Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko-správní fakulta Statistika distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2004 Education and Culture Socrates Grundtvig Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES — Grundtvig. Za obsah produktu odpovídá výlučně autor, produkt nereprezentuje názory Evropské komise a Evropská komise neodpovídá za použití informací, jež jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES -- Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product Statistika Vydala Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko-správní fakulta Vydání pilotní verze Brno, 2004 RNDr. Marie Budíková', Dr. Publikace neprošla jazykovou úpravou Identifikace modulu Znak ■ KMSTAT Název ■ Statistika Garant/autor ■ RNDr. Marie Budíková, Dr. Cíl Vymezení cíle Statistika jako metoda analýzy dat patří k vědním disciplínám, v nichž by měl být vzdělán každý ekonom. Její role v ekonomii je zcela nezastupitelná, neboť moderní řízení je založeno na nepřetržitém vyhodnocování informací o hospodářství jako celku i jeho subsystémech, a tyto informace poskytuje a následně zpracovává právě statistika. Přiměřená znalost základních statistických pojmů je pro ekonoma důležitá také proto, že mu pomáhá porozumět odborné ekonomické literatuře, jejíž některé části statistiku v hojné míře využívají. Význam statistiky v poslední době neustále roste, což úzce souvisí s rozvojem výpočetní techniky, která je používána jak při sběru a přenosu dat, tak při jejich zpracování a uklá-dání informací. Dovednosti a znalosti získané po studiu textů Předmět „Statistika" vás má především naučit zpracovávat data, která se týkají ekonomických jevů, tj. data třídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Velké množství příkladů, které jsou součástí učebního textu, vám pomůže při formulování vlastních úloh a výběru správné metody. Naučíte se rovněž využívat výpočetní techniku při řešení ekonomických problémů. Časový plán Časová náročnost ■ prezenční část 22% ■ samostudium 78% Celkový studijní čas ■ 14 týdnů Harmonogram ■ přednášky 24 hodin ■ samostudium a práce s počítačem 85 hodin Způsob studia Studijní pomůcky doporučená literatura: [1] Anděl J.: Matematická statistika. SNTL/Alfa Praha 1978. [2] Arltová M., Bílková D., Jarošová E., Pourová Z.: Sbírka příkladů ze statistiky (Statistika A). VŠE Praha 1996. [3] Budíková M., Mikoláš Š., Osecký P.: Popisná statistika. MU Brno 2001. [4] Budíková M., Mikoláš Š., Osecký P.: Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. Sbírka příkladů. MU Brno 2001. [5] HebÁk P., KahounovÁ J.: Počet pravděpodobnosti v příkladech. SNTL Praha 1978. [6] KarpÍŠek Z.: Pravděpodobnostní metody. VUT Brno 2000. [7] KarpÍŠek Z., Drdla M.: Statistické metody. VUT Brno 1999. [8] NOVOVIČOVÁ J.: Pravděpodobnost a matematická statistika. ČVUT Praha 2002. [9] StuchlÝ J.: Statistika I. Cvičení ze statistických metod pro managery. VŠE Praha 1999. Vybavení ■ PC ■ CD-ROM Návod práce se studijními texty Text je rozvržen do 13 kapitol a 2 příloh. 1. až 4. kapitola se zabývají popisnou statistikou. Popisná statistika je disciplína, která pomocí různých tabulek, grafů, funkcionálních a číselných charakteristik sumarizuje informace obsažené ve velkém množství dat. Používá jen základní matematické operace a lze ji snadno pochopit. Její důležitost spočívá jednak v tom, že se v praxi velmi často používá a jednak motivuje pojmy, které jsou potřeba v počtu pravděpodobnosti. 5. až 10. kapitola vás seznámí s počtem pravděpodobnosti, který se zabývá studiem zákonitostí v náhodných pokusech. Matematickými prostředky modeluje situace, v nichž hraje roli náhoda. Pod pojmem náhoda rozumíme působení faktorů, které se živelně mění při různých provedeních téhož pokusu a nepodléhají naší kontrole. 11. až 13. kapitola obsahují základní poznatky o matematické statistice. Matematická statistika je věda, která analyzuje a interpretuje data především za účelem získání předpovědi a zlepšení rozhodování v různých oblastech lidské činnosti. Při tom se řídí principem statistické indukce: na základě znalostí o náhodném výběru z určitého rozložení pravděpodobností se snaží odvodit vlastnosti tohoto rozložení pravděpodobností. Příloha A je tvořena vybranými statistickými tabulkami, konkrétně obsahuje hodnoty distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení, kvantily standardizovaného normálního rozložení, Pearsonova rozložení x2(n)> Studentova rozložení t(n) a Fisherova-Snedecorova rozložení F(ni,ri2)- Příloha B pak obsahuje informace o programovém systému STATISTICA a podrobné návody na jeho použití. V úvodu 1. až 13. kapitoly je vždy vymezen cíl kapitoly a je uvedena časová zátěž, která je potřebná ke zvládnutí příslušné kapitoly. Kapitoly jsou uzavřeny stručným shrnutím probrané látky a kontrolními otázkami a úkoly. Ty úkoly, jejichž řešení je nutné či alespoň vhodné provádět pomocí systému STATISTICA, jsou označeny (S). Výsledky úkolů můžete porovnat s výsledky, k nimž dospěla autorka učebního textu. 1. až 13. kapitola jsou uspořádány v logickém sledu. Do přílohy A budete nahlížet podle potřeby a příloha B vám poslouží rovněž průběžně. 5 1. Základní, výběrový a datový soubor...............................................13 2. Bodové a intervalové rozložení četností...........................................21 3. Číselné charakteristiky znaků......................................................39 4. Regresní přímka....................................................................49 5. Jev a jeho pravděpodobnost.......................................................57 6. Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost.....................65 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce.........................................71 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin.....................85 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin........................................97 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní věta.......................................111 11. Základní pojmy matematické statistiky...........................................117 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí...............123 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení........137 Příloha A - Statistické tabulky.........................................................147 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6............................163 8 Proč se zabývat statistikou? Statistika je metoda analýzy dat, která nachází široké uplatnění v celé řadě ekonomických, technických, přírodovědných a humanitních disciplín. Její význam v poslední době neustále roste, což úzce souvisí s rozvojem výpočetní techniky, která je používána jak při sběru a přenosu dat, tak při jejich zpracování a ukládání informací. Role statistiky v ekonomii je zcela nezastupitelná, neboť moderní řízení je založeno na nepřetržitém vyhodnocování informací o hospodářství jako celku i jeho subsystémech, a tyto informace poskytuje a následně zpracovává právě statistika. Přiměřená znalost základních statistických pojmů je pro ekonoma důležitá také proto, že mu pomáhá porozumět odborné ekonomické literatuře, jejíž některé části statistiku v hojné míře využívají. Aplikovat statistiku znamená shromažďovat data o studovaných jevech a zpracovávat je, tj. třídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Statistika se tak pro ekonoma ocitá v těsném sousedství informatiky a výpočetní techniky a je připravena řešit ekonomické problémy pomocí kvantitativní analýzy dat. 10 Způsob studia Způsob studia Co lze očekávat od tohoto textu? V předmětu „Statistika" se budeme zabývat třemi oblastmi statistiky, a to popisnou statistikou, počtem pravděpodobnosti a matematickou statistikou. Popisná statistika je disciplína, která pomocí různých tabulek, grafů, funkcionálních a číselných charakteristik sumarizuje informace obsažené ve velkém množství dat. Používá jen základní matematické operace a lze ji snadno pochopit. Její důležitost spočívá jednak v tom, že se v praxi velmi často používá a jednak motivuje pojmy, které jsou potřeba v počtu pravděpodobnosti. Počet pravděpodobnosti se zabývá studiem zákonitostí v náhodných pokusech. Matematickými prostředky modeluje situace, v nichž hraje roli náhoda. Pod pojmem náhoda rozumíme působení faktorů, které se živelně mění při různých provedeních téhož pokusu a nepodléhají naší kontrole. Matematická statistika je věda, která analyzuje a interpretuje data především za účelem získání předpovědi a zlepšení rozhodování v různých oblastech lidské činnosti. Při tom se řídí principem statistické indukce: na základě znalostí o náhodném výběru z určitého rozložení pravděpodobností se snaží odvodit vlastnosti tohoto rozložení pravděpodobností. K úspěšnému zvládnutí předmětu „Statistika" je zapotřebí ovládat kombinatoriku, základy diferenciálního a integrálního počtu jedné a dvou proměnných a znát základy práce s osobním počítačem. Velmi účinným prostředkem pro řešení statistických úloh je programový systém STATISTICA, jehož instalační CD je součástí studijních materiálů. Informace o tomto systému a podrobné návody na jeho použití jsou uvedeny v příloze B studijních materiálů. Příklady či úkoly, jejichž řešení je nutné či alespoň vhodné provádět pomocí systému STATISTICA, jsou označeny (S). Příloha A obsahuje vybrané statistické tabulky, konkrétně hodnoty distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení, kvantily standardizovaného normálního rozložení, Pearsonova rozložení x2(n)> Studentova rozložení t(n) a Fisherova-Snedecorova rozložení F(ni,n2). Všechny tyto tabelované hodnoty (a samozřejmě mnohé další) lze získat pomocí systému STATISTICA. 12 I 1 Základní, výběrový a datový soubor 1. Základní, výběrový a datový soubor I Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ vymezit základní soubor a jeho objekty ■ stanovit výběrový soubor ■ spočítat absolutní a relativní četnosti množin ve výběrovém souboru a znát vlastnosti relativní četnosti a podmíněné relativní četnosti ■ ověřit četnostní nezávislost dvou množin ve výběrovém souboru ■ vytvořit datový soubor ■ uspořádat jednorozměrný datový soubor a stanovit vektor variant ■ vypočítat absolutní a relativní četnost jevu ve výběrovém souboru Časová zátěž Pro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat 4-5 hodin studia. Nejprve se seznámíme s definicí základního a výběrového souboru a pojmem absolutní a relativní četnosti množiny v daném výběrovém souboru. Uvedeme příklad, s jehož různými variantami se budeme setkávat ve všech kapitolách věnovaných popisné statistice. Rovněž shrneme vlastnosti relativní četnosti. 1.1. Definice Základním souborem rozumíme libovolnou neprázdnou množinu E. Její prvky značíme e a nazýváme je objekty. Libovolnou neprázdnou podmnožinu {e\,... ,en} základního souboru E nazýváme výběrový soubor rozsahu n. Je-li G C E, pak symbolem N (G) rozumíme absolútni četnost množiny G ve výběrovém souboru, tj. počet těch objektů množiny G, které patří do výběrového souboru. Relativní četnost množiny G ve výběrovém souboru zavedeme vztahem N(G) p(G) n 1.2. Příklad Základním souborem E je množina všech ekonomicky zaměřených studentů 1. ročníku českých vysokých škol. Množina G\ je tvořena těmi studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z matematiky a množina G2 obsahuje ty studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z angličtiny. Ze základního souboru bylo náhodně vybráno 20 studentů, kteří tvoří výběrový soubor {e\,... ,£20}- Z těchto 20 studentů 11 uspělo v matematice, 15 v angličtině a 11 v obou předmětech. Zapište absolutní a relativní četnosti úspěšných matematiků, angličtinám a oboustranně úspěšných studentů. Řešení: AT(Gi) = 12, iV(G2) = 15, N(GlnG2) = U, n = 20 p(G1) = — = 0,6, p(G2) = 0,75, p{GlC\G2) = — = 0,55 20 20 14 Vidíme, že úspěšných matematiků je 60%, angličtinám 75% a oboustranně úspěšných studentů jen 55%. 1.3. Věta Relativní četnost má následujících 12 vlastností, které jsou obdobné vlastnostem procent. ■ p(0) = O ■ p(G) > 0 ■ p(G1UG2)+p(G1C\G2)=p(G1)+p(G2) m l+p(GlnG2)>p(Gl)+p(G2) ■ p(G1UG2) p(G1UG2)=p(G1)+p(G2) ■ p(G2-G1)=p(G2)-p(G1nG2) ■ GiCG2^ p(G2-G1)=p(G2)-p(G1) ■ Gi c G2 => p(Gl) < p(G2) m p(E) = 1 _ ■ p(G)+p(G) = l ■ P(G) < 1 Pokud se v daném základním souboru zajímáme o dvě podmnožiny, můžeme zavést pojem podmíněné relativní četnosti jedné podmnožiny v daném výběrovém souboru za předpokladu, že objekt pochází z druhé podmnožiny. V následujícím příkladu vypočteme podmíněné relativní četnosti úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtinári a naopak. I 1.4. Definice Nechť E je základní soubor, G\, G2 jeho podmnožiny, {e\,..., en} výběrový soubor. Definujeme podmíněnou relativní četnost množiny G\ ve výběrovém souboru za předpokladu G2: p(Gi|G2) = N(G1 n G2) p(G1 n G2) N(G2) p(G2) a podmíněnou relativní četnost G2 ve výběrovém souboru za předpokladu G\\ AT(Gi n G2) pid n G2) p(G2\G1) N(G1) P(G1) 1.5. Příklad Pro údaje z příkladu 1.2 vypočtěte podmíněnou relativní četnost úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtinári a podmíněnou relativní četnost ú-spěšných angličtinám mezi úspěšnými matematiky. Řešení: p(Gi|G2) = y| = 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří byli úspěšní v angličtině, uspělo i v matematice) 15 1. Základní, výběrový a datový soubor I p(G2\G\) = Y2 = 0,92 (tzn., že 92% těch studentů, kteří byli úspěšní v matematice, uspělo i v angličtině) Nyní se naučíme, jak ověřovat četnostní nezávislost dvou množin v daném výběrovém souboru. Znamená to, že informace o původu objektu z jedné množiny nijak nemění šance, s nimiž soudíme na jeho původ i z druhé množiny. Ověříme, zda úspěch v matematice a angličtině jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé. 1.6. Definice Řekneme, že množiny G\,G2 jsou četnostně nezávislé y daném výběrovém souboru, jestliže p(G1nG2)=p(G1)-p(G2). (V praxi jen zřídka dojde k tomu, že uvedený vztah platí přesně. Většinou je jen naznačena určitá tendence četnostní nezávislosti.) 1.7. Příklad Pro údaje z příkladu 1.2 zjistěte, zda úspěchy v matematice a angličtině jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé. Řešení: p(Gx n G2) = 0,55, p(Gí) ■ p(G2) = 0,6 • 0,75 = 0,45, tedy skutečná relativní četnost oboustranně úspěšných studentů je větší než by odpovídalo četnostní nezávislosti množin G\, G2 v daném výběrovém souboru. Nyní každý objekt základního souboru ohodnotíme jedním nebo více čísly pomocí funkce, která se nazývá znak. Čísla, která se vztahují pouze k objektům výběrového souboru sestavíme do matice zvané datový soubor. Vystvětlíme si, co to je uspořádaný datový soubor a vektor variant. Uvedené pojmy objasníme na příkladu. 1.8. Definice Nechť E je základní soubor. Potom funkce X : E —► IR, Y : E —► IR, .... Z : E —► E, které každému objektu přiřazují číslo, se nazývají (skalární) znaky. Uspořádaná p-tice (X, Y,..., Z) se nazývá vektorový znak. 1.9. Definice Nechť je dán výběrový soubor {e\,..., en} C E. Hodnoty znaků X, Y,..., Z pro z-tý objekt označíme Xí = X(ei),yi = Y (ei),..., Zi = Z (ei), i = 1,..., n. Matice rxi yi ... zi x2 y2 ... z2 %n V n ■ ■ ■ Zn 16 typu n x p se nazývá datový soubor. Její řádky odpovídají jednotlivým objektům, sloupce znakům. Libovolný sloupec této matice nazýváme jednorozměrným datovým souborem. Jestliže uspořádáme hodnoty některého znaku (např. znaku X) v jednorozměrném datovém souboru vzestupně podle velikosti, dostaneme uspořádaný datový soubor rx{l) I X(n) kde X(i) < X{2) < • • • < X(n). Vektor x [i] X\, kde X[i\ < ■ ■ ■ < X[r] jsou navzájem různé hodnoty znaku X, se nazývá vektor variant. 1.10. Příklad Pro studenty z výběrového souboru u vedeného v příkladu 1.2 byly zjišťovány hodnoty znaků X - známka z matematiky v prvním zkušebním termínu, Y - známka z angličtiny v prvním zkušebním termínu, Z - pohlaví studenta (0 ... žena, 1... muž). Byl získán datový soubor "2 2 0" 1 3 1 4 3 1 1 1 0 1 2 1 4 4 1 3 3 1 3 4 0 1 1 0 1 1 0 4 2 1 4 4 0 2 2 0 4 3 1 2 3 1 4 4 0 1 1 0 4 3 1 4 4 1 1 3 0 Utvořte jednorozměrný uspořádaný i neuspořádaný datový soubor pro známky z matematiky a vektory variant pro známky z matematiky. 17 1. Základní, výběrový a datový soubor I Řešení: "2" T 1 1 4 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 2 1 2 1 2 4 i 3 4 3 2 4 4 4 2 4 4 4 1 4 4 4 4 4 _1_ 4 V závěrečné partii této kapitoly se seznámíme s pojmem jevu a jeho absolutní a relativní četnosti. V následujícím příkladu vypočítáme konkrétní absolutní a relativní četnosti několika jevů. 1.11. Definice Nechť {e\,..., en} je výběrový soubor, X, Y,..., Z jsou znaky, B, B\. B2 A • • • A Z E Bp) znamená absolutní resp. relativní četnost jevu {X E Bi AY E B2 A ■ ■ ■ A Z E Bp} ve výběrovém souboru. 1.12. Příklad Pro datový soubor z příkladu 1.10 najděte relativní četnost a) matematických jedničkám, b) úspěšných matematiků. 18 c) oboustranně neúspěšných studentu. Řešení: ad a) p{X = 1) = ^ = 0,35; ad b) p{X < 3) adc) p(X = iAY = 4) = ^ = 0,20. i = 0,60; Shrnutí kapitoly Předmětem statistického zájmu není jednotlivý objekt, nýbrž soubor objektů, tzv. základní soubor. Zpravidla není možné vyšetřovat všechny objekty, ale jenom určitý počet objektů, které tvoří výběrový soubor. Ty prvky základního souboru, které vykazují určitou společnou vlastnost, tvoří množinu. Statistik zkoumá absolutní a relativní četnost množiny v daném výběrovém souboru. Zajímají-li nás ve výběrovém souboru dvě množiny, můžeme zkoumat výskyty objektů z jedné množiny mezi objekty pocházejícími z druhé množiny. Tím dospíváme k pojmu podmíněné relativní četnosti. Rovněž lze ověřovat četnostní nezávislost těchto dvou množin v daném výběrovém souboru. Cetnostní nezávislost vlastně znamená, že informace o původu objektu z jedné množiny nijak nemění šance, s nimiž soudíme na jeho původ z druhé množiny. Každému objektu základního souboru lze pomocí funkce zvané znak přiřadit číslo (nebo i více čísel). Pokud hodnoty znaků pro objekty daného výběrového souboru uspořádáme do matice, dostáváme datový soubor. Libovolný sloupec této matice tvoří jednorozměrný datový soubor, který můžeme uspořádat podle velikosti a vytvořit tak uspořádaný datový soubor nebo z něj získat vektor variant. Jevem rozumíme skutečnost, že znak nabyl hodnoty z nějaké číselné množiny. Můžeme zkoumat absolutní a relativní četnost jevu v daném výběrovém souboru. Kontrolní otázky a úkoly 1 Uveďte příklad základního souboru z ekonomické praxe. 2 Nechť množiny Gri,Gr2 jsou neslučitelné, p(G\) = 0,27, p(G\ U G2) = 0,75. Vypočtěte p(G2). 3 Nechť d C G2, p(Gi) = 0,33, p(G2 - G{) = 0,15. Vypočtěte p(G2). 4 Nechť p(Gi - G2) = 0,36, p(G1 n G2) = 0,12. Vypočtěte p(G2). 5 Je dán dvourozměrný datový soubor "2 1" 2 0 1 0 4 2 4 2 3 2 3 1 5 3 5 2 2 0 Znak X znamená počet členů domácnosti a znak Y počet dětí do 15 let v této domácnosti. 1. Základní, výběrový a datový soubor I a) Utvořte uspořádané datové soubory pro znaky X a Y. b) Najděte vektory variant znaků X a Y. c) Vypočtěte relativní četnost tříčlenných domácností. d) Vypočtěte relativní četnost nejvýše tříčlenných domácností. e) Vypočtěte relativní četnost bezdětných domácností. f) Vypočtěte relativní četnost dvoučlenných bezdětných domácností. g) Vypočtěte podmíněnou relativní četnost dvoučlenných domácností, které jsou bezdětné. 20 I 2 Bodové a intervalové rozložení četností 2. Bodové a intervalové rozložení četností I Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ konstruovat diagramy znázorňující rozložení četností ■ vytvářet tabulky četností ■ sestrojit grafy četnostní funkce, empirické distribuční funkce, hustoty četnosti a empirické intervalové distribuční funkce Časová zátěž Pro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat 7-8 hodin studia. Nejprve se seznámíme s bodovým rozložením četností a ukážeme si, jak pomocí různých diagramů graficky znázornit bodové rozložení četností. Pro datový soubor známek z matematiky a angličtiny pak vytvoříme několik typů diagramů. 2.1. Definice Nechť je dán jednorozměrný datový soubor. Jestliže počet variant znaku X není příliš velký, pak přiřazujeme četnosti jednotlivým variantám a hovoříme o bodovém rozložení četností 2.2. Definice Existuje několik způsobů, jak graficky znázornit bodové rozložení četností. Tečkový diagram: na číselné ose vyznačíme jednotlivé varianty znaku X a nad každou variantu nakreslíme tolik teček, jaká je její absolutní četnost. Polygon četnosti: je lomená čára spojující body, jejichž x-ová souřadnice je varianta znaku X a y-ová souřadnice je absolutní četnost této varianty. Sloupkový diagram: je soustava na sebe nenavazujících obdélníků, kde střed základny je varianta znaku X a výška je absolutní četnost této varianty. Výsečový graf: je kruh rozdělený na výseče, jejichž vnější obvod odpovídá absolutním četnostem variant znaku X. Dvourozměrný tečkový diagram: na vodorovnou osu vyneseme varianty znaku X, na svislou varianty znaku y a do příslušných průsečíků nakreslíme tolik teček, jaká je absolutní četnost dané dvojice. 2.3. Příklad Pro datový soubor z příkladu 1.10 sestrojte a) jednorozměrné tečkové diagramy pro znak X a znak Y. b) polygony četností pro znak X a znak Y, c) sloupkové diagramy pro znak X a znak Y. d) výsečové diagramy pro znak X a znak Y. e) dvourozměrný tečkový diagram pro vektorový znak (X, Y). 22 Řešení: ad a) Známka z matematiky Známka z angličtiny I ad b) Polygon četnosti pro známky z matematiky 9 ad c) Sloupkový diagram známek z matematiky 9 ad d) Výsečový diagram známek z matematiky i Polygon četnosti pro známky z angličtiny 9 Sloupkový diagram známek z angličtiny 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Výsečový diagram známek z angličtiny 1 23 2. Bodové a intervalové rozložení četností I Ze všech těchto diagramů je vidět odlišný přístup zkoušejících ke studentům. Matematik nešetří jedničkami, ale místo trojky raději rovnou dává čtyřku. Naproti tomu angličtinár považuje trojku za typickou studentskou známku. ad e) 12 3 4^ Dvourozměrný tečkový diagram svědčí o nepříliš výrazné tendenci k podobné klasifikaci v obou předmětech. Můžete si zkusit nakreslit dvourozměrné tečkové diagramy zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Zjistíte, že u žen je tendence k podobným známkám daleko silnější než u mužů. Bodové rozložení četností lze znázornit nejenom graficky, ale též tabulkou zvanou variační řada, která obsahuje absolutní a relativní četnosti jednotlivých variant znaku v daném výběrovém souboru a též absolutní a relativní kumulativní četnosti. Pomocí relativních četností se zavádí četnostní funkce, pomocí relativních kumulativních četností empirická distribuční funkce (je pro ni typické, že má schodovitý průběh). Tyto pojmy objasníme na příkladu známek z matematiky a uvedeme rovněž vlastnosti obou výše zmíněných funkcí. 2.4. Definice Nechť je dán jednorozměrný datový soubor, v němž znak X nabývá r variant. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní četnost varianty xy] ve výběrovém souboru n j = N (X = x{j]) relativní četnost varianty xy] ve výběrovém souboru Pj = n absolutní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj = N(X X [r] se nazývá empirická distribuční funkce. 2.5. Příklad Pro datový soubor z příkladu 1.10 sestavte variační řadu pro znak X. Nakreslete grafy četnostní funkce a empirické distribuční funkce. Řešení: x\j] rij Pj Nj F3 1 7 0,35 7 0,35 2 3 0,15 10 0,50 3 2 0,10 12 0,60 4 8 0,40 20 1,00 - 20 1,00 - - pit) >; 0,4-0,2- 0,0- f---------------f- 2 3 x F(t)\ 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 F(x) = E P(t) tX() X—> — oc Nyní se budeme zabývat dvourozměrných datovým souborem. Zavedeme simultánní absolutní a relativní četnosti pro dvojice variant znaků X a y a ukážeme souvislost mezi simultánními a marginálními četnostmi. Budeme definovat podmíněné relativní četnosti. Vysvětlíme si, jak se uvedené četnosti zapisují do kontingenčních tabulek. Pomocí simultánních relativních četností zavedeme simultánní cetnostní funkci, seznámíme se s jejími vlastnostmi a ukážeme vztah mezi simultánní cetnostní funkcí a marginálními četnostními funkcemi. Zavedeme pojem cetnostní nezávislosti znaků v daném výběrovém souboru. Se všemi uvedenými pojmy se naučíme pracovat v příkladu se známkami z matematiky a angličtiny. 2.7. Definice Nechť je dán dvourozměrný datový soubor xi V\ Xu Vn kde znak X má r variant a znak Y má s variant. Pak definujeme: simultánni absolutní četnost dvojice (xy],y[k]) ve výběrovém souboru n ik = N(X = x\j] A Y = y[k]). simultánní relativní četnost dvojice (xy],y[k]) ve výběrovém souboru rijk Pjk n marginální absolutní četnost varianty xy] nj. = N(X = xtí]) = njl + --- + marginální relativní četnost varianty xy] n ]S; Vj. n Pii Pis 26 marginální absolutní četnost varianty y^ n.k = N(Y = y[k]) = nlk H--------h nrk. marginální relativní četnost varianty y[k\ n k P.k = ---- = Plk H--------h Prk; n sloupcově podmíněná relativní četnost varianty xy] za předpokladu y^ rijk I Pj(k) n.k řádkově podmíněná relativní četnost varianty y\k\ za předpokladu xy] rijk P{j)k Tli Kteroukoliv ze simultánních četností či podmíněných relativních četností zapisujeme do kontingenční tabulky. Kontingenčm tabulka simultánních absolutních četností má tvar: y V[i] ■ ■ ■ V[s\ rij. X njk xm X[r] nu ... nls T 1 ... / Vrp Q ni. nr. n.k n.i ... n.s n Funkce p(x,y) pjk pro x = x{j], y = y[k], j = 1,... , r, k=l,...s 0 jinak se nazývá simultánní četnostní funkce. Četnostní funkce pro znaky X a Y odlišíme indexem takto: / \ í Pi Pro x = x\i\, j = 1) • • •) r P^ = \0 jinak P2{y) P.k proy = y[k], k=l,...,s 0 jinak Řekneme, že znaky X, Y jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé, právě když pro všechna j = 1,..., r a všechna k = 1,..., s platí multiplikativní vztah: pjk = p j. ■ p.k neboli V(x,y) e R2 : p(x,y) = pi(x) ■ p2(y). 27 2. Bodové a intervalové rozložení četností I 2.8. Věta Mezi simultánní četnostní funkcí a marginálními četnostními funkcemi platí vztahy: DC y=-oc DC P2{v) = Y^ p(x>y">- 2.9. Příklad Pro datový soubor z příkladu 1.10 a) sestavte kontingenční tabulky simultánních absolutních a relativních četností, b) nakreslete graf simultánní četnostní funkce p(x, y). c) sestavte kontingenční tabulky sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností, d) kolik procent těch studentů, kteří měli jedničku z angličtiny, mělo dvojku z matematiky, e) kolik procent těch studentů, kteří měli jedničku z matematiky mělo dvojku z angličtiny, f) zjistěte, zda znaky X, Y jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé. Řešení: ad a) y 1 2 3 4 rij. X rijk 1 4 1 2 0 7 2 0 2 1 0 3 3 0 0 1 1 2 4 0 1 3 4 8 n.k 4 4 7 5 n = 20 y i 2 3 4 Pj. X Pjk 1 0,20 0,05 0,10 0,00 0,35 2 0,00 0,10 0,05 0,00 0,15 3 0,00 0,00 0,05 0,05 0,10 4 0,00 0,05 0,15 0,20 0,40 P.k 0,20 0,20 0,35 0,25 1,00 28 ad b) 0,20-, 0,15- ad c) v 12 3 4 x P j (k) 1 2 3 4 1,00 0,25 0,29 0,00 0,00 0,50 0,14 0,00 0,00 0,00 0,14 0,20 0,00 0,25 0,43 0,80 E 1,00 1,00 1,00 1,00 y 12 3 4 E x P(j)k 1 2 3 4 0,57 0,14 0,29 0,00 0,00 0,67 0,33 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50 0,00 0,12 0,38 0,50 1,00 1,00 1,00 1,00 ad d) Tento údaj najdeme ve druhém řádku prvního sloupce tabulky sloupcově podmíněných relativních četností: 0%. ad e) Tento údaj najdeme v prvním řádku druhého sloupce tabulky řádkově podmíněných relativních četností: 14%. ad f) Kdyby v daném výběrovém souboru byly oba znaky četnostně nezávislé, platil by pro všechna j = 1,2,3,4 a všechna k = 1,2,3,4 multiplikativní vztah: pjk = Pj.-p.k, což splněno není. Tedy známky z matematiky a angličtiny nejsou četnostně nezávislé. V některých datových souborech je počet variant znaku příliš veliký a použití bodového rozložení četností by vedlo k nepřehledným a roztříštěným výsled- 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kům. V takových situacích používáme intervalové rozložení četností. Definujeme třídicí interval a jeho absolutní a relativní četnost, absolutní a relativní kumulativní četnost. Nově zavádíme četnostní hustotu třídícího intervalu. Uvedené četnosti zapisujeme do tabulky rozložení četností. Počet třídících intervalů stanovujeme např. podle Sturgesova pravidla. Intervalové rozložení četností požijeme v příkladu s datovým souborem obsahujícím údaje o mezích plasticity a pevnosti 60 vzorků oceli. 2.10. Definice Nechť je dán jednorozměrný datový soubor. Jestliže počet variant znaku X je blízký rozsahu souboru, pak přiřazujeme četnosti nikoliv jednotlivým variantám, ale celým intervalům hodnot. Hovoříme pak o intervalovém rozložení četnosti. 2.11. Definice Číselnou osu rozložíme na intervaly typu (—oo,tíi), (tíi,tí2), • • •, (ur)ur+i). (ur+i, oo) tak, aby okrajové intervaly neobsahovaly žádnou pozorovanou hodnotu znaku X. Užíváme označení: j-tý třídicí interval znaku X, j = 1,..., r: (Uj,Uj+i). délka j-tého třídicího intervalu znaku X: d j = Uj+i — Uj. střed j-tého třídicího intervalu znaku X: 1 xm = ^(uj + Uj+i)- Třídicí intervaly volíme nejčastěji stejně dlouhé. Jejich počet určíme např. pomocí Sturgesova pravidla: r ~ 1 + 3,3 • logn, kde n je počet variant znaku X. 2.12. Definice Nechť je dán jednorozměrný datový soubor rozsahu n. Hodnoty znaku X roztřídíme do r třídících intervalů. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní četnost j-tého třídicího intervalu ve výběrovém souboru Tli N{uj < X < uj+i). relativní četnost j -tého třídicího intervalu ve výběrovém souboru Vj n 30 četnostm hustota j-teho třídicího intervalu ve výběrovém souboru absolutní kumulativní četnost prvních j třídicích intervalů ve výběrovém souboru Nj = N(X < uj+l) = ni-\--------hnj: relativní kumulativní četnost prvních j třídicích intervalů ve výběrovém souboru. Tabulka typu (Uj,Uj+i) dj rij Pj fi N3 F3 (ui,u2) d\ ni V\ h N! Fx (ur,ur+i) dr nr Pr fr Nr Fr E n 1 se nazývá tabulka rozložení četností. 2.13. Příklad Z fiktivního základního souboru všech vzorků oceli odpovídajících „všem myslitelným tavbám" bylo do laboratoře dodáno 60 vzorků a zjištěny a hodnoty znaku X - mez plasticity a Y - mez pevnosti. Datový soubor má tvar: "154 178" "51 95" "98 140" "44 68" 133 164 101 114 97 115 92 116 58 75 160 169 105 101 141 157 145 161 87 101 71 93 155 189 94 107 88 139 39 69 136 155 113 141 83 98 122 147 82 81 86 97 106 111 33 52 136 163 121 127 92 104 78 117 72 79 119 138 85 103 147 137 66 81 112 125 112 118 125 149 42 61 85 97 98 102 73 76 113 123 41 72 103 108 77 85 42 85 96 113 99 119 47 61 133 147 45 89 104 128 68 85 153 179 99 109 107 118 137 142 85 91 a) Pro znak X stanovte optimální počet třídicích intervalů dle Sturgesova pravidla. b) Sestavte tabulku rozložení četností. 2. Bodové a intervalové rozložení četností I Řešení: ad a) Znak X má 50 variant, tedy podle Sturgesova pravidla je optimální počet třídicích intervalů r = 7. Budeme tedy volit 7 intervalů stejné délky tak, aby v nich byly obsaženy všechny pozorované hodnoty znaku X, z nichž nejmenší je 33, největší 160; volba u\ = 30, ..., u$ = 170 splňuje požadavky. ad b) (Uj,Uj+1) dj xtí] rij Pj Nj Fi fi (30,50) 20 40 8 0,1333 8 0,1333 0,0066 (50,70) 20 60 4 0,0667 12 0,2000 0,0333 (70,90) 20 80 13 0,2166 25 0,4167 0,0108 (90,110) 20 100 15 0,2500 40 0,6667 0,0125 (110,130) 20 120 9 0,1500 49 0,8167 0,0075 (130,150) 20 140 7 0,1167 56 0,9333 0,0058 (150,170) 20 160 4 0,0667 60 1,0000 0,0033 Součet 60 1,0000 Ke grafickému znázornění intervalového rozložení četností slouží histogram. S jeho pomocí lze dobře vysvětlit, co znamená hustota četnosti, což je funkce zavedená pomocí četnostních hustot jednotlivých třídicích intervalů. S hustotou četnosti úzce souvisí intervalová empirická distribuční funkce (je všude spojitá, protože je funkcí horní meze integrálu z hustoty četnosti). Pro údaje o mezi platicity oceli vytvoříme histogram a graf intervalové empirické distribuční funkce. Seznámíme se rovněž s vlastnostmi obou výše zmíněných funkcí. 2.14. Definice Intervalové rozložení četností graficky znázorňujeme graficky pomocí histogramu. Je to graf skládající se z r obdélníků, sestrojených nad třídicími intervaly, přičemž obsah j-tého obdélníku je roven relativní četnosti pj j-tého třídicího intervalu, j = 1,..., r. Histogram je shora omezen schodovitou čarou, která je grafem funkce zvané hustota četnosti: m f j pro Uj 0) a normovaná ( J f (x) dx). —oc Intervalová empirická distribuční funkce je neklesající, spojitá a normovaná ( lim F (x) = 0, lim F (x) = 1). x—>—oo x—>oo V následujícím tématu se budeme věnovat dvourozměrnému intervalovému rozložení četnosti, tj. budeme pracovat s dvourozměrným datovým souborem. Zavedeme podobné pojmy jako u dvourozměrného bodového rozložení četnosti a jejich pochopení si ověříme na příkladě s datovým souborem obsahujícím údaje o mezi plasticity a mezi pevnosti oceli. 2.17. Definice Nechť je dán dvourozměrný datový soubor Xu Vn 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kde hodnoty znaku X roztřídíme do r třídicích intervalů (uj,Uj+i), j = 1,..., r s délkami d\,... ,dr a hodnoty znaku Y roztřídíme do s třídicích intervalů (vk, Vk+i), k = 1,..., s s délkami hi,..., hs. Pak definujeme: simultánni absolutní četnost (j,k)-tého třídicího intervalu: njk = N(uj < X < uj+i A vk < Y < vk+1), simultánní relativní četnost (j, k)-tého třídicího intervalu: rijk Pjk = n marginální absolutní četnost j-tého třídicího intervalu pro znak X: nj- = nji + ■ ■ ■ + n j s-, marginální relativní četnost j-tého třídicího intervalu pro znak X: Pj.= rii n marginální absolutní četnost k-tého třídicího intervalu pro znak Y: n.k = nik H--------\-nrk, marginální relativní četnost k-tého třídicího intervalu pro znak Y: n.k P.k n simultánni četnostní hustota v (j, k)-tém třídicím intervalu: Pjk f. j k djhk marginálni četnostní hustota v j-tém třídicím intervalu pro znak X: h d3; marginálni četnostní hustota v k-tém třídicím intervalu pro znak Y: P.k /.A hk Kteroukoliv ze simultánních četností zapisujeme do kontingenční tabulky. Uveďme kontingenční tabulku simultánních absolutních četností: (Vk,Vk+l) (vi,v2) (vs,vs+i) rij. (Uj,Uj+1) njk (Ui,U2) (ur,ur+i) nrl nu ni. nr. n.k n.i n.s n 34 Funkce e, n j fjk prouj x2), tj. jejich uspořádání vyjadřuje větší nebo menší intenzitu zkoumané vlastnosti. Např. školní klasifikace vyjadřuje menší nebo větší znalosti zkoušených (jedničkář je lepší než dvojkař), ale intervaly mezi známkami nemají obsahové interpretace (netvrdíme, že rozdíl ve znalostech mezi jedničkářem a dvojkařem je stejný jako mezi trojkařem a čtyřkařem. Podobný charakter mají různá bodování ve sportovních, uměleckých a jiných soutěžích. (i) Intervalové znaky připouštějí obsahovou interpretaci kromě relace rovnosti a uspořádání též u operace rozdílu x\— x2 (popřípadě součtu x\+x2), tj. stejný interval mezi jednou dvojicí hodnot a jinou dvojicí hodnot vyjadřuje 40 i stejný rozdíl v extenzitě zkoumané vlastnosti. Např. teplota měřená ve stupních Celsia představuje intervalový znak. Naměříme-li ve čtyřech dnech polední teploty 0, 2, 4, 6, znamená to, že každým dnem stoupla teplota o 2 stupně Celsia. Bylo by však chybou interpretovat tyto údaje tvrzením, že ze druhého na třetí den vzrostla teplota dvakrát, kdežto ze třetího na čtvrtý pouze jedenapůlkrát. (p) Poměrové znaky umožňují obsahovou interpretaci kromě relace rovnosti a uspořádání a operace rozdílu ještě u operace podílu x\/x2 (popřípadě součinu X\ -x2), tj. stejný poměr mezi jednou dvojicí hodnot a druhou dvojicí hodnot znamená i stejný podíl v extenzitě zkoumané vlastnosti. Např. má-li jedna osoba hmotnost 150 kg a druhá 75 kg, má smysl prohlásit, že první je dvakrát hmotnější než druhá. Zvláštní postavení mají: (a) Alternativní znaky, které nabývají jen dvou hodnot, např. 0,1, což znamená absenci a prezenci nějakého jevu. Například 0 bude znamenat neúspěch, 1 úspěch při řešení určité úlohy. Alternativní znaky mohou být ztotožněny s kterýmkoliv z předcházejících typů. I 3.3. Definice Pro nominální znaky používáme jako charakteristiku polohy modus. U bodového rozložení četností je to nejčetnější varianta znaku, u intervalového střed nejčetnějšího třídicího intervalu. 3.4. Definice Pro ordinální znaky používáme jako charakteristiku polohy Cü-kvantil. Jeli a G (0,1), pak a-kvantil xa je číslo, které rozděluje uspořádaný datový soubor na dolní úsek, obsahující aspoň podíl a všech dat a na horní úsek obsahující aspoň podíl 1 — a všech dat. Pro výpočet Cü-kvantilu slouží algoritmus: celé číslo c X(y X(c) + X(c+1) necelé číslo =/- zaokrouhlíme nahoru na nejbližší celé číslo c ~r Xa (c) Pro speciálně zvolená a užíváme názvů: £0,50 ~~ medián, £0,25 ~~ dolní kvarta, £0,75 - horní kvartil, £0,1,... ,£0,9 ~~ decay, £0,01, • • • ^0,99 - percentily. Jako charakteristika variability slouží kvartilová odchylka: Q = 3^0,75 — Xq 25- 3.5. Příklad Pro datový soubor známek z matematiky (viz příklad 1.10) vypočtěte medián, oba kvartily a kvartilovou odchylku. 41 3. Číselné charakteristiky znaků I Řešení: OL na c •La 0,25 5 5 (i+i) 2 1 0,50 10 10 (2+3) 2 2,5 0,75 15 15 (4+4) 2 4 g=4-1=3 3.6. Definice Pro intervalové a poměrové znaky slouží jako charakteristika polohy aritmetický průměr 1 n m = — > Xi n *-^ (lze ho interpretovat jako těžiště jednorozměrného tečkového digramu). Charakteristikou variability je rozptyl s2 = 1 n - y^ixi - míli -f—' í=i či směrodatná odchylka s = všč. Pomocí průměru zavedeme centrovanou hodnotu Xi — m (podle znaménka poznáme, zda z-tá hodnota je podprůměrná či nadprůměrná a pomocí směrodatné odchylky zavedeme standardizovanou hodnotu —------ (vyjadřuje o kolik směrodatných odchylek se z-tá hodnota s odchýlila od průměru). 3.7. Věta Rozptyl je nulový, právě když X\ = x2 = ■ ■ ■ = xn. 3.8. Příklad Vypočtěte průměr a rozptyl a) centrovaných hodnot, b) standardizovaných hodnot. Řešení: ad a) Průměr centrovaných hodnot: 1 n 1 — y {xi — m) = m-----• n ■ m = 0. n *-^ n t=i Rozptyl centrovaných hodnot: 1 n -V((^-m)-0)2 = s2. n f J í=l 42 ad b) Průměr standardizovaných hodnot: 1 y^ (xí — to) 1 •0 = 0. í=l Rozptyl standardizovaných hodnot: i n / 1 ^—r / Xi — Tfl n Z—/ í=l 2 S2 51 =š = >- 3.9. Poznámka V předešlém příkladě jsme vypočítali, že průměr centrovaných hodnot je 0. Této skutečnosti lze využít k vysvětlení rozptylu: chceme získat číslo, které by charakterizovalo variabilitu jednotlivých hodnot kolem průměru. Průměr centrovaných hodnot nelze použít (vyjde 0), proto místo centrovaných hodnot n vezmeme jejich kvadráty. Tím dospějeme ke vzorci pro rozptyl: s2 = - ^2(xí~ n í=i m)2. Rozptyl však vychází v kvadrátech jednotek, v nichž byl měřen znak X. proto raději používáme směrodatnou odchylku s. Definiční tvar vzorce pro rozptyl není příliš vhodný pro výpočty, v praxi se používá výpočetní tvar vzorce pro rozptyl: 1 n í=l 1 m)2=- y.tô í=i 2, 1 2mxí + m ) = — n T. m2 1 -J2x^ t=i 2m2 1 n n ■ m I í=i 3.10. Definice Pro poměrové znaky používáme jako charakteristiku variability koeficient g variace —. Je to bezrozměrné číslo, které se často vyjadřuje v procen-m tech. Umožňuje porovnat variabilitu několika znaků. Jsou-li všechny hodnoty poměrového znaku kladné, pak jako charakteristiku polohy lze užít geometrický průměr ^Jx\ ■ ... ■ xn. 3.11. Příklad Vypočtěte koeficient variace meze plasticity a meze pevnosti oceli pro datový soubor z příkladu 2.13. Řešení: si 32,441 s2 32,515 — = —-----= 0,338, — = —2-----= 0,284. m1 95,88 ' ' m2 114,40 Zjistili jsme, že koeficient variace meze plasticity je 33,8%, zatímco meze pevnosti jen 28,4%. 43 3. Číselné charakteristiky znaků I Nyní se budeme zabývat číselnými charakteristikami dvourozměrného datového souboru se znaky intervalového či poměrového typu. Společnou variabilitu těchto dvou znaků kolem jejich průměru měříme pomocí kovariance. Jako míra těsnosti lineární závislosti dvou znaků slouží koeficient korelace. Je velmi důležité porozumět vlastnostem koeficientu korelace, proto si pozorně prohlédněte obrázky ilustrující jeho význam. Pro praktické procvičení nám poslouží příklad na číselné charakteristiky mezí plasticity a pevnosti. 3.12. Definice Pro dvourozměrný datový soubor xi Ví Jbr. Vn kde znaky X, Y jsou intervalového či poměrového typu, používáme jako charakteristiku společné variability znaků X, Y kolem jejich průměrů kovarianci S12 = 1 n ~y^(xi - mi)(yi - m2). 3.13. Poznámka Kovariance je průměrem součinů centrovaných hodnot. Pokud se nadprůměrné (podprůměrné) hodnoty znaku X sdružují s nadprůměrnými (podprůměrnými) hodnotami znaku Y, budou součiny centrovaných hodnot Xi — rri\ a Ví — 1^2 vesměs kladné a jejich průměr (tj. kovariance) rovněž. Znamená to, že mezi znaky X, Y existuje určitý stupeň přímé lineární závislosti. Pokud se nadprůměrné (podprůměrné) hodnoty znaku X sdružují s podprůměrnými (nadprůměrnými) hodnotami znaku Y, budou součiny centrovaných hodnot vesměs záporné a jejich průměr rovněž. Znamená to, že mezi znaky X a, Y existuje určitý stupeň nepřímé lineární závislosti. Je-li kovariance nulová, pak řekneme, že znaky X, Y jsou nekorelované a znamená to, že mezi nimi neexistuje žádná lineární závislost. Pro výpočet kovariance používáme vzorec: s 12 n í=i XíVí - m1m2- 3.14. Definice Jsou-li směrodatné odchylky s\, s2 nenulové, pak definujeme koeficient korelace znaků X, Y vzorcem n 1 v-^ x r12 = - > - n *-^ s\ i=i mi íjí - m2 S2 44 3.15. Věta Pro koeficient korelace platí — 1 < r 12 < 1 a rovnosti je dosaženo právě když mezi hodnotami X\,...,xn a yi, ■ ■ ■ ,yn existuje úplná lineární závislost, tj. existují konstanty a, b tak, že y» = a + bxi, i = 1,..., n, přičemž znaménko + platí pro b > 0, znaménko — pro b < 0. (Uvedená nerovnost se nazývá Cauchyova - Schwarzova - Buňakovského nerovnost.) 3.16. Poznámka S12 Koeficient korelace se počítá podle vzorce r 12 =------. Představu o významu S1S2 hodnot koeficientu korelace podávají následující dvourozměrné tečkové diagramy. I 1,00 0,76 0,00 r= -0,37 r = -1,00 3.17. Příklad Pro datový soubor z příkladu 2.13 vypočtěte a) aritmetické průměry znaků X,Y, b) rozptyly a směrodatné odchylky znaků X, Y, c) kovarianci a koeficient korelace znaků X,Y. Řešení: ad a) mi = 95,9, 1TI2 = 114,4. ad b) si = 1052,40, s22 = 1057,21, Sl = 32,4, ad c) S12 = 985,76, r12 = 0,936. Koeficient korelace svědčí o tom, že mezi oběma znaky existuje velmi silná přímá lineární závislost - čím vyšší je mez plasticity, tím je vyšší mez pevnosti a čím je nižší mez plasticity, tím je nižší mez pevnosti. s2 = 32,5. Při výpočtu číselných charakteristik se v řadě situací uplatní věta shrnující některé jejich vlastnosti. Pro lepší pochopení uvedených vlastností slouží následující příklad. 45 3. Číselné charakteristiky znaků I 3.18. Věta Uveďme některé vlastnosti číselných charakteristik. a) Nechť m\ je aritmetický průměr a s\ rozptyl znaku X. Pak znak Y = a + bX má aritmetický průměr m2 = a + brri\ a rozptyl s\ = b2s\. b) Nechť mi,TO2 jsou aritmetické průměry, s2, s2, rozptyly a s 12 kovariance znaků X, Y. Pak znak U = X+Y má aritmetický průměr m3 = ■m,1+m2 a rozptyl s2 = s2 + s2, + 2s\2- c) Nechť S12 je kovariance znaků X, Y a m\, rri2 jsou aritmetické průměry znaků X,Y. Pak znaky U = a + 6X, U = c + 0, dochází s růstem X k růstu Y a hovoříme o přímé závislosti hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Je-li b\ < 0, dochází s růstem X k poklesu Y a hovoříme o nepřímé závislosti hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. 4.4. Příklad Pro datový soubor z příkladu 2.13 a) určete regresní přímku meze pevnosti na mez plasticity. b) Zakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu. c) Jak se změní mez pevnosti, vzroste-li mez plasticity o jednotku? d) Najděte regresní odhad meze pevnosti pro mez plasticity = 60. e) Vypočtěte index determinace a interpretujte ho. Řešení: ad a) Na základě výsledků příkladu 3.17 dostáváme: b\ b0 = m2- &iTOi = 114,4 - 0,937 • 95,9 = 24,5; y = 24,5 «12 S2 0,937a;1. 985,76 , 1052,4' 51 4. Regresní přímka I ad b) o > 190 170 150 — 130 — 110 90—1- 70 50 30 -----------------------------------1------------------------------1------------------------------1------------------------------1------------------------------1------------------------------1-------»--------------------- ---------------------------------------------1-----------------+-----------------i-----------------------------------------1 -j/^-t--------- • • a0000^ ---------------------------------------------1-----------------+-----------------|--------------r _ -yiSL-----------1------------------- -------------------------_, + '~s>\ ' A ---------------#------------------\J^^-------"*- +--------------'-----------------------------------'---------------- >i • _______________•______^f^______________________i______________________x.______________________i_____________________________________________________i________________________ 50 70 90 110 mez plasticity 130 150 170 Povšimněte si, že koeficient korelace znaků X, Y vypočtený v příkladě 3.17 činil 0,936. Tato hodnota je blízká 1, což svědčí o silné přímé lineární závislosti mezi znaky X a Y. Tečky v dvourozměrném tečkovém diagramu nejsou příliš rozptýleny kolem regresní přímky. ad c) Mez pevnosti vzroste o 0,937kpcm~2. ad d) = 24,5 + 0,937 • 60 = 80,72. ad e) IDS 12 0,9362 = 0,876. Znamená to, že 87,6% variability hodnot meze pevnosti je vysvětleno regresní přímkou. 4.5. Definice Regresní přímkou znaku X na znak Y nazveme tu přímku x = b0 + biy, jejíž parametry minimalizují rozptyl _____l n _ _ q(ßo,ßi) = - y^(xí - A) - ßiVif v celé rovině. Nazývá se též druhá regresní přímka. Regresní přímka znaku Y na znak X a regresní přímka znaku X na znak Y se nazývají sdružené regresní přímky. 4.6. Věta Rovnice regresní přímky znaku X na znak Y má tvar x = m\ + ^(y — 777,2). Sdružené regresní přímky se protínají v bodě (mi,777-2). Pro regresní parametry b\, b\ platí: 6161 = r22. Rovnice sdružených regresních přímek můžeme psát ve tvaru y = m-2 + ru — (x - mi). y = m2 1 S2( \ ---------(Z-TOi). ri2Si (je-li r 12 ^ 0). 52 Regresní přímky svírají tím menší úhel, čím méně se od sebe liší r u a —. Regresní přímky splynou, je-li r\2 = 1. K tomu dojde právě tehdy, existuje-li mezi XaY úplná lineární závislost. Všechny body (xí, i/í), i = 1,..., n leží na jedné přímce, tedy ze znalosti Xi můžeme přesně vypočítat i/í, i = 1,..., n. Jsou-li znaky X, Y nekorelované, pak mají sdružené regresní přímky rovnice V = rn-2, x = rrii a jsou na sebe kolmé. Označíme-li a úhel, který svírají sdružené regresní přímky, pak platí: ■ coscü = 0, právě když mezi laľ neexistuje žádná lineární závislost, ■ coscü = 1, právě když mezi X a Y existuje úplná přímá lineární závislost, ■ coscü = — 1, právě když mezi X a Y existuje úplná nepřímá lineární závislost. m2 I 4.7. Příklad Pro datový soubor z příkladu 2.13 a) Určete regresní přímku meze plasticity na mez pevnosti. b) Zakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu. Řešení: ad a) S využitím výsledků příkladu 3.17 dostáváme: r- si2 Ol = ~T 985,76 1057,21 0,932, b0 = m1- b1m2 = 95,9 - 0,932 • 114,4 = -10,7 tedy x -10,7 + 0,932y. ad b) Uvědomte si, že součin směrnic sdružených regresních přímek je 0,937-0,932 = 0,87 53 4. Regresní přímka I což je index derminace naboli kvadrát indexu korelace. 170- 110 130 mez pevnosti 190 Shrnutí kapitoly Pokud vzhled dvourozměrného tečkového diagramu svědčí o existenci určitého stupně lineární závislosti znaku Y na znaku X, můžeme diagramem proložit regresní přímku znaku Y na znak X. (Pozor - nelze se spokojit pouze s výpočtem korelačního koeficientu, je nutné grafické posouzení závislosti.) Její parametry (tj. posunutí a směrnici) odhadujeme metodou nejmenších čtverců. Kvalitu proložení posuzujeme pomocí indexu determinace - čím je tento index bližší 1, tím je regresní přímka výstižnější a čím je bližší 0, tím je regresní přímka nevhodnější pro vystižení závislosti Y na X. Dosadíme-li danou hodnotu znaku X do rovnice regresní přímky, získáme regresní odhad příslušné hodnoty znaku Y. Má-li smysl zkoumat též opačný směr závislosti, tj. X na Y, hledáme druhou regresní přímku. 1. a 2. regresní přímka se označují jako sdružené regresní přímky. Kontrolní otázky a úkoly 1 V čem spočívá princip metody nejmenších čtverců? 2 Uveďte příklad dvourozměrného datového souboru z ekonomické praxe vhodný pro použití regresní přímky. 3 Co vyjadřuje index determinace a jak se počítá? 4 Jaký je vztah mezi směrnicemi sdružených regresních přímek 5 Jsou-li sdružené regresní přímky kolmé, co lze říct o znacích X a Yl 6 Rozhodněte, zda přímky y = 13 — 2x, x = 8 — y mohou být sdruženými regresními přímkami. 7 Je dána rovnice regresní přímky y = 87 + 0,3(x — 25) a koeficient korelace r 12 = 0,77. Najděte rovnici sdružené regresní přímky. 54 8 (S) U osmi náhodně vybraných studentů byly zjišťovány jejich matematické a verbální schopnosti. Výsledky matematického testu udává znak X, výsledky verbálního Y. X 80 50 36 58 72 60 56 68 Y 65 60 35 39 48 44 48 61 a) Vypočtěte koeficient korelace a interpretujte ho. b) Najděte rovnice sdružených regresních přímek. c) Zlepší-li se výsledek v matematickém testu o 10 bodů, o kolik bodů se zlepší výsledek ve verbálním testu? d) Zlepší-li se výsledek ve verbálním testu o 10 bodů, o kolik bodů se zlepší výsledek v matematickém testu? 9 Jak se změní úsek a směrnice regresní přímky, když každou hodnotu závisle proměnného znaku zvětšíme o 10%? 10 Závislost mezi vnější teplotou a teplotou ve skladišti je popsána regresní přímkou y = 8 + 0,6x. Při jaké vnější teplotě klesne teplota ve skladišti pod bod mrazu? I 55 4. Regresní přímka I 56 I 5! Jev a jeho pravděpodobnost 5. Jev a jeho pravděpodobnost Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět ■ rozlišit náhodný a deterministický pokus ■ stanovit základní prostor ■ popsat vztahy mezi jevy pomocí množinových operací ■ vypočítat pravděpodobnost jevu a znát vlastnosti pravděpodobnosti Časová zátěž Na prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 6 hodin. I Nejprve se seznámíme s pojmem pokusu, a to deterministického a náhodného pokusu. Nadále se budeme zabývat náhodnými pokusy. Množinu možných výsledků pokusu považujeme za základní prostor. Na základním prostoru vybudujeme jevové pole jako systém podmnožin, který je uzavřený vzhledem k množinovým operacím. Základní prostor spolu s jevovým polem tvoří tzv. měřitelný prostor. Libovolná podmnožina možných výsledků náhodného pokusu, která patří do jevového pole, je jev. Naučíme se vyjadřovat vztahy mezi jevy pomocí množinových operací a uvedeme vlastnosti těchto operací. 5.1. Definice Pokusem rozumíme jednorázové uskutečnění konstantně vymezeného souboru definičních podmínek. Předpokládáme, že pokus můžeme mnohonásobně nezávisle opakovat za dodržení definičních podmínek (ostatní podmínky se mohou měnit, proto různá opakování pokusu mohou vést k různým výsledkům). Dále předpokládáme, že opakováním pokusu vzniká opět pokus. Deterministickým pokusem nazýváme takový pokus, jehož každé opakování vede k jedinému možnému výsledku. (Např. zahřívání vody na 100 °C při atmosférickém tlaku 1015 hPa vede k varu vody.) Náhodným pokusem nazýváme takový pokus, jehož každé opakování vede k právě jednomu z více možných výsledků, které jsou vzájemně neslučitelné. (Např. hod kostkou vede k právě jednomu ze šesti možných výsledků.) 5.2. Definice Neprázdnou množinu možných výsledků náhodného pokusu značíme Q a nazýváme ji základní prostor. Možné výsledky značíme ui,U2,---- Na základním prostoru Q vytvoříme jevové pole A jako systém podmnožin, který s každými dvěma množinami obsahuje i jejich rozdíl, obsahuje celý základní prostor a obsahuje-li každou ze spočetné posloupnosti množin, obsahuje i jejich spočetné sjednocení (znamená to, že systém A je uzavřený vzhledem k množinovým operacím). Jestliže A E A, pak řekneme, že A je jev. Dvojice (Q,A) se nazývá měřitelný prostor. Q se nazývá jistý jev, 0 nemožný jev. 58 5.3. Poznámka Vztahy mezi jevy vyjadřujeme pomocí množinových inkluzí a operace s jevy popisujeme pomocí množinových operací. a) A C B znamená, že jev A má za důsledek jev B. b) A U B znamená nastoupení aspoň jednoho z jevů A, B. c) i4íl5 znamená společné nastoupení jevů A, B. d) A — B znamená nastoupení jevu A za nenastoupení jevu B. e) A = Q — A znamená jev opačný k jevu A. f) A n B = 0 znamená, že jevy A, B jsou neslučitelné. g) oj G A znamená, že možný výsledek oj je příznivý nastoupení jevu A. 5.4. Věta Uveďme některé vlastnosti, které mají operace s jevy: a) Pro sjednocení a průnik jevů platí komutativní zákon, který pro dva jevy A, B má tvar: AnB = BnA, AnB = BnA. b) Pro sjednocení a průnik tří jevů A, B, C platí zákon asociativní: A u (B u C) = (A u B) u c, A n (B n C) = (A n B) n c, a zákon distributivní: An(BnC) = (An B) u (An C), Au(BnC) = (An B) n (An C). c) Pro sjednocení a průnik jevů opačných platí de Morganovy zákony, které pro dva jevy A, B zapíšeme takto: A~n~B = A~ňB, ~Än~B = AnB. 5.5. Příklad Náhodný pokus spočívá v hodu kostkou. Jev A znamená, že padne sudé číslo a jev B znamená, že padne číslo větší než 4. a) Určete základní prostor Q. b) Vypište možné výsledky příznivé nastoupení jevů A, B. c) Pomocí operací s jevy vyjádřete následující jevy: padne liché číslo; nepadne číslo 1 ani 3, padne číslo 6; padne číslo 2 nebo 4. Řešení: ad a) Q = {u\,..., ue}, kde možný výsledek ují znamená, že padne číslo i. i = 1,...,6. ad b) A = {u2,0J4, we}, B = {u5, u6}. ad c) A = {ui,013,015}; AnB = {012,014,oi5,0Je}; AnB = {oie}; A —B = {012,014} Na měřitelném prostoru zavedeme pravděpodobnost jako funkci, která splňuje určité axiomy a každému jevu přiřazuje číslo mezi 0 a 1. Měřitelný prostor spolu s pravděpodobností tvoří pravděpodobnostní prostor. Seznámíme 59 m ž a 5. Jev a jeho pravděpodobnost se s vlastnostmi pravděpodobnosti a uvidíme, že téměř všechny jsou obdobné vlastnostem relativní četnosti jak jsme je poznali v první kapitole. Zavedeme speciální případ pravděpodobnosti - klasickou pravděpodobnost a vypočítáme několik příkladů. 5.6. Definice Nechť (Q, A) je měřitelný prostor. Pravděpodobnostírozumíme reálnou množinovou funkci P : A —► IR, která splňuje následující tři axiómy: každému jevu přiřazuje nezáporné číslo, jistému jevu přiřazuje číslo 1, sjednocení neslučitelných jevů přiřazuje součet pravděpodobností těchto jevů. Trojice (Q,A,P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. I (Axiómy pravděpodobnosti jsou zvoleny tak, aby pravděpodobnost byla „zi-dealizovaným" protějškem relativní četnosti zavedené v definici 1.1. Znamená to, že pro velký počet opakování pokusu, v němž sledujeme nastoupení jevu A, se relativní četnost jevu A blíží pravděpodobnosti jevu A. Tento poznatek je znám jako empirický zákon velkých čísel. Zdálo by se přirozené definovat pravděpodobnost jako limitu relativní četnosti pro n —► oo. Tento postup by však nebyl korektní, protože počet pokusů n je vždy konečný a nelze se tedy přesvědčit o existenci uvedené limity.) 5.7. Věta Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Pak pro libovolné jevy A, A\. A2, • • • E A platí následujících 14 vlastností: PÍ P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Pil P12 P13 P14: P( 0 P (A) > 0 (nezápornost - axióm) P(A1 U A2) + P(A1 n A2) = P(A1) + P(A2) i + p^nA^ >p{A1) + p{A2) P{Al U A2) < P{Al) + P(A2) (subaditivita) Ai n A2 = 0 => P(Ai U A2) = P(A1) + P(A2) (aditivita) P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1 n A2) AľCA2 => P(A2 - Aí) = P(A2) - P(A2) (subtraktivita) Ai C A2 => P(A2) < P(A2) (monotonie) P(íž) = 1 (normovanost - axióm) P (A) + P (A) = 1 (komplementarita) P{A) < 1 At n Aj = 0 pro i^J => P(Ai U A2 U ...) = P(Ai) + P(A2) (spočetná aditivita - axióm) (n \ n n—l n U ^ = E p^ - E E p^n A>)+ i=\ J í=l í=l j=i+l n—2 n—1 n Y, Y, Y, P(AnA3nAk)--■ ■+(-i)n-1P(AlnA2n-■ -c\An) i=l j=i+l k=j+l 60 Pro neslučitelné jevy A\,..., An dostáváme / n \ n vi=l í=l (Vlastnosti PÍ,..., P12 odpovídají vlastnostem relativní četnosti z věty 1.3. vlastnost P14 je známa jako věta o sčítání pravděpodobností.) 5.8. Definice Nechť Q je konečný základní prostor a nechť všechny možné výsledky mají stejnou šanci nastat. Klasická pravděpodobnost je funkce, která jevu A při- řazuje číslo P (A) m(A) , kde m(A) je počet možných výsledků příznivých nastoupení jevu A a m(Q) je počet všech možných výsledků. 5.9. Příklad Vypočítejte pravděpodobnosti jevů A, B, A, A U B, A n B, A — B z příkladu 5.5. Řešení: m(Q) = 6, P(Al)B) = l = P{A) = I = h P{B) = 1 = P(A) = 1 = 1 P(AnB) = l P{A-B) = l = \. I 5.10. Příklad V dodávce 100 kusů výrobků nemá požadovaný průměr 10 kusů, požadovanou délku 20 kusů a současně nemá požadovaný průměr i délku 5 kusů. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek z této dodávky má požadovaný průměr i délku? Řešení: Jev A spočívá v tom, že výrobek má požadovaný průměr a jev B v tom, že výrobek má požadovanou délku. Počítáme P {A C\B) = P{A \JB) = l- P{A \JB) = = 1 - [P(A) + P(B) - P(ÄC\B)} = 1 - (^- + ^~ 5 V100 100 100 = 0,75. 5.11. Příklad Mezi N výrobky je M zmetků. Náhodně bez vracení vybereme n výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme právě k zmetků? Řešení: Základní prostor Q je tvořen všemi neuspořádanými n-ticemi vytvořenými z N prvků. Tedy m(fl) = (^). Jev A spočívá v tom, že vybereme právě k zmetků z M zmetků (ty lze vybrat (, ) způsoby) a výběr doplníme n — k 61 5. Jev a jeho pravděpodobnost kvalitními výrobky vybranými z N — M kvalitních výrobků (tento výběr lze způsoby). Podle kombinatorického pravidla součinu dostává- provést me n—k m(A) = M N- M n — k tedy P (Ä) = m(Ä) M\ íN-M\ k J v n—k ) N\ I Shrnutí kapitoly Deterministický pokus vede při každém opakování k jedinému možnému výsledku, zatímco náhodný pokus vede při každém opakování právě k jednomu z více možných výsledků. Množina možných výsledků náhodného pokusu tvoří základní prostor. Systém podmnožin základního prostoru, který je uzavřený vzhledem k množinovým operacím, se nazývá jevové pole. Základní prostor spolu s jevovým polem označujeme jako měřitelný prostor. Podmnožina, která patří do jevového pole, je jev. Celý základní prostor je jevem jistým, prázdná množina jevem nemožným. Šanci jevu na uskutečnění vyjadřujeme pomocí pravděpodobnosti, což je funkce, která každému jevu přiřazuje číslo mezi 0 a 1 a splňuje určité axiomy, které stanovil ruský matematik A. N. Kolmogorov tak, aby pravděpodobnost byla „zidealizovaným" protějškem relativní četnosti. Při mnohonásobném nezávislém opakování téhož náhodného pokusu totiž platí empirický zákon velkých čísel: relativní četnost jevu se ustaluje kolem nějaké konstanty, kterou považujeme za pravděpodobnost tohoto jevu. Měřitelný prostor spolu s pravděpodobností tvoří pravděpodobnostní prostor. V praxi se nej-častěji používá klasická pravděpodobnost zavedená jako podíl počtu těch výsledků, které jsou příznivé nastoupení daného jevu, a počtu všech možných výsledků. Kontrolní otázky a úkoly 1 Uveďte příklad deterministického pokusu a náhodného pokusu. 2 Náhodný pokus spočívá v hodu dvěma kostkami. Určete základní prostor. 3 Pro zkoušku provozní spolehlivosti určitého zařízení je předepsán tento postup: zařízení je uvedeno v činnost pětkrát při maximálním zatížení. Jakmile při některém z těchto pěti pokusů zařízení selže, nesplnilo podmínky zkoušky. Označme Ai jev: „při z-tém pokusu zařízení selhalo" pro i = 1,... , 5. Pomocí jevů Ai vyjádřete jevy: a) Zařízení neprošlo úspěšně zkouškou. b) První tři pokusy byly úspěšné, ve 4. a 5. pokusu zařízení selhalo. c) 1. a 5. pokus byly úspěšné, ale zkouška byla neúspěšná. 4 Formulujte emiprický zákon velkých čísel. 5 Uveďte příklad situace, v níž nelze použít klasickou pravděpodobnost. 6 Z karetní hry o 32 kartách vybereme náhodně bez vracení 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je eso? 62 7 Dva hráči házejí střídavě mincí. Vyhrává ten, komu padne dřív líc. Stanovte pravděpodobnost výhry 1. hráče a pravděpodobnost výhry 2. hráče. 8 Chevalier de Méré pozoroval, že při házení třemi kostkami padá součet 11 častěji než součet 12, i když podle jeho názoru (nesprávného) mají oba součty stejnou pravděpodobnost. Stanovte pravděpodobnost obou jevů. 9 Student se ke zkoušce připravil na 15 otázek z 20 zadaných. Při zkoušce si vybere náhodně dvě otázky. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň na jednu zná odpověď? 10 Mezi následujícími tvrzeními vyberte ta, která jsou pravdivá: a) P(AnB) < P(B), b) P(AUB) < P(B), c) P(AUB) < P(A) + P(B), d) P(A) < 0. I 63 5. Jev a jeho pravděpodobnost I 64 I 6 Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost 6. Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost I Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět ■ ověřit stochastickou nezávislost posloupnosti jevů ■ řešit příklady využívající stochastickou nezávislost jevů ■ počítat podmíněnou pravděpodobnost ■ použít větu o násobení pravděpodobností, vzorec pro úplnou pravděpodobnost a Bayesův vzorec Časová zátěž Pro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat asi 6 hodin studia. Z předešlé kapitoly víme, že pravděpodobnost je „zidealizovaným" protějškem relativní četnosti. Lze tedy očekávat, že stochasticky nezávislé jevy zavedeme podobně jako četnostně nezávislé množiny: pomocí multiplikativního vztahu. Uvedeme vlastnosti stochasticky nezávislých jevů a s jejich pomocí odvodíme dvě důležitá rozložení pravděpodobnosti - geometrické a binomické, která mají, jak uvidíme později, časté využití v praxi. 6.1. Definice Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Jevy Ai,A2 G A jsou stochasticky nezávislé, jestliže P(Aiľ\A2) = P(Ai)P(A2). (Tento vztah znamená, že informace o nastoupení jednoho jevu neovlivní šance, s nimiž očekáváme nastoupení druhého jevu. Stochastická nezávislost jevů Ai,A2 je motivována četnostní nezávislostí množin G\, G2 ve výběrovém souboru - viz definice 1.6.) Jevy Ai,... ,An G A jsou stochasticky nezávislé, jestliže platí systém multiplikativních vztahů: VI < i < j < n : P(Ai n Aj) = P(Ai)P(Aj), VI < i < j < k < n : P(Ai n Aj n Ak) = P(A)P(Aj)P(Ak). P(Ain---nAn) = P(Ai)...P(An). Jevy Ai,A2,--- G A jsou stochasticky nezávislé, jestliže pro všechna přirozená n jsou stochasticky nezávislé jevy Ai,..., An G A. (Upozornění: při ověřování stochastické nezávislosti jevů musíme prozkoumat platnost všech multiplikativních vztahů.) 6.2. Věta a) Nemožný jev je stochasticky nezávislý s každým jevem. b) Jistý jev je stochasticky nezávislý s každým jevem. c) Stochastická nezávislost se neporuší, jestliže některé (nebo i všechny) jevy nahradíme jevy opačnými. d) Neslučitelné jevy nemohou být stochasticky nezávislé (pokud nemají všechny nulovou pravděpodobnost). 66 6.3. Příklad Nezávisle opakujeme týž náhodný pokus. Nechť jev Ai znamená úspěch v i-tém pokusu, přičemž P(Ai) = v, i = 1, 2,... Vypočítejte pravděpodobnost, že a) prvnímu úspěchu předchází z neúspěchů, z = 0,1,2,.... b) v prvních n pokusech nastane právě y úspěchů, y = 0,1,... ,n. Řešení: ad a) P(Ä[ n-nín Az+1) = P(Ä[)... P(Ä~z)P(Az+1) = (l - u)zv (geometrické rozložení pravděpodobností) ad b) P((An- • -n^n^+in- • -nAra)u- • -u^n- • -r\An_yr\An_y+lr\- ■ -r\An)) = P{Al)... P{Ay)P(Ä~^)... P(An) + ■■■ + P^)... P(An_y)P(An_y+l)... P(An) = - u)n-yuy = ( uy(l - u)n~y + ••• + (!- u)n-yuy = IU ) vy{l - u)n~y (binomické rozložení pravděpodobností) Nyní zavedeme podmíněnou pravděpodobnost na základě analogie s podmíněnou relativní četností. Shrneme vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti a naučíme se používat vzorec pro výpočet úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. 6.4. Definice Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor a dále H G A jev s nenulovou pravděpodobností. Podmíněnou pravdepodobnosti za podmínky H rozumíme funkci P(.\H) : A —► IR danou vzorcem: (Vysvětlení: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. Podmíněnou relativní četnost A za podmínky H jsme v definici 1.4 zavedli vztahem p(A\H) = ^ '. Tato podmíněná relativní četnost se s rostoucím počtem pokusů ustaluje kolem konstanty P(A\H), kterou považujeme za podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky H.) 6.5. Věta Pro podmíněnou pravděpodobnost platí: a) P(A, n A2) = P{A1)P{A2\A1) pro P(A) ^ 0. b) P(A1 n A2) = P(A2)P(A1\A2) pro P(A2) ^ 0. c) P(AinA2n- • -r\An) = P{Al)P{A2\Al)P{A:i\Alr\A2)... P^l^n- • -n Ara_i) pro P(AiC\- ■ -nAra_i) 7^ 0. (Věta o násobení pravděpodobností) 6. Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost d) Jevy Ai, A2 jsou stochasticky nezávislé, právě když P(Ai\A2) = P(A\) nebo P(A2) = 0 a právě když P(A2\A1) = P(A2) nebo P(A{) = 0. 6.6. Příklad Ze skupiny 100 výrobků, která obsahuje 10 zmetků, vybereme náhodně bez vracení 3 výrobky. Vypočtěte pravděpodobnost jevu, že první dva výrobky budou kvalitní a třetí bude zmetek. Řešení: Jev Ai znamená, že z-tý vybraný výrobek je kvalitní, i = 1,2,3. Počítáme P(Ai nA2nA~3) = P(Ai)P(A2\Ai)P(A-3\Ai n A2) = $ • § • f = 0,083. I 6.7. Věta Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor, Hi,..., Hn G A takové jevy, n že P (Hi) > 0, (J Hi = Q, Hi n Hj = 0 pro i ^ j (říkáme, že jevy Hi,..., Hn í=i tvoří úplný systém hypotéz). a) Pro libovolný jev A G A platí vzorec úplné pravděpodobnosti: P(A) = Y,P(H)P(A\Ht). í=i b) Pro libovolnou hypotézu Hk, k = 1,... ,n a jev A G A s nenulovou pravděpodobností platí Bayesův vzorec: P(Hk\A) = P(Hk)P(A\Hk) P(A) ' (P(Hk\A) se nazývá aposteriornípravděpodobnosthypotézy Hk, P(Hk) je apriorní pravděpodobnost.) 6.8. Příklad Je známo, že 90% výrobků odpovídá standardu. Byla vypracována zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobností 0,95, zatímco u výrobku nestandardního s pravděpodobností 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že a) zkouška u náhodně vybraného výrobku dopadla kladně, b) výrobek, u něhož zkouška dopadla kladně, je standardní? Řešení: Jev A znamená, že zkouška u náhodně vybraného výrobku dopadla kladně, jev Hi znamená, že výrobek je standardní, jev H2 znamená, že výrobek není standardní, P(Hľ) = 0,9, P(H2) = 0,1, P(A\Hi) = 0,95, P(A\H2) = 0,2. ad a) P (A) = P(Hi)P(A\Hi)+P(H2)P(A\H2) = 0,9-0,95+0,1-0,2 = 0,875 adb) P(Hi\A) = _ P(H1)P(A\H1) 0,9-0,95 = n no 0,875 u,yo. P(A) 68 Shrnutí kapitoly Stochasticky nezávislé jevy jsou protipólem deterministicky závislých jevů: informace o nastoupení jednoho jevu nijak nemění šance, s nimiž očekáváme nastoupení druhého jevu. Formálně zavádíme stochastickou nezávislost jevů pomocí multiplikativních vztahů na základě analogie s četnostní nezávislostí množin. Pomocí stochasticky nezávislých jevů lze odvodit geometrické a binomické rozložení pravděpodobností. Obě tato rozložení se často používají v praxi. Podmíněná relativní četnost motivuje zavedení podmníněné pravděpodobnosti - zkoumáme pravděpodobnost nastoupení nějakého jevu za podmínky, že nastal jiný jev. Podmíněná pravděpodobnost se vyskytuje v několika důležitých vzorcích, které umožňují řešit řadu příkladů. Jedná se o větu o násobení pravděpodobností, vzorec pro výpočet úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Kontrolní otázky a úkoly 1 Uveďte příklad stochasticky nezávislých jevů 2 Nechť P (A) = p, P(B) = q. Pomocí čísel p, q vyjádřete pravděpodobnost nastoupení aspoň jednoho z jevů A, B, jsou-li tyto jevy a) stochasticky nezávislé, b) neslučitelné. 3 Co lze říci o jevech A, B, které nejsou nemožné a platí pro ně: P (A Uß) = l-[1- P(A)][1 - P{B)]1 4 Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie ze čtyř nebo pět z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky jsou nezávislé? 5 První dělník vyrobí denně 60 výrobků, z toho 10% zmetků. Druhý dělník vyrobí denně 40 výrobků, z toho 5% zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek z denní produkce je zmetek a pochází od prvního dělníka? 6 Ze šesti vajec jsou dvě prasklá. Náhodně vybereme dvě vejce. Jaká je pravděpodobnost, že budou a) obě prasklá, b) právě jedno prasklé, c) obě dobrá? 7 Doplňte chybějící člen x v rovnici P(B) = P(B\A)P(A) + xP(A). 8 Pro jaké jevy A, B, B ^ 0 platí P{A\B) = P (A)? 9 Co lze říci o jevech Ai,..., An s nenulovými pravděpodobnostmi, které jsou neslučitelné a jejich sjednocením je celý základní prostor? 10 Pojišťovací společnost rozlišuje při pojišťování tři skupiny řidičů - A, B a C. Pravděpodobnost toho, že řidič patřící do skupiny A bude mít během roku nehodu, je 0,03, zatímco u řidiče skupiny B je to 0,06 a u 6. Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost řidiče skupiny C 0,1. Podle dlouhodobých záznamů společnosti je 70% pojistných smluv uzavřeno s řidiči skupiny A, 20% s řidiči skupiny B a 10% s řidiči skupiny C. Jestliže došlo k nehodě řidiče pojištěného u této společnosti, jaká je pravděpodobnost, že patřil do skupiny C? 11 U jistého druhu elektrického spotřebiče se s pravděpodobností 0,01 vyskytuje výrobní vada. U spotřebiče s touto výrobní vadou dochází v záruční lhůtě k poruše s pravděpodobností 0,5. Výrobky, které tuto vadu nemají, se v záruční lhůtě porouchají s pravděpodobností 0,01. Jaká je pravděpodobnost, že a) u náhodně vybraného výrobku nastane v záruční lhůtě porucha, b) výrobek, který se v záruční lhůtě porouchá, bude mít dotyčnou výrobní vadu? I 70 I 7 Náhodná veličina a její distribuční funkce 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ číselně popsat výsledky náhodného pokusu pomoci náhodných veličina a náhodných vektorů, ■ najít distribuční funkci náhodné veličiny či náhodného vektoru, ■ rozlišit diskrétní a spojité náhodné veličiny a náhodné vektory a najít jejich funkcionální charakteristiky, ■ ověřit stochastickou nezávislost náhodných veličin. Časová zátěž Na prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 8 hodin studia. Naučíme se, jak popisovat výsledky náhodného pokusu pomocí náhodné veličiny, tj. zobrazení, které možnému výsledku přiřadí číslo či několik čísel. Existuje zřetelná analogie mezi znakem, který známe z 1. kapitoly, a náhodnou veličinou. V některých situacích potřebujeme náhodnou veličinu transformovat. Získáme složenou funkci zvanou transformovaná náhodná veličina. Statistika často zajímá pravděpodobnost jevu, že hodnota náhodné veličiny nepřesáhne nějakou mez. Pomocí této pravděpodobnosti zavedeme distribuční funkci, která je „zidealizovaným" protějškem empirické distribuční funkce, s níž jsme se setkali ve 2. kapitole. Seznámíme se s vlastnostmi distribuční funkce a vyřešíme několik příkladů. 7.1. Definice Libovolná funkce X : Q —► R, která každému možnému výsledku u G Q přiřazuje reálné číslo X(u), se nazývá náhodná veličina a číslo X(u) je číselná realizace náhodné veličiny X příslušná možnému výsledku u. Uspořádaná posloupnost náhodných veličin (X\,..., Xn) se nazývá náhodný vektor a značí se X. Je-li g : E —► E (resp. (gi,... , gm) : W1 —► Rm) funkce, pak složená funkce Y = g(X) (resp. Y = (Y1,...,Ym) = (gi(xi,... ,xn),... ,gm(xi,... ,xn))) se nazývá transformovaná náhodná veličina (resp. transformovaný náhodný vektor). Vysvětlení: Náhodná veličina i náhodný vektor popisují výsledky náhodného pokusu pomocí reálných čísel. Musí přitom splňovat podmínku tzv. měřitel-nosti, kterou se zde nebudeme zabývat. Náhodná veličina v počtu pravděpodobnosti a znak v popisné statistice - viz definice 1.8 - jsou sice pojmy blízké, nikoli však totožné. Znak lze považovat za náhodnou veličinu, pokud jeho hodnotu zjišťujeme na objektu, který byl vybrán ze základního souboru náhodně. Upozornění: V dalším textu se omezíme na dvourozměrné náhodné vektory. Poznatky lze jednoduše zobecnit i na n-rozměrné náhodné vektory. 7.2. Označení Nechť B C E. Jev {u G Q; X (u) G B} zkráceně zapisujeme {X G B} a čteme: náhodná veličina X se realizovala v množině B. 72 7.3. Definice Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny X (resp. náhodného vektoru X = (Xi,X2)) popisujeme distribuční funkcí $ : E —► E, která je dána vztahem: Vx 6 R : $(x) = P(X < x) (resp. simultánní distribuční funkcí $ : E2 —► E, která je definována vztahem: V(xi,X2) G E2 : ^{x\)X2) = P(X1 — OO IE—>00 ■ Va,6eR,a<6 platí: P(a < x < b) = $(&) - $(a). ■ pro libovolné, ale pevné dané x0 G E : P (X = x0) = $(x0)— hm $(x). b) Vektorový případ: Simultánní distribuční funkce §(xi,x2) náhodného vektoru X = (Xi,X2) má následující vlastnosti: ■ §(x\,x2) je neklesající vzhledem ke každé jednotlivé proměnné, ■ §(x\,x2) je zprava spojitá vzhledem ke každé jednotlivé proměnné, ■ §(x\,x2) je normovaná v tom smyslu, že lim §(x\,x2) = 1, IE1—>00,IE2—>00 lim §(x\,x2) = hm §(x\,x2) = 0, IE1—> — OO IE2—> —OO ■ V(xi,x2) E R2, hi > 0,h2 > 0 : P{xx < X1 < xi + hiAx2 < X2 00 lEl—>00 jsou distribuční funkce náhodných veličin X1; X2. Nazývají se marginální distribuční funkce. 7.6. Příklad Náhodný vektor (Xi,X2) má distribuční funkci 1 ®(xi,x2) 7T arctg x\ TT arctg x2 Vypočtěte pravděpodobnost, že náhodný vektor (Xi,X2) se bude realizovat v jednotkovém čtverci (0,1) x (0,1). Najděte obě marginální distribuční funkce $i(xi), $2(^2)- Řešení: Podle 4. vlastnosti v věty 7.5(b), kde X\ dostáváme 0, x2 = 0, h\ 1, ho P(0 < X1 < 1 A 0 < X2 < 1) = $(1,1) - $(1, 0) - $(0,1) + $(0, 0) = 1 /TT TT\ /TT TT' = V2 \l + 2J V4 + 2, 1 /7T 7T\ / TT ^(4 + 2)(0+2 1 7T 0 vT\ /7T 7T 4 1 / 7T\ / 7T Íi(°+2U° $1(^1) = lim —z (arctgXi + — ) (arctg $2(^2) = lim —z (arctgXi + — ) (arctg 1 16' TT\ 1 / TT ._.„ö^1 , , ._.„öx2 + - = - arctgxi + - ie2^oo 7TZ V Z/V Z / TT V Z TT\ 1 / 7T ._.„ö^1 , , ._.„öx2 + - = - arctgx2 + - xi^oo 7TZ V z/V Z / tt \ z 74 Nyní se budeme zabývat dvěma speciálními typy náhodných veličin, a to diskrétními a spojitými náhodnými veličinami. Diskrétní náhodná veličina nabývá nejvýše spočetně mnoha izolovaných hodnot, zatímco spojitá veličina nabývá všech hodnot z nějakého intervalu. Pravděpodobnostní chování diskrétní (resp. spojité) náhodné veličiny popíšeme pomocí pravděpodobnostní funkce (resp. pomocí hustoty pravděpodobnosti). Uvidíme, že vlastnosti pravděpodobnostní funkce jsou podobné jako vlastnosti četnostní funkce a vlastnosti hustoty pravděpodobnosti jsou analogické vlastnostem hustoty četnosti. 7.7. Definice a) Skalární případ: Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže její distribuční funkci lze vyjádřit pomocí nezáporné funkce tt(x) v součtovém tvaru: ViGR: $(x) = J^tt(x). t 0 (nezápornost), 00 ■ yj n (x) = 1 (normovanost); U. 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I ■ WxeR: n (x) = P(X = x), m VBCR: P (X G S) = E 7r(ar). b) Vektorový případ: Je-li ii(xi, x2) simultánní pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru (Xi,X2), pak platí: ■ W(x\,x2) G E2 : tt(xi,x2) > 0 (nezápornost), oo oo ■ E Yl vr(xi,x2) = 1 (normovanost), Xl= — OO X2= — oc ■ V(xi, x2) G E2 : tt(xi, x2) = P{Xi = xi A X2 = x2), m VB C E2 : P((Xi,X2) G S) = E vr(xi,x2), (xi,x2)es oo oo ■ E vr(xi,x2) = 7Ti(xi), E n(xi,x2) = vr2(x2), přičemž iti(xi). X2= — OO Xl = — oc 7r2(^2) jsou marginální pravděpodobnostní funkce náhodných veličin Xi, X2. 7.9. Příklad Pravděpodobnost poruchy každé ze tří nezávisle pracujících výrobních linek je 0,5. Náhodná veličina X udává počet výrobních linek, které mají poruchu. Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot 0,1, 2, 3. tt(0) = P{X = 0) = 0,53 = 0,125, tt(1) = P(X = 1) = 3 • 0,53 = 0,375, tt(2) = P(X = 2) = 3 • 0,53 = 0,375, tt(3) = P(X = 3) = 0,53 = 0,125, tt(x) = 0 jinak. 7.10. Příklad Je dán systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že z-tý blok správně funguje, je Ví, i = 1,2, a, pravděpodobnost, že správně fungují oba bloky, je z/12. Nechť náhodná veličina X» je ukazatel fungování z-tého bloku, tj. 1, pokud i-tý blok funguje, 0, pokud i-tý blok nefunguje. X 1,2. Najděte simultánní pravděpodobnostní funkci 7r(x\,x2) náhodného vektoru (Xi,X2) a obě marginální pravděpodobnostní funkce tti(xi) a tt2(x2). Řešení: Hodnoty pravděpodobnostních funkcí zapíšeme do kontingenční tabulky. Xi x2 TlliXi) 0 1 X\ 0 1 - Z/l - Z/2 + Z/12 z/2 - Z/12 1-Z/i 1 Z/l - Z/12 ^12 V\ vr2(x2) 1 - Z/2 v2 1 76 7t(0, 0) = P(X1 = 0 A X2 = 0) = 1 - P(X1 = 1 V X2 = 1) = = 1 - (z/i + V2 - Vu) = 1 - Vl - V2 + ^12; tt(0, 1) = P(X1 = 0 A X2 = 1) = P(X2 = 1) - P(Xi = 1 A X2 = 1) = = i/2 - i/12. tt(1, 0) = P(X: = 1 A X2 = 0) = P(X! = 1) - P(X! = 1 A X2 = 1) = = Vl - V\2; 7r(l,l) = P(X1 = lAX2 = l) = //12, 7r(xi,x2) = 0 jinak. 7.11. Definice a) Skalární případ: Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže její distribuční funkci lze vyjádřit pomocí nezáporné funkce 0 (nezápornost) DC J ip(x) dx = 1 (normovanost) — oc VxGR: P (X = x) = 0 VßCR: P (X eB)= j 0 (nezápornost) DO OC ■ J J Lp(x\,x2) dx\dx2 = 1 (normovanost) — oc —oc ■ y(x1,x2) E E2 : P((X1 = Xl) A (X2 = x2)) = 0 ■ B ER2 : P((X1}X2) EB)= J J (p(x1,x2)dx1dx2 (xi,x2)eB DO OC ■ J tp{xi,x2)dx2 = tfiixi), j tp{xi,x2)dxi = >-p2(x2), přičemž '-pi(xi), — oo —oc ^2(^2) jsou marginální hustoty pravděpodobnosti náhodných veličin X\, X2. 7.13. Příklad Na automatické lince se plní láhve mlékem. Každá láhev má obsahovat přesně 1000 ml mléka, ale v důsledku působení náhodných vlivů množství mléka kolísá v intervalu (980 ml, 1020 ml). Každé množství mléka v tomto intervalu považujeme za stejně možné. Náhodná veličina X udává množství mléka v náhodně vybrané lahvi. Najděte její hustotu pravděpodobnosti 1020. 980 1 7.14. Příklad Spojitý náhodný vektor (Xi,X2) má simultánní hustotu pravděpodobnosti !p(x1,x2) 1 7T2(1+X2)(1+X2)2' 78 Najděte obě marginální distribuční funkce 1(x1).....$n(Xn)- b) Diskrétní případ: Řekneme, že diskrétní náhodné veličiny X\,... ,Xn s marginálními pravděpodobnostními funkcemi iri(xi),... ,irn(xn) a simultánní pravděpodobnostní funkcí ir(xi,... ,xn) jsou stochasticky nezávislé, jestliže pro V(xi,... ,xn) G Era : tt(xi, ... ,xn) = tti(xi).....iľn(xn). c) Spojitý případ: Řekneme, že spojité náhodné veličiny Xi,... , Xn s marginálními hustotami pravděpodobnosti ipi(xi),..., 0,5 a x2 > 0,2. Z definice 7.11 (skalární případ) dostaneme: Xl $i(*i)= / ldíi = [íi]!.1o)5 = a;1 + 0,5 -0,5 80 pro —0,5 < x\ < 0,5, $i(xi) = 1 pro x\ > 0,5, $i(£i) = 0 pro x\ < —0,5. Dále X2 $2(^2) = í ldt2= [t2f\2 = 2,5(x2 + 0,2) -0,2 pro -0,2 < x2 < 0,2, $2(^2) = 1 pro x2 > 0,2, $2(^2) = 0 pro x2 < -0,2. Stochastickou nezávislost náhodných veličin Xi,X2 ověříme pomocí definice 7.15 (c): V(x\,x2) G E2 : Lp(x\,x2) = <*pi(xi)Lp2(x2), tedy náhodné veličiny X\,X2 jsou stochasticky nezávislé. 7.17. Příklad Diskrétní náhodný vektor (X\,X2) má simultánní pravděpodobnostní funkci 7r(x\,x2) danou hodnotami: 7r(—1,2) = 7r(—1,3) = 7r(0,3) = 7r(l,0) = tt(1,1) = 0, vr(-l,0) = vr(0,l) = vr(l,2) = 2c, tt(—1,1) = vr(0,0) = 7r(0, 2) = 7r(l,3) = c. Určete konstantu c, hodnotu simultánní distribuční funkce $(0,2), obě marginální pravděpodobnostní funkce tti(xi), tt2(x2) a hodnotu marginální distribuční funkce $i(l). Zjistěte, zda náhodné veličiny X\, X2 jsou stochasticky nezávislé. Řešení: Hodnoty simultánní pravděpodobnostní funkce ir(xi, x2) uspořádáme do kon-tingenční tabulky, kterou ještě doplníme o sloupec s hodnotami tti(xi) a řádek s hodnotami tt2(x2). Tyto hodnoty získáme pomocí věty 7.8 (vektorový případ). x2 7Ti(Xi) 0 1 2 3 X\ -1 2c c 0 0 3c 0 c 2c c 0 4c 1 0 0 2c c 3c 7r2(x2) 3c 3c 3c c 1 Z normovanosti pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru (viz věta 7.8, vektorový případ) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. Z definice diskrétního náhodného vektoru (definice 7.7, vektorový případ) plyne $(0, 2) = vr(-l, 0) + vr(-l, 1) + vr(-l, 2) + vr(-l, 3) + vr(0, 0) + + vr(0,1) + vr(0, 2) = 0,2 + 0,1 + 0 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,6. Z definice diskrétní náhodné veličiny (definice 7.7, skalární případ) plyne $l(l) = 7Ti(-l) + 7Ti(0) + 7Ti(l) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1. Pokud by náhodné veličiny X\,X2 byly stochasticky nezávislé, musel by pro všechna W(x\,x2) G E2 platit multiplikativní vztah: tt(xi,x2) = tti(x 1)^2(^2) (viz definice 7.15 (b)). Avšak již pro X\ = —1, x2 = 0 dostáváme 7r(—1,0) = 0,2, 7Ti(—1) = 0,3, 7T2(0) = 0,3. Vidíme tedy, že multiplikativní vztah splněn není a náhodné veličiny X\,X2 nejsou stochasticky nezávislé. 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I 7.18. Věta Jsou-li náhodné veličiny Xi,... ,Xn stochasticky nezávislé, pak jsou stochasticky nezávislé také transformované náhodné veličiny Yi = gi(Xi),.... Shrnutí kapitoly Náhodná veličina se zavádí jako zobrazení, které každému výsledku náhodného pokusu přiřazuje číslo (pak se jedná o skalární náhodnou veličinu) nebo více čísel (v tomto případě jde o náhodný vektor). Náhodnou veličinu lze pomocí libovolné funkce transformovat a získat tak transformovanou náhodnou veličinu. Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny popisuje distribuční funkce, jejíž zavedení je motivováno empirickou distribuční funkcí známou z popisné statistiky. Vlastnosti těchto dvou funkcí jsou analogické. Praktický význam mají dva speciální druhy náhodných veličin. Diskrétní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot a její pravděpodobnostní chování je popsáno pravděpodobnostní funkcí, což je „zidealizovaný" protějšek četnostní funkce. Diskrétní náhodný vektor je tvořen diskrétními náhodnými veličinami. Zabývali jsme se náhodnými vektory se dvěma složkami. V souvislosti s diskrétním náhodným vektorem zavádíme simultánní pravděpodobnostní funkci. Marginální pravděpodobnostní funkce se vztahují k jednotlivým složkám náhodného vektoru. Spojitá náhodná veličina nabývá všech hodnot z nějakého intervalu. Její pravděpodobnostní chování je popsáno hustotou pravděpodobnosti, což je „zidealizovaný" protějšek hustoty četnosti. Spojitý náhodný vektor je tvořen spojitými náhodnými veličinami. Jeho pravděpodobnostní chování je popsáno simultánní hustotou pravděpodobnosti. Marginální hustoty pravděpodobnosti se vztahují k jednotlivým složkám náhodného vektoru. Pomocí multiplikativního vztahu, v němž vystupují simultánní a marginální distribuční funkce (resp. pravděpodobnostní funkce v diskrétním případě resp. hustoty pravděpodobnosti ve spojitém případě), zavedeme pojem stochastické nezávislosti náhodných veličin. Kontrolní otázky a úkoly 1 Uveďte příklad náhodné veličiny a náhodného vektoru z ekonomické praxe. 2 Najděte distribuční funkci náhodné veličiny, která udává počet líců při hodu třemi mince-mi a nakreslete její graf. 3 Rozhodněte, které z uvedených náhodných veličin jsou diskrétní a které jsou spojité: a) počet členů domácnosti b) věk člověka v letech c) náhodně vybrané reálné číslo d) počet zákazníků ve frontě 82 e) cena výrobku f) počet zmetků z celkové denní produkce g) délka určitého předmětu h) životnost televizoru v letech 4 Které funkcionální charakteristiky popisují pravděpodobnostní chování diskrétní náhodné veličiny a které diskrétního náhodného vektoru? 5 Které funkcionální charakteristiky popisují pravděpodobnostní chování spojité náhodné veličiny a které spojitého náhodného vektoru? 6 Je-li X diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí ir(x). může být ir(x) > 1? 7 Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti 1? 8 Náhodná veličina udává průměrný počet ok při hodu dvěma kostkami. Nakreslete graf její pravděpodobnostní funkce. 9 Diskrétní náhodný vektor (Xi,X2) má simultánní pravděpodobnostní funkci ir(xi,X2) danou hodnotami: tt(0, 0) = 7r(0, 2) = tt(1, 1) = vr(2, 0) = vr(2, 2) = 0, 7r(0, 1) = 7t(1,2) =7t(2,1) = 0,25. Jsou náhodné veličiny X\, X2 stochasticky nezávislé? 10 Nechť spojitý vektor (Xi, X2) má simultánní hustotu pravděpodobnosti , s f 24x?x2(l — Xi) pro 0 < xi < 1, 0 < x2 < 1. ^i»^) = |0 jinak_ Dokažte, že náhodné veličiny X1; X2 jsou stochasticky nezávislé. 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I 84 8 Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ rozlišovat důležité typy diskrétních a spojitých rozložení ■ využívat vlastností těchto rozložení při výpočtu pravděpodobností různých jevů ■ hledat v tabulkách hodnot distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení Časová zátěž Na prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 5 hodin studia. Nyní se seznámíme s přehledem důležitých pravděpodobnostních funkcí a hustot pravděpodobnosti. Uvedeme nejenom analytické vyjádření těchto funkcí, ale též grafy. Vysvětlíme rovněž, v jakých situacích se lze s uvedenými rozloženími pravděpodobnosti setkat. Zvláštním pozornost budeme věnovat normálnímu rozložení, které hraje velkou roli v celé řadě praktických aplikací počtu pravděpodobnosti a, jak uvidíme později, i v matematické statistice. I 8.1. Označení Známe-li distribuční funkci $(x) náhodné veličiny X (resp. pravděpodobnostní funkci tt(x) v diskrétním případě resp. hustotu pravděpodobnosti ip(x) ve spojitém případě), pak řekneme, že známe rozložení pravděpodobností (zkráceně rozložení) náhodné veličiny X. Toto rozložení závisí na nějakém parametru v, což nejčastěji bývá reálné číslo nebo reálný vektor. Zápis X ~ L{y) čteme: náhodná veličina X má rozložení L s parametrem v. 8.2. Definice Nejprve se seznámíme s vybranými rozloženími diskrétních náhodných veličin. a) Degenerované rozložení: X ~ Dg(ß) Tato náhodná veličina nabývá pouze konstantní hodnotu ß. 7ľ (X) = 1 pro x = ß. 0 jinak. 0.5 1 1.5 Pravděpodobnostní funkce Dg{l). 86 b) Alternativní rozložení: X ~ A(u) Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž pravděpodobnost úspěchu je v. 1 — v pro x = 0. n (x) = < v pro x = 1. 0 jinak. 0.5 -0.5 o Pravděpodobnostní funkce A(0,75). c) Binomické rozložení: X ~ i?z(n, v) Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu v. 7T (x) = ( £)i^(l- v)n~x prox = 0,l,...,n jinak. u.u 0.4- • • 0.2- i • t • • 0 9 1 1 1 1 1 I -1 o Pravděpodobnostní funkce Bi(5; 0,5). (Odvození - viz př. 6.3 (b).) Alternativní rozložení je speciálním případem binomického rozložení pro n = 1. Jsou-li Xí}... ,Xn stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xj ~ A(u), i = 1,..., n, pak X = J2xí ~Bi(n,u). í=i 87 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin d) Geometrické rozloženi: X ~ G e (u) Náhodná veličina X udává počet neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů předcházejících prvnímu úspěchu, přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu v. 7t(x) (1 — u)xu pro x = 0,1,... 0 jinak. I \J.O o 0.2- • • 0.1- • • • • • • • • 0 1 | | | | | 1 1 3 5 7 9 1 Pravděpodobnostní funkce Ge(0,25). (Odvození - viz př. 6.3 (a).) e) Hypergeometrické rozložení: X ~ Hg(N, M, n) V souboru N prvků je M prvků označeno. Náhodně vybereme n prvků bez vracení. Náhodná veličina X udává počet vybraných označených prvků. 7T (X) = (M\ (N-M\ \ x ) V. n — x ) 0 0.5 0.4 0.3 0.2-0.1 0 -0.1 (?) pro x = max{0, M — N + n},... min{M, n}. jinak. Pravděpodobnostní funkce Hg(10, 7, 5). f) Rovnoměrné diskrétní rozložení: X ~ Rd(G) Nechť G je konečná množina o n prvcích. Náhodná veličina X nabývá se stejnou pravděpodobností každé hodnoty z množiny G. - pro x G G TT (x) = * n 0 jinak. 88 (Typickým příkladem je náhodná veličina udávající počet ok při hodu kostkou.) 7t(x) Pravděpodobnostní funkce Rd({l, 2,..., 10}). g) Poissonovo rozloženi: X ~ Po(X) Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, přičemž události nastávají náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 je střední počet těchto událostí. ^e"A pro x = 0,1,.... 0 jinak. 0.22-0.18-0.14-0.1 0.06 0.02--0.02 ■ • • • • T T T 10 12 14 16 Pravděpodobnostní funkce Po(5). 8.3. Příklad V rodině je 10 dětí. Za předpokladu, že chlapci i dívky se rodí s pravděpodobností 0,5 a pohlaví se formuje nezávisle na sobě, určete pravděpodobnost, že v této rodině jsou nejméně 3 a nejvýše 8 chlapců. Řešení: X - počet chlapců v této rodině, X ~ Bi(10; 0,5), P(3 < X < 8) 8 E x=3 10- 957 1024 0,935. 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin 8.4. Příklad Jaká je pravděpodobnost, že při hře „Člověče, nezlob se!" nasadíme nejpozději při třetím hodu? Řešení: X - počet neúspěchů před první šestkou, X ~ Ge(|), P(X < 2) = EÍ1- Í)l = 0'4213- 8.5. Příklad Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozložením Po{2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde aspoň k jedné poruše? Řešení: X - počet poruch během směny, X ~ Po{2). P(X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - —e"2 = 0,8647. I 8.6. Definice Nyní uvedeme vybrané typy spojitých rozložení. a) Rovnoměrné spojité rozložení: X ~ Rs(a, b) Náhodná veličina X nabývá se stejnou pravděpodobností každé hodnoty z intervalu (a, b). , n Í -r— pro x G (a, b). *iX> = { T [inak. 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 Hustota Rs(-1,2). b) Exponenciálni rozložení: X ~ E x (X) Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události. 90 která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom j vyjadřuje střední dobu čekání. '■P(x) \e~Xx pro x > 0. jinak. Hustota Ex{2). c) Normálni rozloženi: X ~ N(/j,, a2) Tato náhodná veličina vzniká např. tak, že ke konstantě ß se přičítá velké množství nezávislých náhodných vlivů mírně kolísajících kolem 0. Proměnlivost těchto vlivů je vyjádřena konstantou a > 0. '•P(x) = 1 aV2n e Pro ß = 0, a2 = 1 se jedná o standardizované normální rozložení, píšeme U ~ N(0,1). Hustota pravděpodobnosti má v tomto případě tvar 1 ^ '•PW = 2vr Distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení v, 1 $(«) = 2vr e 2 áí I je tabelována pro ti > 0, pro u < 0 se používá přepočtový vzorec $(-«) = 1 - $(«). Má-li X ~ iV()U, a2), pak [/ = ^^ ~ ÍV(0,1). -2-10 1 Hustota ÍV(0,1) ■3 -2-10 1 Distribuční funkce N(0,1) 91 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin -10 12 3 4 -2-10123 Hustota N(l; 0,5) Distribuční funkce N(l; 0,5) (Normálni rozložení hraje ústřední roli v počtu pravděpodobnosti i matematické statistice. Jeho význam spočívá jednak v tom, že normálním rozložením se řídí pravděpodobnostní chování mnoha náhodných veličin a jednak v tom, že za určitých podmínek konverguje k normálnímu rozložení součet nezávislých náhodných veličin s týmž rozložením.) d) Dvourozměrné normální rozložení: X2 No Pí ß2 of peri<72\ p<7i<72 er 2 J I Náhodný vektor í J vzniká ve dvourozměrných situacích podobně jako skalární náhodná veličina v bodě (e). 1 '•p{xi,x2) = (Tia2 >/W e " 2 kde q(xi,x2) = 1-P2 Xi — ß\ o-i 2p X\ — ß\X2 — ß2 ( %2 ~ ß2 CT\ (T2 (T2 Pro ßi = 0, ß2 = 0, a\ = 1, a\ = 1, p = 0 se jedná o standardizované dvourozměrné normální rozložení. Vrstevnice a graf hustoty standardizovaného dvourozměrného normálního rozložení: 92 Vrstevnice a graf hustoty dvourozměrného normálního rozloženi s parametry ßi = 0, ß2 = 0, o\ = 1, a\ = 1, p = —0,75 Následující tři rozložení- Pearsonovo, Studentovo a Fisher ovo-Snedeco-rovo - jsou odvozena ze standardizovaného normálního rozložení. Mají velký význam především v matematické statistice při konstrukci intervalů spolehlivosti a testování hypotéz. Vyjádření hustot těchto rozložení neuvádíme, je příliš složité - viz např. [3].) e) Pearsonovo rozložení chĺ-kvadrát s n stupni volnosti: X ~ x2(n) Nechť Xi,...,Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ N(0,1), i = 1,... ,n. Pak náhodná veličina X = Xf + - ■ -+X% ~ x2(n)- °'25_n—^~vľ-------------------------------- 0.15- / >v 0.05- ^^v. 0 2 4 6 8 Hustota x2(3)- f) Studentovo rozložení s n stupni volnosti: X ~ t(n) Nechť X\, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny a nechť dále X\ ~ N(0,1), X2 ~ x2(n)- P&k náhodná veličina 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin Hustota í(3). g) Fisherovo-Snedecorovo rozložení s ri\ a n2 stupni volnosti: X ~ F(rii,n2) Necht X!,...,Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ X2{ní)i i = 1)2. Pak náhodná veličina X ŽĹL n2 F(ni,n2). I 12 3 4 Hustota F(5, 8). 8.7. Příklad Na automatické lince se plní láhve mlékem. Působením náhodných vlivů množství mléka kolísá v intervalu (980 ml, 1020 ml). Každé množství mléka v tomto intervalu považujeme za stejně možné. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vybrané láhvi bude aspoň 1000 ml mléka? Řešení: X - množství mléka v náhodně vybrané láhvi, X ~ Rs(980,1020), , (x)= í i Pro x E (980,1020), \ 0 jinak. 1020 P(X > 1000) (IX — , „ \X\ innn — U,0. 40 40' 1000 ~ u'v 1000 94 8.8. Příklad Doba (v minutách) potřebná k obsloužení zákazníka v prodejně potravin je náhodná veličina, která se řídí rozložením Ex(^). Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka v této prodejně bude v rozmezí od 3 do 6 minut? Řešení: X - doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka, X ~ Ex(^). V(x) == < J e 3 pro x > 0, jinak. P(3 < X < 6) 1 1 6 -e-^ dx = -(-3) [e_^]3 = -e-2 + e_1 = 0,233. 8.9. Příklad Výsledky u přijímacích zkoušek na jistou VŠ jsou normálně rozloženy s parametry ß = 550 bodů, a = 100 bodů. S jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný uchazeč aspoň 600 bodů? Řešení: X - výsledek náhodně vybraného uchazeče, X ~ iV(550,1002), P(X > 600) = 1 - P(X < 600) + P(X = 600) = 1 - P(X < 600) = 600-550N ( X-ß < 600 - ii a a 1-P U < 100 1 - $(0,5) = 1-0,69146 = 0,31. I 8.10. Příklad Nechť Xi,X2,X3,X4 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xj N(0,1), i = 1, 2, 3, 4. Jaké rozložení má transformovaná náhodná veličina X Xy/3 y/X. x! xi Řešení: X ~ í(3), protože Xx ~ X(0,1) a X2 + X2 + X2 ~ X2(3). Shrnutí kapitoly Degenerované rozložení popisuje pravděpodobnostní chování konstanty, což je nepochybně patologický případ. Zajímavější je alternativní, geometrické a zvláště binomické rozložení. Všechna tato rozložení souvisejí 95 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin s počty úspěchů či neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů. Hypergeometrické rozložení se vyskytuje v situacích, kdy provádíme výběr bez vracení ze souboru, který obsahuje označené prvky. Rovnoměrné rozložení na dané množině je charakteristické tím, že náhodná veličina, která se jím řídí, nabývá každé hodnoty z této množiny se stejnou pravděpodobností. Podle Poissonova rozložení se chová např. náhodná veličina udávající počet událostí, které nastanou v jednotkovém čase. Za spojitých rozložení je nejjednodušší rovnoměrné spojité rozložení. Jeho hustota je na daném intervalu konstantní a jinde nulová. Náhodná veličina s exponenciálním rozložením udává dobu čekání na příchod nějaké události, přičemž toto čekání probíhá „bez paměti". Vůbec nejdůležitějším rozložením je normální rozložení, které vzniká např. tak, že k nějaké konstantě se přičítá velké množství nezávislých náhodných vlivů mírně kolísajících kolem nuly. Tím se z konstanty stane náhodná veličina. Grafem normální hustoty pravděpodobnosti je známá Gaussova křivka. Pomocí standardizovaného rozložení lze zavést další tři typy speciálních rozložení, a to Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedecorovo. Nacházejí uplatnění především v matematické statistice. I Kontrolní otázky a úkoly 1 (S) Pomocí systému STATISTICA nakreslete grafy hustot a distribučních funkcí uvedených spojitých rozložení. Sledujte vliv parametrů na tvar hustot a distribučních funkcí. Návod: viz příloha B. 2 (S) Pojišťovna zjistila, že 12% pojistných událostí je způsobeno vloupáním. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 30 náhodně vybranými pojistnými událostmi bude způsobeno vloupáním nejvýše 6? 3 Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté nemocnici, se řídí rozložením Ex(0,5). Jaká je pravděpodobnost, že uplyne více než 5 hodin bez naléhavého příjmu? 4 Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X ~ iV(20,16) nabude hodnotu menši než 12 nebo větší než 28? 5 Nechť X ~ Rs(a,b), přičemž 0 X- t ť &(x) = { ^|f^ pro a < x < b pro x < a pro a < x pro x > b Určete a, b. 6 Nechť X\, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny takové, že Xi ~ N(0,1), i = 1,2. Jaké rozložení má transformovaná náhodná veličina X = ^ XI 96 9 Číselné charakteristiky náhodných veličin I 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ spočítat kvantily spojitých náhodných veličin ■ hledat kvantily některých spojitých náhodných veličin ve statistických tabulkách ■ určit střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny ■ spočítat kovarianci a koeficient korelace dvou náhodných veličin ■ využívat vlastností číselných charakteristik náhodných veličin při konkrétních výpočtech Časová zátěž Na prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 10 hodin studia. 9.1. Motivace V 7. kapitole jsme se seznámili s funkcionálními charakteristikami náhodných veličin (např. distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota pravděpodobnosti), které plně popisují pravděpodobnostní chování náhodné veličiny. Číselné charakteristiky vystihují pouze některé rysy tohoto chování, např. popisují polohu realizací náhodné veličiny na číselné ose či jejich proměnlivost (variabilitu). Jsou jednodušší než číselné charakteristiky, ale nesou jen částečnou informaci. I 9.2. Definice Nechť X je spojitá náhodná veličina aspoň ordinálního charakteru (viz definici 3.2) s distribuční funkcí $(x) a nechť a G (0,1). Číslo Ka(X), které splňuje podmínku Ka(X) a = $(Ka(X))= / Ka(X) =ua, X ~ x2(n) => Ka(X) = Xl(n), X~t(n) => Ka(X)=ta(n), X ~ F(n1}n2) => Ka(X) = Fa(n1} n2). Tyto kvantily najdeme ve statistických tabulkách. Používáme vztahy: ta(n) = -ti-a(n). i Fa(ni,n2) = Fi_a(n2,ni)" 9.4. Příklad a) Nechť U ~ N(0,1). Najděte medián a horní a dolní kvartil. b) Určete Xo,o25(25)- c) Určete í0,99(30) a í0,05(24). _ d) Určete F0)975(5,20) a F0)o5(2,10). Řešení: ad a) tí0)5o = 0, «0,25 = —0,67449, «0,75 = 0,67449 adb) Xo',o25(25) ='l3,12 ad c) í0)99(30) = 2,4573, r0)o5(24) = -1,7109 ad d) F0;975(5, 20) = 3,2891, F0)o5(2,10) = 0,05156 9.5. Věta Nechť X je spojitá náhodná veličina, Y = g(X) transformovaná náhodná veličina, a G (0,1). a) Je-li g všude rostoucí funkce, pak Ka(Y) = g(Ka(X)). b) Je-li g všude klesající funkce, pak Ka(Y) = g(Ki_a(X)). I 9.6. Příklad Nechť U ~ N(0,1). Najděte devátý decil transformované náhodné veličiny Y = 3 + 2U. Řešení: Funkce y = 3 + 2u je všude rostoucí funkce, tedy K0íg0(Y) = 3 + 2tí0)9o = 3 + 2- 1,28155 = 5,5631. 99 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin Nyní budeme věnovat pozornost číselným charakteristikám polohy a variability náhodné veličiny intervalového či poměrového charakteru. Jak uvidíme, teoretickým protějškem aritmetického průměru m je střední hodnota E (X) a empirického rozptylu s2 teoretický rozptyl D (X). Empirický rozptyl s2 jsme zavedli jako aritmetický průměr kvadrátů centrovaných hodnot. Není tedy překvapivé, že teoretický rozptyl D(X) je střední hodnotou kvadrátů centrovaných hodnot. Naučíme se počítat střední hodnotu a rozptyl transformovaných náhodných veličin a náhodných vektorů. Uvedeme střední hodnoty a rozptyly vybraných typů diskrétních a spojitých rozložení, která jsme poznali v 8. kapitole. 9.7. Definice Nechť X je náhodná veličina aspoň intervalového charakteru (viz definici 3.2). Její střední hodnotou nazýváme číslo E(X), které je v diskrétním případě zavedeno vztahem E(X) DC X7t(x) a ve spojitém případě vztahem E(X) xip(x) dx I za předpokladu, že případná nekonečná suma či integrál vpravo absolutně konverguje. Není-li tato podmínka splněna, pak řekneme, že střední hodnota neexistuje. Transformovaná náhodná veličina X — E(X) se nazývá centrovaná náhodná veličina. (Střední hodnota je číslo, které charakterizuje polohu realizací náhodné veličiny na číselné ose s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem. V diskrétním případě představuje střední hodnota těžiště soustavy hmotných bodů, jejichž hmotnost je popsána pravděpodobnostní funkcí ir(x) a ve spojitém případě je střední hodnota těžištěm hmotné přímky, na níž je rozprostření hmoty popsáno hustotou pravděpodobnosti 0 je konstanta. Vypočtěte E(Y). Řešení: 00 V{x) = { ^~XX Pr°f > °' E{Y) = íe-^Xe-^dx = -^-. w 1 0 jinak, J A+ 7 9.11. Definice Rozptylem náhodné veličiny X, která má střední hodnotu E(X), rozumíme číslo D(X) = E([X — E(X)]2), pokud střední hodnota vpravo existuje. Číslo 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin y/D(X) se nazývá směrodatná odchylka. Transformovaná náhodná veličina X-E(X) se nazývá standardizovaná náhodná veličina. Z věty 9.9 (a) plyne, že v diskrétním případě je rozptyl dán vzorcem DC D(X)= Y, ^ - E(X)]\(x) x=—oc a ve spojitém případě vzorcem D(X) = [x - E(X)]2p(x) dx I (pokud suma či integrál vpravo absolutně konvergují). (Rozptyl je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodné veličiny kolem její střední hodnoty s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem. Je teoretickým protějškem váženého rozptylu zavedeného v definici 3.20.) 9.12. Příklad Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte její rozptyl. Řešení: I pro x =1,2,. 0 jinak. D(X) = ][>-3,5)2± = . x=l 35 12 E (X) = 3,5 (viz př. 9.8), 2,92. 9.13. Věta Uveďme střední hodnoty a rozptyly vybraných typů diskrétních a spojitých rozložení. X^Dg(ß) => E(X)=ß,D(X) = 0, X ~ A(u) => E(X) = u, D(X) = i/(l - v), X ~ Bi(n, u) => E(X) = nu, D(X) = nu{l - u), X ~ Ge(u) =► E(X) = ±?, D(X) = ^, X ~ Hg(N,M,n) =* E(X) = §n, D(X) = Mf(l - f )f^, ra^-l X ~ Rd(G) => E(X) = 2=i, D(X) X ~ Po(A) => E(X) = A, L>(X) = A2, X ~ i?s(a,6) => £(X) = ^, L>(X) - ^=^- 12 : X~£:r(A) ^ E{X) = \,D{X) = j?, 102 j) X ~ N(fi, a2) => E(X) = 11, D(X) = a2., k) X ~ x2(n) => £(X) = n, L>(X) = 2ra. 1) X ~ í(n) =>- E (X) = O pro n > 2, pro n = 1 E (X) neexistuje. D(X) = ^2 Pro ^ > 3, pro n = 1, 2 -D(X) neexistuje. m) X ~ F(m,n2) => E {X) = ^ pro n2 > 3, pro n2 = 1,2£(I) rai(ri2-2)(ri2-4) neexistuje, Ľ(X) = J^Síl-i) Pro n2 > 5, pro n2 = 1, 2, 3, 4 Ľ(X) neexistuje. Věnujme se nyní dvěma náhodným veličinám. Budou nás zajímat charakteristiky jejich společné variability a síly těsnosti lineárního vztahu mezi nimi. Jako motivace pro zavedení těchto charakteristik nám poslouží empirická ko-variance S\2 a empirický koeficient korelace V\2. Empirická kovariance S\2 byla definována jako aritmetický průměr součinů centrovaných hodnot a empirický koeficient korelace V\2 jako aritmetický průměr součinů standardizovaných hodnot. Lze tedy očekávat, že teoretická kovariance C(Xi,X2) bude střední hodnotou součinů centrovaných hodnot a teoretický rozptyl R(Xi,X2) bude střední hodnotou součinů standardizovaných veličin. Podrobně se seznámíme s řadou vlastností všech výše uvedených číselných charakteristik a využijeme jich při řešení několika příkladů. Pokud neznáme rozložení pravděpodobnosti náhodné veličiny, ale jenom její střední hodnotu a rozptyl, pak můžeme pomocí tzv. Cebyševovy nerovnosti aspoň odhadnout pravděpodobnost, že tato náhodná veličina se od své střední hodnoty odchýlí o více než í-násobek své směrodatné odchylky. V závěru kapitoly se soustředíme na vlastnosti střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny s normálním rozložením. 9.14. Definice Kovariancí náhodných veličin Xi,X2, které mají střední hodnoty E(Xi). E(X2), rozumíme číslo C(X1,X2) = E{[XX - E{Xl)][X2 - E{X2)}) (pokud střední hodnoty vpravo existují). Z věty 9.9 (b) plyne, že v diskrétním případě je kovariance dána vzorcem DO OC C(X1,X2)= J2 J2 [xi-E(Xl)][x2-E(X2)]n(xl,x2) Xl = — OO X2= — OC a ve spojitém případě vzorcem DO OC C(X1,X2)= í í [xl-E{Xl)][x2-E{X2)]^{xux2)dxldx2 — OO —OC (pokud dvojná suma či dvojný integrál vpravo absolutně konvergují). 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin I (Kovariance je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodných veličin X1;X2 kolem jejich středních hodnot s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem. Je-li kovariance kladná (záporná), pak to svědčí o existenci jistého stupně přímé (nepřímé) lineární závislosti mezi realizacemi náhodných veličin Xi,X2. Je-li kovariance nulová, pak říkáme, že náhodné veličiny X\. X2 jsou nekorelované a znamená to, že mezi jejich realizacemi není žádný lineární vztah. Pozor - z nekorelovanosti nevyplývá stochastická nezávislost, zatímco ze stochastické nezávislosti plyne nekorelovanost. Kovariance je teoretickým protějškem vážené kovariance z definice 3.20.) 9.15. Příklad Diskrétní náhodný vektor (Xi, X2) má simultánní pravděpodobnostní funkci s hodnotami: vr(0,-l) = c, vr(0,0) = vr(0,1) = vr(l,-l) = vr(2,-l) = 0, tt(1,0) = vr(0,1) = vr(2,1) = 2c, vr(2,0) = 3c, ir(x1,x2) = 0 jinak. Určete konstantu c a vypočtěte C(Xi,X2). Řešení: Hodnoty simultánní pravděpodobnostní funkce a obou marginálních pravděpodobnostních funkcí uspořádáme do kontingenční tabulky. x2 7Ti(Xi) -1 0 1 X\ 0 c 0 0 c 1 0 2c 2c 4c 2 0 3c 2c 5c 7r2(x2) c 5c 4c 1 Z normovanosti pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru (viz věta 7.8, vektorový případ) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. 2 S(Xi) = Yl aW^i) = 0 • 0,1 + 1 • 0,4 + 2 • 0,5 = 1,4 £1=0 1 E(X2) = Y, ^2vr2(x2) = -1 • 0,1 + 0 • 0,5 + 1 • 0,4 = 0,3 X2=— 1 2 1 C(XhX2) =J2 Yl ^ - £(Xi)]N - E(X2)]k(x1,x2) X-l =0 Xn = — 1 = (0 - 1,4) • (-1 - 0,3) • 0,1 + • • • + (2 - 1,4) • (1 - 0,3) • 0,2 = 0,18. 9.16. Definice Koeficientem korelace náhodných veličin X1; X2 rozumíme číslo R(X1,X2) = E X1-E(X1) _ X2-E{X2) ^/Ďix7) ^D(X2) pro y/Ď(XÍ) v^X^ > 0, jinak. 104 (Koeficient korelace je číslo, které charakterizuje těsnost lineární závislosti realizací náhodných veličin X1; X2. Cím bližší je 1, tím těsnější je přímá lineární závislost, čím bližší je -1, tím těsnější je nepřímá lineární závislost.) 9.17. Věta Nechť b, &i, b2 jsou reálná čísla, X, Xlr .., Xn, Y1,..., Ym jsou náhodné veličiny definované na témž pravděpodobnostním prostoru. V následujících vzorcích vždy z existence číselných charakteristik na pravé straně vyplývá existence výrazu na levé straně. Vlastnosti střední hodnoty a) E(a) = a, b) E(a + bX) =a + bE(X), c) E(X-E(X)) = 0, / n \ n \i=l J i=\ e) Jsou-li náhodné veličiny Xlr .., Xn stochasticky nezávislé, pak platí / n \ n E(UX) = UE(Xl). \í=i / %=i Vlastnosti kovariance a) C{ai,X2) = C(Xi,a2) = C(ai,a2) = 0, b) C(ai + 61X1, a2 + b2X2) = 6162C(X1,X2), c) C(X,X) = D(X), d) C(X1,X2) = C(X2,X1), e) C{X1,X2) = E{X1X2)-E{X1)E{X2), (n m \ n m i=l j = l J i=lj=l Vlastnosti rozptylu a) D (a) = 0, b) D(a + bX) = b2D(X), c) D{X) = £(X2) - [E{X)]\ d) D i J2 Xi) = E D(Xí) + 2 E E C(Xí, Xj) (Jsou-li náhodné veli- \í=l ) í=l í=l j=i+l / n \ n činy Xi,... , Xra nekorelované, pak D í ^ X» J = ^ D(Xi).) \i=l / í=l Vlastnosti koeficientu korelace a) i?(ai,X2) = i?(Xi,a2) = R(ai,a2) = 0, b) R(ai + 61X1, a2 + 62X2) = sgn(bib2)R(X1, X2), c) R(X, X) = 1 pro D(X) ^ 0, R(X, X) = 0 jinak, d) R(X1,X2) = R(X2,X1) 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin E C(X1,X2) pro y/Ď(XÍ)^/Ď{X7) > 0, e) R(X1,X2) = { \^(x7)^(x7)t 0 jinak, f) \R(Xi,X2)\ < 1 a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, když mezi veličinami Xi,X2 existuje s pravděpodobností 1 úplná lineární závislost, tj. existují konstanty a\,a2 tak, že P(X2 = a\ + 02X1) = 1. (Uvedená nerovnost se nazývá Cauchyova-Schwarzova-Buňakovského nerovnost.) 9.18. Příklad Vypočtěte koeficient korelace náhodných veličin Xi,X2 z příkladu 9.15. Řešení: V příkladu 9.15 byla vypočtena kovariance C(Xi,X2) = 0,18. Stačí tedy vypočítat směrodatné odchylky veličin Xi,X2. D(X1)=Y/lxi-E(X1)]2ir1(x1) £1=0 = (0 - 1,4)2 • 0,1 + (1 - 1,4)2 • 0,4 + (2 - 1,4)2 • 0,5 = 0,44 2 D(X2) = J>2 - E(X2)]2-k1(x2) = £9=0 = (-1 - 0,3)2 • 0,1 + (0 - 0,3)2 • 0,5 + (1 - 0,3)2 • 0,4 = 0,41 R(X1,X2) = C(X1,X2) 0,18 v^xöv^xä) VöMVöÄT = 0,42. I 9.19. Příklad Náhodná veličina X má střední hodnotu ß a rozptyl a2. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl centrované náhodné veličiny Y = X — ß a střední hodnotu a rozptyl standardizované náhodné veličiny U = —^. Řešení: E(Y) = E(X -ß) = E(X) - E{n) = ß-ß = 0; D(Y) = D(X -/i) = D(X) = a2, E(U) = E (?—^) = -E(X -ß) = --0 = 0. \ a J a a D(U) = D X~A 1D(X-ß) = ±a2 = l. a oc o* 9.20. Příklad Náhodné veličiny X, Y jsou náhodné chyby, které vznikají na vstupním zařízení. Mají střední hodnoty E(X) = —2, E(Y) = 4 a rozptyly D(X) = 4, 106 D (Y) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X,Y) = —0,5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X2 — 2XY + Y2 — 3. Najděte střední hodnotu chyby na výstupu. Řešení: E{Z) = E{3X2 - 2XY + Y2 - 3) = 3E{X2) - 2E{XY) + E(Y2) - E(3) = = 3 {D(X) + [E(X)]2} - 2 [C(X, Y) + E(X)E(Y)] + D(Y) + [E(Y)]2 - 3 = = 3[D(X) + [E(X)]2] - 2[R(X, Y)y/D(X)y/D(Y) + E(X)E(Y)] + D(Y)+ + [E{Y)f - 3 = 3(4 + 4) - 2[-0,5 • 2 • 3 + (-2) • 4] + 9 + 16 - 3 = = 24 + 22 + 25 - 3 = 68. 9.21. Věta Nechť náhodná veličina X má střední hodnotu ß a rozptyl a2. Pak platí Cebyševova nerovnost 2 Ve>0:P(\X-ß\ > e)<%. Označíme-li e = ta, pak pro Vŕ>0: P(\X - ß\ >ta) < —. (Význam Cebyševovy nerovnosti spočívá v tom, že pokud neznáme rozložení náhodné veličiny, ale známe její střední hodnotu a rozptyl, pak můžeme odhadnout pravděpodobnost, s jakou se od své střední hodnoty odchýlí o více než í-násobek své směrodatné odchylky.) I E{X) - ty/Ď(XJ E(X) E{X) + ty/Ď{X) 9.22. Příklad Nechť E{X) = /i, D{X) = a2. a) Odhadněte P(\X — /j, > 3a). b) Jestliže X ~ N(/j,, a2), vypočtěte P(\X — ß\> 3a). Řešení: ad a) P{\X-ß\ > 3a) < jj = | = 0,T. (Tento výsledek je znám jako pravidlo 3a a říká, že nejvýše 11,1% realizací 107 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin náhodné veličiny leží vně intervalu (ß — 3a, ß + 33a) = l-P(-3a Xo,025 (9), í0)9o(8), ío,o5(6), F0;975(5,7), ^055(8,6). 2 Nechť X ~ V(-l,4). Najděte X0,025(X). 3 Nechť Xi,X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny takové, že Xi ~ iV(2,4), X2 ~ N(-1,9). Vypočtěte 99% kvantil transformované náhodné veličiny Y = 2X\ — ZX2 + 5. 4 V zásilce 15 výrobků je 5 nekvalitních. Náhodná veličina X udává počet nekvalitních výrobků mezi čtyřmi náhodně vybranými výrobky. Vypočtěte její střední hodnotu a rozptyl, jestliže výběr byl proveden a) s vracením, b) bez vracení. (Návod: v bodě (a) má X binomické rozložení, v bodě (b) hypergeometrické.) 5 Sledovaná železniční trasa vykazuje velké nerovnosti, takže zatížení jednotlivé vozové nápravy náhodně kolísá, teoreticky spojitým způsobem. Prakticky jsou známy jen částečné informace, takže uvažujeme o diskrétní náhodné veličině X (náhodné zatížení v tunách) s pravděpodobnostní funkcí tt(x) = 0,15 pro x = 6, ir(x) = 0,65 pro x = 30, TT (x) = 0,2 pro x = 70, ir(x) = 0 jinak. Při kalkulaci nákladů se ekonom zajímá o střední opotřebení náprav dané vzorcem Y = 1,15X2. Vypočtěte střední hodnotu opotřebení. 6 Počet různých druhů zboží, které zákazník nakoupí při jedné návštěvě obchodu, je náhodná veličina X. Dlouhodobým sledováním bylo zjištěno, že X nabývá hodnot 0,1, 2, 3, 4 s pravděpodobnostmi 0,25, 0,55, 0,11, 0,07 a 0,02. a) Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X a nakreslete její graf. b) Vypočtěte střední hodnotu náhodné veličiny X. c) Vypočtěte rozptyl náhodné veličiny X. 7 Střelec střílí 3 x nezávisle na sobě do terče. Při každém výstřelu se trefí s pravděpodobností |. Za zásah získá 2 body, jinak ztratí 2 body. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl počtu získaných bodů. 8 Uvažme rodinu se třemi dětmi. Předpokládáme, že pravděpodobnost narození chlapce i dívky je stejná. Náhodná veličina X udává počet dívek v této rodině (má binomické rozložení) , transformovaná náhodná veličina Y = — 100X2 + 300X + 500 udává roční náklady (v dolarech) na ošacení dětí. Vypočtěte střední hodnotu náhodné veličiny Y. 9 Náhodná veličina X udává příjem manžela (v tisících dolarů) a náhodná veličina Y udává příjem manželky (v tisících dolarů). Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce ir(x,y) diskrétního náhodného vektoru (X,Y): vr(10,10) = 0,2, vr(10,20) = 0,04, vr(10,30) = 0,01, tt(10,40) = 0, vr(20,10) = 0,1, vr(20,20) = 0,36, vr(20,30) = 0,09, tt(20,40) = 0, vr(30,10) = 0, vr(30,20) = 0,05, vr(30,30) = 0,1, 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin 7t(30, 40) = 0, vr(40,10) = 0, vr(40, 20) = 0, vr(40, 30) = 0, vr(40, 40) = 0,05, TT (x, y) = 0 jinak. a) Vypočtěte korelační koeficient náhodných veličin X, Y. b) Vypočtěte střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny Z = 0,1X + 0,2V, která vyjadřuje příspěvek obou manželů na důchod. (Náhodná veličina Z vyjadřuje, že příspěvek na důchod činí 10% manželova platu a 20% manželčina platu.) 10 Náhodné veličiny X\,X2 mají kovarianci 12. Vypočtěte kovarianci náhodných veličin Ví = -8 + HXi, V2 = 6 - 4X2. 11 Náhodná veličina X udává výšku v metrech a náhodná veličina Y udává hmotnost v gramech. Jak se změní kovariance a koeficient korelace, jestliže výšku vyjádříme v cm a hmotnost v kg? 12 Náhodná veličina X má střední hodnotu ß a směrodatnou odchylku a. Kolik procent realizací této náhodné veličiny se bude nacházet v intervalu (ß — 2(7, ß + 2 0 : P n n *-^ Ve > 0 : lim P n—>oc ß 1 a ne^ 1 n n *-^ í=i \i > e 0. 112 (Uvedená věta se nazývá zákon velkých čísel nebo též Cebyševova věta. Její tvrzení říká, že posloupnost aritmetických průměrů konverguje podle pravděpodobnosti ke střední hodnotě ß. Tedy při dostatečně velkém počtu pokusů lze střední hodnotu odhadnout průměrem výsledků jednotlivých pokusů.) 10.3. Důsledek Nechť náhodná veličina Yn udává počet úspěchů v posloupnosti n opakovaných nezávislých pokusů, přičemž v každém pokusu nastává úspěch s pravděpodobností v. (Podle definice 8.2 (c) Yn ~ Bi(n, v)). Pak pro posloupnost relativních četností { — }™=1 platí: Ve > 0 : P Y n 1 ů(l-ů) neboli Ve > 0 : lim P n—>oc Y n n •d ne' > e > 1 0. ine2' (Tento důsledek Čebyševovy věty se nazývá Bernoulliova věta. Vyjadřuje skutečnost, že posloupnost relativních četností konverguje podle pravděpodobnosti k pravděpodobnosti úspěchu v. Tedy při dostatečně velkém počtu pokusů lze pravděpodobnost úspěchu odhadnout relativní četností úspěchu.) 10.4. Příklad Při výstupní kontrole bylo zjištěno, že mezi 3000 kontrolovanými výrobky je 12 zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že relativní četnost výskytu zmetku se od pravděpodobnosti výskytu zmetku neliší o více než 0, 01? Řešení: ^3000 - počet zmetků mezi kontrolovanými výrobky, Y3000 ~ Bi(3000, v). 12 3000' v ř« ^tt. Podle Bernoulliovy věty dostáváme: Ve > 0 : P Y n 1 ů(l-ů) > 1 1 ne' ine2' V našem případě e = 0,01, n = 3000, v 12 3000' tedy P Y, 3000 3000 Ů <0,01 > 1 12 2988 3000 3000 3000 • 0,0001 = 0,872. Již několikrát jsme se zmínili o tom, že normální rozložení je vůbec nejdůležitější typ rozložení. Centrální limitní věta nám dá odpověď na otázku, proč tomu tak je. Při praktických výpočtech se často používá důsledek centrální limitní věty, a to Moivreova-Laplaceova věta, která za určitých podmínek umožní nahradit složitý výpočet distribuční funkce binomického rozložení jednoduchým 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní věta hledáním v tabulkách hodnot distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení. Pokud však máme k dispozici statistický software, dáme přednost přesnému výpočtu před aproximativním. 10.5. Věta Nechť {Xn}r^=l je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, které mají všechny totéž rozložení se střední hodnotou ß a rozptylem a2. Pak pro posloupnost standardizovaných součtů Un Y^Xi-n/j, í=i oo rozložení N(0,1). (Lindebergova-Lévyova centrální limitní věta říká, že pro dostatečně velká n (praktickz stačí n > 30) lze rozložení součtu stochasticky nezávislých a stejně rozložených náhodných veličin aproximovat normálním rozložením N(nß,na2).) 10.6. Důsledek Nechť {Yn}r^=l je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, Yn ~ Bi(n, v), n = 1,2,... Pak platí: I Vy G R : lim P(Yn < y) = lim P Yn - nů < y — rvd °° ^71^(1-1?) "" y/nů(l-ů) y — m9 $ y/nůil-ů)) '' kde $(x) je distribuční funkce rozložení N{Q, 1). (Moivreova-Laplaceova věta tvrdí, že za určitých podmínek lze binomické rozložení aproximovat standardizovaným normálním rozložením. Aproximace se považuje za vyhovující, když jsou splněny podmínky ^-j-j- < v < ^-j- a nu(l - v) > 9.) 10.7. Příklad V určité skupině zaměstnanců je 10% s příjmem, který překračuje celostátní průměr. Kolik zaměstnanců z této skupiny je třeba vybrat, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 bylo mezi nimi 8% až 12% zaměstnanců s nadprůměrným příjmem? Řešení: X - počet zaměstnanců s nadprůměrným příjmem, Yn ~ Bi(n; 0,1), E(X) = 114 O,In, D {X) = 0,09n, 0,08 < — < 0,12 J = P(0,08n < X < 0,12n) '0,08-0,In X-0,ln 0,12 - 0,In p[-^< x~°>ln < ^) « $ (y/ň) _ $ f _v^ 15 - y/ÔfiÔň - 15 J \15 J V 15 = **[*)-1**(-) -°'975 tedy ^ > Mo,975 = 1,96 => \Jn > 29,4 =^ n > 865. Pro splnění podmínek je zapotřebí vybrat aspoň 865 zaměstnanců. Shrnutí kapitoly V této kapitole jsme ukázali, že již dříve vyslovený empirický zákon velkých čísel je speciálním případem obecnějšího zákona velkých čísel, který popisuje pravděpodobnostní chování posloupností aritmetických průměrů stochasticky nezávislých náhodných veličin s touž střední hodnotou a rozptylem. Důsledek tohoto zákona (zvaného též Cebyševova věta) jsme uvedli jako Bernoulliovu větu. Seznámili jsme se též s Lindebergovou-Lévyovou centrální větou, která tvrdí, že za určitých podmínek lze rozložení součtu náhodných veličin s jakýmkoliv rozložením aproximovat normálním rozložením. Toto tvrzení tedy vysvětluje důležitost normálního rozložení. Historicky starší než tato věta je její důsledek uváděný jako Moivreova-Laplaceova věta, která umožňuje aproximovat binomické rozložení normálním rozložením. Kontrolní otázky a úkoly 1 Pravděpodobnost, že výrobek má 1. jakost, je v = 0,9. Kolik výrobků je třeba zkontrolovat, aby s pravděpodobností aspoň 0,99 bylo zaručeno, že rozdíl relativní četnosti počtu výrobků 1. jakosti a pravděpodobnosti v = 0,9 byl v absolutní hodnotě menší než 0,03? K výpočtu použijte jak Bernoulliovu větu, tak Moivreovu-Laplaceovu větu a výsledky porovnejte. 2 Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 000 novorozenci bude a) více děvčat než chlapců. b) chlapců od 5 000 do 5 300. c) relativní četnost chlapců v mezích od 0,515 do 0,517? 3 Pravděpodobnost zásahu terče jedním výstřelem je 0,4. Kolikrát je třeba vystřelit, aby absolutní hodnota odchylky relativní četnosti zásahů od uvedené pravděpodobnosti byla menší než 0,02 s pravděpodobností aspoň 0,95? 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní věta I 116 11 Základní pojmy matematické statistiky I 11. Základní pojmy matematické statistiky Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ definovat náhodné výběry z jednorozměrného i vícerozměrného rozložení pravděpodobností ■ stanovit důležité statistiky pro náhodný výběr z jednorozměrného a dvourozměrného rozložení pravděpodobností ■ popsat vlastnosti těchto statistik ■ využít vlastností statistik odvozených z náhodného výběru z normálního rozložení při výpočtu konkrétních pravděpodobností Časová zátěž Pro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat asi 7 hodin studia. Nejprve zavedeme pojem náhodného výběru a vysvětlíme jeho souvislost s datovým souborem. Musíme si však uvědomit následující skutečnost: datový soubor obsahuje konstantní hodnoty znaků, zatímco složkami náhodného výběru jsou náhodné veličiny spojené s nějakým náhodným pokusem. I 11.1. Definice a) Nechť X\,... ,Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejné rozložení L{y). Řekneme, že Xi,..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozložení L (v). (Číselné realizace X\,..., xn náhodného výběru X\,..., Xn uspořádané do sloupcového vektoru představují datový soubor zavedený v popisné statistice v definici 1.9) b) Nechť (Xi,Y\),..., (Xn,Yn) jsou stochasticky nezávislé dvourozměrné náhodné vektory, které mají všechny stejné dvourozměrné rozložení L2(u). Řekneme, že (Xi, Yi),..., (Xn,Yn) je dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n z dvourozměrného rozložení L2Íy). (Číselné realizace (xi,yi),..., (xn, yn) náhodného výběru (Xí} Yi),..., (Xn, Yn) uspořádané do matice typu 2 x n představují dvourozměrný datový soubor zavedený v popisné statistice.) (Analogicky lze definovat p-rozměrný náhodný výběr rozsahu n z p-rozměr-ného rozložení Lp{y).) V matematické statistice velmi často pracujeme s transformacemi náhodného výběru. Těmto transformovaným náhodným veličinám říkáme statistiky. Zavedeme několik důležitých statistik a upozorníme na jejich souvislost s číselnými charakteristikami znaků, které jsme poznali ve 3. kapitole v popisné statistice. Protože statistiky jsou náhodnými veličinami, lze počítat jejich střední hodnotu a rozptyl. Ukážeme, jak se chovají tyto číselné charakteristiky některých statistik. 118 11.2. Definice Libovolná funkce T = T(Xi,... ,Xn) náhodného výběru Xi,... ,Xn (resp. T = T(Xi,Yi,..., Xn, Yn) náhodného výběru (Xi, Yi),..., (Xn, Yn)) se nazývá (výběrová) statistika. Statistika se nazývá výběrový průměr. M=-YX1 S2 = n —^{X.-Mf í=i S=VS2 výběrový rozptyl, výběrová směrodatná odchylka, S12 = —^ Y^{Xt - M^Yi - M2) n í=i výběrová kovariance (přitom M\ = - ^ Xi, M2 = - Yl ^í) a se nazývá výběrový koeficient korelace. (Číselné realizace m, s2, s, su, r u statistik M, S2, S, Su, Ru odpovídají číselným charakteristikám znaků v popisné statistice zavedeným definicích 3.6, 3.10 a 3.12, ale u rozptylu, směrodatné odchylky, kovariance a koeficientu korelace je multiplikativní konstanta ^-j-, nikoli ^, jak tomu bylo v popisné statistice.) 11.3. Věta a) Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozložení se střední hodnotou p a rozptylem a2. Pak E(M) = p, D(M) = ^, E(S2) = a2, ať jsou hodnoty parametrů p, a2 jakékoli. b) Nechť (Xi,Yi),... , (Xn,Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s kovariancí au a koeficientem korelace p. Pak E(Su) = cu-, ať je hodnota parametru au jakákoli, avšak E(Ru) je rovno p pouze přibližně (shoda je vyhovující pro n > 30), ať je hodnota parametru p jakákoli. Nyní se budeme zabývat náhodným váběrem z normálního rozložení. Zavedeme několik statistik vzniklých transformací výběrového průměru a výběrového rozptylu (jsou to tzv. pivotové statistiky) a ukážeme, jakým způsobem I 119 11. Základní pojmy matematické statistiky se tyto statistiky řídí. V příští kapitole využijeme těchto pivotových statistik při konstrukci intervalů spolehlivosti pro parametry normálních rozložení. V této kapitole nám uvedené vlastnosti poslouží při výpočtu různých pravděpodobností. 11.4. Věta Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(ß, a2). Pak platí a) Výběrový průměr M a výběrový rozptyl S2 jsou stochasticky nezávislé. b) M ~ N(ß, £), tedy U = ^f* ~ N(0,1). (Statistika U slouží ke kon-strukci intervalu spolehlivosti pro ß, když a2 známe.) c) K = (n — l)S2a2 ~ x2(n ~ !)• (Statistika K slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když ß neznáme.) E (^i-M)2 d) I~1 2----- ~ x2(n)- (Tato statistika, která nemá speciální označení, slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když ß známe.) e) T = _ M-ji V"' t(n — 1). (Statistika T slouží ke konstrukci intervalu spo- lehlivosti pro ß, když o neznáme.) 11.5. Příklad Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s normálním rozložením X ~ N(7g, 0,25 g2). Jaká je pravděpodobnost, že k přípravě 28 porcí kávy postačí dva 100 g balíčky? Řešení: Xi,..., X28 je náhodný výběr z N(7, 0,25). Počítáme KpH-Ksž*^) P M < 200 1>8" |M-7 2 a n2 > 2. Označme M\, M2 výběrové průměry a Sf, S2 výběrové rozptyly. Pak platí: a) Statistiky M\ — M2 (rozdíl výběrových průměrů) a o2 _ (»i - l)^i2 + (n2 - 1)S2 (vážený průměr výběrových rozptylů) jsou stochasticky nezávislé. b) M1-M2~N(fj,1-ij,2£ + 11 n2 ), tedy U = (Mi-y)-(^) _ ^(o, 1). 1 \ Zx+Z2- V nl n2 (Statistika U slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot ß\ — ß2, když rozptyly a2, a2 známe.) c) Jestliže a\ = a\ = a2, pak K = (rai+"2~2)g* ~ x2(ni+n2-2). (Statistika K slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro společný rozptyl a2, když střední hodnoty ß\ — ß2 neznáme.) d) Jestliže a2 = a2 = a2, pak T = ^~Mf~^-^) ~ t{m + n2-2). e) F ^7 A F(ni — l,n2 — 1). (Statistika F slouží ke konstrukci inter- valu spolehlivosti pro podíl rozptylů ^, když střední hodnoty Ui, a2 neznáme.) 11.8. Příklad Nechť jsou dány dva nezávislé náhodné výběry, první pochází z rozložení N (2; 1,5) a má rozsah 10, druhý pochází z rozložení iV(3,4) a má rozsah 5. Jaká je pravděpodobnost, že výběrový průměr 1. výběru bude menší než výběrový průměr 2. výběru? I 121 11. Základní pojmy matematické statistiky I Řešení: P(M1 < M2) P(Ml - M2 < 0) = (Mi - M2) - (/u P = P [/< JX2) <0 (^1 - (J>2) Z2. ri2 S pravděpodobností 85. průměr 2. výběru. = P (U < 1,05) = $(1,05) = 0,85314. je výběrový průměr 1. výběru menší než výběrový Shrnutí kapitoly Ústředním pojmem matematické statistiky je pojem náhodného výběru. a to jednorozměrného i vícerozměrného. Transformací jednoho nebo více náhodných výběrů vzniká náhodná veličina zvaná (výběrová) statistika. K nejdůležitějším statistikám patří výběrový průměr, výběrový rozptyl, výběrová směrodatná odchylka, výběrová kovariance, výběrový koeficient korelace. Jelikož statistika je náhodná veličina, má smysl počítat její střední hodnotu a rozptyl. Ukázali jsme si vlastnosti střední hodnoty a rozptylu výběrového průměru a střední hodnoty výběrového rozptylu, výběrové kovariance a výběrového koeficientu korelace. Zabývali jsme se rovněž rozložením výběrových statistik pro náhodné výběry z normálních rozložení, tzv. pivotových statistik. Jak uvidíme v dalších kapitolách, lze pomocí těchto pivotových statistik konstruovat intervaly spolehlivosti pro parametry normálních rozložení a testovat hypotézy o těchto rozloženích. Kontrolní otázky a úkoly 1 Kdy lze posloupnost náhodných veličin X\,..., Xn považovat za náhodný výběr? 2 Uveďte nejdůležitější statistiky odvozené z náhodného výběru, který pochází a) z jednorozměrného rozložení, b) z dvourozměrného rozložení. 3 Jaký je vztah mezi výběrovým rozptylem a rozptylem v popisné statistice? 4 Nechť Xi,... ,XW je náhodný výběr z iV(100,100). Jaké rozložení má výběrový průměr? 5 Předpokládáme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky ze statistiky normálně rozloženy kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Vypočtěte pravděpodobnost, že a) náhodně vybraný student bude mít výsledek nad 80 bodů b) průměr výsledků náhodně vybraných 10 studentů bude nad 80 bodů. 6 Nechť X\,... ,X2o je náhodný výběr z N(ß,a2). Najděte čísla k\, k2 tak, aby platilo P(4 < h) = 0,05 a P(4 > h) = 0,05. 122 12 Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí I 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Cíl kapitoly Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ posoudit nestrannost a asymptotickou nestrannost bodových odhadů parametrické funkce a pomocí rozptylu ohodnotit jejich kvalitu ■ sestrojit intervaly spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normálních rozložení ■ stanovit rozsah náhodného výběru tak, aby šířka intervalu spolehlivosti nepřesáhla dané číslo Časová zátěž Pro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat asi 8 hodin studia. Jak jsme poznali v předešlé kapitole, náhodný výběr je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin se stejným rozložením. Každé rozložení závisí na nějakém parametru nebo i více parametrech. Např. alternativní rozložení závisí na parametru v, exponenciální rozložení na parametru A, normální rozložení na parametrech \i a a2 apod. Tyto parametry neznáme, známe jenom náhodný výběr. Ukážeme si, jak lze na základě znalosti náhodného výběru odhadnout neznámý parametr či jeho funkci, tzv. parametrickou funkci. Je-li odhadem statistika, hovoříme o bodovém odhadu parametrické funkce. Existují různé typy bodových odhadů, nás budou zajímat odhady nestranné, asymptoticky nestranné a konzistentní. Je-li odhadem interval, jehož meze jsou statistiky a který s dostatečně velkou pravděpodobností pokrývá neznámou hodnotu parametrické funkce, jedná se o interval spolehlivosti. I 12.1. Motivace Vycházíme z náhodného výběru X\,..., Xn z rozložení L{y), které závisí na parametru v. Množinu všech přípustných hodnot tohoto parametru označíme 5. Parametr v neznáme a chceme ho odhadnout pomocí daného náhodného výběru (případně chceme odhadnout nějakou parametrickou funkci h(u)). Bodovým odhadem parametrické funkce h(u) budeme rozumět statistiku Tn = T(Xi,... ,Xn), která nabývá hodnot blízkých h(u), ať je hodnota parametru v jakákoliv. Existují různé metody, jak konstruovat bodové odhady (např. metoda momentů či metoda maximální věrohodnosti, ale těmi se zde zabývat nebudeme) a také různé typy bodových odhadů. Omezíme se na odhady nestranné a asymptoticky nestranné. Intervalovým odhadem parametrické funkce h{y) rozumíme interval (D, H). jehož meze jsou statistiky D = D{XÍ)..., Xn), H = H{XÍ)..., Xn) a který s dostatečně velkou pravděpodobností pokrývá h(u), ať je hodnota parametru v jakákoliv. Zaměříme se na intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí normálního rozložení. 124 Bodový odhad parametrické funkce by měl mít určité vhodné vlastnosti. Takovou vlastností může být pro jeden odhad nestrannost a pro posloupnost odhadu asymptotická nestrannost či konzistence. Kvalitu nestranného bodového odhadu lze posoudit pomocí rozptylu tohoto odhadu: čím menší rozptyl, tím kvalitnější odhad. 12.2. Definice Nechť Xi,... ,Xn je náhodný výběr z rozložení L (u), h(u) je parametrická funkce, T, Ti, T2, .. .jsou statistiky. a) Řekneme, že statistika T je nestranným odhadem parametrické funkce h(v), jestliže Ví? G S : E(T) = h(v). (Význam nestrannosti spočívá v tom, že odhad T nesmí parametrickou funkci h(u) systematicky nadhodnocovat ani podhodnocovat. Není-li tato podmínka splněna, jde o vychýlený odhad.) b) Jsou-li Ti, T2 nestranné odhady téže parametrické funkce h(u), pak řekneme, že Ti je lepší odhad než T2, jestliže Ví? G S : D (Ti) < D(T2). c) Posloupnost se nazývá posloupnost asymptoticky nestranných odhadů parametrické funkce h(u), jestliže Ví? G S : lim E(Tn) = h(u). n—>oo (Význam asymptotické nestrannosti spočívá v tom, že s rostoucím rozsahem výběru klesá vychýlení odhadu. Je zřejmé, že z nestrannosti okamžitě vyplývá asymptotická nestrannost.) c) Posloupnost se nazývá posloupnost konzistentních odhadů parametrické funkce h{y), jestliže Ví? G Z, Ve > 0 : lim P(\Tn - h{y)\ > e) = 0. n—>oo (Význam konzistence spočívá v tom, že s rostoucím rozsahem výběru klesá pravděpodobnost, že se odhad bude realizovat „daleko" od skutečné hodnoty parametrické funkce. Lze ukázat, že z asymptotické nestrannosti vyplývá konzistence, pokud posloupnost rozptylů konverguje kO.) 12.3. Příklad Nezávisle opakovaná měření určité konstanty ß jsou charakterizována náhodným výběrem Xi,... ,Xn z rozložení se střední hodnotou E(Xi) = (i n a rozptylem D(Xi) = a2, i = 1,... ,n. Uvažme statistiky M = - Y^ Xi a r __ X\+Xri í=l a) Dokažte, že M a L jsou nestranné odhady střední hodnoty ß. b) Zjistěte, který z těchto dvou odhadů je lepší. Řešení: ad a) (Ti \ Ti Ti -Í2Xi)=-Y,E{Xi) = -Y,» = -W = V í=i / í=i í=i E{L) = (^Y^j = l-E{Xi+Xn) = l-[E{Xi) +E(Xn)] = I 125 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí ad b) i=i/ í=i í=i D(L) = Ľ Al + A,; ^(Xi +Xn) = ^[DiXj + D(Xn)} a2 + a2 a2 4 2 Vidíme tedy, že M je lepší odhad než L pro n > 3. 12.4. Poznámka Ve větě 11.3, tvrzení (a), bylo uvedeno, že E(S2) = a2, tedy výběrový rozptyl S2 je nestranným odhadem rozptylu a2. (Odtud je také vidět, že ve vzorci pro výběrový rozptyl musí být konstanta -^-j-, nikoli ^, aby platilo E(S2) = a2.) Výběrová směrodatná odchylka S však není nestranným odhadem směrodatné odchylky a. Pak by totiž platilo E(S) = a, ovšem E(S2) = a2, tedy D(S) = E(S2) - [E(S)]2 = a2 - a2 = 0, což je možné jen tak, že S by byla konstanta. Nyní budeme definovat interval spolehlivosti pro parametrickou funkci, a to jak oboustranný, tak levostranný či pravostranný. Uvedeme doporučený postup při konstrukci intervalu spolehlivosti a ukážeme si, jaký vliv na šířku intervalu spolehlivosti má riziko a rozsah výběru. I 12.5. Definice Nechť Xi,... ,Xn je náhodný výběr z rozložení L (v), h(u) je parametrická funkce, a G (0,1), D = D(X\,... ,Xn), H = H(X\,... ,Xn) jsou statistiky. a) Interval (D,H) se nazývá 100(1 — a)% (oboustranný) interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(u), jestliže: W G S : P (D < h(u) < H) > 1 - a. b) Interval (D, oo) se nazývá 100(1—ot)% levostranný interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(u), jestliže: W G S : P (D < h(u)) >l-a. c) Interval (—oo, H) se nazývá 100(1 — ot)% pravostranný interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(u), jestliže: W G S : P(h(u) l-a. d) Číslo a se nazývá riziko (zpravidla a = 0,05, méně často 0,1 či 0,01), číslo 1 — a se nazývá spolehlivost. 126 12.6. Poznámka Doporučený postup při konstrukci intervalu spolehlivosti: a) Vyjdeme ze statistiky V, která je nestranným bodovým odhadem parametrické funkce h{y). b) Najdeme tzv. pivotovou statistiku W, která vznikne transformací statistiky V, je monotónní funkcí h{y) a přitom její rozložení je známé a na h(u) nezávisí. (Při konstrukci intervalů spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normálních rozložení používáme jako pivotové statistiky statistiky M, K, T, F z vět 11.4 a 11.7.) c) Pomocí známého rozložení pivotové statistiky W najdeme kvantily wa/2, Wi_a/2, takže platí: W E S : P(wa/2 < W < Wi-a/2) >l-a. d) Nerovnost wa/2 < W < u>i-a/2 převedeme ekvivalentními úpravami na nerovnost D < h(u) < H. e) Statistiky D, H nahradíme jejich číselnými realizacemi d, h a získáme tak 100(1 — ot)% empirický interval spolehlivosti, o němž prohlásíme, že pokrývá h(u) s pravděpodobností aspoň 1 — a. (Tvrzení, že (d, h) pokrývá h(u) s pravděpodobností aspoň 1 — a je třeba chápat takto: jestliže mnohonásobně nezávisle získáme realizace X\,... ,xn náhodného výběru Xi,... ,Xn z rozložení L (v) a pomocí každé této realizace sestrojíme 100(1 — a)% empirický interval spolehlivosti pro h(u), pak podíl počtu těch intervalů, které pokrývají h(u) k počtu všech sestrojených intervalů bude přibližně l — a.) 12.7. Věta Nechť (d, h) je 100(1 — ot)% empirický interval spolehlivosti pro h(u) zkonstruovaný pomocí číselných realizací X\,... ,xn náhodného výběru Xi,... ,Xn z rozložení L{y). a) Při konstantním riziku klesá šířka h — d s rostoucím rozsahem náhodného výběru. b) Při konstantním rozsahu náhodného výběru klesá šířka h—d s rostoucím rizikem. Nadále se budeme zabývat konstrukcí intervalů spolehlivosti pro parametry normálních rozložení. Vždy pro jednu konkrétní situaci podrobně odvodíme meze intervalu spolehlivosti a pro ostatní situace jen uvedeme přehled vzorců. Těm z vás, kteří mají hlubší zájem o statistiku, lze doporučit, abyste se pokusili uvedené vzorce odvodit a s využitím vlastností příslušných pivotových statistik, jak byly uvedeny ve větách 11.4 a 11.7. 12.8. Příklad Nechť X\,... ,Xn je náhodný výběr z rozložení N(ß,a2), přičemž n > 2 a parametry ß, a2 neznáme. Sestrojte 100(1 — ot)% interval spolehlivosti pro střední hodnotu ß a to a) oboustranný. 127 m ž m I 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí b) levostranný, c) pravostranný. Řešení: n h{v) = ß, V = M = \ Y,Xi, W = T = ^ ~ t(n - 1) (viz věta 11.4. í=l V" tvrzení (e)), wa/2 = ta/2(n - 1) = -ti_a/2(n - 1), Wi_a/2 = íi-«/20 - 1) ad a) W E E : l-a< P(-íi_a/2(n - 1) < T < ^.^(n - 1)) = M — ß P | -íl-a/2(rc - 1) < -----š----- < *l-a/2(« ~ 1) - 4=íi-Q/2(n - 1) < ^ < M + 4=íi-a/2(n - 1) ad b) Vi? G S : 1 - a < P (T < h-a{n - 1)) = M - ß = P S C Í!_a(n - 1) ) == P [ M - -^h-ain -l)<ß ad c) W e ~ : 1-a < P(ta(n - 1) < T) = P tta(n - 1) < ^-^ = P[ß2. a) Interval spolehlivosti pro ß, když a2 známe Oboustranný: (d,h) = (m - -^Ui_a/2,m + -^Ui_a/2 Levostranný: (d, oo) = (m—y^U\-a,oo\ Pravostranný: (—00, h) = ŕ— 00,m + -j^Ui_a\ b) Interval spolehlivosti pro ß, když a2 neznáme Oboustranný: (d,h) = (m - -^ti_a/2(n - l),m + -^ti_a/2(n - 1)J Levostranný: (d, 00) = (m—4=ri_a(n — l),oo) Pravostranný: (—00, h) = í —00, m + -j^ti-a{n — 1) j c) Interval spolehlivosti pro a2, když ß neznáme Oboustranný: (d, h) = (x^-i). j^S) Levostranný: (d, 00) = ( Jľjf^-1)' °° Pravostranný: (—00, h) = (—co. (n-l)s2 Xl(n-1) d) Interval spolehlivosti pro a2, když ß známe n n Oboustranný: {d, h) = | ^—^, %h" Ľ (^í-m)2 Levostranný: (d, 00) == ( ^—(ňj-)00 Pravostranný: (—00, h) = I —oo. E {xi-iiy :=i X2W 12.10. Příklad Nechť Xi,..., Xra je náhodný výběr z rozložení iV(/i, 0,04). Jaký musí být minimální rozsah výběru, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro ß nepřesáhla číslo 0,16? Řešení: Podle 12.9 (a) dostáváme: 0,16 >h-d = m+ —=Ui_a/2 - m + —=Ui_a/2 = 2—=ui_a/2 => \/n \/n \/n 4^i-«/2 4-0,04-l,962 nAM n > ----------^— =-------------TT2-----= 24,01 => n > 25. - 0,162 0,162 I 129 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí 12.11. Příklad Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n\ > 2, n2 > 2, první pochází z rozložení N(ßi, a2), druhý z rozložení N(ß2, c2), kde parametry ßi, ß2, er2 neznáme. Sestrojte 100(1 — ot)% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot ß\ — ß2- Řešení: h[y) = ß, V = Mi — M2, W = 1 =--------------. --------~ t(n\ + n2 — 2) s*yň + ň (viz věta 11.7, tvrzení (d)), wa/2 = ta/2(ni + n2 - 2) = -ti-a/2(ni + n2 - 2). Wi-a/2 = ti_a/2(ni + n2-2). W G S : 1 - a < P(-íi_a/2(ni + n2 - 2) < T < íi_a/2(ni + n2 - 2)) = = P ( -íW2(n1+n2 -2) < (Ml"M;)i"(^1i"^2)) = = p(m1-M2-S** — + — íi_a/2(ni+n2-2) < ^i - M2 < V V "-1 "-2 < Mi - M2 + S^/— + —íi-a/2(ni +n2 - 2] n\ n2 Konkrétní aplikace: Ve dvou nádržích se zkoumal obsah chlóru (v g/l). Z první nádrže bylo odebráno 25 vzorků, z druhé nádrže 10 vzorků. Byly vypočteny realizace výběrových průměrů a rozptylů: rri\ = 34,48, m2 = 35,59, s^ = 1,7482, s2, = 1,7121. Hodnoty zjištěné z odebraných vzorků považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozložení N(ßi,a2) a N(ß2, er2). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot ß\ — ß2- Řešení: 2 _ (ni-l)sf+(n2-l)s| _ 24-1,7482+9-1,7121 _ * ~ T11+T12-2 33 = 1,7384, r0)975(33) = 2,035 d = mi-m2- s*W------1-----ri_«/2(^i + n2 - 2) " ri\ U2 34,46 - 35,59 - ^1,7384^ + -^ • 2,035 = -2,114 I / 1 1 h = mi - m,2 + s*W------1-----íi-aM^i + n2 - 2) = '' ni n2 1 1 = 34,46 - 35,59 + ^1,7384*/ — + — • 2,035 = -0,106 V ■"O 1U -2,114g/l < ßi — ß2 < —0,106 g/l s pravděpodobností aspoň 0,95. 130 12.12. Příklad Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích 771 > 2, 772 > 2, první pochází z rozložení N(ßi,af), druhý z rozložení ÍV(/J2, c^), kde parametry ßi, ß2, o~f, o~\ neznáme. Sestrojte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro podíl 2 rozptylů t-. Řešení: fc(i/) = J F = j, W = F = || ~ F(m- l,n2- 1) (viz věta 11.7, tvrzení (e)), wa/2 = Fa/2(ni - l,n2 - 1), Wi-«/2 = ^1-0/2(^1 - l,n2 - 1). W G S : 1 -a < P(Fa/2(m - 1, n2 - 1) < f1 < Fx_aj2{ni - l,n2 - 1)) = ^ I f1a/2(«l - l,n2 -1) < -^ < Fí_a/2{ní ~ 1,™2 ~1) P I ^-------^---------rr < % < sl 1,7482 1,7482 Si 1,7121 1,7121 " 3,6142 " = 0,28 F^/aím-1,712-1) F0)975(24,9) ■S'l 1,7482 1,7482 #2 1,7121 1,7121 ^(tH-I, 772-1) F0;025(24,9) 1 Fo,97b(9,24) 1,7482 1>7Í21 - 2,76 f1i-a/2("-i - l,"-2 - 1) " 2 a 772 > 2. a) Interval spolehlivosti pro ß\ — ß2, když a\, a\ známe Oboustranný: (d, h) = [nu -m2-^i+ ^u1_a/2,m1 - m2 - \J^ + 3«i-«/2 Levostranný: (d, 00) = lm1-m2- yj^ + ^«i-«, 00 J 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Pravostranný: (-00, h) = í -00, m1 - m2 - \J^ + ^«i-« J b) Interval spolehlivosti pro ß\— ß2, kdyžaf, a\ neznáme, ale víme, že jsou shodné Oboustranný: \ml - m2 - s*J^ + Mi_a/2(ni + n2 - 2). m1-m2 + s*a/^- + Mi-a/2(ni + n2 - 2)J Levostranný: (d, 00) = í mi - m2 - s*a/^ + ^i-«/2(^i + n2 - 2), 00J Pravostranný: (-00, h) = (-00, mi - m2 + s*y ^- + ^íi-a/2(wi + n2 - 2)J c) Interval spolehlivosti pro společný neznámý rozptyl a2 Oboustranný: (d, h) = í-ímámz^ň-------K+»2-2)^ Levostranný: (d, 00) = (^g^g^,oo) Pravostranný: (—00, h) = (—co, ^l-c«/2(ral+ra2-2)' x2a/2(ni+n2-2) (ni+ri2-2)s1 xl(n1+n2-2) I d) Interval spolehlivosti pro podíl rozptylů -^ Oboustranný: (d, h) = I F1-a/2(n1-l,n2-l) ' Fa/2(n1-l,n2-l) I Fi_a(rai-l,ra2-l); oc Levostranný: (d, 00) = Pravostranný: {-00, h) = 12.14. Poznámka Není-li v bodě (b) věty 12.13 splněn předpoklad o shodě rozptylů, lze sestrojit aspoň přibližný 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro ß\ — ß2. V tomto případě má statistika T přibližně rozložení t(u), kde počet stupňů volnosti v = sV2 ni n2 ni—1 n2—1 I Není-li v celé číslo, použijeme v tabulkách kvantilů Studentova rozložení lineární interpolaci. Předpoklad o shodě rozptylů lze ověřit tak, že sestrojíme 100(1 — ot)% interval 2 spolehlivosti pro ^\. Pokud tento interval bude obsahovat 1, lze s pravděpo- a2 dobností 1 — a považovat rozptyly za shodné. 132 12.15. Věta Nechť y ),...,( ™ ] je náhodný výběr z rozložení N. WW12 o\ ßl\ { 0{ (712 přičemž n > 2. Označíme ß = ß\ — ß2 a zavedeme rozdílový náhodný výběr Z1 = X1-Y1,...,Zn = Xn- Yn. Nechť 1 n _. n M=-]>>, 52 = ^-J](^-M)2. n *-^ n — 1 -^—' í=i í=i Pak statistika T = ^ ~ t(n - 1), tudíž meze 100(1 — a)% intervalu spo-lehlivosti pro ß jsou M ± -4=ri_a/2(n — !)• 12.16. Příklad Bylo vybráno šest nových automobilů téže značky a po určité době bylo zjištěno, o kolik mm se sjely jejich pravé a levé přední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika se sjela 0: 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika se sjela 0: 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Za předpokladu, že naměřené dvojice hodnot představují číselné realizace náhodného výběru rozsahu 6 z dvourozměrného normálního rozložení N- ßl\ (T{ 0"12 21VJ' U12 °l " ; sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot ßl - ß2- Řešení: *i = 0,3, z2 = -0,1, z3 = 0,2, z4 = -0,2, z5 = 0,1, z6 = 0,2, m = 0,0833, s = 0,1941, o; = 0,05. s 0,1941 d = m------=ti-a/2(n - 1) = 0,0833-----L^^r0,975(5) = \Jn V6 0 1941 = 0,0833 - ' ^ 2,5706 = -0,12 s 0,1941 h = m + -^ti_a/2(n - 1) = 0,0833 + ^0,975 (5) = \Jn V6 0,1941 = 0,0833 + ' ^ 2,5706 = 0,29. -0,12 mm < ßi — ß2 < 0,29mm s pravděpodobností aspoň 0,95. I 133 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Shrnutí kapitoly Na základě znalosti náhodného výběru aproximujeme neznámou hodnotu parametru či parametrické funkce bodovým odhadem parametrické funkce. Zpravidla požadujeme, aby tento odhad měl jisté žádoucí vlastnosti. K těm patří nestrannost, resp. asymptotická nestrannost či konzistence, pokud pracujeme s posloupností bodových odhadů téže parametrické funkce. Bodové odhady však mají jednu značnou nevýhodu - nevíme, s jakou pravděpodobností odhadují hodnotu neznámé parametrické funkce. Tuto nevýhodu odtraňují intervalové odhady parametrické funkce: jsou to intervaly, jejichž meze jsou statistiky a které s předem danou dostatečně velkou pravděpodobností pokrývají hodnotu neznámé parametrické funkce. Pokud do vzorců pro meze 100(1 — ot)% intervalu spolehlivosti pro danou parametrickou funkci dosadíme číselné realizace náhodného výběru, dostaneme 100(1 — a)% empirický interval spolehlivosti. V praxi se nejčastěji používají intervaly spolehlivosti pro parametry normálních rozložení. Proto jsme si uvedly předhled vzorců pro meze 100(1 — a)% empirických intervalů spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normálních rozložení. I Kontrolní otázky a úkoly 1 Definujte nestranný odhad a asymptoticky nestranný odhad parametrické funkce. V čem spočívá význam nestrannosti a asymptotické nestrannosti? 2 (S) Přírůstky cen akcií na burze v New Yorku u 10 náhodně vybraných společností dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Najděte nestranné bodové odhady střední hodnoty a rozptylu přírůstků cen akcií. 3 Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozložení Rs(0, b), kde b > 0 je neznámý parametr. Jsou definovány statistiky 7\ = Xi + \X2 + |X3 + |X4 a T2 = \{X\ + X2 + X3 + X4). Ukažte, že 7\, T2 jsou nestranné odhady parametru b a určete, který odhad je lepší. 4 Definujte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro parametrickou funkci, a to jak oboustranný, tak jednostranné intervaly spolehlivosti. 5 Jaký vliv na šířku intervalu spolehlivosti má zvýšení rizika při konstantním rozsahu výběru? 6 Jaký vliv na šířku intervalu spolehlivosti má zvětšení rozsahu výběru při konstantním riziku? 7 Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby měření mají normální rozložení se směrodatnou odchylkou a = lva. Kolik měření je nutno provést, aby se hloubka moře stanovila s chybou nejvýše ±0,25 m při riziku 0,05? 8 U jistého měřícího zařízení má být posouzena jeho přesnost. Proto na něm byla nezávisle změřena délka téhož výrobku. Výsledky měření v cm 134 byly: 15,15; 15,20; 15,04; 15,14; 15,22. Předpokládáme, že tyto výsledky jsou číselné realizace náhodného výběru rozsahu 5 z rozložení N(/j,, a2). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozptyl a2. 9 Sponzor televizních pořadů pro děti chce vědět, kolik času stráví děti sledováním televize, protože na těchto informacích závisí typy a počty programů. Náhodným výběrem 100 dětí se zjistilo, že sledování televize věnují týdně průměrně 27,5 h se směrodatnou odchylkou 8 h. Za předpokladu, že počet hodin strávený za týden sledováním televize se řídí normálním rozložením, sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu hodin strávených týdně sledováním televize. 10 (S) Na jisté velké americké univerzitě bylo v r. 1969 náhodně vybráno 5 profesorů a nezávisle na tom 5 profesorek a byl zjištěn jejich roční příjem (v tisících dolarů). Muži: 16, 19, 12, 11, 22, ženy: 9, 12, 8, 10, 16. Předpokládáme, že uvedené údaje tvoří realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozložení N(ßi,a2) a iV(//2,er|). a) Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů příjmů mužů a žen. b) Pokud bude uvedený interval spolehlivosti obsahovat 1, sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot příjmů mužů a žen. V opačném případě sestrojte aspoň přibližný interval spolehlivosti. 11 (S) Pět mužů se rozhodlo, že budou hubnout. Zjistili svou hmotnost před zahájením diety a po ukončení diety. Číslo osoby 1 2 3 4 5 Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5 Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97 Za předpokladu, že uvedené údaje jsou číselné realizace náhodného výběru rozsahu 5 z dvourozměrného normálního rozložení sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro středních hodnotu úbytku hmotnosti. 135 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí I 136 13 Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení I 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Cíl kapitola Po prostudování této kapitoly budete umět: ■ formulovat nulovou a alternativní hypotézu ■ stanovit testové kritérium a kritický obor pro test nulové hypotézy proti oboustranné alternativě i proti jednostranným alternativám ■ posoudit sílu testu pomocí grafu silofunkce ■ provádět testy hypotéz o parametrech normálního rozložení třemi různými způsoby Časová zátěž Pro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat asi 8 hodin studia. V této kapitole se budeme zabývat problémem, jak pomocí statistiky vzniklé transformací daného náhodného výběru rozhodnout, zda naše domněnka o parametru rozložení, z něhož náhodný výběr pochází, je správná. Například známe průměrnou hmotnost automaticky balených potravinářských výrobků určitého druhu zjištěnou před a po seřízení balícího automatu. S pravděpodobností 95% máme prokázat, že střední hodnota hmotnosti balíčků se seřízením automatu změnila. Statistické postupy, které řeší podobné problémy, se nazývají testy hypotéz. Nejprve objasníme pojmy nulová hypotéza a alternativní hypotéza a vysvětlíme, kdy dojde k chybě 1. druhu či 2. druhu. 13.1. Motivace Testování hypotéz patří k nejdůležitějším metodám matematické statistiky. Na základě znalosti náhodného výběru umožní s předem danou pravděpodobností ověřovat domněnky o parametrech rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází. 13.2. Definice Nechť X\,... ,Xn je náhodný výběr z rozložení L{y), kde parametr í) G 5 neznáme. Nechť h{y) je parametrická funkce a c daná reálná konstanta. Tvrzení H0 : h(u) = c se nazývá nulová hypotéza, tvrzení Hi : h(u) ^ c se nazývá oboustranná alternativní hypotéza, tvrzení Hi : h(u) < c se nazývá levostranná alternativní hypotéza, tvrzení Hi : h(u) > c se nazývá pravostranná alternativní hypotéza. Testováním H0 proti H\ rozumíme rozhodovací postup založený na náhodném výběru X\,... ,Xn, s jehož pomocí zamítneme či nezamítneme platnost nulové hypotézy. I 13.3. Poznámka Volba alternativní hypotézy není libovolná, ale vyplývá z konkrétní situace. Např. při současné technologii je pravděpodobnost vyrobení zmetku v = 0,01. a) Po rekonstrukci výrobní linky byla obnovena výroba, přičemž technologie zůstala stejná. Chceme ověřit, zda se změnila kvalita výrobků. Testujeme H0 : v = 0,01 proti H\ : v ^ 0,01. 138 b) Byly provedeny změny v technologii výroby s cílem zvýšit kvalitu. V tomto případě tedy testujeme H0 : v = 0,01 proti H\ : v < 0,01. c) Byly provedeny změny v technologii výroby s cílem snížit náklady. V této situaci testujeme H0 : v = 0,01 proti H\ : v > 0,01. 13.4. Definice Při testování H0 proti H\ se můžeme dopustit jedné ze dvou chyb: chyba 1. druhu spočívá v tom, že H0 zamítneme, ač ve skutečnosti platí a chyba 2. druhu spočívá v tom, že H0 nezamítneme, ač ve skutečnosti neplatí. Situaci přehledně znázorňuje tabulka: skutečnost rozhodnutí H q nezamítáme Hq zamítáme H0 platí správné rozhodnutí chyba 1. druhu Hq neplatí chyba 2. druhu správné rozhodnutí Pravděpodobnost chyby 1. druhu se značí a a nazývá se hladina významnosti (většinou bývá a = 0,05, méně často 0,1 či 0,01). Pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí ß. Číslo 1 — ß se nazývá síla testu a vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou test vypoví, že Hq neplatí. Při daném rozsahu výběru vede snižování a ke růstu ß a obráceně. Nyní si ukážeme tři způsoby, jimiž lze provést test nulové hypotézy proti alternativní hypotéze. Klasický způsob spočívá v nalezení kritického oboru. Testování pomocí intervalu spolehlivosti navazuje na poznatky získané ve 12. kapitole. Moderní způsob založenýý nap-hodnotě je vhodný především tehdy, máme-li k dispozici statistický software. Všechny tři způsoby použijeme při řešení konkrétnho příkladu. 13.5. Poznámka Testování Hq proti H\ na hladině významnosti a je možno provádět třemi různými způsoby: a) pomocí kritického oboru b) pomocí intervalu spolehlivosti c) pomocí p-hodnoty. ad a) Najdeme statistiku T0 = T0(Xi,... ,Xn), kterou nazveme testovým kritériem. Množina hodnot, jichž může testové kritérium nabýt, se rozpadá na dva neslučitelné obory: obor nezamítnutí nulové hypotézy (značí se V) a obor zamítnutí nulové hypotézy (značí se W a nazývá se též kritický obor). Tyto dva obory jsou odděleny krytickými hodnotami (pro danou hladinu významnosti a je lze najít ve statistických tabulkách). Jestliže číselná realizace ío testového krytéria T0 padne do kritického oboru W, pak nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti a a znamená to skutečné vyvrácení testované hypotézy. Jestliže t0 padne do oboru nezamítnutí V, pak jde o pouhé mlčení, které platnost nulové hypotézy jenom připouští. 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Pravděpodobnosti chyb 1. a 2. druhu nyní zapíšeme takto: P(t0 E W\H0 platí) = a, P(t0 G V\Hľ platí) = ß. Stanovení kritického oboru pro danou hladinu významnosti a: Označme tm[n (resp. ímax) nejmenší (resp. největší) hodnotu testového kritéria. Kritický obor v případě oboustranné alternativy má tvar W = (ímin, Ka/2(T)) U (Xi_«/2(T),ŕmax); kde Ka/2(T) a Ki_a/2{T) jsou kvantily rozložení, jímž se řídí testové kritérium T0, je-li testová hypotéza pravdivá. Kritický obor v případě levostranné alternativy má tvar: W=(tmin,Ka/2(T)}: v případě pravdostranné alternativy má kritický obor tvar W={K1_a/2(T),tmSíX). I ad b) Sestrojíme 100(1 — a)% empirický interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h{y). Pokryje-li tento interval hodnotu c, pak Ho nezamítáme na hladině významnosti a, v opačném případě H0 zamítáme na hladině významnosti a. Pro test H0 proti oboustranné alternativě sestrojíme oboustranný interval spolehlivosti. Pro test H0 proti levostranné alternativě sestrojíme pravostranný interval spolehlivosti. Pro test H0 proti pravostranné alternativě sestrojíme levostranný interval spolehlivosti. ad c) p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti pro zamítnutí nulové hypotézy. Je-li p-hodnota < a, pak H0 zamítáme na hladině významnosti a, je-li p-hodnota > a, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti a. Způsob výpočtu p-hodnoty: Pro oboustrannou alternativu: p = 2min{P(T0 < to),P(T0 > t0)}- Pro levostrannou alternativu: p = P(T0 < to), pro pravostrannou alternativu: P = P(To>to). p-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace náhodného výběru X\,... ,Xn podporují H0, je-li pravdivá. Statistické programové systémy poskytují ve svých výstupech p-hodnotu. Její výpočet vyžaduje znalost distribuční funkce rozložení, kterým se řídí testové kritérium T0, je-li Ho pravdivá. Vzhledem k tomu, že v běžných statistických tabulkách jsou uvedeny pouze hodnoty distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení, bez použití speciálního software jsme schopni vypočítat p-hodnotu pouze pro test hypotézy o střední hodnotě normálního rozložení při známém rozptylu. 140 Ilustrace významu p-hodnoty pro test nulové hypotéza proti oboustranné, levostranné a pravostranné alternativě: - p-hodnota - p-hodnota p-hodnota (Zvonovitá křivka reprezentuje hustotu rozložení, kterým se řídí testové kritérium, je-li nulová hypotéza pravdivá.) 13.6. Poznámka Provádíme-li test nulové hypotézy proti alternativní hypotéze pomocí kritického oboru, doporučuje se dodržet následující postup: 1. Stanovíme nulovou hypotézu a alternativní hypotézu. Přitom je vhodné zvolit jako alternativní hypotézu ten předpoklad, jehož přijetí znamená závažné opatření a mělo by k němu dojít jen s malým rizikem omylu. 2. Zvolíme hladinu významnosti a. Zpravidla volíme a = 0,05, méně často 0,1 nebo 0,01. 3. Najdeme vhodné testové kritérium a na základě zjištěných dat vypočítáme jeho realizaci. 4. Stanovíme kritický obor. 5. Jestliže realizace testového kritéria padla do kritického oboru, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti a. V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti a. 13.7. Příklad 10 x nezávisle na sobě byla změřena jistá konstanta n. Výsledky měření byly: 2; 1,8; 2,1; 2,4; 1,9; 2,1; 2; 1,8; 2,3; 2,2. Tyto výsledky považujeme za číselné realizace náhodného výběru X\,..., Xw z rozložení N(ß, 0,04). Nějaká teorie tvrdí, že ß = 1,95. Proti nulové hypotéze H0 : ß = 1,95 postavíme oboustrannou alternativu Hi : ß ^ 1,95. Na hladině významnosti 0,05 testujte H0 proti Hi. Řešení: m = ^(2 + • • • + 2,2) = 2,06, a2 = 0,04, n=10,a = 0,05, c = 1,95 a) Test provedeme pomocí kritického oboru. Pro úlohy o střední hodnotě normálního rozložení při známém rozptylu používáme pivotovou statistiku U = -^^ ~ ÍV(0,1) (viz věta 11.4 (a)). Testové kritérium tedy bude T0 = -^f^ a bude mít rozložení N(0,1), pokud je H0 pravdivá. Vypočítáme realizaci testového kritéria: ío = 2'060~1'95 = 1,74. Stavbo novíme kritický obor: W = (tmia,Ka/2(T)) U (Xl-a/2(T),ŕmax) = (-oo,tía/2) U (tíi_a/2,oo) = = (-00, -tti_«/2) U (ttl-a/2, OO) = (-00, -tto,975) U (tt0,975, Oo) = = (-00, -1,96) U (1,96, 00) I 141 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Protože 1,74 ^ W, Hq nezamítáme na hladině významnosti 0,05. b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti. Meze 100(1 — ot)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu ß při známém rozptylu a2 jsou (viz věta 12.9 (a)): (d, h) = [m- -j^Ui_a/2,m + -^Ui_a/2)■ V našem případě d = 2,06 0,2 ^0,975 2,06 0,2 1,96= 1,936, h= 2,184. Protože 1,95 G (1,936; 2,184), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05. c) Test provedeme pomocí p-hodnoty. Protože proti nulové hypotéze stavíme oboustrannou alternativu, použijeme vzorec p = 2min{P(T0 < tQ),P(TQ > í0)} = 2min{P(T0 < 1,74), P(T0 > 1,74)} = = 2 min{$(l,74), 1 - $(1,74)} = 2 min{0,95907,1 - 0,95907} = 0,08186 Jelikož 0,08186 > 0,05, Hq nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Nadále se budeme zabývat tastováním hypotéz o parametrech normálního rozložení. Ukážeme si různé typy testů a naučíme se je provádět pomocí kritického oboru. 13.8. Definice a) Nechť X\,... ,Xn je náhodný výběr N(ß,a2), kde a2 známe. Nechť n > 2 a c je konstanta. Test H0 : ß = c proti Hi : ß ^ c se nazývá z-test. b) Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr N(ß, a2), kde a2 neznáme. Nechť n > 2 a c je konstanta. Test H0 : ß = c proti H\ : ß ^ c se nazývá jednovýběrový t-test. c) Nechť Xn,..., Xnií je náhodný výběr z rozložení N(ß\, a2) a Xí2,.... Xn22 je na něm nezávislý náhodný výběr rozložení N(ß2,a2), přičemž ni > 2 a n2 > 2 a a2 neznáme. Nechť c je konstanta. Test H0 : ß\—ß2 = c proti Hi : ßi — ß2 ^ c se nazývá dvouvýběrový t-test. d) Nechť Xr Y je náhodný výběr z rozložení I N2 ß2 A (TU 0"12 ď2 přičemž n > 2 a, žádný parametr neznáme. Nechť c je konstanta. Test H0 : ßi — ß2 = c proti iíi : ß\ — ß2 ^ c se nazývá párový t-test. e) Nechť Xn,..., Xraii je náhodný výběr z rozložení N(ß\, a2) a Xi2,..., X„22 je na něm nezávislý náhodný výběr rozložení N(ß2,a2), přičemž 2 2 řii > 2 a i!2 > 2. Test ií0 : -^ = 1 proti Zři : ^ 7^ 1 se nazývá F-test. f) Nechť X1;... ,Xra je náhodný výběr N(ß,a2), kde // neznáme. Nechť n > 2 a c je konstanta. Test iío : o2 = c proti íři : a2 ^ c se nazývá teší o rozptylu. 142 13.9. Věta Návody na provedení výše popsaných šesti typů testů pomocí kritického oboru. a) Provedení z-testu Hypotézu Ho : ß = c proti Hi : ß ^ c (resp. Hi : ß < c resp. Hi : ß > c) zamítáme na hladině významnosti cü, jestliže \/ň < tíi_„ resp. y/ň > Ul-a)- y/n, > u l-a/2 (resp. b) Provedení jednovýbérového ŕ-testu Hypotézu Ho : ß = c proti iíi : ß / c (resp. Hi : ß < c resp. Hi : ß > c) > ti-a/2(n - 1) zamítáme na hladině významnosti cü, jestliže >íl-a(n-l)). (resp. 22V£ < ti_a(n — 1) resp. c) Provedení dvouvýbérového ŕ-testu Hypotézu H0 : ßi~ß2 = c proti íŕi '■ ßi~ß2 / c (resp. Hi : ßi—ß2 < c resp. Hi : ßi — ß2 > c) zamítáme na hladině významnosti cü, jestliže mi — TO2 — c i i > ŕi_«/2(ni + 772 - 2) (resp. ^ffiq= < ^.„(m+ 712-2) resp. m^~l > t1-a{n1 + n2-2)). *V "1 "2 Provedení párového í-t Od náhodného výběru »1 "9 Xr z dvourozměrného normální- d) Provedení párového í-testu 'x: Yij>y>\Yn ^ ho rozložení přejdeme k rozdílovému náhodnému výběru Z\ = Xi — Fi,... , Zn = Xn — Yn. Označíme /j = /Ji — /i2- Pak jde o test hypotézy H0 : ß = c proti H\ : ß / c & úloha je pře vedná na jednováběrový í-test. e) Provedení F-testu 2 2 2 Hypotézu Ho : ^ = 1 proti íŕi : ^ + 1 (resp. íŕi : ^ < 1 resp. 1) zamítáme na hladině významnosti cü, jestliže I < Fa/2(m + n2 - 2) nebo > ^1-0/2(^1 +772 - 2) (resp. 4 < Fa(rii + n2 - 2) resp. 4 > Fi_„(77i + n2 - 2)). f) Provedení testu o rozptylu Hypotézu H0 : a2 = c proti íŕi : a2 / c (resp. íŕi : c) zamítáme na hladině významnosti a, jestliže (77- l)s: < xl/2Ín- 1) nebo (77- l)ss > XÍ-a/2(n- 1) (resp. (n-l)s2 X?-a(«-l))- 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení I 13.10. Příklad Je-li u automatického obráběcího stroje rozptyl délky obráběných součístek větší než 380 ßm2, je třeba stroj znova nastavit. Náhodně jsme vybrali 15 součástek a změřili jejich délku. Výběrový rozptyl zjištěných 15-ti délek činil 680 ßm2. Za předpokladu, že délky se řídí normálním rozložením testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že stroj je třeba znova nastavit. Řešení: Xi,... ,X15 je náhodný výběr z rozložení N(ß,a2), přičemž s2 = 680ßm2. Testujeme H0 : a2 = 380 ßm2 proti pravostranné alternativě, která má tvar H\ : a2 > 380 ßm2, na hladině významnosti 0,05. Podle bodu (f) věty 13.9 dostáváme: realizace testového kritéria (n-l)s2 14-680 380 = 25,05. Přitom xí-a(n ~ 1) = Xo,95(14) = 23,685. Protože 25,05 > 23,685, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05. Zjištěná data nás tedy opravňují k tomu, abycho stroj znovu seřídili (s rizikem 5%, že budeme provádět zbytečnou práci). Shrnutí kapitoly Tvrzení o parametrech rozložení, z něhož pochází daný náhodný výběr, nazýváme nulovou hypotézou. Proti nulové hypotéze stavíme alternativní hypotézu, která říká, co platí, když neplatí nulová hypotéza. Při testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze se můžeme dopustit buď chyby 1. druhu (nulovou hypotézu zamítneme, ač ve skutečnosti platí) nebo chyby 2. druhu (nulovou hypotézu nezamítneme, ač ve skutečnosti neplatí). Pravděpodobnost chyby 1. druhu se značí a a nazývá se hladina významnosti testu. Klasický přístup k testování hypotéz spočívá v nalezení vhodného testového kritéria. Množina hodnot, jichž může testové kritérium nabýt, se rozpadá na obor nezamítnutí nulové hypotézy a na kritický obor. Tyto dva neslučitelné obory jsou odděleny kritickými hodnotami. Pokud se testové kritérium realizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti a a přijímáme alternativní hypotézu. V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti a. Tím jsme ovšem neprokázali její pravdivost, můžeme pouze říci, že naše data nejsou natolik průkazná, abychom mohli nulovou hypotézu zamítnout. Test nulové hypotézy proti alternativní hypotéze lze též provést pomocí intervalu spolehlivosti a s využitím metod popsaných ve 12. kapitole. Máme-li k dispozici statistický software, můžeme vypočítat p-hodnotu jako nejmenší možnou hladinu významnosti pro zamítnutí nulové hypotézy. V praxi se nejčastěji setkáváme s testy hypotéz o parametrech normálního rozložení. K těmto testům patří například z-test, jednovýběrový, párový či dvouvýběrový r-test apod. 144 Kontrolní otázky a úkoly 1 Vysvětlete pojem „nulová hypotéza" a „alternativní hypotéza". 2 V čem spočívá testování nulové hypotézy proti alternativní hypotéze? 3 Kdy se dopustíme chyby 1. druhu (2. druhu)? 4 Co rozumíme testovým kritériem a kritickým oborem? 5 Popište tři způsoby testování hypotéz. 6 Jaké znáte testy o parametrech normálního rozložení? 7 Podle údajů na obalu čokolády by její čistá hmotnost měla být 125 g. Výrobce dostal několik stížností od kupujících, ve kterých tvrdili, že hmotnost čokolád je nižší než deklarovaných 125 g. Z tohoto důvodu oddělení kontroly náhodně vybralo 50 čokolád a zjistilo, že jejich průměrná hmotnost je 122 g a směrodatná odchylka 8,6 g. Za předpokladu, že hmotnost čokolád se řídí normálním rozložením, můžeme na hladině významnosti 0,01 považovat stížnosti kupujících za oprávněné? 8 (S) V restauraci „U bílého koníčka" měřili ve 20 případech čas obsluhy zákazníka. Výsledky v minutách: 6, 8, 11, 4, 7, 6, 10, 6, 9, 8, 5, 12, 13, 10, 9, 8, 7, 11, 10, 5. V restauraci „Zlatý lev" bylo dané pozorování uskutečněno v 15 případech s těmito výsledky: 9, 11, 10, 7, 6, 4, 8, 13, 5, 15, 8, 5, 6, 8, 7. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty doby obsluhy jsou v obou restauracích stejné. 9 (S) Na 10 automobilech stejného typu se testovaly dva druhy benzínu lišící se oktanovým číslem. U každého automobilu se při průměrné rychlosti 90 km/h měřil dojezd (tj. dráha, kterou ujede na dané množství benzínu) při použití každého z obou druhů benzínu. Výsledky: CcLUTicL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 benzín A 17,5 20,0 18,9 17,9 16,4 18,9 17,2 17,5 18,5 18,2 benzín B 17,8 20,8 19,5 18,3 16,6 19,5 17,5 17,9 19,1 18,6 Za předpokladu, že dojezd se řídí normálním rozložením, testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že rozdíl středních hodnot dojezdu při dvou druzích benzínu se neliší. 10 Pevnost vlákna bavlněné příze lze pokládat za náhodnou veličinu s rozložením N(ß,a2). Je-li a2 > 0,36kg2, vznikají potíže při tkaní. Při zkoušce 11 náhodně vybraných vláken byly zjištěny hodnoty jejich pevnosti a vypočten empirický rozptyl s2 = 0,92 kg2. Na hladině významnosti 0,05 je třeba zjistit, zda je příze vyhovující. 11 Normálně rozložená náhodné veličiny představují výsledek měření téže konstanty dvěma různými metodami a jejich neznámé směrodatné odchylky 30 and X<=50 atd.). Pak klepneme na OK. Analogicky pro Y. 5. Vytvořte graf intervalové empirické distribuční funkce pro X. Návod: Vytvoříme Frequency table pro RX. Před 1. případ vložíme řádek, kde do Category napíšeme 0 a do Cumulative Count také 0. Nastavíme se kurzorem na Cumulative Percent - Graphs - Graphs of Block Data - Custom Graph from Block by Column - Line Plots (Variables) - OK. 2 x klikneme na pozadí grafu - Plot: General - vypneme Markers - Axis: Scaling - Mode Manual - Minimum 1, Maximum 9 - Axis: Custom Units - Position 1, Text 30 atd až Position 9, Text 190 - OK. 6. Sestavte kontingenční tabulky absolutních četností (relativních četností, sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností) dvourozměrných třídících intervalů pro (X,Y). Návod: Viz úkol č. 6 ve cvičení 1, kde budeme pracovat s proměnnými RX aRY. 167 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.3. Výpočet číselných charakteristik jednorozměrného a dvourozměrného souboru, regresní přímka 1. Načtěte soubor znamky.sta. Pro známky z matematiky a angličtiny vypočtěte medián, dolní a horní kvartil a kvartilovou odchylku. Výsledky porovnejte s příkladem 3.5. Návod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK -Variables X, Y, OK - zaškrtneme Median, Lower & upper quartiles, Quartile range - Summary. 2. Načtěte soubor ocel.sta. Pro mez plasticity a mez pevnosti vypočtěte aritmetické průměry, směrodatné odchylky a rozptyly. Výsledky porovnejte s příkladem 3.17. Návod: Návod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK - Variables X, Y, OK - zaškrtneme Mean, Standard Deviation, Variance - Summary. Vysvětlení: Rozptyl a směrodatná odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak než v příklad 3.17, protože STATISTICA ve vzorci pro výpočet rozptylu nepoužívá 1/n, ale l/(n — 1) - bude objasněno později v matematické statistice. 3. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram pro (X,Y). Návod: Graphs - Scatterplots - Variables X,Y - OK - vypneme Linear fit -OK. 4. Vypočtěte kovarianci a koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Výsledky porovnejte s příkladem 3.17. Návod: Statistics - Multiple Regression - Variables Independent X, Dependent Y - OK - OK - Residuals/assumption-prediction - Descriptive statistics - Covariances. Pro získání korelačního koeficientu zvolíme Correlation místo Covariances. Vysvětlení: Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak než v příkladu 3.17, protože ve STATISTICE se ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n. ale l/(n — 1) - bude objasněno později. 5. Určete koeficienty regresní přímky meze pevnosti na mez plasticity a stanovte index determinace. Určete regresní odhad meze pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu. Návod: V tabulce Multiple Regression zvolíme Variables Independent X, Dependent Y - OK - Summary:Regression results. Ve výstupní tabulce najdeme koeficient &o ve sloupci B na řádku označeném Intercept, koeficient b\ ve sloupci B na řádku označeném X, index determinace pod označením R2. Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Residuals/assumption/prediction Predict dependent variable X:110 - OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako Predictd. Nakreslení regresní přímky: Návrat do Multiple Regression - Residuals / assumption / prediction - Perform residuals analysis - Scatterplots - Bivariate correlation - X, Y - OK. Jiný způsob: Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní přímku tak, že v tabulce 2D Scatterplots zvolíme Fit Linear, OK. 168 B.4. Výpočty pravdepodobností s využitím distribuční funkce binomického rozložení Označme X náhodnou veličinu. Její distribuční funkci zavedeme vztahem $(a;) = P (X < x). Pokud náhodná veličina X nabývá pouze konečně nebo spočetně mnoha hodnot, lze pomocí $(a;) vyjádřit následující pravděpodobnosti: a) P(X = x) = P(X x) = l- P{X 6) = 1 - P{X < 5) = 1 - $(5) = 0,1431, ad c) P{X = 6) = $(6) - $(5) = 0,0825, ad d) P(2 < X < 5) = $(5) - $(1) = 0,7469. Postup ve STATISTICE: Otevřeme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými a o jednom případu. Řešení: Do Long Name 1. proměnné napíšeme =IBinom(6;0,12;30). Do Long Name 2. proměnné napíšeme =l-IBinom(5;0,12;30). Do Long Name 3. proměnné napíšeme =IBinom(6;0,12;30)-IBinom(5;0,12;30). Do Long Name 4. proměnné napíšeme =IBinom(5;0,12;30)-IBinom(l;0,12;30). (Do Lange Name proměnné vstoupíme tak, že v datovém okně 2 x klikneme myší na název proměnné.) Kreslení grafů distribuční funkce a pravděpodobnostní funkce binomického rozložení Vzorový příklad: Nakreslete graf distribuční funkce a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X ~ Bi(12; 0,3). Postup ve STATISTICE: Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 13 případech. První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0, 1,..., 12 (do Long Name napíšeme =v0—1). Druhou proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Long Name napíšeme příkaz =IBinom(x;0,3;12)). Třetí proměnnou nazveme PF a uložíme do ní hodnoty pravděpodobnostní funkce (do Long Name napíšeme příkaz =Binom(x;0,3;12)). Graf distribuční funkce: Graphs - Scatterplots - Variables X, DF - OK - vypneme Linear fit - OK - 2 x klikneme na pozadí grafu - Plot: General - zaškrtneme Line - Line Type: Step - OK. Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Graf pravděpodobnostní funkce: Graphs OK - vypneme Linear fit - OK. Scatterplots - Variables X, PF Podle tohoto návodu nakreslete grafy distribučních a pravděpodobnostních funkcí binomického rozložení pro různá nap, např. n = 5, p = 0,5 (resp. 0,75) apod. Sledujte vliv parametrů na vzhled grafů. 170 B.5. Grafy hustot a distribučních funkcí, výpočet kvan-tilů STATISTICA umí kreslit grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení a počítat kvantily těchto rozložení. Slouží k tomu Probability Calculator v menu Statistics. Zaměříme se na rozložení uvedená definici 8.6. 1. Rovnoměrné spojité rozložení Rs(0,1) Statistics - Probability Calculator - Distributions - Beta - shape I - napíšeme 1, shape 2 - napíšeme 1. STATISTICA vykreslí graf hustoty a distribuční funkce. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané a a po kliknutí na Compute se v okénku Beta objeví hodnota tohoto kvantilu. 2. Exponenciální rozložení Ex(\) Ve volbě Distributions vybereme Exponential a do okénka lambda napíšeme patřičnou hodnotu. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané a a po kliknutí na Compute se v okénku exp objeví hodnota tohoto kvantilu. 3. Normální rozložení N(ß, a2) Ve volbě Distributions vybereme Z (Normal), do okénka mean napíšeme hodnotu ß a do okénka st. dev. napíšeme hodnotu a. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané a a po kliknutí na Compute se v okénku X objeví hodnota tohoto kvantilu. 4. Pearsonovo rozložení chĺ-kvadrát s n stupni volnosti x2(n) Ve volbě Distributions vybereme Chi 2 a do okénka df napíšeme patřičný počet stupňů volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané a a po kliknutí na Compute se v okénku Chi 2 objeví hodnota tohoto kvantilu. 5. Studentovo rozložení s n stupni volnosti t(n) Ve volbě Distributions vybereme t (Student) a do okénka df napíšeme patřičný počet stupňů volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané a a po kliknutí na Compute se v okénku t objeví hodnota tohoto kvantilu. 6. Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n\ ari2 stupni volnosti F (ni, 122) Ve volbě Distributions vybereme F (Fisher) a do okének dfl a df2 napíšeme počet stupňů volnosti čitatele a jmenovatele. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané a a po kliknutí na Compute se v okénku F objeví hodnota tohoto kvantilu. 171 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.6. Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozložení 1. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu, když neznáme rozptyl: pro tuto situaci umí STATISTICA vypočítat meze intervalu spolehlivosti sama. Příklad: Při kontrole pěti balíčků cukru o deklarované hmotnosti 1000 g byly zjištěny tyto odchylky: —3, 2, —2, 0, 1. Odchylky považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 5 z rozložení N(/j,,a2). Sestrojte 90% interval spolehlivosti pro ß. Návod: Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné a pěti případech. Zapíšeme do něj uvedené odchylky. Statistics - Basic Statistics/Tables -Descriptive statistics - OK - Advanced - Variables vi, OK, zaškrtněte Conf. limits for mean - Interval 90%, Summary. 2. Ve všech ostatních případech postupujeme podle vzorců uvedených ve větách 12.9 a 12.13. Uveďme postup pro situaci, kdy hledáme interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot dvou nezávislých normálně rozložených náhodných výběrů, když neznáme rozptyly, ale víme, že jsou shodné. Příklad: Na jisté velké americké univerzitě bylo v r. 1969 náhodně vybráno 5 profesorek a nezávisle na tom 5 profesorů a byl zjištěn jejich roční příjem v tisících dolarů. Ženy: 9 12 8 10 16, muži: 16 19 12 11 22. Předpokládáme, že uvedené hodnoty jsou realizace dvou nezávislých náhodných výběrů, první z rozložení N(/j,i,a2), druhý z rozložení N(/j,2,(t2)- Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot. Návod: Vytvoříme nový datový soubor o čtyřech proměnných (Plat, Sex, HorniMez, DolniMez) a 10 případech. Do proměnné Plat napíšeme příjmy žen, pak příjmy mužů. Do proměnné Sex napíšeme 5 x jedničku a 5 x dvojku (l=žena, 2=muž). Pomocí Descriptive statistics zjistíme průměry a rozptyly platů žen a mužů. (Výběr žen či mužů: viz cvičení 1, úkol 5.). Výsledky: m\ = 11, s\ = 10, ri\ = 5, ni2 = 16, s\ = 21,5, ri2 = 5. Do Long Name proměnné DolniMez napíšeme vzorec pro dolní mez (viz věta 12.13 (b)): =ll-16-sqrt((4*10+4*21,5)/8)*sqrt(l/5+l/5)*VStudent(0,975;8) Do proměnné DolniMez se 10 x uloží hodnota —10,79. Do Long Name proměnné HorniMez napíšeme vzorec pro horní mez (viz věta 12.13 (b)): =ll-16+sqrt((4*10+4*21,5)/8)*sqrt(l/5+l/5)*VStudent(0,975;8) Do proměnné HorniMez se 10x uloží hodnota 0,79. Znamená to, že s pravděpodobností aspoň 0,95 leží rozdíl středních hodnot platů žen a mužů v intervalu (—10,79; 0,79). Tento výsledek však nemá praktický význam, protože rozsahy obou výběrů byly příliš malé. Příklad: Vyřešte pomocí STATISTIKY příklad 12.16. Návod: Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných (Leva, Pravá, Rozdil) a šesti případech. Do prvních dvou proměnných zapíšeme zjištěné hodnoty. Do LongName proměnné Rozdil napíšeme =Leva - Pravá a nyní postupujeme stejně jako v úkolu 1. 172 B.7. žení Testování hypotéz o parametrech normálního rozlo- Jednovýběrový ť-test Příklad: Při kontrole balicího automatu, který má plnit cukrem balíčky o hmotnosti 1000 g, byly při přesném převážení pěti balíčků zjištěny tyto odchylky (v gramech) od požadované hodnoty: 3, —2, 2, 0, 1. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že automat nemá systematickou odchylku od požadované hodnoty. Návod pro provedení ť-testu: Vytvořte soubor o jedné proměnné X a pěti případech. Do X zapište naměřené hodnoty. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, single sample, OK, Variables X, zaškrtněte Test all means agains 0, Summary. Ve výstupní tabulce najdete hodnotu testového kritéria a p-hodnotu. Pokud p-hodnota nabude hodnoty < a, pak se nulovou hypotézu zamítá na hladině významnosti a. Dvouvýběrový ť-test Příklad: Na jisté velké americké univerzitě bylo v r. 1969 náhodně vybráno 5 profesorů a nezávisle na tom 5 profesorek a byl zjištěn jejich roční příjem v tisících dolarů. Ženy: 9 12 8 10 16 Muži: 16 19 12 11 22 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota příjmu žen je stejná jako střední hodnota příjmu mužů. Návod: Vytvořte soubor o dvou proměnných (Plat a Sex) a 10 případech. Do proměnné Plat napište příjmy žen a mužů a do proměnné Sex dejte 5 x jedničku a 5x dvojku. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, independent, by groups, OK, Variables - Grouping Sex, Dependent Plat, OK, Summary T-tests. Ve výstupní tabulce se nejprve podívejte na p-hodnotu pro test homogenity rozptylů. Je-li větší než zvolená hladinu významnosti, zjistěte hodnotu testového kritéria a p-hodnotu pro test shody středních hodnot. V opačném případě zaškrtněte v Options volbu t-test with separate variance estimates. Párový ť-test Příklad: Na hladině významnosti 0,05 rozhodněte, zda se u osobního vozu určité značky při správném seřízení geometrie vozu sjíždějí obě přední pneumatiky stejně rychle. Bylo vybráno šest nových vozů a po určité době bylo zjištěno, o kolik mm se sjely jejich levé a pravé přední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Návod: Vytvořte soubor o dvou proměnných (Leva a Pravá) a šesti případech. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, dependent samples, OK, Variables Leva, Pravá - Summary. 173 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 174 Učební text, který jste právě dočetli, byl určen k prvnímu seznámení s matematickou disciplinou nazývanou statistika. Autorským záměrem bylo ukázat vám, že statistika ve své popisné formě dokáže pomoci několika výstižných charakteristik zpřehlednit informace obsažené ve velkých datových souborech, zatímco ve své induktivní formě založené na počtu pravděpodobnosti slouží především jako nástroj rozhodování v situacích ovlivněných náhodou, kdy na základě znalosti náhodného výběru z určitého rozložení pravděpodobnosti usuzuje na vlastnosti tohoto rozložení. V současnosti je statistika velice rozvinutá a důležitá věda, která se neustále doplňuje a rozšiřuje o nové poznatky. Z tohoto důvodu může být tento učební text jen značně omezeným úvodem, který však má dostatečnou oporu v obecných statistických principech. V seznamu literatury samozřejmě najdete knihy, které vám poslouží při prohlubování a rozšiřování vašich statistických znalosti, bez nichž se dnes neobejde žádný absolvent ekonomicky zaměřené vysoké školy. Od ekonoma se totiž očekává, že bude rozhodovat nejenom na základě svých zkušenosti, ale především na základě matematických a statistických analýz. Proto musí být schopen sám provést jednodušší analýzy a u těch složitějších najít společnou řeč se statistiky, aby jim mohl zadávat úkoly a správně interpretovat výsledky těchto analýz. Jak jste již zjistili, použiti statistického programového systému STAT1STICA osvobozuje uživatele od namáhavých úkonů, jako je vyhledávání v datech, jejich třídění, sumarizace a grafické znázornění. Dbejte však na to, aby data byla do počítače vkládána pečlivě a vždy byla podrobena kontrole. Např. je užitečné pro každou proměnnou vypočítat minimum, maximum, medián, kvartilovou odchylku, vykreslit sloupkový diagram, dvourozměrný tečkový diagram apod. Při zpracování dat rozhodně používejte jen ty metody, kterým dobře rozumíte a jejichž výsledky umíte interpretovat. Systém STAT1STICA obsahuje velké množství metod, jejichž neadekvátní aplikace může vést k zavádějícím či dokonce chybným závěrům. Po úspěšném zvládnuti předmětu „Statistika" se před vámi otevírají značné možnosti, jak efektivně získávat informace obsažené v datech a využívat je ve své každodenní práci.