Lineární zobrazení ­ cvičení 1. Rozhodněte, zda : V(n) V` (m) je lineární zobrazení, jestliže platí: a) : V(3) V (3) ; (x1; x2; x3) = (x1;2 x1x2; x3), b) : V(2) V( 2) ; (x1; x2) = (x1; x1), c) : V(3) V (1) ; (x1; x2; x3) = (x3), d) : V(3) V (1) ; (x1; x2; x3) = (lnx3), e) : V(3) V (3) ; (x1; x2; x3) = (x1; 2 x1 + 5 x3; x2 - 3x3), f) : V(3) V (3) ; (x1; x2; x3) = (2x1 + x3; x2 + 2x3; sin x2). Výsledky: a), d), f) ­ ne, b), c), e) ­ ano. 2. Určete matici A reprezentující lineární zobrazení : V(n) V` (m) vzhledem ke kanonickým bázím v obou prostorech. Dále určete Im a Ker jejich bázemi pro lineární zobrazení , pro které platí: a) (x; y; z) = (x + y ­ z; x ­ z; y), b) (x; y) = (-x; 3y; x + y). Výsledky: a) A = 1 1 -1 1 0 -1 0 1 0 , Im = <(1; 1; 0), (0; 1; 1)>, Ker = <(1; 0; 1)>, b) A= -1 0 0 3 1 1 , Im = <(-1; 0; 1), (0; 3; 1)>, Ker = {o}. 3. Určete matici lineární transformace : V(3) V (3) vzhledem ke kanonické bázi, jestliže znáte obrazy tří lineárně nezávislých vektorů: (-1; 2; 3) = (2; 1; 0), (0; 1; 0) = (-1; 1; 1), (-1; 1; 1) = (1; 0; -2). Výsledek: A= -1 -1 1 1 1 0 7 2 1 1 2 . 4. Určete báze vektorových prostorů Im A a Ker A pro lineární transformaci : V(3) V (3) s bázemi vi, i = 1, 2, . . . , n, wj, j = 1, 2, . . . , m, vzhledem ke kterým A= 1 2 1 -3 0 -9 1 -1 4 . Výsledek: Im = <(1; -3; 1), (2; 0; -1)>, Ker = <(3; -1; -1)>. 1 5. Určete charakteristické kořeny a charakteristické vektory matic: a) 2 1 5 -2 , b) 3 5 1 -1, c) 9 1 9 1, d) 15 -4 -3 4 , e) 3 1 -1 1 , f) 1 2 -1 -1 . Výsledky: a) 1 = 3, x1 <(1; 1)>, 2 = -3, x2 <(1; -5)>, b) 1 = 4, x1 <(5; 1)>, 2 = -2, x2 <(1; -1)>, c) 1 = 10, x1 <(1; 1)>, 2 = 0, x2 <(1; -9)>, d) 1 = 16, x1 <(4; -1)>, 2 = 3, x2 <(1; 3)>, e) 1,2 = 2, x1,2 <(1; -1)>, f) charakteristická rovnice nemá reálné kořeny. 6. Určete charakteristické kořeny a charakteristické vektory matic: a) 0 0 7 0 , b) 0 0 0 0 . Výsledky: a) 1,2 = 0, x1,2 <(0; 1)>, b) 1,2 = 0, x1,2 <(1; 0), (0; 1)>. 7. Určete charakteristický polynom, charakteristické kořeny a charakteristické vektory matic: a) 4 -1 -2 2 1 -2 1 -1 1 , b) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 , c) 0 1 0 -4 4 0 0 0 2 , d) 2 -1 2 5 -3 3 -1 0 -2 , e) -3 -7 -6 1 5 6 -1 -1 -2 , f) 2 0 0 5 1 1 -1 3 3 , g) -5 3 2 -16 9 3 -8 4 -2 , h) 1 2 2 1 2 -1 -1 1 4 . Výsledky: a) 3 - 62 + 11 - 6, 1 = 1, x1 <(1;1;1)>, 2 = 2, x2 <(1;0;1)>, 3 = 3, x3 <(1;1;0)>, b) 3 - 62 + 9 - 4, 1 = 4, x1 <(1;1;1)>, 2,3 = 1, x2,3 <(1;0;-1), (0; 1; -1)>, c) 3 - 62 + 12 - 8, 1,2,3 = 2, x1,2,3 <(0;0;1), (1; 2; 0)>, d) 3 + 32 + 3 + 1, 1,2,3 = -1, x1,2,3 <(1;1;-1)>, e) 3 - 12 -16, 1,2= -2, x1,2 <(1;-1;1)>, 3 = 4, x3 <(1;-1;0)>, f) 3 - 62 + 8, 1 = 0, x1 <(0;1;-1)>, 2 = 2, x2 <(-2;-3;7)>, 3 = 4, x3 <(0;1;3)>, g) 3 - 22 - + 2, 1 = -1, x1 <(11;20;-8)>, 2 = 1, x2 <(1;2;0)>, 3 = 2, x3 <(5;11;1)>, h) 3 - 72 + 15 -9, 1,2= 3, x1,2 <(1;1;0), (1; 0; 1)>, 3 = 1, x3 <(2;-1;1)>. 8. Pokud je to možné, určete k maticím z úloh 5, 6 a 7 podobnou diagonální matici D a regulární matici S tak, aby platilo D = S-1 AS, kde A je daná matice. Výsledky: D neexistuje pro matice z úloh 5e), f), 6 a) a 7 c), d),e). O existenci podobné diago- nální matice D rozhodneme pomocí V3.9, matice D a S (pokud existují) určíme užitím V3.10. Potřebné charakteristické kořeny a k nim příslušné charakteristické vektory viz výsledky úloh 5, 6 a 7. Např. pro matici z úlohy 7g) je D= -1 0 0 0 1 0 0 0 2 , S= 11 1 5 20 2 11 -8 0 1 , S-1 = 1 6 -2 1 -1 108 -51 21 -16 8 -2 . 2 9. Lineární transformace : V (n) je v kanonické bázi reprezentována maticí A. Rozhodně- te, zda ve V(n) existuje báze u1,u2, . . . ,un, vzhledem ke které je reprezentována diagonální maticí D. V kladném případě určete některou z takových bází a jí odpovídající matici D. Úlo- hu řešte pro matice z úloh 5, 6 a 7. Výsledky: Taková báze neexistuje pro matice z úloh 5e), f), 6 a) a 7 c), d),e). Pro řešení užije- me V3.8. Potřebné charakteristické kořeny a k nim příslušné charakteristické vektory viz vý- sledky úloh 5, 6 a 7. Např. pro matici z úlohy 5a) je u1 = (1; 1), u2 = (1; -5) a D=3 0 0 -3. 10. Zjistěte, zda lineární zobrazení : V(n) V (n) je ortogonální transformací vektorového prosto- ru V (n) , jestliže je vzhledem k dané ortonormální bázi reprezentováno maticí: a 1 5 3 4 4 -3 b 2 1 1 -2 c 1 13 3 4 12 12 3 -4 4 -12 3 . Výsledky: a) ano, b) ne, c) ano. 11. Určete parametry p, q, r tak, aby : V(3) V (3) bylo ortogonální transformací V(3) , jestliže je vzhledem k dané ortonormální bázi reprezentováno maticí: a 1 3 1 2 2 2 1 -2 p q r , b 1 82 3 6 3 -6 2 p q r . Výsledky: a) p = 2, q = - 2, r = 1, nebo p = -2, q = 2, r = -1, b) úloha nemá řešení. 12. Jsou dány matice: A =cos sin sin -cos , B=cos -sin sin cos . a) Dokažte, že A a B jsou ortonormální matice pro každé R. b) Určete charakteristické kořeny daných matic v závislosti na R. c) Dokažte, že x1=cos 2 ; sin 2 , x2=-sin 2 ; cos 2 jsou charakteristické vektory matice A pořadě příslušné ke kořenům 1 = 1 a 2 = -1. d) Pokud existují, určete charakteristické vektory matice B. e) Pokud existují, určete k maticím A a B podobné diagonální matice D a regulární matici S tak, aby platilo D = S-1 AS a D = S-1 BS. f) Dokažte, že matice B a B- jsou podobné. Výsledky řešení úlohy č. 12 budou využity v kapitole Shodná zobrazení. Proto bude řešení této úlohy dáno k dispozici v písemné formě. Poznámka: Většina úloh je z publikace Kadleček, J., Troják, J. Geometrie III. Geomet­ rická zobrazení. (Přehled látky s řešenými příklady) Praha: SPN 1984. 3