Zpracování výsledků fyzikálních měření
J.Englich, LS 1999/2000
Pomocný text pro úvodní kurs zpracování výsledků fyzikálních měření pro
Fyzikální praktikum magisterského studia fyziky na MFF UK
Text je určen pouze pro potřeby účastníků kursu,
neprošel ani věcnou, ani jazykovou korekturou.
Jakékoliv jeho další rozšiřování jen po dohodě s autorem.
Praha, březen 2000
Sylabus:
1. Úvod
- doporučená literatura
2. Fyzikální veličiny a jejich jednotky
- systematika fyzikálních veličin, veličiny základní, odvozené
- jednotky fyzikálních veličin
- metrologické rovnice, veličinové, jednotkové, rozměrové (rozměrová analýza)
- soustava jednotek, volba base, soustava koherentní, racionalisovaná
- soustavy CGSE, CGSM, Gaussova, SI
- realisace vybraných jednotek soustavy SI
3. Metody měření
- základní systematika metod měření
- potlačení subjektivních faktorů
- metody zvyšování citlivosti
- metody zlepšování poměru signál-šum
4. Chyby měření
- základní systematika, chyba náhodná, hrubá, systematická
- zdroje a charakter chyb u různých metod měření
- chyby měřidel, třída přesnosti
- zápis výsledků měření
5. Základní pojmy matematické statistiky
- náhodný jev, náhodná veličina, pravděpodobnost
- rozdělení pravděpodobnosti
- střední hodnota, momenty náhodné veličiny
- rozdělení pravděpodobnosti více náhodných veličin, korelace
- centrální limitní věta
6. Princip maximální pravděpodobnosti
- odhad parametrů rozdělení
- aritmetický průměr, disperse (rozptyl) náhodné veličiny
- nevychýlený odhad
- zpracování výsledků nepřímých měření, uvážení chyby měřícího přístroje
7. Metoda nejmenších čtverců
- lineární regrese s jednou proměnnou
- odhad přesnosti regresních koeficientů
- nelineární regrese s jednou proměnnou
1.Úvod
Doporučená literatura:
1. Brož J., a kol.: Základy fyzikálních měření I, SPN Praha 1967
2. Hajko V., a kol.: Fyzika v experimentech, vyd. SAV Bratislava, 1988
3. Sprušil B., Zielenicová P.: Úvod do teorie fyzikálních měření, skriptum MFF UK Praha 1986
4. Kamke D., Krämer K.: Physikalischen Grundlagen der Messeinheiten, B.G.Teubner Verl.,
Stuttgart 1977
Ruský překlad: Fizičeskije osnovy jedinic izmerenija, izd. Mir, Moskva 1980
5. Hudson D.J.: Statistics, Geneva 1964 (Ruský překlad: Statistika dlja fizikov, Izd. Mir,
Moskva 1967
6. Šindelář V., Smrž L.: Nová soustava jednotek, SPN Praha 1968
2.Fyzikální veličiny a jejich jednotky
2.1. Systematika fyzikálních veličin [1], [4], [6]
V technické praxi, v řadě oblastí vědy i v běžném životě se vyskytuje potřeba
charakterisovat objektivní vlastnosti a stav předmětů a okolního prostředí, popsat
průběh různých procesů a pod. K tomu zavádíme systém veličin, které uvedené
vlastnosti a stav charakterisují.
Potřebnou informaci získáme stanovením kvantitativních, popřípadě kvalitativních
parametrů příslušné veličiny (měření, pozorování).
Fyzikální veličina (Leonard Euler, Algebra 1766):
1. veličinou rozumíme vše to, co se může zvětšovat nebo zmenšovat, nebo to, k
čemu můžeme něco přidat nebo ubrat (hmotnost, čas, délka, teplota, tlak, teplo,
úhel,...).
2. existují veličiny různého druhu, jejichž studiem se zabývají různé oblasti vědy
(fyziky). Každá oblast vědy má své charakteristické veličiny. Fyzika je naukou o
veličinách.
3. měření je srovnávání dané veličiny s vybranou veličinou téhož druhu (jednotkou).
Moderní definice: Veličinou popisujeme objektivní vlastnost (stav) předmětu, nebo
fyzikálního jevu, kterou lze kvalitativně odlišit a kvantitativně
popsat.
Klasifikace veličin:
a) extensivní (množství, kvantity) - aditivní (hmotnost, náboj, teplo,..)
b) intensivní (kvality) - veličiny stavové (teplota, napětí, tlak,...)
c) protensivní (stále plynoucí) - (čas)
Veličiny:
a) základní - v daném systému nezávislé
b) odvozené - na základě vztahů mezi veličinami základními
Pojmy související:
Pozorování - studium dějů a procesů, které probíhají bez našeho zásahu
(astronomická pozorování)
Pokus (experiment) - studium dějů a procesů, které iniciujeme, řídíme, volíme
podmínky jejich průběhu a pod.
Pokus -kvalitativní, kvantitativní
Měření: srovnávání studované veličiny s její jednotkou. Výsledky měření
zapisujeme ve tvaru:
A = (a + εεεεa) J ,
(např.: l = (3.86 ± 0.02) m ),
kde a - číselná hodnota, εεεε a - chyba měření, J - označení jednotky,
nebo:
A = (a + εεεεa) [A], (v = (4.3 ± 0.5) m sec-1
),
kde [A] – rozměr.
2.2.Jednotky fyzikálních veličin [1], [4], [6]
Jednotky měření:
Jednotky byly postupně zaváděny pro veličiny užívané v obchodně technické praxi s
kritériem praktičnosti a dostupnosti (snadné realisovatelné)
Příklad: Jakob Koebel, Geometrie (16 stol., Frankfurt a/M)
střední stopa - jednotka délky, vystředovaná délka chodidla 16 náhodně
vybraných osob naproti tomu např. jednotka délky - loket
Rozměr:
Vyjádření jednotky pro danou veličinu pomocí jednotek základních (base systému
jednotek)
2.3.Metrologické rovnice [6]
Veličinové rovnice:
popisují přírodní zákony,
definují veličiny
Příklad:
F = dp/dt , F = q(E + (v x B))
dm = ρ dV, v = dr/dt
Jednotkové rovnice:
Udávají vztah mezi jednotkami.
Užívají se veličinové rovnice ve zjednodušené formě (bez diferenciálních,
integrálních a jiných složitějších operátorů)
Příklad:
JF = Jp / Jt ,.. JF = Jq . JE , ..Jv = Jr / Jt
Rozměrové rovnice:
jednotkové rovnice, ve kterých jsou jednotky vyjádřeny pouze jednotkami základními
(v daném systému, basi)
Příklady:
[F] = [p]/[t] Þ kgms-2
= kgms-1
/s = kgms-2
[F] = [C].[v].[B]Þ kgms-2
= As.ms-1
.kgs-2
A-1
= kgms-2
Rozměrová analýza:
testování veličinových rovnic pomocí rovnic rozměrových
kontrola formulí:
Příklad: Moment setrvačnosti homogenního válce o poloměru R a výšce h vůči
ose byl vypočten užitím definičního vztahu: J = ò r2
ρ dV.
Prověřte výsledek ve tvaru: J = 1/2 MR2
užitím rozměrové analýzy.
Řešení: Rozměr J(SI) : kgm2
Rozměr výsledku (SI): kgm2
stanovení stupně mocniných závislostí:
Příklad: Hledáme vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla. Předpokládáme:
T ≈ gα
lβ
mγ
Řešení:
Rozměr levé strany: T
Rozměr pravé strany: Lα
T-2α
Lβ
Mγ
→ 1 = − 2α
0 = α + β
0 = γ
Řešení soustavy rovnic: α = − 1/2, β = 1/2, γ = 0
Potom: T ≈ (l/g)1/2
Příklad: V mezeře magnetu s uzavřeným jádrem je homogenní magnetická
indukce B, plocha pólových nástavců je S. Očekáváme, že síla, kterou na
sebe působí nástavce magnetu je úměrná permeabilitě, indukci a ploše
nástavců.
Očekáváme: F ≈ µ0
α
.Bβ
.Sγ
Řešení:
Levá strana: MLT-2
Pravá strana: Mα
Lα
T-2α
A-2α
Mβ
T-2β
A-β
L2γ
→ 1 = α + β
1 = α + 2γ
-2 = -2α - 2β
0 = -2α - β
Řešením soustavy je: α = −1, β = 2, γ = 1
Potom: F ≈ B2
S / µ0
Seminární úloha 1:
Těleso hmotnosti m se pohybuje rovnoměrně zrychleně, přímočaře. Počáteční
rychlost je nulová. Zrychlení tělesa je a. Jakou má těleso rychlost po uražení dráhy x?
Předpokládáme v ≈aα
xβ
.
Seminární úloha 2:
Odvoďte vztah pro rychlost zvuku v plyném prostředí o hustotě ρ.
Předpokládáme: v ≈ ρ, p, T; platí stavová rovnice, → v ≈ ρα
.pβ
Seminární úloha 3.:
Odvoďte vztah pro odpor prostředí, působící na automobil, pohybující se
rovnoměrně. Maximální plocha příčného průřezu automobilu je S, aerodynamické
efekty zanedbejte.
Předpoklad: odporová síla F ~ ρα
vβ
Sγ
.
Seminární úloha 4.:
Stanovte vztah pro odporovou sílu působící na kuličku poloměru r pohybující se
rychlostí v ve viskosní kapalině popsané dynamickou viskozitou η.
Předpokládáme: F ≈ rα
ηβ
vγ
Seminární úloha 5.:
Stanovte vzorec pro dobu oběhu planety v gravitačním poli slunce.
Předpoklad: T ≈ κα
Rβ
ms
γ
.
Seminární úloha 6.:
Stanovte vztah pro střední kvadratickou výchylku lineárního harmonického
oscilátoru.
Předpokládáme: <x2
> ≈ hα
mβ
ωγ
2.4.Soustavy jednotek [1], [4], [6]
Soustava koherentní definiční vztahy odvozených veličin vystupují bez číselných
koeficientů
Soustava racionalisovaná v definičních vztazích, které vyhovují kulové symetrii se
zavádějí faktory 4π s cílem odstranit násobky π z prakticky
užívaných formulí.
Příklad:
• Definujeme-li jednotku náboje Coulombovým zákonem ve vakuu ve tvaru:
F = k q2
/r2
, dostaneme pro kapacitu deskového kondensátoru (ve vakuu)
vzorec: C = S/4πkd.
Volba base:
A) Mechanika
1) tříjednotková base mechanických veličin
veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr SI
čas T T sec
délka L L m
hmotnost M M kg
rychlost v=kv s/t kv =1 1 LT-1
msec-1
zrychlení a=ka v/t ka =1 1 LT-2
msec-2
síla F=kN ma kN =1 1 MLT-2
N
energie A=kA F.s kA =1 1 ML2
T-2
J
Jiné zákony:
N.G.Z. F = kG m2
/r2
kG ≡ κ = κo [κ], κo ≠ 1, [κ] = M-1
L3
T-2
Konstanta κo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například v SI: κ = κo [κ] = 6.67.10-11
kg-1
m3
sec-2
Planckův z. E = kP ν kP ≡ h = ho [h], ho≠1, [h] = ML2
T-1
Konstanta ho závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například v SI: h = ho [h] = 6.6 . 10-34
kgm2
sec-1
Einst.vztah E = kE m kE = kEo [kE], kEo≠1, [kE] = L2
T-2
Konstanta kEo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například v SI: kE = kEo [kE] ≅ 9. 1016
m2
sec-2
≅ co
2
[c]2
, c
je rychlost světla ve vakuu.
2) čtyřjednotková base mechanických veličin
Veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr
Čas T T
Délka L L
Hmotnost M M
Síla Φ Φ
Rychlost v=kv s/t ka =1 1 - LT-1
Zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - LT-2
Energie A=kA Fs kA =1 1 - ΦL
Jiné zákony:
2.N.Z. F = kN ma kN = kNo [kN], kNo ≠ 1, [kN] = ΦM-1
L-1
T2
,
Konstanta kNo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například v „rozšířené soustavě SI“, platí-li Φ = G .[N], je kNo
= 1/G
N.G.Z. F = kG m2
/r2
kG = kGo [kG], kGo ≠ 1, [kG] = ΦM-2
L2
,
Konstanta kGo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například ve výše zavedené „rozšířené soustavě SI“ je:
kGo = κo.kNo
Planckův z. E = kP ν kP = kPo [kP], kPo ≠ 1, [kP] = ΦLT
Konstanta kPo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například ve výše zavedené „rozšířené soustavě SI“ je:
kPo = ho.kNo
Einst.vztah E = kE m kE = kEo [kE], kEo ≠ 1, [kE] = ΦLM-1
Konstanta kEo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například ve výše zavedené „rozšířené soustavě SI“ je:
kEo = co
2
.kNo
!!Důsledkem zvětšení počtu základních jednotek je zvětšení počtu univerzálních
konstant!!
!!Velikost a rozměr nových univerzálních konstant závisí na volbě dalších
základních jednotek!!
3)dvoujednotková base mechanických veličin
veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr
čas T T
délka L L
rychlost v=kv s/t kv =1 1 - LT-1
zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - LT-2
hmotnost m=kmar2
km =1 1 - L3
T-2
síla F=kN ma kN =1 1 - L4
T-4
energie A=kA Fs kA =1 1 - L5
T-4
Jiné zákony:
N.G.Z. F = kG m2
/r2
, kG = kGo [kG], kGo = 1, [kG] = 1,
bez ohledu na velikost základních jednotek času a délky
Planckův z. E = kP ν kP = kPo [kP], kPo ≠ 1, [kP] = L5
T-3
Konstanta kPo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například ve výše zmíněné „zjednodušené soustavě SI (m,
sec)“ je kPo = ho.κo
Einst.vztah E = kE m kE = kEo [kE], kEo ≠ 1, [kE] = L2
T-2
Konstanta kEo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Například ve výše zmíněné „zjednodušené soustavě SI (m,
sec)“ je kEo = co
2
!!!Důsledkem snížení počtu základních jednotek je snížení počtu univerzálních
konstant.!!!
Zároveň se však ztrácí praktičnost velikosti odvozených jednotek:
např. je-li: L,T ≡≡≡≡ m, sec →→→→ Jm = 1/ κκκκ Ja Jr
2
= 1/6.67 1011
kg
a zhoršují se podmínky pro rozměrovou analýzu , řada jednotek má stejný
rozměr, snižuje se počet veličin ve veličinových rovnicích.
4) jednojednotková base základních veličin
veličina def.vztah Konstant
a
rozměr jednotka rozměr
čas T T
délka s=c t c=1 1 - T
rychlost v=kv s/t kv =1 1 - 1
zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - T-1
hmotnost m=kmar2
km =1 1 - T
síla F=kN ma kN =1 1 - 1
energie A=kA Fs kA =1 1 - T
Jiné zákony:
N.G.Z F = kG m2
/r2
, kG = kGo [kG], kGo = 1, [kG] = 1,
opět bez ohledu na velikost základní jednotky času
Planckův z. E = kP ν kP = kPo [kP], kPo ≠ 1, [kP] = T2
Konstanta kPo závisí na volbě základní jednotky času a musí být
stanovena měřením. Například ve výše zmíněné „dvakrát zjednodušené
soustavě SI (sec)“ je kPo = ho.κo / co
5
Einst.vztah E = kE m kE = kEo [kE], kEo = 1, [kE] = 1
Konstanta kEo nezávisí na volbě základní jednotky času a je v takto
konstruované jednotkové soustavě vždy rovna jedné a bezrozměrná
(položili jsme c=1, podobně jako výše u dvoujednotkové soustavy κo=1).
B) veličiny elektrické a magnetické
Systém CGSE - tříjednotková base jednotek mechanických veličin
veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr
čas sec T
délka cm L
hmotnost g M
rychlost v=kv s/t kv =1 1 - LT-1
zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - LT-2
síla F=kN ma kN =1 1 - MLT-2
energie A=kA Fs kA =1 1 - ML2
T-2
elektrické veličiny
náboj F = kC q2
/ r2
kC= 1 1 sC M1/2
L3/2
T-1
proud I = kI q / t kI = 1 1 sA M1/2
L3/2
T-2
int.el.pole E = kE F / q kE = 1 1 - M1/2
L1/2
T1
magnetické veličiny
int.mag.pole H = kH 2 I / a kH = 1 1 - M1/2
L1/2
T-2
magn.množ. H = km F / m km = 1 1 - M1/2
L1/2
magn.moment µ = kµ.m.l kµ = 1 1 - M1/2
L3/2
(Coulombův)
další zákony:
interakce magn. množství:
F = k m2
/ r2
k = ko [k], ko ≠ 1, [k] = L2
T-2
Konstanta ko závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Bylo
nalezeno ko = co
2
magn. moment. proudové smyčky (Ampérův):
µ = k I S k = ko [k], ko ≠ 1, [k] = L-2
T2
Konstanta ko závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Bylo nalezeno ko = co
2
Síla mezi vodiči protékanými proudem:
F = k 2 I2
.l / a k = ko [k], ko ≠ 1, [k] = L-2
T2
Konstanta ko závisí na volbě základních jednotek a lze ji snadno stanovit
měřením. Bylo nalezeno ko = co
2
Systém CGSM - tříjednotková base jednotek mechanických veličin
veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr
čas sec T
délka cm L
hmotnost g M
rychlost v=kv s/t kv =1 1 - LT-1
zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - LT-2
síla F=kN ma kN =1 1 - MLT-2
energie A=kA Fs kA =1 1 - ML2
T-2
magnetické veličiny:
Mag. množ F = km m2
/ r2
km = 1 1 - M1/2
L3/2
T-1
Int.mag.pole H = kH F / m kH = 1 1 Oe M1/2
L-1/2
T-1
Magn.momen
t
µ = kµ.m.l kµ = 1 1 - M1/2
L5/2
T-1
(Coulombův)
elektrické veličiny:
Proud H = kI 2 I / a kI = 1 1 aA M1/2
L1/2
T-1
Náboj I = kC q / t kC = 1 1 aC M1/2
L1/2
Int.el.pole E = kE F / q kE = 1 1 - M1/2
L1/2
T-2
další zákony:
Coulombův zákon:
F = kC q2
/ r2
kC = kCo [kC], kCo ≠ 1, [kC] = L2
T-2
Konstanta kCo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Bylo nalezeno kCo = co
2
Síla mezi rovnoběžnými vodiči protékanými proudem:
F = k 2 I2
.l / a k = ko [k], ko = 1, [k] = 1
Protéká-li vodiči proud 1 aA, působí na sebe silou 2 jednotek síly.
V soustavě CGS je jednotkou síly dyn = g cm sec-2
= 10-5
kg m sec-2
=
= 10-5
N
Srovnejme :
Coulombův zákon v CGSE:
F = q2
/ r2
Þ (sC)2
/cm2
= 1 dyn
Coulombův zákon v CGSM:
F = c2
q2
/ r2
Þ c2
(aC)2
/cm2
= c2
dyn
Co do velikosti je tedy aC = c sC (abychom dostali sílu 1 dyn musíme vzít náboj o
velikosti aC/c)
Stejný poměr platí i pro jednotky proudu aA = c sA
Soustava GAUSSOVA - tříjednotková base jednotek mechanických veličin
Veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr
Čas sec T
Délka cm L
Hmotnost g M
Rychlost v=kv s/t kv =1 1 - LT-1
Zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - LT-2
Síla F=kN ma kN =1 1 - MLT-2
Energie A=kA Fs kA =1 1 - ML2
T-2
elektrické veličiny:
Náboj F = kC q2
/ r2
kC = 1 1 sC M1/2
L3/2
T-1
Proud I = kI q / t kI = 1 1 sA M1/2
L3/2
T-2
Int.el.pole E = kE F / q kE = 1 1 - M1/2
L-1/2
T-1
magnetické veličiny:
Mag.množ. F = km m2
/ r2
km = 1 1 - M1/2
L3/2
T-1
Int.mag.pole H = kH F / m kH = 1 1 Oe M1/2
L-1/2
T-1
Magn.mom. µ = kµ.m.l kµ = 1 1 - M1/2
L5/2
T-1
další zákony:
B.-S. zákon: H = kB 2 I / a, kB = kBo [kB], kBo ≠ 1, [kB] = L-1
T
Konstanta kBo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Bylo nalezeno kBo = co
-1
Soustava SI - čtyřjednotková, racionalizovaná (nedůsledně NGZ)
Veličina def.vztah konstanta rozměr jednotka rozměr
Čas sec T
Délka m L
Hmotnost kg M
Proud A A
Rychlost v=kv s/t kv =1 1 - LT-1
Zrychlení a=ka v/t ka =1 1 - LT-2
Síla F=kN ma kN =1 1 - MLT-2
Energie A=kA Fs kA =1 1 - ML2
T-2
elektrické veličiny:
Náboj I = kq q / t kq = 1 1 C AT
Int.el.pole E = kE F / q kE = 1 1 - MLT-3
A
magnetické veličiny
Int.mag.pole H = kH 2I/a kH = 1 1 - AL-1
Magn.indukce F = kB q v B kB = 1 1 T MT-2
A-1
Praktická jednotka proudu 1A = 0.1 aA
Síla mezi dvěma rovnob. vodiči délky l ve vzdál. a protékanými proudem I:
F = k .2. I2
.l / a
Použijeme-li dříve (historicky) definovanou jednotku proudu 1A = 0.1 aA působí na
sebe vodiče silou (viz soustavu CGSM): 2.10-2
dyn = 2.10-7
N
Konstanta k musí mít tedy hodnotu: k = 10-7
N A-2
Požadujeme-li dále v duch racionalizace, aby vzorec pro sílu měl v důsledku válcové
symetrie problému tvar:
F = k´/2π I2
.l/a
Máme pro konstanty úměrnosti: 2.k = 2. 10-7
= k´/2π
A konečně: k´≡ µ0 = 4 π 10-7
MLT-2
A-2
Další univerzální konstanta (µ0 ) je důsledkem další (čtvrté) základní jednotky (A).
Další zákony:
Coulombův zákon:
F = kC q2
/ 4 π r2
kC = kCo [kC], kCo ≠ 1, [kC] = ML3
T-4
A-2
Konstanta kCo závisí na volbě základních jednotek a musí být stanovena
měřením. Bylo nalezeno kCo = 4 π . 9 109
Označme: kC ≡ 1/ ε0
Potom platí:
µ0 . ε0 = 4 π 10-7
[MLT-2
A-2
] / 4 π 9 109
[ML3
T-4
A-2
] = ( 9 1016
L2
T-2
)-1
µµµµ0 . εεεε0 = 1 /c2
Seminární úloha 7.:
Napište zákon alektromagnetické indukce (U ≈ - dΦ/dt) v soustavách jednotek
CGSE, CGSM, Gaussově a SI.
Řešení: využijte výsledků rozměrové analýzy (viz [1], tab. 2, str.510).
CGSE [U] = L1/2
M 1/2
T-1
[dΦ/dt] = L1/2
M 1/2
T-1
Þ U = - dΦ/dt
CGSM [U] = L3/2
M 1/2
T-2
[dΦ/dt] = L3/2
M 1/2
T-2
Þ U = - dΦ/dt
Gaussova [U] = L1/2
M 1/2
T-1
[dΦ/dt] = L3/2
M 1/2
T-2
=[U] [v] Þ U = - 1/c dΦ/dt
SI [U] = L2
M 1
T-3
A-1
dΦ/dt] = L2
M 1
T-3
A-1
Þ U = - dΦ/dt
Seminární úloha 8.:
Napište vzorec pro Lorentzovu sílu F ≈ q (E + (v x B)) v soustavách jednotek CGSE,
CGSM, Gaussově a SI.
Návod: Využijte výsledků rozměrové analýzy.
Seminární úloha 9.:
Napište vztah pro magnetický moment proudové smyčky (µ ≈ I S) v soustavách
jednotek CGSE, CGSM, Gaussově a SI.
Návod: Vyžijte výsledků rozměrové analýzy.
Seminární úloha 10.:
Určete poměr mezi jednotkou magnetické indukce v soustavách Gaussově (CGSM) a
SI.
Návod: Využijte výsledků rozměrové analýzy např. v Lorentzově vztahu a známých
vztahů mezi velikostmi jednotek proudu.
Definice vybraných jednotek SI – základních (viz [6])
veličina jednotka Definice
čas sec Jednotka času je definovaná frekvencí kvantového přechodu
mezi hladinami hyperjemného štěpení ve spektru základního
stavu 2
S1/2 atomu 133
Cs, F=4, mF=0 → F=3, mF=0. Tato
frekvence je 9,192631770 GHz
délka m Jeden metr je dráha, kterou urazí světlo ve vakuu za
dobu:(1/299 792 458) sec
hmotnost kg Etalon z platinoiridiové slitiny v mez. ústavu pro míry a
váhy (reprodukovatelnost řádu 2.10-8
)
el. proud A Proud, který vyvolává mezi dvěma paralelními nekonečně
dlouhými vodiči vzdálenými 1m sílu 2.10-7
N na jeden metr
délky
tepl. stupeň K 237,16 - tá část termodynamické teploty trojného bodu vody
mol. množ mol je látkové množství, které obsahuje tolik strukturních
elementů, kolik je atomů v 0.012 kg uhlíku 12
C6
svítivost cd Svítivost 1/600 000 m2
plochy absolutně černého tělesa ve
směru normály při teplotě tuhnutí platiny při normálním
tlaku (101 325 Pa)
3. Metody měření
V průběhu experimentu (pozorování) lze obvykle rozlišit tři fáze
- příprava
- měření
- zpracování
Příprava studium teorie, výběr metody měření, odhad výsledku, výběr přístrojů
(odhad citlivosti a přesnosti, cejchování, rozbor vnějších vlivů),
příprava vzorků, organizační opatření (výběr spolupracovníků,
materiální zabezpečení – astronomické expedice, experimenty jaderné
fyziky).
Měření Objektivní
subjektivní-využití smyslůregistrace
výsledků pomocí čidel a
detektorů
čtení na stupnicích
odhad maxim rezonančních křivek
odhad maximálního zaostření a pod
Zpracování výsledků Předzpracování v průběhu experimentu
Využití výpočetní techniky
Klasifikace měřících metod - rozlišení podle různých hledisek
metody
Ø přímé - měření přímým srovnáváním s jednotkou měřené veličiny
například: měření délky, vážení
Ø nepřímé - využití definičních vztahů, fyzikálních zákonů
například: měření rychlosti střely ze zákona zachování energie a hybnosti (
[1] kap. 2.2.1.2.), měření specifického náboje elektronu z charakteristiky
pohybu v mg. poli ( [1] kap. 8.2.7.3.) a pod.
sporné !! - např. měření hustoty, měření proudu, měření odporu (měření
odporu metodou přímou)
Ø statické -měřená hodnota se určuje z experimentu s časově neproměnnými
charakteristikami
například: statické měření modulu pružnosti ve smyku z torze tyčí ( [1] kap.
2.3.2.1.
Ø dynamické -měřená veličina se určuje z experimentu s časově proměnnými
charakteristikami
například: dynamická metoda měření modulu pružnosti ve smyku torzním
kyvadlem ( [1] kap. 2.3.2.2.)
Ø absolutní - stanovení hodnoty vůči jednotce
Ø relativní - stanovení hodnoty vůči normálu, standartu, etalonu, maximální
hodnotě
Ø substituční
například: měření odporu ( [1] kap. 4.3.5.2.)
Ø kompenzační -nulové metody, nezávislé na absolutní kalibraci indikačního
přístroje, snadná automatizace
například: vážení ( [1] kap. 2.2.1.2.), můstkové metody ( [1] kap. 4.3.5.4.)
3.2. Možnosti potlačování subjektivních faktorů
interpolace (uvnitř dělení stupnice)
Ø - ručkové přístroje (metoda zrcátkových stupnic), délková měřidla (nonia)
individuální vjem
Ø - vjem ostrosti (optika, uvážení intervalu ostrosti)
využití registračních přístrojů –
Ø měření doby kyvu kyvadla
(subjektivně, objektivně - např. optické čidlo)
využití elektronických zařízení
Ø A/D převodník
Ø měření napětí osciloskopem
využití výpočetní techniky
Ø např. fitace maxim rezonanční křivky
3.3. Metody zvyšování citlivosti měřících zařízení
citlivost zařízení (metody) na změnu sledované veličiny p:
cp = dαααα/dp,
kde: dα - změna veličiny registrované (úhel, délka, a pod.)
dp - změna veličiny studované.
a) mechanické
Ø metoda zrcátka a škály (ϕ= s/R, 2ϕ = S/L → S (2L/R).s )
Ø využití mikrometrických posuvů, pákových převodů (S
= (L/R).s)
Seminární úloha 11:
Galvanoměr se zrcátkem je zapojen v obvodu podle obrázku. Při zapnutí klíče se
světelný index na stupnici vzdálené 1m vychýlí o 10 cm. Jaká je proudová a
napěťová citlivost galvanometru.
Obr.: schema zapojení
R1= 1Ω, R 2 = 103
Ω , R 3= 600 Ω, Rg= 120 Ω, U = 6 V
cI = dS / dI , dS = 0.01 m (při vzdálenosti stupnice 1 m a užití metody zrcátka a
škály)
dI = 6 . R1 / ((R1+R3) R2 + R1R3) = 8.3 .10-6
A
cI = 1.2 . 103
m/m/A = 1.2 106
mm/m/A
cU = dS / dU = dS / Rg dI = cI / Rg = 1 . 10-8
mm/m/V
Seminární úloha 12
Stanovte proudovou citlivost Wheatsonova můstku v rovnováze
( X0 = R3(R1/R2), cI = (dIg / dX)Xo)
b) elektrické
Ø využití zesilovačů, střídavé zesilovače (přerušování
optických signálů)
b) využití proudových a napěťových svorek pro měření malých odporů
b) zvýšení rozlišení optických soustav
Ø geometrie (omezení ohybových jevů, interference
více svazků, hranolový kontra mřížkový
spektrometr)
Ø zúžení šířky čáry - vlastní šířka čáry, Doplerovské
rozšíření (snížení teploty)
3.4. Metody zlepšování poměru signál/šum
a) omezení zdrojů šumu (fluktuací)
Ø mechanické vibrace (mechanická pevnost) šum
elektrických zařízení - un
2
= 4 kT R ∆ν
(přizpůsobení stupňů v zesilovačích, využití
vhodných součástek (s menším šumovým číslem),
snížení teploty, snížení odporu)
R2
R
1
R
3
R
g
G
1 m
ϕ
2ϕ
ϕ
b) omezení šířky pásma
Ø přerušovaný signál, synchronní detektor
c) využití číslicové techniky
Ø metoda koherentní sumace
4. Chyby měření
4.1. Základní pojmy
Systematika chyb: Chyby hrubé - vznikají hrubým zásahem do
procesu měření, jejich velikost
významně převyšuje rozptyl
chyby statistické
Systematické - vznikají v důsledku chybných
kalibrací, interpretací a pod.,
zatěžují stejným způsobem
výsledek každého měření
Statistické - jsou důsledkem náhodných
fluktuací, které se popisují
metodami matematické
statistiky
Formální zápis výsledku měření:
[ ]A A AA
= ±(
~
)~ε
měřená veličina A
výsledek měření ~
A
absolutní chyba ε ~
A
relativní chyba
η ε~ ~
~
/A A
A=
označení jednotky (rozměr [A]
Symboly:
~
A , ε ~
A jsou čísla
Formát čísel:
~
A , ε ~
A
Platná číslice: Platnými číslicemi se nazývají všechny číslice zaokrouhleného
čísla s vyjímkou nul na začátku přibližné hodnoty.
Příklad: a = 0.001234 → 4 platné číslice
a = 0.607012 → 6 platných číslic
Zásady pro formu zápisu výsledků měření:
a) chybu měření uvádíme na nejvýše dvě platné číslice
b) ve výsledku zaokrouhlujeme v řádu poslední platné číslice chyby
Příklady: v = (3.86 + 0.03) msec-1
I = (2.3 + 0.1) 10-3
A
P = (8.706 + 0.054) mW
B = 4.56(5) T
Poznámka: Pokud se chyba měření ve výsledku neudává, předpokládá se
implicitně, že je menší, než polovina řádu za poslední platnou
číslicí výsledku:
v = 3.5 msec-1
≡ (3.45 ≤ v ≤ 3.55) msec-1
Pozor na zaokrouhlovací chybu ! c = (2.9979150 + 0.0000001).105
kmsec-1
c = 2.99792.105
kmsec-1
- správně
c = 300 000 kmsec-1
- špatně, protože chyba
zaokrouhlení: ε(c) = 210 kmsec-1
> 5.10-1
kmsec-1
4.2. Základní pravidla pro práci s neúplnými čísly
metoda mezí, maximální odhad: nechť: a = a ± εa , b = b ± εb
Součet: S = a + b = (a + b ) ± (εa + εb),
εS = (εa + εb) ,
ηS = (εa + εb) / (a + b )
Rozdíl: R = a - b = (a - b ) ± (εa + εb),
εR = (εa + εb),
ηR = (εa + εb) / (a - b ),
Pozor: na možnost enormního zvýšení relativní chyby při rozdílu téměř stejných
hodnot!
Součin: N = a.b = a.b ± (b.εa + a.εb),
εN = (b.εa + a.εb),
Podíl: P = a/b = a / b ± (εa/ b + a.εb/ b),
εP = εa/ b2
+ a.εb/ b2
,
ηP = ηa + ηb,
Seminární úloha 13:
Dokažte výše uvedené vztahy pro maximální absolutní a relativní chybu součtu,
rozdílu, součinu, podílu a mocniny.
4.3. Chyby měřidel
Třída přesnosti: třída přesnosti ručkových měřících přístrojů p(%) se udává v
procentech a stanovuje absolutní chybu měření na daném rozsahu R podle vztahu:
εεεε = p.R
Příklad: rozsah ampérmetru je R = 3 A , třída přesnosti je 1.5%.
Absolutní chyba měření proudu na tomto rozsahu
ε(I) = 1.5.10-2
. 3 = 0.045 A
Poznámka: je zřejmé, že z důvodů minimalisace relativní chyby měření je nutno
měřit v horní polovině stupnice ručkového měřícího přístroje
Třída přesnosti je údajem výrobce, který je získán statistickým šetřením na seriích
hotových výrobků (měřících přístrojů). Chybu měření stanovenou z třídy přesnosti je
nutno srovnat s chybou stanovenou statistickým zpracováním. V tomto případě se s ní
zachází jako s chybou stanovenou odhadem a skládá se s chybou statistickou (viz
dále).
Pojem třídy přesnosti je možno zobecnit i na jiné měřící přístroje. Někdy je možno
odhadnout absolutní chybu měření z dělení stupnice.
Seminární úloha 14:
Měření odporu metodou přímou (viz schema) bylo proveden s přístroji třídy přesnosti
1. Byly naměřeny následující hodnoty: I = 210 mA (rozsah 0.3 A), U = 18.5 V
rozsah 30 V). Vnitřní odpor voltmetru je 105
Ω a vnitřní odpor ampérmetru je 7 Ω.
Stanovte velikost měřeného odporu a chybu měření. Diskutujte možné alternativy
zapojení a nutné korekce s ohledem na chybu měření.
Značení přístrojů: Značení některých typů elektrických měřících přístrojů
(viz [1])
5. Vybrané základní pojmy matematické statistiky
5.1. Náhodný jev, pravděpodobnost
Experiment (E) - je definován předpisem, který specifikuje množinu
možných výsledků{V(E)}.
Výsledek experimentu v ∈{V}
Příklad: kostka {V(E)}≡ {. , : , :. , :: , :.: , :::}
vážení {V(E)}≡ {(hmotnosti) }
Pozn.: definice pouze požaduje, aby v ∈{V(E)}, nikoliv, aby každý
prvek {V} nastal
Náhodný jev A na experimentu E ( A(E)): je zadán pravidlem, které určuje,
zda jev nastal, či nenastal
A(E) - je určen množinou pozitivních výsledků
Příklad: E ≡ házení kostkou
A(E) ≡ {. ,: , :.} , B(E) ≡ {:: , :.: ,:::}
Náhodná proměnná x na experimentu E ( x(E) ): je určena pravidlem, které
výsledku experimentu přiřazuje číslo jako hodnotu náhodné
proměnné
Příklad: 1) E ≡ házení kostkou
x ≡ n ≡ počet bodů, diskretní náhodná proměnná,
x ∈{1,2,...,6}
2) E ≡ vážení
x ≡ m ≡ hmotnost (SI), spojitá náhodná proměnná
x ∈{0 , ∞ }
Specielně: náhodný výběr (N) - experiment, jehož množina výsledků je
konečná a realisace žádného z nich není upřednostněna
Příklad: házení kostkou E ≡ N
x (N) ≡ {1,2,...,6}
Definice: Nechť Ai (E) jsou jevy na experimentu E potom:
1) jev non A (E) ≡ jev A nenastane
2) jev A Ei
i
n
( )
=1
7 ≡ nastane alespoň jeden z jevů AI
3) jev A Ei
i
n
( )
=1
1 ≡ nastane každý z jevů Ai
Specielně: A Ei
i
n
( )
=1
1 ≡ ∅ (prázdná množina výsledků) ≡ jevy disjunktní
Definice pravděpodobnosti (teorie míry):
Nechť je experiment E zadán množinou {V(E)}. Na experimentu E
nechť jsou dále zadány jevy A(E) a B(E) svými množinami výsledků
{V(A)} a {V(B)}, {V(A)},{V(B)} ∈{V(E)}.
Definujeme: pravděpodobnost jevů A, B jako míru podmnožin {V(A)},{V(B)}
následujícími pravidly:
1) p(A) ≥ 0
2) p(V) = 1
3) p(A∪B) ≡ p(A) + p(B) − p(A∩B)
Příklad: experiment (E) ≡ házení kostkou ≡ náhodný výběr
{x(N)} ≡ {1,2,..,6},
nechť jevy Ai ≡ {i}, i = 1,...,6 , disjunktní a zároveň:
A ≡∪Ai ≡ {1,..,6}≡{V(N)}
p(A) = 1 = p Ai( )
1
6
å , zároveň p(Ai ) = p(Ak ) = p; (i,k = 1,..,6)
Potom 1= p Ai( )
1
6
å = p
1
6
å = 6 p Þ p = 1/ 6 ;
Pro náhodný výběr platí: p(A) = ni / n ,
kde ni je počet prvků množiny {V(Ai )} a n je počet prvků množiny {V(N)} –
p(A) - redukovaná velikost podmnožiny.
Příklad: experiment (E) ≡ házení kostkou
Nechť: A(N) je definován {V(A)} ≡ {1,2,3,4}
a B(N) množinou výsledků {V(B)} ≡ {4,5,6}
{V(A)} ∪ {V(B)} ≡ {V(N)}
p(A∪B) = 4 / 6 + 3 / 6 − 1 / 6 = 1
Jev opačný: Nechť: A ≡ {V(A)}, nonA ≡ {V(nonA)}
Platí: {V(A)}∪ {V(nonA)} ≡ {V(E)},
a dále: {V(A)}∩ {V(nonA)} ≡ ∅ , jevy disjunktní
Potom: p(A ∪ nonA) = p(A) + p(nonA) = 1
tedy: p(nonA) = 1 - p(A)
Podmíněná pravděpodobnost (náhodný výběr):
Nechť: {V(N)} má n prvků ,
{V(A)} má nA prvků ,
{V(B)} má nB prvků ,
{V(A)} ∩ {V(B)} má nAB prvků ,
potom:
p(A ∩ B) = nAB / n = (nAB / nB ).(nB / n) = p(A/B).p(B)
p(A / B) = p(A ∩∩∩∩ B) / p(B)
Poznámka: Dá se ukázat, že odvozený vztah platí obecně, nejen pro experimenty
typu náhodný výběr
Příklad: N ≡ {1,2,..,6}, {V(A)} ≡ {1,2,3,4}, {V(B)} ≡ {4,5,6}
p(A/B) = (1/6) / (3/6) = 1/3 Nastal-li jev B, potom s
pravděpodobností p(A/B) = 1/3 nastane i jev B
Definice: Experiment E, který je spojením experimentů Ei , (i = 1,..,n) má za
množinu výsledků kartézský součin množin {V(Ei )}, kde {V(Ei )} jsou
množiny výsledků experimentů Ei .
E ≡≡≡≡ E1 . E2 . E3 . . . En ,
{V(E)} ≡≡≡≡ {V(E1)}x{V(E2)}x{V(E3)}x.....x{V(En )}
Poznámka: Kartézský součin ≡ uspořádaná n -tice
Příklad: Současné házení dvěma kostkami
N1 ≡ {1,2,...,6}, N2 ≡ {1,2,...,6}
E ≡ N1. N2 ,
{V(E)} ≡ {(1,1) , (1,2) ,.., (1,6) , (2,1) , (2,2) ,.., (6,6)},
nE = 36
Definice: Experimenty jsou nezávislé, pokud provedení (výsledek) jednoho
nezávisí na provedení (výsledku) druhého. Pravděpodobnosti jevů na
nezávislých experimentech jsou pak také nezávislé
Definice: náhodný jev na spojení experimentů je definován množinou výsledků:
{V(A)} ≡≡≡≡ {V(A1)}x {V(A2)}x {V(A3)}x ...x {V(An)}
Definice: jevy jsou nezávislé, jsou-li definovány na nezávislých experimentech
Pro náhodný jev na spojení nezávislých experimentů platí:
p A p Ai
i
n
( ) ( )=
=
∏1
Příklad: pro nezávislé náhodné výběry platí:
p(A) = nA / N, kde nA = n A
i
n
i
=
∏1
, N= ni
i
n
=
∏1
potom: p(A) = nAi
i
n
=
∏1
/ ni
i
n
=
∏1
= p Ai
i
n
( )
=
∏1
Příklad: házení dvěma kostkami - i = 2
jev A1 na N1: {V(A1)} ≡ {1, 2}, p(A1) = 2 / 6
jev A2 na N2: {V(A2)} ≡ {3, 4, 6}, p(A2) = 3 / 6
A = A1 . A2 , {V(A)} ≡ {V(A1)} x {V(A2)}
{V(N1.N2)} má 36 prvků, {V(A)} má 6 prvků
p(A) = 6 / 36 = p(A1) . p(A2) Þ jevy nezávislé
Příklad: tažení z balíčku karet (bez Jokera) E1
≡ N1 , {V(N1)} ≡ {2,3,4,...,E} Þ n1 = 13
E2 ≡ N2 , {V(N2)} ≡ {S,K,T,P} Þ n2 = 4
A1 ≡ {10}, A2 ≡ {S}, A ≡ A1 . A2
{V(A)} ≡ {(10,S)} Þ nA = 1, N = 4.13 = 52 Þ p(A) = 1/52,
zkusíme: p(A) = p(A1) . p(A2) = (1 /13) . (1 / 4) = 1 / 52 , Þ
A1 , A2 experimenty nezávislé
Příklad: tažení z balíčku karet (s přidáním Jokera)
E1 - {V1} ≡ {2,3,4,...,A,J} - 14 prvků
E2 - {V2} ≡ {S,K,T,P,J}- 5 prvků
E1, E2 nejsou experimenty typu náhodný výběr (např. realizace
symbolů 2, 3, .... A je upřednostněna proti symbolu J)
p(J) = 1/ 53 , p(10) = 4/ 53, p(S) = 12/ 53 , P(J) = 1/53
p(10,S) = 1/53 x p(10).p(S) = (4/53).(12/53) = 48/ 532
Þ experimenty nejsou nezávislé
Definice: Označme: En ≡≡≡≡ (E.E ... E)n , n-krát opakovaný experiment E
a dále: {V(E)} množinu výsledků experimentu E
Potom: En ≡≡≡≡ {{V(E)} x {V(E) x ....x {V(E)}}n
Definice: Je-li definován jev A(E) svoji množinou výsledků {V(A)}, potom:
jev na opakování experimentu An(En ) je definován množinou
výsledků: {V(An)} ≡≡≡≡ {{V(A)} x {V(A)} x...x {V(A)}}n ,
Alternativní definice pravděpodobnosti: Využitím pojmu relativní četnosti při
nezávislém opakování experimentu. Není omezena na experimenty typu
náhodný výběr.
Definice: Označme nA počet realisací jevu A na experimentu E při n-násobném
nezávislém opakování experimentu E. Jako pravděpodobnost jevu A
potom označíme:
p
n
n
A
n
A
=
→∞
lim( )
Příklad užití: integrace metodou Monte-Carlo
5.2. Rozdělení pravděpodobnosti
Definice: Rozdělením pravděpodobnosti nazýváme funkci, která hodnotám
náhodné proměnné přiřazuje jejich pravděpodobnost
a) diskrétní náhodná proměnná
Rovnoměrné rozdělení:
Definice: Mějme na experimentu E jevy Ai , i= (1, ...., n) . Je-li rozdělením
pravděpodobnosti každému z těchto jevů přiřazena stejná
pravděpodobnost hovoříme o rovnoměrném rozdělení
pravděpodobnosti:
p(Ai) = p , pro i = (1,..,n).
Jsou-li jevy Ai disjunktní:
Užitím normovací podmínky: 1 = p A p n pi
i
n
i
n
( ) .= =
==
åå 11
dostaneme:
p(Ai) = 1 / n;
Příklad: experiment házení kostkou n = 6, p = 1 / 6;
Binomické rozdělení:
Definice: Mějme jev s pravděpodobností p. Pravděpodobnost, že při
N-násobném nezávislém opakování nastane jev s pravděpodobností p
právě k-krát, k = (0,1,2,...,N) je dána Binomickým rozdělením ve tvaru:
P(k) =
N
k
æ
è
ç
ö
ø
÷ pk
(1-p)N-k
k - diskrétní náhodná proměnná, p a N jsou parametry.
Platí: Pravděpodobnost jevu na nezávislém opakování experimentu:
P(k) = Ck pk
(1-p)N-k
Normovací podmínka: 1= Σ Ck pk
(1-p)N - k
Þ Ck =
N
k
æ
è
ç
ö
ø
÷
Poissonovo rozdělení:
Uvažujme náhodný jev, který se realizuje v určitém intervalu (počet emisí γ-kvant v
časovém intervalu (0,t), počet překlepů na stránce textu).
Za předpokladu, že:
i) realisace náhodného jevu jsou navzájem nezávislé‚
ii) pravděpodobnost realisace jevu v malé části uvažovaného intervalu je
úměrná velikosti tohoto intervalu: P(t,t+dt) = µ .dt
iii) pravděpodobnost současné realisace (též místně) dvou jevů je nulová.
Nechť P k (t) je pravděpodobnost, že určitý jev (emise γ-kvanta) nastane v časovém
intervalu (0,t) k-krát.
1) k = 0, ? P0(t+dt)
P0(t+dt)=P0(t).(1- µ.dt)
Z toho:
dP0(t)/dt = - µ P0 Þ P0(t) = C exp(- µ.t)
Z okrajové podmínky: t → 0 Þ P0(t) → 1 Þ C = 1
Tedy: P0(t) = exp(-µ.t)
2) k=1, ? P1(t+dt)
P1(t+dt)=P0(t).µdt + P1(t).(1- µ dt) →
dP1(t)/dt = - µ P1(t) + µ.exp(-µt) (*)
a dále: P1(t)= µt. exp(-µt)
3) pro obecné k (srovnej vztah (*)):
dPk(t)/dt = - µ Pk(t) + µ.Pk-1(t)
a dále: Pk(t)= (µt)k
/k! exp(-µt)
Prověřme podmínku normování:
Σ P k (t)= exp(-µt). Σ(µt) k
/ k! = exp(-µt). exp(µt) = 1
Obecně je interval (0,t) jednotkový, potom:
Definice: Poissonovým rozdělením nazýváme rozdělení pravděpodobnosti ve
tvaru:
Pk = (µµµµ)k
/k! exp(-µµµµ)
b) spojitá náhodná proměnná
Množina možných výsledků experimentu je spojitá - interval, plocha, objem
Definice: Pravděpodobnost realizace náhodné proměnné v intervalu (x, x+dx) je
úměrná velikosti intervalu dx :
P(x,x+dx) = p(x)dx
Funkci p(x) nazýváme hustotou pravděpodobnosti.
Normování:
p x dx
x
( ) =ò 1
Rovnoměrné rozdělení:
Definice: Je-li náhodná proměnná definovaná x na intervalu <a,b> a platí-li pro
všechna x ∈ <a,b> :
p(x) = konst ,
hovoříme o rovnoměrném rozdělení pravděpohobnosti.
Užitím normovací podmínky:
p x dx konst dx konst b a
a
b
a
b
( ) ( )= = − =òò 1
Dostaneme:
p(x) =
1
( )b a−
Cauchyho rozdělení:
Mějme rovnoměrné rozdělení pro náhodnou proměnnou (úhel ϕ) v intervalu
ϕ ∈ <-π/2, π/2 >.
Příklad: rovnoměrně se otáčející, náhodně střílející dělo (viz obr.).
Jaké je rozdělení zásahů v cílové rovině v jednotkové vzdálenosti?
Hledáme rozdělení pravděpodobnosti q(x).
Pravděpodobnost výstřelu v intervalu <ϕ,ϕ+dϕ> je dána funkcí p(ϕ) = konst.
Z normovací podmínky: 1
2
2
= =
−
ò p d konst( ) .ϕ ϕ π
π
π
plyne: p(ϕϕϕϕ) =
1
π
Transformace proměnných (viz obr.):
tg(ϕ) = x , ϕ = arctg(x) , dϕ =
1
1 2
( )+ x
dx
Tedy: p(ϕϕϕϕ) dϕϕϕϕ =
1
π
1
1 2
( )+ x
dx = p(x) dx
a: p(x) =
1
π
1
1 2
( )+ x
(**)
Definice: Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny x v intervalu x ∈(-∞, ∞)
0 x
ϕ
ve tvaru (**) nazýváme Cauchy(ho) rozdělením
Seminární úloha 15:
Nalezněte funkci popisující rozdělení pravděpodobnosti výskytu matematického
kyvadla v intervalu <-A,+A> v aproximaci malého rozkmitu.
Návod: uvažte souvislost mezi pohybem koncového bodu matematického kyvadla a
rovnoměrným pohybem po kružnici o poloměru A.
Normální (Gaussovo rozdělení):
Definice: Nechť je dána spojitá náhodná proměnná x v intervalu x ∈ (-∞, +∞ ).
Normálním rozdělením nazýváme funkci ve tvaru:
p x e
x
( )
( )
=
−
−
1
2
2
2
2
σ π
µ
σ
,
kde: µ značí střední hodnotu
σ2
se nazývá disperse (variance, rozptyl) náhodné proměnné
σ se nazývá standartní odchylkou.
Funkce p(x) je schematicky znázorněna na obr.3.2 ([1] str.38).
Poznámka: Je-li
1
2σ π
> 1 Þ p (µ) > 1 ??????
Hodnotu hustoty pravděpodobnosti nelze směšovat s pravděpodobností.
Jak je uvedeno výše, význam pravděpodobnosti výskytu veličiny
v intervalu dx má hodnota : p(x)dx
Uvažujme:
P a a p x dx
a
a
( , ) ( )µ µ
µ
µ
− + =
−
+
ò
P (µµµµ - a,µµµµ + a) a
0.5 2σ/3
0.683 σ
0.955 2σ
0.997 3σ
32
Seminární úloha 16.
Dokažte, že Normální rozdělení má v bodech x = µ ± σ inflexní body.
5.3. Střední hodnota, momenty náhodné veličiny
Definice: mějme spojitou náhodnou proměnnou x na intervalu <a,b> s
rozdělením
pravděpodobnosti p(x). Potom střední hodnota Ex ≡≡≡≡ < x > je
definována vztahem:
E xp x dxx
a
b
= ò ( )
Obdobně pro diskrétní náhodnou proměnnou k platí:
E kpk k
k
= å
Příklad: jaká je střední hodnota bodů při házení kostkou?
Intuitivně - sečteme všech N pokusů a vydělíme je číslem N :
E
N
n
N
jn j
n
N
k k
k
N
j
j
j
j
= = =
= = =
å å å
1 1
1 1
6
1
6
;
lim ( )
N
j
j k
k
n
N
p E k p k
→ ∞
= Þ = å
Dále platí: pro funkci h(x) náhodné proměnné x na intervalu <a,b> je:
E h x p x dxh x
a
b
( ) ( ) ( )= ò
v případě diskrétní náhodné proměnné:
33
E h k ph k k
k
( ) ( )= å
Speciálně je-li:
h x a g xl l
l
( ) ( )= å ,
potom:
E a g xh x l l
l
( ) . ( )= å
Definice: mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V. Potom:
n-tým momentem náhodné veličiny x nazýváme výrazy:
E x p x dx xx
n n n
V
= =ò ( )
Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky:
E k p kk
n n
k
n
k
= =å
Příklad: n = 1, E xx
1
= = µ
Definice: mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V. Potom:
n-tým centrálním momentem náhodné veličiny nazýváme výrazy:
cE x p x dx xx
n n n
V
= − = −ò( ) ( ) ( )µ µ
Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky:
cE k p kk
n n
k
n
k
= − = −å( ) ( )µ µ
34
Příklad: n = 2,
cE x p x dx x Dx x
V
2 2 2 2
= − = − ≡ ≡ò( ) ( ) ( )µ µ σ
Dále platí: Dx = <x2
> - µµµµ
2
Definice: asymetrií rozdělení nazýváme veličinu:
γ
σ σ
µ
σ
µ≡ = − = −ò
cE
x p x dx xx
V
3
3 3
3
3
31 1
( ) ( ) ( )
Příklad: Asymetrie rozdělení symetrického kolem střední hodnoty je nula
(plyne přímo z definice třetího centrálního momentu).
Příklad: střední hodnota Binomického rozdělení:
µ =
æ
è
ç
ö
ø
÷ − =
=
−
å
N
k
k p p
k
N
k N k
0
1( )
=
−
− =
=
−
å
N
k N k
kp p
k
N
k N k!
!( )!
( )
1
1
=
N
l N l
l p p
l
N
l N l!
( )!( )!
( ) ( )
+ − −
+ − =
=
−
+ − −
å 1 1
1 1
0
1
1 1
=
( )!
!( )!
( )
M
l M l
p p
l
M
l M l+
−
− =
=
+ −
å
1
1
0
1
= p M
M
l M l
p p
l
M
l M l
( )
!
!( )!
( )+
−
− =
=
−
å1 1
0
= pN
M
l M l
p p
l
M
l M l!
!( )!
( )
−
− =
=
−
å0
1 pN
Příklad: Momenty náhodné veličiny pro některá rozdělení
Rozdělení Střední hodnota Disperse Asymetrie
diskrétní:
Rovnoměrné N/2 N(N+2)/12
35
Binomické N.p N.p.(1-p) N.p.(1-p)(1-2p)
Poissonovo µ µ µ -1/2
spojitá:
Rovnoměrné b+a)/2 (b-a)2
/12
Cauchyho 0 0
Normální µ σ2
0
Seminární úloha 17:
Dokažte, že pro Binomické rozdělení platí: Dk = N.p.(1-p) a γ = N.p.(1-p).(1-2p)
Poznámka: pro p = 1/2 je γ = 0 a rozdělení je symetrické kolem střední hodnoty.
Seminární úloha 18:
Dokažte, že pro Poissonovo rozdělení platí:
a) Ek = µ, b) Dk = µ, c) γ = µ-1/2
Seminární úloha19:
Dokažte, že pro Normální rozdělení platí:
a) Ex = µ, b) Dx = σ2
, c) γ = 0
Návod: užijte vztahy: e dt t e dtt
t
−
−∞
+∞
−
−∞
+∞
ò ò= =
2
2
2 2
2π π,
Seminární úloha 20:
Dokažte, že při „náhodné procházce“ (random walk) platí pro střední hodnotu
čtverce vzdálenosti uražené po N krocích: <x2
> = N.L2
, kde L je velikost
jediného kroku.
(random walk - pohyb po krocích ± L se stejnou pravděpodobností p=1/2)
Návod: užijte Binomického rozdělení a definice střední hodnoty.
Semininární úloha 21:
Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného, spojitého rozdělení v
intervalu <a,b>.
Seminární úloha 22:
Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného diskretního rozdělení v
intervalu 0 ≤ k ≤ n
Konvergence Binomického a Poissonova rozdělení:
1) s konstantní hodnotou p a s rostoucí střední hodnotou (rostoucím N)
konverguje B(k) k N(k)
36
2) Poissonovo rozdělení konverguje s rostoucí střední hodnotou µ též k
rozdělení Normálnímu
3) s rostoucím N, ale konstantní střední hodnotou (nepříliš vysokou)
konverguje
B(k) k P(k)
5.4 Rozdělení pravděpodobnosti více náhodných veličin
Definice: Mějme dvě spojité náhodné proměnné x, y definované na
intervalech Vx , Vy, s rozdělení pravděpodobnosti p(x) a q(y). Pravděpodobnost,
že x ∈ (x,x+dx) a zároveň y ∈ (y,y+dy) je dána rozdělením ρ(x,y) ve tvaru:
P(x,x+dx; y,y+dy) = ρρρρ(x,y).dx.dy
V případě nezávislých veličin je funkce ρ(x,y) zřejmě ve tvaru:
ρρρρ(x,y) = p(x) q(y)
Definice: mějme spojité náhodné veličiny x, y, na intervalech Vx , Vy se
středními hodnotami µx , µy . Potom kovariance Cx,y je dána
vztahem:
C x y x y dxdy x yx y x y x y
x y
,
,
( )( ) ( , ) ( )( )= − − = − −òò µ µ ρ µ µ
Dále vypočítáme: Cx,y = <x.y> - µµµµx . µµµµy
Příklad: Dx = <(x-µx ). (x-µx)> = Cx,x
Definice: korelačním koeficientem dvou náhodných veličin rx,y nazýváme
hodnotu:
r
C
x y
x y
x y
,
,
=
σ σ
Posouzení stupně korelace lineárně závislých veličin:
37
a) absolutní korelace (y = ax+b)
Cx,y = <(x-µx )(y-µy) > = <x.y> - µx µy = <a.x2
+b.x>-µx µy=
= a <x2
> + b. µx - µx µy = a.σx
2
+ a. µx
2
+ b.µx - a.µx
2
- b.µx = a.σx
2
Dy ≡ σy
2
= <(y-µy)2
> = <(a.x +b-a.µx-b)2
> = a2
.<(x-µx )2
>=a2
.σx
2
r
C a
a
x y
x y
x y
x
x x
,
, .
. .
= = =
σ σ
σ
σ σ
2
1
b) x, y nezávislé
Cx,y = <(x-µx ) (y-µy) > = <x.y> - µx µy = µx µy - µx µy = 0
rx y, ≤1
Střední hodnota součtu náhodných veličin:
Mějme náhodné veličiny xi , i=1,2,....., potom:
x xi
i
i
i
å å=
x x x dx dx x x x dx dxi
ix x
i
x xi= =
åòò òòå=
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 21 2 1 2
, ,.., ,... , ,.., ,...
( , ,...) ... ( , ,...) ...ρ ρ
Příklad: střední hodnota aritmetického průměru –
x
n
x i
i
n
=
=
å
1
1
, (x - náhodná veličina)
x
n
x
n
xi
i
n
i
i
n_
= =
= =
å å
1 1
1 1
Jde-li o stejné veličiny: <xi> = µ (pro všechna i).
Potom: <x> = µ
Střední hodnot součinu nezávislých veličin:
Mějme nezávislé náhodné veličiny xi , i=1,2,..... . Potom:
x xi
i
i
i
∏ ∏=
38
( ) ( , ,....) .... ( )
, ,.., ,... , ,..
x x x dx dx x p x dxi
ix x
i i i
xi i
= =
∏òò ò∏=
1 2
1 2 1 2
1 21 2 1
ρ
Disperse součtu náhodných veličin:
Mějme náhodné veličiny xi , i=1,2,... určené jejich dispersemi a středními
hodnotami: σi , µi . Označme:
s xi
i
= å .
Potom:
D D Cs x x x
i j i ji
i i j
= +
≠
åå ,
, ( )
Platí: Ds = < (s - µ s ) 2
> = < s2
> - µ s
2
,
Kde: µ µs i
i
i i
ii
s x x= = = =å åå
Dále platí: s x x x x x x xi
i
i i j
i j i ji
i i j
i j i ji
2 2 2 2
= = + = +å åå åå≠ ≠
( )
, ( ) , ( )
,
a také: D x xx i i i ii
= − = −( )µ µ2 2 2
C x x x xx x i i j j i j i ji j, ( )( )= − − = −µ µ µ µ
Dále:
µ µ µ µs i
i
i j
i j i j
2 2
= +å å≠, ( )
Celkem:
D D Cs xi i
i
xi xj
i ji
i j
i j i j
i
i
i j
i j i j
= + + + − −å åå å å å≠ ≠
µ µ µ µ µ µ2 2
,
, , ( ) , ( )
D D Cs xi xi xj
i ji
= + åå ,
,
Poznámka: V případě, že veličiny xi jsou nezávislé (pro všechna i), tedy
Cxi,xj = 0 pro všechna (i,j= 1,2,..), potom:
D Ds x
i
i
= å
39
Disperse lineární kombinace nezávislých veličin:
Mějme nezávislé náhodné veličiny xi , i=1,2,... určené jejich dispersemi a
středními hodnotami: σi , µi . Označme s jejich lineární kombinaci :
s a xi i
i
= å .
Potom disperse Ds náhodné veličiny s je rovna:
D a D as i x i i
ii
i
= = åå 2 2 2
σ
Příklad: Stanovte dispersi aritmetického průměru n nezávislých opakování téže
veličiny o střední hodnotě µ a dispersi Dx .
x
n
xi
i
n
=
=
å
1
1
, <xi> = µ , Dxi = D ≡ σ2
, (i=1,2,...,n)
<x> = µ , D
n
D
n
D
nx
i
n
− = = =
=
å
1 1
2
1
2
σ
5.5. Centrální limitní věta
Je-li náhodná veličina x popsána rozdělením p(x) se střední hodnotou µ a
konečnou dispersí Dx :
x ≡ pµ , σ (x),
potom se rozdělení pravděpodobnosti aritmetického průměru n nezávislých
opakování
qµ´, σ´ ( xn
−
) s rostoucím n blíží k Normálnímu rozdělení N xn( )
−
se střední
hodnotou µ a dispersí
D
n
x
:
lim ( ) ( ), ,n
n nq x N xDx
n→∞
′ ′
− −
=µ σ µ
Poznámka: na typu rozdělení p(x) nezáleží !!
Příklad: ukázka možnosti sestrojení generátoru náhodných čísel s normálním
rozdělením s nulovou střední hodnotou a jednotkovou dispersí
40
N(0,1), je-li k disposici generátor náhodných čísel s
rovnoměrným rozdělením v intervalu <a,b>.
1) posuneme interval symetricky kolem nuly, odečtením čísla
(a+b)/2. Nový interval hodnot je potom:
<(a-b)/2,(b-a)/2> = <-A,+A>
2) disperse takového rovnoměrného rozdělení je:Dx = (A -(-A)) /12
= (2A)2
/12
3) disperse aritmetického průměru z N-hodnot je:
Dx = (2A) /12.N
Zvolíme-li tedy N=12 a A=6, dostaneme: Dx = 1
41
6. Princip maximální pravděpodobnosti
Ze všech možných hodnot náhodné veličiny se realizuje hodnota
nejpravděpodobnější
6.1. Odhad parametrů rozdělení
a) Binomické rozdělení - odhad parametru p:
( )B
N
k
p pk
N k N k
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ −
−
1
Pravděpodobnost p chápeme nyní jako proměnnou a hledáme maximum
pravděpodobnosti jako funkce p. Nutnou podmínkou pro maximum je:
dB
dp
k
N
p
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
~
0
dB
dp
N
k
kp p N k
N
k
p pk
N
p
k N k k N kæ
è
ç
ö
ø
÷ =
æ
è
ç
ö
ø
÷ − − −
æ
è
ç
ö
ø
÷ − =− − − −
~
~ ( ~) ( ) ~ ( ~)1 1
1 1 0
k p N k p( ~) ( )~1− = − Þ
~p
k
N
=
při N nezávislých opakováních experimentu se určitý jev realizuje k-krát. Na
základě principu maximální pravděpodobnosti potom odhadneme
pravděpodobnost tohoto jevu jako:
~p
k
N
=
b) Poissonovo rozdělení - odhad parametru µ:
P k
k
e
k
( )
!
= −µ µ
Podmínkou maxima pravděpodobnosti je:
je-li například na jedné tiskové straně nalezeno k chyb, odhadneme parametr µ
touto hodnotou k.
42
c) Normální rozdělení - odhad parametru µ :
N x e
x
µ σ
µ
σ
σ π
,
( )
( ) =
−
−
1
2
2
2
2
Podmínkou maxima pravděpodobnosti je opět:
0 2
1
2
2
2
2
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ = − − Þ =
−
−
dN
d
x e x
x
µ σ
µ σ
µ
σ
µ
µ
σ π
µ
,
~,~
( ~)
~)
( ~) ~
~
Naměříme-li při jediném experimentu se spojitou náhodnou proměnnou, která
popsána Normálním rozdělením, hodnotu x, odhadneme parametr µ touto
hodnotou x. Odhad na hodnotě σ nezávisí.
odhad parametru σ:
0 2
2
1
2
1
2
2
3
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
−
− Þ = −
−
−
−
−
dN x
d
x
e e x
x x
µ σ
µ σ
µ
σ
µ
σ
σ
µ
σ σ π σ π
σ µ,
~,~
( ~)
~
( ~)
~( ) ( ~)
~ ~ ~
~ ( ~)
Vzhledem k tomu, že neznáme hodnotu
~µ nelze parametr ~σ z jediného měření
odhadnout. Je nutno nejméně z jednoho dalšího měření odhadnout
~µ a potom.
Metoda odhadu parametrů rozdělení z jediného měření je zřejmě velice nejistá
(parametry jsou stanoveny na „nízké hladině pravděpodobnosti“, jsou málo
reprodukovatelné). Zlepšení lze očekávat využitím opakovaných nezávislých
experimentů.
Odhad parametrů rozdělení na základě výsledků opakovaných nezávislých experimentů aritmetický
průměr, disperse náhodné veličiny.
a) Normální rozdělení - odhad parametru µ:
Mějme výsledky opakovaných nezávislých experimentů xi, i=1,.., n. Hustota
pravděpodobnosti realisace takovéto n-tice výsledků je:
P x x x e en
x
i
n n x
i i
i
n
µ σ
µ
σ
µ
σ
σ π σ π
,
( ) ( )
( , ,... )1 2
2
1
21
2
1
2
2
2
2
2
1
= =
æ
è
ç
ö
ø
÷
å−
−
=
−
−
∏ =
Pro odhad opět požadujeme, aby:
43
0
1
2
2
2
1 2 2
2
1
2
2
1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
æ
è
ç
ö
ø
÷
å −
å Þ
−
−
=
=
dP x x x
d
e
xn
n x
i
i
n
i
i
n
µ σ
µ σ
µ
σ
µ σ π
µ
σ
,
~,~
( ~)
~( , ,... )
~ (
( ~)
~ )
Þ − = Þ =
= =
å å( ~) ~x
n
xi
i
n
i
i
n
µ µ0
1
1 1
Aritmetický průměr je tedy odhadem střední hodnoty podle principu
maximální pravděpodobnosti. Podmínka extrému na hodnotě ~σ nezáleží.
b) Normální rozdělení - odhad disperse:
obdobným postupem jako výše s využitím principu maximální
pravděpodobnosti dostaneme:
dP x x x
d n
x
n
i
i
n
µ σ
µ σ
σ
σ µ
,
~,~
( , ,... ) ~ ( ~)
1 2 2 2
1
0
1æ
è
ç
ö
ø
÷ = Þ = −
=
å
Odhadem disperse je tedy střední hodnota čtverce odchylek od odhadu střední
hodnoty ~µ . Pro konkrétní výpočet musíme vždy nejprve odhadnout střední
hodnotu
~µ .
Seminární úloha 23.
Odvoďte výše uvedený vztah pro odhad disperse normálního rozdělení.
Seminární úloha 24.
Dokažte, že v případě Binomického rozdělení je při n-násobném nezávislém
opakování experimentu odhadem parametru p (pravděpodobnost) veličina:
~p
n
k
N
i
i
n
=
=
å
1
1
,
kde ki je počet pozitivních výsledků při každém z n opakování.
Seminární úloha 25.
Dokažte, že při n-násobném nezávislém opakování experimentu je podle
principu maximální pravděpodobnosti v případě Poissonova rozdělení odhadem
parametru ~µ veličina:
~µ =
=
å
1
1n
ki
i
n
44
Poznámka: Alternativně k principu maximální pravděpodobnosti lze odhad
střední hodnoty provést pomocí t.zv. principu nejmenších čtverců. Zde hledáme
odhad střední hodnoty na základě požadavku minima sumy čtverců odchylek:
Příklad: Při n-násobném nezávislém opakování experimentu byly nalezeny
hodnoty proměnné xi , (i=1,....,n). Odhadněte střední hodnotu podle
principu nejmenších čtverců.
Označme : S xi
i
n
2 2
1
( ) ( )µ µ≡ −
=
å .
Potom minimu funkce S2
( )µ odpovídá hodnota ~µ , pro kterou platí:
0 2
12
1 1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ = − Þ =
= = =
å å
dS
d
x
n
xi
i
n
i
i
n
( )
( ~) ~
~
µ
µ
µ µ
µ µ
6.3. Vychýlený odhad.
Definice: Je-li
~a odhadem parametru a danného rozdělení a je-li
~a a= ,
potom hovoříme o nevychýleném odhadu. V opačném případě je odhad
vychýlený.
a) aritmetický průměr:
~µ =
=
å
1
1n
x i
i
n
~µ je náhodná veličina, proto má smysl počítat její střední hodnotu:
~µ µ µ= = = =
= ==
å åå
1 1 1
1 11n
x
n
x
n
i
i
n
i
i
n
i
n
,
protože <µi > = µ pro všechna měření (nezávislá opakování).
Aritmetický průměr je tedy nevychýleným odhadem střední hodnoty.
b) disperse:odhad disperse:
~ ( ~)σ µ2 2
1
1
= −
=
ån
xi
i
n
je opět náhodnou veličinou a pro její střední hodnotu platí (Sem. úloha 27):
45
~ ( ~)σ µ σ2 2
1
21 1
= − =
−
=
ån
x
n
n
i
i
n
Odhad disperse je tedy odhadem vychýleným.
Seminární úloha 26.
Ukažte, že výše uvedené odhady parametrů ~p a ~µ pro binomické, a Poissonovo
rozdělení jsou odhady nevychýlené.
Seminární úloha 27.
Ukažte výše uvedený výsledek pro střední hodnotu odhadu disperse ~σ2
.
Nevychýleným odhadem disperse je veličina:
( )~ ~ ( ~)σ σ µ2 2 2
11
1
1
∗
=
=
−
=
−
−å
n
n n
xi
i
n
protože zřejmě platí:
( )~ ~σ σ σ σ2 2 2 2
1 1
1∗
=
−
=
−
−
=
n
n
n
n
n
n
6.4. Zpracování výsledku měření jediné veličiny:
a) Je-li k dispozici statistický soubor dat (výsledky n opakovaných
nezávislých
měření), vyhodnotíme veličiny
(~) ~ ,µ µ∗
=
= = å
1
1n
xi
i
n
( )~ ( ~)σ µ2 2
1
1
1
∗
=
=
−
−ån
xi
i
n
.
Z naměřených hodnot xi vyřadíme všechny, pro které je:
xi − ≥ ∗~ ~µ σ3
a zopakujeme výpočet odhadů střední hodnoty ~µ a standartní
odchylky ~σ∗
.
46
b) Je-li k dispozici údaj o přesnosti měřidla (např. třída přesnosti) na
jehož základě je možno vyhodnotit chybu jediného měření,
považujeme tuto chybu za odhad rozptylu σσσσodh .
Stanovíme-li chybu měření odhadem, považujeme tento odhad za
chybu na hladině 3σσσσodh .
c) Spojíme oba výsledky:
( )σ σ σcel odh
2 2 2
= +
∗
~
Výsledek měření zapíšeme ve tvaru:
( )[ ]X Xcel= ±~µ σ
popř.:
[ ]X
n
Xcel= ±
æ
è
ç
ö
ø
÷
~µ σ
1
kde chyba má nyní význam chyby aritmetického průměru.
Pozor na rozdílný fyzikální význam obou zápisů: Disperse jediného měření
odhaduje šířku rozdělení pravděpodobnosti, kterou bychom testovali
opakovaným měřením veličiny x.
Disperse aritmetického průměru odhaduje šířku rozdělení náhodné veličiny,
kterou bychom testovali opakovaným měřením aritmetických průměrů
(z opakovaných nezávislých měření).
6.5. Přenos chyb.
Mějme náhodnou veličinu y , která je funkcí náhodných proměnných xi
(i=1,2,...,n):
y f x x xn≡ ( , ,......., )1 2
Náhodné veličiny xi nechť jsou popsány rozděleními pi(xi) se středními
hodnotami µµµµi a dispersemi σσσσ2
i .
V malém okolí bodu µµµµ ≡≡≡≡ f(µµµµ1, µµµµ2,......,µµµµn ) je možno rozvést funkci
f(x1,x2,....,xn) v řadu:
47
y f
f
x
xn
i
i i
i
n
n
= +
æ
è
ç
ö
ø
÷ − +
=
å( , ,......., ) ( ) ......
( ,..., )
µ µ µ
∂
∂
µ
µ µ
1 2
1
1
Potom je zřejmě:
µ µ µ µy ny f≡ = ( , ,......., )1 2
a dále:
σ
∂
∂
σ
µ µ
y
i
x
i
n
f
x
n
i
2
2
2
1
1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
å
( ,..., )
,
protože disperse konstanty je nula.
6.6. Zpracování výsledků nepřímých měření
Máme-li k dispozici odhady středních hodnot a disperzí jednotlivých veličin
xi , tedy hodnoty
~µ i a ( )~σ x i
2
∗
stanovené měřením jednotlivých veličin, je
možno použít výše uvedený vztahy k odhadu střední hodnoty a disperze veličiny
y :
~ (~ ,~ ,.......,~ )µ µ µ µy nf= 1 2
( ) ( )~ ~* *
( ~ ,..., ~ )
σ
∂
∂
σ
µ µ
y
i
x
i
n
f
x
n
i
2
2
2
1
1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
å
Příklad: Měříme hustotu látky měřením objemu a hmotnosti daného
množství. Hustotu stanovíme ze vztahu: ρ = m / V .
Výsledky měření: m = (7.8594 ± 0.0003) kg
V = (1.0012 ± 0.0002) 10-3
m3
Výpočet hustoty:
~ . .ρ = −
7849980024 103 3
kgm
Chyba měření:
~ ~ ~
~ ,
~ ~ ,
~
σ
∂ρ
∂
σ
∂ρ
∂
σρ
2
2
2
2
2
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
m Vm V m V
m V
48
= +
1
2
2
2
4
2
~
~
~
~
~
V
m
V
m Vσ σ
~
~
~
~
~
~
~
~ ~η
σ
ρ
σ σ
η ηρ
ρ2
2
2
2
2
2
2
2 2
= = + = +m V
m V
m V
Výpočet chyby:
~ .σ ρ
2 2 6
2 546889874= −
kg m
~ .σ ρ = −
1 595897827 3
kg m
Zaokrouhlíme:
~ .σ ρ = −
1 6 3
kg m
~ . .ρ = −
78500 103 3
kgm
Výsledek:
~ ( . . ) .ρ = ± −
78500 00016 103 3
kgm
ηρ ≅ 2.10-4
, chyba vážení je zanedbatelná !!!!!!
Příklad: Měříme modul pružnosti ve smyku metodou torsního kyvadla
realizovaného masivní tyčkou zavěšenou na měřeném vlákně. Měření
provádíme v uspořádání podle obrázku. Pro modul pružnosti ve smyku G
materiálu závěsného vlákna platí (viz např. J.Brož: Základy fyz. měření):
G
J l
r T
=
8
4 2
π
kde l je délka vlákna, J je moment setrvačnosti tyčky podle osy otáčení (kolmé k
ose tyčky), r je poloměr vlákna a T je doba kmitu kyvadla.
Nezávislými měřeními stanovíme hodnoty veličin l, J, r, T:
a) délku závěsu měříme kovovým měřítkem a naměříme l= 500mm.
Uvážením okolností měření (nejasný bod upnutí, napnutí vlákna, přesnost
měřítka, odhadneme přesnost měření na hladině 3σ na hodnotu 3 mm.
Výsledek: l = (500 + 1). 10-3
m
b) moment setrvačnosti tyčky J stanovíme podle vztahu:
J
mL
=
1
12 2
.
kde m je její hmotnost a L její délka. Hmotnost je stanovena: m = (122.9
+ 0.1) 10-3
kg.
Délku měříme posuvným měřítkem a naměřené hodnoty:
Číslo 1 2 3 4 5
49
měření
L (mm) 200.1 200.1 200.0 200.0 200.0
Podle vztahu: ~
L Li
i
=
=
å
1
5 1
5
stanovíme: ~
.L mm= 200 04
Podle vztahu: ( ) ( )~ . .
*
σ 2 2 2
1
5
1
4
200 04 0 003675= − =
=
å L mmi
i
Potom: ~ .*
σ = 0 060621 mm , zaokrouhlíme!!! ~ .*
σ = 0 06 mm
Odhadneme přesnost měřidla na úrovni 3σ = ± 0.05 mm.
Spojíme oba výsledky:
( ) ( ) ( )~ ~ . ~ .
* * *
σ σ σ σL cel stat odh L cel
mm mm2 2 2 2
00039527 0062871= + = → =
po zaokrouhlení !!!! ( )~ .
*
σ L cel
mm= 0 06
Celková chyba měření není tedy chybou měřidla ovlivněna:
Výsledek: L = (200.04 + 0.06).10-3
m
Dosazením do výrazu pro moment setrvačnosti dostaneme:
J = 4.0983.10-4
kgm2
.
Podle vztahu pro přenos chyby sečteme čtverce relativních chyb:
( )
( ) ( )~
~
~
~
~
*
* *
η
σ σ
J
m L
m L
2
2
2
2
2
4= +
Dostaneme:
( ) ( )~ . . ~ . .
* *
η ηJ J
2 6 3
1021910 1010810= → =− −
Odtud: ( )~ . .
*
σ J = −
4142510 7
zaokrouhlíme:
~ .*
σ J kgm= −
410 7 2
Výsledek: J = (4.098 + 0.004).10-7
kgm2
c) dobu kmitu měříme stopkami s odhadnutou relativní přesností 3.ηT,odh =
1.10-3
.
Naměříme následující hodnoty pro 10 kmitů:
č.měř
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
(sec)
61.2 61.0 62.2 61.3 62.6 62.1 61.0 61.8 61.8 62.4
50
Najdeme:
( )~
. sec, ~ . sec ~ . sec
*
,
*
T T stat T stat= = → =6174 0 0033133 0 062 2
σ σ
Z výše provedeného odhadu:
~ . sec,σ T odh = −
210 3
. Je tedy zřejmé, že
( ) ( )~ ~ ~ . sec,
*
, ,
*
σ σ σT cel T stat T cel
2 2
0 06= → =
Výsledek: T = (6.17 ± 0.06) sec
d) poloměr vlákna je zadán výrobcem ve tvaru:
r = (0.207 + 0.003) mm Þ r = (2.07 + 0.03).10-3
m
e) nyní můžeme dosadit do vztahu pro hledaný modul: Najdeme:
~
. . secG kgm= − −
7 3676108 1 2
f) pro relativní chybu měření platí:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ . ~ . ~* * * * *
η η η η ηG l J T r
2 2 2 2 2
4 16= + + +
dále:
( ) ( ) ( ) ( )~ . , ~ . , ~ . , ~ . .
* * * *
η η η ηl J T r
2 6 2 6 2 4 2 4
410 110 110 2 2510= = = =− − − −
Potom:
( ) ( )~ . .
*
ηG
2 6 6
4 1 400 3600 10 400510= + + + = →− −
~ . ~ . . sec* *
η σG G kgm= → =− − −
610 4 4205102 7 1 2
Po zaokrouhlení:
~ . sec*
σ G kgm= − −
4107 1 2
Výsledek: G = (7.4 + 0.4).108
kgm-1
sec-2
Poznámka: Z výše uvedeného je zřejmé, že slabým místem experimentu je
nízká přesnost stanovení poloměru vlákna. Chceme-li proto užít této metody pro
stanovení modulu pružnosti s vyšší přesností, je třeba uvažovat například o užití
vlákna o větším poloměru, a současně zajistit dostatečnou přesnost měření doby
kmitu, která se bude s rostoucím poloměrem vlákna zkracovat.
51
7. Metoda nejmenších čtverců
Je-li znám explicitně tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro
interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců.
Teoretická závislost nechť má tvar:
y f xabc= , , ,....( )
kde a,b,c,.. jsou parametry.
Mějme k disposici n dvojic naměřených hodnot (xi ,yi ), i=1,2,..,n.
Předpokládáme, že přesnost nastavení hodnot nezávisle proměnné xi je řádově
větší, než přesnost měření závisle proměnné yi , která má obecně pro každý bod
jinou dispersi (σ y
2
).
Vytvoříme veličinu:
S a b c
f x ya b c i i
ii
n
2
2
2
1
( , , ,...)
( ( ) ), , ,....
=
−
=
å σ
Funkce, která optimálně interpoluje měřenou závislost, je taková, pro kterou je
hodnot S2
(a,b,c,..) minimální.
Úloha teda spočívá v nalezení minima funkce proměnných a,b,c, ... . Pro větší
počet parametrů a složitější funkce se řeší numericky.
7.1. Polynom k-tého stupně:
Pro polynom:
y a a x a x a xk
k
= + + + +0 1 2
2
.......
je S2
funkcí k+1 parametrů ai , i=1,2,...,k.
Podmínkou minima je současné splnění podmínek:
∂
∂
S a a a
a
k
i a ai i
2
0 1
0
( , ,...., )
~
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
=
,
kde i= 0,1,2,...,k, což znamená soustavu k+1 rovnic o k+1 neznámých ai .
Nechť pro jednoduchost je σi
2
= σ2
pro všechna i = 0,1,2,...,k, což je dosti častý
praktický případ. Potom z podmínek nulových derivací plyne:
~ . ~ .......... ~a n a x a x yi k i
k
i
i
n
i
n
I
n
0 1
111
+ + + =
===
ååå
52
~ . ~ ....... ~a x a x a x y xi
i
n
i k i
k
i i
i
n
i
n
I
n
0
1
1
2 1
111=
+
===
å ååå+ + + =
..................................................................
..................................................................
~ . ~ ....... ~a x a x a x y xi
k
i
n
i
k
k i
k
i i
k
i
n
i
n
I
n
0
1
1
1 2
111=
+
===
+ + + =
Jednotlivé koeficienty získáme řešením soustavy rovnic.
Je známo, že platí:
~a
Det
Det
i
i
s
=
kde Dets je determinant soustavy a Deti je determinant soustavy s i-tým
sloupcem nahrazeným sloupcem pravých stran.
a) speciální případ lineární funkce (y = ax):
S a
ax yi i
ii
n
2
2
2
1
( )
( )
=
−
=
å σ
Potom:
~a
x y xi
i
i i
ii
n
I
n 2
2 2
11 σ σ
=
==
åå
Odtud:
~a
y x
x
i i
ii
n
i
ii
n
= =
=
å
å
σ
σ
2
1
2
2
1
Jsou-li σi = σ pro všechna i = 1,...,n , potom:
~a
y x
x
i i
i
n
i
i
n
= =
=
1
2
1
Označme dále:
53
y Y x y XY x X x XX y YYi i i
i
n
i i
i
n
i
n
i
n
i
i
n
= = = = =
= === =
å ååå å, , , ,
1
2
111
2
1
potom:
~a
X Y
X X
=
Odhad ~a je nevychýlený, protože platí:
~a
x
XX
y
x
XX
ax ai
i
i
i
i
n
i
n
= = =
==
åå 11
Toto je obecná vlastnost odhadů metodou nejmenších čtverců.
Disperse odhadu ~a :
Odhad ~a je náhodná veličina, kterou lze za předpokladů uvedených výše
vyjádřit ve tvaru:
~a
x
XX
yi
i
n
i=
=
å1
tedy ve tvaru lineární kombinace náhodných veličin yi s koeficienty
x
X X
i
.
Podle věty o dispersi lineární kombinace nezávislých veličin platí:
σ σ~a
i
y
i
n
x
XX i
2
2
2
1
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
å
Jsou-li veličiny: σ yi
2
známé a stejné pro všechna i, σ σyi
2 2
= , pro
i=1,...,n (všechny body jsou měřeny se stejnou přesností), potom:
~
~
~σ
σ
a
XX
2
2
=
Není-li hodnota
~σ 2
známá, lze ji odhadnout ze souboru naměřených hodnot
(xi ,yi). V analogii s případem jedné proměnné odhadneme:
54
( )~
~
σ2
2
1
2
1
=
−
≡
=
å
y ax
n
R
n
i i
i
n
kde R1
2
je zbytková suma čtverců odchylek. Opět lze ukázat (viz seminární
úlohy), že odhad je vychýlený:
Pro nevychýlený odhad volíme hodnotu:
( ) ( )~
~*
σ 1
2
2
1
2
1 1 1
=
−
−
≡
−=
å
y ax
n
R
n
i i
i
n
Označíme-li počet parametrů úlohy jako počet stupňů volnosti, je výše
diskutovaný případ případem s jediným stupněm volnosti. V obecném případě s
p-stupni volnosti platí:
( )~σ p
i i p
i
n y ax
n p
R
n p
2
2 2
1
=
−
−
≡
−=
å
b) obecná přímka y = a0 + a1 x :
Determinant soustavy rovnic m tvar:
Det
n X
X XX
n XX Xs = = −. 2
Ostatní determinanty potřebné pro výpočet koeficientů a0 a a1 jsou potom:
Det Y XX X XY Det n XY X Y0 1= − = −. . , . .
Potom:
~ . .
.
, ~ . .
.
a
Y XX X XY
n XX X
a
n XY X Y
n XX X
0 2 1 2
=
−
−
=
−
−
Veličiny X a XX lze chápat jako konstanty (náhodnými proměnnými jsou
pouze hodnoty yi ).
V tomto případě lze opět výrazy pro ~a0 a ~a1 přepsat jako lineární kombinace
náhodných proměnných yi a pro jejich dispersi použít větu o dispersi lineární
kombinace náhodných proměnných:
( )~
.
. .
.
.
a
n XX X
XX y X x y
XX X x
n XX X
y
i
n
i i i
i
i
i
n
0 2
1
2
1
1
=
−
− =
−
−= =
å å
55
σ σ~
.
.
a
i
i
i
n
XX X x
n XX X0
2
2
2
2
1
=
−
−
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
å
pokud je opět: σi
2
= σ2
pro všechna i = 1,.....,n (všechna měření jsou stejně
přesná), je možno snadno ukázat:
σ σ~
.
a
XX
n XX X0
2
2
2
=
−
odhad veličiny σ2
provedeme opět pomocí výše uvedeného vztahu pro p=2:
( )~ *
σ 2
2 2
2
2
=
−
R
n
S trochou trpělivosti je možno i v tomto případě ukázat, že platí (viz. seminární
úlohu 28):
( )
( )~
~ ~
*
σ σ2
2
2
1
2
2
2
2 2
=
− −
−
≡
−
=
=
å
y a bx
n
R
n
i i
i
n
(***)
Seminární úloha 28: Dokažte výše uvedený vztah (***):Celkově je tedy:
( )~
.
~
*
σ a
XX
n XX X
R
n0
2
2
2
2
2
=
− −
Pro odhad chyby koeficientu a1 dostaneme obdobně:
( )~
.
. .
.
.
a
n XX X
n x y X y
n x X
n XX X
y
i
n
i i i
i
i
i
n
1 2
1
2
1
1
=
−
− =
−
−= =
å å
a dále:
å=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
=
n
1i
2
i
2
2
i2
a~ σ
Xn.XX
Xn.x
σ 1
pro σi
2
= σ2
pro všecha i =1, .... , n potom dostaneme:
56
σ σ~
.
a
n
n XX X1
2
2
2
=
−
Odhadneme-li opět veličinu σ2
jako výše:
( )~
.
~
*
σa
n
n XX X
R
n1
2
2
2
2
2
=
− −
Tímto způsobem lze v případě platnosti výše uvedených předpokladů (což je
častý případ) odhadnout regresní koeficienty a 0 a a1 a stanovit chybu těchto
odhadů.
Pro případ většího počtu parametrů nelze použít výše uvedené linearizační
postupy. Problém stanovení chyby parametrů interpolační funkce je nutno řešit
obecnějšími metodami matematické statistiky, které přesahují rámec úvodního
kursu.
V případě obecnějších funkcí se dvěma parametry se často používá převedení na
lineární problém pomocí transformace souřadnic. V tomto případě však již
nemusí být splněna podmínka o stejné přesnosti měřených bodů a je nutno
použít obecných, výše uvedených formulí.
Příklad: Funkci y = a.exp(bx) lze logaritmováním převést lineární
závislost typu:
Y ≡ ln(y) = ln(a) + bx = A + bx.
Jsou-li ve všech měřených bodech hodnoty σy
2
= σ stejné, tedy
nezávislé na y , jsou hodnoty σY
2
≡ σln y
2
na y závislé, tedy
pro různá yi různé.
7.2. Obecnější postup pro funkce více parametrů
a) přímka procházející počátkem
definujme funkci: ( ) ( )S a y ax YY aXY a XXi i
i
n
2 2 2
1
2= − = − +
=
å
Potom: ( ) ( )S a R y ax YY aXY a XXi i
i
n
2
1
2 2 2
1
2~ ~ ~ ~≡ = − = − +
=
å
Dosadíme za:
~a
XY
XX
=
a výsledek:
57
( )
R YY
XY
XX XX n
YY
XY
XX
a1
2
2
2
2
1
1
= − → =
−
−
æ
è
ç
ö
ø
÷
~
.
~σ
Vypočítáme dále:
( )S a R
R
n
a
2
1
2 1
2
1
~ ~ ~+ = +
−
σ
Zavedeme redukovanou sumu čtverců odchylek:
( )S a
S a
R
red
2
2
1
2
=
( )
Tato funkce má minimum v bodě ~a s amplitudou Sred
2
( ~a ) = 1 a v bodě
~ ~~a a±σ má amplitudu:
( )S a
n
red a
2
1
1
1
~ ~ ~± = +
−
σ
Chybu odhadu parametru a je tedy možné stanovit také tak, že na závislosti
Sred
2
(a) najdeme body:
~ ~~a a±σ ,
ve kterých má funkce Sred
2
(a) amplitudu: 1
1
1
+
−n
.
Tento postup se užívá i pro funkce více parametrů (více stupňů volnosti).
b) Zobecnění:
Při p parametrech ai ( i=1, ... , p) vypočítáme postupně závislosti Sred
2
(ai ).
Na každé takové závislosti najdeme intervaly:
~ ~~ai ai
±σ
nalezením bodů s amplitudou: 1
1
+
−n p
.
Intuitivní názor na oprávněnost takového postupu vyplývá z analogie
předvedené výše pro jediný parametr.