SHOCK» ZOBRAZEN* - CVICBNI, STR. 1 Shodná zobrazení - cvičeni 1. Určete parametry p, q, r tak, aby zobrazení, popsané vzhledem ke KASS v E, následující maticovou rovnicí, bylo shodné: a) [2 10 p\ /o\ X' = 1/15 5 10 o X + 1 . W -5 rí W b) í 2 11 2p\ J 0 \ X' = 1/15 p -2p 2p IX + 1 . \14 2 -pj \q j Výsledky: a) (p,q, r) = (±ll,!TlO,±2)-dvérešení, b) p = 5, q e R,libovolné. 2. Určete početní vyjádření shodnosti / v E2, pro kterou pn pevné zvolené KASS platí, že obrazy bodů A, B, C jsou poradě body a;b;c: a) ^ = [-1,-1], ^'=[2,-2], B = [3,|3],fl' = [6,2], C = [2, 1 ], C- [ 4,1 ]. ti) A, A1, B, B',-viza), C=[3,0], C"=[6,-l]. Výsledky: * '::)«•(.: b) /3 X- = X + 3. Určete početní vyjádřeni shodnosti / v E3, pro kterou při pevné zvolené KASS platí, že obrazy bodů/4,B, C,£> jsou poradě body A;b; C\D':A = [ 1,1,1 ],A'-[ 3,6,7 ], B = [ 0,1,1 ], B' = [ 2,6,7 ], C= [ 2,1,0 ], C =[4,6,6], D = [3,-1,1 ],£>'= [5,4,7]. Výsledek: / 1 0 0 \ / 2 \ X'=|0 1 0 X + 5. 0 0 1/ \B ] A. Určete samodružné body a samodružné směry, druh a určující prvky shodného zobrazení / v E, : a) / 3 -4 \ / 1 '-*■-"(. 3)X + (, Výsledek:/má jediný samodružný bod S= [ 5/2, OJanemážádný samodružný směr;/je otočení se středem S o úhel a = 53°. b) / 0 1\ / 3 '-'M, .)" i, Výsledek: žádný samodružný bod, dva samodružné směry generované vektory (1, 1 ), (1, -1 ); / je posunutá souměrnost složená z osové souměrnosti podle osy o-*->>-2 = 0 a z posunutí ve směru osy o. c) /-X'=1/5(-4 i) X + [l Výsledek: Zobrazení / má přímku samodružných bodů ot»2x + 4,y-5 = 0adva samodružné směry generované vektory (2,-1), (1,2); /je osová souměrnost podle osy o . d) /« *'= * + 3 v'=v + 2. Výsledek: /je posunutí, určené vektorem (3, 2), které nemá žádný samodružný bod a ve kterém je každý směr samodružný. SHODNÍ ZOBRAZENÍ - CVIČKNÍ, SIS. 2 e) /- x'= -x +2 y--v + 2. Výsledek: / má jediný samodružný bod S = [ 1, 1 ], každý směr je samodružný; shodnost / je středová souměrnost se středem S. t) f 1/2 V5/2 \ / - X" - _ X . W3/2 -1/2 / Výsledek: /je osová souměrnost s osou o «. VSt -3v = 0; samodružné směry jsou generovány vektory ( 3, v3 ), (yi, -3 ). g) / 1/2 -V5/2 /=X' = \ VŠ/2 1/2 Výsledek: / je otočení kolem počátku o 60° . 5. Je dána shodnost f v E, : / 5 12 \ 1-2 /■ X'= 1/13 X + V 12 -5 / \ 3 Zvolte novou KASS, kterou označte KASSj, tak, že ponecháte stejný počátek a za nové bázové vektory zvolíte normované charakteristické vektory příslušné poradě k charakteristickým kořenům 1 a -1. a) Napište rovnici. / vzhledem ke KASS2 a ukažte, že /je souměrnost podle přímky o rovnoběžné s osou x soustavy KASSj. b) Zvolte vhodně nový počátek KASS3, která bude mít stejné bázové vektory jako KASS2 a napište rovnici shodnosti /vtéto KASSj. Výsledek: Matice přechodu / 3 -21 M = I/VT3 \ 2 3, a) X' = ( Nľ'AM )X ■+ M"'B, kde A, B jsou matice z rovnice shodnosti /» AX + B v původní KASS; /- X- = ( IX +[ b o-> = V3Ž2. \0 -1/ \!Ťi/2) b) Transformační rovnice: X' = X + I "ľ \ WÍ3/2/ /=X'= (o °i) X- 6. Dokažte, že charakteristické vektory matice cos a sin a, A„ sin a -cos a poslušné k charakteristickým kořenům 1 a -1 jsou poradě j( cos a/2, sin aJ%)t ( -sin a/2, cos a/2; ) a vysvětlete, jaký důsledek to má pro osovou souměrnost X' = AJÍ v Ei . Výsledek: Souřadnice charakteristických vektorů dosaďte do soustavy ( A„ - XB ) X = O; první vektor je směrový a druhý je normálový vektor osy o souměrnosti, která svírá s kladnou poloosou x úhel velikosti a/2 . 7. Využijte výsledků úlohy 6 k určení rovnice osové souměrnosti v E2, pro jejíž osu platí o - V3* -3y =0. O správnosti řešení se přesvědčte pomocí věty o početním vyjádřeni souměrnosti podle nadroviny. Výsledek: X' - A.X, kde a = 60°. 8. Určete, jaké shodné zobrazení v £2 vznikne složením osových souměrností podle souřadnicové osy x a přimky o»V3*-r3y = 0v tomto pořadí. Výsledek:/je oto6EOÍ kolem počátku o 60°. 3 SHODNÁ ZOBRAZENÍ-CVIČENÍ 9. Rozložte shodnost /v E, na osové souměrnosti, tj. určete osové souměrnosti J[,/^f3 tak, aby platilo / = /Jj. prípadné / = ./;/;./;: .>/-.x'.ifj?|x. b)/..v- ií' ? ]x + í _', j. Výsledky: (Vždy je uveden pouze jeden z možných rozkladů.) a) Zvolíme-li za osu souměrnosti fx osu x KASS, je b) Zobrazeni /je rotace se středem S na ose x KASS. Zvolíme-li za osu souměrnosti fx osu x je c) Zobrazení ./je posunutá souměrnost, jejíž samodružné směry jsou generovány vektory (1,1) . a (1,-1); lze ji složit z osové souměrnosti / s osou jejímž směrovým vektorem je vektor (1,1) a z posunutí g ve směru této osy; posunutí g lze dále rozložit na dvě osové souměrnosti Ji a j5 : «.»•.(• v >-. *-1-(i ?)*•♦(:)■ 10. Rozložte na osové souměrnosti (maximálně 3 ) shodné zobrazení /: E2 —> Ev určené vzory a obrazy bodu A, B, C, jestliže v dané KASS mají souřadnice: ^ = [-1,-11 5 = [3,33, C=[3,0] a >»[2,-2 ], Ä' = [6, 2], C = [6, -1 ] . Úlohu řešte také graficky. Výsledky: Shodnost /je posunutí určené vektorem ( 3, -1 ) - viz úlohu 2 b, které lze složit ze dvou osových souměrností /, i /,. Osou souměrnosti fx je osa úsečky AÄ, osou souměrnosti J± je osa úsečky 11. V rovině jsou dány dva shodné trojúhelníky AABC = AA'B'C. Najděte nejmenší počet osových souměrností pro které platí, že v zobrazení /složeném z těchto souměrností je obrazem trojúhelníka ABC trojúhelník A'B' C. Řešte graficky pro trojúhelníky přímo i nepřímo shodné. Výsledky: Pro trojúhelníky přímo shodné užijte osové souměrnosti /, ft popsané v« výsledcích úlohy 10 ; / = /,.£. Pro trojúhelníky nepřímo shodné užijte ještě osovou souměrnost f3, jejíž osou je osa úsečky s krajními body fx [fx ( C ) ] a C ,■ / = fJJz. SHODNÁ ZOBRAZENÍ - CVlCENt 12. V £j je dána přímka o » .v - y + 1 = 0. Napište rovnici souměrnosti podle přímky o a určete jeji samodružné směry. ( Vše v téže KASS ). Výsledky: /' = X' (-1. 1). ( 1.1 ). ■\ |Xť j j. Samodružné smety jsou generovány vektory 13. Napište rovnice souměrnosti podle rovinv, ve které je obrazem bodu A = [ 1, 0, 2 ] bod --«'=[0,1,2]. Výsledky: x' = v, v' = .r, :' =:; rovnice roviny souměrnosti :.r-v = 0. 14. Napište rovnice souměrnosti podle roviny, ve které je obrazem bodu a) A = [ 1, 0, 5 ] bod A'= [ 0, 5, 1 ], b) B = [ 1, 0, -2 ] bod B'= [ 3, 2, 0 ]. Výsledky: „ ,/ = 20x + 5 _ X, ' 21 IV W j 5 4 20 21 21' 21 _/ 4 20 5 z = ——x + —v + -^ 21 2r 21 b) ^ = ix-|v-f^| /= _2_v+ 1 2z+4 x 3 3^ 3 3 3" 3" ' 3' 15. Napište rovnice souměrností podle roviny p s .r + 2y - z + 4 = 0. Výsledek: X' = £ ' 2 -2 1 N -2 -1 2 12 2; x + 1 -8 V 4 16. Určete samodružné body, samodružné směry a typ shodnosti /: £, -» £,. jestliže: a) f m X' = 0 1 0 1 0 0 X 3 -3 b)/-X' = roio) '3^ 1 0 0 X + 3 . .0 0 1 J 1.0 , Výsledky: a) Množinou všech samodružných boduje rovina p s.r-v-3=0; samodružné směry jsou generovány vektory x e < (1,1, 0 ), (0, 0,1) > a x s < (1,-1, 0) >. Zobrazení /je souměrnost podle roviny p. b) Samodružné body neexistují, samodružné směry jsou stejné jako v úloze a). Zobrazeni /je nepřímá shodnost, /je posunutá souměrnost se samodružnou rovinou p = x - y = 0.