1. Lineární zobrazení vektorových prostorů (opakování z algebry): definice, vlastnosti, obraz podprostoru, určení, početní vyjádření, reprezentace maticí
- závislost na bázi. Složené lineární zobrazení a jeho matice. Jádro a obraz lineárního zobrazení, jejich vlastnosti, dimenze a jejich součet. Lineární transformace: samodružné směry, charakteristická rovnice, charakteristické kořeny a k nim příslušné charakteristické vektory. Nulita charakteristické matice., počet lineárně nezávislých charakteristických vektorů příslušných k vícenásobnému charakteristickému kořenu, charakteristický podprostor a jeho dimenze, charakteristický kořen nula. Podobnost matic, souvislost se změnou báze, vlastnosti podobných matic.Věty o existenci podobné diagonální matice, o určení podobné diagonální matice, o reprezentaci lineární transformace diagonální maticí. Ortogonální zobrazení: definice, nutná a postačující podmínka pro ortogonálnost, vlastnosti. Ortogonální transformace: definice, vlastnosti, ortogonální matice a její charakteristické kořeny.
(Toto téma bude částečně opakováno a rozšířeno ve cvičení.)
2. Shodná zobrazení: definice, vlastnosti, asociované zobrazení a jeho vlastnosti, věta o určenosti, početní vyjádření. Nutná a postačující podmínka, aby zobrazení z, početně vyjádřené rovnicí X´= AX + B bylo shodné. Shodnost v E(n) a její vlastnosti, asociované zobrazení, jeho vlastnosti a matice Nezávislost determinantu matice A v rovnici shodnosti na volbě KASS. Shodnost přímá a nepřímá. Grupa shodností prostoru E(n) a její podgrupy. Samodružné body a směry shodnostia jejich nezávislost na volbě KASS. Množina samodružných bodů. Nutná a postačující podmínka pro samodružnost podprostoru. Souměrnost podle nadroviny a její početní vyjádření. Rozklad shodnosti na souměrnosti podle nadroviny. Shodnosti v E(2): klasifikace podle počtu samodružných bodů a směrů, normální rovnice. Skládání osových souměrností, rozklad shodnosti v rovině na osové souměrnosti. Matice reprezentující ortogonální transformaci prostorů E(2) a E(3). Shodnosti v E(3)a jejich rozklad na souměrnosti podle roviny.
3. Podobná zobrazení: definice, vlastnosti, podobnost vlastní a nevlastní, asociované zobrazení, jeho matice a její vlastnosti. Věta o určenosti podobného zobrazení a jeho početní vyjádření. Nutná a postačující podmínka, aby zobrazení z, početně vyjádřené rovnicí X´= AX + B bylo podobné. Podobnosti prostoru
E(n), asociované zobrazení: vlastnosti jeho matice. Grupa podobností a její podgrupy, podobnosti přímé a nepřímé. Samodružné body a směry vlastní podobnosti. Charakteristická rovnice, charakteristické kořeny a vektory (podprostory) a jejich nezávislost na volbě KASS. Stejnolehlost: definice, početní vyjádření, vlastnosti. Rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost. Skládání stejnolehlostí, Mongeova grupa a její podgrupy. Přehled vlastních podobností
v E(2).
4. Afinní zobrazení: definice, základní vlastnosti, asociované zobrazení a jeho matice, obraz rovnoběžek, věta o určenosti. Početní vyjádřen vzhledem k Lss, nutná a postačující podmínka injektivnosti. Afinita prostoru A(n), obraz podprostoru. Samodružné body afinity, charakteristická rovnice, charakteristické vektory, smodružné směry, směr afinity, afinní elace. Jádro a obraz asociovaného zobrazení, geometrický důsledek věty o součtu jejich dimenzí. Rovnoběžné promítání prostoru A(n)do nadroviny, směr promítání, význam chrakteristického kořenu nula. Základní afinita a její početní vyjádření, směr afinity. Rozklad afinity na základní afinity. Modul afinity, modul složené finity, nezávislost modulu afinity na volbě LSS a jehi geometrický význam pro základní afinity, afinita přímá a nepřímá. Ekviafinity a jejich geometrický význam. Afinní grupa a její podgrpy. Zobecněná základní afinita, rozklad afinního zobrazení v E(n) na zobecněné základní afinity. Příklady užití afinních zobrazení, zejména osové afinity.
Literatura