ROZVOJ FUNKČNÍHO MYŠLENÍ Růžena Blažková Funkční myšlení, propedeutika pojmu funkce RVP: Závislosti, vztahy a práce s daty Očekávané výstupy: žák popisuje jednoduché závislosti z praktického života doplňuje tabulky, schémata, posloupnosti čísel čte a sestavuje jednoduché tabulky Co rozumíme pod pojmem „funkční myšlení“ 1. V běžném životě sledujeme, jak se mění jedna veličina v závislosti na druhé, např. - cena zakoupeného zboží závisí na jeho množství, - vzdálenost ujetá vozidlem závisí na době, po kterou vozidlo jede, - délka dne během roku závisí na ročním období, - teplota ovzduší během dne závisí na denní době, - čas potřebný k ujetí určité vzdálenosti závisí na rychlosti pohybu, atd. 2. Při provádění operací s čísly sledujeme, jak se mění výsledek operace v závislosti na změnách čísel vstupujících, např.: jak se mění součet, když oba sčítance zvětšíme o jednu: 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9 atd. jak se mění rozdíl, jestliže menšence i menšitele zvětšíme o stejné číslo: 5 - 3 = 2 6 - 4 = 2 7 – 5 = 2 15 – 13 = 2 atd. jak se mění součin, když oba činitele většíme o jednu: 1 . 2 = 2 2 . 3 = 6 3 . 4 = 12 4 . 5 = 20 5 . 6 = 30 atd. jak se mění podíl, když zvětšíme dělence i dělitele dvakrát: 6 : 2 = 3 12 : 4 = 3 24 : 8 = 3 atd. 3. Při řešení konstrukčních úloh sledujeme, jak se mění výsledek úlohy na změnách zadaných údajů. 4. Sledujeme, zda mezi změnami veličin existuje určitý vztah, který je možno matematicky popsat a pokud existuje, snažíme se jej odhalit. 5. Údaje ze sledovaných závislostí zapisujeme do tabulek nebo je znázorňujeme pomocí grafů. 6. Sledujeme definiční obory závislostí. Přímá úměrnost Propedeutika přímé úměrnosti vychází z výuky násobení, kdy údaje zapsané v tabulce usnadní sledování funkčních vztahů. Př. Jedna tyčinka stojí 6 Kč. Zapište do tabulky kolik zaplatíme za 2, 3, 4, … tyčinek. Počet tyčinek (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kč (y) 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1.6 2.6 3.6 4.6 5.6 6.6 7.6 8.6 9.6 10.6 V tabulce pozorujeme: a) Kolikrát se zvětší číslo v prvním řádku, tolikrát se zvětší číslo ve druhém řádku. b) Číslo ve druhém řádku získáme tak, že číslo v prvním řádku násobíme stále stejným číslem. Funkce o rovnici y = k . x se nazývá funkce přímé úměrnosti. Jejím grafem je přímka procházející počátkem (v případě, že definičním oborem funkce je množina všech reálných čísel). Funkce y = k . x je pro k>0 rostoucí, pro k<0 klesající a pro k = 0 konstantní. V konkrétních případech může být grafem funkce polopřímka, úsečka nebo množina izolovaných bodů, které leží v přímce. Tak by tomu bylo v našem případě, protože můžeme koupit jen celé tyčinky - nelze koupit jen část tyčinky. Nepřímá úměrnost V běžném životě se děti setkávají s nepřímou úměrností např. při dělení bonbónů. Jestliže je v sáčku např. 24 bonbónů, tak dvě děti dostanou při spravedlivém dělení každý 12 bonbónů, ale 6 dětí dostane při spravedlivém dělení každý jen 4 bonbóny. Jestliže chceme překonat určitou vzdálenost např. 60 km, tak při chůzi pěšky půjdeme asi 15 hodin (půjdeme-li průměrnou rychlostí 4 km za 1 hodinu), při jízdě na kole urazíme tuto vzdálenost např. 4 hodiny (při průměrné rychlosti 15 km za 1 hodinu) a při jízdě automobilem ujedeme tuto vzdálenost za 1 hodinu (nebo i méně). Př. Obsah obdélníku je 36 cm^2. Sledujte, jak se mění jeho šířka v závislosti na změně jeho délky (pracujeme pouze s přirozenými čísly). Délka (cm 1 2 3 4 6 9 12 18 36 Šířka (cm) 36 18 12 9 6 4 3 2 1 V tabulce pozorujeme: a) Kolikrát se zvětší číslo v prvním řádku, tolikrát se zmenší číslo ve druhém řádku. b) Číslo ve druhém řádku získáme tak, že stále stejné číslo dělíme číslem v prvním řádku. c) Součin čísel v prvním i ve druhém řádku je stále stejné číslo. Funkce o rovnici pro x k se nazývá funkce nepřímé úměrnosti. Jejím grafem je rovnoosá hyperbola.