Shodnost úseček, porovnávání úseček, grafický součet a rozdíl úseček.

   Střed úsečky, osa úsečky.

   

   Shodnost úseček je vztah mezi úsečkami, který je v geometrii zaveden pomocí axiomů shodnosti.
   Je to relace reflexivní, symetrická a tranzitivní na množině všech úseček v prostoru, tedy
   ekvivalence, která rozkládá množinu všech úseček na třídy navzájem shodných úseček. (viz Texty
   k základům elementární geometrie). Shodnost úseček se pak dále využívá k zavedení dalších
   pojmů (např. střed úsečky, osa úsečky), vlastností útvarů (např. shodnost trojúhelníků, úhlů),
   některých konstrukcí (např. grafické porovnávání úseček, grafický součet úseček, grafický
   rozdíl úseček). Pomocí shodnosti úseček se také definuje pojem shodného zobrazení.

   

   Zopakujte si:

   (1) Zobrazení, které každému bodu X roviny (prostoru) přiřazuje bod X´ téže roviny (prostoru)
   se nazývá shodné zobrazení v rovině (prostoru), právě když pro libovolné dva body X, Y této
   roviny (prostoru) platí: XY @  X´Y´.

   Připomeňte si vlastnosti shodného zobrazení.

   

   Pomocí shodného zobrazení se pak zavádí shodnost geometrických útvarů:

   (2) Dva útvary U[1], U[2] se nazývají shodné, právě když existuje shodné zobrazení, v němž
   obrazem útvaru U[1] je útvar U[2].

   

   Definici (2) de facto používáme ve školské matematice, když říkáme, že „Dva útvary jsou
   shodné, právě když je můžeme přemístit tak, aby se kryly.“

   V praxi to znamená, že sledované útvary skutečně přemísťujeme (např. vystřižené z papíru) nebo
   využíváme průsvitky, proužku papíru a později kružítka, když  zkoumáme shodnost útvarů pomocí
   jejich prvků (např. shodnost trojúhelníků pomocí věty sss) apod.

   

   

   Porovnávání úseček

   Učivo lze motivovat činnostmi, které děti často provádějí, jako je porovnávání latěk, prutů,
   porovnávání dětí podle výšky (bez měření, např. v tělesné výchově). Např. dvě laťky se k sobě
   přiloží tak, že je jeden konec vyrovnán, a sledují se druhé konce latěk.

   

   Ke grafickému porovnání úseček využíváme přenesení jedné z úseček na polopřímku vytvořenou
   z druhé úsečky.

   

   Př.  Porovnejte úsečky AB, CD.

                                  B

                                             C                           E  D

       A

   

   Postup:

   Sestrojíme úsečku CE na polopřímce CD tak, že úsečky CE a AB jsou shodné, CE  @  AB. (Bod E
   sestrojíme pomocí proužku papíru nebo pomocí kružítka.)

   Podle polohy bodu E porovnáme úsečky AB, CD:

   a)      leží-li E mezi body C, D , je úsečka AB menší než úsečka CD,  AB < CD

   b)      leží-li D mezi body C, E,  je úsečka AB větší než úsečka CD,  AB > CD,

   c)      je-li  E = D, jsou úsečky AB a CD shodné, AB @ CD.

   

   Úsečky můžeme také porovnávat pomocí jejich velikosti, tzn. měřením, což je v praxi velmi
   časté. Musíme však dávat pozor na správně vyjádření a správný zápis:

   Může nastat právě jedna ze tří možností:

   a)      ÷ABe < ÷CDe,  říkáme délka (velikost) úsečky AB je menší než délka (velikost) úsečky
   CD;  úsečka AB je kratší než úsečka CD. 

   b)      ÷ABe > ÷CDe,  říkáme délka (velikost) úsečky AB je větší než délka (velikost) úsečky
   CD;  úsečka AB je delší než úsečka CD.

   c)      ÷ABe= ÷CDe,  úsečky  AB, CD mají stejnou délku (velikost).

   

   Poznámka: Graficky porovnáváme takové úsečky, u nichž není na první pohled zřejmé, která je
   větší. Jinak žák nevidí smysl popsané konstrukce. Vhodné je využití různých optických klamů.

   

   

   Grafický součet úseček

   

   Ke konstrukci grafického součtu úseček využíváme opět přenášení úseček k vhodné polopřímce.

   Grafickým součtem úseček AB a CD je úsečka KM, která je sjednocením úseček KL a LM, kde L je
   jediný společný bod úseček KL, LM  a KL @ AB  a  LM @ CD.

   

   Grafický součet úseček budeme dále využívat k určování obvodu trojúhelníku, příp. dalších
   mnohoúhelníků.

   

   Grafický rozdíl úseček

   

   Odčítání úseček je inverzní operace vzhledem ke sčítání úseček.

   Tzn. Je-li úsečka AB grafickým součtem úseček CD a EF, tj. AB = CD + EF, pak úsečka EF je
   grafickým rozdílem úseček AB a CD, píšeme EF = AB – CD (a také CD = AB – EF).

   

   

   

   Střed úsečky

   

   Střed úsečky AB je bod S úsečky AB, pro který platí  AS  @  BS.

   Žáci zjišťují střed úsečky nejprve pomocí proužku papíru, na který si přenesou úsečku AB.
   Proužek přehnou tak, aby se krajní body kryly. Přehybem je vyznačen střed  úsečky na proužku
   papíru. Ten přenesou zpět na úsečku AB.

   Střed úsečky můžeme dále určovat odhadem pomocí kružítka: Sestrojíme oblouky dvou shodných
   kružnic se středy v krajních bodech úsečky AB a poloměrem přibližně poloviny úsečky AB. Střed
   úsečky pak snadno odhadneme jako střed úsečky, jejíž krajní body jsou průsečíky obou oblouků
   s úsečkou AB.

   

   Poznámka:

   Střed úsečky se běžně konstruuje pomocí osy úsečky. Tento postup se však opírá o vlastnost osy
   úsečky jako množiny bodů s danou vlastností, se kterou se žáci seznamují až na 2. stupni.

   

   

   Osa úsečky

   

   Osa úsečky AB se na 1. stupni zavádí jako přímka o, která prochází středem úsečky AB  a je
   k úsečce AB je kolmá.

   Osu úsečky (resp. část osy úsečky) můžeme modelovat pomocí papíru. Vyznačíme na papíru úsečku
   AB, přiložíme krajní body A, B k sobě a papír přehneme. Přehybem je vyznačena část osy úsečky
   AB.

   

   

    

   Úkoly:

   - Jaké vlastnosti má relace shodnost úseček? Jakým způsobem se s nimi seznamují žáci?

   - Jak byste motivovali učivo o grafickém součtu a rozdílu úseček?