Trojúhelník

   

   Zopakujte si tři různé definice trojúhelníku (ilustrujte si je obrázkem).

   Nechť body A,B,C neleží v jedné přímce, pak

    1. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a ACB.
    2. Trojúhelník ABC je množina všech bodů X, které leží na úsečkách AY a bod Y je bodem úsečky
       BC.
    3. Trojúhelník ABC je sjednocením uzavřené lomené čáry o vrcholech A,B,C s její vnitřní
       oblastí.

   

   S trojúhelníkem se děti seznamují již v mateřské škole a v prvním ročníku by měly trojúhelník
   poznat mezi jinými geometrickými útvary. Představa trojúhelníku se dále zpřesňuje ve vyšších
   ročnících, zejména ve 2. období 1. stupně ZŠ (a systematicky na 2. stupni ZŠ).

   Velmi důležité  pro vytvoření správné představy trojúhelníku je vhodně modelovat a znázorňovat
   trojúhelník tak, abychom zamezili nesprávnému chápání trojúhelníku pouze jako sjednocení jeho
   stran.

   

   

   Další pojmy:

                    C                                     vrcholy trojúhelníku:  body A, B, C

                                                            strany trojúhelníku:    úsečky AB,
   BC, AC

                                                                   (v 5. ročníku lze používat i
   označení pomocí a, b, c)

                                                            délky stran: |AB| = 4 cm,  |BC| = __
   cm , |AC| = __ cm               

                                            B            

          A                                             

   

   Pro učitele je důležitá znalost dalších pojmů a vlastností trojúhelníku.

   Zopakujte si vlastnosti každého trojúhelníku:

   -        trojúhelníková nerovnost

   -        vztah mezi stranami a vnitřními úhly trojúhelníku

   -        vlastnost vnitřních úhlů trojúhelníku

   -        vlastnost vnějších úhlů v trojúhelníku

   -        příčky trojúhelníku (tj. osy stran, osy vnitřních úhlů, výšky, těžnice, střední
   příčky), jejich definice a jejich vlastnosti

   

   Z uvedených vlastností se děti seznamují s trojúhelníkovou nerovností. Další vlastnosti se
   sice neučí, ale často se využívají při řešení různých konstrukčních úloh – viz učebnice a
   pracovní sešity matematiky pro 4. a 5. ročník.

   

   Úkol: Vyhledejte v učebnicích nebo pracovních sešitech alespoň 3 konstrukční úlohy, v nichž se
   využívá uvedených vlastností trojúhelníku.

   

   Trojúhelníková nerovnost.

   Jako motivaci lze vhodně využít modelování trojúhelníku pomocí různě dlouhých špejlí, z nichž
   pomocí některých nelze trojúhelník vymodelovat:

   

   obr. (viz např. učebnice Alter pro 3. ročník ZŠ)

                        

   

   Z uvedených situací se vyvodí závěr, že součet libovolných dvou stran trojúhelníku je větší
   než třetí strana (zde mluvíme o grafickém součtu stran, tj. úseček).

   Nebo též: Součet velikostí libovolných dvou stran je větší než velikost třetí strany (nyní
   totéž vyjadřujeme pomocí  součtu délek/velikostí stran).

   

   Konstrukce trojúhelníku.

   Žáci se učí sestrojit trojúhelník, jsou-li zadány jeho strany (sss)

   (Úkol: Zopakujte si další konstrukce trojúhelníků.)

   

   Př. Sestroj trojúhelník KLM, jsou-li zadány délky stran trojúhelníku,

         např.  |KL| = 4 cm,  |LM| = 5 cm , |KM| = 3 cm.

   

   (Zopakujte si: Řešení každé konstrukční úlohy obsahuje fáze: rozbor, popis konstrukce,
   konstrukci, diskuze o řešitelnosti úlohy, důkaz – ověření správnosti konstrukce.)

   

   Realizace těchto fází je přizpůsobena úrovni žáků:

   1. Rozbor - trojúhelník načrtneme, označíme ho, příp. uvedeme délky stran,

       rozhodneme, zda je možné trojúhelník sestrojit.

   

     

   2. Popis konstrukce a vlastní konstrukce.

   Děti se učí provést vlastní konstrukci a současně ní   slovně popsat (později i stručně
   písemně symbolicky) jednotlivé kroky konstrukce.

   Učitel se k vyjadřování dětí shovívavý, postupně ho zpřesňuje, sám se však musí od počátku
   vyjadřovat správně a kultivovaně!!

   

                                           1. Sestrojím/narýsuji úsečku KL, která má délku 4 cm.

                                                   2. Sestrojím oblouk kružnice k se středem
   v bodě K a poloměrem 3 cm.

                                           3. Sestrojím oblouk kružnice l se středem v bodě L a
   poloměrem 5 cm.

                                           4. Bod, ve kterém se oblouky kružnic protínají označím
   M.

                                                        5. Sestrojím trojúhelník ABC.

   

   Pozor na časté chyby ve vyjadřování:

    „Sestrojím 4 cm.“  „Zapíchnu kružítko ...“,  „Vezmu do kružítka 3 cm /  délku 3 cm / velikost
   3 cm...“ (Lze říci pouze, že vezmeme do kružítka úsečku délky 3 cm. Kultivovanější vyjádření
   ale je: „Sestrojím/narýsuji kružnici se středem K a poloměrem např. 3 cm.“) .

   

   Postup konstrukce později můžeme stručně zapisovat do tabulky (viz některé učebnice) nebo
   symbolicky:

                      1. KL; |KL| = 4 cm

                      2. k;  k(K, r = 3cm)

                      3. l;  l(L, r = 5 cm)

                       4. M; M je průsečík kružnic k,l

                      5.        KLM

   

   3. Diskuse. O řešitelnosti úlohy jsme uvažovali již při rozboru, kdy jsme zkoumali platnost
   trojúhelníkové nerovnosti. Víme, že můžeme sestrojit 2 trojúhelníky požadované vlastnosti,
   leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou KL. Jsou však shodné a děti upozorníme, že
   budeme rýsovat jen jeden z nich.

   

   4. S žáky ověříme správnost konstrukce změřením stran narýsovaného trojúhelníku a porovnáme se
   zadáním.

   

                 

   Třídění trojúhelníků:

   A.  podle  stran: na trojúhelníky rovnostranné, rovnoramenné, různostranné (obecné)

   B.  podle vnitřních úhlů: na trojúhelníky pravoúhlé, ostroúhlé, tupoúhlé

   (Úkol: vysvětlete jednotlivé názvy trojúhelníků)

   

   Žáci pracují s obecnými trojúhelníky. Jejich pojmosloví lze rozšířit o rovnoramenný a
   rovnostranný trojúhelník. S pravoúhlým trojúhelníkem se seznámí intuitivně, a to proto, že

   při rýsování používáme „pravoúhelníkové“ pravítko.