Podobná zobrazení - cvičení 1. Zobrazení / je vzhledem ke KASS určeno rovnicí/= X' = AX + B, kde 111 -ľ Dokažte, ief]e vlastní podobnost příslušného prostoru &"\ určete její koeficient k, střed S a samodružné směry a rozhodněte, jde-li o podobnost přímou či nepřímou. Potom/rozložte na stejnolehlost h a shodnost z. Uveďte druh shodnosti z a pro obě zobrazení z rozkladu/= hz uveďte jejich určující prvky. Výsledky: ATA = 25E, k = 5, S = [—j~; f J, přímá, samodružné směry neexistují, h = X'= 5.X, střed ň je v počátku, z = X" = AX + B, A = JA = Ba, a = 53° T 48", zje rotace se středem !g=[-5il0)/ 2. Úlohu č. 1 řešte pro T-3 0 A = 5 2 2 o JE. 2 5. 2 ^ B = 'o 0 yoj střed ä je v počátku, z = X"=AX, A: a = 33°33/ 26//, z je otočené zr- Výsledky ;ATA = 9E, * = 3, S = [ 0, 0, 0 ], nepřímá, X, = -3, x, e <( 1, 0, 0 )>, h = X'= 3.X, -1 O O Ba cadlení složené z otočení kolem osy x o úhel a a souměrnosti podle roviny p = x = 0. Úlohu č. 1 řešte pro }A = A = 1 1 71 1 1 -72 v yi -72 o •\ r o ) , B = -i J ,-72 j Výsledky: ATA = 4E, k = 2, nepřímá podobnost, S = [ 1, 0, 0 ], Xu= 2, X3= -2, charakteristickým podprostorem příslušným k Xu je Z(p), p = -x + y + J2z = 0, Xj e < ( -72~, 72~i 2) >, /j = X' = 2.X, zsX"= AX+ B, A = jA; z nemá samodružné body, je posunutým zrcadlením - v tabulce pro EF1 je to jediná shodnost bez samodružných bodů, která má alespoň dva různé sa modružné směry, ale ne každý. Určení samodružné roviny a : a || p , a = x-y- Jí z + c = 0, pro všechna y, z bod M = [y + Ji z + c; v; z] leží v a, také jeho obraz M" ve shodnosti z leží v a, dosazením souřadnic bodu M" do rovnice roviny oř dostaneme c = |, a s 2x - 2y - 2 Jí z + 3 = 0. 4. Podobnost /z úlohy č. 3 je možno rozložit na souměrnost z podle roviny p' procházející středem podobnosti S a stejnolehlost h (v tomto pořadí, tj./= zH). Určete rovnice obou zobrazení z tohoto rozkladu a určující prvky obou zobrazení. Výsledky: Rovina souměrnosti p' || p, p' = x - y - J2 z +1 = 0,, f i " 2 1 2 y—t rovnici z = X' = AX + K, A = jA, K = určíme dle V 23, h s X" = 2.X' + D, po dosazení za X' z rovnice souměrnosti z dostaneme 2.K + D = B => D. Střed h je S. Ä = X" = 2X+ o , 0 2 Podobná zobrazení - cvičení 5. Úlohu č. 1 řešte pro (2 0 0 > '°1 0 72 -Ví B = 0 ^0 72 Vij .0, Výsledky: ATA = 4E,/je přímá podobnost s koeficientem k = 2, S splývá s počátkem, Xi = 2, xi e <(1; 0; 0)>, h = X' = 2X, středem A je střed podobnosti S, z s X"= X', kde a = 45°; zje rotace kolem osy x o 45°. 6. Úlohu č. 1 řešte pro f3 4 -3ľ Výsledky: ATA = 25E,/je nepřímá podobnost, k = 5, S = 0:~! , X^Xie^;!^, X2 = -5,X2 6<(l;-2)>,Ä = X' = 5X,stfed/)jevpočátkuKASS, z = X"=AX' + B, A = -A, zje posunutá souměrnost, složená z osové souměrnosti o = X'"= AX' + ^| "J podle osy 1^2 V 5-6 O = 2x-4y-3 = 0aposunutíí = X" = X'"+ i I , f=hz = h(ot). 7. V zobrazeni/: £<2) -> £<2) jsou obrazem bodů^ = [-3; 1], B = [4; 3], C = [2; -5] po řadě body A '= [-3; 43], B'= [56; -31], C'= [-50; -47]. Přesvědčete se, že/ je podobnost prostoru EP*, určete její koeficient a maticovou rovnici. Kýífe<%-Užijeme větu 2,* =13, X'= X + 8. Určete maticovou rovnici podobnosti/ v É?1, která vznikne složením stejnolehlosti h se středem S - [1; 2] a koeficientem k = 3, se souměrností podle osy o s 2x - 3v + 1 = 0 v tomto pořadí, tj./ = ho. Výsledky: , 1 ti\ (\\ íisX'= X-2 0 3 2 f , OsX" = 13 13 12 _5_ U3 137 X'+' 13 y u J /-x" = f 15 36 13 13 36 _15 13 13 x+ 62 13 2_ 13 9. Jsou dány stejnolehlosti h\ se středem Si = [-2; 2] a koeficientem Ki = - -, h2 se středem Ä = [3; -13] a koeficientem k2 = 3. Určete, jaké zobrazení vznikne složením daných stejnolehlostí A], /j2 v tomto pořadí, napište jeho maticovou rovnici a uveďte jeho určující prvky. Výsledky: Užijeme Mongeovu větu o skládání stejnolehlostí, /11/12 je stejnolehlost s koeficientem k = — a středemS= [-6; 14], l\h2 =X" ' 3 0 2 0 3 v 2, x + -15 35 (frčUv^v Awn^u^^ - cn/'<±c^«ý w / lifoutw &•£ ~ A&tc-i«^ i ATŔ = -3 O v í A- p/v^4\^ /p^^^^^/ Z. \A I = -j - f- < O ~> f t ^^WA-yW (A-£)X -O /-4 O O / n — -r- / *; 0 n Ä. - \ ~1 o o \ n?/ 'y s íj. ífm^čb^^/n***s~7> : JA ~J£I =0 0 0 0 AA - ~ J /Msr~^/ A**vt<~ O 0\ 3>0 ™y^^ý*+*6ŕ6*^*ý*t*',«4 A* X^[°030 3 J ^"^^s*^^ ' -i o o 0 G £> ] /-i o q_\ u? f/ (S O 3« I \g í X'i(-:°.v ^ii o ■ 4 /& f Al £•%. $6l <_ (jLgis**^jA?*t*KSi>€*^Á' stát//urw'-^&f/(AJZ<**^e?tft/V>Z3S: Í i í l) kJl\ o 2.&v'- J»Z- X - yl^wwec,