Odčítání přirozených čísel Odčítání přirozených čísel je definována jako operace inverzní ke sčítání, tj. jestliže pro přirozená čísla a, b, c platí a + b = c, pak c – a = b , c - b = a. (např. 1 + 2 = 3, 3 – 2 = 1, 3 – 1 = 2). Ve školské matematice je odčítání vyvozováno jako operace dynamická, která souvisí s ubíráním, zmenšováním, oddělováním apod. Děti by měly být dostatečně motivovány, aby pochopily význam operace odčítání i význam znaménka „-„. Postup vyvození operace odčítání by měl respektovat několik zásad: 1. Vycházíme z manipulativní činnosti s konkrétními předměty, např. Na misce je 5 ořechů, 2 ořechy Jirka snědl. Kolik ořechů zbylo na misce? 2. Situaci znázorníme pomocí obrázků (např. na tabuli nebo na papíře). 3. Znázorníme pomocí symbolů (puntíků, úseček apod.). o o o o o o o o o o Při práci s konkrétními předměty dva z nich oddělíme, na obrázku je škrtneme. Předměty mohu být znázorněny buď v řádku uspořádaně, nebo i volně jako na hromádce. Ponecháme na dítěti, které dva předměty škrtne nebo odstraní. 4. Zapíšeme příklad (s bohatým slovním komentářem – kolik jsme měli ořechů, kolik jsme jich snědli, jak zapíšeme, že ubylo, kolik ořechů zbylo, …, aby dítě za každým napsaným číslem i znakem vidělo jeho význam): 5 – 2 = 3 5. Příklad se zapíše, přečte nahlas a provede se zkouška správnosti. Protože v této době ještě děti neznají souvislost mezi sčítáním a odčítáním, je vhodné přesvědčit se o správnosti tzv. krokem zpět – znovu situaci zopakovat. Pozor: Vyvarujeme se chybného grafického znázornění typu: ooooo – oo = ooo 5 - 2 = 3 kdy dítě musí naskládat 10 předmětů, aby mohlo odečíst 5 – 2. Takovýmto způsobem se v běžném životě neodčítá. Podobně jako u sčítání sledujeme, co pod zápisem 5 – 2 = 3 může dítě vidět: - Pět bez dvou jsou tři. - Pět mínus dva jsou tři. - Když od pěti oddělím dvě, dostanu tři. - Pět mohu rozdělit na dvě a tři. Ale také: - Pět je o dvě více než tři. - Pět je o tři více než dvě. - Pět je dvě a tři. Odčítání v oboru do pěti obsahuje deset spojů, které se děti učí zpaměti, ale až po pochopení (umí znázornit příslušný příklad pomocí předmětů nebo obrázků): 5 – 4, 5 – 3, 5 – 2, 5 – 1, 4 – 3, 4 – 2, 4 – 1, 3 – 2, 3 – 1, 2 – 1. Dále se děti naučí odčítat čísla v oboru do deseti. Je třeba si uvědomit, že příklady jsou nestejně obtížné, např. 8 – 2 je snadnější než 8 – 6, nebo 10 – 3 je snadnější než 10 – 8. Častěji tedy opakujeme ty spoje odčítání, které jsou pro děti obtížné a vždy vyžadujeme znázornění pomocí konkrétních předmětů. Není možné opírat se o pouhé pamětné naučení, neboť děti s poruchou učení mívají s pamětí problémy a velice rychle zapomínají. Děti se také naučí počítat příklady, kdy menšenec je 0, příklady typu 7 – 0 = 7. Dále se děti učí vždy příslušné odčítání v období, kdy probírají sčítání, avšak zde uvádíme jednotlivé operace zvlášť, aby byla patrna návaznost jednotlivých částí učiva při vyvozování téže operace. Postup pamětného odčítání 1. Odčítání v oboru do pěti 2. Odčítání v obor do deseti 3. Odčítání v oboru do dvaceti bez přechodu přes základ deset, úlohy typu 17 - 4 . Menšence rozložíme na desítku a jednotky 17 - 4 10 7 Počítáme: 7 – 4 = 3, 10 + 3 = 13, tedy 17 – 4 = 13 Názorně můžeme situaci modelovat na mřížkách nebo pomocí svazků brček: +-------------------------------------------------------+ |o |o |o |o |o |o |o |o |o |o | |---+---+---+--------+--------+--------+-------+--+--+--| |o |o |o |ǿ |ǿ |ǿ |ǿ| | | | +-------------------------------------------------------+ |||||||||| |||†††† 4. Odčítání s přechodem přes základ deset, úlohy typu 12 - 5. Menšence rozložíme tak, abychom od menšitele odečetli jednotky: 12 - 5 = 2 3 Počítáme: 12 – 2 = 10, 10 – 3 = 7, tedy 12 – 5 = 7 +-----------------------------------------------------------+ |o |o |o |o |o |o |o |ǿ|ǿ|ǿ| |--------+--------+---+---+---+--+--+-------+-------+-------| |ǿ |ǿ | | | | | | | | | +-----------------------------------------------------------+ Při řešení příkladů tohoto typu je třeba respektovat: - Děti potřebují neustále opakovat rozklady čísel - Může se stát, že si dítě vytvoří svůj postup odčítání a ten, pokud je správný a může se použít i v dalších příkladech v oboru do sta, atd., dítěti ponecháme. Jde např. o počítání typu: 12 – 4 = 10 2 Počítáme: 10 – 4 = 6, 2 + 6 = 8, tedy 12 – 4 = 8. - Není nejvhodnější, když děti odčítají „po jedné“ s ukazováním si na prstech, protože počítají např. 12 – 4 takto: dvanáct, jedenáct, deset, devět, 12 – 4 = 9 5. Odčítání v oboru do sta Ve všech následujících typech příkladů využíváme vždy aplikačních úloh, které ilustrují použití v praxi, grafického znázornění a dále respektujeme jemnou metodickou řadu, kdy s každým novým příkladem zařadíme vždy jen jeden nový jev. a) Nejprve se odčítají násobky deseti, příklady typu 60 – 20. Můžeme využít grafického znázornění pomocí čtvercové sítě, kdy děti vyznačují příslušné desítky a ty, které odčítají pak škrtnou. +-----------------------------------------------------------+ | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | |-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----| | | | | | | | | | | | +-----------------------------------------------------------+ Dále je možné používat svazky brček a pití svázaných po deseti, modelů peněz, předmětů, které jsou baleny po deseti (např. hygienické kapesníčky, obaly od vajíček aj.). Také je možné využít analogie, kdy děti využívají dříve naučeného učiva: 6 – 2 = 4 6 desítek – 2 desítky = 4 desítky 60 – 20 = 40 b) Odčítání jednociferného čísla od dvojciferného Vycházíme od nejsnadnějšího typu úloh: 64 – 4, pak následují postupně úlohy typu: 68 – 3, 60 – 3, 64 – 8. Děti mohou využívat rozkladů, nebo analogie z odčítání v oboru do 20: 68 – 3 60 - 3 64 - 8 60 8 50 10 4 4 Pokud rozklady děti nepotřebují, nevyžadujeme je. Pokud si zvolí vlastní postupy a jsou matematicky správné, ponecháme jim je. c) Odčítání dvojciferných čísel Počítají se příklady typu 64 – 20, 65 – 25, 65 – 23, 63 – 28 Pokud počítají děti tyto typy příkladů s rozkladem, je dobrým pravidlem naučit je rozkládat pouze menšence, protože kdyby rozkládaly menšence i menšitele, mohlo by to u odčítání s přechodem před základ deset vést k chybám typu 60 – 20 = 40, 3 – 8 nejde, tak odečítají 8 – 3 = 5, jako by řešily příklad 68 – 23. Počítáme: 65 – 23: 65 – 20 = 45, 45 – 3 = 42 63 – 28: 63 – 20 = 43, 43 – 8 = 35. Víceciferná čísla odčítáme zpaměti pouze v případě, obsahují-li v zápisu pouze jednu nebo dvě nenulové číslice, např. 30 000 – 20 000, 1 500 – 300 apod. Pokud se dětem nedaří pamětné odčítání, využijeme odčítání písemného. Problémy dětí při pamětném odčítání 1.Dítě vůbec nepochopí operaci odčítání a buď čísla sčítá, nebo je libovolně zaměňuje, je mu jedno, zda napíše 5 – 3 nebo 3 – 5. 2. Při odčítání po jedné je rozdíl vždy o jednu větší než správný výsledek, např. 16 – 5 počítají a ukazují na prstech, až mají 5 prstů: šestnáct, patnáct, čtrnáct, třináct, dvanáct, tedy 16 – 5 = 12. 3. Pokud odčítají po jedné a neumí bezpečně vyjmenovat řadu čísel sestupně, některé číslo vynechají, např. 15 – 6 počítají: čtrnáct, dvanáct, jedenáct, deset, devět, osm, tedy 15 – 6 = 8. 4. Nepochopí postup pamětného odčítání, počítají např. 44 – 5 = 11 jako 5 – 4 = 1, 5 – 4= 1. 5. Počítají s čísly různých řádů, např. 80 – 6 = 20 počítá jako 8 – 6 = 2 a připíše nulu, 64 – 40 = 60 počítá jako 4 – 4 = 0 a 6 opíše, 45 – 3 = 12, počítá jako 4 – 3 = 1, 5 – 3 = 2, 56 - 2 = 36 jako 5 – 2 = 3, 6 opíše, 93 – 3 = 60 jako 9 – 3 = 6, 3 - 3 = 0 300 – 50 = 200. 6. Zaměňují čísla v menšenci a menšiteli, zásadně odčítají od většího čísla menší, i když je v menšiteli. 62 – 28 = 46, protože 6 – 2 = 4, 8 – 2 = 6, 640 – 350 = 310, protože 600 – 300 = 300, 50 – 40 = 10. 7. Při odčítání dvojciferných čísel s přechodem neustále rozkládají menšence i menšitele a odčítají vždy od většího čísla menší: 82 – 57 počítají 80 – 50 = 30, 2 – 7 nejde, tak 7 – 2 = 5, 82 – 57 = 35. 8. Velké problémy dětem dělají příklady typu 70 – 8, kdy se obtížně orientují v desítkách. 9. Nedokáží vidět odčítání v úlohách formulovaných s tzv. antisignálem, kdy odčítání není formulováno přímo, např. úlohu „Na drátě sedělo 8 vlaštovek, několik odletělo a zůstalo jich na drátě 5. Kolik vlaštovek odletělo?“ počítají 8 + 5 = 13.