FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1B Hlavní autor: Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc Autoři textu: Doc. RNDr. Jaromír BAŠTINEC, CSc. Helena DURNOVÁ, Ph.D. Mgr. Martin ŘEZÁČ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 1 Obsah 1 Úvod 11 1.1 Vstupní test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Označení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Základní pojmy matematické logiky. Množiny. Funkce 13 2.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Základní matematické pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Množina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Elementy matematické logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Kvantifikátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Tvrzení, věty, logické symboly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Definice, věty, druhy důkazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Číselné množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 Základní vlastnosti komplexních čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7.1 Algebraický tvar komplexního čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7.2 Trigonometrický tvar komplexního čísla . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.3 Exponenciální tvar komplexního čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7.4 Moivreova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7.5 Odmocňování komplexního čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Zavedení pojmu funkce, inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8.1 Speciální typy funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10 Trigonometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.11 Inverzní trigonometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.12 Exponenciální a logaritmické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.13 Hyperbolické a inverzní hyperbolické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.14 Komplexní funkce reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.15 Polynomy a racionální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.15.1 Euklidův algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.15.2 Věty o kořenech polynomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.15.3 Rozklad na parciální zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.16 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.17 Kontrolní příklady ke kapitole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Matice a determinanty. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. 40 3.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1 Speciální typy matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.2 Lineární závislost a nezávislost matic. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Vlastnosti determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 MATEMATIKA 1B 2 3.4 Hodnost matice a elementární úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.1 Inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.2 Výpočet inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 Soustavy lineárních rovnic: Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.7 Řešení soustav lineárních algebraických rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7.1 Homogenní soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.8 Gaussova a Jordanova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.9 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.10 Kontrolní příklady ke kapitole 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Vektorové prostory 63 4.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Vektorový prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Báze, dimenze, souřadnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Transformace souřadnic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Kontrolní příklady ke kapitole 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5 Skalární, vektorový a smíšený součin. Analytická geometrie lineárních a kvadratických útvarů 73 5.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Skalární součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 Ortogonální průmět . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.4 Vektorový počet v E3 . Vektorový a smíšený součin. . . . . . . . . . . . . . 78 5.5 Lineární útvary v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5.1 Přímka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5.2 Rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.5.3 Úsečka, polopřímka, polorovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5.4 Vzájemná poloha dvou přímek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5.5 Vzájemná poloha přímky a roviny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.5.6 Vzájemná poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6 Analytická geometrie lineárních útvarů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6.1 Vzdálenost bodu od přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6.2 Příčka mimoběžek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.6.3 Rovnice roviny procházející body třemi body . . . . . . . . . . . . . 87 5.7 Kanonické tvary kuželoseček. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.8 Kanonické tvary kvadrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.9 Základní vlastnosti kuželoseček a kvadrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.10 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.11 Kontrolní příklady ke kapitole 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3 6 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - část 1 97 6.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Pojem okolí bodu ( - okolí) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.3 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Pravostranná a levostranná limita funkce. Limita zprava a zleva . . . . . . 100 6.5 Nevlastní limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.6 Další případy limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.7 Některé věty o limitách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.8 Limita složené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.9 Některé známé limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.10 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.11 Některé vlastnosti spojitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.12 Odstranitelná nespojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.13 Klasifikace nespojitostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.14 Funkce spojité na uzavřeném intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.15 Poznámka o supremu a infimu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.16 Tečna ke křivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.17 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.18 Fyzikální význam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.19 Derivace základních elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.20 Derivace zprava a zleva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.21 Základní pravidla pro derivování: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.22 Derivace složené funkce: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.23 Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.24 Derivace inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.25 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.26 Kontrolní příklady ke kapitole 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (část 2) 121 7.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.2 Derivace a diferenciály vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3 Numerické derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.4 Derivování s programem Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.5 Inverzní trigonometrické funkce a jejich derivace . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.6 Derivace hyperbolických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.7 Derivace inverzních hyperbolických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.8 Klasifikace funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.9 Některé věty o diferencovatelných funkcích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.10 L'Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.11 Testování monotónnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.12 Extrémy funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.13 Postačující podmínky existence extrémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.14 Konvexnost a konkávnost křivky. Inflexní body. . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.15 Asymptoty křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 MATEMATIKA 1B 4 7.16 Obecné schéma pro vyšetřování průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.17 Některé numerické metody řešení nelineárních rovnic a soustav rovnic . . . 133 7.17.1 Metoda půlení (Metoda rozdělování úsečky na dva stejné díly) . . . 133 7.17.2 Metoda proporciálních částí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.17.3 Newtonova metoda (Metoda tečen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.17.4 Iterační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.17.5 Odhad chyby iterační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.17.6 Řešení rovnic pomocí programu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.18 Vektorová funkce skalárního argumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.18.1 Vektorová funkce. Hodograf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.18.2 Limita a spojitost vektorové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.18.3 Derivace vektorové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.18.4 Základní pravidla pro derivování vektorové funkce . . . . . . . . . . 144 7.18.5 Aplikace v mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.19 Komplexní funkce reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.19.1 Definice komplexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.19.2 Derivace komplexní funkce reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . 145 7.20 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.21 Kontrolní příklady ke kapitole 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8 Nekonečné číselné řady 148 8.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.2 Číselné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.3 Nutná podmínka konvergence číselné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.4 Vlastnosti konvergentních řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.5 Řady s kladnými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.6 Řady s libovolnými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.6.1 Alternující řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.6.2 Absolutní konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.7 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.8 Některé vlastnosti mocninných řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.9 Taylorovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.10 Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.11 Taylorova řada (Taylorův rozvoj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.12 Rozklad funkcí do Taylorových a Maclaurinových řad . . . . . . . . . . . . 159 8.13 Některé Maclaurinovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.13.1 Maclaurinova řada exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.13.2 Maclaurinova řada trigonometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . 160 8.13.3 Některé užitečné Maclaurinovy řady konkrétních funkcí . . . . . . . 160 8.14 Řady a program Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.15 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.16 Kontrolní příklady ke kapitole 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 5 9 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 1) 163 9.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.2 Primitivní funkce (antiderivace) a neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . 164 9.3 Základní tabulka integrálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.4 Některé vlastnosti integrálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.5 Substituční integrační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.6 Integrace po částech (per partes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.7 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.8 Kontrolní příklady ke kapitole 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 10 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 2) 169 10.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.2 Integrace podílu dvou mnohočlenů (racionální lomené funkce) . . . . . . . 170 10.3 Integrace některých iracionálních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.4 Integrace trigonometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.5 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.6 Kontrolní příklady ke kapitole 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 3) 178 11.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.2 Výpočet plochy obrazce omezeného křivkou . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.3 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.4 Vlastnosti určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 11.5 Odhad určitého integrálu. Věta o střední hodnotě. . . . . . . . . . . . . . . 182 11.6 Derivace integrálu vzhledem k horní mezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.7 Newton-Leibnizova věta (Základní vzorec integrálního počtu) . . . . . . . . 183 11.8 Integrace per partes pro učité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 11.9 Metoda substituce pro určité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 11.10Numerické integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.10.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.10.2Obdélníkové pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.10.3Lichoběžníkové pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.10.4Simpsonovo pravidlo (parabolické pravidlo) . . . . . . . . . . . . . . 185 11.10.5Složené kvadratické formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 11.10.6Odhad chyb kvadratických formulí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 11.11Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 11.12Kontrolní příklady ke kapitole 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 12 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 4) 191 12.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.2 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.2.1 Nevlastní integrály vlivem intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.2.2 Nevlastní integrály vlivem funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 12.3 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 MATEMATIKA 1B 6 12.3.1 Obsah rovinného obrazce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.3.2 Délka oblouku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.3.3 Objem tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.3.4 Objem rotačního tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.3.5 Obsah rotační plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.4 Integrace s programem Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.4.1 Analytická integrace s programem Maple . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.4.2 Určité integrály s programem Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.5 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.6 Kontrolní příklady ke kapitole 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 13 Diferenciální počet funkcí více proměnných (část 1) 200 13.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 13.2 Diferenciální počet funkcí více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.2.1 Funkce definované v Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.2.2 Limita funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.2.3 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 13.2.4 Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 13.2.5 Geometrický význam parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.2.6 Rovnice tečné roviny k ploše . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.2.7 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 13.3 Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 13.4 Kontrolní příklady ke kapitole 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14 Diferenciální počet funkcí více proměnných - (část 2) 208 14.1 Cíl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.2 Parciální derivace vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.3 Nezávislost smíšených derivací na pořadí derivování . . . . . . . . . . . . . 209 14.4 Diferencovatelná funkce. Totální diferenciál. . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 14.5 Diferenciály vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 14.6 Interpretace totálního diferenciálu funkce dvou proměnných . . . . . . . . 213 14.7 Aplikace totálního diferenciálu na přibližné výpočty . . . . . . . . . . . . . 214 14.8 Derivace složené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 14.9 Směrová derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 14.10Taylorův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 14.11Implicitní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.12Výpočet derivací vyšších řádů funkcí zadaných implicitně . . . . . . . . . . 221 14.13Další případy výpočtu derivací implicitních funkcí . . . . . . . . . . . . . . 221 14.14Extrémy funkcí více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 14.15Postačující podmínky pro existenci extrému funkce více proměnných . . . . 223 14.16Postačující podmínky existence extrému pro obecný případ . . . . . . . . . 224 14.17Určení maximální a minimální hodnoty funkce na uzavřené oblasti . . . . . 224 14.18Vázané extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 14.19Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7 14.20Kontrolní příklady ke kapitole 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 15 Výsledky testů 229 15.1 Vstupní test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 15.2 Kontrolní příklady ke kapitole 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 15.3 Kontrolní příklady ke kapitole 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 15.4 Kontrolní příklady ke kapitole 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 15.5 Kontrolní příklady ke kapitole 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 15.6 Kontrolní příklady ke kapitole 6.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 15.7 Kontrolní příklady ke kapitole 7.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 15.8 Kontrolní příklady ke kapitole 8.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.9 Kontrolní příklady ke kapitole 9.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.10Kontrolní příklady ke kapitole 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 15.11Kontrolní příklady ke kapitole 11.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 15.12Kontrolní příklady ke kapitole 12.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 15.13Kontrolní příklady ke kapitole 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 15.14Kontrolní příklady ke kapitole 14.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 16 Ukázky zadání písemných prací 240 17 Doporučená literatura 260 Seznam obrázků 2.2.1 A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 A \ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7.4 Komplexní číslo z = x + jy v komplexní rovině . . . . . . . . . . . . . 17 2.7.5 z, z - čísla komplexně sdružená . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.6 Trigonometrický tvar komplexního čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7.7 |z1 + z2|, |z1 - z2| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7.8 Řešení rovnice z5 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8.9 Funkce rostoucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8.10 Funkce klesající . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8.11 Funkce nerostoucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8.12 Funkce neklesající . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8.13 Funkce lichá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8.14 Funkce sudá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8.15 Funkce periodická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.9.16 Funkce inverzní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.10.17 Funkce sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.10.18 Funkce kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.10.19 Funkce tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.10.20 Funkce kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.11.21 Funkce Arcsin, Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.11.22 Funkce Arctg, Arccotg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.12.23 Funkce exponenciální . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.12.24 Funkce logaritmická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.13.25 Funkce hyperbolický sinus (sinh) a cosinus(cosh) . . . . . . . . . . . . 29 2.13.26 Funkce hyperbolický tangens (tgh) a cotangens (cotgh) . . . . . . . . 29 5.4.1 Geometrický význam vektorového součinu . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4.2 Geometrický význam smíšeného součinu . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.7.3 Kružnice: (x - m)2 + (y - n)2 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.7.4 Elipsa: (x-m)2 a2 + (y-n)2 b2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.7.5 Hyperbola: (x-m)2 a2 - (y-n)2 b2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.7.6 Parabola: (y - n)2 = 2p(x - m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.8.7 Koule: x2 + y2 + z2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.8.8 Elipsoid: x2 4 + y2 + z2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 9 5.8.9 Jednodílný hyperboloid: x2 + y2 - z2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.8.10 Dvojdílný hyperboloid: x2 + y2 - z2 = -1 . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.8.11 Eliptický paraboloid: x2 + y2 - 2z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.8.12 Hyperbolický paraboloid: x2 - y2 - 2z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.8.13 Kuželová plocha: x2 + y2 - z2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.8.14 Eliptická válcová plocha: x2 + y2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.8.15 Hyperbolická válcová plocha: x2 - y2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.8.16 Parabolická válcová plocha: y2 = 2px . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3.1 Graf funkce sin 1 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.14.2 Weierstrassova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.16.3 Tečna ke křivce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.9.1 Geometrický význam Rolleovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.9.2 Geometrický význam Lagrangeovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.16.3 Graf funkce f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.17.4 Konvergující iterační proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.17.5 Divergující iterační proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11.2.1 Určitý integrál - plocha obrazce 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.2.2 Určitý integrál - plocha obrazce 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.2.3 Určitý integrál - plocha obrazce 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.10.4 Obdélníkové pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.10.5 Lichoběžníkové pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.10.6 Simpsonovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.3.1 Plocha obrazce mezi dvěma křivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.3.2 Délka oblouku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.3.3 Objem tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.3.4 Objem rotačního tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.2.1 Horní polokoule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 13.2.2 Rotační paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15.7.1 Graf funkce f(x) = 3 x5 + 5 3 x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.7.2 Graf funkce f(x) = (x + 4)/(x2 - 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 15.7.3 Graf funkce f(x) = x + sin x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 15.7.4 Graf funkce f(x) = (2 + x - x2 )/(x - 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . 238 15.7.5 Graf funkce (x2 + x - 1)/(x - 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Seznam tabulek 2.3.1 Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.7.1 Kanonické tvary kuželoseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.8.2 Kanonické tvary kvadrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10 Kapitola 1 Úvod Tento učební text byl připraven pro potřeby posluchačů FEKT VUT. Je sestaven v souladu s aktuálními osnovami. Snahou autorů bylo podat problematiku srozumitelně a pokud možno elementárním způsobem. Někdy jsme dali přednost lepší srozumitelnosti podávané látky, než absolutní matematické přesnosti. Věříme, že to nebude na závadu ve správném chápání látky. Prosíme studenty a další čtenáře, aby zjištěné nedostatky v textu zaslali hlavnímu autoru na e-mailovou adresu (diblik@feec.vutbr.cz). Materiál průběžně upravujeme a Vaše připomínky v případě jejich věcné správnosti zahrneme do učebního textu. 1.1 Vstupní test Příklad 1.1 Upravte 3 a b3 b 3 a 18 - b 3 b 3 b b 18 a-b . Příklad 1.2 Řešte nerovnici x2 + x - 12 < x + 4 Příklad 1.3 Řešte nerovnici | x | - | x - 1 | | x + 1 | + | x - 2 | Příklad 1.4 Pro jakou hodnotu parametru má rovnice x2 + 3 nx + n + 1 = 0 právě jeden kořen? Příklad 1.5 Je-li sin x = 3 5 , x 0, 2 , pak cos x =? Příklad 1.6 V R Řešte rovnici 2x-1 log2 5 22 + log3 3 10-1 6 . Příklad 1.7 V R Řešte rovnici log(x2-9) log(x+1) = 2 Příklad 1.8 Upravte 1+i i na tvar a + bi, a, b R. Příklad 1.9 Jakou částku vyděláte po 10 letech na úrocích, je-li Váš počáteční vklad 10 Kč a roční úroková sazba 100%? 11 MATEMATIKA 1B 12 Příklad 1.10 Určete součet čísel 6 0 + 6 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 P říklad 1.11 Určete v jaké vzájemné poloze jsou přímky dané rovnicemi 2x - 3y + 13 a 3x + 2y - 12 = 0. Výsledky lze nalézt v kapilole 15.1. 1.2 Označení V tomto textu budeme často užívat řadu symbolů a značení. Všechny jsou uváděny v textu průběžně. Zde uvádíme tabulku, obsahující některé z nich. N množina přirozených čísel Z množina celých čísel R množina reálných čísel Q množina racionálních čísel I množina iracionálních čísel C množina komplexních čísel Pn(x) polynom n-tého stupně proměnné x Am,n matice typu m, n (s m řádky a n sloupci) A = (aij) matice s prvky aij I jednotková matice O nulová matice det A = |A| determinant matice A A-1 matice inverzní k matici A adj A matice adjungovaná k matici A Aks algebraický doplněk prvku aks hod (A) hodnost matice A (Rn , +, .) vektorový prostor všech uspořádaných n-tic dim P dimenze prostoru P. a a skalární součin vektorů a, b x norma vektoru x konec důkazu A lineární obal množiny A MA A matice přechodu od báze A k bázi Aa b vektor a je ortogonální na vektor b f|V = g zúžení funkce na podmnožinu A × B kartézský součim množin A, B a × b vektorový součin vektorů a, b [a, b, c] smíšený součin vektorů a, b, c Kapitola 2 Základní pojmy matematické logiky. Množiny. Funkce 2.1 Cíl kapitoly Matematika slouží k popisu různých přírodních jevů a technických problémů. V této kapi- tole si zopakujeme, nebo se seznámíme, s množinami a jejich vlastnostmi a se základy matematické logiky, které budeme dále používat. Matematika je budována postupně od nejjednodušších pojmů a struktur ke složitějším. Proto je zde připomenuto členění na axiomy, definice, věty a jsou připomenuty druhy důkazů. Budou uvedeny základní číselné množiny a jejich označení. Vedle racionálních čísel budeme často pracovat i s komplexními čísly. Uvedeme si alge- braický, trigonometrický i exponenciální tvar komplexního čísla a jak se převádí komplexní číslo z jednoho tvaru do druhého. Dále si ukážeme jak se komplexní čísla sčítají, násobí, umocňují a odmocňují. Jedením ze základních matematických pojmů je pojem funkce. Uvedeme si jej a jaké základní vlastnosti má. Zavedeme si pojem inverzní funkce a připomeneme si elementární funkce. Speciálním případem funkce jsou mnohočleny. Protože se vyskytují v mnoha aplikacích, budeme se jim speciálně věnovat a ukážeme si některé jejich typické vlastnosti, jako je třeba rozklad polynomu na součin kořenových činitelů, Hornerovo schéma pro výpočet hodnoty polynomu, atd. Na závěr se budeme věnovat rozkladu racionální lomenné funkce na parciální zlomky. 2.2 Základní matematické pojmy 2.2.1 Množina V matematice nazýváme jakýkoliv soubor či systém objektů množinou. Můžeme například mluvit o množině všech stromů na pasece, o množině hus pasoucích se na louce či o množině všech celých čísel. 13 MATEMATIKA 1B 14 Značí-li A množinu všech předmětů a x je jeden z těchto předmětů, říkáme, že x je prvkem množiny A (x patří do A) a píšeme x A. Není-li y prvkem A, píšeme y A nebo yA. Jestliže pro libovolné x má vztah x A vždy za následek vztah x B, potom říkáme, že množina A je obsažena v B a nazýváme ji podmnožinou množiny B. V tom případě píšeme A B. Relace A = B je speciálním případem relace A B. Platí-li A B a také B A, pak píšeme A = B. Je nutné zavést také pojem prázdné množiny neobsahující žádné prvky, tzv. prázdnou množinu, kterou značíme . Definujeme: ˇ sjednocení množin A a B jako množinu C obsahující prvky množin A i B. Sjednocení množin značíme A B(A + B) (viz obr.2.2.1); ˇ průnik množin A a B jako množinu C obsahující ty prvky, které patří do množiny A i B; značíme A B(AB) (viz obr.2.2.2); ˇ rozdíl množin A a B jako množinu C obsahující ty prvky množiny A, které nejsou obsaženy v množině B; značíme A \ B(A - B) (viz obr.2.2.3); Obrázek 2.2.1: A B Obrázek 2.2.2: A B Obrázek 2.2.3: A \ B Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 15 2.3 Elementy matematické logiky 2.3.1 Kvantifikátory Za základní kvantifikátory považujeme následující dva: ˇ Existenční kvantifikátor: (existuje); např. x R : x + 2 = 5 čteme " Existuje takové reálné číslo x, pro něž platí rovnost x+2 = 5". (Čtenář jistě vidí, že se jedná o výrok pravdivý, nebot' rovnost splňuje reálné číslo 3.) ˇ Obecný kvantifikátor: (pro všechny, pro každé); např. x R : x - 1 < x čteme " Pro všechna reálná čísla x platí nerovnost x - 1 < x". (Opět se jedná o výrok pravdivý, nebot' odečteme-li od libovolného reálného čísla číslo 1, dostaneme číslo menší než zadané.) 2.3.2 Tvrzení, věty, logické symboly Jako tvrzení lze označit např. výrok Kniha je bílá. Matematická věta, resp. matematické tvrzení je pravdivý matematický výrok, který má význam v matematické teorii. Matem- atickou větu nazýváme také pravidlo (obsahuje-li návod k výpočtu) nebo lemma (jedná-li se o pomocnou větu). Je-li tvrzení pravdivé, říkáme, že výrok platí, např. 2 + 3 = 5. O nepravdivém tvrzení (nepravdivé formuli, kontradikci) mluvíme tehdy, když výrok neplatí, např. x2 < -100. Rozlišujeme následující typy výroků: ˇ Negace: x > 0 je ekvivalentní s výrokem x 0 ˇ Konjunkce: (a, a zároveň); např. (x > 5) (x 6) je ekvivalentní s výrokem 5 < x 6 ˇ Disjunkce: (platí jedno nebo druhé nebo obojí); např. (x > 5) (x 6) = x R ˇ Implikace: = (jestliže . . . pak); např x2 = 1 = x = 1 ˇ Ekvivalence: (tehdy a jen tehy); např. x2 > 0 x = 0 V následující tabulce označují symboly 1 (0) po řadě skutečnost, že složený výrok v záhlaví je (není) pravdivý. Z tabulky je patrné, že konjunkce dvou výroků (A B) je pravdivá pouze tehdy, když jsou oba výroky A, B pravdivé. Disjunkce dvou výroků (AB) je naopak nepravdivá pouze tehdy, když není pravdivý ani jeden z výroků A, B. Implikace (A = B) je nepravdivá pouze tehdy, je-li první výrok pravdivý a druhý nikoliv. Ekvivalence (A B) je nepravdivá tehdy, je-li jeden z výroků A, B pravdivý a druhý nikoliv. MATEMATIKA 1B 16 Tabulka 2.3.1: Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků A B A B A B A B A = B A B 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2.4 Definice, věty, druhy důkazů Důkaz přímý: Pro důkaz tvrzení P = Q sestavíme řetězec pravdivých implikací P = P1 = P2 = . . . = Pn = Q. Důkaz nepřímý: Dokážeme (přímo) obměnu implikace P = Q, tedy Q = P. Důkaz sporem: Vyjdeme z negace P dokazovaného tvrzení P a pomocí pravdivých implikací odvodíme tvrzení nepravdivé. Tedy původní tvrzení P je pravdivé. Důkaz matematickou indukcí: Tento důkaz používáme pro dokazování tvrzení typu pro všechna n N, resp. pro všechna n n0 platí P. Důkaz sestává ze dvou částí: v prvním kroku dokážeme tvrzení pro n0 a ve druhém (indukčním) kroku dokážeme, že platí-li výrok P pro n, pak platí i pro n + 1. 2.5 Číselné množiny Definujeme následující číselné množiny: ˇ N- množina přirozených čísel; N = {1, 2, 3, . . . } ˇ Z- množina všech celých čísel; Z = N {0, -1, -2, -3, . . . } ˇ Q- množina racionálních čísel; m n , m, n Z, n = 0 ˇ Q+ - množina iracionálních čísel (např. 2, e (základ přirozeného logaritmu), (Ludolphovo číslo), log 5, . . . ) ˇ R- množina reálných čísel; R = (-; ) ˇ C- množina komplexních čísel {(a, b) : a R, b R} Symbol i, popř. j označuje tzv. komplexní jednotku, pro niž platí: j2 = -1. Komplexní číslo lze zapsat v různých tvarech, např. algebraickém: z = a + jb či goniometrickém z =.1 ˇ Platí: R = Q Q+ , N Z Q R C. 1 V elektrotechnice se komplexní jednotka označuje j, nebot' se písmeno i používá pro označení proudu. Budeme tedy komplexní jednotku označovat j místo v matematických textech obvykle užívaného i. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 17 2.6 Intervaly Budeme interpretovat čísla jako body (celočíselné nebo reálné osy) a naopak body přímky jako čísla. Množina čísel x splňujících nerovnosti a x b (resp. a < x < b) se nazývá uzavřený (resp. otevřený) interval s koncovými body a a b. Analogicky definujeme intervaly polootevřené, polouzavřené a nekonečné: ˇ uzavřený interval: [a, b] nebo < a, b >, a x b ˇ otevřený interval: (a, b) nebo ]a, b[, a < x < b ˇ polootevřený (polouzavřený) interval: [a, b), a x < b ( (a, b], a < x b) ˇ nekonečné intervaly: (-, ), (-, a], (-, a), (a, ), [a, ). 2.7 Základní vlastnosti komplexních čísel 2.7.1 Algebraický tvar komplexního čísla Číslo z = x + jy, kde x a y jsou libovolná reálná čísla a j je komplexní, popř. imaginární jednotka, se nazývá algebraický tvar komplexního čísla. Pak x se nazývá reálná a y imaginární část komplexního čísla z. Obrázek 2.7.4: Komplexní číslo z = x + jy v komplexní rovině Podle definice jsou si dvě komplexní čísla rovna tehdy a jen tehdy, jsou-li si rovny jejich reálné a imaginární části. Potom je rovnost x1 + jy1 = x2 + jy2 ekvivalentní dvěma rovnostem x1 = x2 a y1 = y2. Komplexní číslo z = x+jy lze zobrazit jako bod v rovině 0xy, na jejíž ose x je znázorněna reálná část z a na ose y imaginární část z (viz náčrtek 2.7.4). Pro účely tohoto zobrazení MATEMATIKA 1B 18 se osa x nazývá reálná osa, osa y se nazývá imaginární osa a rovina Oxy se pak nazývá komplexní rovina. Komplexní číslo si lze představit také jako vektor, jehož počátek je totožný s počátkem soustavy souřadnic a konec s bodem, na nějž se zobrazí dané komplexní číslo. Souřadnice vektoru na osách x a y znázorňují reálnou a imaginární část komplexního čísla z. Je-li y = 0, pak komplexní číslo z = x+i0 = x je reálné číslo znázorněné bodem reálné osy; je-li naopak x = 0, číslo z = 0 + jy = jy se nazývá ryze imaginární a je znázorněno bodem (0, y) ležícím na imaginární ose. Obrázek 2.7.5: z, z - čísla komplexně sdružená Číslo komplexně sdružené (viz obr.2.7.5) s daným komplexním číslem z = a + jb značíme z. Je definováno jako z = a - jb. Operace odčítání je definována jako operace inverzní ke sčítání; tj. z = a+jb se nazývá rozdíl mezi komplexními čísly z1 = a1 +jb1 a z2 = a2 +jb2, platí-li a = a1 -a2 a b = b1 -b2. Operaci násobení komplexních čísel v algebraickém tvaru provádíme podobně jako násobení dvou polynomů, tj. pro součin z = a + jb komplexních čísel z1 = a1 + jb1 a z2 = a2 + jb2 platí a = a1a2 - b1b2 a b = a1b2 + a2b1. Operace dělení komplexních čísel je definována jako operace inverzní k operaci ná- sobení. Komplexní číslo z = a + jb se nazývá podílem (kvocientem) komplexních čísel z1 = a1 + jb1 a z2 = a2 + jb2, platí-li z1 = z z2. Řešením této rovnice (za předpokladu, že z2 = 0) dostáváme z = z1 z2 = a1 + jb1 a2 + jb2 a2 - jb2 a2 - jb2 = a1a2 + b1b2 a2 2 + b2 2 + j b1a2 - a1b2 a2 2 + b2 2 . 2.7.2 Trigonometrický tvar komplexního čísla Jelikož je komplexní číslo definováno jako dvojice čísel reálných, je přirozené zobrazovat komplexní číslo z = a + jb jako bod v rovině xy s kartézskými souřadnicemi x = a a y = b. Tuto rovinu nazveme komplexní rovinou; osa x se nazývá reálná osa, osa y se nazývá imaginární osa komplexní roviny. Je také možné definovat pozici bodu v rovině Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 19 pomocí polárních souřadnic (, ), kde je vzdálenost bodu od počátku souřadnic a je úhel, který svírá vektor průvodič s kladnou poloosou osy x. Kladný směr pro měření úhlu je směr proti pohybu hodinových ručiček. Využijeme-li vztahu mezi kartézskými a polárními souřadnicemi x = cos , y = sin , dostáváme takzvaný trigonometrický (nebo polární) tvar zápisu komplexního čísla: z = (cos + j sin ). Obrázek 2.7.6: Trigonometrický tvar komplexního čísla Vzdálenost se nazývá modul nebo absolutní hodnota z; úhel se nazývá argument nebo amplituda z (viz obr.2.7.6). Obvykle používáme značení = |z|, = Argz. Je-li z = a + jb, pak = a2 + b2, tg () = b a . Argument komplexního čísla je jednoznačně definován až na periodu 2. Je vhodné označit jako arg z hodnotu argumentu v intervalu 0 arg z 2 + 0, kde 0 je libovolné pevně zvolené číslo (např. 0 = 0 nebo 0 = ). Pak Argz = arg z + 2k (k = 0, 1, 2, . . . ). Hodnota arg z se nazývá hlavní hodnota argumentu. V následujícím budeme používat 0 = 0. Argument komplexního čísla z = 0 není definován a jeho modul je roven nule. Dvě nenulová komplexní čísla jsou si rovna tehdy a jen tehdy, když jsou si rovny jejich moduly a hodnoty argumentů se bud'to rovnají, nebo se liší o násobek 2. MATEMATIKA 1B 20 2.7.3 Exponenciální tvar komplexního čísla Exponenciální tvar (exponenciální označení) komplexního čísla z = ej lze získat z trigonometrického tvaru užitím tzv. Eulerovy formule: ej = cos + j sin . Podle pravidel pro násobení a dělení dostáváme pro z1 = 1ej1 a z2 = 2ej2 : z1 z2 = 12ej(1+2) (2.7.1) a z1 z2 = 1 2 ej(1-2) . Pro rovnost dvou komplexních čísel zadaných v exponenciálním tvaru platí stejné podmínky jako u čísel zadaných v trigonometrickém tvaru. Obrázek 2.7.7: |z1 + z2|, |z1 - z2| Operace sčítání a odčítání komplexních čísel odpovídají operacím sčítání a odčítání vek- torů (viz obrázek 2.7.7): součet dvou komplexních čísel (vektorů) z1 a z2 je vektor z1 + z2. Analogicky se sestrojí vektor z2 - z1 jako rozdíl vektorů z2 a z1. Tak okamžitě dostáváme trojúhelníkové nerovnosti |z1 + z2| |z1| + |z2|, |z1 - z2| |z1| - |z2|. 2.7.4 Moivreova věta Postupným použitím vztahu (2.7.1) lze obdržet tzv. Moivreovu větu: zn = [(cos + j sin )]n = n (cos n + j sin n), kde n je kladné celé číslo. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 21 2.7.5 Odmocňování komplexního čísla Komplexní číslo z1 = n z se nazývá n-tou odmocninou komplexního čísla z, jestliže platí z = zn 1 . Je-li z1 = 1(cos 1 + j sin 1) potom podle Moivreovy věty (nebo Eulerovy formule) platí: zn 1 = n 1 (cos n1 + j sin n1). Je-li komplexní číslo z zadané v goniometrickém tvaru jako z = (cos + j sin ), pak se čísla z a z1 rovnají, platí-li: = n 1 a = n1, tedy 1 = n a 1 = n + 2k n Jak bylo výše uvedeno, argument komplexního čísla je definován jednoznačně až na peri- odu 2. Z toho důvodu dostáváme pro argument komplexního čísla z1 celkem n různých hodnot, které se navzájem liší o celočíselný násobek n-tiny úhlu 2. Budeme je značit k 1. Platí: k 1 = n + 2k n , kde za k = 0, 1, . . . , n - 1 a je jedna z hodnot argumentu komplexního čísla z. Tedy existují různá komplexní čísla která, umocněná na n-tou, jsou rovna témuž komplexnímu číslu z. Moduly těchto komplexních čísel jsou stejné a jsou rovny n , jejich argumenty se liší o násobky 2 n . Počet různých hodnot n-tých odmocnin komplexního čísla z je n. Body v komplexní rovině odpovídající různým hodnotám n-té odmocniny komplexního čísla z leží ve vrcholech pravidelného n-úhelníka vepsaného do kruhu o poloměru n se středem v bodě z = 0. Odpovídající hodnoty k 1 získáme tak, že za k dosadíme hodnoty k = 0, 1, . . . , n - 1. Klasická analýza položila problém rozšíření reálných čísel takovým způsobem, aby výsledkem nejen elementárních operací sčítání a násobení, ale také operace odmocňování bylo číslo z téže (rozšířené) číselné množiny. Komplexní čísla tento problém řeší. Dostali jsme vzorec n z = n c os + 2k n + i sin + 2k n , k = 0, 1, . . . , n - 1. Příklad 2.1 Najděte všechny hodnoty j. Řešení. Necht' z = j = ej/2 . Pak zk = cos /2 + 2k 2 + j sin /2 + 2k 2 , k = 0, 1 MATEMATIKA 1B 22 a z0 = cos 4 + j sin 4 = 2 2 (1 + i), z1 = cos 5 4 + j sin 5 4 = - 2 2 (1 + i). Příklad 2.2 Graficky znázorněte všechna řešení rovnice z5 = 1. Řešení. Užitím výše uvedeného vzorce dostáváme zk = cos 2k 5 + j sin 2k 5 , k = 0, 1, . . . , 4. Poloha komplexních čísel z0, z1, z2, z3, z4 je znázorněna na obrázku 2.7.8. Obrázek 2.7.8: Řešení rovnice z5 = 1 2.8 Zavedení pojmu funkce, inverzní funkce Necht' Df je číselná množina a necht' je dán jistý předpis, podle něhož každému číslu x Df přiřadíme (jedinou) hodnotu y. Pak říkáme, že na množině Df je definována (jednohodnotová) funkce a píšeme: y = f(x), (x Df ). Hodnotu y nazýváme hodnotou funkce (nebo také funkcí či závisle proměnnou), hodnotu x nazýváme argumentem (popř. nezávisle proměnnou). Množinu Df nazýváme definičním oborem funkce a množinu Hf nazýváme oborem hod- not funkce. Dále říkáme, že funkce f zobrazuje množinu Df na množinu Hf a f nazýváme zobrazením, množinu Hf nazýváme obrazem množiny Df . Pojem funkce můžeme chápán také geometricky jako popis množiny bodů se souřad- nicemi (x, fx), kde x Df , y = f(x). Tuto množinu bodů nazýváme grafem funkce y = f(x). 2.8.1 Speciální typy funkcí Definice 2.3 Nabývá-li funkce f(x) různých hodnot pro různé hodnoty x, říkáme, že je prostá.2 2 Pomocí kvantifikátorů tuto skutečnost zapisujme takto: Platí-li x1, x2 Df (x1 = x2) = f(x1) = f(x2), pak f(x) se nazývá prostá. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 23 Příklad 2.4 Jsou funkce y = x2 , y = cos x, y = x-1 = 1 x prosté ve svých definičních oborech Df ? Řešení. Funkce y = f1(x) = x2 a y = f2(x) = cos x mají stejný definiční obor Df = R. Nejsou prosté, nebot' pro první funkci platí f1(x) = f1(-x) pro každé x Df , x = 0 a pro druhou funkci platí například f2(0) = f2() = 1. Funkce y = f3(x) = 1 x má Df = R \ {0} a je prostá, nebot' vztah f3(x1) = f3(x2) nemůže platit pro x1 = x2, tj. 1 x1 = 1 x2 . Definice 2.5 Funkce f(x) je na intervalu I Df : ˇ rostoucí, jestliže x1, x2 I, x1 < x2 : f(x1) < f(x2) (viz náčrtek 2.8.9) ˇ klesající, jestliže x1, x2 I, x1 < x2 : f(x1) > f(x2) (viz náčrtek 2.8.10) ˇ nerostoucí, jestliže x1, x2 I, x1 < x2 : f(x1) f(x2) (viz náčrtek 2.8.11) ˇ neklesající, jestliže x1, x2 I, x1 < x2 : f(x1) f(x2). (viz náčrtek 2.8.12) Tyto typy funkcí jsou ilustrovány na obrázcích. Obrázek 2.8.9: Funkce rostoucí Obrázek 2.8.10: Funkce klesající Definice 2.6 Rostoucí a klesající funkce se nazývají ryze monotónní. Definice 2.7 Funkce f(x) se nazývá omezená, jestliže M R x Df : |f(x)| M. Příklad 2.8 Jsou funkce f(x) = x2 , f(x) = sin x omezené? Řešení. Funkce f(x) = x2 omezená není. Předpokládejme, že existuje číslo M dle výše uvedené definice. Pak stačí položit. např. x = M +1. Je zřejmé, že f(M +1) = (M +1)2 > M. Funkce f(x) = sin x je omezená: stačí položit např. M = 1. MATEMATIKA 1B 24 Obrázek 2.8.11: Funkce nerostoucí Obrázek 2.8.12: Funkce neklesající Definice 2.9 Funkce f(x) se nazývá: ˇ lichá, jestliže x Df : f(x) = -f(-x), (viz náčrtek 2.8.13) ˇ sudá, jestliže x Df : f(x) = f(-x), (viz náčrtek 2.8.14) ˇ periodická, jestliže > 0, R, x Df : f(x + ) = f(x) (viz náčrtek 2.8.15). Obrázek 2.8.13: Funkce lichá Obrázek 2.8.14: Funkce sudá 2.9 Inverzní funkce Uvažujme libovolnou funkci y = f(x) definovanou na množině E a označme její obraz jako E1 = f(E). Přiřad'me každému y E1 množinu všech x E, pro něž y = f(x). Dostáváme funkci x = (y) definovanou na E1. Funkce (y) se nazývá funkce inverzní k f(x). Budeme předpokládat, že inverzní funkce je prostá. Dostáváme zřejmé identity: [f(x)] = x, x E Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 25 Obrázek 2.8.15: Funkce periodická a f[(y)] = y, y E1. Někdy je pohodlné označit funkci inverzní k f symbolem f-1 . Pak f-1 f(x) = x, x E a ff-1 (y) = y, y E1. Například Funkce f(x) = x2 a f-1 (x) = x, (neboli y = x2 a x = y) pro x 0 jsou navzájem inverzní (viz obr. 2.9.16). Funkce y = kx, k = 0, k R má inverzní funkci y = 1 k x a naopak. Obrázek 2.9.16: Funkce inverzní Věta 2.10 Grafy inverzních funkcí f(x), f-1 (x) jsou symetrické podle osy y = x. Důkaz. Necht' jsou dány inverzní funkce y = f(x), y = g(x) a f[g(x)] = x, x E. Je-li b = f(a), pak musí platit g(b) = a a body [a, b], [b, a] jsou symetrické podle osy y = x. MATEMATIKA 1B 26 2.10 Trigonometrické funkce Základní trigonometrickými funkcemi jsou: ˇ Funkce sinus: sin (viz náčrtek 2.10.17) ˇ Funkce kosinus: cos (viz náčrtek 2.10.18) ˇ Funkce tangens: tg (viz náčrtek 2.10.19) ˇ Funkce kotangens: cotg (viz náčrtek 2.10.20) Obrázek 2.10.17: Funkce sinus Obrázek 2.10.18: Funkce kosinus Obrázek 2.10.19: Funkce tangens Obrázek 2.10.20: Funkce kotangens 2.11 Inverzní trigonometrické funkce Inverzními funkcemi k základním trigonometrickým funkcím jsou následující funkce (souhrnně označované cyklometrické): Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 27 ˇ y = arcsin x ( " arkus sinus") je inverzní k funkci y = sin x; arcsin(sin x) x, sin(arcsin x) x, x Df = [-1, 1]. (viz náčrtek 2.11.21) ˇ y = arccos x ( " arkus kosinus") je inverzní k funkci y = cos x; arccos(cos x) x, cos(arccos x) x, x Df = [-1, 1]. (viz náčrtek 2.11.21) ˇ y = arctg x ( " arkus tangens") je inverzní k funkci y = tg x; arctg(tg x) x, tg(arctg x) x, x Df = (-, +), (viz náčrtek 2.11.22) ˇ y = arccotg x ( " arkus kotangens") je inverzní k funkci y = cotg x; arccotg(cotg x) x, cotg(arccotg x) x, x Df = (-, +). (viz náčrtek 2.11.22) Znalost průběhu základní funkcí je velmi užitečná při stanovení různých důležitých údajů, například o jejich maximálních a minimálních hodnotách, o jejich asymptotách atd. (viz například část 6.15, str. 110). Obrázek 2.11.21: Funkce Arcsin, Arccos Obrázek 2.11.22: Funkce Arctg, Arccotg 2.12 Exponenciální a logaritmické funkce Funkcemi exponenciálního a logaritmického typu nazýváme následující typy funkcí: ˇ y = ax (exponenciální funkce), Df = R, a > 0, a R. Na náčrtku 2.12.23 vidíme příklad exponenciální funkce pro a = 2, a = 3, a = 1/2 (funkce "12nax") a a = 1/3 (funkce "13nax"). ˇ y = loga x (logaritmická funkce) Df = (0, ), a > 0, a = 1, a R je inverzní k exponenciální funkci. Grafy některých logaritmických funkcí jsou znázorněny na náčrtku 2.12.24. (Značení jednotlivých grafů je analogické jako u funkcí exponen- ciálních.) MATEMATIKA 1B 28 Obrázek 2.12.23: Funkce exponenciální Obrázek 2.12.24: Funkce logaritmická Platí tedy následující ekvivalence: y = ax x = loga y . Definice 2.11 Logaritmem čísla x při základu a nazýváme číslo y takové, že ay = x. Předpokládáme, že a > 0, a = 1 a x > 0. Zapisujeme: y = loga x. Následující vzorec, nazývaný vzorcem pro přechod k jinému základu, je často užitečný: log = log log Je-li a = 10, pak místo log10 píšeme x = log x. Tento logaritmus (o základu 10) nazýváme dekadický. Je-li a = e, pak místo loge píšeme x = ln x a tento logaritmus (při základu e) nazýváme přirozený. 2.13 Hyperbolické a inverzní hyperbolické funkce Hyperbolické funkce jsou definovány následujícími vztahy: ˇ sinh x = ex-e-x 2 (hyperbolický sinus, viz náčrtek 2.13.25) ˇ cosh x = ex+e-x 2 (hyperbolický kosinus , viz náčrtek 2.13.25) ˇ tgh x = sinh x cosh x = ex-e-x ex+e-x (hyperbolický tangens, viz náčrtek 2.13.26 ) ˇ cotgh x = cosh x sinh x = ex+e-x ex-e-x (hyperbolický kotangens, viz náčrtek 2.13.26) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 29 Obrázek 2.13.25: Funkce hyperbolický si- nus (sinh) a cosinus(cosh) Obrázek 2.13.26: Funkce hyperbolický tan- gens (tgh) a cotangens (cotgh) Inverzní hyperbolické funkce, nazývané hyperboometrické, jsou: ˇ y = argsinh x ("arkus sinus hyperbolický') je funkcí inverzní k funkci y = sinh x ˇ y = argcosh x ("arkus kosinus hyperbolický') je funkcí inverzní k funkci y = cosh x ˇ y = argtgh x ("arkus tangens hyperbolický') je funkcí inverzní k funkci y = tgh x ˇ y = argcotgh x ("arkus kotangens hyperbolický') je funkcí inverzní k funkci y = cotgh x Uved'me některé vztahy, které platí pro hyperbolometrické funkce: ˇ cosh2 x - sinh2 x = 1 ˇ cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x ˇ sinh 2x = 2 sinh x cosh x ˇ cosh2 x = 1 1-tgh2 x ˇ sinh2 x = tgh2 x 1-tgh2 x 2.14 Komplexní funkce reálné proměnné Předpokládejme, že je dán rovinný vektor A, který závisí na parametru t, tj. A = At. Pak můžeme psát A(t) = x(t)i + y(t)j, (2.14.2) MATEMATIKA 1B 30 kde i a j jsou jednotkové vektory na osách x a y. Křivka r = A(t) (kterou získáme tak, že za parametr t budeme dosazovat všechny hodnoty z nějaké číselné množiny) leží celá v rovině Oxy. V tomto případě je příhodné považovat vektor r = xi + yj za geometrickou reprezentaci komplexního čísla z = x + iy a hovořit místo o vektorové funkci r(t) = x(t)i+y(t)j o komplexní funkci z(t) = x(t)+iy(t) reálné proměnné t. Pozor, vektory i, j nelze zaměňovat s imaginární jednotkou označovanou i nebo j. Definice 2.12 Jestliže je každé hodnotě parametru t přiřazeno určité komplexní číslo z(t) = x(t) + iy(t), (2.14.3) kde x(t) a y(t) jsou funkce nabývající reálných hodnot, z(t) se nazývá komplexní funkce reálného argumentu t. Parametr t nabývá hodnot z daného intervalu. Graf komplexní funkce z(t) = x(t) + iy(t) je, podle definice, křivka s parametrickými rovnicemi x = x(t), y = y(t); tedy, hodografy vektorové funkce (2.14.2) a komplexní funkce (2.14.3) jsou shodné. Příklad 2.13 Pro funkci z(t) = t + it2 , t (-, +) máme x = t a y = t2 . Hodografem je parabola y = x2 . Pokud t nabývá hodnot od - do +, bod [t; t2 ] ležící na parabole se pohybuje tak, že kladná část osy y zůstává vždy vlevo. 2.15 Polynomy a racionální funkce Definice 2.14 Polynomem (mnohočlenem) n-tého stupně proměnné x nazveme výraz Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, kde n N a an, . . . , a1, a0 jsou libovolná reálná či komplexní čísla, přičemž an = 0. Polynom může být zapsán i ve tvaru Pn(x) = a0 + a1x + + an-1xn-1 + anxn . Podle toho, z jaké množiny bereme koeficienty ai, i = 1, 2, . . . , n, mluvíme o polynomu celočíselném, reálném, racionálním, komplexním, atd. Polynomy můžeme sčítat, násobit číslem, násobit mezi sebou a dělit. Předpokládejme, že máme dva polynomy Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, a Qm(x) = bmxm + bm-1xm-1 + + b1x + b0, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 31 kde n m. Pak jejich součtem je polynom Pn(x) + Qm(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + + (am + bm)xm + am+1xm+1 + + anxn , -násobkem ( je dané číslo) polynomu P(x) je polynom Pn(x) = (an)xn + (an-1)xn-1 + + (a1)x + (a0) a součinem polynomů P(x) a Q(x) je polynom Pn(x) Qm(x) = cn+mxn+m + + c1x + c0, kde ck = i +j=k aibj, i = 0, 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . , m. Pro podíl polynomů P(x) a Q(x) platí schematický vzorec Pn(x) Qm(x) = Sn-m(x) + Rk(x) Qm(x) , (2.15.4) kde Rk(x) je polynom (tzv. zbytek) stupně k < m, což můžeme zapsat ve tvaru Pn(x) = Sn-m(x)Qm(x) + Rk(x). Polynom Sn-m(x) nazýváme částečným podílem. 2.15.1 Euklidův algoritmus Definice 2.15 Polynom D(x), který dělí beze zbytku polynomy Pn(x) a Qm(x) se nazývá společným dělitelem polynomů Pn(x) a Qm(x). Polynom D(x), který má ze všech společných dělitelů nejvyšší stupeň, se nazývá největší společný dělitel polynomů Pn(x) a Qm(x). Vyložíme nyní postup nazývaný Euklidův algoritmus, který slouží pro nalezení ne- jvětšího společného dělitele dvou polynomů. Necht' jsou dány nenulové polynomy P, Q, stupeň P = st (P) > st (Q). Polynom P vydělíme polynomem Q a dostaneme částečný podíl S a zbytek R1, pro který platí st (R1) < st (Q) (viz vztah 2.15.4): P = QS + R1. Nyní vydělíme polynom Q zbytkem R1 a získáme částečný podíl S1 a zbytek R2, kde st (R2) < st (R1), Q = R1S1 + R2. Vydělíme polynom R1 zbytkem R2 a dostaneme R1 = R2S2 + R3. MATEMATIKA 1B 32 Pokračujeme dále, až v k-tém kroku dostaneme Rk-2 = Rk-1Sk-1 + Rk. Protože st (Rk) < st (Rk-1) < < st (R2) < st (R1) < st (Q) < st (P), po konečném počtu t kroků dostaneme Rt-2 = Rt-1St-1 + Rt, Rt-1 = RtSt + 0. Z poslední rovnosti plyne, že polynom Rt je dělitelem polynomu Rt-1. Dosazením do předposlední rovnosti dostaneme Rt-2 = RtStSt-1 + Rt = Rt (StSt-1 + 1) , neboli Rt je i dělitelem polynomu Rt-2 a tak můžeme pokračovat dále a ukázat, že všechny polynomy Rj, j < t jsou dělitelné polynomem Rt, tedy i P a Q jsou dělitelné Rt. Obráceně, necht' je polynom D společným dělitelem polynomů P a Q. Potom D bude dělitelem polynomu R1. Jestliže D dělí Q a R1, potom dělí i R2. Jestliže dělí R1 a R2, dělí i R3, atd., polynom D tedy musí dělit i Rt. Rt je tedy největším společným dělitelem polynomů P a Q. 2.15.2 Věty o kořenech polynomů Definice 2.16 Číslo nazýváme kořenem polynomu Pn(x), jestliže platí Pn() = ann + an-1n-1 + + a1 + a0 = 0. Věta 2.17 (Základní věta algebry) Každý polynom s reálnými nebo komplexními ko- eficienty stupně n 1 má aspoň jeden kořen (ten může být reálný nebo komplexní). Věta 2.18 (Bézoutova) Číslo je kořenem polynomu Pn(x) stupně n 1 právě tehdy, když Pn(x) = (x - )Qn-1(x), kde Qn-1(x) je vhodný polynom stupně n - 1. Důsledek 2.19 Každý polynom Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, stupně n 1 s (komplexními) kořeny 1, 2, . . . , n, přičemž kořeny nemusí být navzájem různé, se dá rozložit na součin kořenových činitelů Pn(x) = an(x - 1)(x - 2) . . . (x - n). Jinými slovy, každý polynom Pn(x), n 1 má právě n kořenů. Poznamenejme ještě, že má-li polynom s reálnými koeficienty komplexní kořen a + bj, pak je jeho kořenem také číslo komplexně sdružené, tj. a - bj. Definice 2.20 Násobností kořene rozumíme počet, kolikrát se vyskytuje v rozkladu na kořenové činitele. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 33 Důsledek 2.21 Kořen polynomu Pn(x) má násobnost k, jestliže Pn(x) je dělitelný polynomem (x - )k , ale není dělitelný polynomem (x - )k+1 . Věta 2.22 (Hornerovo pravidlo) Pro výpočet hodnoty r = Pn() polynomu Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 v bodě x = nebo pro určení koeficientů bi polynomu Qn-1(x) = bn-1xn-1 + + b1x + b0 vzniklého dělením polynomu Pn(x) členem (x - ) lze použít tento postup: bn-1 = an, bn-2 = bn-1 + an-1, . . . . . . b1 = b2 + a2, b0 = b1 + a1, r = b0 + a0 = Pn(). Je východné výpočty provádět pomocí následující tabulky: an an-1 . . . a2 a1 a0 x = bn-1 bn-2 . . . b1 b0 r , Důsledek 2.23 Jestliže při použití Hornerova pravidla dostaneme r = 0, potom je kořenem polynomu Pn(x). Věta 2.24 (Vietovy vzorce) Mezi koeficienty a kořeny polynomu Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = an(x - 1)(x - 2) . . . (x - n) platí vztahy (tzv. Vietovy vzorce) an-1 = -an(1 + 2 + + n), an-2 = an(12 + 13 + + 23 + + n-1n), . . . . . . a0 = (-1)n an(12 . . . n). Důsledek 2.25 Každý kořen dělí absolutní člen a0. Věta 2.26 Mějme polynom s celočíselnými koeficienty Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0. Celé číslo může být kořenem, jestliže dělí absolutní člen a0. Racionální číslo p/q (kde p je celé číslo a q je přirozené číslo nesoudělné s p) může být kořenem polynomu Pn(x), jestliže p dělí absolutní člen a0 a q dělí koeficient u nejvyšší mocniny an. MATEMATIKA 1B 34 Definice 2.27 ((Racionální lomená funkce) Necht' Pn(x) a Qm(x) jsou polynomy. Jejich podíl R(x) = Pn(x) Qm(x) nazveme racionální funkcí lomenou. Je-li n < m, mluvíme o racionální funkci ryze lomené. 2.15.3 Rozklad na parciální zlomky V mnohých matematických a technických aplikacích (např. u tzv. transformace Z nebo při integrování racionální lomené funkce v části 10.2) je nutné umět racionální lomenou funkci rozložit na součet jednodušších zlomků. Tyto zlomky se nazývají parciální zlomky. Následující věta podává informaci o jejich tvaru a o tvaru celého rozkladu. Věta 2.28 Každá racionální neryze lomená funkce R(x) (tj. n m) se dá jednoznačně vyjádřit ve tvaru R(x) = F(x) + G(x), kde F(x) je polynom stupně n - m a G(x) je racionální funkce ryze lomená. Věta 2.29 (O rozkladu na parciální zlomky) Mějme reálnou ryze lomenou racionální funkci R(x) = Pn(x) Qm(x) , n < m, s rozkladem jmenovatele na kořenové činitele nad R Qm(x) = am(x-1)k1 (x-2)k2 . . . (x-r)kr (x2 +p1x+q1)s1 (x2 +p2x+q2)s2 . . . (x2 +pvx+qv)sv , kde i, i = 1, 2, . . . , r jsou reálné kořeny násobnosti ki a kvadratický trojčlem x2 + pjx + qj, kde j = 1, 2, . . . , v, p2 j - 4qj < 0, reprezentuje dvojici komplexně sdružených kořenů s násobností sj. Potom R(x) = ri =1 A i1 (x - i) + Ai2 (x - i)2 + + Aiki (x - i)ki + + vj =1 M j1x + Nj1 (x2 + pjx + qj) + Mj2x + Nj2 (x2 + pjx + qj)2 + + Mjsj x + Njsj (x2 + pjx + qj)sj , (2.15.5) kde všechny koeficienty Aik, Mjs, Njs jsou reálná čísla. Při hledání rozkladu (2.15.5) je nutno určit jeho koeficienty. Ilustrujme postup jejich hledání na několika příkladech. Příklad 2.30 Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) = 6x2 + 7x + 4 2x3 + 3x2 - 1 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 35 Řešení. Rozložíme jmenovatele na součin kořenových činitelů (nejlépe pomocí Hornerova schématu): 2x3 + 3x2 - 1 = 2 x - 1 2 ( x + 1)2 . Máme jeden prostý reálný kořen x = 1/2 a jeden reálný kořen x = -1, který má násobnost 2. Podle předchozí věty o rozkladu na parciální zlomky dostaneme: 6x2 + 7x + 4 2x3 + 3x2 - 1 = A x - 1 2 + B x + 1 + C (x + 1)2 . Neznámé koeficienty určíme tak, že celou rovnici vynásobíme jmenovatelem racionální funkce (t.j. polynomem 2x3 + 3x2 - 1) a upravíme: 6x2 + 7x + 4 = A2(x + 1)2 + B2(x - 1 2 )(x + 1) + C2(x - 1 2 ), 6x2 + 7x + 4 = A2(x2 + 2x + 1) + B(2x - 1)(x + 1) + C(2x - 1), 6x2 + 7x + 4 = A2(x2 + 2x + 1) + B(2x2 + x - 1) + C(2x - 1). Srovnáním koeficientů polynomů na obou stranách rovnice dostaneme soustavu rovnic: 6 = 2A + 2B 7 = 4A + B + 2C 4 = 2A - B - C Soustava má jediné řešení A = 2, B = 1, C = -1. Rozklad na parciální zlomky má proto tvar 6x2 + 7x + 4 2x3 + 3x2 - 1 = 2 x - 1 2 + 1 x + 1 - 1 (x + 1)2 . Příklad 2.31 Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci F(x) = 16x3 - 15x2 + 6x + 5 (2x - 1)2(x2 + 2x + 5) . Řešení. Jmenovatel má jeden reálný kořen x = 1 2 násobnosti 2 a dvojici komplexně sdružených kořenů. Rozklad na parciální zlomky bude mít tvar: 16x3 - 15x2 + 6x + 5 (2x - 1)2(x2 + 2x + 5) = A x - 1 2 + B x - 1 2 2 + Cx + D x2 + 2x + 5 . Po vynásobení společným jmenovatelem dostaneme 16x3 -15x2 +6x+5 = 4A x - 1 2 ( x2 +2x+5)+4B(x2 +2x+5)+4(Cx+D) x - 1 2 2 . MATEMATIKA 1B 36 Po úpravě dostaneme soustavu rovnic, která má řešení A = 0, B = 1 4 , C = 4, D = 0. Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar 16x3 - 15x2 + 6x + 5 (2x - 1)2(x2 + 2x + 5) = 1 (2x - 1)2 + 4x x2 + 2x + 5 . Částečným důsledkem věty o rozkladu na parciální zlomky je následující věta: Věta 2.32 Mějme reálnou ryze lomenou racionální funkci R(x) = Pn(x) Qm(x) , n < m, jejíž jmenovatel má pouze prosté kořeny Qm(x) = am(x - 1)(x - 2) . . . (x - m), Potom R(x) = L1 (x - 1) + L2 (x - 2) + + Lm (x - m) , kde Li = Pn(i) Qm(i) , i = 1, 2, . . . , m. Příklad 2.33 Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) = x2 + 1 (x2 - 1)(x2 + x - 6) . Řešení. Rozložíme jmenovatele na součin kořenových činitelů. (x2 - 1)(x2 + x - 6) = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2). Všechny kořeny jsou reálné prosté. Rozklad bude mít tvar x2 + 1 (x2 - 1)(x2 + x - 6) = A x + 1 + B x - 1 + C x + 3 + D x - 2 . Po vynásobení rovnice jmenovatelem (x2 - 1)(x2 + x - 6) dostaneme x2 + 1 = A(x - 1)(x + 3)(x - 2) + B(x + 1)(x + 3)(x - 2) + C(x + 1)(x - 1)(x - 2)+ +D(x + 1)(x - 1)(x + 3). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 37 Do poslední rovnice postupně dosazujeme jednotlivé kořeny. Pro x1 = -1 dostaneme po dosazení: (-1)2 + 1 = A(-1 - 1)(-1 + 3)(-1 - 2) + B(-1 + 1)(-1 + 3)(-1 - 2) + C 0 + D 0, 2 = A(-2)(2)(-3), A = 1 6 . Pro x = 1: 1 + 1 = A(1 - 1)(1 + 3)(1 - 2) + B(1 + 1)(1 + 3)(1 - 2) + C 0 + D 0, 2 = B(2)(4)(-1), B = - 1 4 . Pro x = -3: (-3)2 + 1 = A 0 + B 0 + C(-3 + 1)(-3 - 1)(-3 - 2) + D 0, 10 = C(-2)(-4)(-5), C = - 1 4 . Pro x = 2: 22 + 1 = A 0 + B 0 + C 0 + D(2 + 1)(2 - 1)(2 + 3), 5 = D(3)(1)(5), D = 1 3 . Konečný rozklad má tedy tvar x2 + 1 (x2 - 1)(x2 + x - 6) = 1 6(x + 1) - 1 4(x - 1) - 1 4(x + 3) + 1 3(x - 2) . 2.16 Shrnutí V této kapitole jsme se seznámili se základními pojmy matematické logiky, teorie množin, číselných množin a funkcí. Naučili jsme se také rozkládat podíl dvou polynomů na součet parciálních zlomků. Zavedený aparát budeme průběžně využívat v dalším výkladu. Např. rozklad na parciální zlomky se uplatní při integraci racionálních funkcí (viz část 10.2), str 170). Stanovení, zda je funkce lichá, sudá, rostoucí, klesající a pod. se uplatní při určování průběhu funkce (viz 7.16, str. 132. MATEMATIKA 1B 38 2.17 Kontrolní příklady ke kapitole 2 1. Je dána funkce f(x). Určete její definiční obor D(f), obor hodnot H(f) a hodnoty f(-2) a f(10). Vzor: Funkce f(x) = sin x je definována pro všechna reálná čísla, tedy D(f) = R. Nabývá hodnot v intervalu -1; 1 , tedy H(f) = -1; 1 . f(-2) = -0, 909..., f(10) = -0, 544.... Jiný příklad: Pro funkci f(x) = x - 1 je D(f) = 1; ), H(f) = 0; ). f(-2) neexistuje, f(10) = 10 - 1 = 9 = 3. (a) f(x) = 2x - 5 (b) f(x) = x2 + 1 (c) f(x) = 5ex (d) f(x) = sin 2x 2. Jsou dány funkce f(x) a g(x). Napište funkce u(x) = f(g(x)), v(x) = g(f(x)) a w(x) = f(f(x)). Vypočtěte funkční hodnoty u(0), v(1) a w(-2). f(x) = 2x2 - 3, g(x) = ex 3. Najděte definiční obor funkce f(x): (a) f(x) = x + 6 + sin 6x (b) f(x) = 6x x2-4 (c) f(x) = 3x - x2 (d) f(x) = 2 + x - x2 (e) f(x) = log (x2 - 9) (f) f(x) = ln x+2 2x-3 (g) f(x) = arcsin 2x+3 9 4. Najděte funkci inverzní k funkci f(x). (a) f(x) = -2x + 5, x R (b) f(x) = 2x2 + 16, x 0; ) (c) f(x) = e2x+3 , x R (d) f(x) = ln (x - 2), x 2; ) 5. (a) Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) = 2x2 + 1 x3 - 6x2 + 11x - 6 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 39 (b) Rozložte na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(x) = x2 - 3x + 1 x(x - 1)(x - 2) . Výsledky jsou uvedeny v části 15.2. Kapitola 3 Matice a determinanty. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. 3.1 Cíl kapitoly Řada technických, ekonomických a jiných problémů vede na soustavy lineárních alge- braických rovnic. Jako vhodný aparát pro jejich zápis a následné řešení se ukázaly matice. Proto se nejdříve seznámíme s maticemi a jejich vlastnostmi. Ukážeme si, co je determi- nant čtvercové matice a jaké jsou jeho vlastnosti. Naučíme se některým metodám výpočtu determinantů a jejich použití při určování vlastností matic. Budeme se dále věnovat algebraickým operacím s maticemi. Vedle sčítání matic a násobení matice číslem si zavedeme i součin matic. Jedná se o operaci, které se výrazně odlišuje od operace s čísly. Jde o nekomutativní operaci, tedy součin AB se nemusí rovnat součinu BA. Bude záležet na pořadí činitelů. Další odlišností od počítání s reálnámi čísly je, že u matic může nastat situace, kdy se součin dvou nenulových matic rovná nulové matici. Vlastnosti determinantů a matic použijeme při popisu soustav lineárních algebraických rovnic. Ukážeme si, kdy je taková soustava řešitelná a jakým způsobem můžeme určit její řešení. Stanovíme, kdy bude soustava řešitelná pro libpvolnou pravou stranu. Na závěr si uvedeme i i dvě numerické metody pro řešení soustav lineárních algebraick- ých rovnic. Obě metody předpokládají, že matice koeficientů bude speciálního typu. Nelze je použít pro libovolnou soustavu. Pokud ale soustava splňuje požadované podmínky, t.j. matice koeficientů má požadovaný tvar, potom numerická metoda zaručuje, že se dostaneme k řešení soustavy s požadovanou přesností. Práci nám může usnadnit použití vhodného počítačového vybavení. Program Maple umožňuje výpočet determinantů, provádí operace s maticemi, řeší soustavy. 40 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 41 3.2 Matice Nejdříve si vybudujeme potřebný matematický aparát. Definice 3.1 Necht' m, n jsou přirozená čísla. Jestliže každé uspořádané dvojici (i, j) {1, 2, . . . , m}×{1, 2, . . . , n} přiřadíme prvek aij R, obdržíme reálnou matici typu (m, n) nad R. Čísla i, j nazýváme indexy: i je řádkový a j je sloupcový index. Matice zapisujeme jako A = (aij) = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn Matice budeme označovat velkými písmeny. Symbol Rm,n značí množinu všech reálných matic typu (m, n). 3.2.1 Speciální typy matic Uved'me některé často se vyskytující speciální typy matic. ˇ Matice řádková: pro m = 1 dostáváme A = (a1, a2, . . . , an) ˇ Matice sloupcová: pro n = 1 dostáváme A = a1 a2 ... an ˇ Matice diagonální je taková matice A, pro niž platí: aij = 0 pro i = j , tj. A = a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . amm Výše uvedená matice A je typu (m, m), obecně však může mít diagonální matice bud' ještě další sloupce, v nichž budou samé nuly, a nebo další řádky, v nichž budou opět samé nuly. Prvky aii pro i = 1, 2, . . . , min{m, n} tvoří hlavní diagonálu. ˇ Matice čtvercová řádu m : Jestliže m = n, potom mluvíme o čtvercové matici řádu m. A = a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m ... ... ... ... am1 am2 . . . amm MATEMATIKA 1B 42 ˇ Matice jednotková je čtvercová diagonální matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky: I = 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 ˇ Matice nulová je taková matice, jejímiž prvky jsou pouze 0 : O = 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 0 ˇ Matice transponovaná k matici A typu (m, n) vznikne záměnou řádků původní matice za sloupce a naopak. Výslednou matici značíme AT a má n řádků a m sloupců, neboli je typu (n, m). AT = a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ... ... ... ... a1n a2n . . . amn ˇ Matice symetrická je čtvercová matice taková, pro niž platí aij = aji i, j. Např. matice A = 1 -2 5 -1 -2 2 -3 7 5 -3 0 -1 -1 7 -1 3 je symetrická. Pro každou symetrickou matici platí A = AT . 3.2.2 Lineární závislost a nezávislost matic. Definice 3.2 Matice A = (aij) je rovna matici B = (bkl), jsou-li obě matice stejného typu a stejnolehlé prvky se sobě rovnají, tj. A Rm,n, B Rm,n, aij = bij, pro i, j {1, 2, . . . , m}× {1, 2, . . . , n}. Definice 3.3 Součtem dvou matic A, B Rm,n je matice C Rm,n taková, že cij = aij + bij : A + B = a11 a12 . . . a1n a12 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn + b11 b12 . . . b1n b12 b22 . . . b2n ... ... ... ... bm1 bm2 . . . bmn = a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n ... ... ... ... am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn = c11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n ... ... ... ... cm1 cm2 . . . cmn = C (3.2.1) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 43 Číselným -násobkem, R, matice A Rm,n je matice D Rm,n taková, že dij = aij. A = a11 a12 . . . a1n a12 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn = d11 d12 . . . d1n d21 d22 . . . d2n ... ... ... ... dm1 dm2 . . . dmn = D (3.2.2) Lineární kombinací matic A1, A2, . . . , Ak Rm,n s koeficienty 1, 2, . . . , k nazveme matici A = 1A1 + 2A2 + + kAk. Definice 3.4 Mějme rovnost 1A1 + 2A2 + + kAk = O (3.2.3) kde O je nulová matice. Matice A1, A2, . . . , Ak nazveme lineárně závislé, pokud i = 0, i = 1, 2, . . . , k a rovnost (3.2.3) platí. Matice A1, A2, . . . , Ak nazveme lineárně nezávislé, pokud rovnost (3.2.3) platí tehdy a jen tehdy, když i = 0 pro i = 1, 2, . . . , k. Důsledek 3.5 Jsou-li A1, A2, . . . , Ak lineárně závislé, potom alespoň jedna z nich je lineární kombinací zbývajících. Je-li některá z matic A1, A2, . . . , Ak lineární kombinací zbývajících, jsou matice A1, A2, . . . , Ak lineárně závislé. Je-li některá z matic A1, A2, . . . , Ak nulová, jsou matice A1, A2, . . . , Ak lineárně závislé. Příklad 3.6 Matice A1 = 1 2 0 0 , A2 = 0 -1 -1 1 , A3 = 1 0 -2 2 jsou lineárně závislé, protože platí A1 + 2A2 - A3 = O. Příklad 3.7 Určete lineární závislost či nezávislost matic A1 = 1 0 0 , A2 = 1 2 0 , A3 = 0 1 1 . MATEMATIKA 1B 44 Řešení. Sestavíme lineární kombinaci těchto matic podle definice 3.4: 1A1 + 2A2 + 3A3 = 0 0 0 . Po dosazeních a úpravách dostáváme 1 1 0 0 + 2 1 2 0 + 3 0 1 1 = 0 0 0 , 1 + 2 22 + 3 3 = 0 0 0 . Porovnáním stejnolehlých prvků dostaneme soustavu rovnic 1 + 2 = 0, 22 + 3 = 0, 3 = 0, která má řešení 1 = 2 = 3 = 0. Podle definice 3.4 jsou matice A1, A2, A3 lineárně nezávislé. 3.3 Determinanty Definice 3.8 Permutace je zobrazení množiny {1, 2, . . . , n} na sebe. Příklad 3.9 Určete všechny permutace množiny {1, 2, 3}. Řešení. Z tříprvkové množiny můžeme vytvořit následující permutace prostým výčtem všech možností: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}. Definice 3.10 Inverzí v permutaci (i1, i2, . . . , in) rozumíme každý výskyt takové dvojice čísel, že větší stojí před menším (tj. vlevo od něj). Příklad 3.11 Permutace (2, 3, 1) má dvě inverze 2 > 1 a 3 > 1. Definice 3.12 Determinant čtvercové matice A řádu n je číslo det A = |A| = a 11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . ann = ( j1,j2,...,jn) (-1)t(j) a1j1 a2j2 . . . anjn , kde sčítáme přes všechny permutace (j1, j2, . . . , jn) množiny {1, 2, . . . , n} a t(j) je rovno počtu inverzí v permutaci (j1, j2, . . . , jn). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 45 Z definice determinantu lze snadno odvodit jednoduchá pravidla pro výpočet determi- nantů matic 2. a 3. řádu, tzv. křížové a Sarrussovo pravidlo. ˇ Křížové pravidlo pro výpočet determinantu matice druhého řádu: a b c d = ad - bc ˇ Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu matice třetího řádu: a b c d e f g h k = aek + bfg + cdh - ceg - afh - bdk Poznámka 3.13 Pro determinanty matic vyšších řádů se podobné vzorece nepoužívají. 3.3.1 Vlastnosti determinantů Z definice determinantu vyplývají následující vlastnosti determinantů, které uvádíme bez důkazu. Věta 3.14 1. V definičním vyjádření determinantu matice A se vyskytuje člen a1j1 a2j2 . . . anjn se znaménkem (+), pokud má permutace (j1, j2, . . . , jn) sudý počet inverzí a se znaménkem (-), pokud má permutace (j1, j2, . . . , jn) lichý počet inverzí. 2. Pravidla pro počítání s deteminanty, která formulujeme pro řádky, platí i pro sloupce a naopak. Speciálně, det A = det (AT ), tedy determinant čtvercové matice je stejný jako determinant matice k ní transponované. 3. Záměnou dvou sloupců matice A se hodnota determinantu změní na opačnou. 4. Determinant matice, která má dva stejné sloupce, je roven nule. 5. Společný násobek všech prvků sloupce lze vytknout před determinant. 6. Necht' prvky s-tého sloupce matice A jsou lineární kombinace prvků tvaru ais = bis + cis, potom |A| = |Ab| + |Ac|, kde matici Ab získáme z matice A nahrazením s-tého sloupce prvky bis a ponecháním ostatních beze změny a matici Ac získáme obdobně nahrazením s-tého sloupce matice A prvky cis a ponecháním ostatních beze změny. 7. Jestliže některý sloupec matice A je lineární kombinací zbývajících, potom |A| = 0. 8. Hodnota determinantu se nezmění, pokud přičteme k jednomu sloupci lineární kom- binaci zbývajících sloupců. MATEMATIKA 1B 46 9. Determinant diagonální matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále. Počítat hodnotu determinantu pro matice vyšších řádů přímo podle definice je obtížné a časově náročné. Proto se pro jejich výpočet používá "rozvoj" determinatu podle řádku nebo sloupce. Výpočet se tak výrazně urychluje a současně se snižuje i pravděpodobnost chyby. Definice 3.15 Algebraickým doplňkem Aks prvku aks nazveme číslo Aks = (-1)k+s Mks, kde Mks je determinant matice, která vzniklne z matice A vynecháním k-tého řádku a s-tého sloupce. Věta 3.16 (Laplaceova věta o rozvoji determinantu) Pro každou čtvercovou matici A a každé k {1, 2, . . . , n} platí |A| = a1kA1k + a2kA2k + + ankAnk. Každý deternimant matice řádu n si tímto způsobem vyjádříme jako součet násobků n determinantů řádu (n - 1). výpočet se nám dále zkrátí, pokud budeme provádět rozvoj podle řádku (sloupce), který obsahuje větší počet nul. Důsledek 3.17 Vzhledem k rovnoprávnosti řádků a sloupců platí k {1, 2, . . . , n} |A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + + aknAkn. Příklad 3.18 Určete hodnotu deterninantu matice A, je-li A = -10 5 -7 4 -7 3 -9 3 -2 1 -1 1 -5 5 -3 5 . Řešení. Násobky druhého sloupce budeme přičítat ke zbývajícím tak, abychom ve třetím řádku dostali nuly. Dvojnásobek druhého sloupce přičteme k prvnímu sloupci, ke třetímu sloupci přičteme druhý a od čtvrtého sloupce odečteme druhý sloupec. |A| = - 10 5 -7 4 -7 3 -9 3 -2 1 -1 1 -5 5 -3 5 = 0 5 -2 -1 -1 3 -6 0 0 1 0 0 5 5 2 0 = Rozvineme determinant podle třetího řádku a potom podle posledního sloupce: = (-1)(3+2) 1 0 -2 -1 -1 -6 0 5 2 0 = (-1)(-1)(-1)(1+3) - 1 -6 5 2 = 28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 47 Poznámka 3.19 Při výpočtu je vhodné si nejprve zapsat sloupec (řádek), jehož násobky budeme přičítat ke zbývajícím. Zapisujeme jej na jeho místo, protože nemůžeme měnit pořadí jednotlivých sloupců, aniž by došlo i ke změně hodnoty determinantu. Snížíme tím možnost, že se nechtěně dopustíme chyby. Věta 3.20 Pro každou čtvercovou matici A řádu n a pro každou dvojici různých indexů k, l {1, 2, . . . , n}, k = l, platí a1kA1l + a2kA2l + + ankAnl = 0, ak1Al1 + ak2Al2 + + aknAln = 0. 3.4 Hodnost matice a elementární úpravy V této části se seznámíme s pojmem hodnosti matice, který je později využijeme např. při určování počtu řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Definice 3.21 Necht' A Rm,n, k min(m, n). Vybereme v matici A libovolně k řádků a k sloupců. Elementy stojící na průsečících těchto řádků a sloupců tvoří matici řádu k. Její determinant nazveme minorem k-tého řádu matice A. Důsledek 3.22 Minorů k-tého řádu matice A Rm,n, k min(m, n) můžeme vytvořit celkem m k n k . Příklad 3.23 Mějme matici A = 3 2 4 2 2 0 1 1 0 4 5 1 . Můžeme z ní vytvořit celkem 12 minorů prvního řádu, 18 minorů druhého řádu a 4 minory třetího řádu. Všechny minory třetího řádu jsou přitom nulové. Definice 3.24 Hodnost nulové matice je rovna nule. Hodnost nenulové matice A je rovna k, jestliže existuje nenulový minor řádu k a všechny minory vyšších řádů, pokud existují, jsou rovny nule. Věta 3.25 Má-li matice A hodnost k, má potom právě k lineárně nezávislých sloupců a naopak, má-li matice A právě k lineárně nezávislých sloupců, potom má hodnost k. Důsledek 3.26 Determinant čtvercové matice A je nenulový právě tehdy, když všechny sloupce jsou lineárně nezávislé. Definice 3.27 Za elementární úpravy matice A prohlásíme 1. Přechod od matice A k matici transponované AT . MATEMATIKA 1B 48 2. Vzájemnou výměnu dvou řádků. 3. Vynásobení všech prvků v jednom řádku nenulovým číslem. 4. Přičtení k jednomu řádku lineární kombinace zbývajících řádků. 5. Vynechání nulového řádku. Věta 3.28 Elementární úpravy nemění hodnost matice. Definice 3.29 Matici A Rm,n nazveme horní trojúhelníkovou maticí, když aij = 0 i > j > min(m, n). Matici A nazveme dolní trojúhelníkovou maticí, když aij = 0 i < j < min(m, n). Vznikla-li matice B z matice A pomocí elementárních úprav, píšeme A B. Lze dokázat, že postupným užitím elementárních úprav lze každou matici převést na trojúhelníkovou matici. Tento postup se nazývá Gaussova eliminační metoda. Dále lze ukázat, že postupným užitím elementárních úprav lze každou matici převést na diagonální matici. Tento postup se nazývá Jordanova eliminační metoda. Dále je zřejmé, že deter- minant trojúhelníkové matice řádu n je roven součinu prvků na hlavní diagonále. Příklad 3.30 Určete hodnost matice A = 1 0 2 3 -5 2 -1 0 0 2 3 1 6 1 0 4 0 -2 1 1 . Řešení. První řádek vynásobený (-2) přičteme ke druhému, první řádek vynásobený (-3) přičteme ke třetímu a první řádek vynásobený (-4) přičteme k poslednímu řádku. A 1 0 2 3 -5 0 -1 -4 -6 12 0 1 0 -8 15 0 0 -10 -11 21 . První a poslední řádek opíšeme, třetí přičteme ke druhému a zapíšeme třetí řádek jako druhý A 1 0 2 3 -5 0 1 0 -8 15 0 0 -4 -12 27 0 0 -10 -11 21 . První tři řádky necháme beze změny, poslední řádek násobíme (-4) a přičteme k němu desetinásobek třetího řádku A 1 0 2 3 -5 0 1 0 -8 15 0 0 -4 -12 27 0 0 0 -76 186 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 49 Matice A je převedena na trojúhelníkový tvar, má čtyři nenulové rádky, první čtyři řádky a první čtyři sloupce tvoří nenulový minor řádu 4 (jeho hodnota je 304), hodnost matice A je proto rovna čtyřem. 3.5 Operace s maticemi V části 3.2.2 jsme se seznámili se sčítáním matic a násobením matice číslem. Nyní si ukážeme násobení matic. Definice 3.31 Součinem matice A Rm,n a matice B Rn,p v uvedeném pořadí je matice C Rm,p, pro kterou platí C = AB, C = (cij), cij = nk =1 aikbkj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p. Tedy a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn b11 b12 . . . b1n b21 b22 . . . b2n ... ... ... ... bm1 bm2 . . . bmn = c11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n ... ... ... ... cm1 cm2 . . . cmn , kde cij = n k=1 aikbkj. Matice násobíme tak, že násobíme první prvek i-tého řádku a prvním prvkem j-tého sloupce plus součin druhého prvku i-tého řádku a druhého prvku j-tého sloupce plus . . . plus součin posledního prvku i-tého řádku a posledního prvku j-tého sloupce. Získané číslo bude prvkem výsledné matice a bude stát v i-tém řádku a j-tém sloupci. Poznámka 3.32 Násobení matic není komutativní, t.j. existují takové matice A, B, že platí AB = BA nebo některý ze součinů AB, BA není definován. Příklad 3.33 Necht' A R2,3 a B R3,4. Potom součin AB existuje, ale součin BA není definován. Důsledek 3.34 Součin matic A a B je definován právě tehdy, když počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B. Příklad 3.35 Mějme dány matice A = 1 2 3 1 , B = 2 1 1 3 . Potom AB = 4 7 7 6 , BA = 5 5 10 5 , tedyAB = BA. MATEMATIKA 1B 50 Příklad 3.36 A = 1 1 2 2 , B = 1 2 -1 -2 , AB = 0 0 0 0 . Máme případ, že A = O, B = O, ale AB = O. Jedná se o situaci, která nemá obdobu v oboru reálných čísel. Nelze proto přenášet automaticky poznatky z číselných množin do teorie matic. Věta 3.37 Pro všechny matice A Rm,n, B, C Rn,p, D Rp,q a pro libovolné číslo R platí: 1. A(B + C) = AB + AC, 2. A(BD) = (AB)D, 3. (A)B = A (B) = (AB), 4. (AB)T = BT AT . Věta 3.38 Pro každou matici A typu (m, n) platí AI = A, kde I je jednotková matice řádu n. Důsledek 3.39 IA = A, kde I Rm,m. Věta 3.40 Necht' A je matice typu m, n, potom součin AAT je matice symetrická. 3.5.1 Inverzní matice Věta 3.41 Necht' A, B, C jsou čtvercové matice řádu n a necht' platí AB = CA = I. Potom B = C. Důkaz. C = CI = C(AB) = CAB = (CA)B = IB = B. Definice 3.42 Necht' A, B jsou čtvercové matice řádu n a necht' platí AB = BA = I. Potom říkáme, že matice B je matice inverzní k matici A. Tuto skutečnost zapisujeme následujícím způsobem: B = A-1 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 51 Příklad 3.43 Pro každou matici A nemusí existovat taková matice B, že platí AB = I. Vynásobíme-li matici A = 1 1 0 0 s libovolnou maticí B = , dostáváme AB = 1 1 0 0 = + + 0 0 T o ovšem znamená, že pro danou matici A neexistuje matice B taková, že po jejich vyná- sobení dostaneme matici jednotkovou. Definice 3.44 Matice, k níž existuje matice inverzní, se nazývá regulární. V opačném případě mluvíme o matici singulární. Věta 3.45 Necht' A,B jsou dvě regulární matice řádu n. Potom platí: 1. Součin AB je regulární a (AB)-1 = B-1 A-1 . 2. Matice A-1 je regulární a (A-1 )-1 = A. Věta 3.46 Necht' A, B jsou libovolné čtvercové matice řádu n. Potom |AB| = |A| |B|. Důsledek 3.47 Položíme-li v předchozím vztahu B = A-1 (předpokládáme, že matice A je regulární a k ní inverzní matice B tedy existuje), pak A-1 = 1 |A| . Dále lze ukázat, ze matice A je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový. Definice 3.48 Adjungovanou maticí k matici A nazýváme matici adjA = (a ij), kde a ij = Aji. Z definice vyplývá, že matici adjungovanou získáme, když každý prvek matice A nahradíme jeho algebraickým doplňkem a výslednou matici transponujeme. Příklad 3.49 Ověřte, že platí: |adj A| = |A|n-1 . 3.5.2 Výpočet inverzní matice Věta 3.50 Bud' A regulární matice. Potom pro inverzní matici platí: A-1 = 1 |A| (adj A). MATEMATIKA 1B 52 Příklad 3.51 Uved'me postup pro určení inverzní matice k regulární matici řádu 2. A = a b c d , adj A = d -b -c a , tedy A-1 = 1 ad - bc d -b -c a . Příklad 3.52 Určete inverzní matici k matici A, jestliže A = 2 0 7 1 -4 -5 3 1 2 . Řešení. Protože |A| = -16 + 7 + 84 + 10 = 85, je matice A regulární a tedy k ní existuje matice inverzní. Určíme jednotlivé algebraické doplňky. A11 = - 4 -5 1 2 = -3, A12 = - 1 -5 3 2 = -17, A13 = 1 -4 3 1 = 13, A21 = - 0 7 1 2 = 7, A22 = 2 7 3 2 = -17, A23 = - 2 0 3 1 = -2, A31 = 0 7 -4 -5 = 28, A32 = - 2 7 1 -5 = 17, A33 = 2 0 1 -4 = -8. Potom adj A = -3 7 28 -17 -17 17 13 -2 -8 a A-1 = 1 85 -3 7 28 -17 -17 17 13 -2 -8 . Věta 3.53 Pro výpočet inverzní matice vyšších řádů používáme metodu doplnění s jed- notkovou maticí: Vedle matice A (vpravo) napíšeme jednotkovou matici téhož řádu a po- mocí řádkových elementárních úprav převedeme matici (A|I) na tvar, kdy vlevo bude matice jednotková. Potom vpravo bude matice inverzní (A|I) = a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0 a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1 (I|A-1 ) Příklad 3.54 Určete inverzní matici k matici A, jestliže A = 3 -4 5 2 -3 1 3 -5 -1 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 53 Řešení. Zapíšeme vedle sebe matici A a matici jednotkovou. Od prvního řádku odečteme druhý: (A|I) = 3 -4 5 1 0 0 2 -3 1 0 1 0 3 -5 -1 0 0 1 1 -1 4 1 -1 0 2 -3 1 0 1 0 3 -5 -1 0 0 1 . Násobky prvního řádku odečítáme od zbývajících, poté odečítáme násobek druhého řádku od třetího: (A|I) 1 -1 4 1 -1 0 0 -1 -7 -2 3 0 0 -2 -13 -3 3 1 1 -1 4 1 -1 0 0 1 7 2 -3 0 0 0 1 1 -3 1 . Nyní odečítáme násobky třetího řádku od zbývajících a poté sečteme druhý a první řádek: (A|I) 1 -1 0 -3 11 -4 0 1 0 -5 18 -7 0 0 1 1 -3 1 1 0 0 -8 29 -11 0 1 0 -5 18 -7 0 0 1 1 -3 1 . Tedy pro matici A je inverzní matice A-1 = -8 29 -11 -5 18 -7 1 -3 1 . Poznámka 3.55 Není nutné předem prověřovat regularitu matice A. Pokud matice A není regulární, tak pomocí řádkových úprav získáme v levé polovině nulový řádek. Provádíme totiž stejné úpravy jako při zjišt'ování hodnosti matice. Výpočet v takovém případě končí a říkáme, že matice inverzní není definována. Příklad 3.56 Určete inverzní matici k matici B, jestliže B = 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 . Řešení. Zapíšeme vedle sebe matici A a matici jednotkovou. Násobky prvního řádku odečítáme od zbývajících: (B|I) = 1 1 -2 1 0 0 1 -2 1 0 1 0 -2 1 1 0 0 1 1 1 -2 1 0 0 0 -3 3 -1 1 0 0 3 -3 2 0 1 . Sečteme druhý a třetí řádek: (B|I) 1 1 -2 1 0 0 0 -3 3 -1 1 0 0 0 0 1 1 1 Vlevo jsme dostali nulový řádek. Protože jsme použili pouze úpravy, které nemění hodnost matice, je hodnost matice B rovna 2. Matice B je proto singulární a inverzní matice k matici B neexistuje. MATEMATIKA 1B 54 3.6 Soustavy lineárních rovnic: Základní pojmy Vztah Ax = b, kde A Rm,n, b Rm,1, x Rn,1 nazýváme soustavou lineárních (algebraických) rovnic. Matice A, b jsou dané číselné matice a matice x je hledaný vektor řešení. V rozepsaném tvaru dostáváme: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm (3.6.4) Matici A také nazýváme matice koeficientů , matici b sloupec pravých stran a x sloupec neznámých. Matice (A|b) = a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2 ... ... ... ... | ... am1 am2 . . . amn | bm nazýváme maticí rozšířenou. Každý sloupec (sloupcová matice) , pro který platí A = b, se nazývá řešením soustavy (3.6.4). Dále říkáme, že soustava (3.6.4) je řešitelná, má-li aspoň jedno řešení, jednoznačně řešitelná, má-li právě jedno řešení a víceznačně řešitelná, má-li více než jedno řešení. Definice 3.57 Soustava lineárních algebraických rovnic se nazývá homogenní, jestliže je tvaru Ax = O, (3.6.5) kde O je nulový sloupec. V opačném případě mluvíme o nehomogenní soustavě. Definice 3.58 Je-li Ax = b nehomogenní soustava, pak přidruženou homogenní sous- tavou rozumíme soustavu Ax = O (t.j. homogenní soustavu se stejnou maticí koeficientů jakou má nehomogenní soustava). Je-li například dána nehomogenní soustava 3x1 + x2 - 4x3 = 1 x1 - 2x2 + x3 = 5 2x1 - x2 - 3x3 = 4, pak přidružená homogenní soustava má tvar 3x1 + x2 - 4x3 = 0 x1 - 2x2 + x3 = 0 2x1 - x2 - 3x3 = 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 55 3.7 Řešení soustav lineárních algebraických rovnic Následující věta je speciálním případem Frobeniovy věty, s níž se seznámíme později. Věta 3.59 Necht' soustava Ax = b má regulární matici koeficientů. Potom má tato sous- tava právě jedno řešení. Má-li soustava právě jedno řešení, můžeme je určit použitím tzv. Cramerova pravidla: k-tý člen řešení je zlomek, v jehož jmenovateli je determinant matice koeficientů A a v či- tateli determinant matice Dk, která vznikne z matice A tak, že k-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran soustavy (3.6.4), ostatní sloupce ponecháme beze změny. Tedy xk = a 11 . . . a1k-1 b1 a1k+1 . . . a1n a21 . . . a2k-1 b2 a2k+1 . . . a2n ... ... ... ... ... ... ... an1 . . . ank-1 bn ank+1 . . . ann | A| , kde k = 1, 2, . . . n. Příklad 3.60 Najděte řešení soustavy rovnic 3x1 + x2 - 4x3 = 1 x1 - 2x2 + x3 = 5 2x1 - x2 - 3x3 = 4 Řešení. Určíme determinant matice koeficientů |A| = 3 1 -4 1 -2 1 2 -1 -3 = 14. Determinant matice A je nenulový, soustava je tedy jednoznačně řešitelná. Spočítáme determinanty matic Di, kde matice Di vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce (i = 1, 2, 3) sloupcem pravých stran dané soustavy. |D1| = 1 1 -4 5 -2 1 4 -1 -3 = 14, |D2| = 3 1 -4 1 5 1 2 4 -3 = -28, |D3| = 3 1 1 1 -2 5 2 -1 4 = 0. Potom xi = |Di|/|A|, takže máme x1 = 14 14 = 1, x2 = -28 14 = -2, x3 = 0 14 = 0. Poznámka 3.61 Cramerovy vzorce nám sice dávají přesné řešení, ale vyžadují výpočet (n+1) determinantů n-tého řádu. Pro rozsáhlejší soustavy je jejich použití problematické, protože ani s pomocí výpočetní techniky nejsme schopni určit přesně hodnoty determi- nantů. Cramerovy vzorce navíc předpokládají regularitu matice koeficientů, a nedají se proto použít pro libovolnou soustavu. MATEMATIKA 1B 56 Věta 3.62 (Frobeniova.) Soustava (3.6.4) je řešitelná právě tehdy, když se hodnost matice koeficientů rovná hodnosti matice rozšířené. Důsledek 3.63 Lze dokázat, že je-li soustava (3.6.4) řešitelná, t.j. h(A) = h(A|b) = h, pak pro h = n má soustava (3.6.4) právě jedno řešení a pro h < n má soustava (3.6.4) nekonečně mnoho řešení, která závisí na (n - h) parametrech. Příklad 3.64 Řešte soustavu x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 x + y + 3z = 2 Řešení. Protože |A| = -2 = 0, lze použít Cramerovo pravidlo. Potom x = 1 1 1 1 1 2 2 1 3 - 2 =, y = x = 1 1 1 2 1 2 1 2 3 - 2 = 1, z = x = 1 1 1 2 1 1 1 1 2 - 2 = 1 2 . Příklad 3.65 Řešte soustavu x + y + z = 1 x + y + 2z = 1 x + y + 3z = 2 Řešení. Lehce ověříme, že |A| = 0, a proto nemůžeme použít Cramerovo pravidlo. Určíme tedy hodnost matice a rozšířené matice soustavy: h(A) = 2, h(A|b) = 3 = h(A) = h(A|b). Podle Frobeniovy věty 3.62 nemá soustava řešení. Příklad 3.66 Řešte soustavu x + y + z = 1 x + y + 2z = 1 2x + 2z + 4z = 2 Řešení. Opět platí |A| = 0, a proto nemůžeme použít Cramerovo pravidlo. Dále určíme hodnost matice soustavy a rozšířené matice soustavy: h(A) = 2, h(A|b) = 2 h(A) = h(A|b). Soustava je tedy řešitelná a řešení závisí na jednom parametru t R, nebot' n - h = 3 - 2 = 1. Snadno odvodíme obecný tvar řešení: x = 1 - t y = t z = 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 57 3.7.1 Homogenní soustavy lineárních rovnic Z Frobeniovy věty lehce odvodíme, že homogenní soustava (3.6.5) je vždy řešitelná. Jejím řešením je vždy x = o, tzv. nulové neboli triviální řešení. Dále z Frobeniovy věty plyne, že homogenní soustava (3.6.5) má netriviální řešení právě tehdy, když hodnost matice koeficientů je menší než počet neznámých. Věta 3.67 Necht' u, v jsou řešení homoogenní soustavy (3.6.5). Potom i jejich libovolná lineární kombinace u + v je řešením soustavy (3.6.5). Definice 3.68 Maximální počet lineárně nezávislých řešení homogenní soustavy (3.6.5) nazveme fundamentální soustavou řešení soustavy (3.6.5). Příklad 3.69 Řešte homogenní soustavu rovnic 3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 7x5 = 0 6x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 5x5 = 0 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 - 11x5 = 0 6x1 + 4x2 + x3 + 4x4 - 13x5 = 0 Řešení. Zapíšeme matici koeficientů soustavy a pomocí elementárních řádkových úprav tuto matici převedeme na stupňovitý tvar: 3 2 5 2 7 6 4 7 4 5 3 2 -1 2 -11 6 4 1 4 -13 3 2 5 2 7 0 0 -3 0 -9 0 0 -6 0 -18 0 0 -9 0 -27 3 2 0 2 -8 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 3 -8 3 0 0 1 0 3 . Dostali jsme dvě rovnice o pěti neznámých. Volíme proto tři parametry. Neznámé, které stojí na začátku řádku, jehož předchozí koeficienty jsou nulové, můžeme dopočítat. Zbý- vající volíme jako parametry. Zvolme x2 = 3s, x4 = 3t, x5 = 3u, kde s, t, u R. Potom x = -2s - 2t + 8u 3s -9u 3t 3u = s -2 3 0 0 0 + t -2 0 0 3 0 + u 8 0 -9 0 3 . Tři sloupcové matice vpravo pak představují fundamentální soustavu řešení, protože pokud je zapíšeme jako sloupce do matice, tak druhý, čtvrtý a pátý řádek nám vytvářejí nenulový minor řádu 3. MATEMATIKA 1B 58 Věta 3.70 Necht' vektory p, q jsou řešení soustavy (3.6.4). Potom vektor (p - q) je řešením přidružené homogenní soustavy. Důsledek 3.71 Součet řešení soustavy (3.6.4) a libovolného řešení přidružené homogenní soustavy je řešením soustavy (3.6.4). Důsledek 3.72 Všechna řešení soustavy (3.6.4) (tj. obecné řešení soustavy)získáme jako součet jednoho (parciálního) řešení soustavy (3.6.4) a libovolné lineární kombinace funda- mentální soustavy řešení přidružené homogenní soustavy. Jinými slovy, je-li x0 řešením soustavy (3.6.4) a vektory v1, . . . , vk, kde k n, tvoří fundamentální systém řešení sous- tavy (3.6.5), pak lze libovolné řešení soustavy (3.6.4) vyjádřit jako lineární kombinaci x = x0 + C1x1 + C2x2 + + Ckxk, kde C1, . . . , Ck jsou parametry. 3.8 Gaussova a Jordanova eliminační metoda Definice 3.73 Dvě řešitelné soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení. Poznámka 3.74 Dvě ekvivalentní soustavy mohou mít různý počet rovnic, ale musí mít stejný počet neznámých. Mějme dvě takové soustavy Ax = b, A x = b . Potom z podmínek řešitelnosti plyne, že h(A) = h(A|b) = h(A ) = h(A | b ) . Protože mají stejnou množinu řešení, platí: A = b A = b . Potom konečným počtem řádkových elementárních úprav lze matici (A|b) převést na matici (A | b ) , přičemž nelze kombinovat řádkové a sloupcové úpravy. Můžeme používat pouze řádkové úpravy a ze sloupcových pouze výměnu sloupců v matici A, což je vlastně přeznačení proměnných. Pomocí povolených elementárních úprav si upravíme soustavu Ax = b na tvar c1,1y1 + c1,2y2 + + c1,hyh + c1,h+1yh+1 + + c1,nyn = d1 c2,2y2 + + c2,hyh + c2,h+1yh+1 + + c2,nyn = d2 . . . . . . . . . ch,hyh + ch,h+1yh+1 + + ch,nyn = dh kde (y1, y2, . . . , yn) je vhodná permutace proměnných (x1, x2, . . . , xn). Je-li h = n má soustava právě jedno řešení -- jde o soustavu řešitelnou pomocí Cramerova pravidla (tzv. kramerovskou soustavu). Je-li h < n, potom proměnné yh+1, . . . , yn prohlásíme za parame- try a soustavu upravíme na tvar c1,1y1 + c1,2y2 + + c1,hyh = d1 - c1,h+1yh+1 - - c1,nyn c2,2y2 + + c2,hyh = d2 - c2,h+1yh+1 - - c2,nyn . . . . . . . . . ch,hyh = dh - ch,h+1yh+1 - - ch,nyn (3.8.6) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 59 Tato soustava je ekvivalentní s původní soustavou Ax = b a každé volbě parametrů yh+1, . . . , yn odpovídá právě jedno řešení. Parametrů je celkem (n - h). Jestliže za prvky yh+1, . . . , yn bereme sloupce regulární matice řádu (n - h), potom bereme za parame- try lineárně nezávislé prvky a obdržíme obecné řešení soustavy (3.6.4). Tento postup nazýváme Gaussova eliminační metoda. Budeme-li dále pokračovat v řádkových úpravách, můžeme soustavu (3.8.6) upravit na tvar y1 + 0y2 + + 0yh = g1 - f1,h+1yh+1 - - f1,nyn y2 + + 0yh = g2 - f2,h+1yh+1 - - f2,nyn . . . . . . . . . yh = gh - fh,h+1yh+1 - - fh,nyn Zde máme na hlavní diagonále vlevo jednotky a zbývající prvky pod i nad ní jsou nulové. Tento postup se nazývá Jordanova eliminace. Příklad 3.75 Řešte soustavu x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 -2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 = 2 -3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 + 7x5 = 3 -4x1 + 5x2 + 6x3 + 7x4 + 8x5 = 4 Řešení. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí elementárních řádkových úprav ji převedeme na trojúhelníkový tvar. 1 2 3 4 5 1 -2 3 4 5 6 2 -3 4 5 6 7 3 -4 5 6 7 8 4 1 2 3 4 5 1 0 7 10 13 16 4 0 10 14 18 22 6 0 13 18 23 28 8 1 2 3 4 5 1 0 7 10 13 16 4 0 3 4 5 6 2 0 6 8 10 12 4 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 0 0 3 4 5 6 2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 0 0 0 -2 -4 -6 2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 -1 0 0 0 0 0 0 . Získali jsme soustavu tří rovnic o pěti neznámých x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 0 x3 + 2x4 + 3x5 = -1 Hodnost matice soustavy je 3, tedy zvolíme 5 - 3 = 2 parametry x4 = s, x5 = t, kde s, t R. Potom x3 = -1 - 2x4 - 3x5 = -1 - 2s - 3t x2 = -2x3 - 3x4 - 4x5 = 2 + s + 2t x1 = 1 - 2x2 - 3x3 - 4x4 - 5x5 = 0 MATEMATIKA 1B 60 Obecným řešením naší soustavy je x = (0, 2 + s + 2t, -1 - 2s - 3t, s, t)T . Často bývá vhodnější pokračovat dále v maticových úpravách a převést matici koeficientů na diagonální tvar. V našem případě budeme mít 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 -1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 -2 -4 4 0 1 0 -1 -2 2 0 0 1 2 3 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -2 2 0 0 1 2 3 -1 . Potom x1 = 0, x2 = 2 + x4 + 2x5, x3 = -1 - 2x4 - 3x5 a analogicky jako v předchozím připadě si volíme dva parametry x4 a x5 a dostaneme stejný výsledek. (0, 2, -1, 0, 0)T tvoří partikulární řešení a (0, 1, -2, 1, 0)T , (0, 2, -3, 0, 1)T je fundamentální soustava řešení přidružené homogenní soustavy. Poznámka 3.76 Parametry si nemůžeme volit zcela libovolně. Volba vždy závisí na tvaru soustavy. Doporučujeme následující postup: Převed'te si rozšířenou matici soutavy na trojúkelníkový tvar. Pokud je hodnost mat- ice menší jak počet neznámých, potom si musíme volit parametry. V poslední rovnici si první proměnnou zleva s nenulovým koeficientem ponecháme jako proměnnou a zbytek prohlásíme za parametry. V následující rovnici (předposlední), po dosazení z poslední rovnice, opět první neznámá zleva s nenulovým koeficientem je proměnná a zbývající, pokud existují, jsou parametry. Stejně postupujeme u zbývajících rovnic. 3.9 Shrnutí Seznámili jsme se s maticemi, determinanty, soustavami lineárních algebraických rovnic a metodmi jejich řešení. Při jejich použití je třeba rozlišovat mezi úpravami, které nemění hodnotu determi- nantu a elementárními úpravami, které nemění hodnost matice. V obou případech můžeme použít jen některé, např. přičtení k řádku (sloupci) lineární kombinace zbývajících řádků (sloupců). Vhodné programové vybavení, např. Matlab, Maple, Mathematica, nám může usnad- nit práci. Musíme ale dávat pozor na jeho vhodné použití. Pokud budeme mít matice nebo soustvy vyšších řádů, potom může dojít při jejich výpočtu k vyjádření čísel v semilog- aritmickém tvaru a tedy k jejich zaokrouhlování. Protože obecně jsou matice a veškeré postupy obsahující matice nestabilní, je třeba v těchto případech použít některou z num- erických metod. My jsme se seznámili pouze se dvěma. Numerických metod ale existuje podstatně víc. Jejich použití se řídí tvarem a vlastnostmi matice koeficientů. 3.10 Kontrolní příklady ke kapitole 3 1. Stanovte n­tou mocninu matice 1 1 0 1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 61 2. Vypočtěte hodnotu deternimantu matice (a) 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 3 0 0 1 0 1 4 0 1 0 0 1 5 (b) 1 3 -5 6 1 4 - 1 15 1 2 -1 2 -1 5 1 3 -2 3 -5 6 -1 3 2 3 -1 2 1 3 3 10 -2 5 3. V závislosti na parametrech , určete hodnost matice (a) A = 1 0 -1 0 + + 0 0 0 0 0 + (b) B = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 4. Určete (AB)-1 , jestliže (a) A = 1 -1 2 0 3 -2 1 0 -1 1 3 0 -1 2 -1 , B = 0 2 -4 0 6 -2 2 -1 2 1 -4 9 -1 1 0 (b) A = 1 2 3 -1 -2 2 0 3 1 0 -1 1 0 0 1 , B = -2 3 1 1 9 0 2 1 1 1 1 0 2 10 3 5. Najděte všechna řešení soustavy rovnic MATEMATIKA 1B 62 (a) 2x -y 2z = -4 4x +y 4z = 8 x +y +2z = 5 (b) 2x + y + 4z + 3u = 1 x + 2y + 3z + 4u = 2 4x + 3y + 2z + u = 3 3x + 4y + z + 2u = 4 Výsledky jsou uvedeny v části 15.3. Kapitola 4 Vektorové prostory 4.1 Cíl kapitoly Na střední škole byly zavedeny vektory např. ve fyzice při popisu silového působení na hmotný bod. Vektorový počet bude dále hojně využíván při popisu fyzikálních dějů. Proto bude v této kapitole zaveden obecný vektorový prostor. Vlastnosti vektorů, které jste zatím studovali v rovině a nebo v trojrozměrném prostoru lze zobecnit na prostory libovolné dimenze. Přitom pracovní postupy zůstávájí stejné. Jde o matematickou abstrakci, která nemusí mít přímý vzor v reálném světě. Jako přík- lad vektorového prostoru vyšší dimenze může posloužit množina všech řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. Počet proměnných bude udávat rozměr prostoru. Omezíme se přitom na prostory konečné dimenze. Ukážeme si, kdy se vektorové prostory sobě rovnají, jak můžeme vektorový prostor popsat. K tomu nám poslouží báze vektorového prostoru a matice přechodu od jedné báze k druhé. Pokud známe aspoň jednu bázi prostoru, potom známe všechny a jsme schopni popsat celý vektorový prostor. Ukážeme si, jak se mění souřadnice vektoru při přechodu od jedné báze ke druhé. 63 MATEMATIKA 1B 64 4.2 Vektorový prostor Definice 4.1 Necht' L je nějaká množina. Předpokládejme, že jsou zavedeny dvě operace, které budeme značit jako " +" a " ", které často nazýváme " sčítáním" a " násobením" (i když se od obyčejného sčítání či násobení mohou velmi lišit). O těchto operacích předpok- ládáme, že + : L × L L, a : R × L L. Dále předpokládáme, že pro obě operace platí tato pravidla (nazývaná " axiomy"): 1. (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z L (toto pravidlo se nazývá " asociativita sčítání") 2. O L : O + x = x + O = x x L (tzv. existence " neutrálního" prvku O) 3. x L x-1 L : x + x-1 = O (existence " inverzního" prvku, který značíme x-1 ) 4. x + y = y + x x, y L (komutativita sčítání) 5. ( x) = () x , R, x L (asociativita pro násobení) 6. (x + y) = ( x) + ( y) R, x, y L (první axiom distributivity) 7. ( + ) x = ( x) + ( x) , R, x L (druhý axiom distributivity) 8. 1 x = x x L (existence tzv. " jednotkového" prvku) Pak říkáme, že trojice (L, +, ) tvoří tzv. vektorový prostor nad (číselným) prostorem R. Prvky z L budeme nazývat vektory, prvky z R skaláry. Značit budeme vektory malými písmeny latinské abecedy a skaláry malými písmeny řecké abecedy. Poznámka 4.2 Pro vektorový prostor se používá též název lineární prostor. Věta 4.3 Necht' (L, +, ) je vektorový prostor a O je neutrální prvek z axiomu 2. Potom pro a L a pro R platí: 1. 0 a = O, 2. O = O, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 65 3. a = O = 0 a = O, 4. (-) a = ( a)-1 . Příklad 4.4 Uved'me příklady vektorových prostorů: 1. Množina R2 všech uspořádaných dvojic reálných čísel spolu s operacemi "+", "" definovanými následovně: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) = ( a, b) tvoří vektorový prostor. 2. Množina {Mm,n, +, } všech matic typu (m, n) s operacemi sčítání matic a násobení matice číslem tvoří vektorový prostor. Doporučujeme samostatně prověřit, že v obou uvedených příkladech jsou splněny všechny axiomy definice 4.1. Definice 4.5 Necht' (L, +, ) je vektorový prostor. Neprázdnou podmnožinu K vektorového prostoru L nazveme podprostorem prostoru L, jestliže je K vektorovým prostorem vzhle- dem ke stejným operacím jako vektorový prostor (L, +, ). Množina K se názývá nosičem podprostoru. Příklad 4.6 Uved'me příklady vektorových podprostorů: 1. Množina {Hm,n, +, } všech horních trojúhelníkových matic tvoří podprostor v pros- toru {Mm,n, +, }. 2. Množina {(x, 0), x R} tvoří podprostor v (R2 , +, ). 3. Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic o n neznámých tvoří podprostor ve vektorovém prostoru (M(n,1), +, ) sloupcových matic typu (n, 1). 4. Množina {O} je podprostorem a nazývá se triviální podprostor. Jestliže je K podmnožinou v L, potom pravidla, která platí v L (například asociativita) budou platit i v K. Pro určení podprostoru proto není nutné prověřovat platnost všech axiomů definice 4.1. Věta 4.7 Neprázdná podmnožina K vektorového prostoru (L, +, ) je podprostorem v L, právě když pro u, v K, R platí: u + v K, u K. Věta 4.8 Průnik libovolného počtu podprostorů vektorového prostoru (L, +, ) je opět vek- torovým podprostorem v L. Definice 4.9 Bud' M podmnožina vektorového prostoru (L, +, ). Průnik všech podpros- torů obsahujících M nazveme lineárním obalem množiny M a označíme jej M . Necht' u1, u2, . . . , un jsou vektory z vektorového prostoru (L, +, ). Lineární kombinací vek- torů ui nazveme každý vektor tvaru v = 1 u1 + 2 u2 + + n un, i R. MATEMATIKA 1B 66 Věta 4.10 Necht' M je podmnožina vektorového prostoru (L, +, ). Pak platí: 1) Je-li M = , je M = O. 2) Je-li M = , je M množina všech lineárních kombinací tvaru 1 u1 + 2 u2 + + n un, kde ui M, i R, n N. Definice 4.11 Podmnožina M vektorového prostoru L se nazývá generující, jestliže M L. Příklad 4.12 Uved'me příklady generujících množin některých vektorových prostorů: 1. Vektory A = 1 0 0 0 , B = 0 1 0 0 , C = 0 0 1 0 , D = 0 0 0 1 , E = 1 0 0 1 , F = 0 1 0 1 , G = 1 0 1 0 , H = 1 1 1 1 . tvoří generující množinu pro (M2,2, +, ) (vektorový prostor všech matic řádu 2). 2. Vektory 1, 1+x, 1+x+x2 , 1+x+x2 +x3 , x+x3 , x3 -x2 +7 tvoří generující množinu prostoru všech polynomů stupně nejvýše třetího. 3. Vektory 1, x, x2 , . . . , xn , . . . tvoří generující množinu ve vektorovém prostoru všech polynomů. Věta 4.13 Podmnožina M vektorového prostoru L je generující právě tehdy, když každý vektor z L je lineární kombinací vektorů z M. V definice 3.4 jsme si zavedli lineárně závislé a nezávislé matice. Nyní pojem lineární závislosti a nezávislosti rozšíříme na libovolné vektory. Definice 4.14 Vektory a1, a2, . . . , an z vektorového prostoru (L, +, ) nazveme lineárně nezávislé, jestliže 1 a1 + 2 a2 + + n an = O 1 = 2 = = n = 0, a nazveme je lineárně závislé, jestliže existuje aspoň jeden nenulový koeficient i, i = 1, 2, . . . , n tak, že platí 1 a1 + 2 a2 + + n an = O . Definice 4.15 Množina M L je lineárně nezávislá, jestliže každá její konečná neprázdná podmnožina {a1, a2, . . . , ak} je tvořena lineárně nezávislými vektory. Množina M L je lineárně závislá v opačném případě. Věta 4.16 Necht' (L, +, ) je vektorový prostor. Potom platí: Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 67 1. Jsou-li prvky a1, a2, . . . , an L lineárně nezávislé, jsou lineárně nezávislé i prvky ai1 , ai2 , . . . , aik , kde 1 i1 < i2 < < ik n. 2. Je-li mezi vektory a1, a2, . . . , an L nulový vektor, jsou vektory a1, a2, . . . , an lineárně závislé. 3. Jsou-li vektory a1, a2, . . . , an L lineárně závislé, je aspoň jeden z nich lineární kombinací ostatních. 4. Jsou-li vektory a1, a2, . . . , an L lineárně závislé, potom pro libovolné an+1 L jsou lineárně závislé i vektory a1, a2, . . . , an, an+1. 4.3 Báze, dimenze, souřadnice. Definice 4.17 Podmnožina B vektorového prostoru (L, +, ) se nazývá báze vektorového prostoru, jestliže množina B je lineárně nezávislá a B L. Říkáme také, že báze je lineárně nezávislá generující množina vektorů. Věta 4.18 Bud' B = {a1, a2, . . . } báze vektorového prostoru (L, +, ). Pak každý nenulový vektor u lze jednoznačně, až na pořadí, vyjádřit ve tvaru u = 1 a1 + 2 a2 + + n an, kde {a1, a2, . . . , an} B a vektory ai jsou po dvou různé. Věta 4.19 V každém netriviálním vektorovém prostoru existuje aspoň jedna báze. Definice 4.20 Říkáme, že netriviální vektorový prostor (L, +, ) nad R má konečnou dimenzi, jestliže v L existuje generující množina tvořená konečným počtem vektorů. Věta 4.21 Z každé generující množiny vektorového prostoru konečné dimenze lze vybrat bázi. Úmluva: Všude dále budeme pod vektorovým prostorem rozumět vektorový prostor konečné dimenze. Věta 4.22 (Steinitzova o výměně) Necht' {a1, a2, . . . , an} tvoří generující množinu vek- torového prostoru (L, +, ), necht' {b1, b2, . . . , bk} je lineárně nezávislá množina vektorů z (L, +, ). Potom k n a při vhodném označení je množina {b1, b2, . . . , bk, ak+1, . . . , an} generující množinou pro (L, +, ). Důkaz. Vektor b1 L a proto jej lze vyjádřit podle věty 4.13 jako lineární kombinaci vektorů generující množiny: b1 = 1 a1 + 2 a2 + + n an, (4.3.1) MATEMATIKA 1B 68 kde aspoň jeden z koeficientů i, i = 1, 2, . . . , n je nenulový, nebot' b1 je vektor z lineárně nezávislé množiny, a tedy nemůže být nulový. Bez omezení obecnosti můžeme předpok- ládat, že nenulový koeficient je u vektoru a1 (v opačném případě provedeme přeznačení vektorů generující množiny). Z rovnice 4.3.1 vyjádříme a1: a1 = 1 1 [b1 - 2 a2 - - n an] . (4.3.2) Jestliže nyní ve vyjádření libovolného vektoru v jako lineární kombinace prvků generující množiny nahradíme vektor a1 vztahem (4.3.2), dostaneme vektor v jako lineární kombinaci vektorů {b1, a2, a3, . . . , an}. Potom tyto vektory tvoří novou generující množinu. Vyjádříme nyní b2 jako jejich lineární kombinaci: b2 = 1 b1 + 2 a2 + 3 a3 + + n an, (4.3.3) kde aspoň jeden z koeficientů 2, . . . , n bude nenulový. Pokud by byly všechny nulové, pak by b2 bylo násobkem b1 a to nemůže nastat, protože b1, b2 jsou prvky z lineárně nezávislé množiny. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že nenulový koeficient je u a2. Vyjádříme z rovnice (4.3.3) vektor a2: a2 = 1 2 [b2 - 1 b1 - 3 a3 - - n an] . (4.3.4) Stejně jako dříve každý vektor vyjádřený jako lineární kombinace vektorů generující množiny {b1, a2, a3, . . . , an} získané záměnou a2 podle (4.3.4) lze vyjádřit také jako lineární kombinaci vektorů {b1, b2, a3, . . . , an}. Pokračujeme dále podle indukce. Počet lineárně nezávislých vektorů musí být menší nebo roven počtu vektorů generující množiny. Tento počet je konečný, a proto se po konečném počtu kroků zastavíme.D ůsledek 4.23 Každé dvě báze vektorového prostoru (L, +, ) mají stejný počet prvků a každá lineárně nezávislá podmnožina L s tímto počtem prvků je bází. Věta 4.24 Necht' B = je podmnožina vektorového prostoru (L, +, ) nad R. Množina B je bází prostoru L právě tehdy, když lze každý vektor v L jednoznačně vyjádřit (až na pořadí) jako lineární kombinaci prvků z B. Příklad 4.25 Mějme prostor (M2,2, +, ). Dokažte, že jeho bázi tvoří vektory A = 1 0 0 0 , B = 1 1 0 0 , C = 1 1 1 0 , D = 1 1 1 1 . Řešení. Podle předchozí věty stačí ukázat, že každý vektor z M2,2 se dá jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace vektorů A, B, C, D. Mějme libovolný vektor X = a b c d . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 69 Hledejme koeficienty , , , tak, aby platilo A + B + C + D = X. Rozepsáním dostáváme 1 0 0 0 + 1 1 0 0 + 1 1 1 0 + 1 1 1 1 = a b c d . Koeficienty , , , vyhovují soustavě rovnic + + + = a + + = b + = c = d Jde o nehomogenní soustavu s regulární maticí koeficientů (je to trojúhelníková matice), která je jednoznačně řešitelná pro libovolný tvar pravé strany. To znamená, že libovolný vektor X se dá jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace prvků A, B, C, D a tedy tyto prvky tvoří bázi. Definice 4.26 Necht' L = {O} je vektorový prostor.Dimenzí prostoru L nazveme počet prvků jeho báze. Píšeme dim L = n. Triviální vektorový prostor V = {O} má dimenzi 0. Vektorový prostor dimenze n budeme značit Ln. Definice 4.27 Necht' uspořádaná množina B = (b1, b2, . . . , bn) je bází vektorového pros- toru (L, +, ) dimenze n. Potom x L platí x = 1 b1 + 2 b2 + + n bn, kde koeficienty i jsou určeny jednoznačně. Prvek = (1, 2, . . . , n)T nazveme souřad- nicemi vektoru x vzhledem k bázi B. Věta 4.28 Každý podprostor P vektorového prostoru L konečné dimenze má také koneč- nou dimenzi dimP n. Důsledek 4.29 Necht' P je podprostor prostoru L konečné dimenze. Jestliže dim P = n, potom P L. Příklad 4.30 Ve vektorovém prostoru (R3 , +, ) určete v závislosti na parametru di- menzi lineárního obalu vektorů a = (, -4, -1), b = (4, -6, -3), c = (1, 1, -). Řešení. Lineární obal množiny vektorů je podprostorem a úloha má smysl. Určíme lineární závislost či nezávislost vektorů a, b, c. Zapíšeme vektory do matice a pomocí ele- mentárních úprav matici převedeme na stupňovitý tvar: -4 -1 4 -6 -3 1 1 - 1 1 - 4 -6 -3 -4 -1 1 1 - 0 -10 4 - 3 0 -4 - 2 - 1 MATEMATIKA 1B 70 1 1 - 0 -10 4 - 3 0 0 -62 + 13 - 2 . Rovnice -62 + 13 - 2 = 0 má kořeny 1 = 2, 2 = 1 6 , proto dim a, b, c = 2 pro = 2 a nebo = 1 6 a dim a, b, c = 3 pro = 2 a = 1 6 . 4.4 Transformace souřadnic. Definice 4.31 Necht' (L, +, ) je vektorový prostor. Necht' A = (a1, a2, . . . , an) a B = (b1, b2, . . . , bn) jsou dvě báze tohoto prostoru. Potom prvky báze B se dají jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace prvků báze A : b1 = 11a1 + 21a2 + + n1an, b2 = 12a1 + 22a2 + + n2an, . . . . . . bn = 1na1 + 2na2 + + nnan, neboli (b1, b2, . . . , bn) = (a1, a2, . . . , an) MA B . (4.4.5) Matici MA B = (ij)n i,j=1 nazveme maticí přechodu od báze A k bázi B. Ve vztahu (4.4.5) máme vpravo formální součin matic, kde první matice je řádková a její prvky jsou vektory a druhá je čtvercová a její prvky jsou skaláry. Věta 4.32 Matice přechodu je vždy regulární. Věta 4.33 (O transformaci souřadnic) Necht' máme vektor x vyjádřený jako lineární kombinaci ve dvou různých bázích x = (a1, a2, . . . , an)A a x = (b1, b2, . . . , bn)B. Necht' MA B je maticí přechodu. Potom A = MA B B. Důsledek 4.34 (MA B )-1 = MB A. Příklad 4.35 Necht' v (R3 , +, .) jsou dány dvě báze: B = {(1, 0, 0, ), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} a C = {(-1, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}. Určete matici přechodu od báze B k bázi C a naopak. Určete xC, yB, jestliže xB = (-1, 3, 0)T a yC = (2, 4, 7)T . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 71 Řešení. Zademe si označení B = {a, b, c} , C = {k, l, m}. Prvky báze C vyjádříme jako lineární kombinace prvků báze B. k = 1a + 1b + 1c, l = 2a + 2b + 2c, m = 3a + 3b + 3c, To znamená, že musíme řešit tři soustavy rovnic se stejnou maticí koeficientů a různými pravými stranami. Budeme je všechny tři řešit najednou, protože u matice koeficientů by- chom prováděli opakovaně stejné úpravy. Zapíšeme vektory bází B i C sloupcově do matice, přitom vektory báze B tvoří matici koeficientů a vektory báze C jsou "pravé strany", které máme zapsány v jedné matici. Pomocí řádkových elementárních úprav najdeme řešení: 1 1 1 -1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 -1 1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -2 0 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 0 1 . Matice přechodu od báze B k bázi C je MB C = -2 0 0 1 1 -1 0 0 1 . Matice přechodu od báze C k bázi B bude pak matice inverzní MC B = MB C -1 = -1 2 0 0 1 2 1 1 0 0 1 . Vynásobením nyní dostaneme xC = (MC B)xB = (1 2 , 5 2 , 0)T , yB = (MB C )yC = (-4, -1, 7)T . Věta 4.36 Necht' A = (a1, a2, . . . , an) je báze vektorového prostoru L, M je regulární matice řádu n. Potom (a1, a2, . . . , an)M je taktéž báze vektorového prostoru L a všechny báze prostoru L můžeme získat tímto způsobem. 4.5 Shrnutí Byl zaveden obecný vektorový prostor a odvozeny jeho vlastnosti. Ukázali jsme si, že vektory nemusí být definovány pouze v rovině a nebo v trojrozměrném prostoru. Při popisu vektorového prostoru hraje důležitou roli " Steinitzova věta o výměně". Jako její důsledek jsme dostali, že všechny báze téhož vektorového prostoru mají stejný počet prvků. Jde o invariant, který nezávisí na volbě báze a který jsme si nazvali dimenzí prostoru. Ukázali jsme si jak je možné přejít od jedné báze ke druhé a jak lze pomocí matice přechodu vyjádřit souřadnice vektoru v různých bázích. MATEMATIKA 1B 72 4.6 Kontrolní příklady ke kapitole 4 1. Počáteční bod umístění vektoru u = (5; -4) má souřadnice A = [-2; 3]. Určete souřadnice koncového bodu B tohoto umístění vektoru u. 2. Rozhodněte, zda jsou vektory a = (2; 1; 3), b = (1; -2; 1) a c = (3; 2; 2) lineárně závislé či nikoliv. 3. (a) Určete matici přechodu od báze A k bázi B, jestliže A = (1, 1, 2), (-2, 1, -2), (2, -1, 1) B = (-8, -2, -13), (5, 14, 15), (-12, 9, -13) (b) Určete matici přechodu od báze A k bázi B, jestliže A = (1, 0, 2), (2, 1, 1), (2, 1, -1) B = (-1, 1, 1), (0, 2, 0), (-3, 0, 2) 4. V závislosti na parametru určete dimenzi lineárního obalu množiny M: (a) M = (, -4, -1), (4, -6, -3), (1, 1, -)( b) M = (1, 2, 3 - , 3), (1, 2 + , 4, 6), (2, 4, - 6, 7), (1, 2 - , 2 - , 1) . Výsledky jsou uvedeny v části 15.4. Kapitola 5 Skalární, vektorový a smíšený součin. Analytická geometrie lineárních a kvadratických útvarů 5.1 Cíl kapitoly Vektory v libovolném vektorovém prostoru můžeme sčítat, můžeme je násobit číslem a můžeme je také násobit mezi sebou. Ukážeme si, že pro násobení máme dvě možnosti 1) skalární součin, kdy je výsledkem součinu dvou vektorů číslo, 2) vektorový součin, kdy je výsledkem součinu dvou vektorů zase vektor. Ukážeme si výpočet obou součinů, jejich použití a vlastnosti. Pomocí sklaárního součinu si zavedeme pojem normy vektoru, který je zobecněním pojmu velikost vektoru z prostoru R2 a nebo R3 , na prostory libovolné dimenze. Geometrický pojem kolmost dvou vektorů si zobecníme na pojem ortogonální vek- tory, které můžeme definovat v každém vektorovém prostoru. Ukážeme si, jak můžeme z každé báze vektorového prostoru vybudovat ortogonální bázi téhož prostoru (Grammův - Schimidtův otogonalizační proces). Dále si ukážeme, jak lze sestrojit ortogonální doplněk podprostoru a jak lze určit ortogonální průmět vektoru do podprostoru. Tento postup se využívá v numerické matematice, kde se nazývá "Metoda nejmenších čtverců". Spojením vektorového a skalárního součinu dostaneme smíšený součin tří vektorů. Vektorový počet použijeme při vyšetřování lineárních útvarů v prostoru E3 . Pro určení vzájemné polohy přímek a rovin použijeme vlastností soustav lineárních algebraických rovnic a podmínek jejich řešitelnosti. 73 MATEMATIKA 1B 74 5.2 Skalární součin Definice 5.1 Necht' (L, +, ) je vektorový prostor dimenze n nad R. Zobrazení g : L×L R : (x, y) g(x, y) se nazývá skalárním součinem na L, jestliže R a x, y, z L platí: 1. g(x, y) = g(y, x), komutativita 2. g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z), distributivita 3. g(x, y) = g(x, y), vytýkání skalárního násobku 4. g(x, x) 0, přičemž g(x, x) = 0 pouze pro x = O. pozitivní definitnost Příklad 5.2 Mějme prostor (C[a, b], +, ) všech spojitých funkcí definovaných na intervalu [a, b]. Definujme zobrazení: u, v C[a, b] : g(u, v) = b a u(x)v(x)dx. Zobrazení g splňuje všechny požadavky definice 5.1, a jedná se tedy o skalární součin. (Prověřte samostatně platnost všech požadavků.) Důsledek 5.3 Platí: 1. g(O, x) = 0 x L. 2. g(( i ixi), ( j jyj)) = i j ijg(xi, yj). Věta 5.4 V libovolném vektorovém prostoru dimenze n je možné definovat skalární součin. Definice 5.5 Vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá Eukleidovský vektorový prostor. Jako standardní skalární součin na Rn budeme označovat x y = x1y1 + x2y2 + + xnyn. Definice 5.6 Necht' L je Eukleidovský prostor dimenze n.Normou vektoru x L nazveme číslo x = g (x, x) = x x . Věta 5.7 x, y (Ln, +, )R platí Cauchyova-Schwarzova nerovnost: |x y| x y . Věta 5.8 x, y L platí trojúhelníková nerovnost. x + y x + y Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 75 Důsledek 5.9 x + y = x + y právě tehdy, když |x y| = x y . Definice 5.10 Velikost úhlu mezi dvěma nenulovými vektory je definována takto: cos = x y x y . Poznámka 5.11 Z Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že definice je korektní. Absolutní hodnota čitatele je menší nebo rovna jmenovateli. Omezujeme se na < 0, >. Definice 5.12 Prvky x, y L nazveme ortogonálními, jestliže platí x y = 0. Poznámka 5.13 Jde o zobecnění pojmu "kolmost" pro libovolné prostory a libovolné báze. Věta 5.14 Pro každé dva ortogonální vektory platí Pythagorova rovnost x + y 2 = x 2 + y 2 . Definice 5.15 Báze vektorového prostoru se nazývá ortogonální, jestliže jsou každé dva její vektory navzájem ortogonální. Báze vektorového prostoru se nazývá ortonormální, jestliže platí ai aj = ij = 1 , i = j 0, i = j . Důsledek 5.16 Jsou-li ve vektorovém prostoru dány nenulové vektory a1, a2, . . . , an po dvou ortogonální, pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Věta 5.17 (Grammova-Schmidtova) V každém netriviálním eukleidovském vektorovém prostoru lze sestrojit ortonormální bázi. Důkaz: Důkaz provedeme pomocí matematické indukce. Mějme bázi A = (a1, a2, . . . , an). Nejdříve vytvoříme ortogonální bázi B = (b1, b2, . . . , bn) a pak ji normalizujeme. Každý prvek nové báze B je roven stejnolehlému prvku staré báze A a lineární kombinaci již vytvořených prvků nové báze B. Položíme b1 = a1, b2 = a2 + b1, kde 1 je neznámý koeficient. Vynásobíme skalárně poslední rovnost vektorem b1. Aby vektory b1, b2 byly ortogonální, musí platit 0 = (a2 b1) + (b1 b1), = - a2 b1 b1 b1 . MATEMATIKA 1B 76 Určili jsme koeficient a tím také vektor b2. Vektor b2 musí být nenulový, jinak by platilo, že a2 = -1b1 = -1a1, což by byl spor s tvrzením, že a1, a2 jsou prvky báze, t.j. jsou lineárně nezávislé. Dále položíme b3 = a3 + 1b1 + 2b2, kde 1, 2 jsou neznámé koeficienty. Postupujeme analogicky jako v předchozím případě a dostáváme i = - a3 bi bi bi , i = 1, 2. Vektor b3 musí být opět nenulový. Obecně tedy položíme bk = ak + k-1j =1 jbj, k = 1, 2, . . . , n, kde 1, 2, . . . , k-1 jsou neznámé koeficienty. Odtud vypočteme j = - ak bj bj bj , j = 1, 2, . . . n. Nakonec provedeme normalizaci, tj. každý vektor vzniklé ortogonální báze nahradíme jednotkovým vektorem stejného směru: ci = bi biD ostáváme ortonormální bázi C = (c1, c2, . . . , cn).P oznámka 5.18 Stejným způsobem můžeme postupovat i při hledání ortonormální báze podprostoru zadaného generující množinou. Jestliže jsou vektory generující množiny lineárně závislé, objeví se během konstrukce některý z vektorů bi jako nulový. Pak ovšem nemůže být prvkem báze, proto jej vyloučíme a pokračujeme dále. Příklad 5.19 Určete ortonormální bázi podprostoru generovaného vektory a = (1, 1, -1, -1), b = (1, -1, 1, 1), c = (-1, -2, 0, 1), d = (1, -2, 0, 1). Řešení. Hledané ortogonální vektory si označíme k, l, m, n. Položíme tedy k = a, l = b + k, = 1 2 , l = (3, -1, 1, 1). m = c + k + l, = 1, = 0, m = (0, -1, -1, 0). n = d + k + l + m, = 1 2 , = - 1 2 , = -1, n = (0, 0, 0, 0). Ortogonální bázi tvoří vektory k, l, m. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 77 5.3 Ortogonální průmět Definice 5.20 Říkáme, že dva podprostory K a M vektorového prostoru L jsou orto- gonální, jestliže pro x K a pro y M platí: x y = 0. Důsledek 5.21 Necht' K a M jsou ortogonální podprostory. Potom K M = O K + M = K M. Definice 5.22 Ortogonálním doplňkem podprostoru K nazveme množinu M = {x (L \ K) : x y = 0proy K}. Důsledek 5.23 Ortogonální doplněk podprostoru doplněný o nulový vektor je podprostor. Příklad 5.24 Určete ortogonální doplněk podprostoru K = a = (-1, 2, 0, 1), b = (3, 1, -2, 4), c = (-4, 1, 2, -3) . Řešení. Ortogonální doplněk bude tvořen vektory v = (, , , ), pro něž platí v a = v b = v c = 0. Úloha vede na homogenní soustavu rovnic. Elementárními úpravami převedeme matici koeficientů na stupňovitý tvar: -1 2 0 1 3 1 -2 4 -4 1 2 -3 -1 2 0 1 0 7 -2 7 0 -7 2 -7 - 1 2 0 1 0 7 -2 7 . Máme soustavu dvou rovnic o čtyřech neznámých. Řešení bude záviset na dvou parame- trech a má tvar v = (4s - t, 2s - t, 7s, t), s, t R, s2 + t2 = 0. (Parametry s, t se nemohou oba současně rovnat nule, protože bychom dostali nulový vektor, který nepatří do orto- gonálního doplňku.) Tím máme popsán ortogonální doplněk. Bázi ortogonálního podprostoru M získáme vhodnou volbou hodnot nezávislých parametrů, např. s = 1, t = 0 a s = 0, t = 1. Dostáváme M = (4, 2, 7, 0), (-1, -1, 0, 1) . Definice 5.25 Ortogonální průmět vektoru v do podprostoru K je vektor u K, pro který platí v = u + z, kde z je ortogonální k podprostoru K. Věta 5.26 Necht' K je podprostor vektorového prostoru L. Potom v L můžeme ses- trojit jeho ortogonální průmět do podprostoru K. Poznámka 5.27 Tento postup se využívá v numerické matematice, kde se nazývá metoda nejmenších čtverců. Příklad 5.28 V prostoru (R3 , +, ) určete ortogonální průmět vektoru x = (1, 2, 3) do podprostoru K = a, b , kde a = (-1, 1, 1), b = (1, 1, , 1). MATEMATIKA 1B 78 Řešení. Zapíšeme si vektor x ve tvaru x = a + b + z, kde a, b k, z a, b a tedy z a = 0, z b = 0. Vynásobíme vyjádření x skalárně vektory a, b, dostaneme x a = (a a) + (b a) + z a, x b = (a b) + (b b) + z b. Dosazením získáme soustavu rovnic 3 + = 4, + 3 = 6, = 3 4 , = 7 4 , hledaný průmět u je u = a + b = 3 4 (-1, 1, 1) + 7 4 (1, 1, 1) = 1 , 5 2 , 5 2 . Zkouška: z = x - u = (1, 2, 3) - 1 , 5 2 , 5 2 = 0 , - 1 2 , 1 2 , potom z a = z b = 0. Poznámka 5.29 Při výpočtu ortogonálního průmětu nemůžeme (jako při výpočtu orto- gonální báze) změnit normu (velikost) vektoru jeho vynásobením nenulovým číslem. 5.4 Vektorový počet v E3 . Vektorový a smíšený součin. Definice 5.30 Dvě báze A, B téhož vektorového prostoru L nazveme souhlasně oriento- vané, jestliže matice přechodu od A k B má kladný determinant a nesouhlasně orientované v opačném případě. Vzhledem k tomu, že (MA B )-1 = MB A a pro každou regulární matici M je |M-1 | = |M|-1 , mají obě matice determinant bud' současně kladný a nebo současně záporný. Tím se množina všech bází vektorového prostoru L rozpadne na dvě disjunktní třídy. Každé dvě báze patřící do stejné třídy mají matici přechodu s kladným determinan- tem. Naopak každé dvě báze patřící do různých tříd mají matici přechodu se záporným determinantem. Souhlasně orientovaný systém se také označuje jako kladný nebo pravotočivý, sym- bolicky E+ , nesouhlasně orientovaný systém jako záporný nebo levotočivý, symbolicky E- . V praxi (hlavně technické) se kladný (pravotočivý) systém v E3 definuje následujícím způsobem: Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 79 Definice 5.31 Je dána souřadná soustava (P, (e1, e2, e3)). Do roviny (P, e1, e2) umístíme hodinky tak,aby ciferník směřoval do poloprostoru v němž leží e3. Úhel mezi vektory e1, e2 musí být menší než . Přejdeme-li nyní z e1 na e2 proti směru hodinových ručiček, tvoří vektory (e1, e2, e3) kladně orientovanou soustavu. V případě přechodu po směru hodinových ručiček jde o záporně orientovanou soustavu. Pravidlo pravé ruky nabízí jinou definici kladně a záporně orientované soustavy: Necht' jsou dány tři vektory a, b, c. Vezmeme menší z úhlů, které svírají vektory a, b. Položíme palec pravé ruky na vektor a a ukazováček pravé ruky na vektor b. Směřuje-li dlaň do poloprostoru, v němž leží vektor c, jsou vektory a, b, c souhlasně (kladně) orientované, v opačném případě jsou vektory nesouhlasně (záporně) orientované. Důsledek 5.32 Kanonická báze (i, j, k) prostoru E3 je pravotočivá (kladná). Přitom i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Definice 5.33 (Vektorový součin.) Mějme orientovaný prostor E3 . Pro každé dva vektory a, b E3 definujeme jejich vektorový součin následovně: a × b = c, kde |c| = |a||b| sin , je úhel mezi vektory a, b a trojice (a, b, c = a×b) tvoří kladně orientovanou soustavu. Důsledek 5.34 Geometrický význam vektorového součinu je znázorněn na náčrtku 5.4.1. Délka vektoru c je rovna ploše lichoběžníka P sestrojeného z vektorů a, b. Z definice vektorového součinu lze snadno odvodit, že je-li (e1, e2, e3) pravotočivá ortonor- mální báze v E3 , pak ei × ej = ek pro každou permutaci (i, j, k) z množiny {1, 2, 3}, přičemž znaménko (+) se bere pro sudé permutace a znaménko (-) pro liché permutace. Věta 5.35 Necht' (i, j, k) je pravotočivá ortonormální báze v E3 . Necht' a = i + j + k, b = i + j + k. Potom a × b = i j k . (5.4.1) Poznámka 5.36 Ve vzorci 5.4.1 je použit formální determinant, jehož prvky jsou čísla a vektory. Formálně na něj aplikujeme Sarrusovo pravidlo. Výsledkem výpočtu zde nebude číslo, ale vektor c = a × b = ( - )i + ( - )j + ( - )k. Uved'me základní vlastnosti vektorového součinu. Přímo z definice lze odvodit, že: 1. a × b = -(b × a); 2. a × (b + c) = (a × b) + (a × c); 3. a × ( b) = ( a) × b = (a × b) pro každé reálné číslo ; MATEMATIKA 1B 80 ~ T c = a × b a b |c| = |a| |b| sin Obrázek 5.4.1: Geometrický význam vektorového součinu Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 81 4. a, b jsou lineárně závislé právě tehdy když a × b = O. Definice 5.37 (Smíšený součin.) Smíšeným součinem vektorů a, b, c E3 nazýváme výraz [a, b, c] = a (b × c). Věta 5.38 Necht' a, b, c jsou lineárně nezávislé vektory z E3 . Potom [a, b, c] je objem rovnoběžnostěnu s hranami a, b, c. V případě, že vektory a, b, c jsou kladně orientované, je [a, b, c] > 0, v opačném případě je [a, b, c] < 0. Geometrický význam vektorového součinu je znázorněn na náčrtku 5.4.2. Věta 5.39 Necht' a = (1, 2, 3), b = (1, 2, 3), c = (1, 2, 3). Potom platí [a, b, c] = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 U ved'me základní vlastnosti smíšeného součinu: 1. [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] = -[c, b, a] = -[b, a, c] = -[a, c, b]. 2. Pro každé reálné číslo platí: [ a, b, c] = [a, b, c] = [a, b, c] = [a, b, c]. 3. [a + b, c, d] = [a, c, d] + [b, c, d]. 4. Vektory ab, c jsou lineárně závislé právě tehdy, když [a, b, c] = 0. 5.5 Lineární útvary v E3 . 5.5.1 Přímka Je-li dán bod A = [a1, a2, a3] a vektor u = (u1, u2, u3), pak přímka p procházející bodem A ve směru vektoru u má vektorovou rovnici X = A + tu. Rozepsáním vektorové rovnice podle jednotlivých složek dostáváme tzv. parametrické rovnice přímky p : x = a1 + tu1 y = a2 + tu2 z = a3 + tu3 Vyloučením parametru t dostaneme tzv. obecnou rovnici přímky a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 , kde a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2 jsou konstanty. Jde o rovnice dvou různých rovin, jejichž průsečíkem je přímka p. MATEMATIKA 1B 82 ~ T c a b V = [a, b, c] Obrázek 5.4.2: Geometrický význam smíšeného součinu Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 83 Poznámka 5.40 Ze středoškolské analytické geometrie víme, že normálové vektory n1 a n2 rovin a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 jsou n1 = (a1, b1, c1) a n2 = (a2, b2, c2). Proto musí platit: n1 u = 0 a n2 u = 0. Rozepsáním těchto skalárních součinů dostáváme: a1u1 + b1u2 + c1u3 = 0 a2u1 + b2u2 + c2u3 = 0 Souřadnice směrového vektoru u jsou tedy netriviálním řešením systému lineárních ho- mogenních rovnic a1x + b1y + c1z = 0 a2x + b2y + c2z = 0 5.5.2 Rovina Je-li dán bod A = [a1, a2, a3] a dva lineárně nezávislé vektory u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3), pak rovina určená bodem A a vektory u a v má vektorovou rovnici X = A + tu + sv, kde X = [x, y, y] a t, s jsou reálné parametry. Rozepsáním vektorové rovnice podle jed- notlivých složek dostáváme tzv. parametrické rovnice roviny x = a1 + tu1 + sv1 y = a2 + tu2 + sv2 z = a3 + tu3 + sv3 Vyloučením parametrů t, s dostaneme obecnou rovnici rovinya x + by + cz + d = 0. Každý vektor w = o, kde o = (0, 0, 0), leží v rovině , pokud jeho souřadnice (w1, w2, w3) vyhovují rovnici aw1 +bw2 +cw3 = 0. Všechny nenulové násobky vektoru n = (a, b, c) jsou normálovými vektory. Obecnou rovnici roviny obdržíme teké rozepsáním determinantu x - a1 y - a2 z - a3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = 0. MATEMATIKA 1B 84 5.5.3 Úsečka, polopřímka, polorovina Necht' A, B E3 , A = B. Vektorová rovnice X = A + tu, kde u = B - A a t < 0, +), je rovnicí polopřímky AB. Pokud t < 0, -), popisuje uvedený vztah polopřímku BA a pro t < 0, 1 > úsečku AB. Analogická tvrzení lze zformulovat i pro parametrické rovnice. Jestliže ve vektorové rovnici roviny položíme t R, s < 0, +), dostaneme vek- torovou rovnici poloroviny s hraniční přímkou p : X = A+tu a vnitřním bodem C = A+v. 5.5.4 Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky v E3 mohou být 1. různoběžné, mají-li společný právě jeden bod 2. rovnoběžné, leží-li v jedné rovině a nejsou různoběžné 3. mimoběžné, neleží-li v jedné rovině Určování vzájemné polohy dvou přímek převedeme na řešení soustavy lineárních alge- braických rovnic. Necht' přímky p, q jsou zadány vektorovými rovnicemi p : X = P + su, q : Y = Q + tv (5.5.2) nebo p : a 1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 q : 1x + 1y + 1z + 1 = 0 2x + 2y + 2z + 2 = 0 (5.5.3) Vzájemná poloha přímek p, q potom souvisí s řešitelností soustavy rovnic a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 1x + 1y + 1z + 1 = 0 2x + 2y + 2z + 2 = 0 (5.5.4) vzniklé rozepsáním vztahu P - Q = tv - su, (5.5.5) který vychází z předpokladu, že obě přímky mají společný alespoň jeden bod. Označme A matici koeficientů soustavy (5.5.5), A rozšířenou matici této soustavy, B matici koeficientů soustavy (5.5.4) a konečně B rozšířenou matici této soustavy. Potom přímky p, q jsou: 1. mimoběžné h(A ) = 3 h(B ) = 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 85 2. různoběžné h(A) = h(A ) = 2 h(B) = h(B ) = 3 3. rovnoběžné a různé h(A) = 1 h(A ) = 2 h(B) = 2 h(B ) = 3 4. totožné h(A) = h(A ) = 1 h(B) = h(B ) = 2 Úhel přímek p, q definujeme jako menší z úhlů,které svírají přímky p, q, pokud jsou různoběžné a jako nulový, pokud jsou rovnoběžné. Jestliže u, v jsou směrové vektory p, q, potom cos = |u v| |u|.|v| . 5.5.5 Vzájemná poloha přímky a roviny. Přímka a rovina se nazývají 1. různoběžné, mají-li právě jeden společný bod 2. rovnoběžné (a) různé, nemají-li žádný společný bod. (b) splývající, leží-li přímka v rovině. Při určování vzájemné polohy přímky a roviny využijeme vlastností skalárního součinu. Necht' přímka p je dána rovnicí (5.5.2) a necht' n je normálový vektor roviny . Potom jsou přímky 1. p a různoběžné tehdy a jen tehdy, když u n = 0. 2. p a rovnoběžné různé (t.j. p ) tehdy a jen tehdy, když u n = 0 A . 3. p a rovnoběžné splývající (t.j. p ) tehdy a jen tehdy, když u n = 0 A . Přímka p je kolmá na rovinu , jestliže je směrový vektor přímky nenulovým násobkem normálového vektoru roviny. Úhel , který svírá přímka p a rovina , je definován jako úhel směrového vektoru přímky u a jeho ortogonálního průmětu u d o roviny . Pokud je p , je = /2. Úhel počítáme podle vzorce cos = |u u | |u|.|u | MATEMATIKA 1B 86 5.5.6 Vzájemná poloha dvou rovin Dvě roviny nazýváme ˇ různoběžné, mají-li společnou přímku; ˇ rovnoběžné různé, nemají-li žádný společný bod; ˇ rovnoběžné splývající, jsou-li totožné. Určování vzájemné polohy dvou rovin opět převedeme na řešení soustavy lineárních alge- braických rovnic. Necht' jsou roviny a dány vztahy : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 (5.5.6) Necht' A a A jsou matice koeficientů a matice rozšířená soustavy (5.5.6). Potom a jsou 1. různoběžné tehdy a jen tehdy, když h(A) = h(A ) = 2 2. rovnoběžné různé tehdy a jen tehdy, když h(A) = 1 h(A ) = 2 3. totožné tehdy a jen tehdy, když h(A) = h(A ) = 1 Úhel , který roviny svírají, lze určit jako úhel jejich normálových vektorů n1, n2. cos = |n1 n2| |n1|.|n2| 5.6 Analytická geometrie lineárních útvarů V této části uvedeme pouze některé často se vyskytující vztahy. 5.6.1 Vzdálenost bodu od přímky Na střední škole jste se seznámili s tím, že vzdálenost v bodu C = (x0, y0) od přímky ax + by + c = 0 je v = |ax0 + by0 + c| a2 + b2 . Při řešení této úlohy můžeme ale využít i vlastností vektorového součinu. Mějme přímku p zadanou dvěma body A, B a bod C. Pak vzdálenost přímky p a bodu C je dána vztahem d = |AB × AC| |AB| . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 87 5.6.2 Příčka mimoběžek Předpokládejme, že máme zadány dvě mimoběžné přímky p a q. Necht' přímka p je určena bodem A a směrovým vektorem a, přímka q je je určena bodem B a směrovám vektorem b. Označme AB = c. Potom je délka příčky těchto mimoběžek rovna d = [ a, b, c] | a × b| . 5.6.3 Rovnice roviny procházející body třemi body Necht' A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) jsou tři body neležící na jedné přímce. Potom rovnice roviny procházející těmito body je určena vztahem x y z 1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 = 0, kde (x, y, z) jsou souřadnice libovolného bodu ležícího v rovině . 5.7 Kanonické tvary kuželoseček. Definice 5.41 Množinu bodů z E2 o souřadnicích (x, y) nazveme kuželosečkou, jestliže vyhovuje rovnici a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a1x + 2a2y + a0 = 0, (5.7.7) kde a11, a22, a12, a1, a2, a0 R. Kvadratickou částí rovnice kuželosečky nazýváme výraz a11x2 + a22y2 + +2a12xy, lineární částí rovnice výraz 2a1x + 2a2y. Matici A = a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a0 nazýváme maticí kuželosečky. V tabulce 5.7.1 jsou bez podrobného zdůvodnění uvedeny tzv. kanonické tvary kuželoseček, které jsou obecně zadány rovnicí (5.7.7): Poznámka 5.42 Kružnice je speciální typ elipsy pro a = b. Některé kanonické tvary jsou ilustrovány na obrázcích. MATEMATIKA 1B 88 Obrázek 5.7.3: Kružnice: (x - m)2 + (y - n)2 = r2 Obrázek 5.7.4: Elipsa: (x-m)2 a2 + (y-n)2 b2 = 1 Obrázek 5.7.5: Hyperbola: (x-m)2 a2 - (y-n)2 b2 = 1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 89 Imaginární elipsa x2 a2 + y2 b2 = -1 Elipsa x2 a2 + y2 b2 = 1 Hyperbola x2 a2 - y2 b2 = 1 Parabola y2 - 2px = 0 Bod x2 a2 + y2 b2 = 0 Dvě různoběžné přímky x2 a2 - y2 b2 = 0 x2 + a2 = 0 Dvě rovnoběžné přímky x2 - a2 = 0 Dvě splývající přímky x2 = 0 Tabulka 5.7.1: Kanonické tvary kuželoseček 5.8 Kanonické tvary kvadrik. Definice 5.43 Množinu bodů z E3 o souřadnicích (x, y, z) nazveme kvadrikou nebo kvadrat- ickou plochou, jestliže vyhovuje rovnici a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0, (5.8.8) kde a11, a22, a33, a12, a13, a23, a1, a2, a3, a0 R. Kvadratickou částí rovnice kvadriky nazýváme výraz a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz, lineární částí rovnice výraz 2a1x + 2a2y + 2a3z. Matici A = a11 a12 a13 a1 a12 a22 a23 a2 a13 a23 a33 a3 a1 a2 a3 a0 nazýváme maticí kvadriky. Poznámka 5.44 Koule je speciální typ elipsoidu pro a = b = c. MATEMATIKA 1B 90 Imaginární elipsoid x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 + 1 = 0 Elipsoid x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 - 1 = 0 Jednodílný hyperboloid x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 - 1 = 0 Dvoudílný hyperboloid x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 + 1 = 0 Eliptický paraboloid x2 a2 + y2 b2 - 2z = 0 Hyperbolický paraboloid x2 a2 - y2 b2 - 2z = 0 Imaginární kuželová plocha x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 0 Eliptická kuželová plocha x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 0 Imaginární válcová plocha x2 a2 + y2 b2 + 1 = 0 Eliptická válcová plocha x2 a2 + y2 b2 - 1 = 0 Hyperbolická válcová plocha x2 a2 - y2 b2 - 1 = 0 Parabolická válcová plocha x2 a2 - 2py = 0 Dvě imaginární různoběžné roviny x2 a2 + y2 b2 = 0 Dvě různoběžné roviny x2 a2 - y2 b2 = 0 Dvě imaginární rovnoběžné roviny x2 + a2 = 0 Dvě rovnoběžné roviny x2 - a2 = 0 Dvě splývající roviny x2 = 0 Tabulka 5.8.2: Kanonické tvary kvadrik Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 91 Obrázek 5.7.6: Parabola: (y - n)2 = 2p(x - m) V tabulce 5.8 jsou uvedeny tzv. kanonické tvary kvadrik obecně zadaných rovnicí (5.8.8). Některé kanonické tvary jsou ilustrovány na náčrtcích 5.8.7­5.8.16. Obrázek 5.8.7: Koule: x2 + y2 + z2 = 1 5.9 Základní vlastnosti kuželoseček a kvadrik Definice 5.45 Kvadratická plocha s maticí A se nazývá regulární, jestliže |A| = 0. Kvadratická plocha se nazývá singulární, jestliže |A| = 0. Věta 5.46 Regulární kuželosečky jsou: elipsa, hyperbola, parabola. Regulární kvadratické plochy jsou: elipsoid, hyperboloid, paraboloid. Definice 5.47 Kvadratická plocha se nazývá středová, jestliže má jedinný střed souměrnosti (nazývá se střed kvadratické plochy). MATEMATIKA 1B 92 Obrázek 5.8.8: Elipsoid: x2 4 + y2 + z2 = 1 Obrázek 5.8.9: Jednodílný hyperboloid: x2 + y2 - z2 = 1 Obrázek 5.8.10: Dvojdílný hyperboloid: x2 + y2 - z2 = -1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 93 Obrázek 5.8.11: Eliptický paraboloid: x2 + y2 - 2z = 0 Obrázek 5.8.12: Hyperbolický paraboloid: x2 - y2 - 2z = 0 Obrázek 5.8.13: Kuželová plocha: x2 + y2 - z2 = 0 MATEMATIKA 1B 94 Obrázek 5.8.14: Eliptická válcová plocha: x2 + y2 = 1 Obrázek 5.8.15: Hyperbolická válcová plocha: x2 - y2 = 1 Obrázek 5.8.16: Parabolická válcová plocha: y2 = 2px Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 95 Z předchozí definice je zřejmé, že bod S = (s1, s2, s3) je středem kvadratické plochy s maticí A právě tehdy, když uspořádaná trojice (s1, s2, s3) je jediným řešením soustavy a11x + a12y + a13z + a1 = 0 a12x + a22y + a23z + a2 = 0 a13x + a23y + a33z + a3 = 0 Každou kuželosečku či kvadriku lze vhodnou transformací souřadnic x, y, z převést na kanonický tvar. Ilustrujme toto tvrzení na následujícím příkladu: Příklad 5.48 Určete kanonickou rovnici kuželosečky x2 + y2 + 4xy + 2x + 1 = 0. (5.9.9) Použijeme Lagrangeovu metodu doplnění na čtverec. Vezmeme všechny členy obsahující x a doplníme je na úplný čtverec. Potom provedeme totéž pro členy obsahující y. Levou stranu rovnice (5.9.9) tedy ekvivalentně upravujeme na tvar: (x2 + 4xy + 2x) + y2 + 1 = 0, [(x + 2y + 1)2 - 4y2 - 4y - 1] + y2 + 1 = 0, (x + 2y + 1)2 - 3y2 - 4y = 0, (x + 2y + 1)2 - 3 y 2 + 4 3 y = 0, (x + 2y + 1)2 - 3 y + 2 3 2 + 4 3 = 0, - (x + 2y + 1)2 4 3 + 3 y + 2 3 2 4 3 = 1. Označme = x + 2y + 1 = y + 2 3 . Potom - 2 4/3 + 32 4/3 = 1. (5.9.10) Dostali jsme rovnici hyperboly. Kanonickou rovnicí kuželosečky (5.9.9) je rovnice (5.9.10). 5.10 Shrnutí Definovali jsme si skalární, vektorový a smíšený součin vektorů. Zatímco skalární součin může být definován více způsoby v libovolném netriviálním vektorovém prostoru, vek- torový a smíšený součin jsme definovali pouze v E3 . Zavedli jsme si pojem ortogonálnosti vektorů, který v E2 a E3 je shodný s pojmem kolmosti vektorů. MATEMATIKA 1B 96 Grammova - Schmidtova věta říká, že v každém netriviálním vektorovém prostoru exis- tuje ortogonální báze. Důkaz věty obsahuje přesný pracovní postup, jak sestrojit hledanou ortogonální bázi. Výhody práce s ortogonální bází oceníme např. při určování ortogonálního průmětu do podprostoru. Obecně zde musíme řešit soustavu lineárních algebraických rovnic se symetrickou maticí koeficientů. Pokud budeme mít ortogonální bázi podprostoru, potom matice soustavy bude mít diagonální matici. Vektorový a smíšený součin je vhodné používat v jejich vyjádření pomocí determi- nantů, který jsme si ukázali. Z vlastností determinantů potom automaticky vyplývají i vlastnosti vektorového či smíšeného součinu. Získané znalosti z vektorového počtu jsme využili při definování lineárních útvarů v E3 a při odvozování jejich vlastnosí. Při určování vzájemné polohy přímek, přímky a roviny, rovin jsme využili poznatků o řešitelnosti soustav lineárních algebraických rovnic. 5.11 Kontrolní příklady ke kapitole 5 1. Určete kosinus úhlu sevřeného vektory a = i + j + 2k a b = i - 2j. 2. V ABC, kde A = [2; 3; 5], B = [-1; -3; 8] a C = [5; -2; 1] určete délky stran a velikosti vnitřních úhlů. 3. Určete ortogonální průmět w vektoru v do podprostoru P (a) v = (4, 2, -5, 3), P =< (5, 1, 3, 3), (3, -1, -3, 5), (3, -1, 5, -3) >. (b) v = (2, 5, 2, -2), P =< (1, 1, 2, 8), (0, 1, 1, 3), (1, -2, 1, 1) >. 4. Určete vektor c = a×b a najděte obsah rovnoběžníka sestrojeného z vektorů a = j+k a b = i - j + k. 5. Určete sin (a, b), kde a = (3; 1; 2) a b = (2; -2; 4). 6. Zjednodušte: (a + 2b - c) [(a - b) × (a - b - c)]. 7. Dané rovnice přímky převed'te na parametrické. (a) 2x + y + 4 = 0 (b) x - y = 1 8. Napište rovnici přímky, která (a) prochází body A = [2; -1] a B = [3; -2]. (b) prochází bodem B = [4; 3] a je kolmá na přímku q : x = 3 - 3t, y = 2 + 5t. Výsledky jsou uvedeny v části 15.5. Kapitola 6 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - část 1 6.1 Cíl kapitoly Jedním ze základních matematických pojmů je pojem funkce. V této kapitole začneme podrobněji studovat vlastnosti funkcí jedné proměnné. Začneme zavedením limity a odvozením jejich vlastností. Pojem limity funkce je jedním z nejzávažnější pojmů vyšší matematiky. Věnujte proto, prosím, dostatek vašeho času promýšlením její definice a snažte se proniknout do podstaty tohoto pojmu. Pokud se vám to podaří, můžeme s trochou nadsázky říci, že matematika vám nebude dělat problémy, protože jste schopni abstraktního myšlení. Ukážeme si, jak se počítají limity funkce ve vlastních i nevlastních (v nekonečnu) bodech. Pomocí pojmu limity si budeme definovat spojitost funkce v bodě a na intervalu. Uvedeme si vlastnosti spojitých funkcí a klasifikaci nespojitostí. Limita se stane také výchozím aparátem pro určení derivace funkce. Od příkladu, kde si ukážeme, že směrnice tečny ke křivce je limitou podílu diferencí, přejdeme k definici derivace a odvození nejdůležitějších vlastností derivace. Ukážeme si jak se derivují ele- mentární funkce a jaké jsou základní vlastnosti derivace. Zavedeme si pojem diferenciál funkce a ukážeme si, jako jedno z jeho možných použití, přibližný výpočet hodnoty funkce pomocí diferenciálu. Poukážeme také na užitečnost vhodných programů (Maple, Matlab, Mathematica) při konkrétních výpočtech. 97 MATEMATIKA 1B 98 6.2 Pojem okolí bodu ( - okolí) Prakticky ve všech úvahách, týkajících se pojmů, které budou dále zavedeny (limita funkce, spojitost funkce, derivace funkce) je nezbytné pracovat v některé blízkosti dopředu zadaného bodu. Aby bylo možné o těchto pojmech hovořit, je nutné napřed tuto " blízkost" vysvětlit. To se většinou dělá zajedením pojmu " okolí" bodu. Definice 6.1 Epsilon () okolím bodu a R nazýváme otevřený interval (a - , a + ), kde je některé malé kladné číslo. Pro značení okolí bodu jsou často používány symboly: O(a), O(a, ), U(a) nabo U(a, ). Pravé okolí: [a, a + ). Levé okolí: (a - , a]. 6.3 Limita funkce Definice 6.2 Číslo b se nazývá (vlastní) limita funkce f v bodě a, jestliže funkce je definována v okolí tohoto bodu a jestliže pro > 0 (v závislosti na ) taková, že x : |x - a| < , x = a máme |f(x) - b| < . Tento fakt symobolicky zapisujeme následujícím způsobem: lim xa f(x) = b nebo f(x) b (x a). Příklad 6.3 Necht' f(x) = x3 . Ukažte, že lim x2 x3 = 8. Řešení. Víme, že |x3 - 8| = |x2 + 2x + 4| |x - 2|. Podívejme se, co se děje, když se x blíží 2 v jistém okolí tohoto bodu, např. v okolí s poloměrem 1, tj. 2 - 1 < x < 2 + 1 = 1 < x < 3. Pro libovolnou hodnotu x v tomto okolí platí 7 < |x2 + 2x + 4| < 19, a tedy |x3 - 8| < 19|x - 2|. Necht' je libovolné pevně zvolené (malé) kladné číslo. Z předchozí nerovnosti plyne, že |x3 - 8| < if |x - 2| < 19 = . (/19 musí být menší než poloměr okolí, tj. 1.) Geometricky splnění nerovnosti |f(x)-b| < při splnění nervnosti |x-a| < znamená, že jestliže sestrojíme na ose y okolí bodu b s libovolně malým poloměrem , pak lze určit poloměr pro takové okolí bodu a na ose x, že hodnoty argumentu x (s výjimkou x = a) budou patřit do 2-okolí bodu a a hodnoty funkce padnou do 2 okolí bodu b. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 99 Příklad 6.4 Definujme funkci y(x) = 1 2 x, x = 1, 1, x = 1. Ukažte, že limx1 y(x) = 1 2 . Řešení. Musíme dokázat, že > 0 > 0 x : |x - 1| < , x = 1 = 1 2 x - 1 2 < . Z poslední nerovnosti plyne, že 1 2 x - 1 2 = 1 2 |x-1| a 1 2 x - 1 2 < jestlie |x-1| < 2 = . Příklad 6.5 Ověřte, že neexistuje limita limx0 sin 1 x . Řešení. Necht' limita je rovna číslu b, tj. lim x0 sin 1 x = b. Vybereme posloupnost {xn} = 1 n . Zřejmě lim n xn = 0 a lim n sin 1 xn = lim n sin n = 0. Tedy b = 0. Vybereme jinou posloupnost {xn} = 1 2 + 2n . Zřejmě lim n xn = 0 a lim n sin 1 xn = lim n sin 2 + 2n = 1. Tedy b = 1. Došli jsme ke sporu, protože jestliže limita existuje, pak hodnota b musí být určena jednoznačně. Náčrtek funkce je na obrázku 6.3.1. Obrázek 6.3.1: Graf funkce sin 1 x MATEMATIKA 1B 100 Příklad 6.6 Existuje lim x0 x sin 1 x ? Příklad 6.7 Uvažujme funkci f(x) = x2 - 4 x - 2 . Najděte lim x2 f(x). Řešení. Pro libovolné x = 2 máme f(x) = x + 2, a protože definice limity pro x 2 nezahrnuje hodnotu funkce f v bodě x = 2, dostáváme lim x2 x2 - 4 x - 2 = lim x2 (x + 2) = 4. 6.4 Pravostranná a levostranná limita funkce. Limita zprava a zleva Definice 6.8 Pravostranná limita definujeme takto: lim xa+ f(x) = lim xa,x(a,+)Df f(x). Číslo b je pravostrannou limitou, jestliže > 0 > 0 x (a, a + ) : |f(x) - b| < . Podobně definujeme levostrannou limitu: lim xa- f(x) = lim xa,x(-,a)Df f(x). Číslo b je levostrannou limitou, jestliže > 0 > 0 x (a - , a) : |f(x) - b| < . Příklad 6.9 Najděte jednostranné limity pro x 1, jestliže f(x) = 0, x < 1, 1, x = 1, 2, x > 1. Řešení. lim x1- f(x) = 0, lim x1+ f(x) = 2. Mezi jednostrannými limitami funkce v bodě a limitou funkce v bodě platí následující vztah, který uvedeme bez dokazování. Věta 6.10 lim xa f(x) = b, (a = ) lim xa+ f(x) = lim xa- f(x) = b. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 101 6.5 Nevlastní limita funkce Definice 6.11 Funkce f má v bodě x = a nevlastní limitu (tj. limita je rovna + nebo -), jestliže M > 0 > 0 x (a - , a + ), x = a : f(x) > M (nebo f(x) < -M). Píšeme: lim xa f(x) = +, lim xa f(x) = -. 6.6 Další případy limit Následující limity mohou být definovány analogicky k předchozím definicím vlastních a nevlastních limit (viz podkapitoly 6.3 a 6.5). Pokuste se o jejich rozepsání pomocí nerovností samostatně. lim xa+ f(x) = +, lim xa+ f(x) = -, lim xa- f(x) = +, lim xa- f(x) = -, lim x+ f(x) = +, lim x+ f(x) = -, lim x- f(x) = +, lim x- f(x) = -, lim x- f(x) = b, lim x+ f(x) = b. 6.7 Některé věty o limitách O limitách funkcí platí řada zajímavých pravidel a poznatků. Nyní uvedeme některé z nich. Tento přehled není úplným přehledem, pouze slouží k dalšímu ilustrování toho, jak s limitami pracovat. Poznantky uvádíme bez důkazů. Pokuste se promyslet a podrobně pochopit znění níže uvedených vět. Pokud budede tápat využijte uvedených příkladů. Zkuste také promyslet jak by se asi tyto věty daly dokázat. Věta 6.12 Jestliže lim xa f1(x) = b a lim xa f2(x) = c, pak limxa[f1(x) f2(x)] = b c, limxa f1(x)f2(x) = b c, limxa f1(x) f2(x) = b c , pokud hodnota c = 0 a na některém okolí (a - , a + ) \ {a}) platí f2(x) = 0. MATEMATIKA 1B 102 Věta 6.13 Jestliže lim xa f1(x) = b1 a lim xa f2(x) = b2 a jestliže existuje okolí U(a) takové, že v něm f1(x) < f2(x) (nebo f1(x) f2(x)), pro x U(a), x = a, pak b1 b2. Příklad 6.14 Jestliže f1(x) = 1 + x2 , f2(x) = 1 + |x| a x U(0, 1 2 ) pak f1(x) < f2(x) a b1 b2, tj. b1 = lim x0 f1(x) = 1 = lim x0 f2(x) = b2. Věta 6.15 Jestliže lim xa f1(x) = b1, lim xa f2(x) = b2 a b1 < b2 pak existuje množina bodů U(a, ) \ {a} takové, že f1(x) < f2(x) pro všechna x U(a, ) \ {a}. Příklad 6.16 Položme f1(x) = x2 , f2(x) = 1+x2 a a = 0. Potom máme b1 = 0 < b2 = 1 a platí x2 < 1 + x2 pro všechny hodnyty x U(0, 1) \ {0}. Věta 6.17 Předpokládejme, že lim xa f1(x) = lim xa f2(x) = b. Jestliže navíc platí f1(x) (x) f2(x) pro x U(a) \ {a}, potom lim xa (x) = b. 6.8 Limita složené funkce Složenou funkci (nebo také funkci jiné funkce) definujeme takto: Je-li y = f(z) a dále z = (x), potom funkci y = f[(x)] nazýváme složenou funkcí. V tomto vysvětlení předpokládáme, že výsledná funkce je defi- nována na množině, která je podmnožinou oboru hodnot funkce (x). Funkci f nazýváme vnější funkcí, funkci nazýváme vnitřní funkcí. Zajisté pro vás nebude problém samostatně ověřit výsledek následujícího příkladu. Příklad 6.18 Jsou dány funkce f(x) = 1 + cos x, (x) = (x - 1)2 . Určete funkce f[(x)], [f(x)]. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 103 Řešení. Přímým dosažením dostáváme f[(x)] = 1 + cos(x - 1)2 , [f(x)] = cos2 x. Na závěr uvedeme jednu komplikovanější větu o limitách. Přijedete na to, proč je pod- mínka (6.8.1) pro její platnost nevyhnutná. Pokud ne, nechte se motivovat dále uvedenými příklady 6.20, 6.21. Příklad 6.21 je kostruován tak průkazně, že po jeho prostudování smysl podmínky (6.8.1) snadno pochopíte. Věta 6.19 Jestliže lim xa f(x) = b, lim xb (x) = c a U(a, ) takové, že f(x) = b pro x U(a, ), x = a, (6.8.1) pak lim xa [f(x)] = c. Příklad 6.20 Platí Věta 6.19 v případě, že f(x) = x2 , (x) = 1 x , a a = 2? Řešení. V zadaném příkladu dopočítáme b = 4 a c = 1 4 . Všechny podmínky Věty 6.19 platí a lim x2 [f(x)] = 1 4 , protože = lim x2 1 x2 = 1 4 . Ukažme nyní jak důležitou podmínka (6.8.1) je. Příklad 6.21 Zjistěte, zdali platí Věta 6.19 v případě, že f(x) = 2 , x = 0, 0, x = 0, a (x) = 1 , x = 2, 0, x = 2. Položte a = 0. Řešení. Snadno nalezneme, že lim x0 f(x) = b = 2 a lim x2 (x) = c = 1. Složená funkce má tvar [f(x)] = 0 , x = 0, 1, x = 0. Odtud již snadno vidíme, že lim x0 [f(x)] = 0 = 1. Podmínka (6.8.1) není v tomto případě splněna. MATEMATIKA 1B 104 6.9 Některé známé limity Nyní uvedeme několik limit, které se často při výpočtech vyskytují. Mnohé z nich již znáte ze střední školy. Jakmile se seznámite s L'Hospitalovým pravidlem (viz 7.13), nebude pro vás problém je snadno vypočítat. (i) lim x 1 + 1 x x = e . = 2, 71828, (ii) lim x0 (1 + x) 1 x = e, (iii) lim x 1 + c x x = ec , c R, (iv) lim x0 sin x x = 1, (v) lim x0 ax - 1 x = ln a, a R+ , (vi) lim x0 ln(1 + x) x = 1, (Tato limita je jen modifikací předchozí limity. Skutečně, substituce ax - 1 = z vede k požadovanému výsledku.) (vii) lim x0 (1 + x) - 1 x = , R. 6.10 Spojitost funkce Přistupme k dalšímu důležitému pojmu, týkajícího se funkcí. Je jím pojem spojitosti funkce. Co to je funkce spojitá v bodě nebo na některém intervalu záhy osvětlíme. Předtím jen připomeňme, že v jednoduché (a matematicky nekorektní podobě) je spojitost funkce na intervalu tvaru (a, b) často interpretována jako možnost nakreslit tužkou na papíru odpovídající graf jedním tahem bez nutnost oddalovat tužku od papíru. I když je tato " definice" matematicky nekorektní, do jisté míry vystihuje podstatu spojitosti. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 105 Definice 6.22 Funkce f se nazývá spojitá v bodě a, jestliže je definována v okolí U(a, ) a lim xa f(x) = f(a). Pomocí matematických symbolů můžeme psát definici takto: > 0 > 0 x : |x - a| < , |f(x) - f(a)| < . Definice 6.23 Funkce f se nazývá zprava (zleva) spojitá v bodě a, jestliže lim xa+ f(x) = f(a), l im xa- f(x) = f(a) . Poznámka 6.24 Zkráceně zapisujeme: f(a+ ) = lim xa+ f(x), f(a- ) = lim xa- f(x). Zkrácený zápis x a+ je ekvivalentní zápisu x a, x > a a zkrácený zápis x a- je ekvivalentní zápisu x a, x < a. Zaved'me pojem přírůstku funkce. Definice 6.25 Rozdíl f(x) = f(x + ) - f(x) se nazývá přírůstek funkce f v bodě x příslušný přírůstku nezávisle proměnné x. Zkráceně zapisujeme přírůstek funkce y = f(x)takto: f = f(x). Definice 6.25 platí pro livobolný bod. Zajímá-li nás přírůstek funkce y = f(x) v bodě x = x0, pak f(x0) = f(x0 + ) - f(x0). Zaved'me pojem přírůstku nezávislé proměnné x. Z definice 6.25 vidíme, že položíme-li f(x) x, máme x = x + - x. Přírůstek x nezávislé proměnné x je tedy roven . Symboly x a jsou tedy ekviva- lentní. Prodiskutujme nyní jednu skutečnost, které není tak jednoduchá, jak se na první pohled zdá a souvisí s právě odvozeným vztahem. Vysvětleme jednu vlastnost přírůstku, kterou je jeho nezávislost na proměnné x. Tato vlastnost připomíná zásadní vlastnost, která platí pro volné vektory. Volný vektor může být přiložen k libovolnému bodu v prostoru. Tak se chová i přírůstek (i když zde nejde o vektor, ale o skalár): přírůstek je samostatná nezávislá veličina. To znamená, že nezávisí na nezávislé proměnné x, ani na jiné veličině. Jde o skalár, který je přiložen ke konkrétnímu bodu. Tím může být bod x nebo bod x0 nebo libovolný jiný konkrétní bod. Symbol x užíváme zejména v těch situacích, kdy chceme zdůraznit, že přírůstek je přiložen k číslu x. Zcela na místě je tedy následující závěrečné konstatování: MATEMATIKA 1B 106 Poznámka 6.26 Přírůstek x nezávisle proměnné x nezávisí na x. Necht' například x = x0 = 1, x = x1 = 10, x = a = -9, x = 0, 1. Pak x0 + x = 1, 1; x1 + x = 10, 1; a+x = -8, 9. Uvedená vlastnost přírůstku je využita v případě výpočtu diferenciálů - viz 7.3, str. 122. Poznámka 6.27 Definice funkce spojité v bodě a můžeme přepsat následujícím způsobem: lim x0 f(a) = 0. Definice 6.28 Funkce f se nazývá spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém jeho bodě c (a, b). Definice 6.29 Funkce f se nazývá spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], jestliže je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a navíc je v bodě a spojitá zprava a v bodě b zleva. Úkol. Napište analogicky definici spojitosti funkce na intervalech (a, b] a [a, b). Úkol. Je funkce y(x) = - x, x < 0, 1, x 0 spojitá (nespojitá) zprava (zleva) v bodě x = 0? Skutečnost, že funkce f je spojitá na intervalu [a, b] zapisujeme takto: f C[a, b] nebo f C na [a, b] Podobně zapisujeme spojitost na jiných typech intervalu. Píšeme například f C(a, b) nebo f C na (a, b) pro funkci, spojitou na intervalu (a, b). 6.11 Některé vlastnosti spojitých funkcí Věta 6.30 Jsou-li funkce f(x) a (x) spojité v bodě a, pak jejich součet (nebo rozdíl) f(x) (x), součin f(x) (x) a podíl f(x) (x) (v případě, že (a) = 0) jsou také spojité v bodě a. Věta 6.31 Je-li funkce (x) spojitá v bodě a a funkce f(y) v bodě b = (a), pak složené funkce F(x) f[(x)] je spojitá v bodě a. Věta 6.32 Je-li funkce f(x) spojitá v bodě a, pak existuje okolí U(a), v němž je f(x) omezená. Příklad 6.33 Konstatní funkce f(x) = C je definována a je spojitá pro libovolnou hod- notu x, protože její přírůstek odpovídající libovolnému přírůstku x argumentu je C = C - C = 0, a tedy podmínka C 0 (pro x 0) je automaticky splněna. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 107 Příklad 6.34 Funkce f(x) = xn , n N je definována pro všechny body reálné osy a je v nich spojitá. Skutečně, funkce y = x je spojitá pro libovolné x, nebot' lim x0 f(x) = lim x0 [(x + x) - x] = lim x0 x = 0. Tedy funkce x2 = x x, x3 = x2 x, . . . , xn = xn-1 x jsou také spojité. Příklad 6.35 Polynom P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (kde ai R, i = 0, . . . , n) je spojitá funkce pro libovolné x R. Racionální lomená funkce f(x) = P(x) Q(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 bmxm + bm-1xm-1 + + b1x + b0 (kde ai R, i = 0, . . . , n, bj R, j = 0, . . . , m) je spojitá pro všechny hodnoty x R, pro něž Q(x) = 0. 6.12 Odstranitelná nespojitost Definice 6.36 Je-li f nespojitá v bodě x = a a pokud současně existuje konečná limita lim xa f(x), říkáme, že tento bod je bodem odstranitelné nespojitosti funkce. Tento pojem má význam, nebot' v tomto případě může být funkce f redefinována v bodě a (za předpokladu, že je definována v a) a nebo dodefinována v bodě a (jestliže původně nebyla v bodě a definována) tak, že položíme f(a) = lim xa f(x), takže (téměř definovaná!) funkce f je v tomto bodě spojitá. Příklad 6.37 Funkce f(x) = x2 - 1 x - 1 , x = 1, 3, x = 1 není spojitá v bodě x = 1. Tato nespojitost je odstranitelná, nebot' položíme-li f(1) = 2, (nová) funkce f bude spojitá v x = 1. Příklad 6.38 Funkce y = sin 1 x je omezená a má neodstranitelný bod nespojitosti x = 0. Příklad 6.39 Funkce y = (sign x)2 kde sign x = 1, x > 0, 0, x = 0, -1, x < 0 má bod odstranitelné nespojitosti x = 0. MATEMATIKA 1B 108 6.13 Klasifikace nespojitostí Definice 6.40 Existují-li pro funkci f v (konečném) bodě a (konečná) čísla f(a- ), f(a+ ) a má-li funkce v a přesto bod nespojitosti, říkáme, že tato funkce má bod nespojitosti prvního druhu v bodě a. Příklad 6.41 Funkce f1(x) = 3, x = 1, 2, x > 1, 1, x < 1, f2(x) = 2, x > 1, 1, x 1, f3(x) = 2 , x 1, 1, x < 1, f4(x) = 3 , x = 1, 1, x2 < 1, f5(x) = 2 , x > 1, 1, x < 1, f6(x) = 1 , x > 1, 1, x < 1 mají v bodě x = 1 bod nespojitosti prvního druhu. Definice 6.42 Číslo = (a) = f(a+ ) - f(a- ) se nazývá skok nespojitosti. (Bod x = a se pak nazývá bodem skokové nespojitosti.) Poznámka 6.43 Je-li x = a bodem odstranitelné nespojitosti, pak (a) = 0. Definice 6.44 Je-li funkce f definována v okolí bodu a (popřípadě s výjimkou bodu a samotného) a má-li v bodě a bod nespojitosti, který nepatří do třídy nespojitostí prvního druhu, říkáme, že funkce má v a bod nespojitosti druhého druhu. Příklad 6.45 Funkce y = sin 1 x má v bodě x = 0 nespojitost druhého druhu. Funkce y = 1 x má v bodě x = 0 nespojitost druhého druhu. 6.14 Funkce spojité na uzavřeném intervalu V této části uvádíme několik vět o vlastnostech spojitých funkcí. Jsou snadno pochopitelné a intuitivně jasné. Věta 6.46 Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], pak je na něm omezená. Věta 6.47 (Weierstrassova) Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak na tomto intervalu [a, b] nabývá svého maxima i svého minima tzn., že existují body a patřící do [a, b] takové, že f() f(x) f() pro všechna x [a, b]. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 109 O maximálních a minimálních hodnotách funkce budeme pojednávat v části 7.12. Již dopředu můžeme říci, že v bodě x = nabývá funkce y = f(x) svého (tzv. absolutního) maxima. Píšeme max x[a,b] f(x) = f(). Podobně, v bodě x = nabývá funkce y = f(x) svého (tzv. absolutního) minima. Píšeme min x[a,b] f(x) = f(). Na náčrtku 6.14.2 je dána geometrická ilustrace Weierstrassovy věty. Obrázek 6.14.2: Weierstrassova věta Jistě budete schopni samostatně posoudit, proč z uvedené Weierstrassovy věty vyplývá tvrzení věty následující. Věta 6.48 Je-li funkce f spojitá na [a, b] a součin f(a) f(b) < 0, pak existuje na otevřeném intervalu (a, b) alespoň jeden bod c, pro nějž f(c) = 0. Důsledek 6.49 Funkce f C na [a, b] nabývá na intervalu [a, b] všech hodnot mezi hodnotami v koncových bodech. Důsledek 6.50 Každá polynomiální rovnice Pn(x) = 0 lichého stupně n, an = 0, má nejméně jedno řešení. Příklad 6.51 Rovnice cos x - x = 0 má kořen ležící na intervalu (0, ), protože f(0) > 0, f() < 0 kde f(x) = cos x - x a f(x) je spojitá funkce. Weierstrassova věta platí i v případě funkcí více proměnných (viz část 14.17). MATEMATIKA 1B 110 6.15 Poznámka o supremu a infimu funkce Uzavřenost intervalu [a, b] je důležitým předpokladem pro to, aby na něm spojitá funkce vždy měla maximum a minimum. To je obsahem Weierstrassovy věty 6.47. Jak však charakterizovat v jistém smyslu " největší" a " nejmenší" hodnoty spojitých funkcí na otevřených intervalech, pokud jsou tyto " největší" a " nejmenší" hodnoty " dosahovány" na koncích in- tervalu, tedy v bodech, které nepatří do definičního oboru zadané funkce. Uvažujme například funkci y = f (x), definovanou na intervalu [0, 1] takto: f (x) = 2x. Jde o funkci spojitou na uzavřeném intervalu a v souladu s Weierstrassovou větou 6.47 máme max x[0,1] f (x) = f (1) = 2 a min x[0,1] f (x) = f (0) = 0. Pozměníme nyní definiční interval funkce. Místo uzavřeného intervalu [0, 1] uvažujme otevřený interval (0, 1). Definujme funkci y = f (x), definovanou na otevřeném inter- valu (0, 1) takto: f (x) = 2x. Zdánlivě jde o funkci téměř identickou. Jenže nyní již Weierstrassova věta 6.47 neplatí. Odsud samozřejmě ještě nevyplývá, že bude neplatné i její tvrzení. Jenže hledání bodu x = (0, 1), takového, aby platilo max x(a,b) f (x) = f() nebo bodu x = (0, 1), takového, aby platilo min x(a,b) f (x) = f() nevede k úspěchu (zdůvodněte si na náčrtku této funkce proč je tomu tak), i když by se zdálo, že je max x(a,b) f (x) = f(1) = 2 a min x(a,b) f (x) = f(0) = 0. Nedostatek této úvahy je v tom, že ani bod 1 ani bod 0 nepatří definičnímu oboru funkce f , kterým je interval (0, 1) a nikoliv interval [0, 1]. V tomto případě říkáme, že hodnota 2 je supremem funkce f (x) na otevřeném intervalu (0, 1) a píšeme sup x(0,1) f (x) = 2. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 111 Jinými slovy můžeme říci, že funkce f (x) nedosahuje na otevřeném intervalu (0, 1) svého maxima, ale její maximální hodnoty se blíží k hodnotě 2. Podobně bychom vysvětlili pojem infimum funkce f (x) na otevřeném intervalu (0, 1). V tomto případě píšeme inf x(0,1) f (x) = 0. Funkce f (x) nedosahuje na otevřeném intervalu (0, 1) svého minima, ale její minimální hodnoty se blíží k hodnotě 0. Ještě jednou zdůrazněme, že požadavek spojitosti funkce na uzavřeném intervalu [a, b] (zahrnujícím oba krajní body a a b), tak jak to požaduje Weierstrassova věta 6.47 je zásadní. Uved'me jiný příklad. Není těžké zjistit (například z průběhu grafu funkce arctgx (viz obr. 2.11.22, str. 27), že sup x(-,) arctgx = 2 . Neexistuje však bod x na intervalu (-, ), který chápeme jako otevřený, v němž by funkce arctgx nabývala hodnoty 2 . Nedosahuje tedy svého maxima v žádném konečném bodě. Podmínky Weierstrassovy věty 6.47 jsou i v tomto případě porušeny. Podobně lze stanovit, že inf x(-,) arctgx = - 2 . 6.16 Tečna ke křivce Uvažujme graf spojité funkce y = f(x). Vezměme na tomto grafu bod A s souřadnicí x0 a jiný bod C se souřadnicí x0 + x, kde předpokládáme x = 0 (viz náčrtek 6.16.3). Předpokládejme dále, že sečna s procházející bodem A a bodem C svírá s kladnou poloosou x úhel . Tangens úhlu vyjádříme vzorcem tg = y x = f(x0 + x) - f(x0) x . Necht' x se blíží nule; pak se pro spojitou funkci f hodnota y bude také blížit nule. Bod C se bude pohybovat podél grafu funkce a bude se přibližovat k bodu A. Jestliže se v tomto limitním procesu ukáže, že lim x0 y x = k, pak se úhel bude také blížit k jistému úhlu . Spolu se změnou se bude sečna S otáčet kolem bodu A a v limitě se bude přibližovat k přímce t procházející bodem A a svírající úhel s kladnou poloosou x. To znamená, že T je tečnou ke grafu v bodě A a lim x0 y x = lim x0 tg = tg = k. MATEMATIKA 1B 112 Obrázek 6.16.3: Tečna ke křivce. Tak jsme ukázali, že jestliže se poměr y x blíží ke konečné limitě pro x 0, pak má graf v bodě A tečnu, jejíž směrnice je rovna této limitě. Rovnici tečny lze zapsat takto: y - y0 = k(x - x0), (6.16.2) kde k = lim x0 f(x0 + x) - f(x0) x . 6.17 Derivace Definice 6.52 Derivace f ( x0) funkce f v bodě x0 je definována jako limita f ( x0) = lim x0 f(x0 + x) - f(x0) x (6.17.3) za předpokladu, že existuje a je konečná. Často jsou užívány i jiné zápisy derivace (6.17.3). Například df(x) dx x =x0 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 113 nebo dy dx x =x0 . Položíme-li x = x0 + x Poslední limita (6.17.3) může být přepsána takto: f ( x0) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 . Příklad 6.53 Ukážeme, že pro n N máme (xn ) = nxn-1 . Opravdu, užitím binomické Newtonovy věty dostáváme (xn ) = lim x0 y x = lim x0 (x + x)n - xn x = = lim x0 1 x x n + n 1 x n-1 x + n 2 x n-2 (x)2 + + + n n - 1 x (x)n-1 + (x)n - xn = = lim x0 1 x n xn-1 x + n 2 x n-2 (x)2 + + nx(x)n-1 + (x)n = = nxn-1 . Následující věta nemá přímý aplikační důsledek. Je však dobré se nad ní zamyslet z následujího důvodu. Ještě než si přečtete její znění zkuste si odpovědět na otázku zda funkce, která je spojitá, má také derivaci. Určitě naleznete řadu příkladů funkcí, kdy toto v některém bodě nebude platit. Například funkce y = |x| je spojitá na celém intervalu (-, ), ale derivaci v bodě x = 0 nemá. Víte proč? V minulosti byly tyto otázky jakousi výzvou pro mnoho matematiků. Jejich trpělivé úsilí došlo tak daleko, že sestrojili funkce, které jsou spojité všude, v žádném bodě však nemají derivaci. Tyto funkce nejsou konstruovány jednoduchým způsobem. Často se jedná o zadání funkce ve tvaru nekonečné řady. Nebudeme zde žádný takovýto příklad uvádět, protože nám doposud chybí průprava o řadách, kterou dáme v části 8, str. 148. Opačné tvrzení však platí vždy, tj. funkce které má v některém bodě derivaci je v tomto bodě i spojitá. Ukážeme důkaz, který je vlastně jen opakováním definice spojité funkce a definice funkce, která má derivaci. Věta 6.54 Jestliže má funkce f v bodě x0 derivaci f , je v tomto bodě spojitá. Důkaz. Předpokládejme, v souladu s předpokladem věty, že derivace f ( x0) existuje. Připomeňme si také definici spojitosti (viz Definice 6.22, str. 105) či její modifikace (Definice 6.27, str. 106), jejíž užití pro nás bude výhodnější. Máme vlastně dokázat tuto vlastnost: lim xx0 (f(x) - f(x0)) = 0. Na základě definice derivace platí lim xx0 (f(x) - f(x0)) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 (x - x0). MATEMATIKA 1B 114 Podle pravidel pro výpočet limit (limita obou níže uvedených výrazů existuje a je konečná) platí lim xx0 (f(x) - f(x0)) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 lim xx0 (x - x0). Protože lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 = f ( x0) a lim xx0 (x - x0) = 0, platí lim xx0 (f(x) - f(x0)) = f ( x0) lim xx0 (x - x0) = 0. Tím je uvedené tvrzení dokázáno. Ná záver ještě připomeňme, že na základě výkladu v odstavci 6.16 je geometrickým významem derivace v bodě x0 směrnice tečny procházející bodem A = (x0, f(x0)). 6.18 Fyzikální význam derivace Derivace má mnoho různých významů v mnoha odborných disciplínách. Ve fyzive vy- jadřuje např. okamžitou rychlost bodu. Necht' se bod pohybuje po přímce a necht' funkce s = f(t) vyjadřuje závislost jeho vzdálenosti s od počátečního bodu O (bráno s odpovídajícím znaménkem) v čase t. V okamžiku t je bod ve vzdálenosti s = f(t) od O. V jiném časovém okamžiku t+t je ve vzdálenosti s + s = f(t + t) od O. Jeho průměrná rychlost během časového intervalu (t, t + t) je vyjádřena jako vpr = s t = f(t + t) - f(t) t . Okamžitá (skutečná) rychlost v bodu v okamžiku t může přirozeně být definována jako limita, k níž se vpr blíží, když t 0, tj. v(t) = vok(t) = lim t0 s t = s ( t). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 115 6.19 Derivace základních elementárních funkcí Uved'me tabulku derivací některých funkcí. (C) = 0, C R, (6.19.4) (xa ) = axa-1 , a R, (6.19.5) (ax ) = ax ln a, a > 0, (6.19.6) (ex ) = ex , (6.19.7) (loga x) = 1 x ln a , x > 0, a > 0, (6.19.8) (ln x) = 1 x , x > 0, (6.19.9) (ln |x|) = 1 x , x = 0, (6.19.10) (|x|) = signx = 1 , x > 0, -1, x < 0, (6.19.11) (sin x) = cos x, (cos x) = - sin x, (6.19.12) (tgx) = 1 cos2 x , (6.19.13) (cotgx) = -1 sin2 x , (6.19.14) (arcsin x) = 1 1 - x2 , |x| < 1, (6.19.15) (arccos x) = -1 1 - x2 , |x| < 1, (6.19.16) (arctgx) = 1 1 + x2 , (6.19.17) (arccotgx) = -1 1 + x2 , (6.19.18) (sinh x) = cosh x, (6.19.19) (cosh x) = sinh x, (6.19.20) (tghx) = 1 (coshx)2 , (6.19.21) (cotghx) = -1 (sinhx)2 . (6.19.22) 6.20 Derivace zprava a zleva: Často je nutné užít tzv. derivace zprava a zleva. Tyto definice jsou podobné definici (6.17.3). Definujeme derivaci zprava jako limitu f+ (x) = lim x0,x>0 y x , MATEMATIKA 1B 116 a derivaci zleva jako limitu f- (x) = lim x0,x<0 y x . 6.21 Základní pravidla pro derivování: Uvedeme bez důkazu některá základní pravidla pro derivování (předpokládejme, že uve- dené derivace existují): (f(x) g(x)) = f ( x) g ( x), (6.21.23) (f(x) g(x)) = f ( x) g(x) + f(x) g ( x), (6.21.24) f (x) g(x) = 1 g2(x) (f ( x) g(x) - f(x) g ( x)) , (6.21.25) f (x)g(x) = g(x)[f(x)]g(x)-1 f ( x) + [f(x)]g(x) (ln f(x))g ( x). (6.21.26) 6.22 Derivace složené funkce: Bez důkazu uvedeme formální pravidlo pro derivaci složené funkce (předpokládáme, že příslušné výrazy jsou definovány a že derivace existují). Je-li y = f[(x)] , pak y = f [ (x)] ( x). 6.23 Diferenciál funkce Definice 6.55 Funkce f se nazývá diferencovatelná v bodě x0, jestliže její přírůstek f(x0) lze vyjádřit jako f(x0) = Ax + (x)x, (6.23.27) kde A = f ( x0) =const, x = x - x0 a je nějaká funkce s vlastností lim x0 (x) = 0. Příklad 6.56 Funkce y = x2 je diferencovatelná pro všechna x R, protože můžeme položit y = (x + x)2 - x2 = 2xx + (x)2 a A = 2x, (x) = x. Definice 6.57 Hlavní ­ lineární ­ část přírůstku (6.23.27) tj. výraz Ax se nazývá difer- enciál funkce f v bodě x vzhledem k danému přírůstku x a značí se df(x) = f ( x)x. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 117 Poznámka 6.58 Protože pro funkci y = x je dy = y x, tj. dx = x, zapisujeme často předchozí vztah takto: dy = f ( x)dx. Ze vztahu (6.23.27) lze odvodit, že platí přibližný vztah f(x0) f ( x0)x, jestliže x 0 a f ( x0) = 0. Objasněme geometrický význam diferenciálu. Rovnici tečny (6.16.2) lze zapsat jako y - y0 = tg (x - x0) = f ( x0)(x - x0). Položme x = x0 + x. Pak y = y0 + f ( x0)x = y0 + dy(x0). Rovnice tečny má tvar y = y0 + dy(x0). Příklad 6.59 Máme odhadnout množství materiálu potřebného k výrobě krabice ve tvaru krychle, jestliže víme, že její vnitřní hrany jsou 10 cm dlouhé a že tloušt'ka stěn je 0, 1 cm. Řešení. Objem krychle s hranou a je vyjádřen funkcí V (a) = a3 . Objem materiálu potřebného na stěny krychle je přibližně vyjádřen přírůstkem této funkce. Protože dle předchozího textu je V V ( 10) a, kde položíme a = 0.1cm, máme V (10) = V (10 + 0, 1) - V (10) V ( 10) 0, 1 = 300 0, 1 = 30cm3 . Potřebné množství materiálu je přibližně cm3 . 6.24 Derivace inverzní funkce Předpokládejme, že inverzní funkcí k funkci y = f(x), je funkce x = g(y), t.j., že platí f[g(y)] y (na nějakém intervalu I). Derivováním posledního vztahu (za pžedpokladu, že existují příslušné derivace) dostáváme f [ g(y)] g ( y) = 1 a odtud f ( x) = 1 g (y) . (6.24.28) Příklad 6.60 Je-li y = x + ln x, čemu je rovna derivace x ( y)? Řešení. Vycházíme z předpokladu, že derivace x ( y) existuje. Potom vzorec (6.24.28) dává: x ( y) = 1 y (x) = 1 1 + 1 x = x(y) 1 + x(y) . MATEMATIKA 1B 118 6.25 Shrnutí V této kapitole jsme se seznámili se základními pojmy matematické analýzy, s pojmy limita a derivace, které spolu uzce souvisí. Na jejich základě byly definovány další pojmy, jako je např. spojitost funkce. Limita a hlavně derivace se velmi často vyskytují, jednak v dalších kapitolách a navazujícívch matematických předmětech, jednak v nejrůznějších aplikacích, jako je třeba fyzika (okamžitou rychlost hmotného bodu určíme jako derivaci dráhy podle času) a nebo další technických předmětech. Zvládnutí limit a derivaci po teoretické stránce a hlavně po praktické, t.j. početní, stránce, je nezbytným základem pro další studium. Můžeme využít vhodné počítačové vybavení, ale je třeba dávat pozor na podmínky, které nám zaručují správný chod programu. Musíme mít na zřeteli, že počítač sám není schopen řešit některé úkoly a může se dopouštět chyb. Například u funkce ln(-x2 ), která není definovaná pro žádné reálné x, určí matematický software (například Maple, Matlab, Mathematica) její derivaci. Proto využívání těchto programů předpokládá dobré teoretické znalosti, abychom věděli, co vlastně jednotlivými příkazy program vypočítá a jakou úlohu můžeme zadat, tj. co je počítač vlastně schopen vyřešit. 6.26 Kontrolní příklady ke kapitole 6 1. Určete, zda existují následující limity. V případě kladné odpovědi limitu vyčíslete. (a) limx-1(4 - 2x) (b) limx-2(2x - |x|) (c) limx5 1 x-4 (d) limx-3 x2+x-6 x+3 (e) limx0 x sin x (f) limx/2 tg x (g) limx1 f(x), je-li f(x) = 0 pro x = 1 x2 + 4 jinak (h) limx0 2 x (i) limx3 9-x2 x-3 (j) limx0 sin 2x 3x (k) limx0 2x tg x (l) limx1- x-1 x2-1 (m) limx4+ |x-4| x-4 (n) limx 4-x 3x-1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 119 (o) limx- x2+2x x2-1 2. Rozhodněte, zda je daná funkce f(x) spojitá v bodě x0. Pokud není funkce v tomto bodě spojitá, určete druh nespojitosti (nespojitost 1. nebo 2. druhu). (a) f(x) = x2-4 x-2 , x0 = 2 (b) f(x) = 0 pro x = 1 x-1 x2-1 jinak , x0 = 1 (c) f(x) = tg x, x0 = /2 3. Určete intervaly, na nichž jsou dané funkce spojité a určete druhy nespojitosti. (a) f(x) = 1 x2+1 (b) f(x) = tg 2x (c) f(x) = 4 - x2 pro x < 0 x + 4 pro x > 0 4. Vypočtěte hodnotu derivace v bodě x0, pokud existuje. (a) y = 3x, x0 = 2 (b) y = -2 x , x0 = 3 (c) y = 1 x+1 , x0 = 2 (d) y = sin x, x0 = 0 5. Najděte rovnici tečny v bodě T, pokud existuje. (a) y = x2 , T = [2; 4] (b) y = x + 1, T = [3; 2] (c) y = 1 x , T = [1; 1] 6. Najděte rovnici normály ke křivce v bodě T. (a) y = sin x, T = [0; 0] (b) y = 1 + (x - 2)1/3 , T = [3; 2] 7. Pro každou funkci f(x) najděte její derivaci a určete, pro jaké hodnoty x je funkce diferencovatelná. (a) f(x) = 4x + 3 (b) f(x) = 1 x+2 8. Pomocí diferenciálu odhadněte následující výrazy. Srovnejte s výsledky získanými pomocí kalkulačky. MATEMATIKA 1B 120 (a) (1, 01)5 (b) (1, 001)10 Výsledky jsou uvedeny v části 15.6. Kapitola 7 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (část 2) 7.1 Cíl kapitoly V předchozí části jsme se seznámili s pojmem derivace funkce, která je určena jako limita podílu přírůstku funkce a přírůstku argumentu. V této části vyložíme, co nazýváme derivací druhého řádu, třetího řádu a obecně co nazýváme derivací n-tého řádu. Souhrnně hovoříme o derivacích vyšších řádů. Podobně budou zavedeny také diferenciály vyšších řádů. Uvedeme také vzorce pro numerické derivování a ukážeme také, jak lze nalézat derivace k inverzním funkcím. Dále ukážeme, jak lze derivací využít k výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů. To jsou případy, kdy přímý výpočet limity vede k výrazu typu " nula děleno nulou" a nebo " nekonečno děleno nekonečnem". Uvidíme, jak znamenitou pomůckou je v těchto pří- padech tzv. " l'Hospitalovo pravidlo". Dále budeme demonstrovat, jak lze pojem limity a pojem derivace využít při nalézání extrémů funkcí a při studiu jejich průběhu a při konstrukci jejich grafů. Postup konstrukce grafu využívá některých typických vlastností křivek, které zjist'ujeme právě metodami vyšší matematiky. Uvedeme postupy, jak určit intervaly, kde je funkce rostoucí a kde je klesající, v jakých bodech má lokální minimum a lokální maximum, jak se dají stanovit asymptoty grafu funkce. V souhrnu spolu nám tyto informace určují průběh funkce a pomohou nám sestrojit kvalitní graf funkce. Závěr kapitoly je věnován ukázkám problematiky numerického hledání kořenů rovnic a nástinu vypočtu limit a derivací v případě vektorových funkcí a komplexních funkcí jedné reálné proměnné. 121 MATEMATIKA 1B 122 7.2 Derivace a diferenciály vyšších řádů Derivaci 2. řádu definujeme jako derivaci prvního řádu f ( x) = [f ( x)] , za předpokladu, že existuje. Analogicky definujeme derivaci n-tého řádu (n = 2, 3, . . . ): f(n) (x) = f(n-1) (x) . Má-li funkce y = f(x) na některém intervalu I spojitou derivaci n-tého řádu, potom má i derivace nižších řádu a píšeme f C(n) (I). Příklad 7.1 Najděme derivace vyšších řádů funkce y = x , R. Řešení. Podle základních vzorců nalézáme y = x-1 , y = ( - 1)x-2 atd. až y(n) = ( - 1) . . . ( - n + 1)x-n . Pro N je y() = ( - 1) . . . 1x0 = ! a pro další derivace platí y(+1) = y(+2) = = 0. Příklad 7.2 Najděme derivace vyšších řádů funkce y = 2x . Řešení. Postupně dostáváme y = 2x ln 2, y = 2x (ln 2)2 až, nakonec y(n) = 2x (ln 2)n , n = 1, 2 . . . . Pro hledání vyšších derivací součinu dvou funkcí lze často využít tzv. Leibnizův vzorec: Je-li f(x) = u(x)v(x), pak pro derivaci n-tého řádu funkce f (n = 1, 2, . . . ) platí f(n) = uv(n) + n 1 u v(n-1) + n 2 u v(n-2) + + u(n) v = nl =0 n l u (l) v(n-l) . Diferenciály vyšších řádů: Diferenciály vyšších řádů definujeme podobným způsobem jako derivace vyšších řádů. Je-li y = f(x) a dy = f ( x)dx, potom d2 y = d(dy), . . . , dn y = d(dn-1 y). Příklad 7.3 Necht' y = f(x). Vypočtěte d2 y. Řešení. d2 y = d(dy) = d(f ( x)dx) = (f ( x)dx) = f ( x)(dx)2 + f ( x)(dx) d x = f ( x)(dx)2 . V tomto výpočtu je (dx) = (x) = 0. Hodnotu x považujeme za konstantní veličinu nezávislou na proměnné x - viz komentář k Definici 6.25 na str. 105 V obecném případě pokládáme dn f(x) = f(n) (x)(dx)n . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 123 7.3 Numerické derivování Nejjednodušší vzorce pro numerické derivování Předpokládejme, že v nějakém bodě x má funkce f derivaci f ( x) = lim x0 f(x + x) - f(x) x . Potom v některém malém okolí bodu x platí přibližný vztah f ( x) f(x + x) - f(x) x . Vyvstává otázka: jaká je chyba (tj. jaký je rozdíl mezi členy na pravé a na levé straně) této přibližné rovnosti? Abychom získali kvantitativní odhady této chyby, sám fakt, že ex- istuje f ( x), je nedostatečný. Proto obvykle při analýze chyb přibližných metod numerické derivace požadujeme, aby měla daná funkce derivaci řádu vyššího než počítaná derivace. Necht' xi = x0 +ih, i = 0, 1, 2, . . . , kde h > 0 je krok. Položme fi = f(xi), fi = f ( xi), atd. Předpokládejme, že f C2 ([x0, x1], R). Potom lze dokázat, že existuje bod takový, že f0 = f1 - f0 h - h 2 f ( ), x0 < < x1. (7.3.1) Je-li f C3 ([x-1, x1], R), pak lze dokázat, že existuje bod takový, že f0 = f1 - f-1 2h - h2 6 f ( ), x-1 < < x1. (7.3.2) Pokud f C(4) [x-1, x1], pak lze dokázat, že existuje bod takový, že f0 = f-1 - 2f0 + f1 h2 - h4 12 f(4) ( ), x-1 < < x1. (7.3.3) Přesné hodnoty , nebo určit nejdou, v každém jednotlivém případě zavisí na kokrétním typu numericky derivované funkce. Vztahy (7.3.1) - (7.3.3) se nazývají vzorce pro numerické derivování se zbytkem a vztahy f0 f1 - f0 h , f0 f1 - f-1 2h , f0 f-1 - 2f0 + f1 h2 jednoduše vzorce pro numerické derivování. Chyby těchto vzorců jsou f 0 - f1 - f0 h h 2 max [x0,x1] |f ( x)|, (chyba je prvního řádu vzhledem k h (nebo je řádu h)); f 0 - f1 - f-1 2h h2 6 max [x-1,x1] |f ( x)|, (říkáme, že chyba zde a v následujícím vztahu je druhého řádu vzhledem k h (neboli je řádu h2 )), f 0 - f-1 - 2f0 + f1 h2 h2 12 max [x-1,x1] |f(4) (x)|. MATEMATIKA 1B 124 7.4 Derivování s programem Maple Derivování pomocí programu Maple se provádí pomocí příkazu "diff". Prvním argumentem tohoto příkazu je výraz, který má být zderivován, druhým argu- mentem je proměnná, vzhledem k níž budeme derivovat. Příklad 7.4 Najděte derivaci funkce f(x) = sin x tan x. pomocí Maple. Řešení. Napišme odpovídající příkaz v Maple: diff(sin(x)*tan(x),x); Výsledek vypsaný programem Maple je tvaru: cos(x) tan(x) sin(x)(1 + tan(x)2 ) Příklad 7.5 Najděte derivaci funkce xxx . pomocí programu Maple. Řešení. Napišme odpovídající příkaz v Maple: diff(x^(x^x),x); Výsledek vypsaný programem Maple je tvaru: x(xx) x x (ln(x) + 1) + xx x 7 .5 Inverzní trigonometrické funkce a jejich derivace ˇ funkce y = arcsin x (arkus sinus) je inverzní k funkci y = sin x; platí: arcsin(sin x) x, sin(arcsin x) x, x Df = [-1, 1]. Odvodíme vzorec pro derivaci funkce y = arcsin x : y = arcsin x = x = sin y; podle vzorce (6.24.28) dostáváme y ( x) = 1 x (y) = 1 cos y = 1 1 - sin2 y = 1 1 - x2 , a nakonec (arcsin x) = 1 1 - x2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 125 ˇ funkce y = arccos x (arkus kosinus) je inverzní k funkci y = cos x; platí arccos(cos x) x, cos(arccos x) x, x Df = [-1, 1]. Podobně jako výše můžeme odvodit derivaci (arccos x) = -1 1 - x2 ˇ y = arctg x (arkus tangens) je inverzní k funkci y = tg x; arctg(tg x) x, tg(arctg x) x, x Df = (-, +), y ( x) = 1 x (y) = 1 (tg y) = 1 1 cos2 y = cos2 y = 1 1 + tg2 y = 1 1 + x2 , (arctg x) = 1 1 + x2 ˇ y = arccotg x (arkus kotangens) je inverzní k funkci y = cotg x; arccotg(cotg x) x, cotg(arccotg x) x, x Df = (-, +). (arccotg x) = -1 1 + x2 7.6 Derivace hyperbolických funkcí ˇ (sinh x) = cosh x ˇ (cosh x) = sinh x ˇ (tgh x) = 1 cosh2 x ˇ (cotgh x) = -1 sinh2 x 7.7 Derivace inverzních hyperbolických funkcí ˇ y = (argsinh x) = 1 1+x2 , x R, ˇ y = (argcosh x) = 1 x2-1 , x > 1, ˇ y = (argtgh x) = 1 1-x2 , |x| < 1, ˇ y = (argcotgh x) = 1 1-x2 , |x| > 1 Dokažme první vzorec: y = argsinh x = x = sinh y , y ( x) = 1 x (y) = 1 cosh y = 1 1 + sinh2 y = 1 1 + x2 . MATEMATIKA 1B 126 7.8 Klasifikace funkcí 1. Základní elementární funkce Definice 7.6 Třída základních elementárních funkcí zahrnuje následující funkce: (a) mocninná funkce y = x , x R, N; (b) exponenciální funkce y = ax , a > 0, a = 1; logaritmická funkce y = loga x, a > 0, a > 1; (c) trigonometrické funkce (sin x, cos x, tg x, cotg x) a inverzní trigonometrické funkce (arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x). 2. Elementární funkce Definice 7.7 Funkce, které vzniknou ze základních elementárních funkcí a konstant pomocí konečného počtu aritmetických operací a skládání funkcí se nazývají elemen- tární funkce. Např. y = arcsin 1 + cos x 1 - ex je elementární funkce. 3. Algebraické funkce Definice 7.8 Algebraická funkce je funkce y = y(x) daná algebraickou rovnicí Pn(x)yn + Pn-1(x)yn-1 + + P1(x)y + P0(x) = 0, kde Pj(x), j = 1, 2, . . . , n jsou polynomy. Speciální případy: y = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (pro P1(x) -1, Pj(x) 0, j > 1) nebo y = -P0(x) P1(x) (pro Pj(x) 0, j > 1). 4. Transcendentní funkce Definice 7.9 Každá funkce, která nepatří do třídy algebraických funkcí, se nazývá transcendentní. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 127 7.9 Některé věty o diferencovatelných funkcích Podobně, jako jsme v části 6.14 na straně 108 věnovali pozornost některým typickým vlastnostem spojitých funkcí, uvedeme nyní několik vlastností funkcí, které mají derivaci. Názvy vět historicky souvisí s těmi matematiky, kteří dané vlastnosti poprvé prozkoumali. Všechny věty mají zřetelnou a výraznou geometrickou interpretaci. Pokuste se proto sami příslušné vztahy znázornit geometricky. Níže kvůli jednoduchosti předpokládáme, že a < b. Není to ale striktní požadavek, může platit i opačná nerovnost. Věta 7.10 (Fermatova věta) Jestliže a) f(x) C na [a, b], b) v bodě nabývá f(x) své nejvyšší (nebo nejnižší) hodnoty c) f ( ) pak f ( ) = 0. Věta 7.11 (Rolleova věta) Jestliže a) f(x) C na [a, b], b) f(x) C1 na (a, b), c) f(a) = f(b) pak (a, b) takové, že f ( ) = 0. Pokud se váme nepovedlo rozluštit geometrický význam této věty, podívejte se na přiložený náčrtek 7.9.1. Uvedené věty nebudeme dokazovat. Uvedeme ještě poslední větu, která je důsledkem předchozí Rolleovy věty, ale je častěji používaná při přibližných výpočtech. Věta 7.12 (Lagrangeova věta) Jestliže a) f(x) C na [a, b], b) f(x) C1 na (a, b) pak (a, b) takové, že f ( ) = f(b) - f(a) b - a . Vysvětlení geometrického významu Lagrangeovy věty je o něco složitější než v předchozí větě. Náčrtek 7.9.2 vám ve správné orientaci pomůže. Často je Lagrangeova věta přepisována v tomto tvaru: f(b) - f(a) = f ( )(b - a). Pokud například položíme b = x0 + , a = x0, pak je podle posledního vzorce přírůstek funkce f(x) v bodě x0 roven f(x0)f(x0 + ) - f(x0) = f ( ), kde je číslo, nacházející se mezi body x0 a x0 + . Jeho přesnou hodnotu neznáme. Také neděláme žádný předpoklad o veličině přírůstku, který může být jak kladný, tak i záporný. Pokud > 0, pak x0 < x0 + a (x0, x0 + ). V případě, že < 0 je x0 + < x0 a (x0 + , x0). MATEMATIKA 1B 128 Obrázek 7.9.1: Geometrický význam Rolleovy věty Obrázek 7.9.2: Geometrický význam Lagrangeovy věty 7.10 L'Hospitalovo pravidlo Nyní bez důkazu uvedeme formulaci jednoho z nejdůležitějších pravidel při výpočtu limit. Toto pravidlo je užitečné zejména při počítání těch limit, ve kterých dochází se vyskytují neurčité výrazy typu 0 0 nebo . Věta 7.13 (L'Hospitalovo pravidlo) Jestliže lim xx0 () f(x) = lim xx0 () (x) = 0 (), a existuje limita lim xx0 () f ( x) (x) , pak platí lim xx0 () f(x) (x) = lim xx0 () f ( x) (x) . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 129 Toto pravidlo je jedním z nejdůležitějších pravidel diferenciálního počtu a má mnoho analogií, užitečných i při výpočtu limit posloupností. Při jeho formulaci jsme souhrnně uvedli všechny možnosti, které pravidlo zahrnuje. Tzn., že bud' lim xx0 f(x) = lim xx0 (x) = 0 nebo lim xx0 f(x) = lim xx0 (x) = + nebo lim xx0 f(x) = lim xx0 (x) = - nebo lim x+ f(x) = lim x+ (x) = 0, atd. Tím však výčet všech možností nekončí. Můžeme totiž uvažovat i jednostranné limity, tedy případy, kdy x x+ 0 nebo x x- 0 . Ilustrujme nyní L'Hospitalovo pravidlo na příkladu. Příklad 7.14 Najděte limitu lim x0 sin x x . Řešení. Jde o limitu typu 0 0 . Použití L'Hospitalova pravidla dává lim x0 sin x x = lim x0 cos x 1 = 1. Příklad 7.15 Najděte limitu lim x ln x x . Řešení. Jde o limitu typu . Použití L'Hospitalova pravidla dává lim x ln x x = lim x 1 x 1 = 0. Zkuste nyní pomocí uvedeného pravidla vypočítat všechny limity, které jsme uvedli v části 6.9, na str. 104. MATEMATIKA 1B 130 7.11 Testování monotónnosti funkce Věta 7.16 (Nutné podmínky monotónnosti funkce) Jestliže f ( x) na (a, b) a 1) f(x) roste na (a, b) = f ( x) 0 na (a, b), 2) f(x) klesá na (a, b) = f ( x) 0 na (a, b), 3) f(x) je rovno konstantě na (a, b) = f ( x) = 0 na (a, b). Věta 7.17 (Dostatečné podmínky pro monotónnost) Jestliže f(x) C na [a, b], f ( x) C1 na (a, b) a 1) f ( x) > 0 na (a, b) = f(x) roste na [a, b], 2) f ( x) < 0 na (a, b) = f(x) klesá na [a, b], 3) f ( x) = 0 na (a, b) = f(x) k na [a, b]. 7.12 Extrémy funkcí Nyní využijeme získané poznatky pro nalezení extrémů funkcí, které jsou na uvažovaných intervalech spojité a také zde mají spojité derivace. Při hledání souvislostí s předchozími částmi textu podtrhujeme zejména skutečnost, že existence extrémů spojitých funkcí na uzavřených intervalech je garantována Weierstrassovou větou (viz 6.19, str. 103). Definice 7.18 Bod x0 se nazývá bodem lokálního maxima (lokálního minima) funkce f(x) jestliže f(x0) f(x), x O(x0) (f(x0) f(x), x O(x0)). Nahradíme-li neostré nerovnosti nerovnostmi ostrými, hovoříme o bodu ostrého lokálního maxima (ostrého lokál- ního minima). Definice 7.19 Body, v nichž funkce nabývá svého maxima nebo minima se souhrnně označují jako body extrému. Hodnota funkce v těchto bodech se nazývá extrém. Věta 7.20 (Nutná podmínka pro existenci extrému) Jestliže funkce f(x) má ex- trém v bodě x0, pak je její derivace v tomto bodě (pokud existuje) rovna nule, nebo derivace v tomto bodě neexistuje. 7.13 Postačující podmínky existence extrémů Předchozí věta byla větou nutnou. Negarantovala tedy existenci extrému. Uvedeme nyní tři podmínky garantující existenci extrému. Ve formulaci věty vždy uvažujeme některé malé okolí bodu x0. Věta 7.21 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 131 A) Je-li derivace f ( x) kladná pro x < x0 a záporná pro x > x0, pak je bod x0 bodem ostrého lokálního maxima. Je-li derivace f ( x) záporná pro x < x0 a kladná pro x > x0, pak je bod x0 bodem ostrého lokálního minima. B) Je-li f ( x0) = 0 a navíc ˇ f ( x0) > 0, pak je bod x0 bodem ostrého lokálního minima, ˇ f ( x0) < 0, pak je bod x0 bodem ostrého lokálního maxima. C) Je-li f ( x0) = f ( x0) = . . . f(n-1) (x0) = 0, číslo n je sudé a f(n) (x0) > 0 (nebo (< 0), pak je bod x0 bodem ostrého lokálního minima (maxima). 7.14 Konvexnost a konkávnost křivky. Inflexní body. Definice 7.22 Říkáme, že oblouk křivky je konvexní, jestliže leží celý nad tečnou, vedenou kterýmkoli bodem oblouku. Oblouk křivky je konkávní, jestliže leží celý pod tečnou, vedenou kterýmkoli bodem oblouku. Definice 7.23 Bod křivky, který odděluje její konvexní oblouk od konkávního se nazývá inflexní bod. V následující větě předpokládáme, že nezávislá proměnná x patří některému intervalu. Věta 7.24 Je-li f ( x) < 0, pak oblouk y = f(x) je konkávní; je-li f ( x) > 0, pak oblouk y = f(x) je konvexní. Věta 7.25 (Nutná podmínka existence inflexního bodu) Je-li bod x0 inflexním bo- dem funkce f(x)a existuje-li druhá derivace v tomto bodě, pak je f ( x0) = 0. Věta 7.26 (Postačující podmínky existence inflexního bodu) A) Jestliže f ( x) mění znaménko, když x prochází x0, pak je bod x0 inflexním bodem. B) Jesltiže f ( x0) = 0 a f ( x0) = 0, pak je bod x0 inflexním bodem. C) Jestliže f ( x0) = f ( x0) = = f(n-1) (x0) = 0, f(n) (x0) = 0 a číslo n je liché, pak je bod x0 inflexním bodem. 7.15 Asymptoty křivky Uved'me jednoduché vzorce pro stanovení vertikálních asymptot grafu funkce y = f(x) a pro stanovení asymptot se směrnicí (s náklonem). A) Jestliže lim xx0 (x+ 0 ,x- 0 ) f(x) = , (stačí, aby platila jedna z možností), pak má křivka y = f(x) vertikální asymptotu rovnici x = x0. MATEMATIKA 1B 132 B) Jestliže existují dvě konečné limity lim x f(x) x = k a lim x (f(x) - Kx) = q, pak má křivka y = f(x) asymptotu se směrnicí danou rovnicí y = kx + q. Zde rozlišujeme dva případy - případ x + a případ x -. V každém z nich může mít graf funkce jinou asymptotu, případně asymptota v jednom směru nemusí existovat, atd. 7.16 Obecné schéma pro vyšetřování průběhu funkce Při vyšetřování průběhu funkce je nutno zejména vyšetřit: I. (a) Definiční obor Df funkce f(x). (b) Body nespojitosti; intervaly spojitosti. (c) Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a vertikální asymptoty. (d) Průsečíky se souřadnými osami. (e) Symetrie grafu funkce (sudá, lichá). (f) Periodičnost funkce. II. Intervaly monotónnosti; body extrému a extrémy. III. Intervaly konvexnosti a konkávnosti; inflexní body. IV. Chování v nekonečnu, asymptoty se směrnicí. Příklad 7.27 Sestrojte graf funkce y = 3x5 - 5x3 + 2. Řešení. Položme f(x) = 3x5 - 5x3 + 2. Najdeme první a druhou derivaci: f ( x) = 15x4 - 15x2 = 15x2 (x - 1)(x + 1), f ( x) = 60x3 - 30x = 30x(2x2 - 1) = 30x( 2x - 1)( 2x + 1). První derivaci položíme rovnu nule a určíme kořeny, tj. stacionární body. Dostaneme x1,2 = 0, x3 = 1, x4 = -1. Extrém tedy může nastat v bodech (-1; 4), (0; 2), (1; 0). Rozhodneme o existenci extrému pomocí druhé derivace. Protože f ( -1) = -30 < 0 nastává v bodě (-1; 4) ostré lokální maximum funkce f. Dále máme f ( 0) = 0. Proto nemůžeme o existenci extrému Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 133 rozhodnout na základě druhé derivace. Pro bod x = 1 máme f ( 1) = 30 > 0 a v bodě (1; 0) je ostré lokální minimum. Ukažme, že bod (0; 2) je inflexním bodem. Skutečně f ( x) = 180x2 - 30 a f ( 0) = -30. Derivace třetího řádu (tedy lichá) je nenulová. Hledejme další inflexní body. Druhá derivace je rovna nule v následujících případech: x1 = - 1 2 , x2 = 0, x3 = 1 2 . Bod x2 jsme již analyzovali, pro oba zbývající je (jak se snadno můžeme přesvědčit) třetí derivace nenulová a proto se také jedná o inflexní body. Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti. Tyto intervaly od sebe oddělují inflexní body. Proto stačí rozhodnout o znaménku druhé derivace v daném intervalu. Dostáváme: f < 0, x - , -1 2 a funkce f je zde konkávní, f > 0, x - 1 2 , 0 a funkce f je zde konvexní, f < 0, x 0 , 1 2 a funkce f je zde konkávní a, nakonec, f < 0, x 1 2 , a funkce f je zde konvexní. Funkce f nemá žádné asymptoty. Její graf je na obrázku 7.16.3. 7.17 Některé numerické metody řešení nelineárních rovnic a soustav rovnic 7.17.1 Metoda půlení (Metoda rozdělování úsečky na dva stejné díly) Uvažujme rovnici f(x) = 0, kde funkce f(x) je spojitá na [a, b] a f(a) f(b) < 0. MATEMATIKA 1B 134 Obrázek 7.16.3: Graf funkce f(x). Abychom našli kořen ležící v intervalu [a, b], rozdělíme interval na polovinu. Jestliže f((a+ b)/2) = 0, pak = (a + b)/2 je kořenem rovnice. Jestliže f a + b 2 = 0, vybereme ten z intervalů [a, (a + b)/2], [(a + b)/2, b], v jehož koncových bodech má funkce f(x) opačná znaménka. Tento nově vzniklý interval [a1, b1] znovu rozpůlíme a zopaku- jeme postup, až nakonec během procesu bud'to získáme přesný kořen nebo nekonečnou posloupnost vnořených intervalů [a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn], . . . takovou, že f(an) f(bn) < 0, n = 1, 2, . . . (7.17.4) a bn - an = 1 2n (b - a). Pokud levé koncové body a1, a2, a3, . . . , an, . . . tvoří monotónní neklesající omezenou posloupnost a pravé koncové body b1, b2, b3, . . . , bn, . . . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 135 monotónní nerostoucí posloupnost, pak existuje společná limita = lim n an = lim n bn. Přibližujeme-li se limitě v (7.17.4) pro n , dostáváme [f()]2 0, tedy f() = 0, což znamená, že je kořenem rovnice. Je zřejmé, že 0 - an 1 2n (b - a). 7.17.2 Metoda proporciálních částí Předpokládejme, že f(a) < 0, f(b) > 0. Potom je místo půlení intervalu [a, b] přirozenější rozdělit interval v poměru f(a) : f(b) . Tím dostáváme odpovídající hodnotu kořene x1 = a + h1, kde h1 = -f(a) -f(a) + f(b) (b - a) = -f(a) f(b) - f(a) (b - a). Aplikujeme-li tento postup na interval [a, x1] nebo [x1, b] v jejichž koncových bodech má funkce f(x) opačná znaménka, dostáváme druhou aproximacei kořene x2, atd. Geomet- ricky je metoda proporcionálních částí ekvivalentní nahrazení křivky y = f(x) tětivou procházející body A[a, f(a)], B[b, f(b)]. Skutečně, rovnice tětivy AB je x - a b - a = y - f(a) f(b) - f(a) . Položíme-li x = x1 a y = 0, dostáváme x1 = a - f(a) f(b) - f(a) (b - a). Předpokládejme, že f ( x) > 0 pro a x b (případ f ( x) < 0 se redukuje na náš případ, pokud napíšeme rovnici jako: -f(x) = 0). Pak bude křivka y = f(x) konkávní a tedy bude ležet pod tečnou AB. Mohou nastat dva případy: f(a) > 0 a f(a) < 0. V prvním případě je koncový bod a pevný a postupné aproximace x0 = b, xn+1 = xn - f(xn) f(xn) - f(a) (xn - a), n = 0, 1, 2, . . . MATEMATIKA 1B 136 tvoří omezenou posloupnost a a < < < xn+1 < xn < < x1 < x0. Ve druhém případě je koncový bod b pevný a postupné aproximace x0 = a, xn+1 = xn - f(xn) f(b) - f(xn) (b - xn), n = 0, 1, 2, . . . tvoří omezenou rostoucí posloupnost a x0 < x1 < < xn < xn+1 < < < b. Lze dokázat, že lim n xn = , and f() = 0. 7.17.3 Newtonova metoda (Metoda tečen) Necht' existuje kořen rovnice f(x) = 0. Newtonova metoda je ekvivalentní nahrazování malých částí oblouku křivky y = f(x) tečnou vedenou bodem křivky. Předpokládejme, že f ( x) > 0 pro a x b a f(b) > 0. Vyberme např. x0 = b, pro nějž f(x0) f ( x0) > 0. Ved'me tečnu ke křivce y = f(x) bodem B0(x0, f(x0)). Pro první aproximaci x1 kořene vezměme úsek vyt'atý na ose x touto tečnou. Bodem B1(x1, f(x1)) znovu vedeme tečnu, jejíž x-ová souřadnice průsečíku dává druhou aproximaci x2 kořene atd. Je zřejmé, že rovnice tečny v bodě Bn(xn, f(xn)), n = 0, 1, 2, . . . je y - f(xn) = f ( xn)(x - xn). Položíme-li y = 0, x = xn+1, dostáváme vzorec xn+1 = xn - f(xn) f (xn) . (7.17.5) Všimněme si, že v našem případě pokládáme x0 = a a tedy f(x0) f ( x0) < 0. Pokud bychom vedli tečnu ke křivce y = f(x) bodem A(a, f(a)), dostali bychom bod x1 , který leží vně intervalu [a, b] a metoda by selhala. Věta 7.28 Jestliže f(a) f(b) < 0, f ( x), f ( x) jsou nenulové a zachovávají znaménko na a x b, pak lze z počáteční aproximace x0 [a, b], pro niž f(x0) f ( x0) > 0 užitím Newtonovy metody (7.17.5) vypočítat samotný kořen rovnice f(x) = 0 s libovolnou přesností. Pro přesnost lze teoreticky odvodit vzorec - xn| C (xn - xn-1)2 , ve kter0m je kde C je konstanta (její hodnota není v teorii přesně vymezena). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 137 7.17.4 Iterační metoda Uvažujme rovnici f(x) = 0, (7.17.6) kde f(x) je spojitá funkce. Úlohou je určit reálné kořeny rovnice(7.17.6). Předpokládejme, že rovnice (7.17.6) je ekvivalentní nové rovnici x = (x). (7.17.7) Způsobů, jak vybrat funkci je mnoho. Často například volíme (x) := x + f(x), kde je vhodná konstanta. Necht' je číslo x0 počáteční iterací některého kořene rovnice (7.17.7). Dosadíme ji do pravé strany (7.17.7)a dostaneme číslo x1 = (x0). (7.17.8) Nyní opět dosadíme x1 do pravé strany rovnice (7.17.7) a dostaneme nové číslo x2 = (x1). Opakováním tohoto procesu dostáváme posloupnost čísel xn = (xn-1), n = 1, 2, . . . . Je-li tato posloupnost konvergentní, pak limita = lim n xn je kořenem (7.17.6). Obrázek 7.17.4: Konvergující iterační proces Věta 7.29 Necht' funkce je definována a diferencovatelná na intervalu [a, b] a hodnoty (x) [a, b] pro každé x [a, b]. Předpokládejme navíc, že existuje číslo q takové, že | ( x)| q < 1 MATEMATIKA 1B 138 pro x (a, b). Pak iterační proces xn = (xn-1), n = 1, 2, . . . konverguje, bez ohledu na počáteční hodnotu x0 [a, b]; limitní hodnota = limn xn je jediným kořenem rovnice x = (x) na intervalu [a, b]. Poznámka 7.30 Iterační proces může divergovat: Obrázek 7.17.5: Divergující iterační proces 7.17.5 Odhad chyby iterační metody Pro iterační metodu máme | - xn| qn 1 - q |x1 - x0|. Dá se dokázat, že platí nerovnost | - xn| q 1 - q |xn - xn-1|. Příklad 7.31 Najděte reálné kořeny rovnice x - sin x = 0, 25 na tři platné číslice. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 139 Řešení. Zapišme rovnici (7.31) ve tvaru x = sin x + 0, 25. Grafickým rozborem zjišt'ujeme, že rovnice má v intervalu [1, 1; 1, 3] jeden reálný kořen , přibližně rovný číslu 1, 2. Položme x0 = 1, 2 a (x) = sin x + 0, 25. Protože ( x) = cos x a | ( x)| 0, 62 = q, x (0, 9; 1, 5), pak xn = sin xn-1 + 0, 25, n = 1, 2, . . . . Tyto odhady leží v intervalu (0, 9; 1, 5) a xn pro n . Kontruujme aproximace xn, n = 1, 2, . . . , až dvě sousední aproximace xn-1, xn budou vyhovovat požadavkům na chybu 1 - q q = 0, 51 1 2 10-2 0, 0025. Máme x1 = sin 1, 2 + 0, 25 = 1, 182, x2 = 1, 175, x3 = 1, 173, x4 = 1, 172, x5 = 1, 172. Tedy = 1, 17 0, 005. 7.17.6 Řešení rovnic pomocí programu Maple Příklad 7.32 Najděte reálný kořen rovnice x - sin x = 0, 25 pomocí programu Maple (viz Příklad 7.31). Řešení. Napišme odpovídající příkaz pro Maple: s:=solve({x=sin(x)+0.25},{x}); Výsledek vypsaný programem Maple má tvar: s:={x=1.171229653} Příklad 7.33 Najděte kořeny polynomické rovnice x6 + 4x5 + 4x4 - x2 - 4x - 4 = 0 pomocí Maple. MATEMATIKA 1B 140 Řešení. Napišme odpovídající příkaz pro Maple: s:=solve({x^6+4*x^5+4*x^4-x^2-4*x-4},{x}); Výsledek vypsaný programem Maple má tvar: s:={x=1},{x=-1},{x=I},{x=-I},{x=-2},{x=-2} Skutečně, rovnice může být zapsána ve tvaru: x6 + 4x5 + 4x4 - x2 - 4x - 4 = (x2 + 1)(x2 - 1)(x + 2)2 = 0. Vyřešme tento příklad pomocí substituce: poly:=x^6+4*x^5+4*x^4-x^2-4*x-4; Maple dává: poly := x6 + 4x5 + 4x4 - x2 - 4x - 4 Potom příkaz solve(poly=0,x); dává tento výsledek: 1, -1, I, -I, -2, -2 Příklad 7.34 Najděte kořeny polynomické rovnice x3 - 6x + 2 = 0 pomocí Maple. Řešení. Obvyklý příkaz s:=solve({x^3-6*x+2},{x}); dává jako výsledek nejasná transcendentní čísla. Pak je možno použít příkaz s:=fsolve({x^3-6*x+2},{x}); Tak dostáváme s:={x=-2.601679132},{x=.3398768866},{x=2.261802245} Příklad 7.35 Najděte kořeny polynomické rovnice x4 + 4x + 1 = 0 pomocí Maple. Řešení. Obvyklý příkaz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 141 s:=solve({x^4+4*x+1},{x}); odkazuje na kořeny téže rovnice s := {x = RootOf( Z4 + 4 Z + 1)} Příkaz s:=fsolve({x^4+4*x+1},{x}); dává pouze reálné kořeny s:={x=-1.493358557},{x=-.2509921575} Všechna řešení této polynomiální rovnice dostaneme pomocí příkazu s:=fsolve({x^4+4*x+1},{x}, complex); Dostáváme s:={x=-1.493358557},{x=-.2509921575}, {x=.8721753570-1.381031598*I},{x=.8721753570+1.381031598*I} 7.18 Vektorová funkce skalárního argumentu 7.18.1 Vektorová funkce. Hodograf. Z vektorové algebry víme, že vektor A, jehož průměty na osy jsou po řadě rovny x, y a z, lze zapsat jako A = xi + yj + z,k kde i, j a k jsou jednotkové vektory souřadných os. Jsou-li průměty x, y a z konstanty, říkáme, že vektor A je konstantní. Nyní předpokládejme, že průměty vektoru jsou funkce parametru t pohybujícího se v rozmezí daného intervalu: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Pak říkáme, že vektor A sám je variabilní: každé hodnotě t parametru odpovídá jistá (vektorová) hodnota A: A(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Definice 7.36 Jestliže každé hodnotě parametru t z daného intervalu odpovídá jistý vektor A(t), nazýváme A(t) vektorovou funkcí skalárního argumentu t. MATEMATIKA 1B 142 Je pohodlné položit počátek vektoru A(t) do počátku souřadné soustavy; pak při změně hodnoty t koncový bod vektoru A(t) (se souřadnicemi x(t), y(t), z(t)) opíše křivku L, pro kterou vztahy x = x(t), y = y(t), z = z(t) slouží jako parametrické rovnice. Vektor A(t) není nic jiného než radius vektor r pohybujícího se bodu M křivky L. Tuto křivku lze specifikovat pomocí jediné vektorové rovnice r = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Definice 7.37 Křivka L popsaná koncovým bodem proměnného vektoru A(t) začínajícího v počátku se nazývá hodograf vektorové funkce r = A(t). Počátek se pak nazývá pólem hodografu. 7.18.2 Limita a spojitost vektorové funkce Definice 7.38 Říkáme, že vektor B je limitou vektorové funkce A(t) as t t0, zapisu- jeme lim tt0 A(t) = B, jestliže pro všechny hodnoty t ležící dostatečně blízko t0 je modul rozdílu vektorů |A(t)-B| libovolně malý. Je-li A(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k a B = ai + bj + ck, pak |A(t) - B| = [ x(t) - a]2 + [y(t) - b]2 + [z(t) - c]2. Je zřejmé, že podmínka, aby se |A(t) - B| blížilo k nule pro t t0 má za důsledek x(t) a, y(t) b, z(t) c. Obrácené tvrzení platí samozřejmě také. Takže lze stručně prohlásit, že průměty limit vektorové funkce A(t) jsou rovny limitám jejich průmětů. Definice 7.39 Říkáme, že vektor A(t) je spojitý pro danou hodnotu t parametru, jestliže je definován v okolí bodu t a jestliže lim t0 |A(t + t) - A(t)| = lim t0 |A(t)| = 0. Necht' je rozklad vektoru A(t) na složky podle souřadných os A(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 143 Pak A(t + t) = x(t + t)i + y(t + t)j + z(t + t)k a, podle pravidel vektorové algebry, A(t) = A(t + t) - A(t) = xi + yj + zk , kde x = x(t + t) - x(t) atd. Protože |A(t)| = x2 + y2 + z2, podmínka |A(t)| 0 implikuje, že x 0, y 0, z 0. Obrácené tvrzení je také zřejmé: Jestliže x, y, z 0 jde k nule, |A(t)| jde také k nule. To znamená, že spojitost vektorové funkce A(t) je ekvivalentní spojitosti jejích průmětů x(t), y(t), z(t). 7.18.3 Derivace vektorové funkce Zkonstruujme poměr A(t) t = A(t + t) - A(t) t . Definice 7.40 Derivace vektorové funkce A(t) je limita (pokud existuje) lim t0 A(t) t = A ( t) = dA(t) t . Podle definice limity je derivace vektorové funkce také vektor. Je-li modul vektorové funkce A(t) konstanta (zatímco směr se může měnit), její derivace A ( t) je vektor kolmý k původnímu vektoru A(t). Opravdu, v tomto případě leží hodograf na sféře, a tedy jeho derivace A ( t), tečna k hodografu, je kolmá k vektoru průvodiči A(t). Tedy derivace vektoru s konstantním modulem je k danému vektoru kolmá. Nyní prakticky určíme derivaci A ( t) dané vektorové funkce A(t). Necht' je vektorová funkce A(t) určena svým rozkladem A(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Pak máme A(t) t = x t i + y t j + z t k. Při limitním přechodu pro t 0 dostáváme A ( t) = x ( t)i + y ( t)j + z ( t)k. Z toho vyplývá, že |A ( t)| = x 2 + y 2 + z 2 . MATEMATIKA 1B 144 7.18.4 Základní pravidla pro derivování vektorové funkce Využijeme-li vyjádření derivace A ( t), lze lehce ukázat, že všechna základní pravidla o derivování pro saklární funkce lze téměř beze změny přenést na vektorové funkce: 1. [A1(t) + A2(t)] = A1 (t) + A2 (t); 2. [f(t)A(t)] = f ( t)A(t) + f(t)A ( t) kde f(t) je skalární funkce. Pravidla pro derivování skalárního a vektorového součinu A1(t) A2(t) a A1(t) × A2(t) dvou vektorových funkcí jsou také zcela analogické odpovídajícím pravidlům pro součin skalárních funkcí: 1. [A1(t) A2(t)] = A1 (t) A2(t) + A1(t) A2 (t); 2. [A1(t) × A2(t)] = A1 (t) × A2(t) + A1(t) × A2 (t). 7.18.5 Aplikace v mechanice Necht' t je čas pohybu a necht' hodograf vektorové funkce r = A(t) je trajektorie bodu M. Vzdálenost bodu M od pevného počátečního bodu budeme označovat s a počítáme ji podle trajektorie a bereme se znamínkem + nebo - v závislosti na tom, zda se bod M od počátečního bodu pohybuje v kladném nebo záporném směru. Poloha bodu M je plně určena veličinou s, což je křivková souřadnice bodu M. Rovnice s = s(t) vyjadřuje zákon pohybu podél trajektorie. Podle definice je rychlost v daném bodě M v daném časovém okamžiku t dána derivací vektorové funkce r = A(t) podle času: v = dr dt = A ( t). Následně vektor rychlosti pohyblivého bodu je tečný vektor k trajektorii v odpovídajícím bodě ve směru pohybu. Modul rychlosti je vyjádřen vztahem |v| = |A ( t)| = ds dt , tedy, je roven derivaci křivkové souřadnice s vzhledem k t. Je-li pohyb přímočarý, skalární veličina ds dt plně určuje rychlost. Tuto veličinu nazýváme rychlostí přímočarého pohybu v daném bodě. Vektor w = dv dt = d2 r dt2 se nazývá zrychlení pohybu. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 145 7.19 Komplexní funkce reálné proměnné 7.19.1 Definice komplexní funkce Předpokládejme, že je dána vektorová funkce skalárního argumentu, jejíž průmět na osu z je identicky roven nule pro všechny hodnoty parametru t. Pak A(t) = x(t)i + y(t)j (7.19.9) a křivka r = A(t) leží celá v rovině Oxy. V tomto případě je vhodné uvažovat vektor r = xi + yj jako geometrický obraz komplexního čísla z = x + iy a mluvit, ve shodě s tímto, místo o vektorové funkci r(t) = x(t)i + y(t)j o komplexní funkci z(t) = x(t) + iy(t) reálné proměnné t. Definice 7.41 Je-li každé hodnotě reálného parametru t přiřazeno komplexní číslo z(t) = x(t) + iy(t), (7.19.10) kde x(t) a y(t) jsou funkce nabývající reálných hodnot, z(t) se nazývá komplexní funkce reálného argumentu t. Parametr t se pohybuje uvnitř intervalu. Hodograf komplexní funkce z(t) = x(t) + iy(t) je podle definice křivka s parametrickými rovnicemi x = x(t), y = y(t); tedy hodograf vektorové funkce (7.19.9) a komplexní funkce (7.19.10) jsou totožné. Definice limity a spojitosti komplexní funkce jsou zcela analogické odpovídajícím definicím pro vektorové funkce. Všimněte si, že spojitost komplexní funkce z(t) = x(t) + iy(t) je ekvivalentní spojitosti její reálné a imaginární části x = x(t) and y = y(t). Hodograf spojité funkce z(t) vykreslený pro parametr t v intervalu (t1, t2) je spojitá čára spojující body z(t1) a z(t2) v komplexní rovině. Příklad 7.42 Pro funkci z(t) = t + it2 , t (-, +) máme x = t a y = t2 . Hodografem je parabola y = x2 . Pro t nabývající hodnot od - do + opíše pohyblivý bod paraboly křivku tak, že horní (nekonečná) oblast omezená parabolou zůstává vždy vlevo. 7.19.2 Derivace komplexní funkce reálné proměnné Derivace komplexní funkce z(t) je definována běžným způsobem, tj. jako podíl přírůstku funkce z = z(t + ) - z(t) a přírůstku nezávisle proměnné t: z ( t) = lim t0 z t . MATEMATIKA 1B 146 Tedy derivace z ( t) je komplexní funkcí téhož argumentu. Geometricky lze derivaci interpretovat tak, že vektor odpovídající komplexnímu číslu z ( t0) je rovnoběžný s tečnou k hodografu funkce z(t) v bodě hodografu, který odpovídá hodnotě parametru t = t0. Pro danou komplexní funkci z(t) = x(t) + iy(t) dostáváme vztah pro derivování z ( t) = x ( t) + iy ( t). Tento vztah naznačuje, že komplexní funkce z(t) = x(t) + iy(t) může být derivována jednoduše jako lineární kombinace, v níž i je považováno za běžnou konstantu. 7.20 Shrnutí Seznámili jsme se s derivacemi vyšších řádů a s jejich použitím. Ukázali jsme si použití derivací pro výpočet některých typů limit. " L'Hospitalovo pravidlo" můžeme použít pouze v případě, kdy určujeme limitu vedoucí na neurčitý výraz. Naučili jsme se jak studovat průběh funkce. Body, v nichž se mohou nacházet extrémy funkce, určujeme pomocí první derivace. Zda se jedná o extrém a o jaký, zdali mini- mum či maximum, rozhodujeme vetšinou podle derivací vyšších řádů. Limity jsme použili pro stanovení asymptot. Vertikálních i s náklonem. Funkce je rostoucí čí klesající podle toho, zda je první derivace kladná či záporná. Konvexnost a konkávnost křivky závisí na znaménku druhé derivace. V souhrnu získáváme všechny podstatné udaje pro konstrukci grafu fukce. Opět můžeme využít vhodného programového vybavení a ulehčit si práci. Při určování derivací vyšších řádů je důležité provádět i algebraické upravy. Pokud provedeme vhodné úpravy, můžeme si výrazně ulehčit další výpočet. 7.21 Kontrolní příklady ke kapitole 7 1. Najděte první a druhou derivaci dané funkce (a) f(x) = x2 + 3x - 1 (b) y = sin2 x (c) y = 1-cos 2x x2+2x 2. Určete třetí derivaci. (a) y = 1 1-x (b) y = sin ax 3. Určete intervaly monotónnosti daných funkcí. (a) f(x) = x2 + 1 (b) f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 147 (c) f(x) = x-1 x2-1 4. Najděte stacionární body a extrémy daných funkcí. (a) f(x) = 2-2x2 (b) f(x) = log10 (sin x), 0 < x < (c) f(x) = x2x 5. Určete intervaly konvexnosti (konkávnosti) daných funkcí. (a) f(x) = x3 + 1 (b) f(x) = -x4 + 5x3 - 2x2 + 8x - 6 (c) f(x) = x-1 x2-1 6. Vyšetřete průběh daných funkcí. (a) f(x) = e-x2 (b) f(x) = -2x4 + 2x3 - 2x2 + 2x - 2 (c) f(x) = x-1 x+1 (d) f(x) = x sin x (e) f(x) = 3 x5 + 5 3 x2 (f) f(x) = x+4 x2-4 (g) f(x) = x + sin x (h) f(x) = 2+x-x2 (x-1)2 (i) f(x) = x2+x-1 x-1 7. Danou numerickou metodou nalezněte kořen funkce f(x) = x3 - x - 1 (a) Metodou půlení (b) Metodou tečen (c) Iterační metodou 8. Derivujte následující komplexní funkce reálné proměnné (a) z(t) = t2 - 2 + i(t3 - 2t) (b) z(t) = sin(t) + i cos(t) Výsledky jsou uvedeny v části 15.7. Kapitola 8 Nekonečné číselné řady 8.1 Cíl kapitoly V inženýrských vědách existuje celá řada příkladů, kde jsou zkoumané vztahy prezen- továny pomocí součtu konečného nebo nekonečného počtu členů či čísel. Cílem této kapi- toly je definovat pojem nekonečné číselné řady a vysvětlit, co rozumíme součtem řady. Řady mohou mít konečný součet - hovoříme pak o řadách konvergentních. Nemusí mít ale žádný součet nebo součet může být roven nekonečnu. Pak hovoříme v obou těchto pří- padech o řadách divergentních. I moderní počítačové metody se mohou v případě hledání součtů řad mýlit. Příkladem, ilustrujícím toto tvrzení může být tzv. harmonická řada v této kapitole uvažovaná. Její součet je roven nekonečnu a řada je tedy divergentní. Přesto programy hledající součet této řady selžou a oznámí zadavateli, že řada má součet konečný. Příčina je v tom, že je splněna tzv. nutná podmínka konvergence řady, která úzce souvisí s faktem, že ve výpočtech začne hrát roli tzv. počítačová nula - přičítání velmi malých čísel je zanedbáno a k již zjištěnému " součtu" je v dalších krocích stále přičítána nula. Tím je zabráněno zvyšování hodnoty součtu řady. Cílem kapitoly je také uvedení kritérií pomocí kterých konvergenci či divergenci řad posuzujeme. Nejmohutnějším uvedený výsledkem v tomto směru je tzv. integrální kriterium. V kapitole se zabýváme také mocninnými řadami. V tomto směru jsou nejdůležitější Taylorova a Maclaurinova řada. Jejich výz- nam spočívá mj. v tom, že s požadovanou přesností můžeme uvažované funkce nahradit polynomy, které jsou často při výpočtech vhodnější. V neposlední řadě je cílem kapitoly uvést některé konkrétní rozklady důležitých funkcí do řad a ukázat, jak je možné využít program Maple při práci s řadami. 148 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 149 8.2 Číselné řady Definice 8.1 Výraz u1 + u2 + + un + , u R, i = 1, 2, . . . nazýváme číselnou řadou; čísla u1, u2, . . . jsou nazývána členy řady. Označme n =1 un = u1 + u2 + + un + . Výraz un je nazýván n-tým členem nebo též obecným členem (obecným prvkem) řady. Je-li dán vztah un = f(n), pak lze okamžitě zapsat libovolný člen řady. Například, je=li un = 1 2n , pak má řada tvar 1 2 + 1 4 + 1 8 + + 1 2n + . Je=li un = 1 n! , potom je řada dána takto: 1 + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n! + . Definice 8.2 Součet prvních n-členů řady: sn = u1 + u2 + + un nazýváme n-tým částečným součtem řady. Uved'me několik částečných součtů: s1 = u1, s2 = u1 + u2, . . . . . . . . . sn = u1 + u2 + + un, . . . . . . . . . . Definice 8.3 Má-li posloupnost částečných součtů {sn} dané řady konečnou limitu pro n , tj., je-li limn sn = s, pak říkáme, že řada konverguje a její limita s je nazývána součtem řady. Nemá-li posloupnost {sn} konečnou limitu, pak říkáme, že řada je diver- gentní (v tomto případě bud' {sn} nebo posloupnost {sn} nemá ani konečnou ani nekonečnou limitu; v obou případech příslušná řada nemá součet.) Příklad 8.4 Proved'te diskusi nekonečné geometrickou řady: a + aq + aq2 + + aqn-1 + . MATEMATIKA 1B 150 Řešení. Součet prvních n členů nekonečné geometrickou řady je sn = a qn - 1 q - 1 . Je-li |q| < 1, pak limn qn = 0. Proto lim n sn = a 1 - q . Nekonečná geometrická řada s |q| < 1 konverguje a její součet je s = a 1 - q . Je-li q > 1, pak limn qn = a lim n sn = , tj., řada diverguje. Položme nyní q = 1. Odpovídající n-tý částečný součet řady a + a + a + + a + (a = 0) je sn = na a konverguje k nekonečnu: limn sn = . Je-li q = -1, pak má řada tvar a - a + a - a + (a = 0). Její částečné součty jsou: s1 = a, s2 = 0, s3 = a, s4 = 0, . . . . . . . . . , tj., sn nemá žádnou limitu. Tato řada je divergentní. Samostatně ukažte, že v případě q < -1 je uvažovaná řada také divergentní. Na základě výše uvedené diskuse příkladu 8.4 můžeme získané výsledky formulovat jako větu. Věta 8.5 Nekonečná geometrická řada je konvergentní v případě, že |q| < 1 a divergentní v případě, že |q| 1. Konvergence řady je obyčejně vyšetřována bez konkrétního nalezení jejího součtu, nebot' v obecném případě není nalezení součtu jednoduchou záležitostí. Přitom jsou užívána různá kritéria (postačující podmínky)pro zjištění konvergence. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 151 8.3 Nutná podmínka konvergence číselné řady Věta 8.6 Je-li řada n =1 un konvergentní, pak její n-tý člen musí konvergovat k nule, tj., limn un = 0. Důkaz. Uvažujme částečné součty sn = nk =1 uk, sn-1 = n-1k =1 uk. Pak sn - sn-1 = un = lim n (sn - sn-1) = lim n un = lim n un = 0. Příklad 8.7 Na základě nutné podmínky konvergence rozhodněte o konvergenci či diver- genci řady 1 101 + 2 201 + 3 301 + + n 100n + 1 + . (8.3.1) Řešení. Pro limitu obecného členu řady (8.3.1) máme lim n un = lim n n 100n + 1 = 1 100 = 0. Řada je proto divergentní. Příklad 8.8 Upozorněme na to, že fakt konvergence obecného členu řady k nule když n není v obecném případě postačující podmínkou konvergence řady. Ukažme, že například tzv. harmonická řada: 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n + (8.3.2) je divergentní, přestože limita obecného členu lim n un = lim n 1 n = 0. Řešení. Skutečně, pro částečné součty s2n harmonické řady (8.3.2), kde n N máme: s2n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + + 1 16 + + 1 2n-1 - 1 + + 1 2n > > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + + 1 16 + + 1 2n + + 1 2n = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + + 1 2 = 1 + 1 2 2n-1 . Proto lim n s2n = . MATEMATIKA 1B 152 8.4 Vlastnosti konvergentních řad a) Je-li řada k=1 uk konvergentní a její součet je roven S, pak je řada k=1 uk také konvergentní a její součet je roven S. b) Jsou-li řady k=1 uk, k=1 vk konvergentní, pak je řada k=1(uk vk) také konver- gentní a platí k =1 (uk vk) = k =1 uk k =1 vk. c) Jestliže ke konvergentní řadě přidáme nebo od ní odebereme konečný počet členů, zůstane konvergentní. 8.5 Řady s kladnými členy Definice 8.9 Řadu i=1 pi nazýváme řadou s kladnými členy, je-li pi > 0. Věta 8.10 (Porovnávací věta) Uvažujme dvě řady s kladnými členy k =1 pk, k =1 qk takové, že pk qk, k = 1, 2, . . . . Je-li řada k=1 qk konvergentní, pak je řada k=1 pk také konvergentní. Je-li řada k=1 pk divergentní, pak je řada k=1 qk také divergentní. Jestliže lim k pk qk = c (0, ), pak jsou obě řady současně konvergentní nebo divergentní. Příklad 8.11 Pomocí porovnávacího kriteria ukažte, že řada k =1 1 k (8.5.3) je divergentní. Řešení. Protože můžeme odhadnout každý člen uvažované řady pomocí nerovnosti 1 k 1 k , která platí pro k 1, a protože je harmonická řada (8.3.2) divergentní, diverguje i řada (8.5.3). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 153 Věta 8.12 (D' Alembertovo podílové kritérium) Necht' je dána řada s kladnými členy k=1 uk. Jestliže a) limn un+1 un = a > 1 ( < 1), pak je řada divergentní (konvergentní ); b) un+1 un q < 1 pro každé n m N, pak je řada konvergentní; c) un+1 un 1 pro každé n m N, pak je řada divergentní. Věta 8.13 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Předpokládejme, že je dána řada s kladnými členy k=1 uk. Jestliže a) limn n un = a > 1 ( < 1), pak je řada divergentní (konvergentní ); b) n un q < 1 pro každé n m N, pak je řada konvergentní; c) n un 1 pro každé n m N, pak je řada divergentní. Nejmocnějším nástrojem pro zjišt'ování konvergence řad s kladnými členy je tzv. in- tegrální kriterium. V tomto kriteriu testujeme konvergenci či divergenci řady na základě toho zda je jistý určitý integrál konvergentní či divergentní. Určitý integrál je probírán až v Kapitole 11 a další pojmy o nevlastních integrálech jsou z kapitoly 12. Z hlediska kompaktnosti látky je však integrální kriterium zařazeno sem. Vrat'te se proto k tomuto kriteriu po prostudování uvedených kapitol znova. Věta 8.14 (Integrální kritérium) Necht' jsou členy řady k=1 uk, (uk > 0) hodnotami spojité kladné a monotónně klesají funkce f(x) definované na [1, +) pro celočíselné hodnoty argumentu x : u1 = f(1), u2 = f(2), . . . , un = f(n), . . . . Pak jsou řada k=1 uk a nevlastní integrál 1 f(x)dx současně konvergentní nebo diver- gentní. Příklad 8.15 Rozhodněte o konvergenci harmonické řady (8.3.2). Řešení. 1. Užitím D'Alembertova kritéria dostáváme: limn n n+1 = 1 = a konvergence řady není vyjasněna. Kromě toho, un+1 un = 1 - 1 n + 1 < q < 1 a tato nerovnost neplatí pro každé n m N. MATEMATIKA 1B 154 2. Užitím Cauchyova kritéria dostáváme: lim n 1 n 1n . Necht' z = n 1 n . Potom ln z = 1 n ln n a limn ln z = limn 1 n ln n = limn 1 n = 0. Proto = 1 a konvergence není vyjasněna. 3. Použijme integrální kritérium. Položme f(x) = 1 x . Potom 1 dx x = ln |x|| 1 = lim x ln |x| = +. Harmonická řada je tedy divergentní. 8.6 Řady s libovolnými členy 8.6.1 Alternující řady Definice 8.16 Alternující řada má tvar u1 - u2 + u3 - u4 + u5 - u6 + . . . , kde ui > 0, i = 1, 2, . . . . Věta 8.17 (Leibnitzova) Je-li u1 > u2 > u3 > u4 > u5 > u6 > . . . a lim n un = 0, pak je řada konvergentní. Absolutní hodnota jejího součtu je menší než u1, a pro absolutní hodnotu zbytku rn platí: |rn| < un+1. Označme s = u1 - u2 + u3 - u4 + u5 - u6 + . . . , sn = u1 - u2 + u3 - u4 + u5 - u6 + . . . (-1)n+1 un, rn = (-1)n+2 un+1 + (-1)n+3 un+2 + (-1)n+4 un+2 + . . . . Příklad 8.18 Řada s = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + . . . , je podle Leibnitzovy věty konvergentní. Najděte přibližně hodnotu jejího součtu s. Řešení. Hodnota součtu s je přibližně rovna s sn = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + + (-1)n+1 1 n a |rn| < 1 n + 1 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 155 8.6.2 Absolutní konvergence Uvažujme nyní řady n=1 un se členy libovoných znamének. Věta 8.19 Je-li řada n=1 |un| konvergentní, pak je řada n=1 un také konvergentní. Definice 8.20 Jsou-li obě řady n=1 |un|, n=1 un konvergentní, pak řadu n=1 un nazýváme absolutně konvergentní. Je-li řada n=1 un konvergentní a řada n=1 |un| je divergentní, pak řadu n=1 un nazýváme podmíněně konvergentní. 8.7 Mocninné řady Definice 8.21 Mocninnou řadou nazýváme řadu tvaru a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + + an(x - x0)n + , kde ai R, i = 0, 1, . . . , x0 R a x je nezávislá proměnná. Pro každou konkrétní hodnotu x = x R se uvedená řada stává číselnou řadou. Definice 8.22 Číslo R takové, že mocninná řada je konvergentní pro každé x vyhovující nerovnosti |x - x0| < R a divergující pro každé x vyhovující nerovnosti |x - x0| > R nazýváme poloměrem konvergence. Interval (x0 - R, x0 + R) nazýváme intervalem kon- vergence. Pro nalezení poloměru konvergence jsou užitečné následující vzorce: D'Alembertův - R = lim n a n an+1 , (8.7.4) a Cauchyův - Hadamardův - R = 1 lim sup n n | an| . (8.7.5) Příklad 8.23 Najděte poloměr konvergence mocninné řady 1 + 1!x + 2!x2 + 3!x3 + + n!xn + . . . . Řešení. Pro tuto řadu máme x0 = 0. Pro výpočet poloměru konvergence použijeme vzorec (8.7.4). Dostáváme R = lim n ( n - 1)! n! = 0. Příklad 8.24 Najděte poloměr konvergence mocninné řady 1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 + + x2n + . . . . MATEMATIKA 1B 156 Řešení. Pro tuto řadu dostáváme a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 0, a4 = 1, . . . a x0 = 0,. Pro výpočet poloměru konvergence použijeme vzorec (8.7.5). Dostáváme R = 1 lim sup n n | an| = 1. Příklad 8.25 Najděte poloměr konvergence mocninné řady 1 + x 1! + x2 2! + x2 3! + + xn n! + . . . . Řešení. Zde máme x0 = 0, a podle vorce (8.7.5) R = limn 1 (n-1)! 1 n! = . 8.8 Některé vlastnosti mocninných řad Předpokládejme, že mocninná řada má tvar a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + anxn + , tj., že v obecném tvaru mocninné řady je x0 = 0. Předpokládejme, že existuje součet S(x) = n =0 anxn , x (-R, R). Věta 8.26 Mocninná řada může být derivována (člen po členu) nebo integrována (člen po členu) ve svém konvergenčním intervalu (a to dokonce nekonečněmnohokrát); přitom poloměr konvergence každé nové řady je stejný jako výchozí poloměr konvergence. Např. platí: n =1 nanxn-1 = S ( x), x (-R, R), n =0 an n + 1 xn+1 = x 0 S(t) dt, x (-R, R). Příklad 8.27 Najděte součet řady (existuje-li): -1 + 2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + 6x5 + . . . Řešení. Označme (x) = -1 + 2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + 6x5 + . . . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 157 a najděme součet integrované řady,tj., S(x) x 0 (t) dt = - ( 1 - x + x2 - x3 + x4 - x5 + . . . ). Je snadné najít součet poslední řady - S(x) = -1 1 + x , x (-1, 1), nebot' jde o součet členů geometrické posloupnosti s kvocientem q = -x. Proto (x) = S ( x) = 1 (1 + x)2 . Ukažme na další zajímavou vlastnost: - x 0 S(t) dt = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - x6 6 + = x 0 dt 1 + t = ln(1 + x). Protože poslední řada konverguje v bodě x = 1 (jako řada s alternujícími členy) pak platí 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + = ln 2. 8.9 Taylorovy polynomy Uvažme následující problém: Jaké podmínky zaručují, že funkce f(x) může být přibližně zapsána jako polynom? Předpokládejme, že f(x) C(n) , kde n N, v okolí O (x0). Pokusme se přibližně nahradit tuto funkci f(x) polynomem f(x) . = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + + an(x - x0)n , kde a0, a1, . . . .an jsou nějaká čísla. Pokusíme se je určit. Lehce nahlédneme, že (pro x = x0) a0 = f(x0). Derivujme tento polynom. Můžeme očekávat, že bude platit přibližná rovnost f ( x) . = a1 + 2a2(x - x0) + 3a3(x - x0)2 + + nan(x - x0)n-1 . Dosazením x = x0 vidíme, že lze položit a1 = f ( x0). Analogicky očekáváme, že platí přibližný vztah f ( x) . = 2a2 + 6a3(x - x0) + + n(n - 1)an(x - x0)n-2 a, jako výše, určíme a2 = 1 2 f ( x0). Pokračujeme-li tímto způsobem, dostáváme po n-té derivaci ak = f(k) (x0) k! , k = 0, 1, 2, . . . , n. MATEMATIKA 1B 158 Dosazením těchto výrazů do původního přibližného vztahu dostáváme f(x) . = f(x0) + f ( x0)(x - x0) + f ( x0) 2! (x - x0)2 + + f ( x0) 3! (x - x0)3 + + fn (x0) n! (x - x0)n . Koeficienty ak = fk (x0) k! , k = 0, 1, 2, . . . se nazývají Taylorovy koeficienty a součty (polynomy) Tk(x) = f(x0) + f ( x0)(x - x0) + f ( x0) 2! (x - x0)2 + + f ( x0) 3! (x - x0)3 + + f(k) (x0) k! (x - x0)k , k = 0, 1, 2, . . . Taylorovy polynomy. 8.10 Taylorův vzorec Napišme f(x) = Tn(x) + Rn(x) (8.10.6) kde Tn(x) je Taylorův polynom a Rn(x) je zbytek (tj. rozdíl f(x) - Tn(x)). Následující věta ukazuje, jaký tvar má zbytek Rn(x) a jaké podmínky musí platit pro to, abychom mohli funkci f(x) vyjádřit ve tvaru (8.10.6). Věta 8.28 (Lagrangeova věta) Je-li f(x) C(n+1) na O (x0) pak Rn(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) ()(x - x0)n+1 pro všechna x O(x0), kde je číslo ležící mezi x0 a x. 8.11 Taylorova řada (Taylorův rozvoj) V této části budeme diskutovat následující úlohu: Jaké podmínky budou postačující pro to, aby bylo možné funkci f(x) vyjádřit ve tvaru součtu mocninné řady? Předpokládejme f(x) C na nějakém okolí O(x0). Jestliže bude platit vztah f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + + an(x - x0)n + , pak (pro x = x0) : dostaneme vztah a0 = f(x0). Derivováním této řady dostáváme f ( x) = a1 + 2a2(x - x0) + 3a3(x - x0)2 + + nan(x - x0)n-1 + Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 159 a podobně: a1 = f ( x0). Postupujme dále zcela analogicky: f ( x) = 2a2 + 6a3(x - x0) + + n(n - 1)an(x - x0)n-2 + a a2 = 1 2 f ( x0). V obecném případě po n-násobném derivování máme an = f(n) (x0) n! , n = 0, 1, 2, . . . . Dosazením získaných hodnot do výchozí (předpokládané) rovnosti dostáváme takzvanou Taylorovu řadu, odpovídající funkci f(x): f(x) f(x0) + f ( x0)(x - x0) + f ( x0) 2! (x - x0)2 + + f ( x0) 3! (x - x0)3 + + fn (x0) n! (x - x0)n + . Koeficienty ai = fi(x0) i! , i = 0, 1, 2, . . . jsou nazývány Taylorovými koeficienty a částečné součty Tn(x) = f(x0) + f ( x0)(x - x0) + f ( x0) 2! (x - x0)2 + + f ( x0) 3! (x - x0)3 + + fn (x0) n! (x - x0)n , n = 0, 1, 2, . . . nazýváme Taylorovými polynomy. 8.12 Rozklad funkcí do Taylorových a Maclaurinových řad Úvodem poznamenejme, že Taylorova řada ve které x0 = 0 je tradičně nazývána Maclau- rinovou řadou. Věta 8.29 Funkce f(x) může být rozložena do Taylorovy řady na některém okolí O(x0), jestliže |f(i) (x)| M, kde i = 0, 1, 2, . . . , x O(x0) a M je společnou horní hranicí pro všechny výše uvedené výrazy. 8.13 Některé Maclaurinovy řady 8.13.1 Maclaurinova řada exponenciální funkce Necht' f(x) := ex a x0 = 0. Potom f(i) (x) = ex , i = 0, 1, 2, . . . . Předpokládejme, že O(0) = (-N, N). Pak Rn(x) = 1 (n + 1)! ex xn+1 < 1 (n + 1)! eN < eN . MATEMATIKA 1B 160 Snadno vidíme, že |f(i) (x)| < eN M. Proto v souladu s Větou 8.29 ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + + xn n! + . Velikost číslo N nemá vliv na předchozí úvahy, je tedy R = . 8.13.2 Maclaurinova řada trigonometrických funkcí Uvažujme trigonometrickou funkci f(x) := sin x. Její hodnota v bodě x = 0 a hodnoty příslušných derivací v tomto bodě jsou: f(x) = sin x, f(0) = 0, f ( x) = cos x, f ( 0) = 1, f ( x) = - sin x, f ( 0) = 0, f ( x) = - cos x, f ( 0) = -1, fIV (x) = sin x, fIV (0) = 0, atd. Hodnoty derivací tvoří periodickou posloupnost 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, . . . , proto |f(n) (0)| = (sin x)(n) x =0 1, n = 0, 1, 2, . . . . Všechny podmínky Věty 8.29 platí. Řada má tvar sin x = x - x3 3! + x5 5! - x7 7! + + (-1)n x2n-1 (2n - 1)! + , a poloměr konvergence R = +. Stejným způsobem můžeme vytvořit Maclaurinovu řadu funkce cos x : cos x = 1 - x2 2! + x4 4! - x6 6! + + (-1)n x2n (2n)! + , kde R = +. 8.13.3 Některé užitečné Maclaurinovy řady konkrétních funkcí Podobně jako v předešlé části můžeme obdržet následující Maclaurinovy řady: (1 + x)m = 1 + mx + m(m - 1) 2! x2 + + m(m - 1) . . . (m - n + 1) n! xn + , ln(1 + x) = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + + (-1)n-1 xn n + , arctgx = x - x3 3 + x5 5 - x7 7 + + (-1)n-1 x2n-1 2n - 1 + , které mají poloměr konvergence R = 1. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 161 8.14 Řady a program Maple S pomocí programu Maple lze najít několik prvních členů rozvojů daných výrazů do řad. Příklad 8.30 Najděme několik prvních členů Maclaurinova rozvoje funkce y = ln(1 + x) pomocí programu Maple. Řešení. Napišme odpovídající příkaz programu Maple: series(ln(1+x), x=0); Dostaneme tento výsledek: x - 1 2 x2 + 1 3 x3 - 1 4 x4 + 1 5 x5 + O(x6 ). Člen O( ) je indikací řádu, který je již zanedbán. Příklad 8.31 Napišme několik prvních členů rozvoje do Taylorovy řady funkce y = ln(1 + x) v okolí bodu x = 1 užitím programu Maple. Řešení. Užijeme příkaz programu Maple: series(ln(1+x), x=1); Výsledek má tvar: ln(2) + 1 2 (x - 1) - 1 8 (x - 1)2 + 1 24 (x - 1)3 - 1 64 (x - 1)4 + 1 160 (x - 1)5 + O((x - 1)6 ). Příklad 8.32 Najděme tzv. asymptotický rozklad pro n funkce f(n) = n(n + 1) n2 - 3 . pomocí programu Maple. Řešení. Odpovídající příkazy programu Maple jsou f:=n*(n+1)/(n*n-3); a asympt(f,n); Pak program Maple dává: f := n(n + 1) n2 - 3 a výsledný rozklad má tvar 1 + 1 n + 3 1 n2 + 3 1 n3 + 9 1 n4 + 9 1 n5 + O 1 n6 . MATEMATIKA 1B 162 8.15 Shrnutí V této kapitole jsme se setkali s řadou základních pojmů teorie řad. Nejdůležitějším z nich je pojem součtu řady. Její definice je jednoznačná a užívá přitom částečných součtů. Při zkoumání řad na konvergenci je podstatnou záležitostí platnost tzv. nutné podmínky konvergence. Postačujícími podmínkami konvergence číselných řad s kladnými členy jsou například uvedená kritéria, ze kterých je nejvýznačnější kritérium integrální. V kapitole byly diskutovány také alternující řady. O jejich konvergenci hovoří Leibnitzovo kritérium. Lze-li toto kriterium použít, pak také můžeme nacházet součet takovéto řady s libovolnou přesností. Obecnější řady jsou řady mocninné. Důležitým pojmem je zde pojem poloměru konvergence mocninné řady. Pro jeho nalezení byly uvedeny dva vztahy - D'Alembertův a Cauchy-Hadamardův. Typickou vlastností konvergentních mocninných řad je možnost jejich derivování či integrování (člen po členu). Přitom výsledné řady mají stejný poloměr konvergence jako řada původní. Mezi mocninnými řadami jsou nejdůležitější tzv. Tay- lorovy a Maclaurinovy řady. Tyto řady umožňují rozvinout známé funkce (exponenciální, trigonometrické apod.) do mocninných řad. Částečné součty těchto rozvojů jsou užiteč- nou náhražkou původních funkcí a umožňují např. při tvorbě programů jejich jednoduché zakomponování do výpočtových algoritmů. Užitečnou pomůckou při rozkladech funkcí do mocninných řad je vhodné programové vybavení na kterém lze ilustrovát příslušné příkazy pro rozvoj funkcí do řad. 8.16 Kontrolní příklady ke kapitole 8 1. Rozhodněte o konvergenci následujících řad (a) 1 + 1 22 + 1 33 + + 1 nn (b) 1 + |sin 2| 3 + |sin 4| 9 + |sin 8| 27 + . . . (c) n=1 nn n! (d) n=1(-1)n-1 1 n (e) n=2(-1)n 1 n ln(ln(n)) 2. Určete interval konvergence řady: (a) x + 2k x2 + 3k x3 + + nk xn + . . . , k > 0 (b) x - x2 2 + x3 3 - + (-1)n-1 xn n + . . . (c) n=1 2nxn n2+1 3. Najděte Taylorův vzorec v bodě x0 daných funkcí. (a) f(x) = ex2 , x0 = 0 (b) f(x) = x4 - 3x3 + 2x2 - 5x + 12, x0 = 1 (c) f(x) = sin(2x), x0 = 0 Výsledky jsou uvedeny v části 15.8. Kapitola 9 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 1) 9.1 Cíl kapitoly Integrace je inverzní operací k operaci derivování. Cílem této části je zvládnutí základních iteračních technik. Nejprve je pomocí primitivní funkce vysvětlen pojem tzv. neurčitého integrálu. Podobně jako jsme u derivací v Kapitole 6 hovořili o základních vlastnostech derivací a uvedli jsme též tabulku derivací některých základních funkcí, uvedeme i u integrálů jejich základní vlastnosti a tabulku základních integrálů, t.j. tabulku integrálů elementárních funkcí. Tato tabulka je vlastně jakousi opačnou tabulkou k tabulce derivací. Tabulkové integrály zahrnují velmi uzkou třídu funkcí, které umíme integrovat. Proto se seznámíme se základními integračními metodami. Jde o metodu per partes, která vy- chází z věty o derivaci součinu, a o substituční metodu. Obě metody se velmi často použí- vají při výpočtu integrálů. Nejde ale o jediné možné integrační postupy. Vždy velmi závisí na konkrétním tvaru podintegrální funkce. Podle toho je třeba volit metodu integrace. Proto v další Kapitole 10 uvádíme také i některá doporučení jak u konkrétních tvarů funkcí při integraci postupovat. Problém integrace dané funkce, tj. problém najít k dané funkci odpovídající primitivní funkci není problémem zdaleka triviálním. Potíž je v tom, že neurčitými integrály jsou často vyjadřovány funkce, které nejsou ani elementární, ani nejsou zadány pomocí tabulek. Proto je úloha o nalezení primitivní funkce úlohou obtížnější než úloha nalézt derivaci dané funkce. 163 MATEMATIKA 1B 164 9.2 Primitivní funkce (antiderivace) a neurčitý inte- grál Definice 9.1 Primitivní funkce (antiderivace) dané funkce f(x) na daném intervalu je libovolná diferencovatelná funkce F(x), jejíž derivací je daná funkce, tedy jestliže platí: F ( x) = f(x). Věta 9.2 Jestliže F(x) je primitivní funkce k f(x), pak F(x)+C, kde C R je libovolná konstanta, je k této funkci také primitivní. Definice 9.3 Soubor všech primitivních funkcí dané funkce f(x) se nazývá neurčitý integrál f(x) a označuje se symbolem f (x)dx, tedy f (x)dx = F(x) + C. Poznámka 9.4 Dá se ukázat, že neurčitý integrál funkce, která je na daném intervalu spojitá nebo zde má konečný počet nespojitostí prvního druhu, na tomto intervalu existuje. Funkci f(x) ve výrazu f (x)dx nazýváme integrand. Symboly integrace, tj. symbol a symbol dx chápeme jako jeden symbol, nebot' se vždy vyskytují společně, tedy d x. 9.3 Základní tabulka integrálů Uved'me nyní některé základní integrály. Poznamenejme, že touto tabulkou nejsou zdaleka vyčerpány všechny funkce, ke kterým umíme primitivní funkce najít. Existují celé knihy obsahující tabulky integrálů a programy výrazně ulehčující hledání primitivních funkcí. 0 dx = C, (9.3.1) x dx = x+1 + 1 + C, = -1, (9.3.2) 1 x dx = ln |x| + C, (9.3.3) a x dx = ax ln a + C, a > 0, a = 1, (9.3.4) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 165 e x dx = ex + C, (9.3.5) s in xdx = - cos x + C, (9.3.6) c os xdx = sin x + C, (9.3.7) 1 cos2 x dx = tg x + C, (9.3.8) 1 sin2 x dx = -cotg x + C, (9.3.9) 1 1 - x2 dx = a rcsin x + C, -arccos x + C, (9.3.10) 1 1 + x2 dx = a rctg x + C, -arccotg x + C, (9.3.11) 1 x2 1 dx = ln x + x2 1 + C, (9.3.12) 1 x2 + 1 dx = arcsinh x + C, (9.3.13) 1 x2 - 1 dx = arccosh x + C, (9.3.14) 1 1 - x2 dx = 1 2 ln 1+x 1-x + C, arctgh x + C, |x| < 1 arccotgh x + C, |x| > 1, (9.3.15) s inh xdx = cosh x + C, (9.3.16) c osh xdx = sinh x + C, (9.3.17) 1 cosh2 x dx = tgh x + C, (9.3.18) 1 sinh2 x dx = -cotgh x + C. (9.3.19) 9.4 Některé vlastnosti integrálů Platnost několika následujících vztahů lze prověřit přímo užitím vlastností derivace a neurčitého integrálu. Tyto vztahy jsou při výpočtech často používány. MATEMATIKA 1B 166 d f(x) = f(x) + C, (9.4.20) d f (x)dx = f(x)dx, (9.4.21) [ f(x) g(x)] dx = f (x)dx g (x)dx, (9.4.22) k f(x)dx = k f (x)dx, (9.4.23) f (x)dx = f(x) (9.4.24) Poznámka 9.5 Ne ke každé dané spojité funkci umíme najít neurčitý integrál jako ně- jakou konkrétní funkci a to přesto, že dle Poznámky 9.4 tento integrál existuje. Například neumíme vyjádřit pomocí elementárních funkcí integrály ex2 dx, s in x2 dx. 9.5 Substituční integrační metoda Tato metoda je velmi flexibilní a její myšlenka je obsažena v následující větě: Věta 9.6 Jestliže f (u)du = F(u) + C (9.5.25) a u = (x) C1 , pak f [(x)] ( x)dx = F[(x)] + C. (9.5.26) Základem úspěchu při aplikacích Věty 9.6 je správný výběr funkce (x). Praxe je totiž taková, že výpočet konkrétních příkladů je schematicky veden od vzorce (9.5.26) ke vzorci (9.5.25). Příklad 9.7 Najděte pomocí substituční metody integrál e x2 x dx Řešení. e x2 x dx = u = x2 du = 2xdx = 1 2 e u du = 1 2 eu + C = 1 2 ex2 + C. Jednoduchou aplikací Věty 9.6 lze odvodit následující větu: Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 167 Věta 9.8 Jestliže (x) = ax + b, kde a, b R, a = 0, pak f (ax + b)dx = 1 a F(ax + b) + C. Následující dva vztahy jsou speciálními případy Věty 9.6, jestliže po řadě pokládáme f(u) = 1 u a f(u) = u : ( x) (x) dx = ln |(x)| + C, ( x) (x) dx = +1 (x) + 1 + C, = -1. 9.6 Integrace po částech (per partes) Ze vztahu pro nalezení diferenciálu d(uv) = u dv + v du, tj. u dv = d(uv) - v du vyplývá vzorec pro metodu integrace per partes: u dv = uv - v du. (9.6.27) Název metody skutečně vystihuje velmi přesně její podstatu. Část původního integrálu se užitím vzorce (9.6.27) zintegrovala, zbývající část na integraci čeká. Užití tohoto vztahu je také velmi flexibilní a vyžaduje jistou zkušenost pro výběr funkcí u a v. Ne každý jejich výběr vede ke zjednodušení výpočtu. Tím máme na mysli dosažení stavu, kdy integrál na pravé straně v du lze snadno nalézt. Někdy je nutné metodu užít několikanásobně, abychom původní funkci zintegrovali. Příklad 9.9 Vypočtěme integrál x ex dx metodou per partes. Řešení. Položme u = x a v = ex . Potom x ex dx = u = x, du = dx dv = ex dx, v = ex = xex - e x dx = xex - ex + C. 9.7 Shrnutí Uvedli jsme si pojem integrálu a ukázali jeho základní vlastnosti včetně zakladních, ele- mentárních, tabulkových intregrálů. Jde o integrály stejných funkcí, které jsme si uváděli při derivacích, kde jsme měli prakticky stejné vzorce jen jejich pořadí při použití bylo opačné. Je třeba si jen uvědomit, že derivace integrálu je identitou. Tím dostáváme i sou- visloti mezi derivováním a integrováním. Jde o navzájem inverzní operace. Probrali jsme dvě nejčastěji používané metody integrace. Použitím vhodného počítačového vybavení můžeme získat některé typy integrálů. Vždy záleží na typu podintegrální funkce a na použitém programu, zda výsledek bude použitelný. MATEMATIKA 1B 168 9.8 Kontrolní příklady ke kapitole 9 1. Určete integrál na základě znalostí o derivacích funkcí. (a) x dx (b) x5 dx (c) ( cos x - sin x)dx (d) ( x - sin 2x)dx 2. Integrujte: (a) ( x + 1)7 dx (b) ( x - 6)1/5 dx (c) ( 3x + 1)4/5 dx (d) x+1 (x2+2x)2 dx (e) s in xcos2 xdx (f) x2 x2 + 4dx 3. Integrujte metodou per partes: (a) x sin xdx (b) x cos xdx (c) x e2x dx (d) x ln (x + 1)dx (e) c os ax cos bxdx Výsledky jsou uvedeny v části 15.9. Kapitola 10 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 2) 10.1 Cíl kapitoly V předchozí Kapitole 9 byly vyloženy dvě základní integrační metody. S jejich pomocí budeme nyní integrovat některé typy funcí. Nejprve se budeme zabývat integrací racionál- ních funkcí. Jde o funkce, které se často vyskytují v aplikacích. Při jejich integraci využi- jeme i rozkladu na parciální zlomky, o kterém jsme mluvili v první kapitole. Jde také o třídu funkcí, které umíme integrovat až do konce, tj. umíme najít výsledek ve tvaru konkrétních funkcí. Dalším typem často se vyskytujících funkcí jsou některé iracionální funkce a trigono- metrické funkce. V tomto případě dáme některá doporučení jak při jejich integrování postupovat. 169 MATEMATIKA 1B 170 10.2 Integrace podílu dvou mnohočlenů (racionální lomené funkce) Každá racionální lomená funkce je tvaru R(x) = Pn(x) Qm(x) , kde Pn(x) a Qm(x) jsou polynomy. Z vět 2.28, str. 34 a 2.29, str. 34 vyplývá, že podíl dvou polynomů lze vždy vyjádřit jako součet polynomu a čtyř typů parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, ža integrace polynomu je jednoduchou záležitostí, bude úloha o inte- graci podílu dvou polynomů vyřešena, budeme-li schopni najít integrál každého z těchto čtyř typů parciálních zlomků. I. Parciální zlomek tvaru: Z1(x) = A x - a , kde A = 0. Integrace tohoto zlomku je jednoduchá. Ihned dostáváme: Z 1(x) dx = A ln |x - a| + C. II. Parciální zlomek tvaru: Z2(x) = A (x - a)n , kde A = 0 a n > 1. Integrace: Z 2(x) dx = t = x - a, dt = dx = A 1 tn dt = = At1-n 1 - n +C = A (1 - n)(x - a)n-1 +C. III. Parciální zlomek tvaru: Z3(x) = Mx + N x2 + px + q , kde M = 0 , p2 - 4q < 0. Postup integrace je následující: Z 3(x) dx = M 2 (2x + p) + N - Mp 2 x2 + px + q dx = A = N - Mp 2 = = M 2 ( x2 + px + q)( x2 + px + q) dx + A 1 x + p 2 2 + q - p2 4 dx = = B = q - p2 4 = M 2 ln(x2 + px + q) + A B 1 x+ p 2 B 2 + 1 dx. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 171 V posledním integrálu zavedeme substituci t = x + p 2 B a tedy A B 1 x + p 2 B 2 + 1 dx = A B B 1 t2 + 1 dt = = A B arctg t + C = A B arctg x + p 2 B + C. IV. Parciální zlomek tvaru: Z4(x) = Mx + N (x2 + px + q)n , M = 0, p2 - 4q < 0, n > 1. Pro integrování tohoto zlomku se používá tzv. rekurentní formule, jejíž platnost lze ověřit přímým derivovaním: 1 (x2 + a2)n+1 dx = x 2na2(x2 + a2)n + 2n - 1 2na2 1 (x2 + a2)n dx. Tedy Z 4(x) dx = M 2 (2x + p) (x2 + px + q)n dx + N - Mp 2x + p 2 2 + q - p2 2 n dx. První integrál vypočteme jako integrál typu M 2 f ( x) fn(x) dx, kde f(x) = x2 +px+q. Druhý integrál, ve kterém je q- p2 2 > 0, vypočteme postupně užitím rekurentní formule po substituci x + p 2 = t. Nakonec po (n - 1)-násobném použití přecházíme k integraci zlomku typu Z3(x). Příklad 10.1 Určete integrál d x x2 - 5x + 6 . Řešení. Provedeme rozklad na parciální zlomky d x x2 - 5x + 6 = d x (x - 2)(x - 3) = - 1 x - 2 + 1 x - 3 d x = - ln |x - 2| + ln |x - 3| + C = ln x - 3 x - 2 + C. MATEMATIKA 1B 172 Příklad 10.2 Určete integrál x2 + 2x + 6 (x - 1)(x - 2)(x - 4) dx. Řešení. Provedeme rozklad na parciální zlomky x2 + 2x + 6 (x - 1)(x - 2)(x - 4) dx = 3 x - 1 - 7 x - 2 + 5 x - 4 d x = 3 ln |x - 1| - 7 ln |x - 2| + 5 ln |x - 4| + C = ln ( x - 1)3 (x - 4)5 (x - 2)7 + C. Příklad 10.3 Určete integrál x2 + 1 (x - 1)3(x + 3) dx Řešení. Provedeme rozklad na parciální zlomky x2 + 1 (x - 1)3(x + 3) dx = 1 2(x - 1)3 + 3 8(x - 1)2 + 5 32(x - 1) + 5 32(x + 3) d x = - 1 4(x - 1)2 - 3 8(x - 1) + 5 32 ln x - 1 x + 3 + C. Příklad 10.4 Určete integrál d x x5 - x2 dx. Řešení. Provedeme rozklad na parciální zlomky 1 x5 - x2 dx = 1 x2(x - 1)(x2 + x + 1) dx = - 1 x2 + 1 3(x - 1) - x - 1 x2 + x + 1 d x = 1 x + 1 3 ln |x - 1| - 1 3 x - 1 x2 + x + 1 dx = 1 x + 1 3 ln |x - 1| - 1 6 2 x + 1 - 3 x2 + x + 1 dx = 1 x + 1 3 ln |x - 1| - 1 6 ln |x2 + x + 1| + 1 2 d x x + 1 2 2 + 3 4 = 1 x + 1 3 ln |x - 1| - 1 6 ln |x2 + x + 1| + 1 3 arctan 2x + 1 3 + C. Příklad 10.5 Určete integrál x3 - 2x (x2 + 1)2 dx. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 173 Řešení. Provedeme rozklad na parciální zlomky x3 - 2x (x2 + 1)2 dx = - 3x (x2 + 1)2 dx + x x2 + 1 dx = - 3 2 d (x2 + 1) ((x2 + 1)2 + 1 2 d (x2 + 1) x2 + 1 = 3 2(x2 + 1) + 1 2 ln |x2 + 1| + C. Daný integrál je možné určit i pomocí substituce x2 + 1 = t. 10.3 Integrace některých iracionálních funkcí Zde uvedeme seznam některých užitečných doporučení pro výpočet integrálů některých iracionálních funkcí. Racionální funkci označujeme R() a definujeme ji jako funkci, kterou obdržíme z jejích argumentů operacemi sčítání, odečítání, násobení a dělení. A) V případě integrálů tvaru R x, x 1 k1 , x 1 k2 , . . . , x 1 kn dx, kde k1, k2, . . . , kn N je vhodné zavést substituci x = t , kde je nejnižší společný násobek celých čísel k1, k2, . . . , kn. Tím integrál převedeme na některý z případů popsaných v části 10.2. B) V případě integrálů tvaru R x, a x + b cx + d 1 k1 , a x + b cx + d 1 k2 , . . . , a x + b cx + d 1 kn dx, kde k1, k2, . . . , k2 N je vhodné zavést substituci t = a x + b cx + d 1 , kde je nejmenší společný násobek čísel k1, k2, . . . , kn. Tím integrál opět převedeme na některý z případů popsaných v části 10.2. C) Binomickým integrálem nazýváme integrál tvaru x m (axn + b)p dx, m, n, p Q. Doporučujeme postupovat následovně: ˇ Je-li p Z, pak používáme stejná doporučení jako v A). MATEMATIKA 1B 174 ˇ Je-li m + 1 n Z, pak pokládáme axn + b = t , kde je jmenovatel p. Dále používáme postup popsaný v A). ˇ Je-li m + 1 n + p Z, pak pokládáme a + b xn = t , kde je jmenovatel p. Dále používáme postup popsaný v A). D) R x , ax2 + bx + c d x, a = 0. Používáme tzv. Eulerovy substituce: ˇ Je-li a > 0, užíváme substituci t = ax2 + bx + c x a . ˇ Je-li c > 0, užíváme substituci t x = ax2 + bx + c c . ˇ Je-li a < 0, b2 - 4ac > 0, pak ax2 + bx + c = a (x - )(x - ) = |x - | a x - x - a užijeme substituci t2 = a x - x - . E) Pro integrál typu 1 ax2 + bx + c dx lze použít následující postup: 1 ax2 + bx + c dx = 1 a x + b 2a 2 + c - b2 4a dx . Tento integrál lze převést na některý z tabelovaných integrálů: 1 x2 1 dx, 1 1 - x2 dx. F) Pro integrály typu R x , a2 - x2 d x je vhodné užít následující substituce: x = a sin t, x = a cos t. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 175 G) Pro integrály typu R x , a2 + x2 d x je vhodné užít následující substituce: x = atg t, x = a sinh t, x = cotg t. H) Pro integrály typu R x , x2 - a2 d x je vhodné užít následující substituce: x = a cos t , x = a sin t, x = cosh t. 10.4 Integrace trigonometrických funkcí Budeme se zabývat integrováním funkcí typu R (sin x, cos x) dx , kde R je racionální funkcí uvedených argumentů. Uved'me několik doporučení, jak při integraci postupovat. A) Lze užít tzv. univerzální substituci: t = tg x 2 . Pak x = 2arctg t, dx = 2dt 1 + t2 a t = tg x 2 = sin x 2 cos x 2 = 1 - cos x 2 1 + cos x 2 = 1 - cos x 1 + cos x . Odtud plyne cos x = 1 - t2 1 + t2 . Analogicky vypočteme sin x = 1 - cos2 x = 2t 1 + t2 . Těmito substitucemi (dosazenými za dx, sin x a cos x) převedeme výchozí integrál na integraci podílu dvou mnohočlenů. MATEMATIKA 1B 176 B) Je-li funkce R(sin x, cos x) lichá vzhledem ke cos x, tj. je-li R(sin x, - cos x) = -R(sin x, cos x), je vhodné užít substituci t = sin x. C) Je-li funkce R(sin x, cos x) lichá vzhledem k sin x, tj. je-li R(- sin x, cos x) = -R(sin x, cos x), je vhodné užít substituci t = cos x. D) Je-li funkce R(sin x, cos x) sudá vzhledem k funkcím sin x i cos x, tj. je-li R(- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x), je vhodné užít substituci t = tg x. Pak x = arctg t, dx = dt 1 + t2 , t = sin x cos x = 1 - cos2 x cos x = cos x = 1 1 + t2 , sin x = t 1 + t2 . Příklad 10.6 Určete integrál d x 4 sin x + 3 cos x + 5 . Řešení. Podintegrální funkce je racionální funkcí sinu a cosinu. Použijeme univerzální substituci tan x 2 = t. Potom sin x = 2t 1 + t2 , cos x = 1 - t2 1 + t2 , dx = 2dt 1 + t2 . Po dosazení dostaneme d x 4 sin x + 3 cos x + 5 = 2dt 1 + t2 4 2t 1 + t2 + 3 1 - t2 1 + t2 + 5 = 2 d t 2t2 + 8t + 8 = 2 d t 2(t2 + 4t + 4) = d t (t + 2)2 = - 1 t + 2 + C. Dosazením původní hodnoty dostaneme d x 4 sin x + 3 cos x + 5 = - 1 tan x 2 + 2 + C. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 177 Příklad 10.7 Najděte integrál d x (a2 + b2) - (a2 - b2) cos x . Řešení. Použijeme substituci t = tan(x/2). d x (a2 + b2) - (a2 - b2) cos x = 2dt 1 + t2 (a2 + b2) - (a2 - b2) 1 - t2 1 + t2 = 2 d t (a2 + b2)(1 + t2) - (a2 - b2)(1 - t2) = d t a2t2 + b2 - 1 a d (at) (at)2 + b2 = 1 ab arctan at b + C = 1 ab arctan a b tan x 2 + C. Příklad 10.8 Najděte integrál ( cos3 x + cos5 x)dx sin2 x + sin4 x . Řešení. Protože podintegrální funkce je lichá vzhledem ke cos x, použijeme doporučenou substituci t = sin x. Potom cos2 x = 1 - sin2 x = 1 - t2 , cos xdx = dt. ( cos3 x + cos5 x)dx sin2 x + sin4 x = c os2 x(1 + cos2 x) cos xdx sin2 x + sin4 x = ( 1 - t2 )(2 - t2 )dt t2 + t4 = 1 + 2 t2 - 6 1 + t2 d t = t - 2 t - 6 arctan t + C. Po dosazení původní proměnné dostaneme ( cos3 x + cos5 x)dx sin2 x + sin4 x = sin x - 2 sin x - 6 arctan(sin x) + C. Příklad 10.9 Určete integrál ( sin x + sin3 x)dx cos 2x Řešení. Protože podintegrální funkce je lichá vzhledem k funkci sin x, použijeme substi- tuci cos x = t. Potom sin2 x = 1 - t2 , cos 2x = cos2 x - sin2 x = 2 cos2 x - 1 = 2t2 - 1, dt = - sin xdx. MATEMATIKA 1B 178 Dosadíme a dostaneme ( sin x + sin3 x)dx cos 2x = ( 2 - t2 )(-dt) 2t2 - 1 = ( t2 - 2)dt 2t2 - 1 = 1 2 2 t2 - 4 2t2 - 1 dt = 1 2 d t - 3 2 d t 2t2 - 1 = t 2 - 3 2 2 d (t 2 2t2 - 1 = t 2 - 3 2 2 ln t 2 - 1 t 2 + 1 + C Dosazením původní proměnné dostaneme konečný výsledek ( sin x + sin3 x)dx cos 2x = 1 2 cos x - 3 2 2 ln 2 cos x - 1 2 cos x + 1 + C. Příklad 10.10 Určete integrál d x sin2 x + 2 sin x cos x - cos2 x . Řešení. Protože podintegální funkce je sudá vzhledem k sinu i kosinu, použijeme substi- tuci tan x = t. Potom sin x = tan x 1 + tan2 x = t 1 + t2 , cos x = 1 1 + tan2 x = 1 1 + t2 , x = arctan t, dx = dt 1 + t2 . Dosadíme d x sin2 x + 2 sin x cos x - cos2 x = dt 1 + t2 t2 1 + t2 + 2t 1 + t2 1 1 + t2 - 1 1 + t2 = d t t2 + 2t - 1 = d (t + 1) (t + 1)2 - ( 2)2 = 1 2 2 ln t + 1 - 2 t + 1 + 2 + C. Dosazením původní proměnné dostaneme konečný výsledek d x sin2 x + 2 sin x cos x - cos2 x = 1 2 2 ln t an x + 1 - 2 tan x + 1 + 2 + C. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 179 10.5 Shrnutí Seznámili jsme se s nejčastěji používanými metodami integrace funkcí, které nepatří mezi tabulkové. Jejich vhodné použití bude záviset vždy na tvaru podintegrální funkce a na zkušenostech, které získáme. Podle tvaru podintegrální funkce můžeme odhadnout, která metoda bude nejvhodnější. Správné rozhodnutí předpokládá, že máme dostatečnou praxi a jsme schopni odhadnout směr dalších úprav a postup práce. Někdy nam tvar podintegrální funkce přímo napoví, kterou metodu je vhodné použít, např. při integraci racionálních výrazů. Častěji se však budeme setkávat s případy, kdy rozhodnutí bude záviset na nás a na našich zkušenostech. Potřebné zkušenosti je možno získat pouze při praktickém využívání teoretických poznatků uvedených v této kapitole. Jinými slovy, je třeba vypočítat dostatečný počet příkladů. 10.6 Kontrolní příklady ke kapitole 10 1. Integrujte. (a) 2-x dx (b) 1 05x dx (c) 2cos x sin xdx (d) s in2 xdx (e) c os3 xdx (f) c os2 4xsin2 4xdx (g) t g2 xdx (h) cos2x 1-sin x dx 2. Pomocí některé goniometrické substituce integrujte . (a) 1 - x2dx (b) ( a2 - x2 )-5/2 dx (c) dx x2+9 (d) x3dx (x2-a2)3 (e) a2x2 + 1dx 3. Integrujte následující racionální lomené funkce (a) 2x-1 x2-1 dx (b) 3x2+2x+1 x3+x2+x+1 dx (c) x4+x3+2x2+x+2 (x2+1)3 dx (d) dx x4+1 Výsledky jsou uvedeny v části 15.10. Kapitola 11 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 3) 11.1 Cíl kapitoly V této kapitole je podán zjednodušený výklad určitého (Riemannova) integrálu a některé jeho vybrané vlastnosti. Vyjdeme z praktického příkladu výpočtu plochy, které je ohraničena nějakou křivkou. Ukážeme, že tato plocha je hodnotou limity některého výrazu, který hledanou plochu přibližně aproximuje. Od tohoto příkladu je již přímá cesta k pojmu určitého integrálu. Po jeho definici uvedeme jeho základní vlastnosti. Seznámíme se s způsobem odhadu určitého integrálu a také jak je možné derivovat integrál, pokud je horní mez proměnná. Uvedeme si nejdůležitější vzorec integrálního počtu, známý jako Newton-Leibnizova věta (viz 11.7), který budeme používat pro výpočet určitého integrálu. Ukážeme, jaký tvar bude mít substituční metoda pro určité integrály a jak se používá metoda "per partes" pro výpočet určitého integrálu. V praxi, zvláště technické, se často vyskytují přípklady funkcí, které lze jen obtížně in- tegrovat ale přesto potřebujeme znát hodnotu určitého integrálu. Proto uvedeme i některé metody numerické integrace funkcí. 11.2 Výpočet plochy obrazce omezeného křivkou Zabývejme se úlohou, jak vypočítat plochu PS obrazce S na obrázku 11.2.1 ohraničeného úsečkami spojujícími body AB, BC, AD a částí spojité křivky y = f(x) spojující body C a D. Rozdělme libovolně základnu obrazce S (tj. interval [a, b] užitím libovolného konečného počtu dělících bodů) na n subintervalů [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn-1, xn], kde a = x0 < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b. Ved'me přímky rovnoběžné s osou y dělicími body intervalu [a, b]. Tím se daný obrazec S rozdělil na n obrazců S1, S2, . . . Sn, 180 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 181 Obrázek 11.2.1: Určitý integrál - plocha obrazce 1 tj. S = n i=1 Si (viz. obrázek 11.2.2). Obrázek 11.2.2: Určitý integrál - plocha obrazce 2 V každém subintervalu vybereme libovolným způsobem bod. Označíme-li tyto body 0, 1, . . . , n-1, můžeme psát x0 0 x1, x1 1 x2, . . . , xn-1 n-1 xn. Pak platí, že plocha PS je rovna součtu ploch PSi jednotlivých oblastí Si , i = 1, . . . , n. Plochu PSi můžeme přibližně vyjádřit vztahem PSi f(i-1) (xi - xi-1) = f(i-1) xi-1, kde xi-1 = xi - xi-1. Proto PS = n-1i =0 PSi f(0)x0 + f(1)x1 + + f(n-1)xn-1 = n-1i =0 f(i)xi. MATEMATIKA 1B 182 Situace je načrtnuta na obrázku 11.2.3. Obrázek 11.2.3: Určitý integrál - plocha obrazce 3 Pokud zvětšujeme do nekonečna počet dělících bodů a tzv. norma dělení, tj. číslo = max{x0, x1, . . . , xn-1} přitom konverguje k nule, pak je plocha obrazce S určena vztahem PS = lim n,0 n-1i =0 f(i)xi, (11.2.1) (ve kterém předpokládáme, že limita existuje). 11.3 Určitý integrál Definujeme pro danou funkci y = f(x) na intervalu [a, b] tzv. n-tý integrální součet: In = n-1i =0 f(i)xi, kde veličiny i, xi, a xi mají stejný význam jako v předchozím odstavci a x0 = a, xn = b. Definice 11.1 Určitý integrál (tzv. Riemannův) na [a, b] je limita integrálních součtů In, když n a norma dělení se přitom blíží nule (za předpokladu, že tato limita existuje). Určitý integrál značíme b a f(x)dx a uvedenou definici píšeme takto: b a f(x) dx = lim n,0 In. (11.3.2) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 183 Geometrický význam určitého integrálu je nyní zřejmý z předcházející podkapitoly 11.2, protože limity (11.2.1) a (11.3.2) jsou stejné. Věta 11.2 (O existenci určitého integrálu) : Je-li funkce f(x) spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], pak b a f(x)dx existuje. Ukončeme tuto část konstatováním, že se vžil název integrovatelná funkce pro funkci f(x), definovanou na intervalu [a, b] takovou, že existuje integrál b a f(x)dx. Integrál může existovat nejenom pro spojité funkce a nejenom na uzavřeném intervalu. Některé poznatky o těchto případech uvádíme v Kapitole 12. 11.4 Vlastnosti určitého integrálu Z definice určitého integrálu lze odvodit řadu jeho vlastností. Platí například (všechny použité funkce budeme považovat za integrovatelné): a a f(x) dx = 0, (11.4.3) b a dx = b - a, (11.4.4) b a 0 dx = 0, (11.4.5) b a f(x) dx = - a b f(x) dx, (11.4.6) je-li c [a, b], pak b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx (11.4.7) (interval integrace [a, b] lze rozdělit na dvě části), k R : b a kf(x) dx = k b a f(x) dx (11.4.8) (konstantu lze vytknout před integrál), je-li f(x) g(x) na [a, b], pak b a f(x) dx b a g(x) dx, (11.4.9) MATEMATIKA 1B 184 b a f(x) dx b a |f(x)| dx, kde a < b, (11.4.10) b a f(x) dx = b a f(t) dt, (11.4.11) (vnitřní proměnná v určitém integrálu může být označena libovolně) b a (f(x) g(x)) dx = b a f(x) dx b a g(x) dx, (11.4.12) je-li S(x) funkce sudá a L(x) funkce lichá, pak a) a -a S(x) dx = 2 a 0 S(x) dx; b) a -a L(x) dx = 0. (11.4.13) 11.5 Odhad určitého integrálu. Věta o střední hod- notě. Věta 11.3 Je-li na [a, b] funkce f(x) integrovatelná a ohraničená zdola a zhora konstan- tami m, M, tj. m f(x) M na [a, b], pak m(b - a) b a f(x) dx M(b - a) nebo m 1 b - a b a f(x) dx M. Následující věta je často nazývána větou o střední hodnotě. Věta 11.4 (Věta o střední hodnotě) Je-li f(x) C ne [a, b], pak existuje bod [a, b] takový, že platí: f() = 1 b - a b a f(x) dx. 11.6 Derivace integrálu vzhledem k horní mezi Předpokládejme, že funkce f(x) je spojitá. Definujeme novou funkci F(x) = x a f(t) dt jako určitý integrál s proměnnou horní mezí. (Diskuse o označení: Je-li F(x) = x a f(x) dx, pak x probíhá hodnoty od a do x, což nedává smysl.) Snadno lze dokázat následující výsledek, který říká, že funkce F(x) je primitivní funkcí k funkci f(x). Věta 11.5 Derivace integrálu vzhledem k horní mezi je rovna integrandu, tj. F ( x) = f(x). Důsledek 11.6 Ke každé spojité funkci f(x) existuje primitivní funkce. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 185 11.7 Newton-Leibnizova věta (Základní vzorec inte- grálního počtu) Věta 11.7 Hodnota určitého integrálu je rovna rozdílu hodnot libovolné antiderivace (x) integrandu odpovídajících horní a dolní mezi integrálu: b a f(x) dx = (b) - (a). (11.7.14) Příklad 11.8 Najděte 2 1 dx x . Řešení. Řešení: Protože pro x > 0 je (ln x) = 1 x , dosadíme ve vzorci (11.7.14) (x) = ln x. Pak platí: 2 1 dx x = ln |x||2 1 = ln 2. 11.8 Integrace per partes pro učité integrály Napíšeme-li vztah pro integraci per partes pro neurčité integrály a provedeme-li v něm integraci obou stran na intervalu [a, b], potom obdržíme vztah metody integrace per partes pro učité integrály: b a u(x) dv(x) = u(x)v(x)|b a - b a v(x) du(x). 11.9 Metoda substituce pro určité integrály Věta 11.9 Necht' je funkce f(x) spojitá na [a, b]. Je-li (t) spojitě diferencovatelná na [, ], a = (), b = (), (t) [a, b] pro každé t [, ] a (t) je monotónní, pak b a f(x) dx = f[(t)] ( t) dt. Příklad 11.10 Najděte integrál e 1 ln x x dx. Řešení. Použijeme substituční metodu: e 1 ln x x dx = x = et , t [0, 1] = 1 0 t et et dt = t2 2 1 0 = 1 2 . MATEMATIKA 1B 186 11.10 Numerické integrování 11.10.1 Úvod V praxi zřídkakdy dokážeme najít přesnou hodnotu určitého integrálu. Například integrál 2 1 dx ln x nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. V následujícím odstavci popíšeme některé metody pro přibližný numerický výpočet určitých integrálů. Zavedeme pojem kvadratick- ého vzorce. Necht' je dán určitý integrál I = b a f(x) dx funkce f, která je spojitá na intervalu [a, b]. Přibližná rovnost b a f(x) dx nj =1 qj f(xj), kde qj jsou jistá čísla a xj jsou určité body intervalu [a, b] (které jsou voleny tak, aby bylo přibližné rovnosti docíleno), se nazývá kvadratická formule definovaná váhami qj a uzly xj. 11.10.2 Obdélníkové pravidlo Předpokládejme, že f C2 [-h/2, h/2], h > 0. Lze očekávat, že bude platit přibližný vztah h/2 -h/2 f(x) dx h f0, (11.10.15) kde f0 = f(0) (viz náčrtek 11.10.4). Přibližný vztah 11.10.15 říká, že plochu oblasti ohraničené shora grafem funkce f lze aproximovat plochou vepsaného obdélníka, jehož výška je rovna hodnotě funkce f v polovině základny lichoběžníka. Dále hledáme zbytek, tedy chybu formule (11.10.15). Lze dokázat tzv. obdélníkové pravidlo se zbytkem: h/2 -h/2 f(x) dx = h f0 + h3 24 f ( ) , kde o poloze bodu lze říci pouze, že to je nějaký bod z intervalu [-h 2 , h 2 ], tj. [-h 2 , h 2 ]. 11.10.3 Lichoběžníkové pravidlo Necht' f C2 [0, h]. Položíme h 0 f(x) dx h f0 + f1 2 , Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 187 Obrázek 11.10.4: Obdélníkové pravidlo kde f0 = f(0) a f1 = f(h), tj. integrál je přibližně nahrazen plochou vepsaného li- choběžníka (viz náčrtek 11.10.5). Tzv. lichoběžníkové pravidlo se zbytkem má tvar h 0 f(x) dx = h f0 + f1 2 - h3 12 f ( ), [0, h]. Obrázek 11.10.5: Lichoběžníkové pravidlo 11.10.4 Simpsonovo pravidlo (parabolické pravidlo) Předpokládejme, že f C4 [-h, h]. Aproximujeme integrál h -h f(x) dx plochou obrazce ohraničeného shora parabolou procházející body (-h, f-1), (0, f0), (h, f1), kde fi = f(ih) (viz náčrtek 11.10.6). Tato parabola má rovnici y = f0 + f1 - f-1 2h x + f-1 - 2f0 + f1 2h2 x2 , MATEMATIKA 1B 188 což lze lehce ověřit, položíme-li x rovno -h, 0 a h. Tak snadno spočteme, že h -h y(x) dx = h 3 (f-1 + 4f0 + f1). Tedy tzv. Simpsonovo pravidlo, které se také nazývá parabolické pravidlo, má tvar h -h f(x) dx h 3 (f-1 + 4f0 + f1). Lze dokázat tzv. Simpsonovo pravidlo se zbytkem: h -h f(x) dx = h 3 (f-1 + 4f0 + f1) - h5 90 f(4) (), kde [-h, h]. Výše uvedené kvadratické vzorce se nazývají kanonické. Obrázek 11.10.6: Simpsonovo pravidlo 11.10.5 Složené kvadratické formule Je-li v praxi třeba určit přibližnou hodnotu integrálu, je daný interval [a, b] rozdělen na N shodných subintervalů. Na každý z nich aplikujeme kanonickou kvadratickou for- muli (tím míníme obdelníkové, lichoběžníkové nabo parabolické pravidlo) a výsledky sečteme. Kvadratické formule zkonstruované takto na intervalu [a, b] se nazývají složené. Aplikujeme-li obdélníkové a lichoběžníkové pravidlo, je pohodlné brát intervaly délky h, v případě Simpsonova pravidla délky 2h. Podívejme se podrobněji na použití obdélníkového pravidla. Necht' f C2 . Označíme intervaly [xi, xi+1], kde xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , N - 1, xN = b, h = (b - a)/N. Ve shodě s obdélníkovým pravidlem xi+1 xi f(x) dx hfi+1/2, (11.10.16) Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 189 kde fi+1/2 = f(a + (i + 1/2)h) je hodnota f ve středu subintervalu [xi, xi+1]. Navíc xi+1 xi f(x) dx = hfi+1/2 + h3 24 f ( i), kde i [xi, xi+1] je nějaký bod. Sečteme-li všechny aproximace (11.10.16) dostáváme složené obdélníkové pravidlo: b a f(x) dx h f 1/2 + f3/2 + + fN-1/2 . Lze dokázat tzv. složené obdélníkové pravidlo se zbytkem: b a f(x) dx = h f 1/2 + f3/2 + + fN-1/2 + h2 b - a 24 f ( ), kde [a, b]. Za podmínky, že f C2 [a, b], můžeme zapsat složené lichoběžníkové pravidlo: b a f(x) dx h f 0 2 + f1 + + fN-1 + fN 2 a odpovídající složené lichoběžníkové pravidlo se zbytkem: b a f(x) dx = h f 0 2 + f1 + + fN-1 + fN 2 - h2 b - a 12 f ( ), kde fi = f(a + ih), h = (b - a)/N, a [a, b]. Necht' nyní h = (b - a)/2N a xj = a + jh, fj = f(xj). Simpsonovo kanonické pravidlo můžeme přepsat ve spojení se subintervaly [x2i, x2i+2] délky 2h: x2i+2 x2i f(x) dx h 3 (f2i + 4f2i+1 + f2i+2) . Sečtením obou stran vztahu přes i od 0 do N -1 dostáváme složené Simpsonovo pravidlo: b a f(x) dx h 3 (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + + 4f2N-1 + f2N ) . Odpovídající složené Simpsonovo pravidlo se zbytkem, které získáme sečtením rovností v subintervalech [x2i, x2i+2] za podmínky, že f C4 , lze zapsat takto: b a f(x) dx = h 3 f 0 + f2N + 4 Ni =1 f2i-1 + 2 N-1i =1 f2i - h4 b - a 180 f(4) (), kde fi = f(a + ih), h = (b - a)/(2N), a [a, b]. MATEMATIKA 1B 190 11.10.6 Odhad chyb kvadratických formulí Pro stručnost zavedeme označení Iobd h = h N-1i =0 fi+1/2, je-li integrál přibližně počítán složeným obdélníkovým pravidlem, Ilich h = h f 0 + fN 2 + N-1i =1 fi , kde h = (b - a)/N a f = f(a + h), je-li integrál přibližně počítán složeným li- choběžníkovým pravidlem, a ISimp h = h 3 f 0 + f2N + 4 Ni =1 f2i-1 + 2 N-1i =1 f2i , kde h = (b - a)/(2N) a fi = f(a + ih), je-li integrál přibližně počítán složeným Simp- sonovým pravidlem. Z vyjádření zbytků vidíme, že obdélníkové a lichoběžníkové pravidlo jsou přesné pro polynomy prvního stupně, zatímco Simpsonovo pravidlo je přesné pro polynomy třetího stupně. První dvě pravidla mají přesnost druhého řádu vzhledem k h, zatímco Simp- sonovo pravidlo má přesnost čtvrtého řádu. Proto pro funkce třídy C4 pro malá h dává Simpsonovo pravidlo zpravidla vyšší přesnost než předešlé dvě metody. Chyba složeného obdélníkového pravidla a složeného Simpsonova pravidla splňuje nerovnosti |I - Iobd h | h2 b - a 24 max [a,b] |f ( x)|, |I - ISimp h | h4 b - a 180 max [a,b] |f(4) (x)|. Podobné nerovnosti existují pro lichoběžníkové pravidlo. Dolní odhady jsou také užitečné. Především dolní odhad pro složené obdélníkové pravidlo je |I - Iobd h | h2 b - a 24 min [a,b] |f ( x)|. Příklad 11.11 Analyzujme chyby kvadratických formulí pro integrál I = 1/2 0 e-x2 dx, který nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, ale v aplikacích se často využívá. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 191 Řešení. Máme f(x) = e-x2 , f ( x) = -2xe-x2 , f ( x) = (4x2 - 2)e-x2 , f ( x) = (-8x3 + 12x)e-x2 , f(4) (x) = 4(4x4 - 12x2 + 3)e-x2 , a e-1/4 |f ( x)| 2, |f(4) (x)| 12 pro x [0, 1/2]. Tedy pro h = 0.05 dostáváme 0.4 10-4 |I - Iobd h | 0.11 10-3 a |I - ISimp h | 0.21 10-6 . Horní odhad chyby Simpsonova pravidla je výrazně nižší než dolní odhad chyby obdél- níkového pravidla. 11.11 Shrnutí Seznámili jsme se s dalším důležitým matematickým aparátem - s určitým integrálem. Jeho použití je velmi rozmanité a některé aplikace uvedeme v další Kapitole 12. Ne- jdůležitějším v této části byl samotný pojem určitého integrálu a hned poté Newtovona- Leibnizova věta, která vyjadřuje určitý integrál pomocí primitivní funkce a krajních bodů. Numerické metody integrace používáme všude tam, kde nejsme schopni efektivně určit analytický tvar integrálu. Při splnění uvedených podmínek získáme dostatečně přesnou aproximaci výsledku. Obecně platí, že přesnější je složené Simpsonovo pravidlo. 11.12 Kontrolní příklady ke kapitole 11 1. Vyčíslete následující určité integrály: (a) 1 0 2xdx (b) 1 -1 x2 dx (c) 0 sin xdx (d) 0 -2 x3 dx 2. Vypočtěte následující integrály. Nakreslete obrazce, jejichž obsahy danými integrály počítáte. (a) 4 1 (x + 2)dx MATEMATIKA 1B 192 (b) 2 -1 |x - 1|dx (c) 1 -1 1 - x2dx 3. Pro dané integrály najděte hodnotu z, pro niž platí: b a f(x)dx = f(z)(b - a). (Poznámka: Je-li f(x) spojitá, pak vhodné z existuje.) (a) 3 1 (x + 1)dx (b) 1 0 1 - x2dx 4. Integrujte pomocí substituce: (a) 1 -1 (x + 3)4 dx (b) 3 0 (x - 2)4/3 dx (c) 2 -2 (4 - x)1/3 dx (d) 4 3 4x x2 - 9dx (e) 1 0 x2 x3 + 1dx Výsledky jsou uvedeny v části 15.11. Kapitola 12 Integrální počet funkcí jedné proměnné (část 4) 12.1 Cíl kapitoly Prvním cílem této kapitoly je ukázat co to jsou tzv. nevlastní integrály a jaké máme možnosti jejich výpočtu. Půjde pouze o první seznámení s touto problematikou. Přitom budeme rozlišovat mezi dvěma skupinami integrálů. Za prvé půjde o integrály funkce na nekonečném intervalu a za druhé o integrály z funkcí, která nabývá v některém bodě nekonečné hodnoty. Dále uvedeme některé aplikace určitého integrálu, jako je výpočet obsahu rovinného obrazce, určení délky oblouku křivky, výpočet objemu tělesa a speciálně výpočet objemu rotačního tělesa a výpočet obsahu rotační plochy. 12.2 Nevlastní integrály V této části se budeme věnovat dvěma typům určitých integrálů. Budou to jednak inte- grály, ve kterých jedna nebo obě meze jsou nekonečné a jednak integrály, ve kterých je integrand nespojitou funkcí. Takovým integrálům říkáme nevlastní. 12.2.1 Nevlastní integrály vlivem intervalu Uvažujme určitý integrál s proměnnou horní mezí I(l) = l a f(x) dx. Necht' l roste nade všechny meze. Potom existují dvě možnosti, totiž bud' má I(l) koneč- nou (tzv. vlastní) limitu pro l + nebo nikoli. Definice 12.1 Nevlastní integrál a f(x) dx 193 MATEMATIKA 1B 194 funkce f(x) na intervalu [a, ) definujeme jako limitu integrálu l a f(x) dx pro l , za předpokladu, že tato limita existuje (a je konečná), tj. a f(x) dx = lim l l a f(x) dx. V takovém případě, říkáme, že nevlastní integrál konverguje; v opačném případě říkáme, že diverguje (limita je nekonečná nebo vůbec neexistuje). Příklad 12.2 Najděte 0 e-x dx. Řešení. Podle definice nalézáme: 0 e-x dx = lim l e-x l 0 = lim l - e-l + e0 = 0 + 1 = 1. Daný nevlastní integrál tedy konverguje. Příklad 12.3 Zjistěte zda existuje 1 dx x . Řešení. 1 dx x = lim l ln |x||l 1 = lim l [ln |l| - ln 1] = . Nevlastní integrál diverguje. Další případy nevlastních integrálů definujeme podobně: 1. dolní mez je nekonečná: a - f(x) dx = lim l a -l f(x) dx; 2. obě meze jsou nekonečné: - f(x) dx = a - f(x) dx + a f(x) dx = = lim l a -l f(x) dx + lim p p a f(x) dx; 3. v posledním případě je často uvažován případ, kdy jak l,tak i p konvergují k nekonečnu stejnou rychlostí, tj. případ l = p. V literatuře je tento případ nazýván hlavní hod- notou a označován V.p. ( z francouzštiny: "Valeur principale" - hlavní hodnota). Definujeme tedy ve smyslu hlavní hodnoty: V.p. - f(x) dx = lim l l -l f(x) dx. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 195 12.2.2 Nevlastní integrály vlivem funkce Definice 12.4 Nevlastní integrál b a f(x) dx funkce f(x) spojité na intervalu x [a, b) a neomezené pro x b je limita integrálu b- a f(x) dx pro 0+ pokud tato limita existuje (a je konečná), tj. b a f(x) dx = lim 0+ b- a f(x) dx. V takovém případě říkáme, že nevlastní integrál konverguje, v opačném případě říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Podobně, pokud je funkce f(x) spojitá na [a, b] a neomezená v levém koncovém bodě x = a, pokládáme b a f(x) dx = lim 0+ b a+ f(x) dx. Pokud jsou body nespojitosti v bodech x = a a x = b, pak pro libovolně vybraný bod c (a, b) definujeme b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx = lim 0+ c a+ f(x) dx + lim 0+ b- c f(x) dx. Poznamenejme, že podobně jako v předchozí části můžeme definovat hlavní hodnotu in- tegrálu. Příklad 12.5 Najděte 10 0 dx x . Řešení. Podle definice je 10 0 dx x = lim 0+ 10 dx x = lim 0+ 2 x 10 = 2 10 . Tedy nevlastní integrál konverguje. Příklad 12.6 Zjistěte zda existuje 10 0 dx x . Řešení. Řešení: Podle definice je 10 0 dx x = lim 0+ 10 dx x = lim 0+ ln |x||10 = +. To znamená, že nevlastní integrál diverguje. MATEMATIKA 1B 196 12.3 Aplikace určitého integrálu V této části jsou uvedeny některé možnosti využití určitého integrálu. Vzorce jsou uvedeny většinou bez důkazů. 12.3.1 Obsah rovinného obrazce Jak bylo uvedeno v částech 11.2 a 11.3 je plocha obrazce S omezeného křivkou y = f(x) C dána vztahem PS = b a f(x) dx. Je-li křivka y = f(x) dána parametrickými rovnicemi x = (t) C1 , y = (t) C, t , () = a, () = b, ( t) > 0 na [, ] pak PS = (t) ( t) dt. Plocha obrazce S mezi dvěma křivkami y = f1(x) C a y = f2(x) C (viz náčrtek 12.3.1) je vyjádřena vztahem PS = b a [f2(x) - f1(x)] dx. Obrázek 12.3.1: Plocha obrazce mezi dvěma křivkami 12.3.2 Délka oblouku Je-li křivka dána vztahem y = f(x) C1 , pak je její délka mezi body A a B (viz náčrtek 12.3.2) L = b a 1 + [f (x)]2 dx. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 197 Obrázek 12.3.2: Délka oblouku V případě parametrického zadání křivky, tj. je-li x = (t) C1 , y = (t) C1 , t , () = a, () = b, ( t) > 0 na [, ], platí L = [ (t)]2 + [ (t)]2 dt. (12.3.1) Příklad 12.7 Půlkružnice je dána parametrickými rovnicemi x = cos t, y = sin t, t [0, ]. Najděte její délku. Řešení. Podle (12.3.1) je L = 0 [ sin(t)]2 + [cos(t)]2 dt = 0 dt = . 12.3.3 Objem tělesa Obrázek 12.3.3: Objem tělesa MATEMATIKA 1B 198 Naší úlohou je najít objem V prostorového tělesa znázorněného na obrázku 12.3.3. Toto těleso se nachází mezi dvěma rovinami o rovnicích x = a a x = b. Budeme před- pokládat, že plocha řezu tělesa rovinou x = x je známa a je určena spojitou funkcí P = S(x ), pro každé x [a, b]. Pak V = b a S(x) dx. (12.3.2) 12.3.4 Objem rotačního tělesa Obrázek 12.3.4: Objem rotačního tělesa Vzniklo-li těleso rotací křivostranného lichoběžníka KL omezeného křivkou y = f(x) kolem osy x (viz. obrázek 12.3.4), je plocha řezu tělesa rovinou x = x plochou kruhu o poloměru r = f(x ), tedy S(x ) = f2 (x ). Pak dle vzorce (12.3.2) platí V = b a f2 (x) dx. Je-li křivka y = f(x) zadána parametricky, tj. x = (t) C1 , y = (t), t [, ], () = a, () = b, ( t) > 0 na [, ], pak V = 2 (t) ( t) dt. 12.3.5 Obsah rotační plochy Je-li y = f(x) C1 , pak je plošný obsah Q rotační plochy, která je pláštěm tělesa z obrázku 12.3.4 určen vztahem Q = 2 b a f(x) 1 + [f (x)]2 dx. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 199 V parametrickém případě, když x = (t) C1 , y = (t) C1 , t [, ], () = a, () = b, ( t) > 0 na [, ] platí: Q = 2 (t) ( (t))2 + ( (t))2 dt. 12.4 Integrace s programem Maple 12.4.1 Analytická integrace s programem Maple Důležitou částí programu Maple je možnost analytické integrace. Ta se provádí pomocí příkazu "int", jehož syntaxe je podobná jako syntaxe příkazu "diff". Příklad 12.8 Najděte integrál x 2 dx. pomocí Maple. Řešení. Napišme odovídající příkaz v programu Maple: int(x*x,x); Výsledek vypsaný programem Mample je tvaru: 1 3 x3 . Příklad 12.9 Najděte integrál x ex dx. pomocí Maple (viz Příklad 9.9). Řešení. Napišme odpovídající příkaz v Maple: int(x*x,x); Výsledek, vypsaný programem Maple, je tvaru: xex - ex . Všimněme si, že ve výsledku vypsaném programem integrační konstanta chybí. MATEMATIKA 1B 200 12.4.2 Určité integrály s programem Maple Příklad 12.10 Najděte integrál 0 e-t 1 + t3/2 dt pomocí programu Maple. Řešení. Napišme odpovídající příkaz programu Maple: int(exp(-t)/(1+t^(3/2)),t=0..infinity); Výsledek vypsaný programem Maple je příliš neohrabaný. V tomto případě -- protože výsledkem je konstanta -- lze použít příkazu "evalf" pro nalezení numerické aproximace: evalf(%); Nyní Maple dává numerický výsledek: .613073060. 12.5 Shrnutí Ukázali jsme si způsoby výpočtu nevlastních integrálů a to jak v případě, kdy jde o integrál přes neohraničený interval, tak i v případě, že jde o integrál z neohraničené funkce. V obou případech jsme zformulovali podmínky konvergence. Použití výpočetní techniky pro výpočet nevlastních integrálů je omezeno možnostmí programového vybavení. Uvedené aplikace určitého integrálu jsou pouze zlomkem jeho použití. Další aplikace budou uvedeny v navazujících matematických i technických předmětech. Při praktickém užití určitého integrálu jsme využily všech znalostí a dovedností, které jsme získali u neurčitého integrálu. Platí, že pro efektivní využívání teoretických znalostí je třeba mít určitou praktickou zkušenost. 12.6 Kontrolní příklady ke kapitole 12 1. Vypočtěte nevlastní integrály (a) 1 -1 dx 3 x2 (b) 1 -1 1 x2 dx (c) 0 e-ax2 xdx , a > 0 (d) 0 e-ax sin bxdx , a > 0 2. Vypočtěte obsah plochy omezené křivkami: Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 201 (a) parabolou y2 = x , přímkou x = 3 a přímkou y = 0. (b) y = 1 x , y = 2 x , y = x, y = 2x. (c) x = cos y + 2, y = 2, y = 0, x = 0. Výsledky jsou uvedeny v části 15.12. Kapitola 13 Diferenciální počet funkcí více proměnných (část 1) 13.1 Cíl kapitoly Už dříve jsme se seznámili s vlastnostni funkce jedné proměnné. Velmi často se v aplikacích setkáváme s funkcemi, které závisí na dvou a více proměnných. V této kapitole začneme podrobněji studovat vlastnosti takových funkcí. Cílem této kapitoly je vyložit pojem limity funkce a spojitosti funkce v případě, že funkce závisí na více než jedné nezávislé proměnné. Začneme zavedením limity funkce více proměnných. Ukážeme, jak se počítají limity funkcí více proměnných. Pomocí pojmu limity budeme definovat spojitost funkce. Limita se stane také výchozím aparátem pro určení parciální derivace funkce. Vyložíme také geometrický význam parciálních derivací. Zavedeme si pojem gradientu funkce jako vektoru, jehož složky jsou parciální derivace podle jednotlivých proměnných. Stále se budeme opírat o znalosti derivování funkcí jedné proměnné. Ukážeme, že parciální derivace funkce více proměnných je derivace funkce, kdy se jedna proměnná zůstává proměnnou a ostatní pokládáme za parametry. Tím je dána i souvislost mezi parciálními derivacemi funkce více proměnných a derivacemi funkce jedné proměnné. 202 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 203 13.2 Diferenciální počet funkcí více proměnných 13.2.1 Funkce definované v Rn Definice 13.1 Veličina y se nazývá funkcí proměnných x1, x2, . . . , xn definovanou na množině D Rn , jestliže je každému bodu množiny D přiřazena určitá hodnota proměnné y. Označujeme: y = f(x1, x2, . . . , xn) nebo stručně: y = f(x). Množina D se nazývá definičním oborem funkce f. Jestliže D R2 , užíváme často zkrácený zápis z = f(x, y). Jestliže D R3 , pak často zapisujeme funkci vztahem u = f(x, y, z). Jako příklady funkce více proměnných mohou sloužit funkce y = x1 + x2 2 + x3 3 + + xn n a y = exp x1 x2 + x3x4. Je-li z = f(x, y) funkce dvou nezávisle proměnných x a y, jejím grafem nazýváme množinu bodů, jejichž x-ovými a y-ovými souřadnicemi jsou hodnoty x a y a třetí souřadnice je odpovídající hodnota z, tj. množina bodů (x, y, f(x, y)). Grafem funkce definované na některé oblasti roviny je obvykle plocha. Příklad 13.2 Jaké plochy jsou dány vztahy z = R 2 - x2 - y2, z = x2 + y2 . Řešení. První z ploch je horní polokoulí (viz. Obrázek 13.2.1). Plocha daná druhým vztahem je rotační paraboloid (viz. Obrázek 13.2.2). 13.2.2 Limita funkce více proměnných Definice 13.3 Říkáme, že funkce f(x) = f(x1, x2, . . . , xn), x = (x1, x2, . . . , xn) má v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) limitu rovnou číslu A, jestliže je definována v okolí x0 s výjimkou nejvýše bodu x0 samotného a jestliže pro libovolné > 0 existuje > 0 takové, že |f(x) - A| < pro všechna x = x0 splňující nerovnost |xi - x0 i | < , i = 1, 2, . . . , n. MATEMATIKA 1B 204 Obrázek 13.2.1: Horní polokoule Obrázek 13.2.2: Rotační paraboloid Z této definice vyplývá, že pokud limita A existuje, pak je jediná. Taková limita se nazývá vlastní. Jestliže A = (pokuste se modifikovat výše uvedenou definici pro tento případ), pak se limita nazývá nevlastní. Pro označení limity užíváme následující zápis lim xx0 f(x) = A nebo lim xi x0 i i = 1, 2, . . . , n f(x1, x2, . . . , xn) = A. Příklad 13.4 Najděte lim x 0 y 0 f(x, y) kde f(x, y) = x3 + y3 x2 + y2 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 205 Řešení. Sestavíme tuto pomocnou nerovnost: (x3 + y3 )2 = x6 + 2x3 y3 + y6 < 2(x6 + y6 ) < 2(x6 + 3x4 y2 + 3x2 y4 + y6 ) = 4(x2 + y2 )3 . Tedy |x3 + y3 | < 2(x2 + y2 ) 3 2 a |f(x, y)| < 2 x 2 + y2 . Nyní je zřejmé, že lim x 0 y 0 f(x, y) = 0. Příklad 13.5 Existuje lim x 0 y 0 (x, y) pro (x, y) = x2 - y2 x2 + y2 ? Řešení. a) Necht' y = x. Pak lim x 0 y 0 (x, y) = lim x0 x2 - x2 x2 + x2 = 0 Tedy jestliže A existuje, pak A = 0. b) Necht' y = 2x. Pak lim x 0 y 0 (x, y) = lim x0 -3x2 5x2 = - 3 5 . Tedy jestliže A existuje, pak A = - 3 5 . Dostáváme spor. Vidíme, že funkce (x, y) nemá limitu v bodě (0, 0). Uvedeme některá užitečná pravidla pro výpočet limity (předpokládáme existenci vlastních limit limxx0 f(x) = F, limxx0 (x) = ): 1. lim xx0 (f(x) (x)) = F , 2. lim xx0 f(x)(x) = F , 3. lim xx0 f(x) (x) = F jestliže (x) = 0 a = 0. MATEMATIKA 1B 206 13.2.3 Spojitost funkce Definice 13.6 Říkáme, že funkce f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) je spojitá v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), jestliže je definována v okolí bodu x0 včetně bodu x0 samotného a jestliže lim xx0 f(x) = f(x0 ). Příklad 13.7 Je funkce f(x, y) = x3+y3 x2+y2 jestlie x2 + y2 > 0, 0 jestlie x = y = 0 spojitá v bodě (0, 0)? Řešení. Funkce je spojitá, protože podle Příkladu 13.4 lim x 0 y 0 f(x, y) = 0 = f(x, y). Podmínka spojitosti funkce f v bodě x0 může být přepsána ve tvaru: lim h0 f(x0 + h) = f(x0 ), kde h = (h1, h2, . . . , hn). Přírůstek (nebo absolutní přírůstek ) funkce f v bodě x0 odpovídající přírůstku h vektorového argumentu je definován následovně: f(x0 ) = f(x0 + h) - f(x0 ). Můžeme tedy přepsat definici spojitosti f v bodě x0 pomocí přírůstků: Funkce je spojitá v x0 , jestliže lim h0 f(x0 ) = 0 kde f(x0 ) = f(x0 1 + h1, x0 2 + h2, . . . , x0 n + hn) - f(x0 1, x0 2, . . . , x0 n). Obvyklá pravidla pro počítání se spojitými funkcemi nadále platí, např. součet, rozdíl, součin a podíl dvou funkcí f(x) a (x) je spojitý v bodě x0 , pokud jsou zde spojité funkce f(x) a (x) (pro podíl navíc požadujeme, aby (x) a (x0 ) = 0). 13.2.4 Parciální derivace Definice 13.8 Parciální derivace f(x1, x2 . . . , xn) vzhledem k nezávisle proměnné xj v bodě (x1, x2 . . . , xn) je definována jako limita fx j (x1, x2 . . . , xn) = lim h0 1 h [f(x1, x2 . . . , xj-1, xj + h, xj+1, . . . , xn) - f(x1, x2 . . . , xn)] , kde j {1, 2, . . . , n}, za předpokladu, že tato limita existuje. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 207 Pro parciální derivace používáme následující značení: fx j , f xj , f(x) xj , j {1, 2, . . . , n}. Poznámka 13.9 Parciální derivace fx j není nic jiného než derivace funkce f(x1, x2 . . . , xn), na niž pohlížíme jako na funkci proměnné pouze xj pro pevná x1, x2 . . . , xj-1, xj+1, . . . , xn. Příklad 13.10 Je-li f(x1, x2, x3) = x1x5 2x7 3, jaká je hodnota fx 3 (x1, x2, x3)? Řešení. Snadno nalézáme fx 3 (x1, x2, x3) = 7x1x5 2x6 3. 13.2.5 Geometrický význam parciální derivace Funkce dvou proměnných z = f(x, y) geometricky představuje množinu bodů (x, y, f(x, y)), kde (x, y) Df , tedy plochu v třídimenzionálním prostoru, v němž jsou zavedeny pravoúhlé kartézské souřadnice (x, y, z). Derivace fx (x0, y0) (za předpokladu, že existuje) je rovna směrnici tečny ke křivce vzniklé řezem plochy z = f(x, z) rovinou y = y0. Analogicky interpretujeme význam parciální derivace fy (x, y). 13.2.6 Rovnice tečné roviny k ploše Necht' je dána funkce z = f(x, y) C1 (D, R), kde D R2 je otevřená oblast. Před- pokládejme, že (x0, y0) D. Množina bodů (x, y, f(x, y)), kde (x, y) D. generuje plochu S. Uvažujme řezy plochy S rovnami y = y0 a x = x0. Ved'me tečny bodem M0(x0, y0, z0), z0 = f(x0, y0) k rovinným křivkám vzniklým v řezech. Rovina T procháze- jící těmito přímkami, které se protínají v bodě M0, se nazývá tečná rovina k ploše S v bodě M0, bod M0 se nazývá bodem dotyku roviny T a plochy S. Tečna vedená bodem M0 k řezu plochy S rovinou y = y0 je určena rovnicemi z - z0 = fx (x0, y0)(x - x0), y = y0. Tečna vedená bodem M0 k řezu plochy S rovinou x = x0 je určena rovnicemi z - z0 = fy (x0, y0)(y - y0), x = x0. Rovnici tečné roviny T procházející body M0(x0, y0, z0) lze vyjádřit jako z - z0 = A(x - x0) + B(y - y0), kde A a B jsou vhodné konstanty. Protože obě tečny musí v této rovině ležet, dostáváme A = fx (x0, y0), B = fy (x0, y0) a rovnice T bude mít tvar z - z0 = fx (x0, y0)(x - x0) + fy (x0, y0)(y - y0). (13.2.1) MATEMATIKA 1B 208 13.2.7 Gradient Vektor grad (x) = x 1 (x), x 2 (x), . . . , x n (x) s e nazývá gradientem funkce v bodě x. Kromě označení grad (x) používáme i (x) (čteme " nabla"). Věta 13.11 Gradient funkce F(x, y, z) z - f(x, y) je kolmý k tečné rovině vedené bodem (x, y, z) plochy z = f(x, y). Důkaz. Rovnice tečné roviny v bodě (x0, y0) plochy (x, y, f(x, y)), kde z = f(x, y), a z0 = f(x0, y0) je: z - z0 = fx (x0, y0)(x - x0) + fy (x0, y0)(y - y0) a tečné vektory Tx, Ty mají souřadnice: Tx = (1, 0, fx (x0, y0)) , Ty = 0 , 1, fy (x0, y0) . Gradient F = - fx (x0, y0), -fy (x0, y0), 1 . Pak snadno ověříme, že skalární součiny (Tx, F) = 0, (Ty, F) = 0 a následně F Tx, F Ty. Důkaz zakončíme poznámkou, že tečné vektory Tx, Ty určují tečnou rovinu z = f(x, y) procházející bodem (x0, y0, z0). Proto je gradient F kolmý k tečné rovině. Věta 13.12 Derivace funkce f(x) ve směru jednotkového vektoru je rovna průmětu gradientu f v tomto bodě do daného směru: f = (grad f, ) = gradf. Důkaz. Zřejmě platí (grad f, ) = |grad f| || cos(grad f, ) = |grad f| cos(grad f, ) = grad f. Věta 13.13 Směrová derivace funkce f je maximální, jestliže gradient f je rovnoběžný a souhlasně orientovaný s . Důkaz. Protože maximální hodnoty je dosaženo, jestliže f = |grad f| cos(grad f, ) = |grad f|, tj. jestliže cos(grad f, ) = 1, pak zjevně grad f . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 209 13.3 Shrnutí V této kapitole jsme se seznámili s dalšími základními pojmy matematické analýzy, s pojmy funkce více proměnných, limity funkce více proměnných a parciální derivace, které spolu úzce souvisí. Pomocí nich byly definovány další pojmy, jako je např. spojitost funkce. Zvláště parciální derivace se často vyskytují v navazujících matematických předmětech a v nejrůznějších aplikacích, jako je třeba fyzika a telekomunikace, kde přenos signálu může být popsán tzv. telegrafní rovnicí, která je diferenciální rovnicí obsahující parciální derivace, tedy rovnicí, ve které se kromě neznámé funkce vyskytují i její parciální derivace. 13.4 Kontrolní příklady ke kapitole 13 1. Vypočtěte limitu následujících funkcí (a) limx(1,0) x+y+1 x+y+3 (b) limx(0,0) x2+y2 x2+y2+1-1 2. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité (a) f(x, y) = 2x-5y x2+y2-1 (b) f(x, y) = 1 sin xsin y 3. Vypočtěte parciální derivace funkcí: (a) f(x, y) = arctg x y (b) f(x, y, z) = x y z Výsledky jsou uvedeny v části 15.13. Kapitola 14 Diferenciální počet funkcí více proměnných - (část 2) 14.1 Cíl kapitoly U funkce jedné proměnné jsme si definovali nejdříve první derivaci a pomocí ní druhou derivaci jako derivaci první derivace, třetí derivaci jako derivaci druhé derivace, atd. Ob- dobně budeme postupovat i nyní. Druhá parciální derivace bude definována jako parciální derivace první parciální derivace. Ukážeme, že za určitých podmínek nebudou tzv. smíšené parciální derivace záviset na pořadí derivování. Zavedeme pojem diferencovatelné funkce a totálního diferenciálu. Obdobně jako u funkcí jedné proměnné zavedeme i diferenciály vyšších řádů. Ukážeme některé základní vlastnosti parciálních derivací vyšších řádů. Budeme defi- novat směrovou derivaci a Taylorův polynom pro funkci více proměnných. Zvláštní pozornost budeme věnovat výpočtu lokálních extrémů funkce více proměn- ných, určení minimální a maximální hodnoty funkce na dané uzavřené oblasti a stanovení tzv. vázaných extrémů. 210 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 211 14.2 Parciální derivace vyšších řádů Derivace fx j , j = 1, 2, . . . , n se nazývají také parciální derivace prvního řádu (první par- ciální derivace) funkce f. Výrazy xi xj f = 2 f xixj , i, j = 1, 2, . . . , n (nebo fx ixj ) se nazývají parciální derivace druhého řádu (druhé parciální derivace funkce f). Pro i = j je označujeme jako 2 f x2 i (nebo fx 2 i ). Analogicky definujeme parciální derivace vyšších řádů, např. obecně derivaci m-tého řádu podle proměnné xk xk . . . xk f m-krát = m f xm k nebo derivaci 5-tého řádu podle proměnných x, z, y, y, z: z y y z x f = 5 f zy2zx . 14.3 Nezávislost smíšených derivací na pořadí derivování Parciální derivace fx ixj , fx 2 i xj , i = j apod., t.j. derivace ve kterých derivování probíhá nejméně vzhledem ke dvěma různým proměnným, se nazývají smíšené parciální derivace. Věta 14.1 Necht' je funkce z = f(x, y) definována na otevřené množině G roviny xy a necht' zde existují parciální derivace fx , fy . Jestliže má funkce f spojité parciální derivace fx y a fy x v bodě (x0, y0) G, jsou si v tomto bodě tyto derivace rovny. fx y(x0, y0) = fy x(x0, y0) . Příklad 14.2 Ilustrujte Větu 14.1 v případě funkce funkci z = x3 y2 , je-li vektor K = (1, 1). Řešení. Snadno se přesvědčíme, že pro funkci z platí: z = x3 y2 , zx = 3x2 y2 , zy = 2x3 y, zx y = 6x2 y = zy x. Věta 14.3 Jestliže všechny parciální derivace funkce f(x1, x2, . . . , xn) (příslušné danému vektoru K = (k1, . . . , kn) s celočíselnými souřadnicemi, které vyjadřují maximální řády parciálních derivací vzhledem k proměnným x1, x2, . . . , xn) do řádu k1 + k2 + + kn - 1 existují na některé otevřené oblasti G Rn a všechny parciální derivace řádu k1 + k2 + + kn jsou spojité na G, pak lze libovolně změnit pořadí derivování v libovolné z těchto derivací bez vlivu na konečný výsledek. MATEMATIKA 1B 212 Příklad 14.4 Ilustrujte Větu 14.3, je-li vektor K = (1, 2, 2). Řešení. Vypišme jen několik možností: 5 f zy2zx = 5 f z2y2x = 5 f xy2z2 . 14.4 Diferencovatelná funkce. Totální diferenciál. Definice 14.5 Říkáme, že funkce y = f(x1, x2, . . . , xn) je diferencovatelná v daném bodě (x1, x2, . . . , xn), jestliže její celkový přírůstek (nebo stručně přírůstek) lze zapsat ve tvaru f(x) = f(x + h) - f(x) = fx 1 (x)h1 + fx 2 (x)h2 + + fx n (x)hn + (h) h , (14.4.1) kde h = h 2 1 + h2 2 + + h2 n a (h) je taková funkce, že limh0 (h) = 0. Říkáme, že funkce diferencovatelná v každém bodě určité oblasti je diferencovatelná na této oblasti. Definice 14.6 Hlavní část celkového přírůstku se nazývá totální diferenciál (nebo stručně diferenciál) funkce, tj. df(x) = ni =1 fx i (x)hi. (14.4.2) Snadno lze ověřit, že dxi = hi. Připomeňme, že dx = x = (x + h) - x = h, dxi = xi = (xi + hi) - xi = hi, i = 1, . . . , n. Totální diferenciál můžeme v tomto případě zapsat takto: df(x) = ni =1 fx i (x)dxi. Příklad 14.7 Necht' z = 3axy - x3 - y3 , kde a R. Najděte dz v bodě z0 = (1, 2). Řešení. Dle vzorce (14.4.2) nacházíme dz = (3ay - 3x2 )dx + (3ax - 3y2 )dy. V bodě z0 máme dz(1, 2) = (6a - 3)dx + (3a - 12)dy. Příklad 14.8 Nalezněte diferenciál funkce z = xy , x > 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 213 Řešení. Užitím vzorce (14.4.2) dostáváme dz = (yxy-1 )dx + (xy ln x)dy. Bez důkazu uvedeme další pravidla pro výpočet diferenciálů: d(u v) = du dv, d(uv) = du v + v du, d u v = 1 v2 (vdu - udv), jestlie v = 0. Následující příklad ukazuje, že existence parciálních derivací není dostatečným předpok- ladem diferencovatelnosti funkce. Příklad 14.9 Je funkce f(x, y) = | xy| diferencovatelná v bodě (0, 0)? Řešení. Vypočteme parciální derivace fx (x, y) = 1 2 | xy| (|xy|)x = |y|signx 2 | xy| = | y|signx 2 | x| pro xy = 0 a fy (x, y) = | x|signy 2 | y| pro xy = 0. Tyto vztahy nejsou vhodné pro výpočet hodnot fx (0, 0), fy (0, 0), nebot' nejsou v bodě (0, 0) definovány. Pro výpočet těchto hodnot musíme postupovat podle definice: fx (0, 0) = lim h0 1 h (f(h, 0) - f(0, 0)) = lim h0 1 h 0 = 0 a podobným způsobem dostáváme fy (0, 0) = 0. Nyní vypočteme f(x, y)|(0,0) = 0 h1 + 0 h2 + (h1, h2) h 2 1 + h2 2 a f(0, 0) = f(h1, h2) - f(0, 0) = | h1h2| = | h1h2| h 2 1 + h2 2 h 2 1 + h2 2. Je vidět, že můžeme položit (h1, h2) = | h1h2| h 2 1 + h2 2 . MATEMATIKA 1B 214 Bohužel limita lim h10,h20 (h1, h2) neexistuje, nebot' např. pro h1 = h2 : lim h10 (h1, h1) = 1 2 a pro h1 = 2h2 : lim h10 (h1, h1/2) = 2 5 . Tedy funkce f(x, y) není diferencovatelná. 14.5 Diferenciály vyšších řádů Definice 14.10 Druhý diferenciál (diferenciál druhého řádu) funkce f(x) (kde přdpok- ládáme, že x = (x1, x2, . . . , xn)) odpovídající nezávislým přírůstkům (diferenciálům) dx1, dx2, . . . , dxn je definován jako diferenciál z diferenciálu, tedy d2 f = d(df). Obecně je diferenciál l-tého řádu (l-tý diferenciál) funkce f pro nezávislé diferenciály dx1, dx2, . . . , dxn definován indukcí pomocí rekurentní formule dl f = d(dl-1 f), l = 2, 3, . . . . Pro nezávisle proměnné x1, x2, . . . , xn máme dxj = xj, j = 1, 2, . . . , n. Diferenciály dxj budeme také nazývat nezávislé diferenciály, abychom zdůraznili, že jsou nezávislé na x = (x1, x2, . . . , xn). Nezávislost veličin dxj se formálně ukazuje v průběhu derivování: derivujeme-li vzhledem k x1, x2, . . . , xn, považujeme ostatní nezávisle proměnné za kon- stanty, tj. d(dxj) = 0, j = 1, 2, . . . , n. Příklad 14.11 Vypočtěme druhý diferenciál d2 f(x1, x2, . . . , xn). Řešení. Podle definice dostáváme d2 f(x1, x2, . . . , xn) = d(df(x1, x2, . . . , xn)) = = d n i =1 f xi dxi = ni =1 d f xi dxi = ni =1 d f xi d xi+ + ni =1 f xi d(dxi) = ni =1 nj =1 2 f xixj dxjdxi. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 215 Proto např. d2 f(x, y) = fx x(dx)2 + 2fx ydxdy + fy y(dy)2 . Práci s diferenciály si můžeme usnadnit. Zaved'me proto pomocný operátor Dn = x1 dx1 + x2 dx2 + + xn dxn, se kterým zacházíme podle předpisu Dnf = ni =1 f xi dxi . Pak lze ověřit, že pro diferenciály vyšších řádů platí dk f = (Dn)k f. Zvažujme například situaci, kdy n = 2, k = 2. Potom (D2)2 = x1 dx1 + x2 dx2 2 = 2 x2 1 (dx1)2 + 2 2 x1x2 dx1dx2 + 2 x2 2 (dx2)2 . Užijme nalezený operátor D2 k výpočtu diferenciálu: d2 f(x, y) = D2 2f(x, y) = fx x(dx)2 + 2fx ydxdy + fy y(dy)2 . V obecném případě dostáváme pro n = 2 (podle binomické věty) (D2)k = x1 dx1 + x2 dx2 k = = k xk 1 (dx1)k + k 1 k xk-1 1 x2 (dx1)k-1 dx2+ + k 2 k xk-2 1 x2 2 (dx1)k-2 dx2 2 + + k p k xk-p 1 xp 2 (dx1)k-p dxp 2 + + + k k - 1 k x1xk-1 2 dx1(dx2)k-1 + k xk 2 (dx2)k . 14.6 Interpretace totálního diferenciálu funkce dvou proměnných Snadno lze ověřit, že z rovnice tečné roviny k ploše (viz Kapitola 13.2.6, vztah (13.2.1)) vyplývá (souřadnice zT udává hodnotu souřadnice z na tečné rovině) zT = fx (x0, y0)x + fy (x0, y0)y, MATEMATIKA 1B 216 kde z = z - z0, x = x - x0 a y = y - y0. Protože x a y jsou nezávisle proměnné, poslední rovnici lze napsat ve tvaru zT = fx (x0, y0)dx + fy (x0, y0)dy a nebo v následujícím tvaru (který udává také stručný tvar rovnice tečné roviny) zT = dz, (14.6.3) kde dz = fx dx + fy dy. (zde je souřadnice z hodnotou funkce f(x, y)). Věta 14.12 Totální diferenciál funkce z = f(z, y) je roven přírůstku zT na tečné rovině vedené ke grafu funkce odpovídajícím bodem. 14.7 Aplikace totálního diferenciálu na přibližné výpočty Připomeňme Definici 14.5 diferencovatelné funkce (viz vztah (14.4.1)): f(x) = ni =1 fx i (x)hi + (h) n i =1 h2 i nebo, stručněji f(x) = df(x) + (x)||x||, kde x = h, tj. x1 = h1, x2 = h2,. . . , xn = hn, xi = (xi + hi) - xi , ||x|| = n i =1 (xi)2 a lim 0 (h) = 0. Odtud vyplývá: f(x) df(x) jestliže x 0 a df(x) = 0 když x = 0. Tento přibližný vzorec může být dokázán vzhledem k tomu, že lim x0 (x) = 0. Příklad 14.13 Napišme přibližný vzorec pro výpočet hodnot funkce z = ln(xy + 2y2 - 2x). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 217 Řešení. Řešení: Postupně nacházíme: z(1, 1) = 0, zx (x, y) = y - 2 xy + 2y2 - 2x , zx (1, 1) = -1, zy (x, y) = x + 4y xy + 2y2 - 2x , zy (1, 1) = 5. Tedy v okolí bodu (1, 1) ln(xy + 2y2 - 2x) -(x - 1) + 5(y - 1). Například pro volbu x = y = 1, 1 dostáváme ln(1, 12 + 2 1, 12 - 2, 2) -0, 1 + 5 0, 1 = 0, 4. Tento výsledek je v dobré shodě se skutečnou hodnotou: přesnější hodnota je ln(1, 12 + 2 1, 12 - 2, 2) = ln 1, 43 0, 357. 14.8 Derivace složené funkce Věta 14.14 Necht' je funkce u = f(x, y, z) diferencovatelná v bodě (x, y, z) G (G je otevřená oblast v R3 ) a necht' funkce x = (t), y = (t), z = (t) (14.8.4) závislé na skalárním argumentu t mají derivace vzhledem k t. Pak derivaci složené funkce vzhledem k t (předpokládáme, že se t mění na nějakém intervalu a že všechny výrazy jsou definované) u = F(t) = f((t), (t), (t)) (tedy derivace f podél křivky určené vlastnostmi (14.8.4)) lze vyjádřit vzorcem F ( t) = fx ((t), (t), (t)) ( t) + fy ((t), (t), (t)) ( t) + fz ((t), (t), (t)) ( t). Analogicky pokud např. z = f(u, v), kde u = (x, y) a v = (x, y), pak parciální derivace funkce z = F(x, y) = f((x, y), (x, y)) jsou vyjádřeny vztahy zx = Fx = fu ((x, y), (x, y)) x (x, y) + fv ((x, y), (x, y)) x (x, y), zy = Fy = fu ((x, y), (x, y)) y (x, y) + fv ((x, y), (x, y)) y (x, y). Výše uvedená pravidla lze aplikovat na funkce libovolného počtu nezávisle proměnných a libovolného počtu přechodných argumentů. Všimněme si rozdílu mezi derivacemi dz dx a z x . MATEMATIKA 1B 218 Zatímco první je totální derivace, tj. obyčejná derivace z jako funkce x, druhá je (explic- itní) parciální derivace z vzhledem k argumentu x vystupujícímu v původním vyjádření funkce, tj. vypočtená za předpokladu, že všechny ostatní argumenty, ač závislé na x ve složené funkci, jsou v tomto procesu derivování považovány za konstanty. Příklad 14.15 Uvažujme funkci z = eu sin v , kde pokládáme u = xy a v = x + y. Najděte zx a zy . Řešení. Postupně nalézáme: zx = exy y sin(x + y) + exy cos(x + y) = exy [y sin(x + y) + cos(x + y)], zy = exy x sin(x + y) + exy cos(x + y) = exy [x sin(x + y) + cos(x + y)]. Příklad 14.16 Necht' z = x3 eu2 , kde u je funkce proměnné x, tj. u = (x). Najděte z x je-li u nezávislou veličinou a dz dx je-li u je funkce proměnné x, tj. u = (x). Řešení. z x = zx = 3x2 eu2 a dz dx = 3x2 eu2 + x3 eu2 2u ( x) nebo dz dx = 3x2 e2(x) + 2x3 e2(x) (x) ( x). 14.9 Směrová derivace Definice 14.17 Necht' = (1, 2, . . . , n) je jednotkový vektor. (Směrová) derivace funkce f v bodě x = (x1, x2, . . . , xn) ve směru vektoru (podél ) je limita f (x) = f (x) = lim t0 f(x + t) - f(x) t (za předpokladu, že existuje). Věta 14.18 Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x0 = (x0 1, x0 2, . . . , x0 n), Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 219 pak existuje její derivace ve směru libovolného jednotkového vektoru = (1, 2, . . . , n) a lze ji vyjádřit vztahem f (x0 ) = f x1 (x0 ) 1 + f x2 (x0 ) 2 + + f xn (x0 ) n. (14.9.5) Poznámka 14.19 Směrové derivace jsou zobecněním parciálních derivací. Skutečně, ze vztahu (14.9.5) dostáváme, že parciální derivace f xi , i = 1, 2, . . . , n, jsou směrové derivace podle vektorů (0, 0, 0, . . . , 0 i -1 , 1, 0, . . . , 0). Geometrický význam směrové derivace. Je-li z = f(x, y), pak je směrová derovace f (P) rovna tangentu úhlu sevřeného tečnou k řezu plochy z = f(x, y) rovinou kolmou k rovině xy a procházející vektorem = (1, 2), přiloženým k bodu P. Je-li nutné vypočítat směrovou derivaci funkce f ve směru vektoru , který není jed- notkový, nejprve vektor dělíme jeho délkou, tj. definujeme jednotkový vektor = . Pak počítáme směrovou derivaci podle vektoru . Příklad 14.20 Najděte derivaci funkce u = xy2 z3 v bodě M(3, 2, 1) ve směru vektoru 1 = (2, 2, 1). Řešení. Vektor 1 není jednotkový. Proto vypočteme = 1 |1| = (2, 2, 1) 9 = 2 3 , 2 3 , 1 3 a u (M) = y2 z3 M 2 3 + 2xyz3 M 2 3 + 3 xy2 z2 M 1 3 = 4 2 3 + 12 2 3 + 36 1 3 = 22 2 3 . MATEMATIKA 1B 220 14.10 Taylorův vzorec Uvažujme dva body P(x1, x2, . . . , xn) a P0 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n). Taylorův vzorec pro funkci f(x), kde x = (x1, x2, . . . , xn) v bodě P0 se zbytkem Rn v tzv. Lagrangeově tvaru lze vyjádřit jako: f(P) = f(P0 ) + 1 1! df(P0 ) + + 1 2! d2 f(P0 ) + + 1 (n - 1)! d(n-1) f(P0 ) + Rn, kde Rn = 1 n! dn f(P0 + (P - P0 )), (0, 1), = const. Bod P0 + (P - P0 ) lze vyjádřit v souřadnicovém tvaru jako P0 + (P - P0 ) = (x0 1 + (x1 - x0 1), x0 2 + (x2 - x0 2), . . . , x0 n + (xn - x0 n)). Příklad 14.21 Rozviňme podle Taylorova vzorce funkci z = xy v okolí bodu (1, 1) pro n = 3. Řešení. Nejprve vypočteme parciální derivace: zx = yxy-1 , zy = xy ln x, zx 2 = y(y - 1)xy-2 , zx y = xy-1 (1 + y ln x), zy 2 = xy (ln x)2 , zx 3 = y(y - 1)(y - 2)xy-3 , zy 3 = xy (ln x)3 , zx 2y = (y - 1)xy-2 (1 + y ln x) + xy-1 y x = xy-2 ((y - 1)(1 + y ln x) + y) , zx y2 = yxy-1 (ln x)2 + 2xy ln x 1 x = xy-1 y (ln x)2 + 2 ln x . Položme P0 = (1, 1). Pak f(P0 ) = 1, fx (P0 ) = 1, fy (P0 ) = 0. Totální diferenciál má pak tvar df(P0 ) = 1 x + 0 y = x = x - x0 = x - 1. Dále fx 2 (P0 ) = 0, fx y(P0 ) = 1, fy 2 (P0 ) = 0. Tedy d2 f(P0 ) = fx 2 (P0 )(x)2 + 2fx y(P0 )xy + fy 2 (P0 )(y)2 = = 2xy = 2(x - 1)(y - 1). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 221 Zbytek lze zapsat ve tvaru R3 = 1 6 ~ y(~y - 1)(~y - 2)~x~y-3 (x)3 + + 3~x~y-2 ((~y - 1)(1 + ~y ln ~x) + ~y) (x)2 y+ + 3~x~y-1 ~ y(ln ~x)2 + 2 ln ~x x(y)2 + + ~x~y (ln ~x)3 (y)3 , kde x = x - 1, y = y - 1 a ~x = 1 + (x - 1), ~y = 1 + (y - 1). Tedy Taylorův rozvoj funkce je dán takto: xy = 1 + (x - 1) + 1 2 2(x - 1)(y - 1) + R3 = x + (x - 1)(y - 1) + R3. Dosad'me konkrétní numerické hodnoty. Jestliže například x = 1, 04 a y = 1, 03, tj. x = 0, 04 a y = 0, 03, pak 1, 041,03 = 1, 04 + 0, 0012 + R3 = 1, 0412 + R3. Protože 0 < ~x < 1, 04 a 0 < ~y < 1, 03, dostáváme pro zbytek R3 odhad |R3| < 1 6 1 , 03 0, 03 1 1 0, 043 + + 3 1 (0, 3 (1 + 1, 03) + 1, 03) 0, 042 0, 03+ + 3 1 (1, 03 + 2) 0, 04 0, 032 + + 4 2 0, 033 < 0, 00017 . Náš výsledek je v dobré shodě se skutečností. Přesnější výpočet totiž dává: 1, 041,03 1, 041224406. 14.11 Implicitní funkce Implicitní funkce y jedné proměnné x je určena rovnicí F(x, y) = 0. (14.11.6) Existují případy, kdy tato rovnice neurčuje funkci: například rovnice x2 + y2 + 5 = 0 nemá žádné reálné kořeny a tedy y nemůže být považováno za funkci x. Podáme podmínky zaručující, že jedna z neznámých obsažených v rovnici (14.11.6) je určena jako funkce druhé. MATEMATIKA 1B 222 Věta 14.22 Necht' F(x, y) je funkce spojitá i se svými parciálními derivacemi v okolí bodu M0(x0, y0). Jestliže F(x0, y0) = 0 a Fy (x0, y0) = 0, pak pro hodnoty x ležící dostatečně blízko x0 má rovnice (14.11.6) jednoznačné řešení y = (x) závislé spojitě na x takové, že (x0) = y0. Kromě toho má funkce (x) také spojitou derivaci danou vztahem y ( x) ( x) = - Fx (x, (x)) Fy(x, (x)) . (14.11.7) Poznámka 14.23 Vzorec (14.11.7) dává konkrétní hodnotu y ( x0), nebot' y ( x0) = - Fx (x0, (x0)) Fy(x0, (x0)) = - Fx (x0, y0) Fy(x0, y0) . Příklad 14.24 Necht' F(x, y) = x2 + y2 - R2 , R = 0. Aplikujte k tomuto vztahu Větu 14.22. Řešení. Rovnice x2 + y2 - R2 = 0 určuje kružnici. V libovolném bodě M0(x0, y0) této kružnice takovém, že y0 = 0, jsou všechny podmínky Věty 14.22 splněny: x2 0 + y2 0 - R2 = 0, Fy (x0, y0) = 2y0 = 0. Příklad 14.25 Ukažte, že bodem M(1, 1) prochází funkce, zadaná implicitně vztahem F(x, y) = x3 y + ln y - x = 0. Řešení. V bodě M(1, 1) máme F(M) = 0. Parciální derivace Fx (x, y) = 3x2 y - 1, Fy (x, y) = x3 + 1 y jsou spojité v okolí tohoto bodu a Fy (1, 1) = 2 = 0. Podle Věty 14.22 je tedy jednoznačně určena funkce y = (x) vyhovující dané rovnici taková, že (1) = 1. Ačkoli jsme ukázali existenci funkce (x), nelze ji vyjádřit jako elementární funkci x, protože rovnice není algebraicky řešitelná pro y. Lze nalézt něk- teré přibližné hodnoty funkce (x), dosadíme-li za x a aplikujeme-li nějakou numerickou metodu. Pro derivace dostáváme ( x) = - 3x2 (x) - 1 x3 + 1 (x) a ( 1) = - 3 - 1 2 = -1. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 223 14.12 Výpočet derivací vyšších řádů funkcí zadaných implicitně Jestliže rovnice F(x, y) = 0 určuje implicitní funkci y = (x), pak F(x, (x)) 0 na odpovídajícím definičním intervalu funkce y = (x). Derivováním tohoto vztahu získáváme (další vztahy budeme zapisovat pomocí rovností) Fx (x, (x)) + Fy (x, (x)) ( x) = 0. Vyjádřením ( x) dostáváme předchozí vzorec (14.11.7) ( x) = - Fx (x, (x)) Fy(x, (x)) . Derivováním tohoto vzorce dostáváme (předpokládáme, že uvedené výrazy existují) ( x) = -1 (Fy(x, (x)))2 Fx x(x, (x)) + Fx y(x, (x)) ( x) Fy (x, (x))+ + Fx (x, (x)) ( Fy x(x, (x)) + Fy y(x, (x)) ( x) n ebo ( x) = -1 (Fy(x, (x)))3 Fx x(x, (x))(Fy (x, (x)))2 - - 2Fx y(x, (x))Fx (x, (x)))Fy (x, (x)) + Fy y(x, (x))(Fx (x, (x)))2 . 14.13 Další případy výpočtu derivací implicitních funkcí a) Jestliže rovnice F(x, y, z) = 0 definuje z = (x, y) na některé dvourozměrné oblasti D R2 , pak podobným postupem jako v části 14.12 nacházíme x (x, y) = - Fx (x, y, (x, y)) Fz(x, y, (x, y)) , y (x, y) = - Fy (x, y, (x, y)) Fz(x, y, (x, y)) . b) Předpokládejme, že soustava F1(x, y1, y2) = 0, F2(x, y1, y2) = 0 MATEMATIKA 1B 224 určuje funkce y1 = 1(x), y2 = 2(x), kde x I R, tedy F1(x, 1(x), 2(x)) 0, F2(x, 1(x), 2(x)) 0 na I. Derivováním těchto vztahů dostáváme F1 x(x, 1(x), 2(x)) + F1 y1 (x, 1(x), 2(x)) 1 (x) + F1 y2 (x, 1(x), 2(x)) 2 (x) 0, F2 x(x, 1(x), 2(x)) + F2 y1 (x, 1(x), 2(x)) 1 (x) + F2 y2 (x, 1(x), 2(x)) 2 (x) 0. Jestliže je determinant J = F1 y1 (x, 1(x), 2(x)) F1 y2 (x, 1(x), 2(x)) F2 y1 (x, 1(x), 2(x)) F2 y2 (x, 1(x), 2(x)) = 0, pak řešením této soustavy dostáváme y1 (x) = 1 (x) = 1 J - F1 x(x, 1(x), 2(x)) F1 y2 (x, 1(x), 2(x)) -F2 x(x, 1(x), 2(x)) F2 y2 (x, 1(x), 2(x)) , y2 (x) = 2 (x) = 1 J F1 y1 (x, 1(x), 2(x)) -F1 x(x, 1(x), 2(x)) F2 y1 (x, 1(x), 2(x)) -F2 x(x, 1(x), 2(x)) . 14.14 Extrémy funkcí více proměnných Definice 14.26 Bod P0 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) se nazývá bodem lokálního maxima (lokál- ního minima) funkce y = f(x1, x2, . . . , xn), jestliže pro každý bod P(x1, x2, . . . , xn) z definičního oboru Df v okolí bodu P platí: f(P) - f(P0 ) 0 ( 0 ). Platí-li místo neostrých nerovností ostré a P = P0 , hovoříme o ostrém lokálním maximu (minimu). Hodnota f(P0 ) se nazývá lokální extrém. Věta 14.27 (Nutná podmínka pro existenci extrému.) Jestliže diferencovatelná funkce y = f(x1, x2, . . . , xn) má v bodě P0 extrém, její parciální derivace v tomto bodě jsou rovny nule: fx 1 (P0 ) = fx 2 (P0 ) = = fx n (P0 ) = 0. (14.14.8) Všimněte si, že pokud diferencovatelná funkce y = f(x1, x2, . . . , xn) má extrém v bodě P0 , pak df(P0 ) = 0. Bod P0 , v němž platí (14.14.8), se nazývá stacionární bod funkce y = f(x1, x2, . . . , xn). Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 225 Příklad 14.28 Určete stacionární body funkce z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 . (14.14.9) Řešení. V tomto případě má systém rovnic (14.14.8) tvar zx = 6x2 + y2 + 10x = 0, zy = 2xy + 2y = 0. Ze druhé rovnice vyplývá, že bud' y = 0 nebo x = -1. Dosadíme tyto hodnoty do první rovnice a určíme čtyři stacionární body: M1(0, 0), M2(-5/3, 0), M3(-1, 2), M4(-1, -2). Abychom zjistili, které z těchto bodů jsou lokálními extrémy, musíme použít některé postačující podmínky pro extrémy. 14.15 Postačující podmínky pro existenci extrému funkce více proměnných Necht' je bod P0 (x0, y0) stacionárním bodem funkce z = f(x, y). Označme A = zx x(P0 ), B = zx y(P0 ), C = zy y(P0 ). Věta 14.29 1) Jestliže AC - B2 > 0, pak má funkce f(x, y) extrém v bodě P0 , je-li A < 0 jedná se o ostré lokální maximum a v případě A > 0 se jedná o ostré lokální minimum 2) Jestliže AC - B2 < 0, nemá funkce v bodě P0 extrém. 3) Jestliže AC - B2 = 0, druhé derivace neposkytují odpověd' na otázku o existenci extrému a je nutné další vyšetřování. Příklad 14.30 Určete lokální extrémy funkce (14.14.9) Použijeme výsledky příkladu (14.28). Druhé derivace jsou zx x = 12x + 10, zx y = 2y, zy y = 2x + 2. Pro první bod M1 máme A = 10, B = 0, C = 2, AC - B2 = 20 > 0, A > 0, a tedy bod M1 je bodem ostrého lokálního minima. Pro bod M2 máme A = -10, B = 0, C = - 4 3 , AC - B2 > 0, A < 0 a tedy bod M2 je bodem ostrého lokálního maxima. Pro bod M3 máme A = -2, B = 4, C = 0, AC - B2 < 0 a tedy bod M3 není bodem lokálního extrému. Konečně pro bod M4 máme A = -2, B = -4, C = 0, AC - B2 < 0. Tedy ani bod M4 není bodem lokálního extrému. MATEMATIKA 1B 226 14.16 Postačující podmínky existence extrému pro obecný případ Necht' bod P0 (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) je stacionárním bodem funkce z = f(x1, x2, . . . , xn). Věta 14.31 1) Jestliže d2 f(P0 ) > 0 (< 0), funkce f(x1, x2, . . . , xn) má ostré lokální minimum (ostré lokální maximum) v bodě P0 . 2) Jestliže d2 f(P0 ) = 0, potom není možné rozhodnout o extrému v P0 užitím derivací druhého řádu a otázka existence extrému zůstává otevřená. Označme aij = fx ixj (P0 ). Uvažujme posloupnost determinantů 1, 2, . . . , n, kde 1 = a11, 2 = a 11 a12 a21 a22 , . . . , n = a 11 . . . a1n . . . . . . . . . an1 . . . ann . Věta 14.32 (Sylvestrovo kritérium) Jestliže 1 > 0, 2 > 0, . . . , n > 0, pak d2 f(P0 ) > 0. Jestliže 1 < 0, 2 > 0, . . . , (-1)n n > 0, pak d2 f(P0 ) < 0. 14.17 Určení maximální a minimální hodnoty funkce na uzavřené oblasti Máme za úkol určit největší a nejmenší hodnotu funkce y = f(x1, x2, . . . , xn) na uzavřené oblasti D. Jestliže funkce dosahuje jedné (nebo obou) těchto hodnot uvnitř oblasti, musí se pochopitelně jednat o lokální extrém. Může se však ukázat, že funkce nabývá největší nebo nejmenší hodnoty (nebo obou) v bodech na hranici dané oblasti. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 227 Abychom našli tzv. globální (nebo také absolutní) maximum (minimum) spojité funkce y = f(x1, x2, . . . , xn) na omezené uzavřené oblasti, je nutné určit všechna lokální maxima (lokální minima), kterých funkce dosahuje uvnitř dané oblasti a také největší (nejmenší) hodnoty, jichž dosahuje na hranici oblasti. Potom největší (nejmenší) z těchto čísel je hledané globální maximum (minimum) dané funkce. Takto formulovaná úloha má vždy řešení. Jedná se o důsledek Weierstrassovy věty pro funkce více proměnných. Nebudeme zde tuto větu formulovat. Poukážeme jen na její jednorozměrný případ, který jsme již diskutovali dříve (viz Větu 6.47 na str. 108). Příklad 14.33 Určeme globální extrémy funkce z = x2 - y2 na oblasti D : x2 + y2 1. Řešení. Zkoumejme funkci f z hlediska existence extrému. Položíme-li parciální derivace rovny nule, dostáváme rovnice zx = 2x = 0 zy = -2y = 0. Řešením tohoto systému je stacionární bod x = y = 0, který patří do oblasti D a neleží na její hranici. Najdeme A = 2, B = 0, C = -2 a AC - B2 < 0. Bod (0, 0) není bodem extrému. Toto si lze geometricky představit, všimneme-li si, že rovnice z = x2 - y2 je rovnicí hyperbolického paraboloidu. Globálních extrémů musí tedy funkce z dosáhnout na hranici oblasti D. Protože hranici oblasti D lze vyjádřit pomocí rovnice y2 = 1 - x2 , x [-1, 1], máme z|D = x2 - (1 - x2 ) = 2x2 - 1. Zkoumejme funkci z = 2x2 - 1 z hlediska extrému, je-li x [-1, 1]. Dostáváme z = 4x = 0 = x = 0 = y = 1, z = 4 > 0. Minimálních hodnot nabývá funkce v bodech M1(0, 1), M2(0, -1), a to z(M1) = z(M2) = -1. Maximálních hodnot nabývá funkce v koncových bodech intervalu [-1, 1], tj. v bodech M3(-1, 0), M4(1, 0), a to z(M3) = z(M4) = 1. Globální extrémy funkce z = x2 - y2 na oblasti D jsou z = 1 (maxima) v bodech M3, M4 a z = -1 (minima) v bodech M1, M2. MATEMATIKA 1B 228 14.18 Vázané extrémy Začneme formulací jednoho problému, který bude sloužit jako ilustrace pro hledání tzv. vázaného extrému. Příklad 14.34 Mezi všemi pravoúhlými rovnoběžnostěny s danou celkovou plochou S máme najít takový, který má největší objem. Řešení. Necht' jsou strany rovnoběžnostěnu označeny x, y a z. Problém se redukuje na hledání největší hodnoty funkce V = xyz za podmínky, že xy + yz + zx = S 2 . Výpočet dokončíme po krátkém teoretickém výkladu. V nejobecnějším případě je problém dán následovně: Je dána funkce u = f(x1, x2, . . . , xn); úkolem je nalézt extrémy za podmínky, že proměnné vyhovují m (m < n) podmínkám: 1(x1, x2, . . . , xn) = 0, 2(x1, x2, . . . , xn) = 0, . . . m(x1, x2, . . . , xn) = 0. Postup řešení je následující. Sestavíme pomocnou funkci (tzv. Lagrangeovu funkci), obsahující n + m proměnných (x1, x2, . . . , xn, 1, . . . , m) = f(x1, x2, . . . , xn) + 11(x1, x2, . . . , xn)+ + 22(x1, x2, . . . , xn) + + mm(x1, x2, . . . , xn). a hledáme její stacionární body. Tzn., že hledáme řešení systému rovnic x 1 = 0, x 2 = 0, . . . , x n = 0, 1 = 0, 2 = 0, . . . , m = 0. Dostáváme body, v nichž může funkce nabývat vázaných extrémů. Tato soustava rovnic poskytuje nutné podmínky, tedy ne každý bod vyhovující této soustavě musí být bodem vázaného extrému. Nebudeme hovořit o postačujících podmínkách pro body vázaného ex- trému. V konkrétním případě je většinou možné zjistit, zda je bod určený výše uvedenými rovnicemi bodem extrému bez toho, že bychom zkoumali, jsou-li splněny dostatečné pod- mínky. Popisovaná metoda je známá jako metoda Lagrangeových multiplikátorů, kterými jsou veličiny 1, 2, . . . , m. Příklad 14.35 Pokračujme v řešení započatého příkladu 14.34. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 229 Pomocnou funkci (x, y, z) lze vyjádřit jako (x, y, z) = xyz + (xy + yz + zx - S/2). Rovnice určující body extrému jsou tvaru x = 0 = yz + (y + z) = 0, y = 0 = xz + (x + z) = 0, z = 0 = xy + (y + x) = 0, = 0 = xy + yz + zx - S/2 = 0. Odečteme-li rovnice od sebe navzájem, dostáváme (z + )(y - x) = 0, (x + )(z - y) = 0, (y + )(z - x) = 0. Odtud vyplývá, že x = y = z, tedy hledaný rovnoběžnostěn je krychle. Rozměry této krychle jsou x = y = z = S /6 a maximální objem je V = S S 6 6 . 14.19 Shrnutí Seznámili jsme se s parciálními derivacemi výšších řádů a s jejich použitím. Odvodili jsme podmínky, kdy smíšené derivace nezáleží na pořadí derivování. Zavedli jsme si Taylorův polynom pro fukci více proměnných. Věnovali jsme se výpočtu derivací pro implicitní funkce. V aplikacích mají časté uplatnění metody určování lokálních extrémů, maximálních či minimálních nodnot v dané uzavřené oblasti a vázaných extrémů, které jsme si uvedli, včetně podmínek jejich existence a podmínek klasifikace extrémů. 14.20 Kontrolní příklady ke kapitole 14 1. Najděte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí (a) f(x, y) = x4 + y4 - 4x2 y2 (b) f(x, y) = xx+y (c) f(x, y) = x y2 2. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: (a) f(x, y) = 1 - x2 + y2, [x0, y0, z0] = [ 1 3 , 1 3 , 1 3 ] MATEMATIKA 1B 230 (b) f(x, y) = x2 + y2 , [x0, y0, z0] = [1, 1, 2] (c) f(x, y) = ex2+y2 , [x0, y0, z0] = [0, 0, 1] 3. Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem [x0, y0] následujících funkcí: (a) f(x, y) = 1 - x2 + y2, [x0, y0] = [1 2 , 1 2 ] (b) f(x, y) = cos x cos y , [x0, y0] = [0, 0] 4. Najděte lokální extrémy funkcí: (a) f(x, y) = x2 + y2 - xy - 2x + y (b) f(x, y) = xy(4 - x - y) (c) f(x, y) = y 1 + x + x 1 + y 5. Určete nejmenší a nejvetší hodnotu funkce f na množině M: (a) f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 - 3x - 5y, M je trojúhelník určený body A = [0, 2], B = [3, 0], C = [0, -1]. (b) f(x, y) = x2 + y2 + 3xy + 2, M je omezená grafy funkcí y =| x | a y = 2. (c) f(x, y) = x2 + y2 - xy - 2, M = {[x, y] : x2 + y2 1, y | x | -1} 6. Určete vázané extrémy funkce f na množině určené rovnostmi: (a) f(x, y, z) = sin x sin y sin z, x + y + z = 2 (b) f(x, y, z) = xyz, x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0 Výsledky jsou uvedeny v části 15.14. Kapitola 15 Výsledky testů 15.1 Vstupní test Příklad 1.1 3 a b3 b 3 a 18 - b 3 b 3 b b 18 a - b = a1 3 b- 3 2 1 3 b 1 2 a- 1 3 1 2 18 - b1 2 (1+ 1 3 ) b- 1 3 (1+ 1 2 ) 18 a - b = = a3 - b3 a - b = a2 + ab + b2 Příklad 1.2 x2 + x - 12 - 4 Ovšem x2 + x - 12 0 (x - 3)(x + 4) 0 x -4 nebo x 3 Celkem tedy x 3 231 MATEMATIKA 1B 232 Příklad 1.3 Pro x (-, -1- x + x - 1 - x - 1 + 2 - x x 1 Tj. R1 = (-, -1P ro x (-1, 0 - x + x - 1 x + 1 + 2 - x -1 3 Tj. R2 = (-1, 0P ro x (0, 1 x + x - 1 x + 1 + 2 - x x 2 Tj. R3 = (0, 1P ro x (1, 2 x + 1 - x x + 1 + 2 - x 1 3 Tj. R4 = (1, 2P ro x (2, ) x + 1 - x x + 1 + x - 2 x 1 Tj. R5 = (2, ) Celkem jsou tedy řešením dané nerovnice x 5 i=1 Ri = R. Příklad 1.4 Diskriminant pro zadanou rovnici je roven D = 9n - 4n - 4 Řešíme rovnici 5n - 4 = 0 Řešením je tedy n = 4 5 Příklad 1.5 Je dáno sin x = 3 5 , x 0, 2 . Platí cos2 x = 1 - sin2 x = 1 - 9 25 = 16 25 cos x = 4 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 233 Příklad 1.6 2x-1 log2 5 22 + log3 3 10-1 6 2x-1 0, 4 + 6 10-1 2x-1 1 x - 1 0 x 1 Příklad 1.7 log(x2 - 9) log(x + 1) =2 log(x2 - 9) =log(x + 1)2 x2 - 9 =x2 + 2x + 1 x = - 5 Vzhledem k definičnímu oboru logaritmu ovšem zadaná rovnice nemá řešení. Příklad 1.8 1 + i i = 1 + i i -i -i = -i - i2 -i2 = 1 - i 1 = 1 - i Příklad 1.9 Zůstatky na účtu (vždy ke konci roku) budou tvořit členy geometrické posloupnosti. Vzorec pro částečný součet geometrické posloupnosti je sn = a1 qn - 1 q - 1 V našem případě máme a1 = 10, q = 2, n = 10. Tj. s10 = 10 210 - 1 2 - 1 = 10(1024 - 1) = 10230. Vydělaná částka na úrocích je tedy 10230 - 10 = 10220. Příklad 1.10 Platí nk =0 n k = 2n . V našem případě máme 6k =0 6 k = 26 = 64. Příklad 1.11 Vektory určující směr jednotlivých přímek jsou po řadě u = (2, -3), v = (3, 2). Protože skalární součin u v = 2 3 + (-3) 2 = 0, jsou zadané přímky kolmé. MATEMATIKA 1B 234 15.2 Kontrolní příklady ke kapitole 2.17 1. (a) D(f) = R, H(f) = R, f(-2) = -9, f(10) = 15 (b) D(f) = R, H(f) = 1, ), f(-2) = 5, f(10) = 101 (c) D(f) = R, H(f) = (0, ), f(-2) = 0.67667..., f(10) = 110132.329... (d) D(f) = R, H(f) = -1, 1 , f(-2) = 0.7568..., f(10) = 0.9129... 2. u(x) = 2e2x - 3, v(x) = e2x2-3 , w(x) = 8x4 - 24x2 + 15, u(0) = -1, v(1) = e-1 , w(-2) = 47 3. (a) D(f) = -6, ) (b) D(f) = R \ {-2, 2} (c) D(f) = 0, 3( d) D(f) = -1, 2( e) D(f) = (-, -3) (3, ) (f) D(f) = (-, -2) (3 2 , ) (g) D(f) = -6, 34 . (a) f-1 (x) = 5-x 2 , x R (b) f-1 (x) = x 2 - 8 , x 16, ) (c) f-1 (x) = ln x - 3 2 , x (0, ) (d) f-1 (x) = ex + 2 , x R 5. (a) R(x) = 2x2 + 1 x3 - 6x2 + 11x - 6 = 3/2 x - 1 - 9 x - 2 + 19/2 x - 3 . (b) R(x) = x2 - 3x + 1 x(x - 1)(x - 2) = 1 2x + 1 x - 1 - 1 2(x - 2) . 15.3 Kontrolní příklady ke kapitole 3.10 1. 1 n 0 1 2 . (a) |A| = 101 (b) |A| = - 1 1296 3. (a) h(A) = 1 pro = -, h(A) = 3 pro = - (b) h(B) = 1 pro = = 0, h(B) = 3 pro 2 -2 = 0, h(B) = 5 pro 2 -2 = 0. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 235 4. (a) AB = 1 -3 2 -2 7 -3 1 -2 4 , (AB)-1 = 22 8 -5 5 2 -1 -3 -1 1 (b) AB = 1 3 -2 3 10 5 5 16 2 , (AB)-1 = -60 -38 35 19 12 -11 -2 -1 1 5. (a) (5 3 , 16 3 , -1)T (b) (-t, t + 1, t, -t)T 15.4 Kontrolní příklady ke kapitole 4.6 1. B = [3, -1] 2. Lineárně nezávislé. 3. (a) MA B = -4 11 2 3 4 10 1 1 3 T (b) MA B = -3 -4 -3 4 5 4 -3 -3 -4 T 4. (a) Pro = 2, = 1 6 je dim(M) = 3, pro = 2, = 1 6 je dim(M) = 2. (b) Pro = 0, = 6 je dim(M) = 4, pro = 0, nebo = 6 je dim(M) = 3. 15.5 Kontrolní příklady ke kapitole 5.11 1. cos = -1 30 = -0.1825... 2. 3. (a) w = (2, 0, -3, 5) (b) w = (-2, 3, 1, -1) MATEMATIKA 1B 236 15.6 Kontrolní příklady ke kapitole 6.26 1. (a) 6 (b) -6 (c) 1 (d) -5 (e) 1 2. (a) Odstranitelná nespojitost. (b) Odstranitelná nespojitost. (c) Nespojitost 2. druhu. 3. (a) Spojitá na R. (b) Spojitá na k Z - 4 + k 2 , 4 + k 2 . 4. (a) 3 (b) 2 9 (c) -1 9 5. (a) y = 4x - 4. 6. (a) y = -3x + 3. 7. (a) f ( x) = 4, diferencovatelná na R. 8. (a) f(1.01) = 1 + 5(0.01)4 = 1.00000005 15.7 Kontrolní příklady ke kapitole 7.21 1. (a) f ( x) = 2x + 3, f ( x) = 2 (b) f ( x) = 2 sin x cos x, f ( x) = 2 cos2 x - 2 sin2 x 6. (e) Graf funkce je na náčrtku 15.7.1. (f) Graf funkce je na náčrtku 15.7.2. (g) Graf funkce je na náčrtku 15.7.3. (h) Graf funkce je na náčrtku 15.7.4. (i) Graf funkce je na náčrtku 15.7.5. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 237 Obrázek 15.7.1: Graf funkce f(x) = 3 x5 + 5 3 x2. 15.8 Kontrolní příklady ke kapitole 8.16 1. (a) Konverguje. (b) Konverguje. (c) Diverguje. (d) Konverguje. (e) Konverguje. 2. Interval konvergence je: (a) (-1, 1) (b) (-1, 1( c) -1 2 , 1 2 3 . (a) f(x) = 1 + x2 + 1 2 x4 + 1 6 x6 + . . . (b) f(x) = (x - 1)4 + (x - 1)3 - (x - 1)2 - 6(x - 1) + 7 (c) f(x) = 2x - 4 3 x3 + 4 15 x5 - 8 315 x7 + . . . 15.9 Kontrolní příklady ke kapitole 9.8 1. (a) 1 2 x2 MATEMATIKA 1B 238 Obrázek 15.7.2: Graf funkce f(x) = (x + 4)/(x2 - 4). (b) 1 6 x6 (c) sin x + cos x (d) 2 3 x 3 2 + 1 2 cos 2x 15.10 Kontrolní příklady ke kapitole 10.6 1. (a) - 1 ln 2 2-x (b) 1 5 ln 10 105x (c) - 1 ln 2 2cos x (d) -1 2 cos x sin x + 1 2 x 15.11 Kontrolní příklady ke kapitole 11.12 1. (a) 1 (b) 2 3 (c) 2 (d) -4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 239 Obrázek 15.7.3: Graf funkce f(x) = x + sin x. 15.12 Kontrolní příklady ke kapitole 12.6 1. (a) 6 (b) Integrál neexistuje. (c) 1 2a (d) b a+b2 15.13 Kontrolní příklady ke kapitole 13.4 1. (a) 1 2 (b) 2 2. (a) {[x, y], x2 + y2 = 1} (b) {[x, y], x = k, y = k, k N} 3. (a) fx = y 1+x2 , fy = -x 1+y2 (b) fx = y x x y z -1 , fy = 1 z x y z ln x, fz = -y z2 x y z ln x 15.14 Kontrolní příklady ke kapitole 14.20 1. (a) fx x = 12x2 - 8y2 , fx y = -16xy, fy y = 12y2 - 8x2 MATEMATIKA 1B 240 Obrázek 15.7.4: Graf funkce f(x) = (2 + x - x2 )/(x - 1)2 . (b) fx x = x(x+y) ( ln x + x+y x )2 + 1 x - y x2 , fx y = x(x+y) l n2 (x) + x+y x ln x + 1 x , fy y = x(x+y) ln2 (x) 2. (a) x + y + z = 3 (b) 2x + 2y - z = 2 (c) z = 1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 241 Obrázek 15.7.5: Graf funkce (x2 + x - 1)/(x - 1). Kapitola 16 Ukázky zadání písemných prací V této kapitole uvádíme několik písemných prací, které byly v uplynulých letech zadávány na semestrálních zkouškách. 242 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 243 SEMESTRÁLNÍ PÍSEMNÁ ZKOUŠKA Z MBA1, ze dne 6. 1. 2004 A Každý příklad je hodnocen maximálně 10 body. 1. (a) Načrtněte sudou funkci s definičním oborem (-/2; /2), a která bude mít aspoň jedno lokální minimum a aspoň jedno lokálnˇ maximum a aspoň jeden inflexní bod. Význačné body popište a zvýrazněte. (b) Určete definiční obor funkce y = f(x) a určete, pokud existuje, inverzní funkci. f(x) = x 2 - x . Řešení: D(f) : x 2 - x 0 2 - x = 0 x 0; 2) . f-1 : y = x 2 - x x = y 2 - y , x2 = y 2 - y , 2x2 - x2 y = y, 2x2 = y(x2 + 1), y = 2x2 x2 + 1 . 2. (a) Stanovte číslo k tak, aby vektor a = (1; -2; k) byl lineární kombinací vektorů u = (3; 0; 2), v = (2; -1; 5). Řešení: u + v = a, (3; 0; 2) + (2; -1; 5) = (1; -2; k), 3 + 2 = 1, - = -2, 2 + 5 = k, k = 8. (b) Určete řešení soustavy: 2x1 - x2 + 2x3 = -4 4x1 + x2 + 4x3 = -2 x1 + x2 + 2x3 = -1 Řešení: 2 -1 2 -4 4 1 4 -2 1 1 2 -1 1 1 2 -1 2 -1 2 -4 4 1 4 -2 1 1 2 -1 0 -3 -2 -2 0 3 0 6 MATEMATIKA 1B 244 1 0 2 -3 0 0 -2 4 0 1 0 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 -2 . x = 1y = 2, z = -2. 3. (a) Určete derivaci funkce f(x) a výsledek upravte na co nejjednodušší tvar. f(x) = x 2 x2 + 1 + 1 2 ln x + x2 + 1 ˇ Rešení: f ( x) = 1 2 x2 + 1 + 1 2 1 2 x2 + 1 2x + 1 2 1 x + x2 + 1 1 + 1 2 x2 + 1 2x = 1 2 x2 + 1 + x2 2 x2 + 1 + x2+1+x 2 x2+1 x + x2 + 1 = 1 2 x2 + 1 + x2 2 x2 + 1 + 1 2 x2 + 1 = 1 2 x2 + 1 + x2 + 1 2 x2 + 1 = 1 2 x2 + 1 + x2 + 1 2 = x2 + 1. (b) Určete lim x+ - 2 arctan x e(3/x) - 1 . Řešení: Pomocí l'Hospitalova pravidla. lim x+ - 2 arctan x e(3/x) - 1 = lim x+ - 2 1 1+x2 e(3/x) -3 x2 = 2 3 lim x+ 1 1+x2 e(3/x) 1 x2 = 2 3 . 4. Určete x 2x2 + 2x + 5 dx. Řešení: x 2x2 + 2x + 5 dx = 1 4 4 x 2x2 + 2x + 5 dx = 1 4 4 x + 2 - 2 2x2 + 2x + 5 dx = 1 4 4 x + 2 2x2 + 2x + 5 dx- 1 4 2 2x2 + 2x + 5 dx = 1 4 ln(2x2 +2x+5)dx- 1 2 1 2x2 + 2x + 5 dx. Poslední integrál si upravíme 1 2x2 + 2x + 5 dx = 1 2(x2 + x) + 5 dx = 1 2(x + 1 2 )2 - 1 2 + 5 dx = Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 245 1 2(x + 1 2 )2 + 9 2 dx = 1 2 1 (x + 1 2 )2 + 9 4 dx = 2 9 1 2 3 (x + 1 2 ) 2 + 1 dx = 1 3 arctan 2x + 1 3 +C. Dosazením dostaneme x 2x2 + 2x + 5 dx = 1 4 ln(2x2 + 2x + 5)dx - 1 6 arctan 2x + 1 3 + C. 5. Určete délku křivky x(2/3) + y(2/3) = a(2/3) , kde x, y [0; a]. Řešení: Provedeme parametrizaci x = a cos3 t, y = a sin3 t, t [0, /2]. l = /2 0 ( x (t))2 + (y (t))2dt = ( -3a cos2 t sin t)2 + (3a sin2 t cos t)2dt = /2 0 9 a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 tdt = /2 0 3a cos t sin t s in2 t + cos2 tdt = /2 0 3a 1 2 2 cos t sin tdt = 3 2 a /2 0 sin 2tdt = 3 2 a - cos 2t 2 /2 0 = 3 2 a. 6. Proud v elektrick,m obvodu je dán relací i(t) = 2te-3t . Určete celkový náboj Q = +0 i(t)dt. Řešení: Q = + 0 2te-3t dt = lim x x 0 2te-3t dt = (). 2 te-3t dt = |u = t, u = 1, v = e-3t , v = - 1 3 e-3t | = - 2 3 te-3t + 2 3 e -3t dt = - 2 3 te-3t - 2 9 e-3t . Dosazením do (*) dostaneme lim x - 2 3 te-3t - 2 9 e-3t x 0 = 2 9 lim x - e-3x (3x + 1) + 1 = 2 9 . 7. Najděte extrémy funkce z(x, y) = x2 + xy + y2 - 2x - y. Řešení: zx = 2x + y - 2, zy - x + 2y - 1. 2x + y - 2 = 0, x + 2y - 1 = 0 x = 1, y = 0. zx x = 2, zy y = 2, zx y = 1. D - 1 = 2 > 0, D2 = 2 1 1 2 = 3 > 0. V bodě [1; 0] je lokální mimimum. MATEMATIKA 1B 246 SEMESTRÁLNÍ PÍSEMNÁ ZKOUŠKA Z MBA1, ze dne 6. 1. 2004 B Každý příklad je hodnocen maximálně 10 body. 1. (a) Načrtněte lichou funkci s definičním oborem (-e; e), která bude mít aspoň jedno lokální minimum a aspoň jedno lokální maximum a aspoň jeden inflexní bod. Význačné body popište a zvýrazněte. (b) Určete definiční obor funkce y = f(x) a určete, pokud existuje, inverzní funkci. f(x) = ln x + 3 x - 3 . Řešení: D(f) : x + 3 x - 3 > 0 x - 3 = 0. x (-; -3) (3; +). f-1 : y = ln x + 3 x - 3 x = ln y + 3 y - 3 , ex = y + 3 y - 3 , y = 3ex + 3 ex + 1 . 2. (a) Stanovte číslo k tak, aby vektor a = (2; k; -1) byl lineární kombinací vektorů u = (1; 3; 1), v = (1; 2; 2). Řešení: u + v = a, (1; 3; 1) + (1; 2; 2) = (2; k; -1), + = 2, 3 + 2 = k, + 2 = -1, = 5, = -3, k = 9. (b) Určete řešení soustavy: 2x1 - x2 - x3 = 4 3x1 + 4x2 - 24x3 = 11 3x1 - 2x2 + 4x3 = 11 Řešení: 2 -1 -1 4 3 4 -24 11 3 -2 4 11 -1 1 -5 -7 0 6 -28 0 3 -2 4 11 1 -1 5 7 0 3 -14 0 0 1 -11 -10 1 -1 5 7 0 1 -11 -10 0 0 19 30 1 0 -6 -3 0 1 -11 -10 0 0 19 30 1 0 0 -3 + 306 19 0 1 0 -10 + 1130 19 0 0 1 30 19 . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 247 3. (a) Určete derivaci funkce f(x) a výsledek upravte na co nejjednodušší tvar. f(x) = arcsin 2x2 1 + x4 . Řešení: f ( x) = 1 1 - 2x2 1+x4 2 4x(1 + x4 ) - 2x2 4x3 (1 + x4)2 = 1 + x4 1 + 2x4 + x8 - 2x2 4x + 4x5 - 8x5 (1 + x4)2 = 4x(1 - x4 ) 1 - 2x4 + x8 (1 + x4) = 4x(1 - x4 ) ( 1 - x4)2 (1 + x4) = 4x 1 + x4 . (b) Určete lim x0 2 - (ex + e-x ) cos x x4 . Řešení: lim x0 2 - (ex + e-x ) cos x x4 = pomocí l'Hospitalova pravidla lim x0 - (ex - e-x ) cos x + (ex + e-x ) sin x 4x3 = lim x0 - (ex + e-x ) cos x + (ex - e-x ) sin x + (ex - e-x ) sin x + (ex - e-x ) cos x 12x2 l im x0 2 (ex - e-x ) sin x 12x2 = lim x0 ( ex - e-x ) sin x 6x2 = lim x0 ( ex + e-x ) sin x + (ex - e-x ) cos x 12x = lim x0 ( ex - e-x ) sin x + (ex + e-x ) cos x + (ex + e-x ) cos x - (ex - e-x sin x 12 = lim x0 2 (ex + e-x ) cos x 12 = 1 3 . 4. Určete 2x3 + 3x x4 + x2 + 1 dx. Řešení: 2 x3 + 3x x4 + x2 + 1 dx = 1 2 4 x3 + 6x x4 + x2 + 1 dx = 1 2 4 x3 + 2x x4 + x2 + 1 + 4x x4 + x2 + 1 d x = 1 2 ln |x4 + x2 + 1| + 2 3 arctan 2x2 + 1 3 + C. MATEMATIKA 1B 248 5. Určete délku křivky zadané parametricky x = (t - sin t), y = (1 - cos t), kde t [0; 2]. Řešení: l = 2 0 ( x (t))2 + (y (t))2dt = 2 0 ( 1 - cos t)2 + sin2 tdt = 2 0 1 - 2 cos t + cos2 t + sin2 tdt = 2 0 2 - 2 cos tdt = 2 2 0 1 - cos tdt = 2 2 0 2 sin t 2 dt = 2 2 0 sin t 2 dt = 4 - cos t 2 0 = 4(1 + 1) = 8. 6. Proud v elektrickém obvodu je dán relací i(t) = 3te-2t . Určete celkový náboj Q = +0 i(t)dt. Řešení: Q = + 0 3te-2t dt = lim x+ x 0 3te-2t dt = |u = t, u = 1, v = e-2t , v = -1 2 e-2t | lim x+ - 3 2 te-2t |x 0 + 3 2 x 0 e-2t dt = lim x+ - 3 2 te-2t |x 0 - 3 4 e-2t dt|x 0 = 3 4 . 7. Najděte extrémy funkce z(x, y) = x3 y2 (6 - x - y), x > 0, y > 0. Řešení: zx = 3x2 y2 (6 - x - y) - x3 y2 , zy = 2x3 y(6 - x - y) - x3 y2 . x2 y2 (18 - 4x - 3y) = 0, x3 y(12 - 2x - 3y) = 0, stacionární bod (3;2). zx x = 6xy2 (6 - 2x - y), zx y = x2 y(36 - 8x - 9y), zy y = 2x3 (6 - x - 3y). D1 < 0, D2 < 0 - Extrém nenestává. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 249 SEMESTRÁLNÍ PÍSEMNÁ ZKOUŠKA Z MBA1, ze dne 2. 2. 2004 A Každý příklad je hodnocen maximálně 10 body. 1. (a) Užitím rozkladu na parciální zlomky vypočtěte součet řady n =1 1 n(n + 1) . Řešení: 1 n(n + 1) = A n + B n + 1 , 1 = A(n + 1) + Bn, 0 = A + B, 1 = A, -1 = B. S1 = 1 - 1 2 , S2 = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 , Sn = nn =1 1 n(n + 1) = n =1 1 n - 1 n + 1 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 + + 1 n - 1 n + 1 = 1- 1 n + 1 , S = lim n Sn = lim n 1 - 1 n + 1 = 1. (b) Uved'te nutnou podmínku konvergence řady. Řešení: lim n an = 0. 2. Určete inverzní matici k matici A, A = 1 -1 0 1 2 -1 0 -2 2 a výsledek ověřte. Řešení: A-1 = 1 2 1 1 1 2 -1 1 1 2 -1 1 3 2 MATEMATIKA 1B 250 3. (a) Úpravou vypočtěte lim x0 sin x 3x2 + 2x . Řešení: lim x0 sin x 3x2 + 2x = lim x0 sin x x lim x0 1 3x + 2 = 1 2 . (b) Vypočtěte lim x+ x e1 x - 1 . Řešení: lim x+ x e1 x - 1 = lim x+ e 1 x - 1 1 x = lim x+ e 1 x (-x-2 ) -x-2 = 1. 4. Zderivujte a upravte y = ln 1 x + x2 + 1 . Řešení: y = (x + x2 + 1) (-1)(x + x2 + 1)-2 (1 + 1 2 (x2 - 1)- 1 2 2x) = - 1 x2 - 1 . 5. Vypočtěte integrály (a) 2 0 x sin(2x)dx, Řešení: 2 0 x sin(2x)d = u = x, u = 1 v = sin 2x, v = -1 2 cos 2x = x - 1 2 cos 2x 2 0 + 1 2 2 0 cos 2xdx = 4 + 1 4 sin 2x 2 0 = 4 . (b) 2 x 1 + x2 dx. Řešení: 2 x 1 + x2 dx = 1 + x2 = t 2xdx = dt = d t t = 2t 1 2 = 2 1 + x2 + C. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 251 6. Vypočtěte nevlastní integrál 1 2 + -1 dx x2 + 2x + 3 . Řešení: 1 2 + -1 dx x2 + 2x + 3 = 1 2 lim k+ k -1 dx x2 + 2x + 3 = . d x x2 + 2x + 3 = d x (x + 1)2 + 2 = 1 2 d x x +1 2 2 + 1 = x+1 2 = t dx = 2dt = 2 2 d t t2 + 1 = 1 2 arctg x + 1 2 . = 1 2 lim k+ a rctg x + 1 2 k 0 = 1 2 lim k+ a rctg k + 1 2 - arctg 0 = 1 2 2 = 4 . 7. Vypočtěte extrémy funkce z = x2 + y2 - 6x + 9. Řešení: zx = 2x - 6 x = 3, zy = 2y y = 0. zx x = 2 > 0, zy y = 2, zx y = 0. 2 2 - 0 > 0 extrém nastává, v bodě [3; 0] je minimum. MATEMATIKA 1B 252 SEMESTRÁLNÍ PÍSEMNÁ ZKOUŠKA Z MBA1, ze dne 6. 1. 2004 B Každý příklad je hodnocen maximálně 10 body. 1. (a) Užitím rozkladu na parciální zlomky vypočtěte součet řady n =1 1 (n + 1)(n + 2) . Řešení: 1 (n + 1)(n + 2) = A n + 1 + B n + 2 , 1 = A(n + 2) + B(n + 1), 0 = A + B, 1 = 2A + B, 1 = A, -1 = B. S1 = 1 2 - 1 3 , S2 = 1 2 1 1 3 + 1 3 - 1 4 , Sn = nn =1 1 (n + 1)(n + 2) = n =1 1 n + 1 - 1 n + 2 = 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + + 1 n + 1 - 1 n + 2 = 1 2 - 1 n + 2 , S = lim n Sn = lim n 1 2 - 1 n + 2 = 1 2 . (b) Uved'te nutnou podmínku konvergence řady. Řešení: lim x+ an = 0. 2. Určete inverzní matici k matici A, A = 1 2 -1 0 -2 2 1 -1 0 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 253 a výsledek ověřte. Řešení: A-1 = 1 2 1 1 2 1 1 1 2 -1 1 3 2 -1 . 3. (a) Úpravou vypočtěte lim x0 sin x x2 - x . Řešení: lim x0 sin x x2 - x = lim x0 sin x x lim x0 1 x - 1 = -1. (b) Vypočtěte lim x0 (ex - 1) cotg x. Řešení: lim x0 (ex - 1) cotg x = lim x0 ex - 1 tg x = lim x0 ex 1 cos2 x = 1. 4. Zderivujte a upravte y = ln e x + 1 + e2x . Řešení: y = 1 ex + 1 + e2x e x + e2x 1 + e2x = ex 1 + e2x . 5. Vypočtěte integrály (a) 0 - 2 x cos(2x)dx, Řešení: 0 - 2 x cos(2x)dx, u = x, u = 1 v = cos 2x, v = 1 2 sin 2x = x sin 2x 2 0 - 2 - 1 2 0 - 2 sin(2x)dx = 0 + c os 2x 4 0 - 2 = 1 4 (1 + 1) = 1 2 . (b) 6 x 1 + 3x2 dx. Řešení: 6 x 1 + 3x2 dx = 1 + 3x2 = t 6xdx = dt = d t t = 2t 1 2 = 2 1 + 3x2 + C. MATEMATIKA 1B 254 6. Vypočtěte nevlastní integrál 1 2 + -2 dx x2 + 4x + 6 . Řešení: 1 2 + -2 dx x2 + 4x + 6 = 1 2 lim k+ k -2 dx x2 + 4x + 6 = . d x x2 + 4x + 6 = d x (x + 2)2 + 2 = 1 2 d x x +2 2 2 + 1 = x+2 2 = t dx = 2dt = 2 2 d t t2 + 1 = 1 2 arctg x + 2 2 . = 1 2 lim k+ a rctg x + 2 2 k -2 = 1 2 lim k+ a rctg k + 2 2 - arctg 0 = 1 2 2 = 4 . 7. Vypočtěte extrémy funkce z = x2 + y2 + 10y + 25. Řešení: zx = 2x, zy = 2y + 10 x = 0, y = -5. zx x = 2 > 0, zy y = 2, zx y = 0, 2 2 - 0 > 0 nastává extrém, v bodě [0; -5] je minimum. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 255 SEMESTRÁLNÍ PÍSEMNÁ ZKOUŠKA Z MBA1, ze dne 2. 2. 2004 C Každý příklad je hodnocen maximálně 10 body. 1. (a) Rozhodněte o konvergenci řady n =1 n3n (2n)! . Řešení: Použijeme podílové kritérium. lim x an+1 an = lim x (n+1)3n+1 (2n+2)! n3n (2n)! = lim x n + 1 n 3 (2n + 1)(2n + 2) = 0. řada konverguje. (b) Uved'te příklad řady, která splňuje nutnou podmínku konvergence a diverguje. Řešení: +n =1 1 n . 2. Určete inverzní matici k matici A, A = 1 -1 0 0 -2 2 1 2 -1 a výsledek ověřte. Řešení: A-1 = 1 2 1 1 2 1 -1 1 2 1 -1 3 2 1 . 3. (a) Úpravou vypočtěte lim x2 3 tg (3x - 2) 6x - 4 . Řešení: lim x2 3 tg (3x - 2) 6x - 4 = 1 2 lim x2 3 sin(3x - 2) 3x - 2 lim x2 3 1 cos(3x - 2) = 1 2 . (b) Vypočtěte lim x1 x x - 1 - 1 ln x . MATEMATIKA 1B 256 Řešení: lim x1 x x - 1 - 1 ln x = lim x1 x ln x - (x - 1) (x - 1) ln x = lim x1 ln x + x1 x - 1 ln x + (x - 1)1 x = lim x1 x ln x x ln x + x - 1 = lim x1 ln x + x1 x ln x + x1 x + 1 = 1 2 . 4. Zderivujte a upravte y = ln 1 - sin x 1 + sin x . Řešení: y = 1 1 -sin x 1+sin x 1 2 1 - sin x 1 + sinx -1 2 - cos x(1 + sin x) - (1 - sin x) cos x (1 + sin x)2 = - 1 cos x . 5. Vypočtěte integrály (a) 3 0 x sin(3x)dx, Řešení: 3 0 x sin(3x)dx = u = x, u = 1 v = sin 3x, v = -1 3 cos 3x = - x cos 3x 3 3 0 + 1 3 3 0 cos(3x)dx = 9 + s in 3x 9 3 0 = 9 . (b) 3 x2 1 + x3 dx. Rešení: 3 x2 1 + x3 dx. = 1 + x3 = t 3x2 dx = dt = d t t = 2 t = 2 1 + x3 + C. 6. Vypočtěte nevlastní integrál 1 2 + -2 dx x2 + 4x + 6 . Řešení: 1 2 + -2 dx x2 + 4x + 6 = 1 2 lim k+ k -2 dx x2 + 4x + 6 = . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 257 d x x2 + 4x + 6 = d x (x + 2)2 + 2 = 1 2 d x x +2 2 2 + 1 = x+2 2 = t dx = 2dt = 2 2 d t t2 + 1 = 1 2 arctg x + 2 2 . = 1 2 lim k+ a rctg x + 2 2 k -2 = 1 2 lim k+ a rctg k + 2 2 - arctg 0 = 1 2 2 = 4 . 7. Vypočtěte extrémy funkce a tečnou rovinu v bodě extrému z = x2 + y2 - 2x + 4y + 5. Řešení: zx = 2x - 2 = 0 x = 1, zy = 2y + 4 = 0 y = -2, zx x = 2 > 0, zy y = 2, zx y = 0, 2 2 - 0 > 0 Nastává extrém, v bodě [1; -2] je minimum. Tečná rovina z = 5. MATEMATIKA 1B 258 SEMESTRÁLNÍ PÍSEMNÁ ZKOUŠKA Z MBA1, ze dne 6. 1. 2004 D Každý příklad je hodnocen maximálně 10 body. 1. (a) Rozhodněte o konvergenci řady n =1 n100n (2n)! . Řešení: Použijeme podílové kritérium. lim x an+1 an = lim x (n+1)100n+1 (2n+2)! n100n (2n)! = lim x n + 1 n 100 (2n + 1)(2n + 2) = 0. Řada konverguje. (b) Uved'te příklad řady, která splňuje nutnou podmínku konvergence a diverguje. Řešení: +n =1 1 n . 2. Určete inverzní matici k matici A, A = 0 -2 2 1 -1 0 1 2 -1 výsledek ověřte. Řešení: A-1 = 1 2 1 2 1 1 1 2 -1 1 3 2 -1 1 . 3. (a) Úpravou vypočtěte lim x3 4 tg (4x - 3) 8x - 6 . Řešení: lim x3 4 tg (4x - 3) 8x - 6 = 1 2 lim x3 4 sin(4x - 3) 4x - 3 lim x3 4 1 cos(4x - 3) = 1 2 . (b) Vypočtěte lim x0 1 x - 1 ln(1 + x) . Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 259 Řešení: lim x0 1 x - 1 ln(1 + x) = lim x0 ln(1 + x) - x x ln(1 + x) = lim x0 1 1+x - 1 ln(1 + x) + x 1 1+x = lim x0 1 - (1 + x) (1 + x) ln(1 + x) + x = lim x0 -1 ln(1 + x) + (1 + x) 1 1+x + 1 = - 1 2 . 4. Zderivujte a upravte y = ln 1 - cos x 1 + cos x . Řešení: y = 1 1 -cos x 1+cos x 1 2 1 - cos x 1 + cos x -1 2 sin x(1 + cos x) + (1 - cos x) sin x (1 + cos x)2 = 1 sin x . 5. Vypočtěte integrály (a) 3 0 x cos(3x)dx, Řešení: 3 0 x cos(3x)dx = u = x, u = 1 v = cos 3x, v = 1 3 sin 3x = x sin 3x 3 3 0 - 1 3 3 0 sin(3x)dx = 0 + c os 3x 9 3 0 = 9 (-1 - 1) = - 2 9 . (b) 9 x2 1 + 3x3 dx. Řešení: 9 x2 1 + 3x3 dx = 1 + 3x3 = t 9x2 dx = dt = d t t = 2 t = 2 1 + 3x3 + C. 6. Vypočtěte nevlastní integrál 1 2 + -1 dx x2 + 2x + 3 . Řešení: 1 2 + -1 dx x2 + 2x + 3 = 1 2 lim k+ k -1 dx x2 + 2x + 3 = . MATEMATIKA 1B 260 d x x2 + 2x + 3 = d x (x + 1)2 + 2 = 1 2 d x x +1 2 2 + 1 = x+1 2 = t dx = 2dt = 2 2 d t t2 + 1 = 1 2 arctg x + 1 2 . = 1 2 lim k+ a rctg x + 1 2 k 0 = 1 2 lim k+ a rctg k + 1 2 - arctg 0 = 1 2 2 = 4 . 7. Vypočtěte extrémy funkce a tečnou rovinu v bodě extrému z = x2 + y2 + 2x - 4y + 5. Řešení: zx = 2x + 2 = 0 x = -1, zy = 2y - 4 = 0 y = 2, zx x = 2 > 0, zy y = 2, zx y = 0, 2 2 - 2 > 0. Nastává extrém, v bodě [-1; 2] je minimum. Tečná rovina z = 5. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 261 Kapitola 17 Doporučená literatura [1] L. Bican: Lineární algebra, SNTL 1979, rozšířené vydání 2001. [2] G. Birkhoff, T.C. Bartee: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava 1981. [3] G. Birkhoff, S. MacLane: Algebra, Alfa, Bratislava 1973. [4] M. Demlová, J. Nagy: Algebra, MVŠT --III, SNTL 1982. [5] V. Havel, J. Holenda: Lineární algebra, SNTL 1984. [6] I. Horová, J. Zelinka: Numerické metody, MU PřF Brno, 2004, druhé vydání. [7] Z. Horský: Množiny a matematické struktury, MVšT -- I, SNTL 1980. [8] Z. Horský: Vektorové prostory, MVŠT -- II, SNTL 1980. [9] B. Hrůza, H. Mrhačová: Cvičení z algebry a geometrie, VUT,1990. [10] P. Kaprálik, J. Tvarožek: Zbierka riešených príkladov a úloh z lineárnej algebry a analytickej geometrie, Alfa, Bratislava, 1987. [11] S. Míka: Numerické metody algebry, MVŠT -- IV, SNTL 1982. [12] T. Šalát: Metrické priestory, Alfa, Bratislava 1981. [13] L.E. Garner: Calculus and analytic geometry, London, 1988. [14] Z. Horský: Diferenciální počet, MVŠT - V., Praha 1982. [15] J. Nagy, E. Nováková, M. Vacek: Integrální počet, MVŠT - VI., Praha 1983. [16] J. Nagy, E. Nováková, M. Vacek: Vektorová analýza, MVŠT - VIII., Praha 1984. [17] V. Jarník: Diferenciální počet I, II., Nakladatelství ČSAV, Praha 1963. [18] V. Jarník: Integrální počet I, II., Nakladatelství ČSAV, Praha 1963. 262 Index Číselné řady, 149 Částečný součet, 149 Divergence, 149 Geometrická řada, 149 Harmonická řada, 151 Konvergence, 149 Vlastnosti, 152 Řada S libovolnými členy, 154 Řady s kladnými členy, 152 Cauchyovo odmocninové kritérium, 153 D' Alembertovo kritérium, 153 Integrální kritérium, 153 Podílové kritérium, 153 Absolutní konvergence, 155 Alternující řady, 154 báze, 67 ortogonální, 75 ortonormální, 75 determinant, 44 dimenze, 69 doplněk algebraický, 46 ortogonální, 77 elementární úpravy matice, 47 eliminační metoda, 48 Funkce Infimum, 110 Supremum, 110 funkce racionální lomenná, 34 racionální ryze lomenná, 34 Geometrická řada, 149 hodnost matice, 47 Infimum, 110 inverze, 44 kořen polynomu, 32 kuželosečka, 87 kvadrika, 89 lineární kombinace, 65 obal, 65 lineárně nezávislé, 66 závislé, 66 Maclaurinova řada Exponenciální funkce, 159 Trigonometrická funkce, 160 Maclaurinovy řady Některé užitečné řady, 160 matice, 41 adjungovaná, 51 inverzní, 50 koeficientů, 54 přechodu, 70 regulární, 51 rozšířená, 54 singulární, 51 diagonalni, 41 jednotková, 42 nulová, 42 radkova, 41 sloupcova, 41 263 MATEMATIKA 1B 264 symetrická, 42 transponovaná, 42 minor matice, 47 množina generující, 66 Mocninné řady, 155 Maclaurinova řada, 159 Taylorova řada, 158 Vlastnosti, 156 násobnost kořene, 32 nerovnost trojúhelníková, 74 norma, 74 permutace, 44 podprostor, 65 polynom, 30 průmět ortogonální, 77 pravidlo Cramerovo, 55 prostor vektorový, 64 Eukleidovský, 74 prvky ortogonální, 75 rovnost matic, 42 Sarrusovo pravidlo, 45 součet matic, 42 součin matic, 49 skalární, 74 smíšený, 81 vektorový, 79 standardní skalární, 74 soustava homogenní, 54 nehomogenní, 54 přidružená homogenní, 54 soustavy ekvivalentní, 58 Supremum, 110 Taylorova řada, 158, 159 věta Frobeniova, 56 Laplaceova, 46 O transformaci souřadnic, 70 základní algebry, 32 zlomek parciální, 34