDS nci-vol-2169-300.jpg
jako k rozdělování obrazu na podobné regiony. V prvním případě se hovoří o detekci hran,
ve druhém pak o segmentaci obrazu.
Detekce hran je založena na pohledu na obraz jako na funkci dvou proměnných. Za
hranu je pokládáno místo, ve kterém je maximální změna, tedy maximální první derivace7
,
popř. se studují změny druhé derivace (diference). K takovéto detekci hran slouží řada
operátorů, za zmínku stojí zejména operátory (filtry, hranové detektory):
• Laplaceův operátor
• Prewittové operátor
• Sobelův operátor
• LoG operátor
• Cannyho hranový detektor
Rozdíl je především v tom, zda aproximují první nebo druhou derivaci, ve způsovu
aproximace této derivace a v dalších operacích zajišťujících např. menší citlivost na šum.
Tedy zatímco např. Robertsonův operátor je realizován jako přímočarý odhad gradientu8
a výpočetně je realizován jako konvoluce (viz kapitola 3.2.1) s jednoduchou maticí 2 × 2,
Prewittové operátor je již realizován konvolucí s maticí 5 × 5 a Cannyho hranový detektor
je již celým algoritmem, jehož součástí je i výpočet gradientu obrazové funkce.
7
U digitálních obrazů pochopitelně nemá pojem derivace, který je založen na spojitosti nezávisle proměnné,
velkého významu. Ovšem ve stejném významu jsou použity direfence, tedy rozdíly sousedních
hodnot, rozdíly rozdílů hrají roli druhých derivací atd.
8
Gradient je vektor ve směru největšího spádu, tedy nejrychlejšího poklesu. V diferenciálním počtu
funkcí více proměnných je zaváděn z toho důvodu, že samotná derivace nepostačuje například k hledání
lokálních extrémů.
53
Tento způsob detekce hran je použitelný tam, kde se hledají hranice mezi dvěmi víceméně
homogenními plochami. Jakmile je ale hledána hranice mezi plochami, které mají
výraznou texturní kresbu, operátory založené na aproximaci derivace selhávají. Jedním
z řešením je to, že se obraz nejprve upraví filtrací, která texturu „rozmaže tak, že se
stane více homogenní. Další možností je provést kvantifikaci textury v okolí každého bodu
a získat tak tzv. texturální obraz, tedy obraz, jehož intenzita v každém pixelu odpovídá
nějaké texturní míře v okolí pixelu původního obraru. Hrana se pak nalezne v texturním
obraze.
Zcela jiný přístup k problematice nastíněné v předešlém odstavci nabízí přístup založený
na segmentaci obrazu. Vlastní formulace cíle segmentace obrazu je jiná, totiž rozdělení
obrazu na plochy se stejnými barevnými nebo texturními charakteristikami. Segmentací
se obraz rozdělí do definovaných oblastí, poloha hranic je spíše vedlejším výstupem. Při
segmentaci se obvykle jedna oblast pokládá za pozadí, ve které jsou rozptýleny objekty
o relativně menší ploše.
Pricnip segmentace lze pochopit na nejjednodušší metodě, tedy na prahování. Mechanicky
se stanoví nějaké hranice, například medián histogramu ˜h, každý pixel se upraví
podle vztahu:
ci,j =
Black ci,j ≤ ˜h
White ci,j > ˜h
(2.48)
Cokoliv je po prahování černé (Black), je pokládáno za pozadí, cokoliv je bílé (White),
je pokládáno za popředí.
Většina metod pracuje podstatně sofistikovaněji, leč jejich výpočet je mnohem náročnější.
Základní myšlenkou, která je využita při aplikaci, je to, že do jednoho segmentu
patří pixely, které mají podobné vlastnosti. Pro princip realizace pak není podstatné, zda
je touto vlastností myšlen jas, barva nebo třeba statistické vlastnosti jistého okolí pixelu,
tedy textura v okolí pixelu. Vlastní segmentace může být realizována buď jako slučování
nebo rozdělování oblastí.
Segmentace slučováním probíhá v principu tak, že na počátku je považován každý pixel
za segment. Ze všech segmentů jsou vybrány dva nejpodobnější a jsou sloučeny do jednoho
segmentu. Postup se opakuje, dokud není splněno nějaké zastavovací pravidlo, protože
po dostatečně velkém počtu kroků by tento algoritmus vedl ke sloučení všech pixelů do
jediného segmentu.
Jiný přístup může spočívat v rozdělování. Původní obraz je rozdělen na nějaké segmenty
a mezi segmenty probíhá výměna hraničních pixelů podle toho, kterému segmentu jsou
podobnější. Oproti předešlému má tento přístup nevýhodu v tom, že již na začátku musí být
z vnějšku zadán počet segmentů, který se během výpočtu nezvýší. Rychlost výpočtu je pak
někdy až dramaticky ovlivněna počáteční volbou segmentů. Na druhou stranu vynikajících
výsledků je dosahováno tehdy, pokud je přibližná hranice segmentu zadána uživatelem a
počítač hranici pouze upřesní.
Pokud je třeba přesně stanovit hranice jediného segmentu, lze použít i jiný přístup,
dokonce přístup poměrně populární. Přístup se obvykle nazývá snake segmentation nebo
active adaptive contour. Metoda vychází z fyzikální analogie, která hledí na hranici jako
54
na pružnou smyčku, která každým rozepětím nebo ohnutím zvyšuje svoji energii (vnitřní
energie). Na smyčce je řada bodů, jejichž energii určuje stav pixelu (jas, okolí), ve kterém
se právě nacházejí. Jako energie smyčky (hada, snake) pak vystupuje součet těchto dvou
energií. Vlastní upřesnění hranice pak spočívá v minimalizaci celkové energie.
2.2.6.2 Popis tvaru
Tvar objektu lze kvantifikovat několika způsoby lišících se teoretickým východiskem a
složitostí výpočtu. Číslo nebo vektor, kterým se tvar popíše, se obvykle nazývá tvarový
deskriptor (shape descriptor). Významné jsou zejména následující tvarové deskriptory:
2.2.6.2.1 Obecné tvarové deskriptory
Plocha S objektu bývá udána jako počet pixelů náležejících do příslušného regionu.
Pokud známe rozměry fyzického pixelu, jde údaj přepočítat na plochu ve fyzikálních veli-
činách.
Obvod o objektu představuje počet pixelů ležících na hranici objektu.
Cirkularita C objektu udává, nakolik se liší jeho obsah od obsahu kružnice o stejném
obvodu:
C =
o2
4πS
(2.49)
Je-li cirkularita rovna jedné, jde o kružnici, všechny ostatní tvary mají cirkularitu větší
než jedna. Někdy se ve vztahu neobjevuje výraz 4π.
Fourierovské tvarové deskriptory využívají popisu hranice objektu jako komplexní
řady tvořené x-ovými a y-ovými souřadnicemi jednotlivých bodů hranice:
s(k) = x(k) + i y(k)
Vlastná Fourierovské deskriptory se pak získají Fourierovou transformací řady s(k).
Statistické momenty jsou v teorii pravděpodobnosti nejčastěji používanými charakteristikami
náhodné veličiny. Jejich odhady se dobře uplatňují i při popisu tvaru.
Představme si, že objekt resp. region Θ je tvořen N pixely. Protože nás zajímá pouze
tvar, přiřadíme pixelům náležejícím do objektu váhu 1 a pixelům ležícím vně objektu
váhu 0. Potom můžeme obecný p-tý a q-tý smíšený moment zapsat jako:
mpq =
1
N k∈Θ
x(k)p
y(k)q
(2.50)
55
Zavedením průměrných hodnot, přesněji odhadů střední hodnoty, pro jednotlivé souřadnicové
osy ¯x a ¯y se lze dostat k centrálním momentům.
¯x =
1
N k∈Θ
x (2.51)
¯y =
1
N k∈Θ
y (2.52)
Potom můžeme centrální p-tý a q-tý smíšený moment zapsat jako:
µpq =
1
N k∈Θ
(x(k) − ¯x)p
(y(k) − ¯y)q
(2.53)
Centrální momenty se obvykle normují vzhledem k nultému centrálnímu momentu:
ηpq =
µpq
µ
(p+q)/2+1
00
(2.54)
Centrováním a normalizací se momenty stávají invariantními vůči změně měřítka a vůči
posuvu. Aby bylo dosaženo i invariantnosti vůči rotaci, definují se momentové invarianty:
Φ1 = η20 + η02 (2.55)
Φ2 = (η20 + η02)2
+ 4η2
11 (2.56)
Φ3 = (η30 − 3η12)2
+ (3η21 − η03)2
(2.57)
Φ4 = (η03 + η12)2
+ (η21 + η02)2
(2.58)
2.2.6.2.2 Ad hoc tvarové deskriptory Jako d hoc tvarové deskriptory můžeme označit
takové tvarové deskriptory, které nelze použít obecně, ale v řadě aplikací mají dobrý
smysl. Příklad takového deskriptoru, který se běžně používá při diferenciaci mezi maligním
a benigním charakterem ultrazvukového snímku zvětšené lymfatické uzliny, je na
obrázku 2.11.
2.2.7 Analýza opakujících se motivů
Řada biomedicínských obrazů má charakter opakujících se motivů, přičemž toto opakování
má charakter spíše statistický než zcela deterministický. Příkladem takového opakování se
může být například histologický obraz tkáně, na kterém jsou oněmi opakujícími se prvky
jednotlivá buněčná jádra. Analýza opakujících se prvků má blízko k analýze textury, v řadě
situací lze použít jako jeden z přístupů k její analýze. Použití je však poměrně širší, takže
považovat analýzu opakujících se motivů pouze za jeden z možných přístupů k textuře by
bylo chybou.
Nejběžnějším přístupem k analýze opakujících se motivů je Voronoiův diagram9
a
Delaunayova triangulace.
9
V českém písemnictví se lze setkat se tvary Voronoiův/Voroného diagram/dláždění/teselace. Nejednoznačnost
přepisu jména plyne z transkripce z ukrajinského Voronoi˘i přímo nebo přes anglický přepis
Voronoy. Teselace je počeštělý tvar slova tessellation.
56
Obrázek 2.11: Diferenciální diagnostika lymfadenopatií patří mezi obtížnější úkoly
ultrasonografisty. Lymfadenopatie je totiž poměrně běžná a je třeba určit, zda je důvodem
změn lymfatické uzliny pouze reakce na zánět probíhající ve spádové oblasti příslušné
lymfatické uzliny, nebo zda je příčinou infiltrace lymfatické uzliny metastatickými
nádorovými buňkami.
K odlišení benigního a maligního původu se používá celá řada popisných znaků:
• velikost uzliny
• tvar uliny
• heterogenita textury
• změny v hilu uzliny
• ztlušťení kůry
• mikrokalcifikace
• nekrózy
• poruchy pouzdra
Protože má lymfatická uzlina víceméně eliptický tvar, ukazuje se, že poměrně dobrým
parametrem s výrazným vztahem k charakteru uzliny je poměr délek dlouhé a krátké osy.
zdroj: Dr Charudutt Jayant Sambhaji: Malignant lymph node morphology and doppler
analysis. Radiopaedia.org
57
2.2.7.1 Voronoiův diagram
Představme si situaci, kdy rovina obsahuje několik bodů. Voronoiův diagram není nic jiného,
než rozdělení roviny na nepřekrývající se mnohoúhelníky tak, aby byl v každém
mnohoúhelníku obsažen právě jeden bod. Požaduje se přitom to, aby pro každý bod mnohoúhelníku
platilo, že je nejblíže tomu z bodů generujících diagram, který leží uvnitř daného
mnohoúhleníku. Toto lze formulovat i jinak – totiž ke každému z předem zadaných bodů
přiřadíme všechny body roviny, které k němu mají blíže než ke všem ostatním.
2.2.7.2 Delaunayova triangulace
Jestliže se na Voronoiův diagram budeme dívat jako na graf v tom smyslu, v jakém se slovo
graf používá v informatice nebo v diskrétní matematice, pak není Delaunayova triangulace
nic jiného než graf duální v Voronoiovu diagramu.
Delaunayova triangulace je zavedena tak, že se předpokládá, že je v rovidě konečně
mnoho diskrétních bodů. Cílem triangulace je nalézt rozdělení roviny na trojúhelníky takové,
že mají své vrcholy v jednotlivých bodech. Hlavním požadavkem je to, aby byl maximalizován
nejmenší vnitřní úhel ze všech trojúhelníků, které tvoří triangulaci.
2.2.7.3 Použití
Typickým použitím je rozdělení obrazu na jednotlivé oblasti odpovídající jedlotlivým stavebním
prvkům. Voronoiův diagram lze tak například použít ke zvýraznění předpokládaných
buněčných membrán v histologických preparátech.
Přímočarou aplikací je kvantifikace rovnoměrnosti distribuce nějakých útvarů v rovině.
Těmi útvary v rovině mohou být například jádra buněk na histologickém snímku z optického
mikroskopu nebo jaderné póry na elektronmikroskopickém snímku buněčného jádra.
Aplikací Voronoiova diagramu nebo Delaunayovy triangulace získáme intuitivně poměrně
zřejmý nástroj popisu homogenity distribuce těchto struktur (viz obr. 1.6).
Výše popsané metody mají své uplatnění i v epidemiologii. Pokud máme k dispozici
pouze údaje o nákazách pouze z nerovnoměrně vybraných vzorků10
nebo pokud hledáme nakupení
případů, lze použít postup podobný konstrukci Voronoiova diagramu (viz obr. 2.12).
10
Důvodem takové nerovnoměrnosti může být apříklad namátkové měření u nepříliš závažných infekcí
nebo odběry vzorků v případě antropozoonóz.
58
Obrázek 2.12: Práce anglickoho lékaře Johna Snowa (1813–1858) bývá uváděna jako
jedno z klíčových děl stojících u zrodu epidemiologie. V roce 1854 se v Londýně v okolí
Broad Street vypukla epidemie cholery. John Snow, který byl skeptický vůči tehdy převládající
teorii miasmat, podle které je příčinou chorob „špatný vzduch , konkurenční teorie
choroboplodných zárodků byla stále pouze hypotézou bez bezpečného a jen obtížně zpochybnitelného
důkazu platnosti (ten je spojen až se jménem Roberta Kocha, kterému bylo
v době Londýnské epidemie deset let). Rozborem výskytu případů dospěl k přesvědčení,
že příčinou cholery je je vody z pumpy na Broad Street. Nicméně chemickou a mikroskopickou
analýzou vody se mu nepodařilo prokázat, že by se ve vodě nacházelo něco, co by
mohlo být původcem cholery. Proto se rozhodl získat důkaz nepřímo analýzou výskytu
případů. Ukázalo se, že až na několik případů všichni mrtví měli ze svého bytu k inkriminované
pumpě blíže než ke všem ostatním pumpám. U zbývajících případů se mu podařilo
bezpečně prokázat, že vodu z pumpy také pili.
Snowův postup, při kterém rozdělil kritickou oblast na regiony podle vzdálenosti od jednotlivých
pump, je stejný jako důvod zavedení Voronoiova diagramu. Dodnes se v epidemiologii
Voronoiových digramů stále používá, například při pátrání po zdroji znečištění.
zdroj: John Snow: Výskyt případů cholery v okolí Broad Street
59
Kapitola 3
Operace s obrazem
Operace s obrazem1
jsou takové manipulace s obrazem, při kterých se část informace obsažené
v obrazových datech zdůrazní. Může se tak dít na úkor ztráty jiné části informace,
ovšem pokud je operace provedena dobře, tak můžeme subjektivně vnímat zlepšení obrazu.
Slůvko subjektivně je mimořádně důležité, protože úpravy jsou obvykle prováděny právě
s cílem zlepšit subjektivní vjem, méně pak s cílem obraz standardizovat pro počítačovou
analýzu. Je třeba zdůraznit, že při operacích s obrazem v nejlepším případě nedochází ke
ztrátě informace, obvykle se však informace ztrácí.2
Naprosto obecný přístup je ten, že operace s obrazem je nějaké zobrazení, které jednomu
obrazu přiřazuje jiný obraz. Toto se může zdát jako příliš matematické, ovšem pro
naše potřeby stačí, když se omezíme na digitální obraz. Ten si můžeme představit jako
matici čísel. Zobrazení si pak můžeme představit jak řadu funkcí, které jednomu pixelu výstupního
obrazu přiřadí nějakou kombinaci nějak matematicky upravených hodnot všech
pixelů obrazu vstupního.
Malinko precizněji lze toto tvrzení formulovat následujícím způsobem. Nechť A a B
jsou dva obrazy, tedy matice typu m × n3
. Maticovou funkci f, která reprezentuje operaci
s obrazem, zapíšeme formálně takto:
f : A → B (3.1)
1
Pojem operace vychází spíše z rigorózního matematického přístupu k obrazům a operacím nad nimi
jako k matematickým strukturám. Přístup technický je konkrétnější, je založen na tom, že obraz je dvojrozměrným
diskrétním signálem. Výsledky obou přístupů jsou pro bezprostřední aplikace stejné, výrazně
se neliší ani použitý formalizmus. Z hlediska uživatele je asi tím nejpodstatnějším rozdílem to, že se pro
označení operace s obrazem používá označení filtrace obrazu.
2
Vedle podstatně známějšího CSI syndromu, by se dalo hovořit i o „Image processing syndromu , tedy
o deformaci profesionálů využívajících služeb odborníků v oblasti zpracování obrazu seriálovou produkcí
tak, že požadují činnosti, které jsou z principu např. diskrétního charakteru digitálního obrazu nemožné.
Takovým nejobvyklejším prohřeškem je požadavek na ostření poměrně komplexního detailu, který je díky
kvalitě pořízení snímku reprezentován jen několika pixely a jeho „rozmazání je způsobeno pouze ztrátovou
kompresí obrazu.
3
Matice typu m × n je matice, která má m řádků a n sloupců.
60
Tedy zápis je zcela prostý:
B = f(A) (3.2)
Pro prvek bij obrazu B platí, že je kombinací všech pixelů obrazu A a případně i
souřadnic (i, j):
bij =
m
k=1
n
l=1
fijkl(akl) (3.3)
Symbol fijkl znamená libovolnou funkci. Čtveřice indexů znamená, že je pro každou
dvojici pixelů bij a akl může být zadána individuální funkce. Takto obecně je tedy operací
s obrazem zadáno mimořádně velké množství – např. při definice operace s obrazem
o rozměrech 256 × 256 pixelů lze zadat až 4.294.967.296 různých funkcí. Toto pochopitelně
přesahuje meze dostupné výpočetní techniky a tak se většina těchto funkcí stanovuje identicky
rovna nule4
nebo se použije jiný a podstatně úspornější zápis operace s obrazem.
Lze si totiž snadno představit, že hodnoty jednotlivých funkcí fijkl musí být velmi silně
provázány, jinak by neměla výsledná operace s obrazem smysluplný význam.
Podle charakteru operace f můžeme operace s obrazem klasifikovat. Tato klasifikace
není samoúčelná, obvykle má velký význam při hodnocení výpočetní náročnosti příslušné
operace.
• Podle matametických vlastností
lineární
nelinerární
• Podle rozsahu nenulových funkcí fijkl
bodové operace
lokální operace
globální operace
Lineární operace jsou takové operace, ve kterých pro operaci platí linearita v algebraickém
slova smyslu. Funkce fijkl jsou jenom konstantami a platí tedy:
bij =
m
k=1
n
l=1
fijkl · akl (3.4)
Matematicky triviální důsledek, který je obvykle uváděn jako vlastní definice linearity
operace nad obrazem, je ten, že pro dva obrazy A1 a A2 a dvě konstanty c1 a c2 platí:
f(c1A1 + c2A2) = c1f(A1) + c2f(A2) (3.5)
4
Je-li funkce fijkl(x) = 0 pro libovolné x, znamená to, že hodnota pixelu ve výstupním obrazu ležícím
na souřadnicích (i, j) není nikterak ovlivněna hodnotou pixelu ležícího ve vstupním obraze na souřadnicích
(k, l).
61
Slovně to znamená, že je jedno, jestli se dva obrazy nejprve sečtou a až poté se na ně
aplikuje příslušná operace, nebo jestli se na ně nejprve aplikuje operaci a teprve poté se
oba výsledné obrazy sečtou. Hlavní výhodou lineárních operací je jejich výpočetní rychlost.
Nevýhodou pak to, že v některých aplikacích lineární přístup selhává. Nelineární operací
je pak jakákoliv operace, která není lineární.
Bodové operace lze formálně definovat tak, že operace f bude bodová tehdy a jen tehdy,
jestliže pro její skupinu funkcí fijkl platí:
fijkl =
0 (i, j) = (k, l)
gij (i, j) = (k, l)
(3.6)
Bodové operace jsou tedy operacemi, které mění hodnotu pixelu bez ohledu hodnoty
pixelů ležících v jeho okolí. Pokud navíc platí, že hodnoty funkcí gij jsou stejné, tedy že výsledek
operace nezávisí na tom, kde daný pixel leží, nazýváme takovou operaci manipulace
s histogramem.
Lokální operace jsou takové operace, kde je hodnota pixelu ve výstupním obrazu určena
pouze hodnotami korespondujícího pixelu ve vstupním obrazu a hodnotami pixelů
ležících v jeho blízkém okolí. Lokální operace, zejména pak lokální lineární operace, jsou
efektivně popisovány pomocí konvoluce. Pro svoji blízkost přístupu ke zpracování signálů
se tyto operace obvykle označují jako filtrace. Bodové operace jsou vlastně „degenerovanými
operacemi lokálními, nicméně z důvodu operací typu manipulace s histogramem je
užitečné je vyčlenit.
Zdaleka nejčastěji se lze setkat s manipulacemi s histogramem a s lokálními operacemi,
z globálních operací pak především s Fourierovou transformací. Většina používaných
operací je lineárních, z nelineárních se lze setkat především s lokálními, např. mediánový
filtr pro korekci šumu typu pepř a sůl5
. Velmi zajímavou skupinou lokálních nelineárních
operací jsou operace založené na matematické morfologii.
3.1 Manipulace s histogramem
Manipulace s histogramem (viz kapitola 2.1.5 na straně 33) představují v principu nejjednodušší
operace s obrazem, lze si je představit tak, že mění charakter konkrétního pixelu
bez ohledu na jeho okolí. Matematicky tedy představují operace s histogramem pouze jednu
jedinou funkci jedné proměnné, která transformuje jeden pixel vstupního obrazu na jeden
obraz výstupního obrazu. Název manipulace s histogramem se používá spíše z toho důvodu,
že v řadě grafických programů je tato operace vizualizována tak, že uživatel zdánlivě
skutečně manipuluje s histogramem.
5
Šum typu pepř a sůl je označení pro takový typ šumu, kdy jsou k obrazu náhodně přidány výhradně
černé a bílé body, tedy body o minimálním a maximálním možném jasu.
62
Z širokého spektra možných manipulací s histogramem se v praxi používají následující
operace:
• změny jasu
• změny kontrastu
• prahování
• ekvalizace histogramu
• gama korekce
3.1.1 Změna jasu a kontrastu
3.1.1.1 Změna jasu
Změna jasu (viz kapitola 2.1.3 na straně 32) patří mezi základní operace s obrazem, snad
každý se s ní setkal například v podobě nastavení jasu u televizoru. Její matematický zápis
je velmi snadný:
f(i) = i + c (3.7)
Nevýhodou takovéhoto přístupu je především to, že jakmile dosáhne nejjasnější pixel
v obraze maximální hodnoty, je další zvyšování jasu operací, při které se ztrácí informace.
Při zvyšování jasu tímto způsobem se tvar histogramu posunuje doprava, při snižování
pak doleva. Tvar histogramu se, pokud nedojde k překročení maxima, nemění. Výsledek
je demonstrován na horní části obrázku 3.1.
3.1.1.2 Změna kontrastu
Změna kontrastu (viz kapitola 2.1.4 na straně 32) představuje manipulaci, při které by měl
být zvýšen rozdíl v jasu mezi jednotlivými pixely. Zdánlivě nejjednoduším řešením by byla
následující funkce:
f(i) = d · i (3.8)
Takové řešení by ovšem v praxi velmi rychle narazilo na dva problémy. Tím prvním
je to, že takovýmto prostým zvýšením kontrastu se zároveň zvyšuje jas obrazu a snížením
kontrastu se jas obrazu snižuje. Druhým problémem je omezená hodnota nejvyššího jasu
v reprezentaci obrazu v paměti počítače, takže velmi snadno by došlo k situaci, kdy dojde
k vyčerpání všech dostupných barev a detaily odpovídající jasnějším bodům se slijí do
jedné homogenní plochy.
Při manipulaci s kontrastem pomocí násobení se histogram zužuje resp. roztahuje. Jako
vedlejší efekt se i posouvá. Pokud je konstanta d větší než jedna, posouvá se doprava, pokud
je menší než jedna, posouvá se doleva.
Vzhledem k diskrétnímu charakteru obrazu, tedy k nezanedbatelnému vlivu zaokrouhlování,
se mohou dva různé stupně jasu zobrazit na stejný jas. Při manipulaci s kontrastem
tak může docházet ke ztrátě informace. Výsledek je demonstrován na dolní části
obrázku 3.1.
63
Obrázek 3.1: Horní dvojice snímků demonstruje zvýšení jasu prostým přičtením konstanty
ke stupni jasu. Na histogramu je patrné, že je pouze posunut doleva, hodnoty, které
by byly vyšší než je jas bílého bodu, jsou oříznuty a zobrazeny jako bílý bod.
Na dolní dvojici snímků je demonstrováno zvýšení kontrastu vynásobení konstantou. protože
by se tím histogram posunul na vyšší hodnoty, je současně vhodná konstanta odečtena.
I zde bylo nutné ořezat nejvyšší a nejnižší hodnoty.
64
3.1.1.3 S-křivky
Řešením nedostatků přímočarým způsobem prováděných manipulací s jasem a kontrastem
jsou tzv. s-křivky (s-shaped curve), které vhodným způsobem definují funkci bodové
operace. V případě manipulace s jasem jde o vhodně definovanou konvexní resp. konkávní
funkci, v případě manipulace s kontrastem je třeba, aby měla taková křivka inflexní bod
(viz obr. 3.3 a 3.4).
Protože s-křivky mají nelineární průběh, dojde poměrně snadno k tomu, že se se na
jednu úroveň jasu ve výstupu zobrazí několik různých hodnot jasu na vstupu. Manipulace
s jasem a kontrastem pomocí s-křivek tedy, i když vede k subjektivně lepším výsledkům,
představuje operaci, při které dochází ke ztrátě informace. Subjektivně je tato změna obvykle
nepostřehnutelná, ale v případě, že bude obraz použit např. jako vstup pro expertní
systém, může se tato ztráta informace stát zdrojem chyby6
, zejména je-li tato úprava provedena
několikrát a je-li pokaždé ukládána.
Obrázek 3.2: Nastavení s-křivky v programu GIMP lze
provést manuálně pomocí myší zvolených kontrolních bodů.
Lze zvolit i velmi neobvyklý tvar, jehož faktická smysluplnost
není veliká.
Snímek je z editace barevné fotografie, takže je vidět i možnost
volby kanálu – vedle zde zvoleného kanálu jas, kterým
se manipuluje s jasem a kontrastem barevného obrazu
zřejmě nejlépe, lze editovat i jednotlivé kanály v barevném
modelu RGB. Takovou manipulací však dochází ke změně
barevné informace.
Za zmínku stojí i to, že zde prezentovaná s-křivka vedla taktéž
ke změně barevné informace. Budiž to varováním, že jakékoliv
manipulace s barevnými obrazy mohou ze své podstaty
nebo vlivem zaokrouhlovacích chyb nebo ořezávání
vést ke změně barevné informace. Dlužno podotknout, že
křivky demonstrované na obrázcích 3.3 a 3.4 barevnou informaci
v maximální možné míře zachovávají a lze je proto
pokládat za bezpečné pro barevné snímky.
6
Chybou je myšleno to, že expertní systém špatně vyhodnotí situaci nikoliv pro vlastní nedostatečnost,
ale pro špatná data. Na druhou stranu je třeba zdůraznit, že expertní systém, který by byl citlivý na tak
malou odchylku ve vstupních datech, není příliš obvyklý. S tak málo robustním expertním systémem by se
neměl setkat jiný uživatel, než vyučující na technické vysoké škole hodnotící semestrální projekty studentů
– v tomto případě známkou pro studenta velmi nepříznivou.
65
Obrázek 3.3: Příklad manipulace s jasem pomocí s-křivek. V levé části je černobílý
snímek Leny, pod ním jeho histogram. Uprostřed je s-křivka, pomocí které byla vlastní
manipulace s histgramem provedena. V pravé části je výsledek manipulace.
Pokud je s-křivka monotónní bez inflexního bodu, je výsledkem manipulace především
změna jasu obrazu. S-křivka v horní části přiřazuje pixelům s výjimkou pixelů hraničních
nižší jas, s-křivka v dolní části přiřazuje pixelům vyšší jas. Pozorovatelná změna tvaru
histogramu jde částečně na vrub s-křivce a částečně na vrub zaokrouhlování.
66
Obrázek 3.4: Příklad manipulace s jasem pomocí s-křivek. V levé části je černobílý
snímek Leny, pod ním jeho histogram. Uprostřed je s-křivka, pomocí které byla vlastní
manipulace s histgramem provedena. V pravé části je výsledek manipulace.
Pokud je s-křivka monotónní s inflexním bodem, je výsledkem manipulace především
změna kontrastu obrazu. Leží-li inflexní bod v blízkosti přímky spojující černý a bílý bod,
jas pixelů ležících v okolí inflexního bodu se prakticky nemění a mění se jen jas pixelů od
inflexního bodu vzdálených.
S-křivka na prvním snímku přiřazuje pixelům s jasem nižším než má inflexní bod hodnoty
ještě nižší a pixelům s jasem vyššímá než má inflexní bod hodnoty ještě vyšší, tedy jasnější.
Výsledkem je zvýšení kontrastu. V dolním snímku je situace opačná, výsledkem je snížení
kontrastu.
67
3.1.2 Prahování
Prahování patří mezi velmi jednoduché manipulace s histogramem. Základní provedení
prahování s prahem T je velmi jednoduché:
f(i) =
Black i ≤ T
White i > T
(3.9)
Tedy ve výstupním obrazu jsou všechny jasy menší nebo rovny než prahová hodnota T
nastaveny na černou barvu a hodnoty vyšší než prahová hodnota nastaveny na bílou barvu.
Výsledkem prahování je tedy obraz, ve kterém jsou pixely jen ve dvou barvách, tzv. binární
obraz.
Prahování může být využito jako nejjednodušší metoda segmentace, tedy jako rozdělení
obrazu na popředí a pozadí. Výhodou binárních obrazů je i to, že operace nad nimi mohou
probíhat rychleji. Týká se to zejména operací matematické morfologie, která je i v binární
podobě poměrně výpočetně náročná, v šedotónové podobě pak přibývají problémy
s nárůstem výpočetní složitosti a s interpretací stupně šedi jako dalšího rozměru.
Prahování může být však použito i poněkud složitějším způsobem, takže jako prahování
se mohou označovat postupy, kterými se z obrazu selektivně vypouštějí určité intervaly
jasů. Může se jednat o oříznutí nejvyšších a nejnižších stupňů šedi nebo naopak o vypuštění
středních hodnot. Z tohoto pohledu je jistou formou prahování i použití oken při
zobrazování CT (viz obr. 3.5).
3.1.3 Ekvalizace histogramu
Histogram charakterizuje jasové poměry obrazu. Podle pouhého posouzení histogramu lze
rozdělit obrazy do čtyř skupin. Tyto skupiny se obvykle pojmenovávají podle analogie
s klasickou fotografií, protože snímky vznikly obvykle v důsledku stejné chyby, jaké se
mohl dopustit fotograf:
1. přeexponovaný snímek – výrazně převažují jasné tóny
2. podexponovaný snímek – výrazně převažují tmavé tóny
3. nevyvážený snímek – většina pixelů má podobný jas, jas není rozložen rovnoměrně
4. vyvážený snímek – jednotlivé stupně šedi jsou využity stejně, kvalitní snímek
Cílem ekvalizace histogramu je převést jednu z možností 1 až 3 na vyvážený snímek.
Postup má charakter algoritmu. Výsledek takové ekvalizace včetně histogramů je na obrázku
3.6.
68
Obrázek 3.5: Tkáňové okno (CT Window) je bodová transformace nativních obrazových
dat z výpočetní tomografie založená na prahování.
Lidské oko je schopno rozlišit v jednom obraze jen poměrně malý počet stupňů šedi, zatímco
běžný rozsah Hounsfieldových jednotek se pohybuje v tisících, takže při přímém
mapování jedné hodnoty HU a jednoho stupně šedi by byl výsledným vjemem poměrně
nekontrastní obraz. Řešením je sloučení části stupňů šedi do jedné barvy a prahování černé
i bílé barvy. Graf takové mapovací funkce je na dolním obrázku. Hodnoty nižší než jistý
práh jsou mapovány na černou barvu, hodnoty vyšší než jistý jiný práh jsou pamovány na
bílou barvu a hodnoty ležící mezi těmito prahovými hodnotami jsou rovnoměrně mapovány
na celý barevný rozsah. V praxi se okno zadává nikoliv pomocí prahových hodnot,
ale pomocí šířky intervalu hodnot, které se mapují na jiné barvy než je černá a bílá (Width,
na obrázku označeno jako W), a pomocí středu tohoto intervalu (Level, na obrázku
označeno jako L).
Volbou konkrétní dvojice L a W lze v obrázku zobrazit detaily odpovídající různým tkáním,
používá se např. kostní okno nebo okno pro měkké tkáně. Na horním obrázku je
demonstrován pohled ve dvou oknech na tutéž oblast těla, totiž transverzální řez hrudníkem
zachycující plicní parenchym. Na snímku vlevo jsou parametry okna L = −600 a
W = 1700. Poměrně dobře je vykreslena struktura vzdušných plic, nicnémě již u měkkých
tkání se struktura stírá. Volbou parametrů L = −60 a W = 400 se již plicní struktura
ztrácí, zvýrazněné bílé body jsou uzlíky kompaktní tkáně, zde konkrétně plicní metastázy.
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:NM19 122.jpg
69
Obrázek 3.6: Ukázka ekvalizace histogramu na transverzálního řezu CT snímku břišní
dutiny, na kterém je mimo fyziologických orgánů zachycen i nezhoubný nádor (adenom)
levé nadledviny.
Na horním snímku je CT tak, jak bylo pořízeno, na dolním pak CT s ekvalizovaným
histogramem. U obou snímků jsou pro názornost uvedeny i jejich histogramy. Cílem je
demonstrovat výsledný efekt ekvalizace, tedy rovnoměrnější rozprostření histogramu přes
celý dynamický rozsah. Zároveň je demonstrována jedna ze slabin nativního přístupu –
poměrně velká plocha pozadí výrazně interferuje s algoritmem ekvalizace, takže snímek,
který je podle jednoduchého hodnocení analogického klasické fotografii „technicky kvalitnější
, je ve skutečnosti méně kvalitní.
Ve skutečnosti je k subjektivnímu zvyšování kontrastu v biomedicínských obrazech třeba
použít sofistikovanějších metod vyvinutých podle charakteristických vlastností té konkrétní
zobrazovací modality. Tak například u řezu celým tělem je více než žádoucí vyloučit
z dalších úprav pozadí, tedy plochy snímku odpovídající oblasti vně lidského těla.
zdroj: Dr. Frank Gaillard: Adrenal Adenoma. Radiopaedia.org
70
3.1.4 Gama korekce
Gama korekce je záležitostí spíše technického než grafického charakteru, byla vynucena
vlastnostmi běžných monitorů7
, především tím, že závislost intenzity jasu luminoforu na
světélkující vrstvě není přímo úměrná intenzitě dopadajícího proudu elektronů, ale závislost
je přibližně exponenciální.
Gama korekce byla zavedena právě jako korekce této nelinearity výstupního zařízení.
Gama korekcí se jas bodově transformuje funkcí:
f(i) =
γ
√
i (3.10)
Parametr γ vyjadřuje míru nelinearity, jeho obvyklá hodnota se příliš neliší od čísla 2.5.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5
γ = 2.0
γ = 2.5
γ = 3.0
Obrázek 3.7: Grafický průběh gama korekce pro některé hodnoty parametru γ
7
Klasické monitory se označují zkratkou CRT (Cathode Ray Tube), v principu jde o běžné barevné
obrazovky podobné klasickým obrazovkám televizním. Dnes jsou nahrazovány monitory fungujícími na
jiném principu, protože jsou v řadě ohledů výhodnější.
71
3.2 Lineární filtry
3.2.1 Konvoluce
Konvoluce je matematická operace, která spojuje dvě funkce f(t) a g(t) reálné proměnné t.
Definována je jako8
:
(f ∗ g)(t) =
+∞
−∞
f(τ)g(t − τ) dτ (3.11)
Konvoluce má velký význam mimo jiné v teorii pravděpodobnosti a v teorii signálů.
Protože je obraz vlastně také dvojrozměrným signálem, nabízí se myšlenka, že by byla
konvoluce nějakým způsobem užitečná i při analýze a zpracování obrazů. Ukazuje se, že
tomu tak skutečně je. Matematicky velmi snadným postupem9
lze přejít k definici konvoluce
dvou principiálně nekonečných digitálních obrazů f a g, tedy vlastně matic:
(f ∗ g)(i, j) =
+∞
k=−∞
+∞
l=−∞
f(k, l)g(i − k, j − l) (3.12)
Představme si, že obraz g je podstatně menší, tj. s výjimkou velmi malé oblasti obsahuje
jen nuly, než obraz f. Takovému malému obrazu g říkáme konvoluční jádro. Pro usnadnění
výpočtu se předpokládá, že střed obrazu g má souřadnice (0, 0). Dále předpokládejme, že
obraz g má tvar čtverce o straně délky 2n + 1. Potom bude mít konvoluce tvar:
(f ∗ g)(i, j) =
n
k=−n
n
l=−n
f(k, l)g(i − k, j − l) (3.13)
Z tohoto tvaru je patrný vlastní význam takovéto konvoluce. Hodnota pixelu výstupního
obrazu na souřadnicích (i, j) je součtem násobků pixelů ležících v obdélníku ležícím mezi
body (i − n, j + n) a bodem (j + n, j − n). Každý pixel je násoben příslušným koeficientem
v konvoluční masce. Toto však není nic jiného, než lokální lineární operace (filtrace). Není
těžké ukázat, že všechny lokální lineární operace lze popsat pomocí konvolučního jádra.
Protože jde v případě obrazů o diskrétní operace, hovoří se spíše o konvoluční masce nebo
konvoluční matici. Například konvoluční maska zadávající výpočet průměru z okolních
pixelů (průměrový filtr) vypadá takto:



1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9


 (3.14)
Z praktických důvodů se často zadává maska pro výpočet konvoluce s celočíselnými
koeficienty, zlomky jsou vytknuty před matici:
1
9


1 1 1
1 1 1
1 1 1

 (3.15)
8
Proměnná τ v definičním vztahu je pouze parametrem integrace
9
Velmi snadným při znalosti integrálního počtu funkcí více proměnných.
72
Další praktickou modifikací je připojení posunu. Konvolucí se totiž může změnit průměrný
jas modifikovaného obrazu. Návrat jasu na původní hodnotu lze realizovat zavedením
další konstanty, která se po výpočtu konvoluce odečte od výsledného pixelu. Není příliš
obtížné dokázat, že jde pouze o formální změny usnadňující intuitivní zadávání konvoluční
matice, její podstata se nijak nemění a stále jde o lokální lineární operaci. Obrázek 3.8
ilustruje manuální zadání konvoluční matice v programu GIMP.
Obrázek 3.8: Manuální sestavení konvoluční matice v progamu
GIMP. Matice je celočíselná, dokonce i násobek matice je
zadáván jako jeho celočíselná převrácená hodnota (dělitel). Vedle
výše uvedeného stojí za pozornost zejména možnost volby
konvoluce pouze u jednotlivých barevných kanálů.
Naznačená konvoluční matice počítá průměrný jas z pixelů ležících
v bezprostředním sousedství a dále pixelů ležících ve
vzdálenosti 2 na obou hlavních osách od středu.
Konvoluční matice představuje univerzální a přitom obvykle poměrně úsporný způsob,
jakým lze lineární operaci zadat. Proto v dalším textu uvedeme i jejich konvoluční matici.
3.2.2 Filtr typu průměr
Filtr typu průměr (průměrový filtr) je nejjednodušší lineární operací. Konvoluční maticí je
matice obsahující samé jedničky a dělitelem je součet všech prvků. Filtrace s takovýmto
konvolučním jádrem vede k potlačování detailů a stírání ostrých hran. Filtrace vede k částečnému
potlačení bodového šumu. Výsledek (viz obr. 3.9) však není příliš uspokojivý,
podstatně lepších výsledků dosahuje mediánový filtr.
73
Obrázek 3.9: Na levém obrázku je koronárně vedený CT řez lidským břichem pacienta
trpícího polycystickou chorobou ledvin (masy v dutině břišní jsou cystické ledviny).
Uprostřed je tentýř obraz, doplněný o arteficiální gaussovský šum. Zašumělý obraz je pak
filtrován filtrem typu průměr, výsledek filtrace je na pravém obrázku. Je vidět, že sice
došlo k subjektivnímu zlepšení kvality obrazu orgánů, ale zároveň se výrazně setřely a
rozostřily hrany.
Zde stojí za povšimnutí to, že černá plocha v pozadí zůstává nekvalitní a tím výrazně
zhoršuje subjektivní vjem z celého obrazu.
Doporučujeme srovnat s výsledkem aplikace nelineárního mediánového filtru, který je
prezentován na obrázku 3.12.
zdroj: Dr. Erik Ranschaert: Adult polycystic kidney disease (ADPKD) with hepatic
involvement. Radiopaedia.org
3.2.3 Hranové detektory
Hranové detektory jsou filtry – obvykle lineární – jejichž výsledkem je především zdůraznění
těch míst v obraze, ve kterých dochází k velké a prudké změně intenzity.
Základní myšlenka, na které jsou hranové detektory postaveny, je velmi jednoduchá.
Když se na obraz díváme jako na funkci dvou proměnných (obrazovou funkci), je místo největší
změny intenzity místem maximální první derivace10
. Jako vhodnější se někdy ukazuje
odhadovat až druhou derivaci.
3.2.3.1 Laplaceův operátor
Laplaceův operátor je disktérní aproximací operátoru 2
nazývaného Laplacián:
2
f(x, y) =
∂2
f(x, y)
∂x2
+
∂2
f(x, y)
∂y2
(3.16)
Hodnota Laplaciánu nabývá nuly v těch bodech, kde se maximálně mění hodnota obrazové
funkce a samozřejmě v bodech, v jejichž okolí je hodnota obrazová funkce konstantní.
10
Derivací je myšlena podle okolností derivace funkce jedné (řez po řádku či sloupci) i dvou proměnných.
74
Diskrétní verze Laplaciánu je reprezentována konvoluční maticí 3 × 3. Matice L4 (3.17)
reprezentuje odhad Laplaciánu pomocí čtyř nejbližších pixelů ležících ve směru hlavních
os. Matice L8 (3.18) reprezentuje odhad Laplaciánu pomocí všech osmi pixelů dotýkajících
se pixelu, ve kterém se Laplacián počítá.
L4 =


0 1 0
1 −4 1
0 1 0

 (3.17)
L8 =


1 1 1
1 −8 1
1 1 1

 (3.18)
Laplaceův operátor je poměrně citlivý na šum. Jeho další nevýhodou je to, že tenké
linie zdvojí. Laplaceův operátor se někdy modifikuje tak, že se všem pixelům nepřiřadí
stejná váha.
3.2.3.2 Prewittové operátor
Prewittové operátor je odhadem první derivace. Vlastní odhad probíhá tak že se provede
konvoluce s osmi různými maskami lišícími se jen tím, že jsou pootočeny o 45◦
. Jako
výsledná hodnota se vybere ten výsledek, který má největší absolutní hodnotu. Pro ilustraci
první dvě konvoluční matice jsou:
P1 =


1 1 1
0 0 0
−1 −1 −1

 (3.19)
P2 =


0 1 1
−1 0 1
−1 −1 0

 (3.20)
3.2.3.3 Sobelův operátor
Sobelův operátor je jiným odhadem první derivace. Pixelům ležícím na ose operátoru je
přiřazena vyšší váha. Užití operátoru je stejné jako užití operátoru Prewittové, tedy vybírá
se největší výsledek aplikace všech osmi navzájem pootočených filtrů.
S1 =


1 2 1
0 0 0
−1 −2 −1

 (3.21)
S2 =


0 1 2
−1 0 1
−2 −1 0

 (3.22)
75
3.2.3.4 LoG operátor
LoG operátor (LoG je zkratka Laplacian of Gaussian) je odvozen z neurofyziologických
studií vnímání hran lidským okem. Vlastní filtrace je vlastně dvoukroková. Nejprve se
Gaussovým filtrem omezí nejvyšší frekvence, tedy obraz se vyhladí, a poté se Laplaceovým
filtrem detekují hrany. Filtr může být realizován v různě velké konvoluční matici. S využitím
vlastností konvoluce lze získat předpis pro výpočet konvoluční matice operátoru LoG
libovolné velikosti:
LoG(i, j) = c
i2
+ j2
− σ2
σ4
e−i2+j2
2σ2
(3.23)
Parametr σ se volí podle velikosti masky, ve vzdálenosti 3σ od středu masky by již měla
být hodnota Gaussiánu zanedbatelná. Paramter c se volí tak, aby byl součet všech prvků
v masce roven jedné.
3.2.3.5 Cannyho hranový detektor
Cannyho hranový detektor zmiňujeme v této části pro úplnost, protože nejde o lineární
detektor. Jde však o jeden z nejlepších hranových detektorů a proto je vhodné jej zmínit.
Cannyho detektor má vlastně charakter algoritmu, jehož základním krokem je odhad první
derivace, obvykle pomocí Sobelova operátru.
Obrázek 3.10: Příklady použití hranových detektorů. Obrázek Leny a jeho filtrace postupně
Laplaceovým operátor, Robertsovým operátorem a Sobelovým operátorem. Filtrované
obraz mají dále upraven jas a kontrast pro zvýraznění detekovaných hran.
3.3 Nelineární filtry
Nelineární filtry nebo také nelineární operace jsou všechny takové operace, které nejsou
lineární z matematického hlediska, tedy nesplňují rovnici 3.4 ev. rovnici 3.5. Hlavním důvodem
pro použití obecně výpočetně náročnějších nelineárních filtrů je to, že některých
efektů nelze s pomocí lineárních filtrů dosáhnout. Nelineární filtry nelze obecně zadat tak
jednoduše jako filtry lineární.
Běžně užívané nelineárních filtry realizují nelineární operace na okolí bodu tak, že je
výsledká operace dána nějakou funkční kombinací hodnot pixelů v daném okolí jistého
76
bodu. Například se nabízí otázka, zda by se k filtru typu průměr nemohl použít i filtr typu
rozptyl resp. směrodatná odchylka, minimum, maximum nebo třeba medián.
Vedle těchto nelineárních filtrů existují i složitější koncepty nelineárních filtrů. Podle
subjektivního názoru autorů je tou nejzajímavější oblastí matematická morfololgie.
3.3.1 Filtr typu rozptyl
Filtr typu rozptyl realizuje výslednou hodnotu jasu jako odhad rozptylu jasu pixelů v nějakém
pevně daném okolí. Zvolíme-li čtvercové okolí o „poloměru n11
, potom je filtr D
definován takto:
D(i, j) =
1
(2n + 1)2 − 1
n
p=−n
n
q=−n
( ¯f(i, j)n − f(i + p, j + q)2
(3.24)
Symbol ¯f(i, j)n označuje průměrný jas definovaný jako, tedy aplikaci filtru typu průměr.
Bez konvoluce s příslušnou maticí jej můžeme zapsat takto:
¯f(i, j)n =
1
(2n + 1)2
n
p=−n
n
q=−n
f(i + p, j + q) (3.25)
Filtr typu rozptyl může být zajímavý, pokud chceme nějakým způsobem zdůraznit
nehomogenitu obrazu. Příklad aplikace filtru typu rozptyl je na obrázku 3.11.
11
tedy maskou bude matice o rozměrech 2n + 1 × 2n + 1
77
Obrázek 3.11: Filtr typu rozptyl zvýrazní ty části obrazu, které se liší tím, že jsou výrazně
nehomogenní na úrovni masky pixelu. Na ultrazvukový snímek jaterní metastázy (vlevo
nahoře) byl aplikován filtr typu rozptyl o průměru 1 pixel. Výsledek filtrace je vpravo
nahoře. Aby bylo dosaženo interpretovatelného výsledku, byl filtrovaný obraz upraven
výrazným snížením jasu, které eliminovalo vliv drobných nehomogenit detekovanch např.
na speklích. Takto upravený snímek byl sloučen se snímkem původním tak, že se sečetly
hodnoty jasu odpovídajících pixelů a ve výsledném obrázku se snížil jas tak, aby jasem
odpovídal vstupnímu obrázku (vlevo dole). Zajímavou a mnohdy i vizuálně působivou
alternativou je přidání výsledku filtrace do původního obrazu jako jednoho barevného
kanálu. Protože byl původní obraz příliš tvrdý, byl v tomto případě obraz ještě rozostřen
Gaussovským filtrem o průměru 4 pixely.
78
3.3.2 Mediánový filtr
Mediánový filtr přiřazuje pixelu ve výstupním obrazu medián z okolí daného maskou. Jen
pro úplnost si dovolujeme uvést, že medián n čísel se zjistí tak, že se čísla uspořádají od
nejmenšího po největší. V případě, že je n liché, je mediánem prvek ležící právě uprostřed
této posloupnosti. V případě, že je n sudé, je mediánem aritmetický průměr dvou
prostředních prvků.
Mediánový filtr představuje velmi efektivní nástroj korekce šumu. Velmi efektně vypadá
filtrace šumu typu pepř a sůl12
. Na obrázku 3.12 je demonstrováno užití mediánového filtru
na mnohem běžnějším Gaussovském šumu.
Obrázek 3.12: Na levém obrázku je koronárně vedený CT řez lidským břichem pacienta
trpícího polycystickou chorobou ledvin (masy v dutině břišní jsou cystické ledviny).
Uprostřed je tentýř obraz, doplněný o arteficiální gaussovský šum. Zašumělý obraz je
pak filtrován mediánovým filtrem, výsledek filtrace je na pravém obrázku. Je vidět, že
sice došlo k subjektivnímu zlepšení kvality obrazu orgánů a tkání, ale zároveň se výrazně
setřely a rozostřily hrany.
Podobně jako u průměrového filtru (obr. 3.9) i zde platí, že homogenní černé pozadí
celkový subjektivní dojem zhoršuje.//[5px] Doporučujeme srovnat s výsledkem aplikace
lineárního průměrového filtru, který je prezentován na obrázku 3.9.
zdroj: Dr. Erik Ranschaert: Adult polycystic kidney disease (ADPKD) with hepatic
involvement. Radiopaedia.org
3.3.3 Filtry minimum a maximum
Filtry minimum a maximum fungují velmi jednoduchým způsobem – za výstup vyberou
minimum resp. maximum z okolí bodu. Zmíněny jsou hlavně z toho důvodu, že jsou běžně
implementovány. Jejich hlavní použití je při manipulaci s měřítkem. Filtr typu maximum
způsobuje zvětšování bílých bodů a tím zamezí jejich ztrátě při zmenšení měřítka. Naopak
filtr typu minimum bílé body zmenšuje a tím zamezí ztrátě informace o přítomnosti
„otvorů .
12
Šum typu pepř a sůl vzniká tím, že se do obrazu náhodně přidají černé a bílé body. Vzniká v souvislosti
s analogovým přenosem, v biomedicíně se může objevit nejvýše při zpracování starších digitalizovaných
snímků.
79
3.4 Matematická morfologie
Matematická morfologie je oblast zpracování obrazů, která se do značné míry odlišuje od
ostatních běžných přístupů založených na běžných poznatcích lineární algebry a matematické
analýzy. Matematická morfologie je totiž založena především na teorii množin a na
topologii, na objekty se pak pohlíží jako na množiny. Text této kapitoly je mnohem formálnější,
než je tomu ve zbytku této práce. Důvodem je to, že zatímco teoretické základy stojící
např. za obecným pojmem filtrace13
mohou být nahrazeny celkem intuitivním vhledem bez
malého rizika omylů, v případě matematické morfologie je situace odlišná. Příliš intuitivní
přístup při budování základních binárních morfologických operátorů naopak snadno zavede
na zcestí chybných analogií.
Budiž tedy autorům odpuštěno, že tato část textu určeného primárně pro studenty
lékařských oborů připomíná spíše kapitolu z učebnice matematiky. Jedinou útěchou pro
čtenáře může být to, že bude ušetřen důkazů předkládaných tvrzení.
3.4.1 Binární matematická morfologie
Binární matematická morfologie je nejjednodušším příkladem matematické morfologie,
přesto jde o poměrně silný nástroj. Vlastně jde o ryze černobílé obrazy, jejichž obrazovou
funkcí je funkce:
f : Z × Z → {Black, White} (3.26)
Definice 3.4.1. Množinové univerzum binární matematické morfologie je množina Ω:
Ω = {(x, y)|x ∈ Z, x ∈ Z} (3.27)
Definice 3.4.2. Grafickými prvky (resp. grafickými objekty) jsou z hlediska matematické
morfologie všechny podmnožiny množiny Ω z definice 3.4.1.
Za objekt se tedy pokládá taková množina bodů, kterým obrazová funkce f přiřazuje
hodnotu White. Např. čtverec 3 × 3 se středem v počátku je množina:
A =



(−1, −1), (0, −1), (1, −1),
(−1, 0), (0, 0), (1, 0),
(−1, 1), (0, 1), (1, 1)



(3.28)
Podle předchozí definice lze za grafické prvky i poměrně „netypické množiny. Grafickým
prvkem může být třeba i množina B:
B = {b = (x, y) ∈ Ω|x = 2m, y = 2n + 1, m, n ∈ Z} (3.29)
, tedy množina všech bodů, jejichž první souřadnice je sudé číslo a druhá souřadnice je
liché číslo. Na první pohled se snad může zdát taková definice příliš obecná; její nespornou
13
Takovými teoretickými poznatky stojícími za obecným pojmem filtrace je myšlena například algebraická
struktura prostoru barev jednotlivých barevných modelů, vlastnosti vektorového prostoru všech
obrazů nebo třeba vlastnosti tenzorového prostoru všech operací nad tímto vektorovým prostorem.
80
výhodou je však to, že jako grafické objekty pojme nejen obvyklé geometrické objekty, ale
třeba i texturu.
Nad podmnožinami Ω je definována celá řada operací (transformací), které umožňují
provádět operace s obrazem. Zdaleka nejčastějším použitím je transformace všech množin
v daném binárním obraze s jednou pevně danou relativně malou množinou nazývanou
obvykle strukturní element.
Definice 3.4.3. Reflexe ˆA množiny A ⊆ Ω je definována jako množina:
ˆA = {p|p = −a, a ∈ A } (3.30)
Význam opačného prvku −a je intuitivní, obě souřadnice vznikly tak, že se vynásobily
číslem (−1) souřadnice prvku a. Geometrickým významem reflexe libovolné množiny je
středová symetrie podle počátku.
Definice 3.4.4. Translace (A)z množiny A ⊆ Ω o bod z ∈ Ω je definována jako:
(A)z = {p|p = a + z, a ∈ A } (3.31)
Translace je nejjednodušší binární operací. Sčítání uvedené v množinové podmínce má
význam sčítání po složkách (souřadnicích). Geometrický význam translace je posun každého
bodu množiny A o bod z.
Definice 3.4.5. Eroze X A množiny X ⊆ Ω strukturním elementem A ⊆ Ω je definována
jako:
X A = {p|a ∈ A : p + a ∈ X} (3.32)
Výsledek eroze obrazu je v případě jednoduchých strukturních elementů odpovídající
erozi fyzikální, tedy zmenšování množin od jejich hraničních bodů a mizení detailů. Malé
množiny mohou zcela zaniknout. Erodoval-li by se obraz iterativně smysluplným strukturním
elementem, dříve či později by došlo k destrukci všech množin.
Definice 3.4.6. Dilatace X ⊕ A množiny X ⊆ Ω strukturním elementem A ⊆ Ω je
definována jako:
X ⊕ A = {p|p = x + a, x ∈ X, a ∈ A } (3.33)
Dilatace je transformací do jisté míry opačnou k erozi. Zatímco eroze obrazové elementy
zmenšuje, dilatace je podobným způsobem zvětšuje – z toho důvodu se o dilataci a erozi
hovoří jako o duálních operacích. Rozhodně však nejde o inverzní operace, až na výjimky14
totiž platí vztahy analogické následujícím nerovnicím:
(A B) ⊕ B = A (3.34)
(A ⊕ B) B = A (3.35)
14
Takovou výjimkou může být např. morfologická transformace se strukturním elementem {(0, 0)} – tato
transformace se chová jako identita.
81
Definice 3.4.7. Otevření (opening) X◦A množiny X ⊆ Ω strukturním elementem A ⊆ Ω
je definované:
X ◦ A = (X A) ⊕ A (3.36)
V případě jednoduchého strukturního elementu má otevření význam odstranění detailů
bez porušení celkového tvaru obrazu, konkrétně se jedná o přerušení úzkých spojů. To může
v řadě situací usnadnit např. popis tvaru objektu.
Definice 3.4.8. Uzavření (closing) X • A množiny X ⊆ Ω strukturním elementem
A ⊆ Ω je definované:
X • A = (X ⊕ A) A (3.37)
V případě jednoduchého strukturního elementu má i uzavření význam odstranění detailů
bez porušení celkového tvaru obrazu. Výsledkem uzavření je však vyplnění malých15
děr a spojení blízko sebe ležících objektů.
Definice 3.4.9. Morfologická transformace hit-or-miss16
X ∗ A je transformace množiny
X ⊆ Ω složeným strukturním elementem A ⊆ Ω × Ω, pro který platí:
A = (A1, A2), A1 ∩ A2 = ∅ (3.38)
Vlastní transformace je pak definována vztahem:
X ∗ A = (X A1) ∩ (XC
A2) (3.39)
Věta 3.4.1. Nechť X ⊆ Ω a A ⊆ Ω × Ω, taková, že:
A = (A1, A2), A1 ∩ A2 = ∅ (3.40)
Potom pro hit-or-miss transformaci platí:
X ∗ A = (X A1) − (XC
⊕ ˆA2) (3.41)
Transformace hit-or-miss představuje ověření přesné lokální shody obrazu se zadaným
vzorem. Výstupem transformace je obraz obsahující samé nuly s výjimkou bodů přesné
shody.
Definice 3.4.10. Hranice oblasti X ⊆ Ω zjištěná pomocí jednoduchého izotropního
strukturního elementu A ⊆ Ω17
je transformace definovaná jako:
β(X) = X − (X A) (3.42)
Definice 3.4.11. Ztenčení (thinning) X ⊗ A množniny X ⊆ Ω strukturním elementem
A ⊆ Ω je definováno:
X ⊗ A = A − (X ∗ A) (3.43)
Zajímavou vlastností ztenčování je to, že pro každou množinu X a pro jisté strukturní
elementy Ai aplikované sekvenčně je po několika iteracích dosaženo idempotence. Ztenčení
(sekvenční ztenčování) je tak jedním z postupů, který umožní převézt obraz na kostru18
.
15
„malých a „blízko znamená malý a blízko vzhledem k rozměru použitého strukturního elementu
16
český ekvivalent „zasáhni nebo miň se mi zná příliš kostrbatý a proto se výjimečně kloním spíše
k anglickému pojmenování
17
Takovým elementem může být např. množina 3.28
18
kostra je reprezentace obvykle podlouhlého objektu. Hledání kostry se obecně nazývá skeletonizace
82
Definice 3.4.12. Ztluštění (thickening) X A množniny X ⊆ Ω strukturním elementem
A ⊆ Ω je definováno:
X A = A ∪ (X ∗ A) (3.44)
3.4.2 Šedotónová matematická morfologie
Šedotónová matematická morfologie nabízí prostředky pro manipulaci s obrazy ve stupních
šedi, obrazová funkce f má tvar:
f : Z × Z → Z (3.45)
Poměrně přirozeným množinovým pohledem na objekty takového obrazu je pohled
na obraz jako na množinu všech uspořádaných trojic, tedy množinovým univerzem Ω je
množina:
Ω = {(x, y, c)|x ∈ Z, y ∈ Z, c ∈ Z} (3.46)
V souvislosti s šedotónovou morfologií se zavádějí další pojmy:
Definice 3.4.13. Buď A ⊆ Ω množina uspořádaných trojic celých čísel. Buď F ⊆ Z2
množina:
F = u ∈ Z2
|∃v ∈ Z : (u, v) ∈ A (3.47)
Buď T zobrazení T : Z2
→ Z. Toto zobrazení se nazývá vršek nebo povrchová plocha
množiny A, jestliže pro všechny prvky u ∈ F platí:
T [A] (u) = max {v|(u, v) ∈ A, } (3.48)
Definice 3.4.14. Buď F ⊆ Z2
a E ⊆ Z. Buď f obrazová funkce f : F → E. Buď U
zobrazení U : Φ → Z2
, kde Φ je množina všech obrazových funkcí ϕ : Z2
→ Z. Potom se
zobrazení U nazývá stín obrazové funkce f, jesltiže platí:
U [f] = {(u, v) ∈ F × E|v ≤ f(u)} (3.49)
Pomocí povrchu a stínu a pomocí binárních operací jsou definovány šedotónové morfologické
operace eroze a dilatace.
Definice 3.4.15. Nechť F, G ⊆ Z2
a nechť f, g jsou odpovídající obrazové funkce f : F →
Z resp. g : G → Z. Potom šedotónová eroze obrazů daných obrazovými funkcemi f a g
je množina:
f g g = T [U [f] U [g]] (3.50)
Definice 3.4.16. Nechť F, G ⊆ Z2
a nechť f, g jsou odpovídající obrazové funkce f : F →
Z resp. g : G → Z. Potom šedotónová dilatace obrazů daných obrazovými funkcemi f
a g je množina:
f ⊕g g = T [U [f] ⊕ U [g]] (3.51)
83
Pro výpočetně jednodušší stanovení eroze a dilatace lze použít následující vztahy19
.
Věta 3.4.2. Nechť F, G ⊆ Z2
a nechť f, g jsou odpovídající obrazové funkce f : F → Z
resp. g : G → Z. Potom pro výpočet obrazové funkce šedotónové eroze lze použít vztah:
(f g g) (x, y) = min {f(x − u, y − v) − g(u, v), (x − u, y − v) ∈ F, (u, v) ∈ G} (3.52)
Věta 3.4.3. Nechť F, G ⊆ Z2
a nechť f, g jsou odpovídající obrazové funkce f : F → Z
resp. g : G → Z. Potom pro výpočet obrazové funkce šedotónové dilatace lze použít vztah:
(f ⊕g g) (x, y) = max {f(x − u, y − v) − g(u, v), (x − u, y − v) ∈ F, (u, v) ∈ G, } (3.53)
Souvislost binární eroze resp. dilatace s šedotónovou erozí resp. dilatací udává věta
o homeomorfismu stínů:
Věta 3.4.4. Nechť F, G ⊆ Z2
a nechť f, g jsou odpovídající obrazové funkce f : F → Z
resp. g : G → Z. Nechť U : Φ → Z2
, kde Φ je množina všech obrazových funkcí ϕ : Z2
→ Z,
je stín. Potom je toto zobrazení homeomorfismem vzhledem k operacím eroze resp. dilatace,
tedy platí:
U [f ⊕ g] = U [f] ⊕ U [g] (3.54)
U [f g] = U [f] U [g] (3.55)
Pomocí šedotónové dilatace a eroze definovány další operace formálně naprosto stejný
způsobem jako operátory binární. Týká se to zejména opetací otevření (viz definice 3.4.7
na straně 82), uzavření (viz definice 3.4.8 na straně 82), hit-or-miss (viz definice 3.4.9
na straně 82), hranice (viz definice 3.4.10 na straně 82), ztenčení (viz definice 3.4.11 na
straně 82) a ztluštění (viz definice 3.4.12 na straně 83). Formálně shodným způsobem jsou
však definovány i další operace nad binárními i šedotónovými obrazy, takže v praxi je
hlavním rozdílem mezi binární a šedotónovou morfologií výpočetní náročnost.
3.4.3 Granulometrie
Granulometrie je jednou z důležitých aplikací matematické morfologie ve zpracování obrazů.
Jedná se vlastně o hodnocení velikosti objektů obsažených v obraze, ovšem na nízké
úrovni, obrazová data nejsou nijak interpretována.
Definice 3.4.17. Buď B ⊆ Ω strukturní element. Potom jeho opakovanou dilataci Br
definujeme vztahem:
Br
= B ⊕ . . . ⊕ B
r-krát
(3.56)
Alternativně se Br
zavádí jako strukturní element s exlicitně určenou závislostí velikosti
na parametru r, např. jako kružnice o poloměru r. Výhodou takové explicitní definice může
být vyšší výpočetní rychlost, nevýhodou je menší obecnost.
19
Rigoróznější a na matematickou morfologii zaměřená práce Shihova [17] uvádí tyto vztahy jako věty
odvozené z výše uvedených definic, aplikačně zaměřená práce Gonzalese a Woodse [7] uvádí tyto vztahy
jako definice
84
Definice 3.4.18. Buď B ⊆ Ω strukturní element. Pak definujeme morfologickou operaci
Gr(f) nad obrazem A ⊆ Ω s obrazovou funkcí fA, která přiřazuje témuž nosiči jinou
obrazovou funkci, předpisem:
Gr(fA) := A ◦ Br
(3.57)
Definice 3.4.19. Buď A ⊆ Ω obraz, NA ⊆ Z2
jeho nosič a fA jeho obrazová funkce. Potom
sumu (resp. integrál) obrazu definujeme jako:
fA :=
(x,y)∈NA
fA(x, y) (3.58)
Definice 3.4.20. Buď A ⊆ Ω obraz a B ⊆ Ω strukturní element. Potom funkci g : Z → Z
definovanou pro r = 1, 2, 3 . . . , R vztahem:
g(r) = fA − Gr(fA) (3.59)
nazveme granulometrické spektrum obrazu A.
Takto zavedená funkce g(r) bude nabývat lokálních maxim právě tehdy, když bude
strukturní element Br
svými rozměry odpovídat detailům v měřeném obraze. Granulometrické
spektrum tedy obsahuje informaci o velikosti opakujících se objektů, které se
vyskytují v obraze.
Hodnota R, kterou končí řada možných hodnot parametru r, má význam meze idempotence.
Jakmile totiž dosáhle strukturní element velikosti srovnatelné s největším detailem
obrazu, stane se granulometrické spektrum konstantním.
Obvykle se používá šedotónové granulometrické spektrum, strukturní element B se však
z důvodů výpočetní náročnosti volí binární. Granulometrické spektrum obsahuje informaci
o velikosti částic v analyzovaném obrazu, tedy obsahuje informaci do jisté míry podobnou
např. informaci obsažené ve Fourierovském spektru.
85
Obrázek 3.13: Aplikace binární morfologie – měření zloušťky podkoží.
Obrázek demonstruje možnosti využití metod matematické morfologie pro analýzu ob-
razu.
Na snímku A je výchozí ultrazvukový řez gluteální krajinou mladé zdravé ženy. Výška
snímku je 50 mm.
Na snímku B je výsledek prahování. Jako prahovací hodnota byla zvolena hodnota mediánu.
Na snímku jsou v oblasti odpovídající podkožnímu tuku patrny fragmenty odpovídající
vazivovým septům. Přímočaře byl odstraněn horní pruh odpovídající jednak epidermis
a jednak odrazům na rozhraní sondy a kůže.
Na snímku C je výsledek aplikace morfologických operátorů dilatace a eroze s asymetrickými
strukturními elementy.
Na snímku D je plocha odpovídající podkožnímu tuku vyplněna šedou barvou. Změření
hloubky šedé barvy je pak triviální záležitostí. Průměrná tloušťka kůže a podkoží je ve
vyšetřované oblasti 324 px, což odpovídá 32.1 mm.
86
3.5 Zpracování ve frekvenční oblasti
Zejména v teorii jednorozměrných signálů hraje velkou roli Fourierova transformace. Protože
na obraz lze nahlížet jako na vícerozměrný signál, nachází i ve zpracování obrazů svoji
úlohu vícerozměrná Fourierova transformace. Obvykle je však před uživatelem ukryta ve
vlastní realici výpočtu, takže na rozdíl od předešlé kapitoly bude tato část pojata podstatně
stručněji. Případný zájemce o problematiku nalezne dostatek literatury i v českém jazyce,
zejména učební texty pro předmět Signály a soustavy elektrotechnických fakult bývají
budovány tak, že by měl být matematický aparát srozumitelný čtenáři s matematickými
znalostmi odpovídajícími znalostem z kvalitní střední školy.
Běžný obraz se někdy nazývá prostorovým obrazem, hodnoty jasu jeho pixelů pak hodnotami
v prostorové doméně (angl. spatial domain). Podobně jako jednorozměrné signály
lze i vícerozměrné signály vyjádřit jako součet harmonických funkcí. Parametry harmonických
funkcí představují vyjádření obrazu ve frekvenční doméně (angl. frequency domain).
Některé operace lze snáze realizovat ve frekvenční oblasti, proto má tato oblast pro zpracování
a analýzu obrazů mimořádnou důležitost.
3.5.1 Vzorkování
Mimo filtraci má pohled ve frekvenční doméně mimořádnou důležitost v teoretických úvahách
o vzorkování, tedy rozdělení spojité obrazové funkce na konečněrozměrnou matici
pixelů. V případě biomedicínských obrazů je obvykle vzorkování, jež pro naše potřeby můžeme
zredukovat na úvahy o fyzických rozměrech pixelu a o vztahu těchto rozměrů k rozměrům
nejmenších detailů vyskytují se ve snímané scéně. I z této představy lze dospět
k náhledu na nejběžnější problémy související se vzorkováním.
Jistě si lze snadno představit, že detaily menší než je rozměr fyzického pixelu se ve výsledném
obrazu ztratí. Mnohem zajímavější situace nastane v případě, kdy budou mít detaily
velikost srovnatelnou s velikostí fyzického pixelu, tedy jejich prostorová frekvence bude
srovnatelná s prostorovou frekvencí vzorkování. V tomto případě bude docházet k tomu,
že se v navzorkovaném obraze objeví jako artefakt nová informace, která může vést ke
zkreslení informace původní. Tomuto jevu se říká aliasing20
.
Lze ukázat, že aby k aliasingu nedocházelo, musí být splněna podmínka, zvaná vzorkovací
věta (vzorkovací teorém), která nese řadu jmen podle souběžných objevitelů (Claude
Shannon, Vladimír Alexandrovič Kotelnikov, Harry Nyquist, Edmund Taylor Whittaker).
V jednorozměrném případě je její formulace jednoduchá:
fs > 2fmax (3.60)
Tato věta vlastně říká, že vzorkovací frekvence fs musí být alespoň dvojnásobkem maximální
frekvence ve vzorkovaném signálu. Za dodržení této podmínky obsahují vzorky
20
Snad nejznámějším projevem aliasingu je tzv. časový aliasing ve videosekvencí. Obvykle se označuje
jako loukoťový efekt, protože jeho nejpatrnějším projevem je to, že se v historických filmech mohou kola
kočárů otáčet zdánlivě proti směru jízdy. Vysvětlením je to, že vzorkování vyjádené počtem snímků za
sekundu nepostačuje k zachycení děje s tak vysokou frekvencí.
87
veškerou informaci o vzorkovaném signálu. Nicméně aby bylo možno rekonstruovat vzorkovaný
signál reálnými prostředky, musí být vzorkovací frekvence mnohem vyšší.21
V obecnějším pohledu se používá kruhová frekvence ω, pro kterou platí:
ω = 2πf (3.61)
Kruhová frekvence sice nemá tak intuitivní fyzikální význam, ovšem protože má význam
parametrů Fourierova spektra, bývá běžné operovat právě s touto frekvencí.
V případě vzorkování obrazů platí, že tato podmínka musí být splněna pro obě souřadnicové
osy. Ve vyjádření pomocí maximálních kruhových frekvencí ve směru jednotlivých
souřadnicových os (ωmax,x a ωmax,y) má věta pro rozměry fyzického pixelu ∆x a ∆y tvar:
∆x =
π
ωmax,x
(3.62)
∆y =
π
ωmax,y
(3.63)
Aliasingu lze v principu zabránit tak, že se ve vzorkovaném signálu (obraze) frekvence,
které nevyhovují vzorkovací věte, potlačí. Hrubě a ne zcela přesně si to můžeme představit
tak, že se detaily, které by byly zodpovědné za vznik vzorkovacích artefaktů, „rozmazají .
3.5.2 Fourierova transformace
Fourierova transformace je základní nástroj, který umožňuje rozložit signál na součet navzájem
posunutých sinusovek. Řada operací lze snáze provádět na transformovaném sig-
nálu.
Před vlastním zavedením Fourierovy transformace je třeba připomenout komplexní
čísla, protože se předpokládá, že typický čtenář tento pojem znát nemusí.
3.5.2.1 Komplexní čísla
Komplexní čísla jsou rozšířením (doplněním) čísel reálných tak, aby měla každá kvadratická
rovnice řešení. Významnou roli hraje číslo i22
, kterému se říká imaginární jednotka. Toto
číslo je kladným řešením rovnice:
x2
+ 1 = 0 (3.64)
Pro imaginární jednotku i tedy platí:
i =
√
−1 (3.65)
Komplexní číslo z si lze představit jako dvojici reálných čísel a a b:
z = a + bi (3.66)
21
Z toho důvodu není nikterak samoúčelné např. to, že digitalizované zvuky jsou vzorkovány s frekvencí
podstatně vyšší než je 40 kHz.
22
Označení i je běžné v matematice a ve fyzice. V elektrotechnice se obvykle označuje jako j, údajně
aby nehrozila záměna z elektrickým proudem.
88
Tvar komplexního čísla v rovnici 3.66 se nazývá algebraický nebo také složkový. Číslo a
nazýváme reálnou částí a číslo b imaginární částí komplexního čísla z.
Obě složky si lze představit i jako souřadnice bodu [a, b] v rovině23
. Pokud si představíme
bod [a, b] jako koncový bod vektoru (a, b) s počátkem na souřadnicích [0, 0]. Takový vektor
můžeme zadat i jeho modulem A a orientovaným úhlem ϕ, který svírá s osou x. Komplexní
číslo lze pomocí těchto parametrů vyjádřit ve tvaru, kterému se říká tvar exponenciální:
z = Ae−iϕ
(3.67)
Kladné reálné číslo A se v analýze signálů obvykle nazývá amplituda, reálné číslo ϕ
ležící v nějakém předem pevně zvoleném intervalu < ζ, ζ + 2π > se nazývá fáze.
3.5.2.2 Jednorozměrná Fourierova transformace
Fourierova transformace signálu f(t) je definována předpisem:
F(u) =
∞
−∞
f(t)e−2πiu t
dt (3.68)
Výsledkem transformace je komplexní funkce F reálné proměnné u, která se nazývá
Fourierův obraz funkce f. Za povšimnutí stojí především fakt, že proměnná u má význam
kruhové frekvence.
Fourierův obraz má řadu zajímavých vlastností. Zejména pak platí, že jde o sudou
funkci, tedy že pro všechna u platí:
F(−u) = F(u) (3.69)
Pokud existuje nejaké ωmax takové, že pro všechna u > ωmax platí:
F(u) = 0 (3.70)
Od Fourierova obrazu, tedy obrazu ve frekvenční doméně, se k obrazu v prostorové
doméně dostaneme pomocí inverzní Fourierovy transformace:
f(t) =
∞
−∞
F(u)e2πiu t
du (3.71)
3.5.2.3 Fourierova transformace diskrétního signálu
Fourierova transformace posloupnosti (fn) je definována pomocí sumy:
F(u) =
1
N
∞
n=−∞
fne−iu nT
(3.72)
23
Tato rovina se nazývá Gaussova rovina a je asi nejběžnější názornou představou o tom, co vlastně jsou
komplexní čísla.
89
Posloupnost komplexních čísel (Fn) je frekvenční reprezentací posloupnosti (ak). Zpět
do prostorové domény se přejde inverzní transformací:
fn =
1
2π
π
T
− π
T
F(u)eiu nT
du (3.73)
3.5.2.4 Diskrétní Fourierova transformace (DFT)
Fourierova transformace diskrétního signálu je vlastně teoretickým východiskem k realizaci
Fourierovy transformace vzorkovaného signálu. Vzorkování vlastně není nic jiného než
náhrada spojité funkce, jejíž Fourierova transformace je popsána v odstavci 3.5.2.2, řadou,
jejíž Fourierova transformace je popsána v odstavci 3.5.2.3. Navíc je požadováno, aby byl
počet vzorků konečný, tedy aby byl výpočetně realizovatelný. Protože však vlastní výběr
vzorků ovlivňuje charakter řady minimálně tím, že do řady vnáší periodicitu vzorkování,
musí vlastní transformace toto reflektovat.
K vlastnímu výpočtu je třeba matematicky modelovat vzorkování. K tomu slouží Diracova
distribuce24
δ definovaná předpisem:
δ(t) =
+∞, t = 0
0, t = 0
(3.74)
Výběr vzorku v čase τ je pak vlastně konvolucí (viz 3.2.1) signálu f(t) a Diracovy
distribuce δ(t):
f(τ) =
∞
−∞
f(t)δ(τ − t) dt = (f ∗ δ)(τ) (3.75)
Pomocí Diracovy distribuce lze definovat vzorkovací signál v(t) s periodou T:
v(t) =
∞
k=−∞
δ(t − kT) (3.76)
Pomocí vzorkovacího signálu v(t) lze vyjádřit řadu vzorků fn signálu f(t) následujícím
způsobem:
fn = f(nT) = f(t)v(t) =
∞
k=−∞
f(kT)δ(nT − kT) (3.77)
Z vlastností Fourierovy transformace plyne pro obraz vzorkované funkce FV (u):
FV (u) = F {f(t)v(t)} =
1
2π
F(u) ∗ V (u) (3.78)
Kde F(u) a V (u) jsou Fourierovy obrazy původního spojitého signálu a vzorkovací
funkce.
24
Distribuce jsou jistým rozšířením pojmu funkce. Vedle aplikace v teorii diskrétních signálů mají distribuce
četné aplikace v řadě partií fyziky.
90
S přihlédnutím ke všemu výše uvedenému lze diskrétní Fourierovu transformaci vzorkovanou
s periodou T a vzorkem délky N definovat následujícím vztahem:
F(kΩ) = DFT {f(kT)} =
N−1
n=0
f(nT)e−ikΩnT
(3.79)
Inverzní transformace je pak definována následujícím vztahem:
f(nT) = DFT −1
{F(kΩ)} =
1
N
N−1
k=0
F(kΩ)eikΩnT
(3.80)
Velmi důležitou vlastností Fourierovy transformace, která se přenáší i na diskrétní Fourierovu
transformace, je linearita:
DFT {k1f1(t) + k2f2(t)} = k1DFT {f1(t)} + k2DFT {f2(t)} (3.81)
Při praktické realizaci je ovšem třeba brát na zřetel, že v důsledku zaokrouhlovacích
chyb se může levá a pravá strana této rovnice nepatrně lišit.
K vlastnímu výpočtu diskrétní Fourierovy transformace se obvykle používá algoritmu,
který se označuje jako FFT (Fast Fourier Transform). Pro realizaci tohoto výpočtu je
třeba, aby měl vzorek délky N, pro kterou platí následující podmínku:
N = 2m
m ∈ N (3.82)
3.5.2.5 Funkce okna
Protože diskrétní Fourierova transformace pracuje pouze ze vzorkem konecné délky. Vzorek
se může dále upravit tak, že se vynásobí oknem, které může např. snížit vliv vzorků ležících
dále od středu výběru. Oken se používá řada typů, například následující:
• obdélníkové okno – vzorek se vlastně nijak neupravuje
• Hannovo okno – často používané okno, jeho aplikace se nazývá hanning. Okenní
funkce je definována vztahem:
wHann(n) =
1
2
1 − cos(
2πn
N
) (3.83)
• Hammingovo okno:
wHamming(n) = 0.54 − 0.46 cos(
2πn
N
) (3.84)
• Lanczosovo okno:
wLanczos(n) =
sin(2n
N
)
2n
N
(3.85)
91
3.5.2.6 Diskrétní Fourierova transformace digitálního obrazu
Digitální obraz je vlastně matice s prvky (amn) a o rozměrech M ×N. Diskrétní Fourierovu
transformací je matice komplexních čísel F(u, v) o rozměrech M ×N definovaná předpisem:
F(u, v) =
1
MN
M−1
m=0
N−1
n=0
amne−i2π(um
M
+v n
N
)
(3.86)
Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem:
amn =
M−1
m=0
N−1
v=0
F(u, v)ei2π( um
M
+v n
N
)
(3.87)
Fourierův obraz je maticí komplexních čísel, i o této matici se hovoří jako o spektru.
Pokud chceme vizuálně hodnotit Fourierovské spektrum obrazu, dostáváme se do svízelné
situace. Komplexní číslo totiž lze jen velmi obtížně zobrazit jako jednu vlastnost bodu,
která by byla dobře vnímatelná. Proto se obvykle zobrazuje jen část informace:
• spektrum reálných složek
• spektrum imaginárních složek
• spektrum amplitudové
• spektrum fázové
• spektrum výkonové
Grafické programy obvykle zobrazují spektrum amplitudové (viz obr. 3.14), byť i ve
fázovém spektru mohou být ukryty zajímavé informace o obraze. Z výše uvedeného vyplývá,
že i když např. ImageJ umožňuje manuální zásahy do amplitudového spektra, není
tato cesta ke zpracování obrazu zcela optimální. Skutečný význam mají pouze programově
realizované frekvenční filtry.
Rozlišujeme čtyři základní typy frekvenčních filtrů:
• horní propusť
• dolní propusť
• pásmová propusť
• pásmová zádrž
3.5.2.6.1 Horní propusť je filtrem, který selektivně potlačuje nízkofrekvenční informace.
Protože na vysokých frekvencích je nesena především informace o detailech, znamená
filtrace horní propustí zvýraznění detailů.
92
3.5.2.6.2 Dolní propusť je filtrem, který selektivně potlačuje vysokofrekvenční informace.
Vedle detailů je na vysokých frekvencích nesen především šum. Potlačením vysokých
frekvencí tedy dochází jednak ke korekci šumu a jednak k setření drobných detailů.
3.5.2.6.3 Pásmová propusť je filtr, který z obrazu odstraní všechny informace, které
nejsou obsaženy v úzkém frekvenčním pásmu. Toho může být využito například v analýze
textury.
3.5.2.6.4 Pásmová zádrž je filtr, který z obrazu odstraní právě ty informace, které
jsou neseny frekvencemi z určitého pásma. Filtr má význam především při redukci konkrétní
frekvence, o které víme, že je především artefaktem.
93
Obrázek 3.14: Amplitudové spektrum. Na prvním řádku je amplitudové spektrum
a jemu odpovídající obraz ultrazvukového snímku fantomu. Na dalších snímcích jsou ze
spekter odstraněny vysoké (střední řádek) resp. nízké frekvence (dolní řádek).
Jedná se o manuální zásahy do spektra pomocí programu ImageJ.
94
Kapitola 4
Biomedicínské obrazy
V této kapitole na několika příkladech demonstrujeme, jak konkrétně lze v biomedicíně
využít analýzu nebo zpracování obrazové informace ke zlepšení diagnostického procesu.
Jedná se pouze o letmý výběr zajímavých aplikací, protože se jedná o dynamicky se rozvíjející
oblast, není je výběr proveden pouze podle subjektivního klíče zajímavosti a snadné
pochopitelnosti vlastní myšlenky.
4.1 Úpravy biomedicínských obrazů
4.1.1 Korekce šumu
Korekce šumu patří mezi základní úlohy ze zpracování obrazu. Šum je vlastně nežádoucí
informace, která se k obrazu přidala během přenostu nebo zpracování vlivem náhodných
poruch. Důležité je uvědomit si to, že obecně nemůžeme rozlišit užitečnou informaci od
šumu, takže je správné hovořit o korekci šumu, protože obvyklým výsledkem korekce je i
jisté poškození původního obrazu.
V ideálním případě má šum normální nebo alespoň symetrické rozdělení s nulovou
střední hodnotou. Potom lze takový šum snadno potlačit tím, že přijmeme tentýž obraz,
o kterém předpokládáme, že byl vysílán bez poruch, několikrát. Jako přijatý obraz pak
prezentujeme vhodný průměr všech přijatých obrazů. Nevýhodou takového přistupu je jeho
nehospodárnost a někdy i rizikovost. Není třeba možné provádět 100× CT hlavy jen aby
byl korigován šum. Proto je většina metod korekce šumu postavena na statistické analýze
jednoho jedniného obrazu.
Šum se vyznačuje tím, že jde o vysokofrekvenční signál, takže lze eliminovat vhodným
filtrem typu dolní propust. Toto ovšem vede k porušení detaitů v obraze a tím i k jistému
„rozmazání obrazu.
Zvláštním typem šumu je šum typu pepř a sůl. Ten vzniká tak, že jsou do obrazu
náhodně přimíchány pouze černé a bílé pixely. Takovýto šum mohl vzniknout např. tím,
že se digitalizuje fotografický snímek, na němž během zpracování (vyvíjení a ustalování)
ulpěly drobné nečistoty. Takovéto poruchy imponují jako drobné bílé nebo černé skvrnky.
95
Mediánový filtr takovéto poruchy eliminuje, přičemž jen poměrně málo poškodí hrany.
Vizuální vylepšení takovéhoto obrazu může být někdy značné, protože šum typu pepř a
sůl je subjektivně vnímán jako velmi rušivý.
4.1.2 Zvyšování kontrastu
Subjektivní zvyšování kontrastu je jednou z technik, které umožňují lepší vnímání obrazu.
Ke zvýšení kontrastu lze použít dvou cest:
1. detekce hran
2. analýza textury
4.1.2.1 Zvýšení kontrastu detekcí hran
Zvýšení kontrastu pomocí detekce hran je obvyklým způsobem. Princip je velmi jednoduchý.
Hranovým detektorem si získám obraz obsahující zdůrazněné hrany a tento obraz pak
sloučím s obrazem původním. Vyšší jas v místech hran způsobí, že lidské oko bude hrany
vnímat jako ostřejší a výraznější.
Nevýhodou tohoto přístupu je to, že obraz již musí hrany obsahovat. Obraz, ve kterém
se plochy liší složitějším texturním vzorem, bude takto jen obtížně zpracovatelný.
4.1.2.2 Zvýšení kontrastu analýzou textury
Některé modality neposkytují obraz s poměrně homogenními plochami, ale jednotlivé tkáně
se liší především texturou. Klasickým příkladem je ultrazvukový obraz, který homogenní
plochy s výjimkou ploch anechogenních prakticky neposkytuje. V takovém případě lze
k subjektivnímu zesílení kontrastu použít několika přístupů využívajících analýzy textury.
Principiálně nejjednodušším přístupem je segmentace obrazu podle podobnosti textury.
Jako hrany, které se vloží do původního obrazu, se pak použijí hranice mezi jednotlivými
oblastmi. Tento přístup poskynuje jasné a ostré hranice umožňující snadnou biometrii
sledovaných orgánů nebo lézí. Jeho snad jedinou nevýhodou je to, že takto vložené hrany
jsou poměrně tvrdé a mohou působit subjektivně rušivým dojmem.
Alternativní přístupy jsou méně obvyklé a mají charater spíše výsledků jednotlivých
publikací než klinicky široce používaného přístupu. Jednou z možností je použití je podbarvení
vhodné oblasti vyšším jasem nebo barvou, která se v daném obraze nemůže vyskytnout,
na ultrazvukovém snímku je toto demonstrováno na obrázku 3.11. Další a ještě
méně obvyklou možností je homogenizace oblasti obvykle pomocí šedotónových morfologických
operátorů kombinovaných případně s dalšími filtry. Tento přístup však představuje
tak hrubý zásah do vlastního snímku, že většina klinických pracovníků nebude takovému
snímku příliš důvěřovat. Příklad takto upraveného snímku je na obrázku 4.1.
96
Obrázek 4.1: Vyhlazení ploch pomocí morfologických operátorů.
Na prvním snímku je ultrazvukový obraz fantomu – koagulované koňské krve v želatině.
Na tento snímek byla aplikována řada šedotónových dilatací a erozí, obraz byl několikrát
rozostřen Gaussovským filtrem a následně byl upraven jas a kontrast tak, aby dynamický
rozsah snímku odpovídal bitové hloubce obrazu. Cílem všeho byla přijatelná homogenizace
textury (vpravo nahoře).
Snímek homogenizované textury byl dále upraven hranovým detektorem (snímek vlevo ve
střední řadě). Sloučením snímku obsahujícího hrany a snímku původního vznikl snímek,
který by měl zdůrazňovat hrany (snímek vpravo ve střední řadě). Za povšimnutí stojí
především fakt, že tento přístup sice zdůraznil hrany, ale vnesl řadu artefaktů a výsledek
není navzdory výpočetní náročnosti subjektivně příliš uspokojivý.
V dolní řadě je výchozí snímek filtrovaný běžným průměrovým filtrem o větším průměru
masky (vlevo dole) a sloučení výchozího snímku s hranami detekovanými v tomto snímku
(vpravo dole). Výsledek je subjektivně mnohem lepší.
Toto je hezkou ukázkou toho, že v řadě případů představuje příliš sofistikovaný přístup
pouze náročnější výpočet a kvalita výsledku neodpovídá snaze. Je obšem třeba zdůraznit,
že náročnost výpočtu si v některých případech vynucuje to, že jednoduché lineární metody
nemusí být natolik robustní.
97
4.1.3 Použití nepravých barev
Nepravé barvy představují jeden z pokusů, jak obejít omezení lidského oka, které nám
umožňuje rozlišit v jednom obraze pouze omezený počet stupňů jasu jedné barvy. Celá
myšlenka je taková, že se podle vhodného klíče převedou stupně šedi na barvy tak, aby
byly vnímány alespoň přibližně jako jedna uspořádaná řada jdoucí od barev „tmavších
k barvám „světlejším . Klíč k převodu se obvylke nazývá LUT (zkratka z LookUp Table).
Obrázek 4.2: Příklady použití nepravých barev.
Na prvním snímku je ultrazvukový obraz fantomu – koagulované koňské krve v želatině.
Tento snímek byl postupně zobrazen pomocí LUT integrovaných do ImageJ a pojmenovaných
spectrum, fire a Rainbow RGB.
98
4.1.4 Fúze obrazů
Fúze neboli spojení obrazů je další z řady principiálně jednoduchých operací s obrazem,
které mají mimořádně široké použití.
Matematicky se fúze obrazů f a g provede následujícím způsobem:
(f + g)(x, y) := αf(x, y) + βg(x, y) (4.1)
Váhy α a β definují chování výsledného obrazu. Obvyklým požadavkem je, aby byl
jejich součet jedna, potom je totiž nižší riziko, že dojde k tomu, že výsledný obraz bude
obsahovat pixely, u kterých došlo k ořezání hodnoty jejich jasu.
Pokud chceme obrazy spojit rovným dílem, volíme obvykle obě váhy rovné jedné polovině.
Pokud je jeden obraz důležitější a druhý méně, tedy např. pokud spojujeme obraz
a výsledek filtrace hranovým detektorem, volíme u důležitějšího obrazu přiměřeně vyšší
honotu váhy.
Mimořádně důležitou volbou je volba α = 1 a β = −1, tedy vlastně odečítání obrazů.
Tohoto se využívá zejména v digitální subtrakční angiografii (DSA), díky které lze získat
rentgenový snímek cév i při relativně nízké zátěži pacienta jak ionizujícím zářením tak i
kontrastní látkou (viz obr. 4.4).
Zvláštním způsobem fúze obrazů je morphing. Vychází z warphingu, tedy cílených deformací
obrazu podle uživatelem zadaných parametrů. Morphing je vlastně hledání cesty
mezi dvěma obrazy, přižemž kroky na jednotlivé cestě jdou cíleně warphované obrazy. Zatímco
v počítačové grafice zaměřené spíše na zábavní průmysl má toto poměrně široké
uplatnění, v biomedicíně je uplatnění sporadické. Nabízí se sice možnost hledání pravděpodobných
mezistavů mezi např. zdravým a patologicky změněným orgánem, ale zde je
výraznou limitací to, že jde pouze o manipulaci s obrazem, která ve svém základním provedení
nezohledňuje fyzikální ani biologická omezení, takže se lze velmi snadno dostat na
zcestí, jak demonstruje obrázek 4.3.
Obrázek 4.3: Morphing, jehož mezikroky zjevně nemají biologický smysl
zdroj: http://commons.wikimedia.org, File:Bush-Arnie-morph.jpg
99
Obrázek 4.4: DSA lebky – aneurysma jako projev Takayasuovy arteritidy.
Digitální subtrakční angiografie se běžně používá ke získání informací o průběhu cévního
řečiště v lebce. I při použití kontrastní látky je denzita cév stále podstatně nižší než denzita
kostí lebky a proto by lidské oko nedokázalo postřehnout výraznější rozdíl mezi zastíněním
lebky a zastíněním způsobeným lebkou a cévou naplněnou kontrastní látky. Řešením může
být použití jiné modality schopné zachytit cévu, tedy CR nebo MRI, ovšem nevýhodou je
vyšší cena a v případě CT i podstatně vyšší radiační zátěž. Proto se problém řeší pomocí
zpracování obrazů. Za stejných podmínek se pořídí snímek lebky nativní a snímek lebky
po podání kontrastní látky do cévního řečiště. Lidské oko rozdíl prakticky nepostřehne,
ale pokud se tyto obrazy odečtou a upraví se jas a kontrast, je cévní řečiště patrné na
první pohled.
Na snímku je patrné aneurysma (vakovité rozšíření) na pravé arteria cerebralis anterior.
Mozkové krvácení představovalo první projev Takayasuovy arteritidy u osmnáct měsíců
staré dívky. Neobvykle časný začátek choroby (obvykle se Takayasuova arteritida objevuje
u žen ve věku kolem 40 let) vedl k tomu, že definitivně byla diagnóza stanovena až
autoptickým vyšetřením, když pacientka ve věku dvou let chorobě podlehla.
zdroj: [20].
100
4.2 Hodnocení kvality zobrazovacích metod
Kvalita zobrazení konkrétní zobrazovací metodou je vyjádřením rozdílu mezi výsledkem
zobrazení a očekávaným stavem. Tento rozdíl můžeme hodnotit subjektivně nebo objek-
tivně.
Subjektivní hodnocení znamená, že hodnotíme pouze subjektivně vnímanou odchylku
výsledného obrazu od nějakého víceméně „intuitivního očekávání. Pokud hodnotí zkušený
pozorovatel, může být subjektivní hodnocení uspokojivé, ovšem pokud hodnotící pozorovatel
postrádá zkušenosti, může být jeho hodnocení krajně zavádějící. Například ultrazvuku
neznalý hodnotitel by mohl pokládat upravený obraz na obrázku 4.1 za kvalitnější, ač došlo
úpravou k poškození a snadno by se podobnou úpravou ztratila i diagnosticky cenná
informace.
Objektivní hodnocení je takové hodnocení, které je jen minimálně závislé na osobě
hodnotitele. Pro úplnost je třeba zdůraznit, že ideální stav, který porovnáváme ze získaným
obrazem, může být také do jisté míry subjektivní informací, ale vliv subjektu lze poměrně
úspěšně eliminovat např. použitím fantomu.
Objektivní analýza je založena na analýze dílčích aspektů zobrazení. Obvykle se hodnotí
následující parametry:
• prostorové rozlišení
• časové rozlišení
• energetické rozlišení
• linearita převodu zobrazovaného parametru
• linearita převodu poziční souřadnice
• homogenita procesu zobrazení
4.2.1 Prostorové rozlišení
Prostorové rozlišení udává schopnost zobrazovacího systému rozlišit nejmenší detail scény.
Prakticky se prostorové rozlišení stanovuje tak, že se pořídí obraz fantomu, jehož rozměry
umožňují pokládat jej za bod nebo přímku. Obraz fantomu se nazývá Point Spread
Function1
(PSF) v případě bodového fantomu a Line Spread Function (LSF) v případě
přímkového fantomu.
Point spread function je v běžných případech symetrická podle svého středu, uprostřed
má globální maximum. Jako koeficient prostorového rozlišení se pak zavádí vzdálenost mezi
body, kde nabývá point spread function právě poloviny svého globálního maxima. Koeficient
prostorového rozlišení se označuje zkratkou FWHM (Full Width at Half Maximum).
1
K anglickému pojmu Point spread function se, alespoň podle znalostí autorů, nepoužívá žádný český
ekvivalent, snad jedině česky hláskovaná zkratka, tedy „pé–es–ef .
101
V případě tomografických systémů, tedy např. CT nebo konfokální mikroskop, je důležitým
parametrem i tloušťka jednoho tomografického řezu (tomovrstvy). Tloušťka tomovrstvy
může být výrazně odlišná od koeficientu prostorového rozlišení, protože může
záviset i na jiných fyzikálních a technických parametrech zobrazovacího systému.
4.2.2 Časové rozlišení
Časové rozlišení je důležitým parametrem v případě, že jsou zobrazovány pohybující se
struktury. K hodnocení časového rozlišení se používá obvykle frekvence snímků.
Někdy lze využít ke zlepšení časového rozlišení toho, že řada biologických dějů vykazuje
značnou periodicitu a tu lze měřit. Nejlépe to lze demonstrovat na radioizotopovém
vyšetření plnění komor myokardu. Pokud bychom podali pacientovi takové množství radiofarmaka,
aby bylo možno získat videosekvenci, jejíž jeden snímek by odpovídal desítkám
milisekund, byla by radiační zátež neúměrně vysoká. Jestliže však detekci synchronizujeme
s EKG, pak lze získat řadu snímků. Obsah jednoho jediného takového snímku může být
neinterpretovatelný z důvodu malého počtu detekovaných rozpadů, ale protože získáme
řadu snímků ve stejné fázi srdečního cyklu, můžeme jejich sumací získat věrohodný obraz
aktivity v srdeční dutině v daném okamžiku.
4.2.3 Energetické rozlišení
Energetické rozlišení je parametrem charakterizujícím citlivost detektrou. Nejjednodušším
vyjádřením energetického rozlišení je minimální citlivost detektoru (práh detektoru), tedy
nejmenší relevantní signál na vstupu, který vyvolá měřitelnou odezvu. Použitelnost tohoto
parametru limituje množství šumu přítomné za běžných podmínek. Proto je třeba stanovit
i úroveň šumu a hodnotit poměr signálu a šumu.
4.2.4 Linearita převodu
V ideálním případě by mělo být zobrazení lineární z hlediska zobrazovaného parametru i
z hlediska souřadnic.
Linearitu z hlediska parametru lze demonstrovat na termografii. Je-li termografie linerární
z hlediska teploty, znamená to, že mají-li dva libovolné body teplotu T a αT,
pak jsou tyto body zobrazeny na body o jasu J a αJ. Ze zvoleného příkladu je jasné, že
v libovolném rozsahu nemůže být lineární žádná metoda, proto je požadavek linearity z hlediska
zobrazovaného parametru celkem logicky omezen pouze na užitečný rozsah vstupních
hodnot.
Linearita z hlediska parametru je tedy důležitá z hlediska posuzování rozdílného charakteru
dvou bodů. V praxi není třeba linearitu vzhledem k parametru striktně vyžadovat, byť
nelinearita může komplikovat interpretaci výsledků některých dalších operací s obrazem.
Linearita z hlediska souřadnic představuje totéž, ovšem ve více rozměrech. Názorně
si lze linearitu z hlediska souřednic představit tak, že mají-li dvě libovolně orientované
úsečky délku d a βd, pak jejich obrazy mají délky ∂ a β∂. Protože takové úsečky mohou
102
být orientovány skutečně libovolně, zaručuje linearita z hlediska souřadnic i zachování
vzájemného úhlu.
Nelinearita vzhledem k souřadnicím znamená, že se obraz rozložení oproti skutečnosti
deformuje. To může představovat bezprostřední problém pro využití informací a proto je
třeba tuto nelinearitu řešit.
Ke kvantifikaci nelinearity lze použít několik přístupů. Z teoretického hlediska jsou nejběžnějšími
maximální a integrální odchylka od ideálního lineárního průběhu. Prakticky lze
použít například reziduální odchylku získanou statistickou analýzou naměřených vzorků.
4.2.5 Homogenita procesu zobrazení
Homogenita procesu zobrazení znamená, že parametry jako citlivost jsou v celém zobrazovaném
prostoru stejné. Homogenita může být narušena buď samotným principem zobrazovací
metody nebo stárnutím detektoru. Například ultrazvukové zobrazení pomocí konvexní
nebo sektorové sondy je z principu nehomogenní, protože dochází k útlumu procházejícího
ultrazvuku a k jeho divergenci. Nicméně tyto faktory jsou známy a jsou kompenzovány tak,
že výsledný uživatel je od této nehomogenitky prakticky odstíněn. Na druhou stranu vlivem
stárnutí ultrazvukové sondy může docházet k výpadkům nebo ke změnám parametrů jednotlivých
elektroakustických měničů a tím dochází ke zkreslování obrazu. Protože poruchy
elektroakustických měničů mají náhodný charakter, dochází ke vzniku nehomogenity, kterou
nelze bezpečně predikovat. Při vhodném proměření sondy však lze tuto nehomogenitu
taktéž popsat a v některých případech taktéž kompenzovat.
4.3 Počítačová podpora diagnostiky
Mezi jednu z nejzajímavějších aplikací metod analýzy obrazové informace patří počítačová
podpora diagnostiky. Záměrně píšeme o počítačové podpoře diagnostiky a nikoliv o počítačové
diagnostice nebo o automatizované diagnostice, protože mezi těmito pojmy je
jistý nikoliv nepatrný rozdíl. Zatímco počítačová diagnostika je postup, kdy počítač, tedy
počítačový program, je černou skříňkou, která na vstupu dostane data o pacientovi a na
výstupu prezentuje nejpravděpodobnější diagnózu, počítačem podporovaná diagnostika je
rozšířením předešlého o schopnost vysvětlit příslušný výsledek. Jiný pohled je takový, že
počítačová diagnostika stanoví direktivně diagnózu, zatímco počítačem podporovaná diagnostika
navrhuje možnosti, zdůvodňuje je, ale konečná diagnóza je plně v rukou obsluhy,
tedy lékaře.
Vlastní princip počítačové podpory diagnostiky si demonstrujeme tak, že si hrubě popíšeme
kroky, v jakých by probíhalo sestavení.
4.3.1 Volba příznakový vektorů
Vstupem programu, který provede diagnózu, je řada znaků a čísel popisujících příslušný
stav pacienta. V našem případě jde o digitalizovaný obraz nějaké léze, u které nás zajímá
103
její biologický význam. Digitalizovaný obraz je vlastně maticí čísel, takže by se mohlo zdát,
že postačuje na vstup vložit tento obraz. Ovšem toto není zcela správná myšlenka, protože
jde o poměrně rozsáhlý počet čísel a vztahů mezi nimi, takže obsluha by byla výpočetně
velmi náročná. Proto se počet vstupních dat redukuje tím, že se léze popíše několika čísly,
které by měly charakterizovat její obraz a přitom být pokud možno invariantní vůči běžně
proměnlivým technickým parametrům. Obraz léze obvykle nejlépe charakterizuje její tvar
a textura lézi vyplňující.
Pro ilustraci takového parametru si můžeme představit útvar podobný elipse, což může
být v praxi řez žlučníkem nebo lymfatickou uzlinou. Takovýto útvar lze popsat například
pomocí délek poloos, ovšem tyto parametry budou závislé na zvětšení – tedy např. v ultrazvukovém
obraze bude hodnota záviset na nastavení hloubky. Pokud však vezmeme jako
parametr popisující tvar poměr délek obou poloos nebo třeba poměr obvodu a obsahu (tzv.
cirkularitu), nebude hodnota parametru záviset na zvětšení.
Podobně konkrétně u ultrazvuku řada texturních měr závisí na nastavení zisku. Zde
je situace poněkud složitější, protože výpočet řady texturních měr postrádá snadno uchopitelný
intuitivní smysl. Pro případné aplikace je tedy nejlepším řešením experimentální
ověření toho, v jakém rozsahu nezávisí používané texturní míry na nastavení zisku. Situaci
komplikuje i to, že ultrazvukový obraz může být předzpracován řadou filtrů tak, aby
subjektivně lépe vypadal, takže výsledek se může mezi jednotlivými přístroji poněkud lišit.
Z výše uvedeného vyplývá, že i samotná volba parametrů popisujících tvar a texturu
není triviální záležitostí. V ideálním případě by měla být prováděna za koordinace klinika,
který nejlépe posoudí, co má smysl hodnotit, informatika, který nejlépe posoudí, které
parametry budou v rámci daných podmínek invariantní, a biomedicínského technika, který
nejlépe posoudí, zda nebude problémem variabilita mezi jednotlivými přístroji.
V některých případech se tímto způsobem dospěje k poměrně malému počtu příznaků.
Na tyto příznaky se lze dívat jako na souřadnice vektoru z vektorového prostoru vyšší
dimenze. Nejde o samoúčelnou hříčku, řada metod využívajících příznakového vektoru je
založena na metodách lineární algebry. V jiných případech je počet příznaků stále neúměrně
vysoký a tak je třeba provést nějakou formu redukce příznaků. K redukci příznaků lze použít
několika přístupů, volba konkrétního přístupu je dána spíše zvyklostmi a zkušeností. Při
redukci parametrů je ovšem třeba mít k dispozici vzorky možných výsledků.
K redukci počtu proměnných se používají především metody matematické statistiky,
jakou je např. analýza hlavních komponent (Principal Component Analysis – PCA). PCA
je založena na tom, že se z původních parametrů vypočítají parametry nové tak, že dokáží
stejně rozlišit vstupní data. Nových parametrů je ovšem podstatně méně. Velkou výhodou
PCA je i to, že je implementována v běžném statistickém software, tedy je běžně dostupná
na každém pracovišti2
.
Méně obvyklé postupy redukce parametrů jsou založeny např. na použití genetických
algoritmů, tedy počítačové simulace evoluce. Parametry jsou voleny tak, aby byl evolucí
optimalizován počet parametrů.
2
Jeden z nejlepších statistických programů R je k dispozici pod licencí GNU-GPL, tedy jej lze používat
bezplatně.
104
4.3.2 Expertní a konzultační systémy
Přesná definice expertního systému nejspíše neexistuje. V literatuře se lze setkat jak s pojetím
poměrně volným, tedy pojetím jakéhokoliv programu, který netriviálním způsobem
napodobuje činnost experta napříkad v diagnostice nebo v plánování, tak i pojetím striktním,
které nápodobu (simulaci) činnosti experta spojuje pouze s konkrétní architekturou.
Příznakový vektor zavedený v předešlém odstavci je vhodným vstupem pro expertní systém,
který se pokusí podle příznaků určit pravděpodobnou diagnózu. Takováto informace
samozřejmě v praxi představuje problém. Za konečnou diagnózu je totiž plně odpovědný
lékař, takže se jen s obtížemi může spolehnout na výstup počítačového programu. Z toho
důvodu se na expertní systém nahlíží spíše jako na názor kolegy. Aby byl takový názor
vůbec akceptovatelný, musí být podložen argumenty. To znamená, že expertní systém by
měl být schopen zdůvodnit, na základě jakých procesů dospěl k tomu, že příznakový vektor
odpovídá s největší pravděpodobností dané diagnóze. Vzhledem k architektuře řady
expertních systémů toto není až tak samozřejmou vlastností, jak by se možná na první pohled
zdálo. Pro označení expertních systémů, které mají schopnost zdůvodnit své závěry,
se tedy někdy používá systém konzultační systémy.
Diagnostický expertní systém v úzce pojaté architektuře se skládá z následujících prvků:
• báze znalostí
• báze dat
• inferenční mechanismus
Báze znalostí představuje soubor základních znalostí a pravidel obecného charakteru
především z dané oblasti. Tyto znalosti nemusí být nezbytně přesné, báze znalostí může
obsahovat i neurčité znalosti a pravděpodobnostní pravidla. Báze dat obsahuje informace
o aktuálně řešeném problému. Inferenční mechanismus zajišťuje nalezení vlastního řešení
tím, že využívá informace z báze znalostí i báze dat.
Vlastní realizace báze znalostí může být založena na několika principech. Nejčastěji
používanými principy jsou:
• predikátová logika – automatické odvozování z axiomů, realizováno obvykle v jazyce
Prolog
• produkční pravidla – speciální tvar logických pravidel ve tvaru:
p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn → d (4.2)
• asociativní sítě – jednotlivé poznatky jsou uzly v grafu, ohodnocené hrany pak představují
vztahy
• rámce – složité datové struktury sdružující informace o objektech a vzájemných vztazích
mezi objekty
105
Počítatová podpora diagnostiky představuje oblast, kde se stýká medicína, umělá inteligence
a analýza obrazu. Širokého uplatnění zde nacházejí metody známé jako počítačové
vidění. Většina výsledků je prozatím na úrovni experimentů, nicméně je publikováno velké
množství výsledků, takže lze předpokládat, že se čtenář-student s problematikou během své
profesní dráhy setká. Problematika však dalece překračuje rámec tohoto textu a proto lze
případého zájemce o technické detaily odkázat na vynikající pentalogii Umělá inteligence,
jejímiž editory jsou Vladimír Mařík, Olga Štěpánková a Jiří Lažanský.
106
Kapitola 5
Software
V této kapitole podáme stručný přehled vybraných programů, které si může čtenář beplatně
pořídit a vyzkoušet si tak analýzu a zpracování obrazových dat v praxi.
5.1 GIMP
GIMP je program sloužící především k vytváření a editaci rastrových obrazů. Je volně
dostupný pod licencí GNU GPL, je běžnou součástí nejrozšířenější Linuxové distribuce
Ubuntu, ovšem existují porty i pro jiné operační systémy. Z hlediska analýzy a zpracování
obrazu je zajímavé především to, že umožňuje provádět konvoluci s uživatelsky definovaným
jádrem a umí základní operace matematické morfologie.
• Domovská stránka: http://www.gimp.org/
• Česká stránka: http://www.gimp.cz/
5.2 ImageJ
ImageJ je program pro analýzu a zpracování vědeckých obrazových dat, který byl vyvinut
na National Institutes of Health (USA). Je volně dostupný pod licencí Public Domain.
Používá se především při analýze mikroskopických obrazů, ovšem jeho použití je mnohem
širší. Jeho obrovskou výhodou je to, že je napsán v jazyce Java, který umožňuje bezproblémové
spouštění pod prakticky všemi používanými operačními systémy. Další výhodou je
otevřenost a modularita kódu, díky které může kdokoliv vytvářet nové moduly – pluginy
– doplňující funkcionalitu. Široká komunita uživatelů pak znamená, že v případě problémů
lze vznést na příslušných diskuzních serverech dotaz a je velká pravděpodobnost, že se
tazatel v krátké době dočká užitečné odpovědi.
• Domovská stránka: http://rsb.info.nih.gov/ij/
• Dokumentační Wiki: http://imagejdocu.tudor.lu/
107
5.3 Octave
Octave, přesněji GNU Octave, je matematický programovací jazyk vysoké úrovně. Vysokou
úrovní je myšleno to, že jeden příkaz jazyka představuje poměrně komplexní činnost,
například výpočet diskrétní Fourierovy transformace nebo vyřešení soustavy rovnic. Šířen
je pod licencí GNU GPL, tedy je volně dostupný každému. Octave není primárně určen ke
zpracování obrazů, pro použití je třeba přidat balík image.
• Domovská stránka: http://www.gnu.org/software/octave/
• Česká stránka: http://www.octave.cz/
• Balík image: http://octave.sourceforge.net/image/index.html
Pravdou je, že ovládání z příkazové řádky a potřeba ovládat alespoň základní principy
procedurálního programování může představovat pro většinu čtenářů jistou komplikaci.
Ovšem pokud se laskavý čtenář pohrouží do studia analýzy obrazu hlouběji, tak zjistí, že
pokud bude chtít pracovat s analýzou obrazu samostatným a přitom dostatečně tvořivým
způsobem, je velmi pravděpodobné, že dříve či později dostane k problému, na jehož řešení
nenalezne vhodný plugin do ImageJ a nebude mít k dispozici informatika, který by mu jej
v Javě napsal. Pak přijde ke slovu právě nějaký vysokoúrovňový jazyk schopný provádět
i manipulace s obrazy. Po překonání prvotních obav a nejistoty je totiž práce s takovým
jazykem z jistého úhlu pohledu snazší než práce s plně grafickým prostředím.
108
Literatura
[1] Radiopaedia.org. http://radiopaedia.org/.
[2] Wikimedia Commons. http://commons.wikimedia.org/.
[3] Haim Azhari. Basics of Biomedical Ultrasound for Engineers. John Wiley & Sons,
2010.
[4] Alfonso Baldi, Raffaele Murace, Emanuele Dragonetti, Mario Manganaro, Oscar
Guerra, Stefano Bizzi, and Luca Galli. Definition of an automated content-based
image retrieval (cbir) system for the comparison of dermoscopic images of pigmented
skin lesions. BioMedical Engineering OnLine, 8(1):18, 2009.
[5] Valcinir Bedin, Randall Adam, Bianca de Sa, Gilles Landman, and Konradin Metze.
Fractal dimension of chromatin is an independent prognostic factor for survival in
melanoma. BMC Cancer, 10(1):260, 2010.
[6] Geoff Dougherty. Digital Image Processing for Medical Applications. Cambridge
University Press, 2009.
[7] Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods. Digital Image Processing. Pearson Prentice
Hall / Pearson Education Inc., 3 edition, 2008.
[8] Václav Hlavá´c and Miloš Sedláček. Zpracování signálů a obrazů. Nakladatelství
ČVUT, 2 edition, 2007.
[9] Jiří Jan. Číslicová filtrace, analýza a restaurace signálů. John Wiley & Sons, 2 edition,
2002.
[10] Michel Jondet, Regis Agoli-Agbo, and Louis Dehennin. Automatic measurement of
epithelium differentiation and classification of cervical intraneoplasia by computerized
image analysis. Diagnostic Pathology, 5(1):7, 2010.
[11] Petr Králíček. Úvod do speciální neurofyziologie. Galen, 3 edition, 2011.
[12] Vladimír Mařík, Olga Štěpánková, et al. Umělá inleligence 1. Academia, 1993.
[13] Vladimír Mařík, Olga Štěpánková, et al. Umělá inleligence 2. Academia, 1997.
109
[14] Radiological Society of North America. Dicom: The value and importance of an
imaging standard. http://www.rsna.org/Technology/DICOM/index.cfm, 2011.
[15] Radiological Society of North America. Dicom: The value and importance of an
imaging standard. http://dicom.nema.org/, 2011.
[16] Lawrence O’Gorman, Michael J. Sammon, and Michael Seul. Practical Algorithms for
Image Analysis with CD-ROM. 2 edition, 2007.
[17] Frank Y. Shih. Image Processing and Mathematical Morphology: Fundamentals and
Applications. CRC Press, 2009.
[18] Sebastian Valbuena, Greg O’Toole, and Eric Roulot. Compression of the median nerve
in the proximal forearm by a giant lipoma: A case report. Journal of Brachial Plexus
and Peripheral Nerve Injury, 3(1):17, 2008.
[19] Luiz Velho, Alejandro C. Frery, and Jonas Gomes. Image Processing for Computer
Graphics and Vision. Springer Publishing Company, Incorporated, 2nd edition, 2008.
[20] Pamela Weiss, Diana Corao, Avrum Pollock, Terri Finkel, and Sabrina Smith. Takayasu
arteritis presenting as cerebral aneurysms in an 18 month old: A case report.
Pediatric Rheumatology, 6(1):4, 2008.
[21] Jiří Žára, Bedřich Beneš, Jiří Sochor, and Petr Fekel. Moderní počítačová grafika.
Computer Press, 2 edition, 2004.
[22] Ivan Zelinka, František Včelař, and Marek Čandík. Fraktální geometrie: Principy a
aplikace. BEN – technická literatura, 2006.
[23] Karel Zvára and Josef Štěpán. Pravděpodobnost a matematická statistika.
MATFYZPRESS, 4 edition, 2006.
110