Matematika pro nematematiky podzimní semestr 2024
Matematika pro nematematiky - Úlohy 6
Termín zadání: 01.11.2024
1 Řešení algebraických rovnic numerickými metodami
Aplikujte programy, které jste zčásti vytvořili během semináře (NumerickaMatematika1.ipynb)
a vyřešte následující rovnice pomocí všech 3 metod, o nichž jsme hovořili:
A) Metoda půlení intervalů
B) Metoda prosté iterace
C) Newtonova metoda tečen
Všechny 3 metody jsou též popsány ve skriptech.
Zkuste zvolit různé počáteční hodnoty x0 a pozorujte chování programu. Stane se, že řešení
někdy diverguje (t.j. nekonverguje)? Závisí rychlost konvergence, tedy počet iterací, podstatně
na volbě x0?
1. sin x = x
2. ln x = −x2 + 3
3. x3 + 3x = 2
2 Numerická integrace
Aplikujte programy, které jste zčásti vytvořili během semináře (NumerickaMatematika1.ipynb)
a vyřešte následující integrály pomocí metod, o nichž jsme hovořili:
A) Součet centrovaných obdélníků
B) Simsonovo pravidlo
C) Monte Carlo integrace
Integrál též vyřešte analyticky a
1.
π/2
0 sin x dx
2. 2
0 x3 dx
3 Určení hodnoty π pomocí metody Monte Carlo
V Pythonu napiště program obdobný metodě Monte Carlo integrace, který spočítá plochu kruhu
o poloměru 1 cm.
1
4 Numerické derivování
V souboru NumerickaMatematika1.ipynb je uveden program pro numerickou derivaci funkce
sinus pomocí metody dopředných diferencí. Narozdíl o předchozích úloh nejsou hodnoty derivace
počítány postupně ve for cyklu nebo while cyklu, nýbrž "najednou"jako rozdíl vektorů numpy.
Výsledek derivace společně s funkcemi sinus a cosinus jsou nakresleny v grafu.
Zkuste program přeformulovat pro derivaci metodou zpětných diferencí a metodou centrálních
diferencí. ChatGPT vám pomůže.
2