KRUŽNICE,  KRUH

   

   

   1. Vývoj pojmů

   Děti se od malička v běžném životě setkávají s předměty, na  kterých se vyskytují kruhy a
   kružnice. Nejprve vše zahrnují pod pojem „kulaté“, později začínají diferencovat, nejprve na
   předměty prostorové (koule, válec, kužel) a rovinné (kruh, kružnice) a až ve školním věku pak
   diferencují mezi jednotlivými pojmy v rovině i v prostoru.

   

   2. Reprezentace pojmů kružnice a kruh v běžném životě

   Tvar kružnice má např. prstýnek, obruč,

   Tvar kruhu má např. dopravní značka zákazová,  dno hrnce nebo kastrolu, podstava válce.

   

   

   3. Základní pojmy

   

   K definici kružnice a kruhu můžeme přistupovat dvěma způsoby:

   

   a) využijeme shodnosti:

   Je dán bod S a úsečka AB. Kružnicí k nazýváme množinu všech bodů X v rovině, pro které platí,
   že úsečka SX je shodná s úsečkou AB.

   Symbolický zápis:    k = {XÎr, SX @AB }

   

   

   

   

   

   

   

   

   Je dán bod S a úsečka AB. Kruhem K nazýváme množinu všech bodů X v rovině, pro které platí, že
   bod X je bodem úsečky SY a úsečka SY je shodná s úsečkou AB.

   Symbolicky:    K =  {XÎr, XÎSY U  SY @AB }.


   

   

   

   

   

   

   

   

   b) využijeme pojmu vzdálenosti

   Je dán bod S a nezáporné číslo r. Kružnicí k rozumíme množinu všech bodů X v rovině, pro které
   platí, že mají os bodu S vzdálenost r.

   Symbolicky:     k = {XÎr,  |SX| = r}.

   

   Je dán bod S a nezáporné číslo r. Kruhem K rozumíme množinu všech bodů X v rovině, které mají
   od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r.

   Symbolicky:     K = {XÎr,  |SX|   r}.

   

   

   Bod S se nazývá střed kružnice nebo kruhu

   Poloměr kružnice (kruhu) je úsečka, jejímiž krajními body jsou bod S a libovolný bod kružnice.
   Je to také velikost této úsečky ( r = 3 cm). Označuje se písmenem r (radius)

   Průměrem kružnice (kruhu) rozumíme úsečku, která prochází středem kružnice (kruhu) a jejímiž
   krajními body jsou dva různé body kružnice. Je to také velikost této úsečky. Označuje se
   písmenem d (diametr)

   Platí:  d = 2r.

   

   4. Rýsování kružnic

   Nejprve je nutné, aby žáci zvládli techniku práce s kružítkem. Je vhodné aby:

   a)      rýsovali kružnice zcela libovolně

   b)      rýsovali obrázky pomocí kružnic (kytičky, terče, sněhuláky, housenky aj.)

   c)      rýsovali kružnice s daným středem

   d)      rýsovali kružnice s daným středem a daným poloměrem

   e)      rýsovali kružnice, které mají daný střed a procházejí daným bodem.

   

   5. Vzájemná poloha kružnice a přímky


   

    

   

   

   

   

   

   

   

   Sečna                                                            
   Tečna                           Vnější přímka kružnice

   |SX|   <  r                                                        |SX|   = 
   r                       |SX|   > r

   k   p =                                            k   p =                 k   p =  O/    

   

   Průnikem kruhu a přímky je úsečka, nazývá se tětiva.

   

   

   6. Vzájemná poloha dvou kružnic

   

   


   

   

   

   

   

   

   

   Kružnice nemají společný bod.                                       Kružnice se dotýkají
   vnějším dotykem.     

   Vzdálenost jejich středů je větší než                            Vzdálenost jejich středů je
   rovna

   součet poloměrů obou kružnic.                                       součtu poloměrů obou
   kružnic.

   

   

   


   

   

   

   Kružnice se protínají, mají společné

   dva body.                                                                              
   Kružnice se dotýkají uvnitř.

   Vzdálenost jejich středů je menší než součet                            Vzdálenost jejich
   středů je rovna poloměrů, ale větší než jejich rozdíl.                                    
   rozdílu poloměrů (v absolutní

                                                                                                
   hodnotě).       


   

   

   

   

                                                                                                                                  

   

   

   

   Jedna kružnice leží ve vnitřní oblasti                                 Soustředné kružnice.
   Středy obou 

   druhé kružnice.                                                                        kružnic
   splývají.                    

   Vzdálenost jejich středů je větší než 0

   a menší než absolutní hodnota rozdílu

   poloměrů.