Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko-správní fakulta Statistika distanční studijní opora Marie Budíkova Brno 2004 Socrates Grundtvig Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES — Grundtvig. Za obsah produktu odpovídá válučné autor, produkt nereprezentuje názory Evropské komise a Evropská komise neodpovídá za použití informací, jez jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product Statistika Vydala Masarykova univerzita v Brne Ekonomicko-správní fakulta Vydá n í pilotn í verze Brno, 2004 RNDr. Marie Bud íková , Dr. Publikace neprošla jazykovou úpravou Identifikace modulu Znak ■ KMSTAT Nazev ■ Statistika Garant/autor ■ RNDr. Marie Budíková, Dr. Statistika jako metoda analýzy dat patrí k vedním disciplínám, v nichž by mel být vzdeian každý ekonom. Její role v ekonomii je zcela nezastupitelna, nebot' moderní rízení je založeno na nepretržitem vyhodnocovýní informací o hospodírství jako celku i jeho subsystemech, a tyto informace poskytuje a nísledne zpracovava príve statistika. Primerena znalost zakladních statistickych pojmu je pro ekonoma dulezita take proto, ze mu pournlm porozumet odborne ekonomicke literature, jejízz nektere casti statistiku v hojne míre vyuzívají. Vyznam statistiky v poslední dobe neustale roste, coz uzce souvisí s rozvojem vypocetní techniky, ktera je pouzívína jak pri sberu a prenosu dat, tak pri jejich zpracovaní a uklí-dím informací. Dovednosti a znalosti získané po studiu textu Predmet „Statistika" vís nm predevsím naucit zpracovívat data, kterí se tíkají ekonomi ckích jevu, tj. data trídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Velke mnozství príkladu, které jsou soucastí ucebního textu, vam pomuze pri formulovaní vlastních íloh a víberu spravne metody. Nauďte se rovnez vyuzívat vypocetní techniku pri résení ekonomickych problemu. Časový plán Časová náročnost ■ prezenční část 22% ■ samostudium 78% celkový studijní čas ■ 14 tádnu Harmonogram ■ prednaSky 24 hodin ■ samostudium a prace s počítačem 85 hodin 3 doporučená literatura: [1] Anděl J.: Matematická statistika. SNTL/Alfa Praha 1978. [2] Arltová M., Bílková D., Jarošová E., Pourová Z.: Sbírka přákladů ze statistiky (Statistika A). VŠE Praha 1996. [3] Budíková M., Mikoláš ě., Ošecký P.: Popisná statistika. MU Brno 2001. [4] Budíková M., Mikoláš ě., Ošecká P.: Teorie pravděpodobnosti a matematicka statistika. Sbírka príkladu. MU Brno 2001. [5] HebÁk P., KahounovÁ J.: Pocet pravdepodobnosti v prákladech. SNTL Praha 1978. [6] Karpíšek Z.: Pravdepodobnostná metody. VUT Brno 2000. [7] Karpíšek Z., Drdla M.: Statistické metody. VUT Brno 1999. [8] NovoviěOVÁ J.: Pravdřpodobnost a matematická .statistika. (ČVUT Praha 2002. [9] Stuchlý J.: Statistika I. Cvičená ze statistickájch metod pro managery. VSŠE Praha 1999. Vybavení ■ PC ■ CD-ROM Navod prace se studijními texty Text je rozvržen do 13 kapitol a 2 príloh. 1. az 4. kapitola se zabývají popisnou statistikou. Popisna statistika je disciplína, ktera pomočí ruznáčh tabulek, grafu, funkčionalníčh a číselnáčh charakteristik sumarizuje informace obsaŠzeníe ve velkíem mnoŠzstvíí dat. PouŠzíívaí jen zíakladníí matematičkíe operače a lze ji snadno počhopit. Její dulezitost spočíví jednak v tom, ze se v praxi velmi Ščasto pouŠzívía a jednak motivuje pojmý, kteríe jsou potŠreba v poŠčtu pravdŠepodobnosti. 5. aŠz 10. kapitola vías sezníamí s poŠčtem pravdŠepodobnosti, kteríý se zabíývía studiem zíakonitostí v níahodnýíčh pokusečh. Matematičkíými prostŠredký modeluje situače, v ničhŠz hraje roli níahoda. Pod pojmem níahoda rozumíme působení faktoru, které se zivelne mení pri ruznýčh provedeníčh téhoz pokusu a nepodlíehají naŠsí kontrole. 11. az 13. kapitola obsahují zakladní poznatky o matematičke statističe. Ma-tematičkaí statistika je vŠeda, ktería analýzuje a interpretuje data pŠredevŠsím za učelem získíní predpovedi a zlepsení rozhodovíní v ruzníčh oblastečh lidske Ščinnosti. PŠri tom se Šrídí prinčipem statističkíe indukče: na zíakladŠe znalostí o níahodníem výíbŠeru z urŠčitíeho rozloŠzení pravdŠepodobností se snaŠzí odvodit vlastnosti tohoto rozloŠzení pravdŠepodobností. PŠríloha A je tvoŠrena výbraníými statističkíými tabulkami, konkríetnŠe obsahuje hodnotý distribuŠční funkče standardizovaníeho normíalního rozloŠzení, kvantilý 4 standardizovaného normálního rozložení, Pearsonova rozložení x2(n), Studentova rozložení t(n) a Fisherova-Snedecorova rozložení F(ni,n2). Príloha B pak obsahuje informace o programovem systemu STATISTICA a podrobne nívody na jeho pouzití. V Úvodu 1. az 13. kapitoly je vzdy vymezen cíl kapitoly a je uvedena casova zatez, ktera je potrební ke zvladnutí príslušne kapitoly. Kapitoly jsou uzav-reny stručným shrnutím probrane lítky a kontrolními otazkami a íkoly. Ty ukoly, jejichz resení je nutne ci alespoň vhodne provadet pomocí systemu STATISTICA, jsou oznaceny (S). Vísledky ukolu muzete porovnat s vísled-ky, k nimz dospela autorka ucebního textu. 1. az 13. kapitola jsou usporadany v logickem sledu. Do prílohy A budete nahlízet podle potreby a príloha B vam poslouzí rovnez prubezne. 5 Obsah Obsah 1. Základní, výběrový a datový soubor...............................................13 2. Bodově a intervalově rozložení četností...........................................21 3. Číselně charakteristiky znakU......................................................39 4. Regresní prímka....................................................................49 5. Jev a jeho pravdepodobnost.......................................................57 6. Stochastický nezavisle jevý a podmínena pravdepodobnost.....................65 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce.........................................71 8. Výbrana rozložení diskretních a spojitých nahodných velicin.....................85 9. (Číselne charakteristiký nahodných velicin........................................97 10. Zakon velkých císel a centrální limitní veta.......................................111 11. Zakladní pojmý matematicke statistiký...........................................117 12. Bodove a intervalove odhadý parametru a parametrických funkcí...............123 13. Úvod do testovaní hýpotez a testý o parametrech normalního rozlození........137 Príloha A - Statisticke tabulký.........................................................147 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTIČA 6............................163 8 Úvod Úvod Proč se zabývat statistikou? Statistika je metoda analýzy dat, která nachází široké uplatnění v cele řadě ekonomických, technických, prírodovedných a humanitních disciplín. Její význam v poslední dobe neustale roste, coz ýzce souvisí s rozvojem výpocetní techniky, ktera je pouzívana jak pri sberu a prenosu dat, tak pri jejich zpracovaní a ukladíní informací. Role statistiky v ekonomii je zcela nezastupitelna, nebot' moderní rízení je založeno na nepretržitem vyhodnocovaní informací o hospodarství jako celku i jeho subsystemech, a tyto informace poskytuje a nasledne zpracovava prave statistika. Primerena znalost zakladních statistickích pojmu je pro ekonoma dulezita take proto, ze mu pomaha porozumet odborne ekonomicke literature, jejízz nektere (časti statistiku v hojne míre vyuzívají. Aplikovat statistiku znamení shromazd'ovat data o studovanych jevech a zpracovávat je, tj. trídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Statistika se tak pro ekonoma ocita v tesnem sousedství informatiky a vípocetní techniky a je pripravena resit ekonomicke problemy pomocí kvantitativní analyízy dat. 10 Způsob studia Způsob studia Co lze očekávat od tohoto textu? V predmetu „Statistika" se budeme zabívat tremi oblastmi statistiky, a to popisnou statistikou, poňctem pravdňepodobnosti a matematickou statistikou. Popisná statistika je disciplína, ktera pomocí ruznych tabulek, grafu, funkcionaílních a ňcíselnyích charakteristik sumarizuje informace obsaňzeníe ve velkíem mnoňzství dat. Pouňzívaí jen zíakladní matematickíe operace a lze ji snadno pochopit. Její dulezitost spocíva jednak v tom, ze se v praxi velmi ňcasto pouňzíívía a jednak motivuje pojmy, kteríe jsou potňreba v poňctu pravdňepodobnosti. PoCet pravděpodobnosti se zabyva studiem zakonitostí v nahodních pokusech. Matematickymi prost redky modeluje situace, v nichz hraje roli nahoda. Pod pojmem nahoda rozumíme pusobení faktoru, ktere se zivelne mení pri ruzních provedeních tehoz pokusu a nepodlehají nasí kontrole. Matematická statistika je veda, ktera analyzuje a interpretuje data predevsím za ucelem získaní predpovedi a zlepsení rozhodovaní v ruznych oblastech lidske cinnosti. Pri tom se rídí principem statisticke indukce: na zaíklad e znalostíí o níahodníem víyb eru z ur citíeho rozlo zeníí pravd epodobnostíí se sna zíí odvodit vlastnosti tohoto rozlo zeníí pravd epodobnostíí. K uspesnemu zvlídnutí predmetu „Statistika" je zapotrebí ovlídat kombinatoriku, zíaklady diferenciíalníího a integraílníího po ctu jedníe a dvou prom ennyích a zníat zaíklady príace s osobníím po cííta cem. Velmi uí cinnyím prost redkem pro re seníí statistickyích uíloh je programovyí system STATISTICA, jehoz instalacní CD je soucastí studijních materialu. Informace o tomto systíemu a podrobníe níavody na jeho pouňzitíí jsou uvedeny v príloze B studijních materialu. Príklady ci íkoly, jejichz resení je nutne ci alespon vhodníe provaíd et pomocíí systíemu STATISTICA, jsou ozna ceny (S). P rííloha A obsahuje vybraníe statistickíe tabulky, konkríetn e hodnoty dis-tribu cníí funkce standardizovaníeho normaílníího rozlo zeníí, kvantily standar-dizovaníeho normaílníího rozlo zeníí, Pearsonova rozlo zeníí x2(n), Studentova rozlození t(n) a Fisherova-Snedecorova rozlození F(n1,n2). Vsechny tyto tabelovaníe hodnoty (a samoz rejm e mnohíe dal síí) lze zíískat pomocíí systíemu STATISTICA. 12 I 1 Základní, výběrový a datový soubor 1. Základní, výberový a datový soubor I Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: vymezit zaíkladní soubor a jeho objekty ■ stanovit víberovy soubor ■ spocítat absolutní a relativní cetnosti mnozin ve víberovem souboru a znít vlastnosti relativní cetnosti a podmínene relativní cetnosti ■ overit cetnostní nezývislost dvou mnozin ve víberovem souboru vytvo rit datovíy soubor ■ usporádat jednorozmerny datovy soubor a stanovit vektor variant vypo cíítat absolutníí a relativníí cetnost jevu ve víyb erovíem souboru Casova zatez Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 4-5 hodin studia. Nejprve se seznamíme s definicí zakladního a vyberoveho souboru a pojmem absolutní a relativní cetnosti mnoziny v danem vyberovem souboru. Uvedeme príklad, s jehoz razními variantami se budeme setkavat ve vsech kapitolích venovaních popisne statistice. Rovnez shrneme vlastnosti relativní cetnosti. 1.1. Definice Zakladním souborem rozumíme libovolnou neprázdnou mnozinu E. Její prvky znaďme e a nazyvame je objekty. Libovolnou neprázdnou podmnozinu {e\,... ,en} základního souboru E nazýváme výběrový soubor rozsahu n. Je-li G C E, pak symbolem N(G) rozumíme absolutní četnost mnoZiný G ve vyberovem souboru, tj. počet tech objektu mnoZiný G, které patrí do výběrového souboru. Relativní (četnost mnoZiný G ve vyberovem souboru zavedeme vztahem n 1.2. Příklad Zakladním souborem E je mnozina vsech ekonomicky zamerenych studentu 1. rocníku ceskích vysokích skol. Mnozina G1 je tvorena temi studenty, kterí uspeli v prvním zkusebním termínu z matematiky a mnozina G2 obsahuje ty studenty, kterí uspeli v prvním zkusebním termínu z anglictiny. Ze zakladního souboru bylo nahodne vybrano 20 studentu, kterí tvorí víberoví soubor (ei,... ,e2o}- Z techto 20 studentu 11 uspelo v matematice, 15 v anglictine a 11 v obou predmetech. Zapiste absolutní a relativní cetnosti uspesnych matematiku, anglictiníru a oboustranne Ušpešných studentu. RResení: N(Gi) = 12, N(G2) = 15, N(Gi n G2) = 11, n = 20 p(Gi) = ^ = 0,6, p(G2) = 0,75, p(Gi n G2) = ^ = 0,55 14 Vidíme, že úspěšných matematiků je 60%, angličtinářů 75% a oboustranně úspěšných studentů jen 55%. 1.3. Věta Relativní četnost ma nýsledůjících 12 vlastností, ktere jsou obdobne vlastnostem přocent. ■ p(0) = O ■ p(G) > 0 ■ p(G1UG2)+p(G1r\G2)=p(G1)+p(G2) m l+p(GlnG2)>p(Gl)+p(G2) ■ p(G1UG2)• p(Gl) < p(G2) m P(E) = 1 _ ■ p{G)+p{G) = 1 ■ P(G) < 1 Pokud se v danem žýkladním souborů žajímýme o dve podmnožiny, můžeme žavest pojem podmínene relativní četnosti jedne podmnožiny v danem vý-berovem souborů ža předpokladů, že objekt pochaží ž druhe podmnožiny. V nýsledujícím príkladu výpocteme podmínene relativní cetnosti ůspesných matematiků meži ůspesnými anglictinari a naopak. 1.4. Definice Necht' E je žýkladní soubor, G\, G2 jeho podmnožiny, {e\,..., en] výberový soubor. Definujeme podmíněnou relativní četnost množiny Gi ve víberovem souborů ža predpokladu G2: !n lri ,_N(G1nG2) _P(G1nG2) P{GllG2) N(G2) p{G2) a podmíněnou relativní četnost G2 ve víberovem souborů ža predpokladu G1: ín .„ , iV(GinG2) _P(G1nG2) 1.5. Příklad Pro ůdaje ž príkladu 1.2 výpoctete podmínenou relativní cetnost ůspeSných matematiků meži uspesními anglictinari a podmínenou relativní cetnost ů- spesných anglictinarů meži ůspeSnými matematiký. IŘěšění: p(G\\G2) = y| = 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří byli úspěšní v an-glictine, uspelo i v matematice) 15 1. Základní, výběrový a datový soubor I p(G2|Gi) 11 12 0,92 (tzn., ze 92% tech studentů, kteří byli úspěšní v ma- tematice, uspelo i v angličtine) Nyní se naučíme, jak oveřovat četnostní nezúvislost dvou mnoZin v danem vúbeřovem souboru. Znamena to, Ze informace o puvodu objektu z jedne mnoZiny nijak nemení sance, s nimiz soudíme na jeho puvod i z dřuhe mnoziny. Oveříme, zda uspech v matematice a anglictine jsou v danem vy-beřovem soubořu cetnostne nezavisle. 1.6. Definice Řekneme, ze mnoziny G1,G2 jsou cetnostne nezávislé v danem vybeřovem soubořu, jestli ze p(Gi n G2)= p(Gi) • p(G2). (V přaxi jen zřídka dojde k tomu, ze uvedení vztah platí přesne. Vetsinou je jen nazna cena uř citía tendence cetnostníí nezíavislosti.) 1.7. Příklad Přo udaje z příkladu 1.2 zjistete, zda uspechy v matematice a anglictine jsou v daníem vyíb eřovíem soubořu cetnostn e nezíavislíe. Řešení: p(G1 n G2) = 0,55, p(G1) • p(G2) = 0,6 • 0,75 = 0,45, tedy skutecní řelativní cetnost oboustřanne úspeSnúch studentu je vetsí nez by odpovídalo cetnostní nezavislosti mnozin G1, G2 v danem víbeřovem sou-bořu. Nyníí ka zdyí objekt zíakladníího soubořu ohodnotííme jedníím nebo vííce cíísly pomocí funkce, kteří se nazyví znak. Císla, kteří se vztahují pouze k objektum vyíb eřovíeho soubořu sestavííme do matice zvaníe datovyí souboř. Vystv etlííme si, co to je uspořadany datovy souboř a vektoř vařiant. Uvedene pojmy ob-jasnííme na p řííkladu. 1.8. Definice Necht' E je zakladní souboř. Potom funkce X : E — R, Y : E — R, ..., Z : E — R, kteře kazdemu objektu přiřazují císlo, se nazývají (skalární) znaky. Uspořadana p-tice (X, Y,..., Z) se nazyva vektořovy znak. 1.9. Definice Necht' je dan vybeřoví souboř ..., en} C E. Hodnoty znaku X, Y,..., Z přo i-tí objekt oznacíme Xj = X(e), y = Y(e), ..., z = Z(e), i = 1,..., n. Matice X1 V1 X2 y2 Z1 Z2 16 typu n x p se nazývá datový soubor. Její řádky odpovídají jednotlivým objektům, sloupce znakům. Libovolný sloupec teto matice nazývýme jednorozměrným datovým souborem. Jestliže uspořadýme hodnoty nektereho znaku (např. znaku X) v jed-norozmernem datovem souboru vzestupne podle velikosti, dostaneme uspořádaný datový soubor rx(i) I kde x(1) < x (2) < • • • < x (n). Vektor X (n) X[1] x[n] kde x[1] < • • • < x[r] jsou navzýjem ruzne hodnoty znaku X, se nazýva vektor variant. 1.10. Příklad Pro studenty z výberoveho souboru u vedeneho v príkladu 1.2 byly zjist'ovany hodnoty znaku X - znamka z matematiky v prvním zkusebním termínu, Y - znamka z angličtiny v prvním zkusebním termínu, Z - pohlaví studenta (0 ... zena, 1... muz). Byl získan datoví soubor 3 1 4 0 4 4 1 3 3 1 1 4 440 440 441 130 Utvorte jednorozmerní usporadaní i neusporadaní datový soubor pro znam-ky z matematiky a vektory variant pro zníamky z matematiky. 17 1. Základní, výběrový a datový soubor V závěrečné partii této kapitoly se seznámíme s pojmem jevu a jeho absolutní a relativní četnosti. V nasledujíčím príkladu vypočítame konkretní absolutní a relativní četnosti nekolika jevu. 1.11. Definice Nečht' {či, ..., £„} je výberový soubor, X, Y,..., Z jsou znaky, B, B1,..., Bp jsou číselne mnoZiny. Zapis {X G B} znamena jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B" a zapis {X G B1 A Y G B2 A ...Z G Bp} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B1 a současně znak Y nabyl hodnoty z mnoZiny B2 atd. az znak Z nabyl hodnoty z množiny Bp". Symbol N (X G B) značí absolutní četnost jevu X G B ve víberovem souboru, tj. počet tečh objektu ve víberovem souboru, pro nez x G B. Symbol p(X G B) znamená relativní četnost jevu {X G B} ve vyberovem souboru, tj. p(x e B) = mi*. n Analogičky N (X G Bi A Y G B2 A • • • A Z G Bp) resp. p(X G Bi A Y G B2 A • • • A Z G Bp) znamení absolutní resp. relativní četnost jevu {X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp} ve víberovem souboru. 1.12. Příklad Pro datovy soubor z príkladu 1.10 najdete relativní četnost a) matematičkíčh jedničkaru, b) uspesnyčh matematiku, 18 c) oboustranne neuspesnych studentu. Resení: ad a) p(X = 1) = ^ = 0,35; ad b) p(X < 3) ad c) p(X = 4 A F = 4) = ± = 0,20. 12 _ 20 0,60; Shrnutí kapitoly Predmetem statistickeho zajmu není jednotliví objekt, níbrz soubor objektu, tzv. zíkladní soubor. Zpravidla není mozne vysetrovat vsechny objekty, ale jenom urcití pocet objektu, ktere tvorí vyberoví soubor. Ty prvky zakladního souboru, ktere vykazují urcitou spolecnou vlastnost, tvorí mnozinu. Statistik zkouma absolutní a relativní cetnost mnoziny v danem vyberovem souboru. Zajímají-li nas ve víberovem souboru dve mnoziny, muzeme zkoumat vískyty objektu z jedne mnoziny mezi objekty pochízejícími z druhí mnoziny. Tím dospíváme k pojmu podmínene relativní cetnosti. Rovnez lze overovat cetnostní nezavislost techto dvou mnozin v danem víberovem souboru. Cetnostní nezavislost vlastne znamena, ze informace o puvodu objektu z jedne mnoziny nijak nemení sance, s nimiz soudíme na jeho puvod z druhe mno ziny. Ka zdíemu objektu zíakladníího souboru lze pomocíí funkce zvaníe znak priradit císlo (nebo i více císel). Pokud hodnoty znaku pro objekty daneho vyberoveho souboru usporídame do matice, dostavame datovy soubor. Libovolní sloupec teto matice tvorí jednorozmerny datovy soubor, kterí muzeme usporadat podle velikosti a vytvorit tak usporadany datoví soubor nebo z nej získat vektor variant. Jevem rozumíme skutecnost, ze znak nabyl hodnoty z nejake císelne mnoziny. Muzeme zkoumat absolutní a relativní cetnost jevu v daníem víyb erovíem souboru. Kontrolní otazky a ůkoly 1 Uved'te príklad zakladního souboru z ekonomicke praxe. 2 Necht' jsou neslucitelne, p(G1) = 0,27, p(G1 U G2) = 0,75. Vypoctete p(G2). 3 Necht' G1 C G2, p(G1) = 0,33, p(G2 - G1) = 0,15. Vypoctete p(G2). 4 Necht' p(G1 - G2) = 0,36, p(G1 n G2) = 0,12. Vypoctete p(G2). 5 Je dan dvourozmerny datoví soubor '2 1' 20 10 4 2 Znak X znamena pocet clenu domacnosti a znak Y pocet detí do 15 let v tíeto domíacnosti. I 19 1. Základní, výběrový a datový soubor I a) Utvořte uspořádané datové soubory pro znaky X a Y. b) Najdete vektory variant znakU X a Y. c) Vypočtete relativní četnost tríčlenných domacností. d) Vypočtete relativní četnost nejvýse tríčlenných domacností. e) Vypočtete relativní četnost bezdetných domacností. f) Vypočtete relativní četnost dvoučlennych bezdetnych domacností. g) Vypočtete podmínenou relativní četnost dvoučlenných domacností, ktere jsou bezdetne. 20 2 Bodové a intervalové rozložení (Četností 2. Bodové a intervalové rozložení četností I Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ konstruovat diagramy znázorňující rozložení četností ■ vytvaret tabulky četností ■ sestrojit grafy četnostní funkce, empiricke distribuční funkce, hustoty četnosti a empiricke intervalove distribuční funkce Casova zatez Pro zvládnutí teto kapitoly budete potrebovat 7-8 hodin studia. Nejprve se seznamíme s bodovám rozlozením četností a ukazeme si, jak pomocí ruznách diagramu graficky znazornit bodove rozlození četností. Pro datová soubor znamek z matematiky a angličtiny pak vytvoríme nekolik typu diagramu. 2.1. Definice Nechť je dán jednorozměrný datový soubor. Jestliže počet variant znaku X není príliS velký, pak přiřazujeme Četnosti jednotlivým variantam a hovoříme o bodovém rozložení četností 2.2. Definice Existuje nekolik zpusobu, jak graficky znazornit bodove rozlození četností. Tečkový diagram: na číselne ose vyznačíme jednotlive varianty znaku X a nad kaňzdou variantu nakresláme tolik teňcek, jakaá je jejá absolutná ňcetnost. Polygon (četnosti: je lomena cara spojující body, jejichz x-ová souradnice je varianta znaku X a y-ova souradnice je absolutní četnost teto varianty. Sloupkový diagram: je soustava na sebe nenavazujících obdelníku, kde stred záakladny je varianta znaku X a váyňska je absolutnáí ňcetnost táeto varianty. Výsečový graf: je kruh rozdelená na vyseče, jejichz vnejsá obvod odpovádá absolutnám ňcetnostem variant znaku X. Dvourozměrný tečkový diagram: na vodorovnou osu vyneseme varianty znaku X, na svislou varianty znaku Y a do prislusných prasečáku nakresláme tolik teňcek, jakaá je absolutná ňcetnost danáe dvojice. 2.3. Příklad Pro datovy soubor z prákladu 1.10 sestrojte a) jednorozmerne tečkove diagramy pro znak X a znak Y, b) polygony četnostá pro znak X a znak Y, c) sloupkováe diagramy pro znak X a znak Y, d) vyáseňcováe diagramy pro znak X a znak Y, e) dvourozmerná tečkovy diagram pro vektorová znak (X, Y), 22 Řešení: ad a) Známka z matematiky Známka z angličtiny I 2 3 2 3 ad b) Polygon četnosti pro znamky z matematiky Polygon četnosti pro známky z angličtiny ad č) Sloupkový diagram znamek z matematiky Sloupkový diagram znamek z angličtiny 12 3 4 ad d) Vysečovy diagram znamek z matematiky Vásečová diagram znamek z angličtiny 1 4 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 2 3 23 2. Bodove a intervalová rozlomení cetností I Ze vsech techto diagramu je videt odlisní prístup zkousejících ke studentum. Matematik nesetrí jednickami, ale místo trojky radeji rovnou dava ctyrku. Naproti tomu anglictinar povazuje trojku za typickou studentskou znímku. ad e) Y 12 3 4 X Dvourozmerný teckoví diagram svedcí o neprílis výrazne tendenci k podobne klasifikaci v obou predmetech. Muzete si zkusit nakreslit dvourozmerne teckove diagramy zvlast' pro muze a zvlíst' pro zeny. Zjistíte, ze u zen je tendence k podobním znamkam daleko silnejsí nez u muzu. Bodove rozlození cetností lze znazornit nejenom graficky, ale tez tabulkou zvanou variacní rada, kterí obsahuje absolutní a relativní cetnosti jednot-livyích variant znaku v daníem vyíb erovíem souboru a tíe z absolutníí a relativníí kumulativní cetnosti. Pomocí relativních cetností se zavadí cetnostní funkce, pomocí relativních kumulativních cetností empiricka distribucní funkce (je pro ni typicke, ze ma schodovitý prubeh). Tyto pojmy objasníme na príkladu zníamek z matematiky a uvedeme rovn e z vlastnosti obou víy se zmíín eníych funkcíí. 2.4. Definice Necht' je dan jednorozmerní datový soubor, v nemz znak X nabýví r variant. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní četnost varianty xy] ve víberovem souboru nj = N (X = x[j]) relativní četnost varianty xy] ve výberovem souboru n absolutní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj = N(X < xy]) = ni +-----+ nj relativní kumulativní Četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj 4 3 2 1 24 Tabulka typu x\j] rij Pi N3 F3 ni Pi Ni X[r] nr Pr Nr Fr se nazyva variační rada. Funkce p(x) = í pj přo x = ^ j = 1,...,r 0 jinak se nazyva četnostné funkce. Funkce I 0 přo x < X[1] F (x) = { Fj přo x[j ] < x < x[i+1], j = 1,..., r - 1 1 přo x > x[r] se nazyví empiricka distribuční funkce. 2.5. Příklad Přo datoví souboř z příkladu 1.10 sestavte vařiacní řadu přo znak X. Na-křeslete gřafy cetnostní funkce a empiřicke distřibucní funkce. Řešení: x\j] Pi N3 F3 1 7 0,35 7 0,35 2 3 0,15 10 0,50 3 2 0,10 12 0,60 4 8 0,40 20 1,00 - 20 1,00 - - p(t) 0,4 0,2 0,0 1 2 I 3 4 t x F (t) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 F (x) = £ p(t) t — OC Nyní se budeme zabávat dvourozmerných datovím souborem. Zavedeme simultánní absolutní a relativní cetnosti pro dvojice variant znaku X a Y a ukážeme souvislost mezi simultánními a marginálními cetnostmi. Budeme definovat podmínene relativní cetnosti. Vysvetlíme si, jak se uvedene cetnosti zapisují do kontingencních tabulek. Pomocí simultánních relativních cetností zavedeme simultínní cetnostní funkci, seznámíme se s jejími vlastnostmi a ukázeme vztah mezi simultánní cetnostní funkcí a marginálními cetnostními funkcemi. Zavedeme pojem cetnostní nezávislosti znaku v danem výberovem souboru. Se vsemi uvedeními pojmy se naucíme pracovat v príkladu se známkami z matematiky a anglictiny. 2.7. Definice Necht' je dán dvourozmerní datovy soubor xi yi kde znak X má r variant a znak Y má s variant. Pak definujeme: simultánní absolutní četnost dvojice (xj],y[k]) ve vyberovem souboru njk = N(X = x[j] A Y = y[fc]), simultánní relativní Četnost dvojice (xj],y[k]) ve víberovem souboru njk n marginální absolutní Četnost varianty xjj nj. = N (X = x [j ]) = nj i +-----+ njS, marginaílníí relativníí cetnost varianty x[j] n V ji + • • • + Vjs; X 26 marginaini absolutní četnost varianty y[k] n.k = N (Y = y[fc]) = mfc +-----+ nrfc, marginálni, relativní, četnost varianty y[k] p.k n Pik +-----+ Prk, I sloupcove podminena relativní četnost varianty x j] za predpokladu y[k] njk pj(k) n.k radkov e podmin ena relativní četnost varianty y[k] za predpokladu x [j] njk P(j)k nj. Kteroukoliv ze simultanníčh četností či podmíneníčh relativníčh četností zapisujeme do kontingenčni tabulky. Kontingenční tabulka simultanníčh abso-lutníčh četností mí tvar: y Vis] rij. X xm nu nu ni. X[r] nrl nr. n.k n.i n.s n Funkče I pjk pro x = ^ y = y[k], j = ^ ..., r k = 1,... s 0 jinak se nazyva simultánní četnostni funkce. Cetnostní funkče pro znaky X a Y odlisíme indexem takto: Pi(x) p2(y) pj. pro x = x[j], j = 1,...,r 0 jinak p.k pro y = y[k], k = 1,...,s 0 jinak Řekneme, ze znaky X, Y jsou v danem vyberovem souboru četnostne ne-zavisle, prave kdyz pro vsečhna j = 1,..., r a vsečhna k = 1,..., s platí multiplikativní vztah: pjk = pj • pk neboli V(x,y) G E2 : p(x,y) = pi(x) ^ p2(y). 27 2. Bodove a intervalová rozloZzení četností I 2.8. Veta Mezi simultíanníí cetnostníí funkcíí a marginíalníími cetnostníími funkcemi platíí vztahy: V=-oc oc p2(y) = Yp(x,y). 2.9. Příklad Pro datovy soubor z príkladu 1.10 a) sestavte kontingencní tabulky simultanních absolutních a relativních cetností, b) nakreslete graf simultanní cetnostní funkce p(x,y), c) sestavte kontingencní tabulky sloupcove a rídkove podmínenych relativních cetností, d) kolik procent tech studentu, kterí meli jednicku z anglictiny, melo dvojku z matematiky, e) kolik procent tech studentu, kterí meli jednicku z matematiky melo dvojku z anglictiny, f) zjistete, zda znaky X, Y jsou v danem vyberovem souboru cetnostne nezavisle. Řešení: ad a) y 1 2 3 4 rij. X rijk 1 4 1 2 0 7 2 0 2 1 0 3 3 0 0 1 1 2 4 0 1 3 4 8 4 4 7 5 n = 20 y i 2 3 4 Pj. X 1 0,20 0,05 0,10 0,00 0,35 2 0,00 0,10 0,05 0,00 0,15 3 0,00 0,00 0,05 0,05 0,10 4 0,00 0,05 0,15 0,20 0,40 P.k 0,20 0,20 0,35 0,25 1,00 28 ad b) 'a 0, 200,15 0,100, 05 0, 00 4 I 2 x 4 1 ad c) v 1 2 3 4 X P j (k) 1 1,00 0,25 0,29 0,00 2 0,00 0,50 0,14 0,00 3 0,00 0,00 0,14 0,20 4 0,00 0,25 0,43 0,80 E 1,00 1,00 1,00 1,00 y i 2 3 4 E x Pu)k 1 0,57 0,14 0,29 0,00 1,00 2 0,00 0,67 0,33 0,00 1,00 3 0,00 0,00 0,50 0,50 1,00 4 0,00 0,12 0,38 0,50 1,00 ad d) Tento ůdaj najdeme ve druhem rídku prvního sloupce tabulký sloup-cove podmíneních relativních cetností: 0%. ad e) Tento ůdaj najdeme v prvním rídku druheho sloupce tabulký radkove podmíneních relativních cetností: 14%. ad f) Kdýbý v danem víberovem souborů býlý oba žnaký cetnostne nežavisle, platil bý pro vsechna j = 1, 2, 3, 4 a vsechna k = 1, 2, 3, 4 multiplikativní vžtah: pjk = Pj. -p.k, což splneno není. Tedý žnímký ž matematiký a anglictiný nejsou cetnostne nežívisle. V nekterích datových souborech je pocet variant žnaku prílis veliký a použití bodoveho rožložení cetností bý vedlo k neprehledným a rožtrírstením vísled- 29 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kům. V takových situacích používáme intervalové rozložení četností. Definujeme třídicí interval a jeho absolutní a relativní četnost, absolutní a relativní kumulativní cetnost. Nove zavadíme cetnostní hustotu trídícího intervalu. Uvedene cetnosti zapisujeme do tabulky rozložení cetností. Pocet trídících intervalu stanovujeme napr. podle Sturgesova pravidla. Intervalove rozlození cetností pozijeme v príkladu s datovým souborem obsahujícím udaje o mezích plasticity a pevnosti 60 vzorku oceli. 2.10. Definice Necht' je dan jednorozmerní datoví soubor. Jestlize pocet variant znaku X je blízkí rozsahu souboru, pak prirazujeme cetnosti nikoliv jednotlivým vari-antím, ale celým intervalum hodnot. Hovoríme pak o intervalovém rozložení četnosti. 2.11. Definice Číselnou osu rozlozíme na intervaly týpu (—oo,«i), (mi,m2), • • •, (ur, ur+i). (ur+i, oo) tak, abý okrajove intervalý neobsahovalý zídnou pozorovanou hodnotu znaku X. Uzívame oznacení: j-tý trídičí interval znaku X, j = 1,..., r: (uj ,uj+i): delka j -teho třídicího intervalu znaku X: střed j-teho trídičího intervalu znaku X: 1 x\j] = ^m + Uj+i)- Trídicí intervalý volíme nejcasteji stejne dlouhe. Jejich pocet urcíme napr. pomocí Sturgesova pravidla: r ~ 1 + 3,3 • log n, kde n je pocet variant znaku X. 2.12. Definice Necht' je dan jednorozmerný datový soubor rozsahu n. Hodnotý znaku X roztrídíme do r trídících intervalu. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní četnost j -teho trídičího intervalu ve výberovem souboru n j = N (u j < X < Uj+i). relativní četnost j-teho t rídičího intervalu ve výberovem souboru nj Pj = —i n 30 četnostní hustota j -tého třídicího intervalu ve výběrovém souboru Pl d j absolutní kumulativní Četnost prvních j třídicích intervalů, ve výběrovém souboru Nj = N (X < uj+l) = n1 +-----+ nj, relativní kumulativní Četnost prvních j třídicích intervalu ve výběrovém souboru. I n Pi +-----+ pj. Tabulka týpu (Uj,Uj+1) dj Pi fi N3 F3 (ui,u2) d\ ni Pi h X! Fi (ur,ur+i) dr nr Pr fr xr Fr E n 1 se nazývý tabulka rozložení cetností. 2.13. Příklad Z fiktivního základního souboru všech vzorku oceli odpovídajících „všem myslitelným tavbím" býlo do laboratore dodano 60 vzorku a zjistený a hodnoty znaku X - mez plasticitý a Y - mez pevnosti. Datoví soubor mí tvar: 154 178' 133 164 58 75 145 161 94 107 113 141 86 97 121 127 119 138 112 125 85 41 96 45 99 97 72 113 89 109 51 95 101 114 160 169 87 101 88 83 139 98 106 111 92 104 85 103 112 118 98 102 103 108 99 119 104 128 107 118 98 140 97 115 105 101 71 39 33 78 73 77 47 68 93 69 122 147 52 117 147 137 125 149 76 85 61 85 137 142 44 92 66 42 68 116 141 157 155 189 136 155 82 81 136 163 72 79 81 61 113 123 42 85 133 147 153 179 85 91 a) Pro znak X stanovte optimalní pocet trídicích intervalu dle Sturgesova pravidla. b) Sestavte tabulku rozlození cetností. 31 2. Bodově a intervalově rozložení četností Řešení: ad a) Znak X nm 50 vařiant, tedy podle Stuřgesova přavidla je optimalní pocet třídicích inteřvalu r = 7. Budeme tedy volit 7 intervalu stejne delky tak, aby v nich byly obsazeny vsechny pozořovane hodnoty znaku X, z nichz nejmensí je 33, nejvetsí 160; volba u1 = 30, ..., ug = 170 splnuje pozadavky. ad b) di xtí] Pi Nj F3 fi (30,50) 20 40 8 0,1333 8 0,1333 0,0066 (50,70) 20 60 4 0,0667 12 0,2000 0,0333 (70,90) 20 80 13 0,2166 25 0,4167 0,0108 (90,110) 20 100 15 0,2500 40 0,6667 0,0125 (110,130) 20 120 9 0,1500 49 0,8167 0,0075 (130,150) 20 140 7 0,1167 56 0,9333 0,0058 (150,170) 20 160 4 0,0667 60 1,0000 0,0033 Součet 60 1,0000 Ke gřafickemu znazořnení inteřvaloveho řozlození cetností slouzí histogřam. S jeho pomocí lze dobře vysvetlit, co znamení hustota cetnosti, coz je funkce zavedena pomocí cetnostních hustot jednotlivích třídicích inteřvalu. S hustotou cetnosti ízce souvisí inteřvalova empiřicka distřibucní funkce (je vsude spojita, přotoze je funkcí hořní meze integrálu z hustoty cetnosti). Přo udaje o mezi platicity oceli vytvoříme histogřam a gřaf inteřvalove empiřicke distřibucní funkce. Seznamíme se řovnez s vlastnostmi obou víse zmínenych funkcí. 2.14. Definice Inteřvalove řozlození cetností gřaficky znazořnujeme gřaficky pomocí histogramu. Je to gřaf skladající se z r obdelníku, sestřojenúch nad třídicími intervaly, přicemz obsah j-teho obdelníku je řoven řelativní cetnosti pj j -teho třídicího inteřvalu, j = 1,..., r. Histogřam je shořa omezen schodovitou cařou, kteří je gřafem funkce zvane hustota cetnosti: f (x) fj přo Uj < x < Uj+^ j = 1, . . . , r 0 jinak Pomocíí funkce hustoty cetnosti zavedeme inteřvalovou empiřickou distřibu cníí funkci: F (x) f (t) dt. 2.15. Příklad Přo datovyí souboř z p řííkladu 2.13 nakřeslete histogřam přo znak X a pod histogřam nakřeslete gřaf inteřvalovíe empiřickíe distřibu cníí funkce. 32 Řešení: f (t) x 2.16. veta r ké Hustota četnosti je nezaporná (Vx G R : f (x) > 0) a normovaná (J f (x) dx). Intervalova empirická distribučná ( lim F (x) = 0, lim F (x) = 1). Intervalova empirická distribučná funkce je neklesajá^!, spojitá a normovana x—>—oc x—>oc V následuj kám tematu se budeme venovat dvourozmernemu intervalovemu rozloňzená ňcetnosti, tj. budeme pracovat s dvourozmňernáym datovyám souborem. Zavedeme podobne pojmy jako u dvourozmerneho bodoveho rozlozená ňcetnosti a jejich pochopená si ovňeňráme na pňrákladňe s datováym souborem ob-sahujácám uádaje o mezi plasticity a mezi pevnosti oceli. 2.17. Definice Necht' je dán dvourozmerny datová soubor xi yi xn yn 33 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kde hodnoty znaku X roztrídíme do r tří dicích intervalu (u j j = 1,..., r s delkami di,..., dr a hodnoty znaku Y roztrídíme do s trídicích intervalu (vk, vk+i), k = 1,..., s s delkami hi,..., hs. Pak definujeme: simultánní absolutní Četnost (j, k) -teho t řídicího intervalu: njk = N (uj < X < Uj+i A Vk < Y < Vk+i), simultínní relativní Četnost (j, k)-teho trídicího intervalu: njk Vjk n marginalní absolutní Četnost j -teho trídicího intervalu pro znak X: nj. = n j i + • • • + njs, marginaílníí relativníí cetnost j-tíeho t ríídicíího intervalu pro znak X: nj. Vj. n marginaílníí absolutníí cetnost k-tíeho t ríídicíího intervalu pro znak Y: n.k = nik +-----+ nrk, marginíalníí relativníí cetnost k-tíeho t ríídicíího intervalu pro znak Y: n.k V.k n simultaínníí cetnostníí hustota v (j, k)-tíem t ríídicíím intervalu: Vjk fjk djhk marginíalníí cetnostníí hustota v j-tíem t ríídicíím intervalu pro znak X: Vj. fj. dj marginíalníí cetnostníí hustota v k-tíem t ríídicíím intervalu pro znak Y: V.k f.k hk Kteroukoliv ze simultánních cetností zapisujeme do kontingencní tabulky. Uved'me kontingencní tabulku simultánních absolutních cetností: (Vk,Vk+l) (vi,v2) (vs,vs+i) rij. (Ui,U2) nn nu ni. (ur,ur+i) nrl nr. n.k n.i n.s n 34 f i (x) f2 (y) Funkce ( ) í fjk pro uj x2), tj. jejich uspoňráadáaná vyjadňruje vňetňsá nebo menňsá intenzitu zkoumanáe vlastnosti. Napňr. skolná klasifikace vyjadruje mensá nebo vetsá znalosti zkousenych (jedničkár je lepňsá neňz dvojkaňr), ale intervaly mezi znáamkami nemajá obsahováe interpretace (netvrdáme, ňze rozdál ve znalostech mezi jedniňckáaňrem a dvojkaňrem je stejny jako mezi trojkarem a čtyrkarem. Podobná charakter majá ruzná bodováanáí ve sportovnáích, umňeleckáych a jinyách soutňeňzáích. (1) Intervalové znaky pripoustejí obsahovou interpretaci krome relace rovnosti a usporádaní tez u operace rozdílu x1 — x2 (poprípade součtu x1 + x2), tj. stejnáy interval mezi jednou dvojicá hodnot a jinou dvojicá hodnot vyjadňruje 40 i stejny rozdíl v extenzite zkoumane vlastnosti. Napr. teplota merena ve stupních Celsia predstavuje intervaloví znak. Nameríme-li ve ctyrech dnech polední teploty 0, 2, 4, 6, znamena to, ze kazdym dnem stoupla teplota o 2 stupne Celsia. Bylo by vsak chybou interpretovat tyto ídaje tvrzením, ze ze druheho na tretí den vzrostla teplota dvakrat, kdezto ze tretího na ctvrtí pouze jedenapulkrat. (p) Poměrové znaky umoznují obsahovou interpretaci krome relace rovnosti a usporadaní a operace rozdílu jeste u operace podílu xi/x2 (poprípade soucinu xi • x2), tj. stejny pomer mezi jednou dvojicí hodnot a druhou dvojicí hodnot znamena i stejny podíl v extenzite zkoumane vlastnosti. Napr. ma-li jedna osoba hmotnost 150 kg a druha 75 kg, ma smysl prohlísit, ze první je dvakrat hmotnej sí nez druha. Zvlastní postavení mají: (a) Alternativní znaky, ktere nabyvají jen dvou hodnot, napr. 0,1, coz znamena absenci a prezenci nejakeho jevu. Napríklad 0 bude znamenat neuspech, 1 uspech pri resení urcite ílohy. Alternativní znaky mohou byt ztotozneny s kterymkoliv z predchýzejících typu. I 3.3. Definice Pro nominalní znaky pouzívame jako charakteristiku polohy modus. U bo-doveho rozlození cetností je to nejcetnejsí varianta znaku, u intervaloveho stred nejcetnejsího trídicího intervalu. 3.4. Definice Pro ordinalní znaky pouzívame jako charakteristiku polohy a-kvantil. Jeli a G (0,1), pak a-kvantil xa je císlo, ktere rozdeluje usporadaní datoví soubor na dolní ísek, obsahující aspoň podíl a vsech dat a na horní usek obsahující aspon podíl 1 — a vsech dat. Pro vypocet a-kvantilu slouzí algoritmus: Ícelé číslo c =/- xn = X 2 necele císlo == zaokrouhlíme nahoru na nejblizsí cele císlo c => xa x(c) Pro speciílne zvolena a uzívíme nazvu: xo,so - medién, xo,25 - dolní kvartil, xo,75 - horní kvartil, x0)i,... ,x0;g - decily, x0)0i,... ,x0;gg - percentily. Jako charakteristika variability slouzí kvartilové odchylka: q = x0,75 — x0,25- 3.5. Příklad Pro datovyí soubor zníamek z matematiky (viz pňríklad 1.10) vypoňctňete me-diían, oba kvartily a kvartilovou odchylku. 41 3. Číselné charakteristiky znaků I Řešení: OL na c 0,25 5 5 (i+i) 2 1 0,50 10 10 (2+3) 2 2,5 0,75 15 15 (4+4) 2 4 q = 4— 1 = 3 3.6. Definice Pro intervalove a pomerove znaký slouzí jako charakteristika polohý aritmetický prum čr 1 m = n E i=i (lze ho interpretovat jako teziste jednorozmerneho teckoveho digramu). Charakteristikou variabilitý je rozptyl s2 1 n i=i či směrodatná odchylka s = Vš2. Pomocí průměru zavedeme centrovanou hodnotu Xi — m (podle znaménka poznáme, zda z-tá hodnota je podprůměrná či nadprůměrná a pomocí směrodatné odchylky zavedeme standardizovanou Xi — m hodnotu (výjadruje o kolik smerodatních odchýlek se i-tí hodnota odchýlila od prumeru). 3.7. Veta Rozptýl je nuloví, príve kdýz xi = x2 = 3.8. Příklad Výpoctete prumer a rozptýl a) centrovaníých hodnot, b) standardizovanýích hodnot. Řešení: ad a) Prumer centrovaných hodnot: 1 n (xi — m) m i=i Rozptýl centrovanýích hodnot: 1 n n ■ m = 0. n i=i ((xi — m) — 0)2 = s2. n 1 n 42 ad b) Průměr standardizovaných hodnot: 1 ^-a (xí — m) n ^ s Rozptyl standardizovaných hodnot: = -•0 = 0. s 1 n i=1 m ■)' f! s2 1. 3.9. Poznámka V předešlém příkladě jsme vypočítali, ze průměr centrovaných hodnot je 0. Této skutečnosti lze vyůzít k vysvetlení rozptylů: chceme získat číslo, ktere by charakterizovalo variabilitu jednotlivých hodnot kolem průmerů. Průmer centrovaních hodnot nelze poůzít (vyjde 0), proto místo centrovanych hodnot vězměmě jejich kvadráty. Tím dospějeme ke vzorci pro rozptyl: s2 = - E( i=l m)2. Rozptyl však vychází v kvadrátech jednotek, v nichž byl měřen znak X. proto raději používáme směrodatnou odchylku s. DefiniCní tvar vzorce pro rozptyl není príliš vhodny pro vypocty, v praxi še používa vypocetní tvar vzorce pro rozptyl: I s2 = — } (xí — m)2 = — } (x2 — 2mxi + m2) = — > n n n =l =l =l xi n — • 2m • > Xi h— > m2 = — > n n n i=l i=l i=l i=l x m2. x 2m2 + 1 n n m2 n n 1 3.10. Definice Pro poměrově znaky poůžívýniě jako charakteristiku variability koeficient s variace —. Je to bezrozměrné číslo, které se často vyjadřuje v procen-m těch. Umoznůjě porovnat variabilitu několika znaků. Jsoů-li vSěchny hodnoty poměrověho znaků kladně, pak jako charaktěristiků polohy lzě ůzít geometrický průměr ^Jx\ ■ ... ■ xn. 3.11. Příklad Vypoctětě koěficiěnt variacě mězě plasticity a mězě pěvnosti ocěli pro datový soůbor z príkladů 2.13. Řešení: s1 32,441 s2 32,515 — = —-= 0,338, — = —-= 0,284. m1 95,88 ' ' m2 114,40 Zjistili jsmě, zě koěficiěnt variacě mězě plasticity jě 33,8%, zatímco mězě pěvnosti jěn 28,4%. 43 3. Číselné charakteristiky znaků Nyní se budeme zabývat číselnými charakteristikami dvourozměrného datového souboru se znaky intervaloveho či pomeroveho typu. Spole čnou variabilitu t e chto dvou znaku kolem jejich prameru meríme pomocí kovariance. Jako míra t esnosti lineární zavislosti dvou znaku slouzí koeficient korelace. Je velmi dulez ite porozumet vlastnostem koeficientu korelace, proto si pozorne prohlednete obrazky ilustrující jeho váznam. Pro prakticke procvi cení nám poslouzí príklad na císelne charakteristiky mezí plasticity a pevnosti. 3.12. Definice Pro dvourozm ernyá datovyá soubor kde znaky X, Y jsou intervaloveho ci pomeroveho typu, pouzívame jako charakteristiku spolecne variability znaku X, Y kolem jejich pramení kovarianci 1 n Si2 = - y^ixi - mi)(yi - m2). 3.13. Poznámka Kovariance je prumerem soucimů centrovanych hodnot. Pokud se nadprumer-ne (podprumerne) hodnoty znaku X sdruzují s nadprumernámi (podprumer- nymi) hodnotami znaku Y, budou souciny centrovanách hodnot xi — m1 a Ví — m2 vesmes kladne a jejich prumer (tj. kovariance) rovnez. Znamena to, ze mezi znaky X, Y existuje urcitá stupen príme linearní zavislosti. Pokud se nadprumerne (podprumerne) hodnoty znaku X sdruzují s podprumernámi (nadprumernámi) hodnotami znaku Y, budou souciny centrovanách hodnot vesmes zaporne a jejich prumer rovnez. Znamena to, ze mezi znaky X a Y existuje ur citáy stupen nep ráímáe lineáarnáí záavislosti. Je-li kovariance nulováa, pak rekneme, ze znaky X, Y jsou nekorelovanáe a znamenáa to, ze mezi nimi neexistuje záadnáa lineáarnáí záavislost. Pro vápo cet kovariance pouzíváme vzorec: 1 n si2 = - V" Xiiji - mim2. n í=i 3.14. Definice Jsou-li smerodatne odchylky si, s2 nenulove, pak definujeme koeficient korelace znaku X, Y vzorcem 1 ri2 Xi — mi Ví — m2 n si i=i s2 44 3.15. Veta Přo koeficient kořelace platí —1 < r12 < 1a řovnosti je dosazeno přave kdyz mezi hodnotami x1,..., xn a y1,..., yn existuje uplní lineařní zívislost, tj. existují konstanty a, b tak, ze y» = a + , i = 1,..., n, přicemz znamenko + platí přo b > 0, znamenko — přo b < 0. (Uvedena neřovnost se nazíva Cauchyova - Schwařzova - Buňakovskeho neřovnost.) 3.16. Poznámka Koeficient korelace se počítá podle vzorce r 12 S12 Predstavu o významu hodnot koeficientu korelace podávají následující dvourozmerne tečkove diagramy. I 1,00 0,76 0,00 r r r r = -0,37 r = -1,00 3.17. Příklad Pro datová soubor z príkladu 2.13 výpoctete a) aritmeticke prumerý znaku X, Y, b) rozptýlý a smerodatne odchýlky znaku X, Y, c) kovarianci a koeficient korelace znaku X, Y. Řešení: ad a) m1 = 95,9, m2 = 114,4. ad b) sl = 1052,40, s2 = 1057,21, si = 32,4, S2 = 32,5. ad c) s12 = 985,76, r12 = 0,936. Koeficient korelace svedcí o tom, ze mezi obema znaký existuje velmi silna prímá linearní zívislost - cím výšší je mez plasticitý, tím je výšší mez pevnosti a cím je nizsí mez plasticitý, tím je nizsí mez pevnosti. Pri vípoctu císelních charakteristik se v rade situací uplatní veta shrnující n ekteríe jejich vlastnosti. Pro lep síí pochopeníí uvedeníých vlastnostíí slou zíí níasledujíícíí p rííklad. 45 3. Číselné charakteristiky znaků I 3.18. Veta Uveďme některé vlastnosti číselných charakteristik. a) Necht' mi je aritmetický průmer a s f rozptyl znaku X. Pak znak Y = a + bX ma aritmetický průmer m2 = a + bmf a rozptyl s2 = b2sf. b) Necht m1, m2 jsou aritmeticke průmerý, sf, s2 rozptýlý a s12 kovariance znaků X, Y. Pak znak U = X+Y ma aritmetický průmer m3 = mf +m2 a rozptýl s3 = s2 + s2 + 2s12. c) Necht' s12 je kovariance znaků X, Y a mf, m2 jsoů aritmeticke průmerý znaků X, Y. Pak znaký U = a + bX, V = c + d Y mají kovarianci s34 = bds12. 3.19. Příklad a) Znak X ma aritmetický průmer 2 a rozptýl 3. Najdete aritmetický průmer a rozptýl znaků Y = — 1 + 3X. b) Znaký X a Y mají aritmeticke průmerý 3 a 2, rozptýlý 2 a 3, kovarianci 1,5. Výpoctete aritmetický průmer a rozptýl znaků Z = 5X — 4Y. c) Soůcet rozptýlů dvoů znaků je 120, soůcin 1000 a rozptýl jejich soůctů je 100. Výpoctete koeficient korelace techto znaků. Řešení: ad a) m2 = — 1 + 3ím = —1 + 3 • 2 = 5, sj; = 32 • s2 = 9 • 3 = 27. adb) m3 = 5m1—4m2 = 5-3—4-2 = 7, s3 = 52-s2+(—4)2^s2+2^5^(—4)^s12 = 25 • 2 + 16 • 9 — 40 • 1,5 = 134. ad c) s2 + s2 = 150, s1 • s2 = 1000, s2+2 = 100 = s1 + s2 + 2s12 s12 = '1+2 -SJ-S2 _ 100-120 _ — 10, r12 S1-S2 +2 -10 —0,316. Pokůd nemame k dispozici původní datový soůbor, ale jenom variacní radů nebo tabůlků rozlození cetností (resp. kontingencní tabůlků), můz eme výpo-cítat tzv. vaz ene císelne charakteristiký. Pro datový soůbor obsahůjící ýdaje o mezi plasticitý a mezi pevnosti oceli je zajímave porovnat původní císelne charakteristiký a vazene císelne charakteristiký. 3.20. Definice a) Vazene císelne charakteristiký ů bodoveho rozlození cetností: Vážený aritmeticky průměr m 1 n i=1 Vazeny rozptyl §2 = -^2nÁx\j]-m)2- i=1 VaZena kovariance s12 n Yl Yl nJfc — m1)(y[k]— m2). j=1 k=1 _ «12 _ 1 46 b) Vážené číselné charakteristiky u intervalového rozložení četnosti: Vzorce jsou formálne shodne s predeSlími. Je vSak zapotřebí uvest, že výpočty jsou presne jen tehdy, souhlasí-li prumery v jednotlivých tradicích intervalech se stredy techto intervalu, resp. vykompenzují-li se vzajemne chyby vznikle v důsledku odchylek stredu intervalu od prumeru v techto intervalech. Oba tyto prípady jsou vsak vzacne a vetsinou se dopustíme urcite chyby. 3.21. Příklad Pro intervalove rozlození cetností uvedene v príkladu 2.13 spoctete vízene císelne charakteristiky a porovnejte je s císelnymi charakteristikami uve-denymi v príkladu 3.17. Řešení: I bodové rozložení intervalové rozložení mi 95,88 96,67 m2 114,40 113,67 s\ 1052,40 1148,89 4 1057,21 1019,89 Sl 32,441 33,895 S2 32,515 31,936 Sl2 985,76 998,89 r i2 0,939 0,923 Shrnutí kapitoly Podle stupně kvantifikace znaky třídíme na nominální, ordinální, intervalové, poměrové a alternativní. Jako charakteristika polohy nominainích znaku slouZí modus. Charakteristikou polohy ořdinainích znaku je kterýkoliv a—kvantil, casto se pouZívý median, dolní a horní kvartil, decily, per-centily. Rozdíl horního a dolního kvartilu je kvartiloví odchylka, kterou pouZívíme jako charakteristiku variability. U intervalovích znaku slouží jako charakteristika polohy aritmetickí prUmer a jako charakteristika variability rozptyl ci smerodatna odchylka. Odecteme-li od libovolne hodnoty průmer, dostaneme centrovanou hodnotu, a podelíme-li centrovanou hodnotu smerodatnou odchylkou, získíme standardizovanou hodnotu. Pro pomerove znaky pouzívame koeficient variace. Maj í-li kladne hodnoty, pak jejich polohu charakterizujeme geometrickím prumerem. Mame-li dvourozmerny datoví soubor, pak jako charakteristiku spolecne variability zavedeme kovarianci a jako míru tesnosti lineírní zavislosti koeficient korelace. Podle Cauchy — Schwarzovy — Buňakovskeho nerovnosti nabyví koeficient korelace hodnot mezi —1 a 1. 47 3. Číselné charakteristiky znaků Je-li k dispozici variační řada u bodového rozložení četností nebo tabulka rozložení četností u intervaloveho rozložení četností (resp. kontingenční tabulka), můžeme vypočítat vazene číselne čharakteristiky: vážený aritmetický průměr, vážený rozptyl a váženou kovarianci. I Kontrolní otazky a ůkoly 1 Udejte príklad nominalního, ordinálního, intervaloveho, pomeroveho a alternativního znaku. 2 Jake čharakteristiky polohy a variability uziVame pro uvedene typy znaku? 3 Kdy se shodují číselne čharakteristiky s vazenymi číselnámi čharakte-ristikami? 4 Jaky váznam ma koefičient korelače? 5 V akčiove společnosti je prumerna mzda 13 500 Kč. Pritom 30% pra-čovníku s nejnizsí mzdou ma prumerne 9 000 Kč. Na začatku roku dostal kazdy z tečhto pračovníku pridano 500 Kč. O kolik % vzrostla prumerna mzda v čele akčiove společnosti? 6 (S) Pri statističkem setrení pojistenču byly získany tyto váse pojistek v Kč: výše pojistky 390 410 430 450 470 490 510 530 550 570 abs. četnost 7 10 14 22 25 12 3 3 2 2 Určete aritmetičkí prumer, median, modus, rozptyl, smerodatnou od-čhylku a koefičient variače víse pojistky. V datovem souboru, z nehoz byl vypočten prumer 110 a rozptyl 800, byly zjisteny 2 čhyby: místo 85 mí bít 95 a místo 120 ma byt 150. Ostatníčh 18 udaju je spravnýčh. Opravte prumer a rozptyl. Vazeny aritmetičky prumer činil 1500 a vazeny rozptyl 90000. Varianty X[j] byly transformovany vztahem: h j = 1,..., r. Po této transformaci byl vážený aritmetický průměr 5 a vážený rozptyl 9. UrCete konstanty a a h. 9 (S) Pro dvoůrožinerný datový soůbor 2 4 4 5 6 8 10 10 10 10 1 2 3 4 4 4 5 5 5 6 vypočtete koefičient korelače. 10 Rozptyl součtu hodnot dvou znaku je 350, rozptyl rozdílu je 700. Vypočtete koefičient korelače, víte-li, ze oba znaky mají stejne rozptyly. 7 8 a 48 4. Regresní přímka Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ stanovit odhady parametrU regresní prímky a znát jejich význam ■ posoudit kvalitu proloZení regresní prímky dvourozmerným tečkovým diagramem ■ vypočítat regresní odhady zavisle promenneho znaku ■ stanovit odhady parametru druhe regresní prímky ■ znat vztahy mezi parametry první a druhe regresní prímky. Casova zatěž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 3-4 hodiny studia. Budeme se zabívat specialním prípadem, kdy hodnoty znaku Y zavisejí na hodnotach znaku X priblizne linearne. Ukízeme si, jak tuto zavislost popsat regresní prímkou, jak odhadnout její parametry metodou nejmensích čtvercu na zíklade znalosti dvourozmerneho datoveho souboru a jak posoudit kvalitu regresní prímky pomocí indexu determinace. Vysvetlíme si vyznam regresních parametru a v príkladu se budeme zabívat regresní prímkou meze pevnosti na mez plasticity. 4.1. Motivace Cílem regresní analízy je vystizení zívislosti hodnot znaku Y na hodnotach znaku X. Pri tom je nutne vyresit dva problemy: jakí typ funkce pouzít k vystizení dane zavislosti a jak stanovit konkrétní parametry zvoleneho typu funkce? Typ funkce urcíme bud' logickím rozborem zkoumane zavislosti nebo se snazíme ho odhadnout pomocí dvourozmerneho teckoveho diagramu. Zde se omezíme na linearní zavislost y = fl0 + flix. Odhady b0 a bi neznamych parametru fl0, fli získame na zaklade dvourozmerneho datoveho souboru metodou nejmensích čtverců. Požadujeme, aby průměr součtu čtverců odchylek skutečných a odhadnutých hodnot byl minimální, tj. aby výraž - y^iVí -Po- PiXí)2 i=l nabýval svého minima vzhledem k /30 a (3\. Tento výraz je minimální, jsou-li jeho první derivace podle f30 a fli nulove. Stačí tyto derivace spočítat, poloZit je rovny 0 a réSit system dvou rovnic o dvou neznýmych, tzv. system normalních rovnic. 50 4.2. Definice Nechť je dan dvourozměrný datový soubor a prímka y = //0 + A x. Výraz q(Po, A) = - y^iVi -Po- PiXif i=1 se nazývý rozptyl hodnot znaku Y kolem prímký y = //0 + A x. Prímka V = A) + Ax, jejíz parametry minimalizují rozptyl q(/0,/1) v celem dvou-rozmernem prostoru, se nazíva regresní přímka znaku Y na znak X. Regresní odhad i-te hodnoty znaku Y značíme yi = b0 + b1xi, i = 1,..., n. Kvadrat koeficientu korelace znaku X, Y se nazýví index determinace a značí se ID2. (Index determinace udava, jakou cast variability hodnot znaku Y vystihuje regresní prímka. Nabíva hodnot z intervalu (0,1). Čím je blizší 1, tím lepe vystihuje regresní prímka zavislost Y na X.) I 4.3. Veta Necht' y = b0 + b1x je regresní prímka znaku Y na znak X. Pak pouzitím metodý nejmensích ctvercu dostaneme: b1 £l2 bo = m2 £12 si Ul1, tedy y = m,2 + ^f(x-mi). Přitom úsek 60 regresní přímky udává velikost jejíího posunutíí na svislíe ose (tj. udíavía, jakíý je regresníí odhad hodnotý znaku Y, nabíva-li znak X hodnotý 0) a smernice b1 udíví, o kolik jednotek se zmení hodnota znaku Y, zmení-li se hodnota znaku X o jednotku. Jestlize je b1 > 0, dochazí s rustem X k rastu Y a hovoríme o príme zavislosti hodnot znaku Y na hodnotích znaku X. Je-li b1 < 0, dochazí s rustem X k poklesu Y a hovoríme o nepríme zavislosti hodnot znaku Y na hodnotach znaku X. 4.4. Příklad Pro datoví soubor z príkladu 2.13 a) urcete regresní prímku meze pevnosti na mez plasticity b) Zakreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diagramu. c) Jak se zmení mez pevnosti, vzroste-li mez plasticitý o jednotku? d) Najdete regresní odhad meze pevnosti pro mez plasticitý = 60. e) Výpoctete index determinace a interpretujte ho. Řešení: ad a) Na zíklade vísledku príkladu 3.17 dostavame: b1 bo = TO2 - b1TO1 = 114,4 - 0,937 • 95,9 = 24,5; y = 24,5 + 0,937x. £12 985,76 , 1052,4' n 51 4. Regresní přímka ad b) I m O > 19017015013011090 70 50 • • • • < |_ • |_ * •S' 30 50 70 90 110 mez plasticity 130 150 170 Povšimněte si, ze koeficient korelace znaků X, Y vypočtený v příkladě 3.17 činil 0,936. Tato hodnota je blízka 1, coZ svedčí o silne příme lineární závislosti mezi znaky X a Y. Tečky v dvoůrozmernem tečkovem diagramů nejsoů přílis rozptáleny kolem regresní prímky. ad č) Mez pevnosti vzroste o 0,937kpčm-2. ad d) = 24,5 + 0,937 • 60 = 80,72. ad e) ID2 = r22 = 0,9362 = 0,876. Znamena to, ze 87,6% variability hodnot meze pevnosti je vysvetleno regresní prímkoů. 2 4.5. Dennice Regresní přímkou znaku X na znak Y nazveme tů prímků x parametry minimalizují rozptyl bo + hy, jejíž 1 n n E i=i (xí - po- Piyí)2 v čele rovine. Nazáva se tez druhá regresní přímka. Regresní prímka znaků Y na znak X a regresní prímka znaků X na znak Y se nazyvají sdruření regresní prímky. 4.6. Veta Rovnice regresní přímky znaku X na znak Y má tvar x = m\ + ^r(y — m2). Sdrůzene regresní prímky se protínají v bode (mi,m2). Pro regresní parametry b1, b1 platí: b1 b1 můzeme psat ve tvarů 12- Rovniče sdrůzenyčh regresníčh prímek y = m2 + ri2 — {x si mi); 1 s2 m2-\---[x ri2 si mi), (je-li ri2 = 0). 52 Regresní přímky svírají tím menší úhel, čím méně se od sebe liší r 12 a Regresní přímky splynou, je-li r22 = 1. K tomu dojde právě tehdy, existuje-li mezi X á Y Úplná lineární závislost. VSechny body (xj, y/j), i = 1,..., n leží ná jedne přímce, tedy ze ználosti xi můžeme přesne vypocítát /ji, i = 1,..., n. Jsou-li znáky X, Y nekorelováne, pák májí sdruzene regresní přímky rovnice /j = m2, x = m\ á jsou ná sebe kolme. Oznácíme-li a uhel, který svírájí sdruzene regresní prímky, pák plátí: ■ cos a = 0, práve kdyz mezi X á Y neexistuje zídná lineírní závislost, cos a = 1, príáv e kdy z mezi X á Y existuje uíplníá p ríímíá lineíárníí zíávislost, ■ cos a = —1, práve kdyz mezi X á Y existuje uplná neprímá lineární zíávislost. 4.7. Příklad Pro dátoví soubor z príkládu 2.13 á) Určete regresní prímku meze plásticity ná mez pevnosti. b) Zákreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diágrámu. RResení: ád á) S vyuzitím vísledku príkládu 3.17 dostáváme: — s12 985,76 b0 = m1- &iTO2 = 95,9 - 0,932 • 114,4 = -10,7, tedy x = —10,7 + 0,932//. ád b) Uvedomte si, ze soucin smernic sdruzených regresních prímek je 0,937 • 0,932 = 0,87, 53 4. Regresní přímka což je index derminace naboli kvadrát indexu korelace. I 'o m 170150130110 50- 30- • • • ____' ._____. • • • • • • ___• • • k < u • u < » 50 70 90 110 130 mez pevnosti 150 170 190 Shrnutí kapitoly Pokud vzhled dvourozměrného tečkového diagramu svědčí o existenci určitého stupně lineární závislosti znaku Y na znaku X, muZeme diagramem proloZit regresní přímku znaku Y na znak X. (Pozor - nelze se spokojit pouze s výpočtem korelačního koeficientu, je nutne grafičke posouzení závislosti.) Její parametry (tj. posunutí a smerniči) odhadujeme metodou nejmenSích čtvercU. Kvalitu prolození posuzujeme pomočí indexu determinace - čím je tento index blizsí 1, tím je regresní prímka výstiznejsí a čím je blizsí 0, tím je regresní prímka nevhodnejsí pro výstizení zavislosti Y na X. Dosadíme-li danou hodnotu znaku X do rovniče regresní prímký, získíme regresn í odhad pnrííslunsníe hodnotý znaku Y. Ma-li smýsl zkoumat tez opační smer zívislosti, tj. X na Y, hledame druhou regresní prímku. 1. a 2. regresní prímka se označují jako sdružene regresní prímky. Kontrolní otazky a Úkoly 1 V čem spočíví prinčip metodý nejmensíčh čtverču? 2 Uved'te príklad dvourozmerneho datoveho souboru z ekonomičke praxe vhodnýí pro pounzitíí regresníí pnríímký. 3 Co výjadruje index determinače a jak se počítí? 4 Jakíý je vztah mezi smnerničemi sdrunzeníýčh regresnííčh pnríímek 5 Jsou-li sdruzene regresní prímký kolme, čo lze ríčt o značíčh X a Y? 6 Rozhodnete, zda prímký y =13 — 2x, x = 8 — y mohou bít sdruzenými regresními pnrímkami. 7 Je dana rovniče regresní prímký y = 87 + 0,3(x — 25) a koefičient korelače r12 = 0,77. Najdete rovniči sdruzene regresní prímký. S 54 8 (S) U osmi nýhodne výbraných stůdentů býlý zjist'ovaný jejich mate-maticke a verbalní schopnosti. Výsledký matematickeho testů ůdava znak X, výsledký verbalního Y. X 80 50 36 58 72 60 56 68 Y 65 60 35 39 48 44 48 61 a) b) c) d) Výpoctete koeficient korelace a interpretůjte ho. Najdete rovnice sdrůzených regresních prímek. Zlepsí-li se výsledek v matematickem testů o 10 bodů, o kolik bodů se zlepsý výsledek ve verbalným testů? Zlepsý-li se výsledek ve verbalným testů o 10 bodů, o kolik bodů se zlepsý výsledek v matematickem testů? Jak se zrnem ůsek a smernice regresm pnniký, kdýz kazdoů hodnotů zavisle promenneho znaků zvetsýme o 10%? 10 Zavislost mezi vnejsý teplotoů a teplotoů ve skladisti je popsana regresm prrmkoů y = 8 + 0,6x. Pri jake vnejsý teplote klesne teplota ve skladisti pod bod mrazů? 9 55 4. Regresní přímka 56 5. Jev a jeho pravděpodobnost Číl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet ■ rozlisit nahodní a determinističkí pokus stanovit zíakladníí prostor ■ popsat vztahy mezi jevy pomočí mnozinovíčh operačí ■ vypočítat pravdepodobnost jevu a znat vlastnosti pravdepodobnosti časova zatez Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 6 hodin. I Nejprve se sezníamííme s pojmem pokusu, a to determinističkíeho a níahodníeho pokusu. Nadale se budeme zabívat níhodnymi pokusy. Mnozinu mozníčh vísledku pokusu povazujeme za zakladní prostor. Na zíkladním prostoru vybudujeme jevove pole jako system podmnozin, kterí je uzavrení vzhledem k mnozinovym operačím. Zakladní prostor spolu s jevovím polem tvorí tzv. meritelny prostor. Libovolna podmnozina mozníčh výsledku níhodneho pokusu, ktera patrí do jevoveho pole, je jev. Naučíme se vyjadrovat vztahy mezi jevy pomočí mnozinovyčh operačí a uvedeme vlastnosti tečhto operačí. 5.1. Definice Pokusem rozumíme jednorazove uskutečnení konstantne vymezeneho souboru definičníčh podmínek. Predpokladame, ze pokus muzeme mnohonasob-ne nezavisle opakovat za dodrzení definičníčh podmínek (ostatní podmínky se mohou menit, proto ruzna opakovíní pokusu mohou vest k ruznym vy-sledkum). Dale predpokladame, ze opakovaním pokusu vznika opet pokus. Deterministickým pokusem nazívame takoví pokus, jehoz kazde opakovaní vede k jedinemu moznemu vísledku. (Napr. zahrívíní vody na 100 °C pri atmosfíeričkíem tlaku 1015 hPa vede k varu vody.) Náhodným pokusem nazyvame takoví pokus, jehoz kazde opakovíní vede k príve jednomu z víče moznyčh vísledku, ktere jsou vzíjemne neslučitelne. (Napr. hod kostkou vede k prave jednomu ze sesti moznyčh vysledku.) 5.2. Definice Neprázdnou mnozinu mozníčh vísledku nahodneho pokusu značíme Q a nazyvíme ji základni prostor. Mozne vysledky značíme uj\,u2,---. Na zíkladním prostoru Q vytvoríme jevove pole A jako system podmnozin, ktery s kazdími dvema mnozinami obsahuje i jejičh rozdíl, obsahuje čelí zakladní prostor a obsahuje-li kazdou ze spočetne posloupnosti mnozin, obsahuje i jejičh spočetne sjednočení (znamení to, ze system A je uzavrení vzhledem k mnozinovím operačím). Jestlize A G A, pak rekneme, ze A je jev. Dvojiče (Q, A) se nazyví měřitelný prostor. Q se nazíví jistý jev, 0 nemoZný jev. 58 5.3. Poznámka Vztahy mezi jevy vyjad rujeme pomocíí mno zinovyích inkluzíí a operace s jevy popisujeme pomocí mnozinovích operací. a) A C B znamení, ze jev A ma za dusledek jev B. b) A U B znamena nastoupení aspon jednoho z jevu A, B. c) A n B znamena spolecne nastoupení jevu A, B. d) A — B znamená nastoupení jevu A za nenastoupení jevu B. e) A = Q — A znamená jev opačný k jevu A. f) A n B = 0 znamena, ze jevy A, B jsou neslucitelne. g) u G A znamena, ze mozny vysledek uj je príznivy nastoupení jevu A. 5.4. Veta Uved'me n ekteríe vlastnosti, kteríe majíí operace s jevy: a) Pro sjednocení a prunik jevu platí komutativní zakon, ktery pro dva jevy A, B mía tvar: A U B = B U A, A n B = B n A. b) Pro sjednocení a prunik trí jevu A, B, C platí zakon asociativní: A u (B u C) = (A u B) u C, A n (B n C) = (A n B) n C, a zaíkon distributivníí: A n (B u C) = (A n B) u (A n C), A u (B n C) = (A u B) n (A u C). c) Pro sjednocení a prunik jevu opacních platí de Morganovy zakony, ktere pro dva jevy A, B zapíseme takto: A U B = A n B, A n B = A U B. 5.5. Příklad Nahodní pokus spocíva v hodu kostkou. Jev A znamena, ze padne sude císlo a jev B znamenía, ze padne cííslo v et síí ne z 4. a) Urcete zíkladní prostor ŕŕ. b) Vypiste mozne vysledky príznive nastoupení jevu A, B. c) Pomocí operací s jevy vyjídrete nasledující jevy: padne liche císlo; nepadne císlo 1 ani 3, padne císlo 6; padne císlo 2 nebo 4. Řešení: ad a) ŕŕ = ..., uj6}, kde mozní vysledek ují znamena, ze padne císlo i, ad b) A = {u2, U4, cug}, B = {^5, cug}. ad c) A = {ui, uj3, w5}; A U B = {1j2, u^, u5, ujq}; AC\B = {ujq}\ A —B = {W2, CU4} I Na meritelnem prostoru zavedeme pravdepodobnost jako funkci, ktera spl-nuje urcite axiomy a kazdemu jevu prirazuje císlo mezi 0 a 1. Meritelní prostor spolu s pravdepodobností tvorí pravdepodobnostní prostor. Seznamíme 59 5. Jev a jeho pravděpodobnost se s vlastnostmi pravdepodobnosti a uvidíme, ze téměř všechny jsou obdobné vlastnostem relativní Četnosti jak jsme je poznali v první kapitole. Zavedeme specialní případ pravdepodobnosti - klasickou pravdepodobnost a vypočítame nekolik príkladU. 5.6. Definice Necht' (Q, A) je meritelný prostor. Pravděpodobnosti rozumíme reálnou množinovou funkci P : A — R, která splnuje následující tri axiomy: každemu jevu prirazuje nezáporne císlo, jistemu jevu prirazuje císlo 1, sjednocení neslucitelných jevu prirazuje soucet pravdepodobností techto jevu. Trojice (Q, A, P) se nazýva pravděpodobnostní prostor. I (Axiomy pravdepodobnosti jsou zvoleny tak, aby pravdepodobnost byla „zi-dealizovaným" protejskem relativní cetnosti zavedene v definici 1.1. Znamena to, ze pro velkí pocet opakovaní pokusu, v nemz sledujeme nastoupení jevu A, se relativní cetnost jevu A blízí pravdepodobnosti jevu A. Tento poznatek je znam jako empirický zákon velkých čísel. Zdílo by se prirozene definovat pravdepodobnost jako limitu relativní cetnosti pro n — oo. Tento postup by vsak nebyl korektní, protoze pocet pokusu n je vzdy konecny a nelze se tedy presvedcit o existenci uvedene limity.) 5.7. Věta Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Pak pro libovolné jevy A, Ai, A2, • • • G A platí následujících 14 vlastností: P1: P(0) = 0 P2: P(A) > 0 (nezapornost - axiom) P3: P(Ai U A2) + P(Ai n A2) = P(Ai) + P(A2) P4: 1 + P(Ai n A2) > P(Ai) + P(A2) P5: P(Ai U A2) < P(Ai) + P(A2) P6: Ai n A2 = 0 == P(Ai U A2) = ) = P(A2) - P(Ai n A2) P(A2 - Ai) = P(A2) - P(A2) P9: Ai C A2 == P(A2) < P(A2) (monotonie) P10: P(Q) = 1 (normovanost - axiom) Pil: P(A) + P(A) = 1 (komplementarita) P12: P(A) < 1 A (subaditivita) P (Ai) + P (A2) (aditivita) P7: P(A2 - Ai) P8: A1 C A2 == (subtraktivita) P13: Ai n Aj = 0 pro i = j == P (Ai U A2 U ...) (spocetna aditivita - axiom) P14: P (Ai) + P (A2) + (n \ n i=1 / i=1 n i n n 2 n i n P (Ai) ^ E P (Ai n Aj)+ í=i j=í+i +Y. Y, Y, P (Ai nAj nAfc)+(-i)n-1P (Ai n A2 n---nAn) i=1 j=i+i k=j+i 60 Pro neslučitelné jevy A\,..., An dostáváme P (n \ n i=1 / i=1 P (Ai). (Vlastnosti P1,..., P12 odpovídají vlastnostem relativní četnosti z véty 1.3, vlastnost P14 je známá jáko vetá o sčítání pravdepodobností.) 5.8. Definice Nechť Q je konečný základní prostor a necht' všechny možné výsledky mají stejnou šanci nastat. Klasická pravdepodobnost je funkce, ktera jevu A pri-m(A) rázuje číslo P (A) m(Q) kde m(A) je počet moznýčh výsledků příznivých nastoupení jevu A a m(Q) je pocet vsech možných výsledkU. 5.9. Příklad Vypočítejte pravděpodobnosti jevů A, B, A, A U B, A n B, A — B z příkladu 5.5. Řešení: m(Q) = 6, P (A U B) P(A) _ 4 _ 2 6 ~~ 3' 3 _ 1 6 ~~ 2' P (A n B) P(B) 2 _ 1 6 ~ 3' P (A - B) P(A) 3 _ 1 6 — 2' _ 2 _ 1 6 — 3' I 5.10. Příklad V dodávče 100 kusů várobků nemá pozádováný průmer 10 kusů, pozádovánou delku 20 kusů á součásne nemá pozádováný průmer i delku 5 kusů. Jáká je právdepodobnost, ze náhodne výbráná várobek z teto dodávký má pozádováný průmer i delku? Řešení: Jev A spočívá v tom, ze várobek má pozádováný průmer á jev B v tom, ze výrobek má pozádovánou delku. Počítáme P (A C\B) = P{A U B) = 1 - P (A U B) -- = 1 - [P (Ä) + P (B) - P (Ä nš)] = i ( 10 20 + 5 100 100 100 0,75. 1 6 5.11. Příklad Mezi N výrobký je M zmetků. Náhodne bez vráčení výbereme n výrobků. Jáká je právdepodobnost, ze výbereme práve k zmetků? Řešení: Zákládní prostor Q je tvoren vsemi neusporádánými n-tičemi výtvorenými z N prvků. Tedý m(Q) = (^). Jev a4 spočívá v tom, ze výbereme práve k zmetků z M zmetků (tý lze výbrát způsobý) á váber doplníme n — k 61 5. Jev a jeho pravděpodobnost kvalitními výrobky vybranými z N — M kvalitních vírobku (tento víber lze zpušoby). Podle kombinatorickeho pravidla šoucinu doštava- províešt me n—k m(A) /M\ f N — M\ UJU — k ) tedy P(A) m(A) f)( nk N I Shrnutí kapitoly Deterministický pokus vede pri kazdem opakovaní k jedinemu moznemu víšledku, zatímco náhodný pokus vede pri kazdem opakovíní príve k jednomu z více moznych víšledku. Mnozina mozních víšledku nahodneho po-kušu tvorí základní prostor. Syštem podmnozin zakladního proštoru, ktery je uzavreny vzhledem k mnozinovím operacím, še nazíva jevove pole. Zakladní proštor špolu š jevovím polem oznacujeme jako meritelný prostor. Podmnozina, ktera patrí do jevoveho pole, je jev. Cely zakladní proštor je jevem jistým, prízdna mnozina jevem nemoZným. Šanci jevu na uškutecnení vyjadrujeme pomocí pravdepodobnosti, coz je funkce, ktera kazdemu jevu prirazuje cíšlo mezi 0 a 1 a šplnuje urcite axiomy, ktere štanovil ruškí matematik A. N. Kolmogorov tak, aby pravdepodobnošt byla „zidealizovanym" protejškem relativní cetnošti. Pri mnohoníšobnem nezíavišlíem opakovíaníí tíehoŠz níahodníeho pokušu totiŠz platíí empirický zá kon velkých Čísel: relativní cetnošt jevu še uštaluje kolem nejake konštanty, kterou povazujeme za pravdepodobnošt tohoto jevu. Meritelny proštor špolu š pravdepodobnoští tvorí právdepodobnostní prostor. V praxi še nej-cašteji pouzíví klasický pravdepodobnost zavedena jako podíl poctu tech víšledku, ktere jšou príznive naštoupení daneho jevu, a poctu všech mozních víšledku. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad determiništickeho pokušu a nahodneho pokušu. 2 Nahodny pokuš špoďva v hodu dvema koštkami. Urcete zakladní pro-štor. 3 Pro zkoušku provozní špolehlivošti urciteho zarízení je predepšan tento poštup: zaŠrízení je uvedeno v Šcinnošt pŠetkríat pŠri maximaílním zatíŠzení. Jakmile pri nekterem z techto peti pokušu zarízení šelze, nešplnilo podmínky zkoušky. Oznacme Aj jev: „pri i-tem pokušu zarízení še-lhalo" pro i = 1,..., 5. Pomocí jevu Aj vyjídrete jevy: a) ZaŠrízení neproŠšlo uíšpŠeŠšnŠe zkouŠškou. b) První tri pokušy byly ušpešne, ve 4. a 5. pokušu zarízení šelhalo. c) 1. a 5. pokuš byly uíšpŠeŠšníe, ale zkouŠška byla neuíšpŠeŠšnía. 4 Formulujte emiprickí zakon velkích cíšel. 5 Uved'te pŠrííklad šituace, v nííŠz nelze pouŠzíít klašickou pravdŠepodobnošt. 6 Z karetní hry o 32 kartach vybereme nahodne bez vracení 4 karty. Jaka je pravdŠepodobnošt, Šze ašponŠ jedna z nich je ešo? 62 7 Dva hraci hazejí štrídave mincí. Vyhrava ten, komu padne drív líc. Stanovte pravdepodobnošt víhry 1. hríce a pravdepodobnošt vyhry 2. hrace. 8 Chevalier de Mere pozoroval, ze pri hazení tremi koštkami padí šoucet 11 cašteji nez šoucet 12, i kdyz podle jeho nízoru (nešpravneho) mají oba šoucty štejnou pravdepodobnošt. Stanovte pravdepodobnošt obou jevu. 9 Student še ke zkoušce pripravil na 15 otazek z 20 zadaních. Pri zkoušce ši vybere nahodne dve otízky. Jaka je pravdepodobnošt, ze ašpon na jednu zní odpoved'? 10 Mezi našledujícími tvrzeními vyberte ta, kterí jšou pravdiví: a) P (a n b) < P (b), b) p (a u b) < p (b), c) p (a U b) < p (a) + p (b), d) p(a) < 0. I 63 5. Jev a jeho pravděpodobnost 64 Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost 6. Stochasticky nezavisle jevy a podmínena pravdepodobnost Číl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet ■ overit stočhastičkou nezívislost posloupnosti jevu ■ resit príklady vyuzívajíčí stočhastičkou nezavislost jevu ■ počítat podmínenou pravdepodobnost ■ pouzít vetu o nísobení pravdepodobností, vzoreč pro uplnou pravdepodobnost a Bayesuv vzoreč I časova zatez Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 6 hodin studia. Z predesle kapitoly víme, ze pravdepodobnost je „zidealizovanym" protejskem relativní četnosti. Lze tedy očekavat, ze stočhastičky nezívisle jevy zavedeme podobne jako četnostne nezavisle mnoziny: pomočí multiplikativního vztahu. Uvedeme vlastnosti stočhastičky nezavislíčh jevu a s jejičh pomočí odvodíme dve dulezita rozlození pravdepodobnosti - geometričke a binomičke, ktera mají, jak uvidíme pozdeji, časte vyuzití v praxi. 6.1. Definice Nečht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor. Jevy Ai, A2 G A jsou stochastický nezávisle, jestlize P(A1 n A2) = P(A1)P(A2). (Tento vztah znamena, ze informače o nastoupeníí jednoho jevu neovlivníí sanče, s nimi z o čekaívaíme nastoupení druheho jevu. Stočhastička nezívislost jevu A1, A2 je motivovína četnostní nezavislostí mnozin G1, G2 ve víberovem souboru - viz definiče 1.6.) Jevy A1,..., An G A jsou stochastický nezávisle, jestlize platí system multiplikativníčh vztahu: V1 < i < j < n : P(Ai n Aj) = P(Ai)P(Aj). V1 < i < j < k < n : P (Ai n Aj n Afc) = P (A*)P (Aj )P (Afc). P (A1 n •••n An) = P (A1) ...P (An). Jevy A1, A2, • • • G A jsou stochastický nezávisle, jestlize pro vsečhna prirozena n jsou stočhastičky nezíavislíe jevy A1 , . . . , An G A. (Upozornení: pri overovaní stočhastičke nezavislosti jevu musíme prozkoumat platnost vsečh multiplikativníčh vztahu.) 6.2. Veta a) Nemozní jev je stočhastičky nezavisly s kazdím jevem. b) Jistí jev je stočhastičky nezavisly s kazdym jevem. č) Stočhastička nezavislost se neporusí, jestlize nektere (nebo i vsečhny) jevy nahradíme jevy opačními. d) Neslučitelne jevy nemohou bít stočhastičky nezavisle (pokud nemají vsečhny nulovou pravdepodobnost). 66 6.3. Příklad Nezavisle opakujeme tíz níhodní pokus. Necht' jev Aí znamení uspech v item pokusu, pricemz P(Aí) = v, i =1, 2,... Vypocítejte pravdepodobnost, ze a) prvnímu uspechu predchazí z neuspechu, z = 0,1, 2,..., b) v prvních n pokusech nastane prave y uspechu, y = 0,1,..., n. Řešení: ad a) p(ä[ n-nín az+1) = p(a[)... p(a~z)p(az+l) = (1 (geometricke rozlození pravdepodobností) ad b) P((Ain- • -nAynAy+ln- • -c\an)\j-■ -u^n- • -nAn_ynAn_y+ln- ■ -nAn)) = pía,) ... p(Ay)p(Ä^r1)... p(än) + ■■■ + + p(a1)... p{an_y)p{an_y+l)... p{an) vy(1 - v)n-y + • • • + (1 - v)n-yvy ny vy (1 - v)n-y (binomicke rozlození pravdepodobností) Nyní zavedeme podmínenou pravdepodobnost na zaklade analogie s podmí-nenou relativní cetností. Shrneme vlastnosti podmínene pravdepodobnosti a naucíme se pouzívat vzorec pro vypocet íplne pravdepodobnosti a Bayesuv vzorec. I 6.4. Definice Necht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor a dale H G A jev s nenulovou pravdepodobností. Podmíněnou pravděpodobností za podmínky H rozumíme funkci P(.|H) : A —► R danou vzorcem: A G A : P(A|H) P(An P(H) H) . (Vysvetlení: Opakovane nezívisle provídíme tíz níhodny pokus a sledujeme nastoupení jevu A v tech pokusech, v nichz nastoupil jev H. Podmínenou relativní cetnost A za podmínky H jsme v definici 1.4 zavedli vztahem • Tato podmíněná relativní četnost se s rostoucím počtem pokusu ustaluje kolem konstanty P(A|H), kterou povazujeme za podmínenou pravdepodobnost jevu A za podmínky H.) p(A|H) 6.5. Veta T Pro podmínénou pravdépodobnost platí: N^sjl a) P (A n a2) = P (a^p (a2|a!) pro p (ai) = 0. \Z_ b) p(ai n a2) = p(a2)p(ai|a2) pro p(a2) = 0. c) p(a:na2n- • -na„) = p(Ai)p(A2|Ai)p(As|Aina2)... p(ara|ain- • -n ara_i) pro p(ain- • -nara_i) = 0. (Véta o násobení pravdepodobností) 67 6. Stochasticky nezavisle jevy a podmínena pravdepodobnost d) Jevý Ai, A2 jsou stochastický nezívisle, príve kdýz P(Ai|A2) = P(Ai) nebo P(A2) = 0 a príve kdýz P(A2|A1) = P(A2) nebo P(A1) = 0. 6.6. Příklad Ze skupiný 100 výrobku, ktera obsahuje 10 zmetku, výbereme níhodne bez vracení 3 vírobký. Výpoctete pravdepodobnost jevu, ze první dva výrobký budou kvalitníí a t retíí bude zmetek. Řešení: Jev Ai znamena, ze i-tí výbraní vírobek je kvalitní, i = 1, 2, 3. Pocítíme P(A, n A2 n ÄÄ = P(A1)P(A2\A1)P(Ä3\A1 n A2) = ^ • f • f = 0,083. I 6.7. Veta Necht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor, H1,..., Hn G A takove jevý, n ze P(Hj) > 0, U Hi = Q, Hi n Hj = 0 pro i = j (ríkame, ze jevý H1,..., Hn i=1 tvo ríí uíplnýí sýstíem hýpotíez). a) Pro libovolní jev A G A platí vzorec uplne pravdepodobnosti: n P(A) = P(Hi)P(A| Hi). i=1 b) Pro libovolnou hýpotezu Hk, k = 1,..., n a jev A G A s nenulovou pravdepodobností platí Baýesuv vzorec: P(Ffc|A) - Pjl) ' (P(Hk |A) se nazíva aposteriorní pravděpodobnost hýpotezý Hk, P(Hk) je apriorní pravděpodobnost.) 6.8. Příklad Je znamo, ze 90% vírobku odpovída standardu. Býla výpracovína zjed-nodusena kontrolní zkouska, ktera u standardního vírobku da kladný výsledek s pravd epodobnostíí 0,95, zatíímco u víýrobku nestandardníího s pravd epodobnostíí 0,2. Jakaí je pravd epodobnost, ze a) zkou ska u naíhodn e výbraníeho víýrobku dopadla kladn e, b) vírobek, u nehoz zkouska dopadla kladne, je standardní? Řešení: Jev A znamenía, ze zkou ska u naíhodn e výbraníeho výírobku dopadla kladn e, jev H1 znamena, ze výrobek je standardní, jev H2 znamení, ze vírobek není standardní, P(H1) = 0,9, P(H2) = 0,1, P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,2. ad a) P (A) = P (H^P (A|H1)+P (H2)P (A|H2) = 0,9-0,95+0,1-0,2 = 0,875 adb) P(HM) = P{Hí^l) = °-f§^ = ^- 68 Shrnutí kapitoly Stochasticky nezávisle jevy jsou protipólem determinističký zavislíčh jevu: informače o nastoupení jednoho jevu nijak nemení sanče, s nimiz očekí-vame nastoupení druheho jevu. Formalne zavadíme stočhastičkou nezavislost jevu pomočí multiplikativníčh vztahu na zaklade analogie s četnostní nezí-vislostí mnozin. Pomočí stočhastičký nezavislýčh jevu lze odvodit geomet-ricke a binomicke rozložen í pravdepodobnost í. Obe tato rozlození se často pou zíívajíí v praxi. Podmínena relativní četnost motivuje zavedení podmn ínene pravdepodobnosti - zkoumíame pravd epodobnost nastoupeníí n ejakíeho jevu za pod-míínký, ze nastal jinýí jev. Podmíín enía pravd epodobnost se výskýtuje v n eko-lika dulezitíčh vzorčíčh, ktere umoznují resit radu príkladu. Jedna se o vetu o n ásoben í pravdepodobnost í , vžorec pro vypocet upln e pravdepodobnosti a Bayesuv vžorec. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad stočhastičký nezavislíčh jevu 2 Nečht' P (A) = p, P (B) = q. Pomočí čísel p, q výjadrete pravdepodobnost nastoupení aspon jednoho z jevu A, B, jsou-li týto jevý a) stočhastičký nezíavislíe, b) neslu čitelníe. 3 Co lze rííči o jevečh A, B, kteríe nejsou nemo zníe a platíí pro n e: I P (A U B) [1 — P (A)][1 — P (B)]? 1 4 Je pravd epodobn ej síí výhríat se stejn e silnýím soupe rem t ri partie ze čtý r nebo p et z osmi, kdý z nerozhodnýí výísledek je výlou čen a víýsledký jsou nezíavislíe? 5 První delník výrobí denne 60 vírobku, z toho 10% zmetku. Druhý delník výrobí denne 40 výrobku, z toho 5% zmetku. Jakí je pravdepo-dobnost, nze níahodnne výbraníý výírobek z denníí produkče je zmetek a počhíazíí od prvníího dnelnííka? 6 Ze sesti vaječ jsou dve praskla. Nahodne výbereme dve vejče. Jaka je pravd epodobnost, ze budou a) ob e prasklía, b) príav e jedno prasklíe, č) ob e dobría? 7 Doplňte chybějící člen x v rovnici P (B) = P(B\A)P(A) + xP(A). 8 Pro jake jevý A, B, B = 0 platí P (A|B) = P (A)? 9 Co lze ríči o jevečh A1,..., An s nenulovými pravdepodobnostmi, ktere jsou neslu čitelníe a jejičh sjednočeníím je čelýí zíakladníí prostor? 10 Pojist'ovačí společnost rozlisuje pri pojist'ovaní tri skupiný ridiču - A, B a C. Pravdepodobnost toho, ze ridič patríčí do skupiný A bude mít b ehem roku nehodu, je 0, 03, zatíímčo u ridi če skupiný B je to 0,06 a u 69 6. Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost ridice skupiný C 0,1. Podle dlouhodobích zíznamu spolecnosti je 70% pojistných smluv uzavreno s r idici skupiný A, 20% s ridici skupiný B a 10% s r idi ci skupiný C. Jestli ze do slo k nehode r idi ce poji st eneho u tíeto spole cnosti, jakía je pravd epodobnost, ze pat ril do skupiný C? 11 U jisteho druhu elektrickeho spot rebi ce se s pravdepodobností 0,01 výskýtuje vírobní vada. U spotrebice s touto vírobní vadou dochazí v zarucní lhute k poruse s pravdepodobností 0,5. Vírobký, ktere tuto vadu nemají, se v zarucní lhute porouchají s pravdepodobností 0,01. Jakía je pravd epodobnost, ze a) u nahodne výbraneho výrobku nastane v zarucní lhut e porucha, b) výrobek, který se v zírucní lhut e porouchí, bude mít dotýcnou víýrobníí vadu? I 70 I ľ Nahodna veliCina a její distribuční funkce 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce Cíl kapitoly Po prostudování teto kápitolý budete umet: ■ číselne popsát vásledký náhodneho pokusu pomočí náhodnáčh veličiná á náhodnýčh vektorů, ■ nájít distribuční funkči náhodne veličiný či náhodneho vektoru, rozli sit diskráetnáí á spojitáe nááhodnáe veli činý á nááhodnáe vektorý á nájáít jejičh funkčionální čhárákteristiký, ■ overit stočhástičkou nezávislost náhodnáčh veličin. Casová zátež Ná prostudování teto kápitolý budete potrebovát ási 8 hodin studiá. Náůčíme se, ják popisovát výsledký náhodneho pokusu pomočí náhodne veličiný, tj. zobrázení, ktere moznemu vásledku prirádí číslo či nekolik čísel. Existuje zretelná ánálogie mezi znákem, který známe z 1. kápitolý, á náhodnou veličinou. V nekteráčh sitůáčíčh potrebujeme náhodnou veličinu tráns-formovát. Získáme slozenou funkči zvánou tránsformováná náhodná veličiná. Státistiká částo zájímá právdepodobnost jevu, ze hodnotá náhodne veličiný nepresáhne nejákou mez. Pomočí teto pravdepodobnosti závedeme distribuční funkči, která je „zideálizováným" protejskem empiričke distribuční funkče, s náí z jsme se setkáli ve 2. kápitole. Seznáámáíme se s vlástnostmi distribu čnáí funkče á výresíme nekolik príkládů. 7.1. Definice Libovolná funkče X : Q — R, která kázdemu moznemu výsledku u G Q prirazuje reálne číslo X (u), se názývá náhodná veličina á číslo X (u) je (číselná realizace náhodne veličiny X příslušná moznemu výsledku u. Usporádáná posloupnost náhodnáčh veličin (Xi,..., Xn) se názývá náhodná vektor á znáčí se X. Je-li g : R — R (resp. ... , gm) : Rn — Rm) funkče, pák slozená funkče Y = g(X) (resp. Y = (Yi,..., Ym) = (gi(xi,.. .,Xn),... ,gm(xi,.. .,Xn))) se názývá tránsformováná náhodná veličiná (resp. tránsformováná náhodný vektor). Výsv etlenáí: Nááhodnáá veli činá i nááhodnáý vektor popisujáí váýsledký nááhodnáeho pokusu pomočáí reáálnýáčh čáísel. Musáí p ritom splnovát podmáínku tzv. m e ritel-nosti, kterou se zde nebudeme zábýávát. Nááhodnáá veli činá v po čtu právd e-podobnosti á znák v popisne státističe - viz definiče 1.8 - jsou siče pojmý blízke, nikoli vsák totozne. Znák lze povázovát zá náhodnou veličinu, pokud jeho hodnotu zjist'ujeme ná objektu, který býl výbrán ze zákládního souboru náhodne. Upozornená: V dálsám textu se omezáme ná dvourozmerne náhodne vektorý. Poznátký lze jednoduse zobečnit i ná n-rozmerne náhodne vektorý. 7.2. OznaCení Nečht' B C R. Jev {u G Q; X (u) G B} zkráčene zápisujeme {X G B} á čteme: náhodná veličiná X se reálizoválá v mnozine B. ■ 72 7.3. Definice Pravdepodobnostní chovaní nahodne veliciny X (resp. nahodneho vektoru X = (X1,X2)) popisujeme distribuční funkcí $ : R — R, ktera je dana vztahem: Vx G R : $(x) = P (X < x) (resp. simultánní distribuční funkcí $ : R2 — R, kterí je definovína vztahem: V(x1 ,x2) G R2 : $(x1 ,x2) = P(Xi < Xi,X2 < X2)). Vysvetlení: Distribucní funkce $(x) je zidealizovanym protejskem empiricke distribucní funkce F (x) zavedene v definici 2.4 ci 2.14: Vx G R : F (x) = N. S rostoucím rozsahem výběrového souboru se budou hodnoty F(x) ustalovat kolem hodnot $(x). 7.4. Příklad Najd ete distribu cníí funkci níahodníe veli ciny X, ktería udíavaí, jakíe cííslo padlo pri hodu kostkou a nakreslete graf teto distribucní funkce. Řešení: Nahodní velicina X muze nabívat hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Číselnou osu tedy rozdelíme na 7 intervalu. x G (-oo, 1) : $(x) = P (X < x) = 0 x G (1,2) : $(x) = P (X < x) = - 6 x G (2, 3) : $(x) = P(X < x) = \ + \ = \ 6 6 6 x G (3, 4) : $(x) = P(X< x) = 1 + 1 + 1 = 1 6 6 6 6 x G (4,5) : $(x) = P(X < x) = \+ \+ \+ \ = ~a 6 6 6 6 6 x G (5, 6) : $(x) = P(X — TO X — TO ■ Va, 6 G E, a < 6 platí: P(a < x < b) = $(&) - $(a). ■ pro libovolné, ale pevně dané 20 G R : P (X = x0) = $(x0)— lim b) Vektorovy prípad: Simultínní dištribucní funkce $(xi,x2) níhodneho vektoru X = (X1,X2) ma našledující vlaštnošti: ■ $(x1,x2) je neklešající vzhledem ke kazde jednotlive promenne, ■ $(x1,x2) je zprava špojita vzhledem ke kazde jednotlive promenne, ■ $(x1,x2) je normovana v tom šmyšlu, ze lim , 22) = 1, X\—>00,ÍE2—*0O , 22) = lim ,x2) = 0, lim X1 — — TO V(x1 ,x2) G R2,h1 > 0,h2 > 0 : P(x1 < X1 < x1 + h A X2 < X2 < X2 + ^2) = $(21 + h1 ,X2 + ^2) — + h1,X2) —,X2 + ^2) + $(x1 ,X2) (tato vlaštnošt vyjadŠruje pravdŠepodobnošt, Šze naíhodnyí vektor še realizuje v obdelníku + h1) x (x2, 22 + h2)), lim $(21,22) = $1(21), lim $(21,22) = $2(22), kde $1(2:1), $2(22) X2—TO X1 —TO jšou dištribuŠcní funkce níahodníych veliŠcin X1, X2. Nazíyvají še mar- giníalní dištribuŠcní funkce. 7.6. Príklad Níahodníy vektor (X1, X2) mía dištribuŠcní funkci $(21, 22) 1 V2 arctg 21 + I) (arcts - -„í.j-___t- 22 + VypoŠctŠete pravdŠepodobnošt, Šze naíhodnyí vektor (X1, X2) še bude realizovat v jednotkovíem Šctverci (0, 1) x (0, 1). NajdŠete obŠe marginíalní dištribuŠcní funkce $1(21), $2(22). Resení: Podle 4. vlaštnošti v vety 7.5(b), kde x1 doštaívíame 0, 22 = 0, h = 1, h P(0 < X1 < 1 A 0 < X2 < 1) = $(1,1) — $(1, 0) — $(0,1) + $(0, 0) 1 /n n V2 V4 + 2 $1(21) $2(22) lim — X2—TO n2 lim \ 4 + 2 1 /n n ^2 U + 2 0+ 1 / n arctg 21 + arctg 21 + 4 + 2 1 / n |) (arctg |) (arctg 22 + 22 + 1 n 1 n 0+ 1 16' arctg 21 + arctg 22 + 0 74 Nyní se bůdeme zabyvat dvema spečiílními typy nahodnyčh veličin, a to diskretními a spojitymi níhodnymi veličinami. Diskretní nahodna veličina nabyva nejvíse spočetne mnoha izolovaníčh hodnot, zatímčo spojita veličina nabyví vsečh hodnot z nejakeho intervalů. Pravdepodobnostní čhovaní diskretní (resp. spojite) nahodne veličiny popíseme pomočí pravdepodobnostní fůnkče (resp. pomočí hůstoty pravdepodobnosti). Uvidíme, ze vlastnosti pravdepodobnostní fůnkče jsoů podobne jako vlastnosti četnostní fůnkče a vlastnosti hůstoty pravd epodobnosti jsoů analogičkíe vlastnostem hůstoty četnosti. 7.7. Definice a) Skalírní prípad: Níhodní veličina X se nazyva diskretní, jestlize její distribůční fůnkči lze vyjadrit pomočí nezaporne fůnkče n(x) v soůčtovem tvarů: Vx G R : $(x) = n(x). Fůnkče n(x) se nazyva pravděpodobnostní funkce diskrétní nahodne veličiny X. b) Vektoroví prípad: Nahodny vektor (X1,X2) se nazyva diskretní, jestlize jeho simůltanní distribůční fůnkči lze vyjídrit pomočí nezaporne fůnkče n(x1,x2) v soůčtovem tvarů: V(xi,x2)R2 : $(x1,x2) = Y Y n(Í1,Í2). Í1 0 (nezapornost), oo ■ n (x) = 1 (normovanost), x=—oc 75 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce G R I Vx VB C R : vr(x) = P (X = z). P{X G B) = E tt(x). b) Vektorový případ: Je-li n^x^, x2) simultánní pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodněho vektoru (X1,X2), pak platí: ■ V(z1 , x2) G R2 : n(z1,z2) > 0 (nezípornost), oo oo ■ 7r(x1,x2) = 1 (normovanost). ici=—oo X2=—oc ■ V(xi, x2) G R2 : vr(xi, x2) = P{Xi = xi A X2 = x2), ■ VB C R2 : P((X!,X2) eB)= E 7r(xi,x2), (xi,x2)es oo ■ E n(xi,x2) = vri(xi), E n(xi,x2) = vr2(x2), přičemž 7Ti(xi), X2=—o xi=—oc n2(x2) jsou marginílní pravdepodobnostní funkce nahodných veličin x1, X2. 7.9. Příklad Pravdepodobnost poruchy každe ze trí nezavisle pracujících vírobních linek je 0,5. Nahodní velicina X udava pocet výrobních linek, ktere mají poruchu. Najdete pravdepodobnostní funkci nahodne veliciný X. Řešení: Nahodna velicina X nabýva hodnot 0,1, 2, 3. n(0) = P (X = 0) = 0,53 = 0,125, = P(X = 1) = 3 • 0,53 = 0,375, n(2) = P(X = 2) = 3 • 0,53 = 0,375, n(3) n(x) P (X = 3) 0 jinak. 0,53 0,125, 7.10. Příklad Je dan systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že i-tý blok správně funguje, je Vj, i = 1, 2, a pravdepodobnost, že správne fungují oba bloky, je v12. Necht' náhodna veličina Xj je ukazatel fungovaní i-teho bloku, tj. 1 , pokud i-týy blok funguje, 0, pokud i-tý blok nefunguje, { i 1, 2. Najdete simultánní pravdepodobnostní funkci n(x1,x2) náhodneho vektoru (X1,X2) a obe marginalní pravdepodobnostní funkce n1 (x1) a n2(x2). Řešení: Hodnoty pravdepodobnostních funkcí zapíseme do kontingenční tabulky. Xj x2 VTl(Xi) 0 1 Xi 0 1 — 1/1 — U2 + V\2 V2 ~ V\2 1-Pl 1 V\ ~ V\2 vr2(x2) 1 — V2 V2 1 76 7r(0, 0) = P(X1 = 0 A X2 = 0) = 1 - P(X1 = 1 V X2 = 1) = 1 - (Vl + V2 - V12) = 1 - Vi - V2 + Vi2, n(0,1) = P(Xi = 0 A X2 = 1) = P(X2 = 1) - P(Xi = 1 A X2 = 1) = = V2 - Vi2, 0) = P (Xi = 1 A X2 = 0) = P (Xi = 1) - P (Xi = 1 A X2 = 1) = = Vi - Vi2, 1) = P (Xi = 1 A X2 = 1) = Vi2, , x2) = 0 jinak. 7.11. Definice a) Skalární případ: Nahodna veličina X se nazývá spojitá, jestliže její distribuční funkci lze výjadřit pomocí nezaporne funkce <^(x) v integrainím tvaru : Vx G R : $(x) Funkce <^(x) se nazýva hustota pravdepodobnosti spojité náhodné veličiny X. b) Vektoroví prípad: Nahodní vektor (Xi,X2) se nazýva spojitá, jestlize jeho simultanní distribucní funkci je mozne výjadrit pomocí nezaporne funkce ^(xi,x2) v integrílním tvaru: X1 X2 V(xi,X2) G R2 : $(xi,X2) J J ^(íi,Í2) dŕidÍ2. I Funkce ^(xi,x2) se nazýva simultánní hustota pravdepodobnosti spojitého náhodného vektoru (Xi,X2). Výsvetlení: Hustota pravdepodobnosti <^(x) je zidealizovaným protejskem hustotý cetnosti f (x) zavedene v definici 2.14. S rostoucím rozsahem víbero-veho souboru a klesající sirkou trídicích intervalu se hodnotý hustotý cetnosti ustalují kolem hodnot hustotý pravdepodobnosti. Spojita nahodna velicina nabýví vsech hodnot z nejakeho intervalu. Její distribucní funkce je vsude spojita. Simultanní hustota pravdepodobnosti je zidealizovaním protejskem simultanní hustotý cetnosti zavedene v definici 2.17. S rostoucím rozsahem vý-beroveho souboru a klesající plochou dvourozmerných trídicích intervalu se hodnotý simultanní hustotý pravdepodobnosti a ustalují kolem hodnot simultanní hustotý cetnosti. 7.12. Veta a) Skalarní prípad: Je-li <^(x) hustota pravdepodobnosti spojite níhodne veliciný X, pak platí: 77 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce I Vx G R : <^(x) > 0 (nezapornost) oc / <^(x) dx =1 (normovanost) Vx G R : P(X = x) = VB C R : P (X G B) 0 j t/?(x) dx ■ ip(x) = ve všech bodech spojitosti funkce 0 (nezípornost) oo oc ■ J J ^(x1,x2) dx1dx2 = 1 (normovanost) V(xi,x2) G R2 : P((Xi = xi) A(XÍ2 B G R2 : P((Xi,X2) G B)= // (xi,x2)eB x2)) = 0 ^(x1, x2) dx1dx2 ■ J <^(xi,x2) dx2 = <^i(xi), J ^(xi,x2) dxi = <£2(x2), pricemz ^i(xi). — oo —oc ^2(x2) jsou marginalní hustoty pravdepodobnosti nahodnych velicin Xi , X2. 7.13. Příklad Na automaticke lince se plní líhve mlekem. Kazdí lahev ma obsahovat presne 1000 ml mleka, ale v dusledku pusobení nahodnych vlivu mnozství mleka kolísa v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kazde mnozství mleka v tomto intervalu povazujeme za stejne mozne. Nahodna velicina X udava mnozství mleka v nahodne vybrane lahvi. Najdete její hustotu pravdepodobnosti <^(x) a distribucní funkci $(x). ! Řešení: k pro x G (980,1020), 0 jinak. 1020 Z normovanosti hustoty plyne: 1 = J kdx = 40fc, tedy k = ^. Pro dis- 980 tribucní funkci platí: 0 $(x) pro x < 980, x~980 pro 980 < x < 1020; 980 1 40 pro x > 1020. 7.14. Příklad Spojity nahodní vektor (X1,X2) ma simultínní hustotu pravdepodobnosti ¥>(xi,x2) 1 n2(1 + x2)(1 + x2)2' 78 Najdete obe marginalní distribucní funkce ^i(xi), <^2(x2). Řešení: oo oc 1 n2(1+ xl) [arctg X2 ] 1 n2(1 + xl) V2 1 + x22 n(1 + xl) Analogicky dostavame ^2(X2) x2)" V popisne statistice, konkretne ve 2. kapitole, jsme se setkali s cetnostní nezavislostí znaku v danem vyberovem souboru. V poctu pravdepodobnosti ma tento pojem svou analogii ve stochasticke nezívislosti nahodních velicin. Spocítame nekolik príkladu, v nichz se vyskytují stochasticky nezívisle velici-ny, a ukazeme si, ze transformovaním se stochasticka nezavislost níhodních velicin neporusí. 7.15. Definice a) Obecny prípad: Řekneme, ze nahodne veliciny X1,... , Xn s margi-nalními distribucními funkcemi $1(x1),... , $n(xn) a simultanní distribucní funkcí $(x1,... , xn) jsou stochasticky nezávislé, jestlize pro V(x1,... , xn) G Rn : $(x!,...,x„) = $1 (x1)(xra). b) Diskretní prípad: Řekneme, ze diskretní nahodne veliciny X1,... , Xn s marginílními pravdepodobnostními funkcemi n1 (x1),..., nn(xn) a simultanní pravdepodobnostní funkcí n(x1,...,xn) jsou stochasticky nezívisle, jestlize pro V(x1,... ,xn) G Rn : n(x1,... ,xn) = n1(x1)nn(xn). c) Spojití prípad: Řekneme, ze spojite nahodne veliciny X1,... , Xn s marginílními hustotami pravdepodobnosti ^1 (x1),..., <^n (xn) a simultínní pravdepodobnostní funkcí ^(x1,... ,xn) jsou stochasticky nezívisle, jestlize pro V(x1,... , xn) G Rn : ^(x1,..., xn) = <^1(x1) 0,5 a x2 > 0,2. Z definice 7.11 (skalařní případ) dostaneme: X1 $1(^1) 0,5 0,5 1 dt1 = [t1 ]X10 5 = X1 + 0,5 80 pro —0,5 < x\ < 0,5, $i(xi) = 1 pro x\ > 0,5, $i(xi) = 0 pro x\ < —0,5. Dále -0,2 1 dt2 = [t X2 2J- 0,2 2,5(x2 + 0,2) pro —0,2 < x2 < 0,2, $2(x2) = 1 pro x2 > 0,2, $2(x2) = 0 pro x2 < —0,2. Stochastickou nezávislost náhodných veličin X1,X2 overíme pomocí definice 7.15 (c): V(x1,x2) G R2 : ^(x1,x2) = ^1(x1)^2(x2), tedy nýhodne veliciny X1,X2 jsou stochasticky nezávisle. 7.17. Příklad Diskrétní náhodný vektor (X1, X2) mý simultýnní právdepodobnostní funkci n(x1,x2) dánou hodnotámi: n(—1, 2) = n(—1, 3) = n(0, 3) = 0) = 1) = 0, n(—1,0) = n(0,1) = 2) = 2c, n(—1,1) = n(0,0) = n(0, 2) = 3) = c. Urcete konstántu c, hodnotu simultýnní distribucní funkce $(0, 2), obe márginální právdepodobnostní funkce n1(x1), n2(x2) á hodnotu márginální distribucní funkce Zjistete, zdá náhodne veliciny X1 , X2 jsou stochásticky nezíávislíe. Řešení: Hodnoty simultánní právdepodobnostní funkce n(x1, x2) usporídíme do kon-tingencní tábulky, kterou jeste doplníme o sloupec s hodnotámi n1 (x1) á rádek s hodnotámi n2(x2). Tyto hodnoty získíme pomocí vety 7.8 (vektorový prípád). x2 VTl(Xi) 0 1 2 3 -1 2c c 0 0 3c X\ 0 c 2c c 0 4c 1 0 0 2c c 3c 7T2(X2) 3c 3c 3c c 1 Z normovánosti právdepodobnostní funkce diskrétního náhodneho vektoru (viz vetá 7.8, vektoroví prípád) dostíváme 10c = 1, tedy c = 0,1. Z definice diskrétního náhodneho vektoru (definice 7.7, vektorovy prípád) plyne $(0, 2) = n(—1, 0) + n(—1,1) + n(—1, 2) + n(—1, 3) + n(0, 0) + + n(0,1) + n(0, 2) = 0,2 + 0,1 + 0 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,6. Z definice diskrétní náhodne veliciny (definice 7.7, skálírní prípád) plyne $1(1) = 7n(—1) + 7n(0) + n (1) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1. Pokud by náhodné veličiny Xi,X2 byly stochasticky nezávislé, musel by pro všechna V(x1 ,x2) G R2 platit multiplikativní vztah: ,x2) = n1(x1)n2(x2) (viz definice 7.15 (b)). Avšak jiZ pro x1 = —1, x2 = 0 dostáíváíme dy, vztáh splnen není á náhodne veliciny X1 ,X2 nejsou stochásticky nezívisle. n(—1,0) = 0,2, n1 (—1) = 0,3, n2(0) = 0,3. Vidíme tedy, ze multiplikátivní ^rvtah Qnl x 2 81 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I 7.18. Veta Jsou-li níhodne veliciný Xi,...,Xn stochastický nezavisle, pak jsou stochastický nezavisle take transformovane níhodne veliciný Yi = gi(Xi),... , Shrnutí kapitoly Nahodna velicina se zavadí jako zobrazení, které kazdemu výsledku nahod-neho pokusu prirazuje císlo (pak se jedna o skal arn í n ahodnou veličinu) nebo více císel (v tomto prípade jde o n ahodny vektor). Nahodnou velicinu lze pomocí libovolne funkce transformovat a získat tak transformovanou n ahodnou veličinu. Pravdepodobnostní chovíní nahodne veliciný popisuje distribučn í funkce, jejíz zavedení je motivovano empirickou distribucní funkcí znamou z popisne statistiky Vlastnosti techto dvou funkcí jsou ana-logicke. Praktický význam mají dva specialní druhý nahodních velicin. Diskretn I n ahodn á veličina muze nabívat pouze spocetne mnoha hodnot a její pravdepodobnostní chovaní je popsíno pravdepodobnostn I funkc I , coz je „zi-dealizovaný" protejsek cetnostní funkce. Diskr etn í n áhodný vektor je tvoren diskrétními nahodními velicinami. Zabývali jsme se nahodnými vek-torý se dvema slozkami. V souvislosti s diskrétním níhodným vektorem zavadíme simultánn I pravdepodobnostn I funkci. Margin áln í pravdepodobnostn I funkce se vztahují k jednotlivým slozkím níhodneho vektoru. Spojit a n ahodn á velicina nabíva vsech hodnot z nejakeho intervalu. Její pravdepodobnostní chovaní je popsano hustotou pravdepodobnosti, coz je „zidealizovaný" protejsek hustotý cetnosti. Spojitý n ahodny vektor je tvoren spojitími nahodními velicinami. Jeho pravdepodobnostní chovaní je popsano simult ann á hustotou pravdepodobnosti. Margin aln I hustoty pravdepodobnosti se vztahují k jednotlivím slozkam níhodneho vektoru. Pomocí multiplikativního vztahu, v nemz výstupují simultanní a marginalní distribucní funkce (resp. pravdepodobnostní funkce v diskrétním prípade resp. hustotý pravdepodobnosti ve spojitém prípade), zavedeme pojem sto-chasticke nezavislosti nahodných velicin. Kontrolní otázky a Úkoly 1 Uved'te príklad nahodne veliciný a nahodneho vektoru z ekonomicke praxe. 2 Najdete distribucní funkci nahodne veliciný, kterí udava pocet lícu pri hodu tremi mince-mi a nakreslete její graf. 3 Rozhodnete, které z uvedeních nahodních velicin jsou diskrétní a které jsou spojitíe: a) pocet clenu domacnosti b) vek cloveka v letech c) níahodn e výbraníe reíalníe cííslo d) pocet zakazníku ve fronte 82 e) čena vyírobků f) počet zmetků z čelkove denní prodůkče g) delka ůrčiteho predmetů h) zivotnost televizorů v letečh 4 Ktere fůnkčionalní čharakteristiky popisůjí pravdepodobnostní čhovaní diskretní nahodne veličiny a ktere diskretního níhodneho vektorů? 5 Ktere fůnkčionalní čharakteristiky popisůjí pravdepodobnostní čhovaní spojite nahodne veličiny a ktere spojiteho nahodneho vektorů? 6 Je-li X diskretní nahodní veličina s pravdepodobnostní fůnkčí n(x), můze byt n(x) > 1? 7 Je-li X spojita nahodna veličina s hůstotoů pravdepodobnosti <^(x). můze byt <^(x) > 1? 8 Nahodna veličina ůdaví průmerní počet ok pri hodů dvema kostkami. Nakreslete graf její pravdepodobnostní fůnkče. 9 Diskretní nahodny vektor (X1;X2) ma simůltínní pravdepodobnostní fůnkči n(x1,x2) danoů hodnotami: n(0, 0) = n(0, 2) = 1) = n(2, 0) = n(2, 2) = 0, n(0,1) = 2)= n(2,1) = 0,25. Jsoů níhodne veličiny X1, X2 stočhastičky nezívisle? 10 Nečht' spojití vektor (X1, X2) ma simůltínní hůstotů pravdepodobnosti , s f 24x1x2(1 — x1) pro 0 < x1 < 1,0 < x2 < 1, ^(x1 ,x2)^0 jinak. ■ Dokazte, ze nahodne veličiny X1, X2 jsoů stočhastičky nezavisle. 83 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce 84 I Vybraná rozloZení diskrétních a spojitých náhodných veiiccin 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ rozlisovat dulezité typy diskrétních a spojitých rozložení ■ využívat vlastností techto rozložení pri yýpoCtu pravdepodobností různých jevU ■ hledat v tabulkach hodnot distribucní funkce standardizovaneho nor-malního rozlození (Časová zátéž Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 5 hodin studia. Nyní se seznamíme s préhledem dulezitych pravdepodobnostních funkcí a hustot pravdepodobnosti. Uvedeme nejenom analyticke vyjadrení techto funkcí, ale tez grafy. Vysvetlíme rovnez, vjakych situacích se lze s uvedenými rozlozeními pravdepodobnosti setkat. Zvlastním pozornost budeme venovat normalnímu rozlození, které hraje velkou roli v cele rade praktickích aplikací poctu pravdepodobnosti a, jak uvidíme pozdeji, i v matematicke statistice. I 8.1. Označení Zname-li distribucní funkci $(x) nahodne veliciny X (resp. pravdepodobnost-ní funkci n(x) v diskrétním prípade resp. hustotu pravdepodobnosti <^(x) ve spojitém prípade), pak rekneme, ze zname rozlození pravdepodobností (zkrícene rozlození) nahodne veliciny X. Toto rozlození zavisí na nejakem parametru v, coz nejcasteji bíva reílne císlo nebo reílní vektor. Zípis X ~ L(v) cteme: nahodna velicina X ma rozlození L s parametrem v. 8.2. Definice Nejprve se sezníamííme s vybraníymi rozlo zeníími diskríetníích níahodníych veli-cin. a) Degenerované rozložení: X ~ Dg(n) Tato níhodna velicina nabyva pouze konstantní hodnotu n(x) { 1 pro x = /i, 0 jinak. -1 0.5 1 1.5 Pravdepodobnostní funkce Dg(1). 2 1 0 0 2 86 b) Alternativní rozložení: X ~ A{y) Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž pravděpodobnost ůspechu je v. 1 — v pro x = 0, = ^ v pro x =1, 0 jinak. 0.5- -0.5- -1 Pravdepodobnostní funkce A(0,75). c) Binomické rozložení: X ~ Bi(n, v) Náhodná veličina X udává počet áspechu v posloupnosti n nežávislách opakovaných pokusu, pričemž pravdepodobnost áspechu je v každem pokusu v. n(x) 0.6- ! x vx(1 — v)n x pro x jinak. 0.40.20 0.2 1 ° 1,...,n I Pravdepodobnostná funkce Bi(5; 0,5). (Odvožená - viž pr. 6.3 (b).) Alternativm rozložená je speciálnám prápa-dem binomickeho rozložená pro n =1. Jsou-li Xi,... , Xn stochastický nezávisle náhodne veličiny, Xj ~ A(v), i = 1,..., n, pak X i=1 1 0 0 1 2 0 II 0 1 6 87 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin d) Geometricke rozložení: X ~ Ge(v) Nahodní veličina X ůdava počet neůspečhů v posloůpnosti opako-vaníčh nezavislyčh pokůsů predčhízejíčíčh prvnímů ůspečhů, pričemz pravdepodobnost íspečhů je v kazdem pokůsů v. n(x) { (1 0 v)xv pro x = 0,1,... jinak. 0.30.20.10-0.1- -1 11 I Pravdepodobnostní fůnkče Ge(0,25). (Odvození - viz pr. 6.3 (a).) e) Hypergeometricke rozložení: X ~ Hg(N, M, n) V soůborů N prvků je M prvků označeno. Nahodne vybereme n prvků bez vračení. Nahodna veličina X ůdava počet vybranyčh označeníčh prvků. n(x) { (M) (N-M) V x ) V. n — x ) (?) 0 0.50.40.30.20.1 pro x = max{0, M jinak. N + n},... min{M, n}, 0 0.1 1 Pravdepodobnostní fůnkče Hg(10, 7, 5). f) Rovnomerne diskrítní rozložení: X ~ Rd(G) Nečht' G je konečna mnozina o n prvčíčh. Nahodna veličina X nabyva se stejnoů pravdepodobností kazde hodnoty z mnoziny G. n(x) ! - pro x G G. 0 jinak. 88 o 1 0 1 6 (Typickím príkladem je nahodna velicina udavající pocet ok pri hodu koštkou.) 0.18 0.14 0.1 0.060.02-0.02 10 Pravdepodobnoštní funkce 2,..., 10}). g) Poissonovo rozložení: X ~ Po(A) Níahodnaí veliŠcina X udíavaí poŠcet udíaloštíí, kteríe naštanou v jednot-kovíem Šcašovíem intervalu, pŠriŠcemŠz udíalošti naštaívajíí níahodnŠe, jednot-live a vzíjemne nezavišle. Parametr A > 0 je štrední pocet techto udíaloštíí. ^e"A pro x = 0,1,.... 0 jinak. n (2) ! 0.22 0.180.140.1 0.060.020.02 • • • • I I I I I I I I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Pravdepodobnoštní funkce Po(5). 0 8.3. Príklad V rodinŠe je 10 dŠetíí. Za pŠredpokladu, Šze chlapci i díívky še rodíí š pravdŠepo-dobnoštíí 0,5 a pohlavíí še formuje nezíavišle na šobŠe, urŠcete pravdŠepodobnošt, ze v teto rodine jšou nejmene 3 a nejvíše 8 chlapcu. Resení: X - pocet chlapcu v teto rodine, X ~ Bi(10; 0,5), ™»»-t(í)(i)'('-S)*" - 957 0,935. 89 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin 8.4. Příklad Jaká je pravděpodobnost, ze při hře „Člověče, nezlob se!" nasadíme nejpozději při třetím hodu? Řešení: X - počet neúspěchů před první šestkou, X ~ Ge(|), P(X < 2) = EÍ1- ^)1 = 0'4213- 8.5. Příklad Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozloZenám Po(2). Jaka je pravděpodobnost, Ze během směny dojde aspon k jedně poruse? Řešení: X - poCet poruch během směny, X ~ Po(2), P{X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - — e"2 = 0,8647. I 8.6. Definice Nyní uvedeme vybraně typy spojitých rozloZení. a) Rovnoměrné spojité rozložení: X ~ Rs(a, b) Nahodná velicina X nabává se stejnou pravděpodobností kazdě hodnoty z intervalu (a,b). ! i b—a 0 pro x G (a, b), jinak. 0.4- 0.3 H 0.2 0.1 0 -0.1 -2 1 0 b) Exponenciálne, rozložené: X ~ Ex (A) 3 Hustota Rs(-1, 2). A) Náhodna velicina X udáva dobu cekaní na príchod nějakě udalosti, 90 která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom j vyjadřuje střední dobu čekání. I Ae Ax pro x > 0, 0 jinak. 2.2 1.81.41 0.6 0.2 -0.2 1 Hustota Ex(2). c) Normálni rozloženi: X ~ N(ß, a2) Tato nahodna veliCina vznika napr. tak, že ke konstante ß se priCíta velké množství nezavislých náhodných vlivU mírne kolísajících kolem 0. Promenlivost techto vlivU je výjídrena konstantou a > 0. ^(x) 1 e z*'2 Pro // = 0, a2 = 1 se jedná o standardizovane normální rozložení, píšeme U ~ N(0,1). Hustota pravdepodobnosti ma v tomto prípade tvar 1 v7^ e 2 . Distribumí funkce standardizovaneho normalního rozložení I $(u) 77 2n je tabelovana pro u > 0, pro u < 0 se pouzíva prepoctový vzorec $(-«) = 1 - $(«). Má-li X ~ iV(ß, a2), pak [/ = ^ ~ ÍV(0,1). 0.5 0.4 0.3-1 0.2 0.1 0 32 T 1 Hustota N(0,1) 1 0.8 0.6-1 0.4 0.2 0 1 -3 -2 -10 1 2 Distribucní funkce N(0,1) 91 0 1 6 u 0 3 3 B. Vybraná rozloZení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 0.60.5 H 0.4 0.3 G.2H G.l G- 2l l 0.8 0.6 0.4 0.2 G 2l Hustotá N(1; 0,5) Distribucní funkce N(1; 0,5) (Normální rozlození hráje ustrední roli v poctu pravdepodobnosti i má-temáticke státistice. Jeho vyznám spocíví jednák v tom, ze normálním rozlozením se rídí právdepodobnostní chování mnohá níhodních velicin á jednák v tom, ze zá urcitích podmínek konverguje k normílnímu rozlození soucet nezávislích náhodních velicin s tymz rozlozením.) d) Dvourozměernée norméálnéí rozloězenéí: S) ~ *(fc) ü T)) Náhodny vektor J vzniká ve dvourozmerních situácích podobne jáko skálární níhodní veliciná v bode (e). ^(Xl,X2 ) l ala2 e 2 kde q(xl,X2) l - p2 ÍXl - juA2 Xl + a2 ^2 - ß2^j2 Pro ^1 = 0, //2 = 0, a2 = 1, ^2 = 1, p = 0 se jedná o stándárdizováne dvourozmerne normální rozlození. Vrstevnice á gráf hustoty stándárdizováneho dvourozmerneho normálního rozlození: r 4 T 2 4 2 G -2 4 24 92 G l 4 G l 4 l Vrstevnice a graf hustoty dvourozměrného normálního rozložení s parametry ni = 0, n2 = 0, a2 = 1, a"2 = 1, p = —0,75 Následující tri rozložení - Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedeco-rovo - jsou odvozena ze standardizovaneho normalního rozložení. Mají velky význam predevsím v matematicke statistice pri konstrukci intervalu spolehlivosti a testovaní hypotez. Vyjadrení hustot techto rozlození neuvídíme, je prílis slozite - viz napr. [3].) e) Pearsonovo rozložení chí-kvadrát s n stupni volnosti: X ~ x2(n) Nechť Xi,...,Xra jsou sťochasťicky nezávisle náhodné veliCiny, Xj ~ N(0,1), i = 1,..., n. Pak náhodná veliCina X = X2 + • • • + ~ x2(n). 0.25 0.2 H 0.15 0.1 0.05 H 0 I Husťoťa x2 (3). f) Studentovo rozložení s n stupni volnosti: X ~ t(n) Nechť' X1, X2 jsou sťochasťicky nezávisle nahodne veliCiny a nechť' dále X1 ~ N(0,1), X2 ~ x2(n). Pak nahodná velicina X X2 n t(n). 93 0 8 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 0.6 0.4 H 0.2 H -0.2 -3 T -2 T -1 Hustota í(3). g) Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n\ a n2 stupni volnosti: X ~ F (n, n2) Necht' Xi,...,Xn jsou stochasticky nezávisle náhodne veličiny, Xj ~ X2 (n), i = 1, 2. Pak náhodná veličina X ni X2 n2 F(n , n2). 0.8 0.6 H 0.4 0.2 0 0.2 1 Hustota F(5, 8). 8.7. Příklad Na automaticke lince se plní lahve mlekem. Působením nahodnách vlivu množství mleka kolísa v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kazde množství mleka v tomto intervalu považujeme za stejne možne. Jaka je pravdepodobnost, že v náhodne vybrane láhvi bude aspon 1000 ml mleka? Řešení: X - množství mleka v náhodne vybrane láhvi, X ~ Rs(980,1020), { ^ pro x G (980,1020), 0 jinak. 1020 P(X > 1000) = j 40 40' 020 000 0,5. 000 0 0 1 3 0 1 6 1 1 94 8.8. Příklad Doba (v minutách) potřebná k obsloužení zákazníka v prodejně potravin je náhodná veličina, která se řídí rozložením Ex(^). Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebna k obsloužení náhodne vybraneho zákazníka v teto prodejne bude v rozmezí od 3 do 6 minut? Řešení: X - doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka, X ~ Ex(^). ^(x) [i e 3 pro x > 0, 0 jinak. 6 P(3 < X < 6) = / \e~% d 3 f \e~% dx = \{-$) [e_t]g = -e-2 + e"1 = 0,233. 33 8.9. Příklad Výsledky u prijímacích zkoušek na jistou VS jsou normílne rozlozeny s parametry // = 550 bodu, a = 100 bodu. S jakou pravdepodobností bude mít níhodne vybraní uchazeč aspon 600 bodu? Řešení: X - vísledek nahodne vybraneho uchazece, X ~ N(550,1002), P (X > 600) = 1 - P (X < 600) + P (X = 600) = 1 - P (X < 600) 1 - P X a H 600 a 1 - p (u < 1 - $(0,5) = 600 - 550\ m ) 100 1 - 0,69146 = 0,31. 8.10. Příklad Necht' Xi,X2,X3,X4 jsou stochasticky nezívisle níhodne veliciny, Xj N(0,1), i = 1, 2, 3, 4. Jake rozlození mí transformovaní nahodní velicina X xVš VW+xf+x. ? I Řešení: X ~ t(3), protoze Xi ~ N(0,1) a X22 + X2 + X42 ~ x2(3). Shrnutí kapitoly Degeneřovane rozložení popisuje pravdepodobnostní chovaní konstanty, coz je nepochybne patologickí prípad. Zajímavejsí je alternativní, geo-metřicke a zvlaste binomicke rozložení. Vsechna tato rozlození souvisejí 95 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin s pocty úspěchů ci neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů. Hypergeometrické rozložení se vyskytuje v situacích, kdy provádíme výběr bez vracení ze souboru, ktery obsahuje oznacene prvky. Rovnomerne rozložení na dane mnozine je charakteristicke tím, ze nahodný velicina, ktera se jím rídý nabyvý kazde hodnoty z teto množiny se stejnou pravdepodobností. Podle Poissonova rozložení se chova napr. nahodný velicina udavající pocet udalostí, ktere nastanou v jednotkovem case. Za spojitych rozlození je nejjednodussí rovnomerne spojit e rozložen í. Jeho hustota je na danem intervalu konstantní a jinde nulova. Nahodna velicina s exponenci aln ím rozlozen ím udava dobu cekaní na príchod neja-ke udalosti, pricemz toto cekíní probíha „bez pameti". Vubec nejdulezitejsím rozlozením je normáln í rozlozen í, ktere vznika napr. tak, ze k nejake konstante se pricíta velke mnozství nezavislych nahodních vlivu mírne kolísajících kolem nuly. Tím se z konstanty stane nahodní velicina. Grafem normalní hustoty pravdepodobnosti je znama Gaussova krivka. Pomocí stan-dardizovaneho rozlození lze zavest dalsí tri typy specialních rozlození, a to Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedecorovo. Nachazejí uplatnení predevsím v matematicke statistice. I Kontrolní otázky a úkoly 1 (S) Pomocí systému STATISTICA nakreslete grafy hustot a distribučních funkcí uvedených spojitých rozložení. Sledujte vliv parametrU na tvar hustot a distribucních funkcí. Navod: viz príloha B. 2 (S) Pojist'ovna zjistila, že 12% pojistních udílostí je zpusobeno vlou-paním. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 30 nahodne vybranými pojistnými udalostmi bude zpusobeno vloupaním nejvíse 6? 3 Doba (v hodinach), kterí uplyne mezi dvema nalehavými príjmy v jiste nemocnici, se rídí rozlozením Ex(0,5). Jaka je pravdepodobnost, ze uplyne více nez 5 hodin bez nalehaveho príjmu? 4 Jaka je pravdepodobnost, ze níhodní velicina X ~ N(20,16) nabude hodnotu mensi nez 12 nebo vetsí nez 28? 5 Necht' X ~ Rs(a,b), pricemz $(x) 0 pro x < a pro a < x < b 1 pro x > b Urcete a, b. Necht' X\, X? jsou stochasticky nezavisle nahodne veliciny takove, ze Xi ~ N(0,1), i = 1, 2. Jake rozlození mí transformovana níhodní veli cina X = xr 6 96 CCíseine charakteristiky nahodnych veiiccin I 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ spočítat kvantilý spojitých nahodných veliCin ■ hledat kvantilý nekterích spojitích nahodních veliCin ve statistických tabulkíach ■ urcit strední hodnotu a rozptýl nahodne veliciný ■ spocítat kovarianci a koeficient korelace dvou nahodních velicin ■ výužívat vlastností císelných charakteristik nahodných velicin pri konkrétních výpoctech (basová zátěž Na prostudování teto kapitoly budete potřebovat asi 10 hodin studia. 9.1. Motivace V 7. kapitole jsme se sežnamili s funkcionalními charakteristikami níhodných velicin (napr. distribucní funkce, pravdepodobnostní funkce, hustota pravdepodobnosti), které plne popisují pravdepodobnostní chovaní nahodne veliciný. Císelne charakteristiký výstihují použe nekteré rýsý tohoto chovaní, napr. popisují polohu realižací nahodne veliciný na císelne ose ci jejich promenlivost (variabilitu). Jsou jednodussí než císelne charakteristiký, ale nesou jen caste cnou informaci. I 9.2. Definice Necht' X je spojita nahodna velicina aspon ordinalního charakteru (viž definici 3.2) s distribucní funkcí $(x) a necht' a G (0,1). Císlo Ka(X), které splnuje podmíínku Ka(X) a = $(K« (X)) J <^(x) dx, se nažýví a-kvantil níhodne veliciný X. Kvantil K0;50(X) se nažýva median, Ko)25(X) dolní kvartil, K0;75(X) horní kvartil, K0;10(X),..., K0;90(X) jsou decilý, K001 (X),..., K0)99 (X) jsou percentilý. Kterýkoliv a-kvantil je charakteristikou polohý cííselnýích realižacíí níahodníe veli ciný na cííselníe ose. Jako charakteristika variabilitý slouží kvartiloví odchýlka q = K0;75(X)—K0;25 (X). (Lže samožréjme definovat i kvantilý diskrétních nahodných velicin, ale žde se žabývíme jenom kvantilý spojitých nahodních velicin, které se v praxi nejcasteji používají.) 98 Význam a-kvantilu spojité náhodné veličiny ilustruje následující obrázek. Ka(X) 9.3. Označení X ~ N(0, 1) K«(X)= Ua, X X ~ t(n) ^ K«(X)= ía(n), X X2 (n) =► K«(X ) = Xa(n); F(ni,n2) K«(X) = Fa(ni,n2). Tyto kvantily najdeme ve statistických tabulkách. PouZíváme vztahy: ua u1—a; ta(n) = -ti—a(n); 1 Fa(ni,n2) Fi—a(n2,ni)" 9.4. Příklad a) Necht' U ~ N(0,1). Najdete mediýn a horní a dolní kvartil. b) Urcete x2)Q25(25). c) Urcete to,99(30) a to,o5(24). _ d) Urcete Fo,975(5, 20) a Fo,o5(2,10). Řešení: ad a) Mo>5o = 0, mo>25 = —0,67449, mo>75 = 0,67449 adb) xo',o25(25) =13,12 ad c) to,99(30) = 2,4573, ro,o5(24) = —1,7109 ad d) Fo,975(5, 20) = 3,2891, Fo,o5(2,10) = 0,05156 9.5. Veta Necht' X je spojití náhodná velicina, Y = g(X) transformovaná náhodná velicina, a G (0,1). a) Je-li g vsude rostoucí funkce, pak Ka(Y) = g(Ka(X)). b) Je-li g vsude klesající funkce, pak Ka(Y) = g(Ki—a(X)). 9.6. Příklad Necht' U ~ N(0,1). Najdete devátí decil transformovane náhodne veliciny Y = 3 + 2U. Řešení: Funkce y = 3 + 2u je vsude rostoucí funkce, tedy Ko>9o(Y) 3 + 2 • 1,28155 = 5,5631. I 3 + 2uo,9o 99 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin Nyní budeme věnovat pozornost číselným charakteristikám polohy a variability náhodné veličiny intervaloveho či pomeroveho charakteru. Jak uvidíme, teoretickým protejSkem aritmetickeho prumeru m je strední hodnota E(X) a empirickeho rozptylu s2 teoretický rozptyl D (X). Empiricky rozptyl s2 jsme zavedli jako aritmetický prumer kvadratu centrovaných hodnot. Není tedy prekvapive, ze teoretický rozptyl D(X) je strední hodnotou kvadrýtu centrovaných hodnot. Naucíme se pocítat strední hodnotu a rozptyl transformovaných nahodnych velicin a nahodnych vektoru. Uvedeme strední hodnoty a rozptyly vybraných typu diskrétmch a spojitých rozloženi', který jsme poznali v 8. kapitole. 9.7. Definice Necht' X je nahodna velicina aspoň intervaloveho charakteru (viž definici 3.2). Jejá strední hodnotou nažyvame cáslo E(X), které je v diskrétmm pn'pade žavedeno vžtahem oc E (X )= Y, xn(x) x=—oc a ve spojitém pn'pade vžtahem 1o ľ E (X) = J dx I ža predpokladu, že prápadna nekonecna suma ci integrál vpravo absolutne konverguje. Není-li tato podmínka splnena, pak rekneme, že strední hodnota neexistuje. Transformovaná náhodná velicina X — E(X) se nažyva centrovaná náhodná veličina. (Stredná hodnota je cáslo, ktere charakterižuje polohu realižacá nahodne veli-ciny na císelne ose s prihlednutím k jejich pravdepodobnostem. V diskrétním prápade predstavuje stredná hodnota težiste soustavy hmotných bodu, jejichž hmotnost je popsana pravdepodobnostná funkcá n (x) a ve spojitem prápade je stňredná hodnota tňeňžiňstňem hmotnáe pňrámky, na náňž je rožprostňrená hmoty popsano hustotou pravdepodobnosti ^(x). Stredná hodnota je teoretickym protejskem važeneho aritmetickeho prumeru ž definice 3.20.) 9.8. Příklad Nahodna velicina X udava pocet ok pri hodu kostkou. Vypoctňte její strední hodnotu. Řešení: n (x) I I pro x = 1,2,... ,6 0 jinak, 6 1 7 E (X) = V xvr(x) = -(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = - = 3,5. x=1 100 9.9. Věta a) Skalární případ: • Necht' X je diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí a Y = g(X) je transformovana nahodna veličina. Pak pokud suma vpravo absolútne konverguje. • Necht' X je spojita nahodna veličina s hustotou pravdepodobnosti p(x) a Y = g(X) je transformovana nahodna veličina. Pak E (Y) oc ľ J g(x)p(x) dx. pokud integral vpravo absolutne konverguje. b) Vektorový prípad: • Necht' (Xi,X2) je diskretní náhodná vektor se simultánní pravde-podobnostní funkcí n(x1;x2) a Y = g(X1;X2) je transformovaná nahodna velicina. Pak DO OC E (Y) = Y Y g(x1.X2)n(x1 ,x2); xi =—oc X2=—oc pokud suma vpravo absolutne konverguje. Necht' (X1. X2) je spojitáý náahodnýá vektor se simultáannáí hustotou pravdepodobnosti p(x1 , x2) a Y = g(X1;X2) je transformovaná nahodna velicina. Pak E(Y) oo oc // g(x1; x2)p(x1; x2) dx1dx2. pokud integrál vpravo absolutně konverguje. 9.10. Příklad Necht' X ~ £x(A), Y = e-YX, kde 7 > 0 je konstanta. Vypočtěte E(Y). Řěšění: { Ae Ax pro x > 0. 0 jinak. oc ľ E(Y)= e YXAe Ax dx A A + 7 I 9.11. Děfinicě Rozptylem nahodne veliciný X, která ma strední hodnotu E(X), rozumíme císlo D(X) = E([X — E(X)]2), pokud strední hodnota vpravo existuje. Císlo 101 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin \JD(X) se nazývá směrodatná odchylka. Transformovaná náhodná veličina se nazývá standardizovaná náhodná veličina. Z vety 9.9 (a) plyne, ze v diskrétním případě je rozptyl dán vzorcem I D(X) = Y, [x - E (X )]2n(x) x=—oc a ve spojitem případe vzorcem oc D(X) = j [x - E (X )]2^(x) dx x=—o (pokud suma ci integral vpravo absolútne konvergují). (Rozptyl je číslo, ktere charakterizuje promenlivost realizací náhodne veličiny kolem její strední hodnoty s prihlednutím k jejich pravdepodobnostem. Je teoretickím protejskem vázeneho rozptylu zavedeneho v definici 3.20.) 9.12. Příklad Nahodná velicina X udavá pocet ok pri hodu kostkou. Vypoctete její rozptyl. Řešení: n (x) D(X) ! pro x = 1, 2,..., 6, jinak, 6 H x=l (x - 3,5)2 1 35 12 E(X) = 3,5 (viz pr. 9.8), 2,92. 9.13. Veta Uveďme strední hodnoty a rozptyly vybranách typu diskrétních a spojitách rozlo zeníí. a) X ~ Dg(ii) == E (X) = ^, D (X) = 0, b) X ~ A(v) == E (X) = v, D (X) = v(1 - v), c) X ~ Bi(n, v) == E(X) = nv, D (X) = nv(1 - v), l-v D(X) l-v d) X ~ Ge{v) E{X) e) X~Hg{N,M,n) E(X) = f a, D(X) = ^(1 f) X ~ Rd{G) E{X) = ^, D{X) = g) X ~ Po(A) == E(X) = A, D (X) = A2, h) X ~ Rs(a,b) E (X) = ^, D(X) = M \ N—n N > N-l ■ i) X ~ Ex(X) E(X) = {, D (X) A2 : 102 0 6 j) X ~ N (^ a2) ^ E(X) = ^ D (X) = a2, k) X ~ x2(n) E (X) = n, D (X) = 2n, l) X ~ t(n) =/- E(X) = 0 pro n > 2, pro n =1 E (X) neexistuje, D(X) = pro n > 3, pro n = 1, 2 -D(X) neexistuje, m) X ~ F(m,n2) P(X) = ^ pro n2 > 3, pro n2 = 1,2 E(X) neexistuje, D (X) = ^"^^"»"-4) Pro 712 - 5> Pro ™2 = 1, 2, 3, 4 D (X) neexistuje. Venujme se nyní dvema nahodnym velicinam. Budou nís zajímat charakteristiky jejich spoleScníe variability a síly tSesnosti lineíarního vztahu mezi nimi. Jako motivace pro zavedení tSechto charakteristik níam poslouSzí empirickía ko-variance s12 a empiricky koeficient korelace r12. Empiricka kovariance s12 byla definovana jako aritmetickí pramer soucinu centrovanych hodnot a empiricky koeficient korelace r12 jako aritmetickí prumer soucinu standar-dizovanych hodnot. Lze tedy ocekavat, ze teoreticka kovariance C(X1,X2) bude strední hodnotou soucinu centrovaních hodnot a teoretickí rozptyl R(X1,X2) bude strední hodnotou soucinu standardizovaních velicin. Podrobne se seznamíme s radou vlastností vsech víse uvedenych císelních charakteristik a vyuzijeme jich pri resení nekolika príkladu. Pokud nezníame rozlo zeníí pravd epodobnosti níahodníe veli ciny, ale jenom jejíí strední hodnotu a rozptyl, pak muzeme pomocí tzv. Cebysevovy nerovnosti aspon odhadnout pravd epodobnost, ze tato níahodnaí veli cina se od svíe st red-ní hodnoty odchílí o více nez t-nísobek sve smerodatne odchylky. V zaveru kapitoly se soustredíme na vlastnosti strední hodnoty a rozptylu nahodne veliciny s normalním rozlozením. 9.14. Definice Kovariancí nahodnych velicin X1,X2, ktere mají strední hodnoty E(X1), E(X2), rozumíme Scíslo C(X1,X2) = E([X1 - E(X1)][X2 - E(X2)]) (pokud strední hodnoty vpravo existují). Z vety 9.9 (b) plyne, ze v diskretním pSrípadSe je kovariance díana vzorcem 00 OC C(X1,X2)= - E(X1)][x2 - E(X2)]n(x1 ,X2) Xl = — 00 X2 =—oc a ve spojitíem pSrípadSe vzorcem 00 oc C(X1 ,X2)^^ j [x1 - E(X1)][x2 - E(X2)]^(x1,x2) dx1dx2 —0 —0 (pokud dvojna suma ci dvojny integríl vpravo absolutne konvergují). I 103 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin (Kovariance je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodných veličin X^X2 kolem jejich stredních hodnot s prihlednutím k jejich prav-depodobnostem. Je-li kovariance kladna (záporna), pak to svedcá o existenci jisteho stupne príme (neprime) linearní závislosti mezi realizacemi nahodných velicin Xi,X2. Je-li kovariance nulová, pak ríkáme, ze nahodne veliciný Xi; X2 jsou nekorelovane a znamená to, ze mezi jejich realizacemi nená zádný linearní vztah. Pozor - z nekorelovanosti nevyplýva stochasticka nezávislost, zatáímco ze stochastickáe nezáavislosti plýne nekorelovanost. Kovariance je teoretickým protejskem vázene kovariance z definice 3.20.) 9.15. Příklad Diskretní nahodná vektor (X1, X2) ma simultanní pravdepodobnostní funkci s hodnotami: n(0,-1) = c, n(0, 0) = n(0,1) = -1) = n(2,-1) = 0, 0) = n(0,1) = n(2,1) = 2c, n(2, 0) = 3c, n(x1,x2) = 0 jinak. Urcete konstantu c a výpoctete C(X1,X2). Řešení: Hodnotý simultanní pravdepodobnostní funkce a obou marginalních pravde-podobnostních funkcí usporadáme do kontingencní tabulký. x2 vri(xi) -1 0 1 0 c 0 0 c X\ 1 0 2c 2c 4c 2 0 3c 2c 5c 7T2(X2) c 5c 4c 1 Z normovanosti pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru (viz věta 7.8, vektorový prípad) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. I E(Xi) = xini(xi) = 0 • 0,1 + 1 • 0,4 + 2 • 0,5 = 1,4 xi=0 i E(X2) = Y. X2n2(x2) = -1 • 0,1 + 0 • 0,5 + 1 • 0,4 = 0,3 X2 =— i 2i C(Xi,X2) = Yl [xi - E(Xi)][x2 - E(X2)]n(xi,X2) = xi=0 X2=— i = (0 - 1,4) • (-1 - 0,3) • 0,1 + • • • + (2 - 1,4) • (1 - 0,3) • 0,2 = 0,18. 2 9.16. Definice Koeficientem korelace nahodných velicin Xi, X2 rozumáme cáslo R{X1,X2) = { V. VD(xi) ^d(x2) 0 jinak. 104 (Koeficient korelace je číslo, které charakterizuje těsnost lineární závislosti realizací náhodnách veličin X2. Cím blizsí je 1, tím tesnejsí je prímá lineárni zavislost, cím blizsí je -1, tím tesnejsí je nepríma lineárni zavislost.) 9.17. Veta Necht b, bi, 62 jsou realna císla, X, Xi,..., X„, Yi,..., Ym jsou nahodne veliciny definovane na temz pravdepodobnostním prostoru. V na-sledujících vzorcích vzdy z existence císelných charakteristik na prave strane vyplýva existence vírazu na leve strane. Vlastnosti strední hodnoty a) E (a) = a, b) E (a + 6X) = a + 6E(X), c) E(X - E(X)) 0, d) E (£X) = E E(Xi), \i=i / i=i e) Jsou-li nahodne veliciny Xi.. , Xn stochasticky nezívisle, pak platí nn E Xi = E(Xi). i=i i=i Vlastnosti kovariance a) C(ai,X2) = C(Xi,a2) = C(ai,02) = 0, b) C (ai + 6i Xi, a2 + 62X2) = 6i 62C (Xi, X2), c) C (X, X) = D (X), d) C(Xi,X2) = C(X2,Xi), e) C (Xi,X2) = E (Xi X2) - E (Xi)E (X2), (n m \ EX, E Y f) c EXí,ey- ^EC(Xi,Yj). Vlastnosti rozptylu a) D(a) = 0, b) D(a + 6X) = b2 D (X), c) D (X) = E (X2) - [E (X )]2, I (Ž Xi) n n_i n d) Dl^Xi) = E D(Xi) + 2 Y, E C (Xi, X j) (Jsou-li níhodne veli- i=i i=i j=i+i ciny Xi,... , Xn nekorelovane, pak D nn Xi = i= i= D(Xi).) Vlastnosti koeicientu korelace a) R(ai,X2) = R(Xi,a2) = R(ai,a2) = 0, b) R(ai + bi Xi, a2 + 62X2) = sgn(&i&2 )R(Xi, X2), c) R(X, X) = 1 pro D (X) = 0, R(X, X) = 0 jinak, d) R(Xi,X2) = R(X2,Xi) nm 105 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin e) R(X 1,X2) E C(XltX2) g^y) pro v^XT) v^XU > 0; yĎpôTv/Ď(x2T( 0 jinak, f) |R(X1,X2)| < 1a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, kdyz mezi veličinami Xi,X2 existuje s pravdepodobností 1 úplná lineárni zavislost, tj. existují konstanty a1,a2 tak, že P(X2 = a1 + a2X1) = 1. (Uvedená nerovnost se nazáva Cauchyova-Schwarzova-Bunakovskeho nerovnost.) 9.18. Příklad Vypočtete koeficient korelace nahodních veličin X1,X2 z príkladu 9.15. Řešení: V príkladu 9.15 byla vypočtena kovariance C(X1,X2) vypočítat smerodatne odchylky veličin X1 ,X2. 0,18. Stačí tedy D(X1)= - E(X1)]2n1 xi=0 = (0 - 1,4)2 • 0,1 + (1 - 1,4)2 • 0,4 + (2 - 1,4)2 • 0,5 = 0,44 2 D(X2) = J][x2 - E(X2)]2n1 (x2) = X2=0 (-1 - 0,3)2 • 0,1 + (0 - 0,3)2 • 0,5 + (1 - 0,3)2 • 0,4 = 0,41 R(X1,X2) C (X1 ,X2) 0,18 v^xôv^xä) VôMVôÄi 0,42. I 9.19. Příklad Náhodná veličina X má strední hodnotu p a rozptyl a2. Vypočtete strední hodnotu a rozptyl centrovane náhodne veličiny Y = X - p a stredná hodnotu a rozptyl standardizovane nahodne veličiny U X-ji Řešení: E(Y) D (Y) E(U) E(X D (X E D (^) (^) E (X) - E(p) D (X ) = a2, 1 p - p = 0, = -E{X a p) = - • 0 a 0, 1 V2 D (X - p) 1 V2 a2 = 1. 9.20. Příklad Nahodne veličiny X, Y jsou nahodne chyby, které vznikajá na vstupnám zarázená Majá stredná hodnoty E(X) = -2, E (Y) = 4 a rozptyly D (X) = 4, 106 D(Y) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X,Y) = —0,5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X2 — 2XY + Y2 — 3. Najdete střední hodnotu chyby na výstupu. Řešení: E (Z) = E(3X2 — 2XY + Y2 — 3) = 3E(X2) — 2E(XY) + E (Y2) — E(3) = = 3 {D(X) + [E(X )]2} — 2 [C (X, Y) + E(X )E(Y)] + D (Y) + [E(Y )]2 — 3 = = 3[D(X) + [E(X)]2] - 2[R(X, Y)y/D(X)y/D(Y) + E(X)E(Y)] + D(Y)+ + [E(Y)]2 — 3 = 3(4 + 4) — 2[—0,5 • 2 • 3 + (—2) • 4] + 9 + 16 — 3 = = 24 + 22 + 25 — 3 = 68. 9.21. Veta Necht' nýhodný velicina X mý střední hodnotu // a rozptyl a2. Pak platí Cebysevova nerovnost Ve > 0 : P(|X — > e) < <ŕ_ e2' Oznaďme-li e = ta, pak pro Vt > 0 : P(|X — ^| > ta) < t2 (Vyznam Cebysevovy nerovnosti spocíva v tom, ze pokud nezname rozlození nýhodne veliciny, ale zname její strední hodnotu a rozptyl, pak muzeme odhadnout pravdepodobnost, s jakou se od sve strední hodnoty odchýlí o více nez t-nasobek sve smerodatne odchylky.) ✓ / / / / / / \ \ N 1 ~ -i \ E(X) — VD(X) | 1 > E(X) + VD(X) I 1 9.22. Príklad Necht' E (X) = D (X) = a2. a) Odhadnete P(|X — // > 3a). b) Jestlize X ~ N(//, a2), vypoctete P(|X — ^| > 3a). Řešení: ad a) P{\X - n\ > 3a) < ^ = | = 0,T. (Tento vísledek je znam jako pravidlo 3a a ríkí, ze nejvíse 11,1% realizací 107 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin náhodne veliciný lezí vne intervalu — 3a, / + 3c).) = i—p -3 < ^ < 3j adb) P{\X-fi\ > 3a) = l-P(-3a < X-p < 3a) = 1 — $(3) + $(—3) = 2[1 — $(3)] = 2(1 — 0,99865) = 0,0027. (Ma-li náhodna velicina normalní rozdelení, pak pouze 0,27% realizací lezí vne intervalu (p — 3a,p + 3a).) 9.23. Věta a) Jestliže X ~ N(p, a2), pak E(X) = p, D(X) = a2. b) Jestliže X ~ N(p, a2) a Y = a + bX, pak Y ~ N(a + bp, b2a2). c) Jestliže Xi,..., Xn jsou stochasticky nežavisle náhodne veličiny a necht' n Xi ~ N(pi,a2), i = Y Y ~ N Y^Xi, pak í=1 (n n \ i=1 i=1 / I 9.24. Příklad Necht' X1, X2 jsou stochastický nezávisle nahodne veliciný, Xi ~ N(0,1), i = 1,2. Zjistete, jake rozložení má transformovana náhodna velicina Y = 3 + X1 — 2X2, urcete jeho parametrý a najdete dolná kvartil nahodne veliciný Y. Rěšění: Y ~ N (E (Y ),D(Y)), pricemz E(Y) E (3 + X1 — 2X2) = 3 + E (X1) — 2E(X2) = D(3 + X1 — 2X2) = D(X1) + (—2)2D(X2) 3 + 0 — 2 • 0 = 3, = 1 + 4 • 1 = 5, tedy Y ~ N(3,5). Nyná vypočátáme dolná kvartil. Využijeme toho, že U = ^ ~ N(0,1), tedy K0^{Y) = 3 + ^0,25 = 3-^-0,67449 = 1,4918. Shrnutí kapitoly Pri zavadem cáselných charakteristik nahodných velicin nás motivujá cáselne charakteristiký znaku, jak jsme je poznali ve 3. kapitole. Jako charakteristika polohý císelnách realizací spojite nahodne veliciný aspon ordinalního týpu slouzí a-kvantll a jeho specialní prípadý: mědian, dolní a horní kvartil. Variabilitu charakterizujeme kvartllovou odchylkou. Vý- pocet kvantilu nená prális jednoducha zalezitost, proto jsou kvantilý nekolika týpu rozlození tabelovaný nebo je lze získat pomocí specialního statistickeho software. Pro nahodne veliciný intervaloveho a pomeroveho týpu pouzívame jako charakteristiku polohý štřědní hodnotu - teoretická protejsek aritmetickeho prumeru. Pomocá stredná hodnotý pak definujeme dalsá cáselne charaketris-tiký: rozptyl a jeho druhou odmocninu - směrodatnou odchylku, kova-řlancl a koeficient kořělacě. 108 Resení konkrétních príkladu velmi usnadnují vzorce, ktere popisují vlastnosti číselných charakteristik. Kontrolní otázky a úkoly i 5 6 Pomocí statistickách tabulek vypoctete nasledující kvantily: «0,95, «0,10; Xo,975 (10) , Xo,025 (9), to,9o(8), to,05(6), Fo,975(5, 7), Fo,o55(8, 6). 2 Necht' X ~ N(-1, 4). Najdete Ko,o25(X). 3 Necht' X1,X2 jsou stochasticky nezávisle nahodne veliciny takove, ze Xi ~ N(2, 4), X2 ~ N(-1, 9). Vypoctete 99% kvantil transformovane nahodne veliciny Y = 2X1 - 3X2 + 5. 4 V zasilce 15 výrobku je 5 nekvalitních. Náhodná velicina X udáva pocet nekvalitních várobku mezi ctyrmi nahodne vybranámi vyrobky. Vypoctete její strední hodnotu a rozptyl, jestlize vyber byl proveden a) s vracením, b) bez vracení. (Navod: v bode (a) má X binomicke rozlození, v bode (b) hypergeometricke.) Sledovaná zeleznicní trasa vykazuje velke nerovnosti, takze zatízení jed-notlive vozove nápravy nahodne kolísá, teoreticky spojitym zpusobem. Prakticky jsou známy jen castecne informace, takze uvazujeme o diskrétní nahodne velicine X (nahodne zatízení v tunach) s pravdepo-dobnostní funkcí n(x) = 0,15 pro x = 6, n (x) = 0,65 pro x = 30, n (x) = 0,2 pro x = 70, n (x) = 0 jinak. Pri kalkulaci nakladu se ekonom zajímá o strední opotrebení náprav dane vzorcem Y = 1,15X2. Vypoctete strední hodnotu opotrebení. Pocet ruznych druhu zbozí, ktere zákazník nakoupí pri jedne navsteve obchodu, je nahodna velicina X. Dlouhodobám sledovaním bylo zjis-teno, ze X nabyva hodnot 0,1, 2, 3, 4 s pravdepodobnostmi 0,25, 0,55, 0,11, 0,07 a 0,02. a) Najdete distribucní funkci náhodne veliciny X a nakreslete její graf. b) Vypoctete strední hodnotu nahodne veliciny X. c) Vypoctete rozptyl nahodne veliciny X. Strelec strílí 3x nezavisle na sobe do terce. Pri kazdem vystrelu se trefí s pravděpodobností |. Za zásah získá 2 body, jinak ztratí 2 body. Vypoctete strední hodnotu a rozptyl poctu získanách bodu. Uvazme rodinu se tremi detmi. Predpokladame, ze pravdepodobnost narození chlapce i dívky je stejna. Náhodná velicina X udava pocet dívek v teto rodine (ma binomicke rozlození) , transformovana náhodna velicina Y = - 100X2 + 300X + 500 udavá rocní náklady (v dolarech) na osacení detí. Vypoctete strední hodnotu nahodne veliciny Y. Nahodna velicina X udava príjem manzela (v tisících dolaru) a nahodna velicina Y udava príjem manzelky (v tisících dolaru). Je známa si-multanní pravdepodobnostní funkce n(x,y) diskretního nahodneho vektoru (X, Y): n(10,10) = 0,2, n(10, 20) = 0,04, n(10, 30) = 0,01, n(10,40) = 0, n(20,10) = 0,1, n(20,20) = 0,36, n(20,30) = 0,09, n(20,40) = 0, n(30,10) = 0, n(30,20) = 0,05, n(30,30) = 0,1, 7 109 9. (Číselné charakteristiky náhodných veličin n(30, 40) = 0, n(40,10) = 0, n(40, 20) = 0, n(40, 30) = 0, n(40, 40) = 0,05, n(x,y) = 0 jinak. a) Vypoctete korelacní koeficient níhodnych velicin X, Y. b) Vypoctete strední hodnotu a smerodatnou odchylku nahodne veli-ciny Z = 0,1X + 0,2Y, ktera vyjadruje pnspevek obou manzelu na duchod. (Nahodna veli cina Z vyjadruje, ze pnspevek na duchod ciníí 10% man zelova platu a 20% man zel cina platu.) 10 Níhodne veli ciny Xi, X2 mají kovarianci 12. Vypo ct ete kovarianci ní-hodnych veli cin Y1 = -8 + 11X1, Y2 = 6 - 4X2. 11 Níahodnía veli cina X udíavía vyí sku v metrech a níahodnía veli cina Y udíva hmotnost v gramech. Jak se zmení kovariance a koeficient korelace, jestli ze víy sku vyjíad rííme v cm a hmotnost v kg? 12 Nahodna veli cina X nm st rední hodnotu ^ a smerodatnou odchylku a. Kolik procent realizací teto nahodne veli ciny se bude nachazet v intervalu — 2a, ^ + 2a)? 13 Pou zijte Ceby sevovu nerovnost k odhadu pravd epodobnosti, ze p ri 600 hodech kostkou padne sestka aspon 75x a nejvyse 125x. I 110 10 Zakon velkych ccísel a centralní limitní veta I 10. Zakon velkých čísel a centrální limitní věta Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: odhadnout pravdSepodobnost, s níSz se níahodnía veliScina realizuje v urScitíe vzdaílenosti od svíe stSrední hodnoty odhadnout pravdSepodobnost uíspSechu v posloupnosti opakovaníych ne-zavislích pokusu relativní cetností tohoto uspechu aproximovat distribuScní funkci binomickíeho rozloSzení distribuScní funkcí standardizovaníeho normíalního rozloSzení Casova zatěž Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 5 hodin studia. V 5. kapitole, konkretne v definici 5.6, jsme se seznamili s empirickym zako-nem velkyích Scísel, kteryí tvrdil, Sze pSri mnohoníasobníem nezaívislíem opakovíaní tíehoSz naíhodníeho pokusu se relativní Scetnost jevu blíSzí pravdSepodobnosti tohoto jevu. Jak uvidíme, je empirickí zakon velkích císel specialním prípadem obecnejsího zakona velkych císel. Tento dusledek uvedeme jako Bernoulliovu vetu. I 10.1. Motivace Zíakon velkyích Scíísel vyjadSruje skuteScnost, Sze s rostoucíím poSctem nezaívislíych opakovíaníí níahodníeho pokusu se empirickíe charakteristiky, kteríe popisujíí vísledky techto pokusu, blízí teoretickym charakteristikím, napr. relativní Scetnost uíspSechu se blíSzí pravdSepodobnosti uíspSechu, Scetnostní funkce se blíSzí pravdSepodobnostní funkci, hustota Scetnosti se blíSzí hustotSe pravdSepodobnosti apod. Centríalní limitní vSeta tvrdí, Sze za jistyích podmínek mía souScet nezaívislíych nahodních velicin s tymz rozlozením priblizne normalní rozlození. Normílní rozloSzení je tedy rozloSzením limitním, k nSemuSz se blíSzí vSsechna rozloSzení, proto hraje velmi dulezitou roli v poctu pravdepodobnosti a matematicke statistice. 10.2. Veta Necht' {Xra}°c=1 je posloupnost stochasticky nezavislych nahodních velicin, ktere mají strední hodnoty u, a rozptyly a2. Pak pro posloupnost aritme- n tických průměrů {- VJ Xi\°ll platí: i=1 Ve > 0 : P 1n n i=1 < e > 1 ne2 neboli Ve > 0 : lim P n 1n n i=1 > e = 0. 112 (Uvedení veta se nazíví zíkon velkích císel nebo tez Cebysevova veta. Její tvrzení ríkí, ze posloupnost aritmetickích prumeru konverguje podle pravdepodobnosti ke st rední hodnot e Tedy p ri dostate cne velkem po ctu pokusu lze st rední hodnotu odhadnout prumerem vísledku jednotlivych pokusu.) 10.3. Důsledek Necht' níhodní veli cina Yn udaví pocet uspechu v posloupnosti n opako-vanych nezavislych pokusu, pri cemz v kaz dem pokusu nastava uspe ch s pravdepodobností v. (Podle definice 8.2 (c) Yn ~ Bi(n, v)). Pak pro posloupnost relativních četností { — }™=1 platí: Ve > 0 : P Y ů ) < e > 1 ů(1 — ů) ne2 neboli Ve > 0 : lim P n—>oc Y n n ů >e >1 0. 4ne2 (Tento dusledek Cebysevovy vety se nazíva Bernoulliova veta. Vyjadruje skute cnost, ze posloupnost relativníích cetnostíí konverguje podle pravd epo-dobnosti k pravd epodobnosti uísp echu v. Tedy p ri dostate cn e velkíem po ctu pokusu lze pravde podobnost ísp e chu odhadnout relativní c etností usp e chu.) 10.4. Příklad P ri vyístupníí kontrole bylo zji st eno, ze mezi 3000 kontrolovaníymi vyírobky je 12 zmetku. Jaka je pravdepodobnost, ze relativní cetnost vískytu zmetku se od pravd epodobnosti vyískytu zmetku neli síí o vííce ne z 0, 01? ReSen í : Y3000 - pocet zmetku mezi kontrolovanymi vírobky, Y30oo ~ Bi(3000, v), íavaíme: v ř« g^p. Podle Bernoulliovy věty dostává e>0:P Y ů < e > 1 ů(1 — ů) >1 1 ne2 4ne2 V našem případě e = 0,01, n = 3000, v ř« tedy P Y 3000 3000 ů < 0,01 > 1 ) 12 2988 3000 3000 3000 • 0,0001 0,872. I Ji z nekolikrat jsme se zmínili o tom, z e normílní rozlo z ení je vubec nejdule-z it ej sí typ rozloz ení. Centrální limitní veta ním dí odpoved' na otazku, pro c tomu tak je. P ri praktickích vípo ctech se c asto pouz íví dusledek centralní limitní vety, a to Moivreova-Laplaceova veta, ktera za urcitych podmínek umoz ní nahradit slozity vípocet distribucní funkce binomickeho rozlození jednoduchím 1 113 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní véta hledaním v tabulkách hodnot distribucní funkce standardizovaneho noriiml-ního rozlození. Pokud vsak máme k dispozici statistický software, dáme prednost presneniu vápoctu pred aproximativnám. 10.5. Veta Necht' (Vra}^=1 je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných velicin, ktere mají vsechny toteZ rozloZení se strední hodnotou / a rozptylem a2. Pak pro posloupnost standardizovaních souctU Un EX, i=i n 1, 2,... platí: Vx G R : lim P(Un < x) = $(x), kde $(x) je distribucní funkce ÍE — OO rozlození N(0,1). (Lindebergova-Levyova centralní limitní veta ríka, ze pro dostatecne velkí n (praktickz stací n > 30) lze rozlození souctu stochasticky nezavislych a stejne rozlozenych níhodních velicin aproximovat normílním rozlozením N(n/t, na2).) I 10.6. Důsledek Necht' {Yn}^c=i je posloupnost stochastický nezavislách náhodných velicin, Yn ~ Bi(n, v), n = 1, 2,... Pak platá: Vy G R : lim P(Yn < y) = lim P ( Yn-rvd < n /1 ^nů{l - ů) ^nů{l - ů) )■ (y — nů \ y/nů(l-ů)) kde $(x) je distribucní funkce rozlození N(0,1). (Moivreova-Laplaceova veta tvrdí, ze za urcitých podmínek lze binomicke rozlození aproximovat standardizovaním normalním rozlozením. Aproximace se považuje za vyhovující, když jsou splněny podmínky ^j-j- < v < nv(1 - v) > 9.) n+i 10.7. Příklad V urcite skupine zamestnancu je 10% s pnjmem, která prekracuje celostatná prumer. Kolik zamestnancu z teto skupiný je treba výbrat, abý s pravdepodobnosti' aspon 0,95 býlo mezi nimi 8% az 12% zamestnancu s nadprumerným prájmem? Řešení: X - pocet zamestnancu s nadprumernám prájmem, Yn Bi(n;0,1), E(X) 114 O,ln, D(X) = 0,09n, X 0,95 < P ( 0,08 < — < 0,12 ) = P(0,08n 0,975 tedy ^ > ^0,975 = 1,96 =>• > 29,4 =>- n > 865. Pro splnění podmínek je zapotřebí vybrat aspon 865 zaměstnanců. Shrnutí kapitoly V těto kapitole jsme ůkazali, Ze jiZ dříve vysloveny empiricky zákon velkých čísel je specialnám případem obecnejsího zákona velkých čísel, ktery popisuje pravdepodobnostní chovaní posloupností aritmetických průmerů stochasticky nezavislych nahodných velicin s toůz strední hodnotou a rozptylem. Důsledek tohoto zakona (zvaneho tez CebySevova veta) jsme ůvedli jako Bernoulliovu vetu. Seznámili jsme se tez s Lindebergovou-Levyovou centrýlní vetou, ktera tvrdí, ze za ůrcitých podmínek lze rozlození soůctů nahodných velicin s ja-kymkoliv rozlozením aproximovat normalním rozlozením. Toto tvrzení tedy vysvetlůje důlezitost normílního rozlození. Historicky starsí nez tato veta je její důsledek ůvídení jako Moivreová-Laplaceova veta, ktera ůmoznůje aproximovat binomicke rozlození normalním rozlozením. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Pravdepodobnost, ze vírobek ma l. jakost, je v = 0,9. Kolik vírobků je treba zkontrolovat, aby s pravdepodobností aspoň 0,99 bylo zaníceno, ze rozdíl relativní cetnosti poctů vírobků l. jakosti a pravdepodobnosti v = 0,9 byl v absolůtní hodnote mensí nez 0,03? K vypoctů poůzijte jak Bernoůlliovů vetů, tak Moivreovů-Laplaceovů vetů a vysledky porovnejte. 2 Pravdepodobnost narození chlapce je 0,515. Jaka je pravdepodobnost, ňze mezi l0 000 novorozenci bůde a) více devcat nez chlapců, b) chlapců od 5 000 do 5 300, c) relativní cetnost chlapců v mezích od 0,515 do 0,517? 3 Pravdepodobnost zasahů terce jedním vístrelem je 0,4. Kolikrat je tňreba vystňrelit, aby absolůtní hodnota odchylky relativní ňcetnosti zaísa-hů od ůvedene pravdepodobnosti byla mensí nez 0,02 s pravdepodobností asponň 0,95? I 115 10. Zakon velkých čísel a centrální limitní veta 116 11! Základní pojmy matematické statistiky I 11. Základní pojmy matematické statistiky Číl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ definovat nahodne vábery z jednorozmerneho i vícerozmerneho rozlo-zení pravdepodobností ■ stanovit dulezite statistiky pro nahodny váber z jednorozmerneho a dvourozmerneho rozlození pravdepodobností ■ popsat vlastnosti techto statistik ■ vyuzít vlastností statistik odvozeních z nahodneho vyberu z normalní-ho rozlození pri vápoctu konkretních pravdepodobností Časova zatéZ Pro zvládnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 7 hodin studia. Nejprve zavedeme pojem nahodneho vyberu a vysvetlíme jeho souvislost s datováni souborem. Musíme si vsak uvedomit nasledující skutecnost: datovy soubor obsahuje konstantní hodnoty znaku, zatímco slozkami nahodneho váberu jsou náhodne veliciny spojene s nejakám náhodnym pokusem. I 11.1. Definice a) Necht' X1 , ...,Xn jsou stochasticky nezavisle nahodne veliciny, ktere mají vsechny stejne rozlození L(v). Řekneme, ze X1,..., Xn je náhodný vyber rozsahu n z rozlození L(v). (Císelne realizace x1,..., xn nahodneho váberu X1,..., Xn usporadane do sloupcoveho vektoru predstavují datovy soubor zavedená v popisne statistice v definici 1.9) b) Necht' (X1, Y1),..., (Xn, Yn) jsou stochasticky nezávisle dvourozmerne nahodne vektory, ktere mají vsechny stejne dvourozmerne rozlození L2 (v). Řekneme, ze (X1 ,Y1),..., (Xn ,Yn) je dvourozměrný náhodný) výběr rozsahu n z dvourozmerneho rozlození L2(v). (Císelne realizace (x1, ..., (xn, yn) nahodneho vyberu (X1, Y1),... , (Xn, Yn) usporá-dane do matice typu 2 x n predstavují dvourozmerny datová soubor zavedenyí v popisníe statistice.) (Analogicky lze definovat p-rozmerny nahodná váber rozsahu n z p-rozmer-neho rozlození Lp(v).) V matematicke statistice velmi casto pracujeme s transformacemi nahodneho váberu. Temto transformovanym nahodnym velicinam ríkame statistiky. Zavedeme nekolik dulezitách statistik a upozorníme na jejich souvislost s cí-selnymi charakteristikami znaku, ktere jsme poznali ve 3. kapitole v popisne statistice. Protoze statistiky jsou nahodnámi velicinami, lze pocítat jejich strední hodnotu a rozptyl. Ukazeme, jak se chovají tyto císelne charakteristiky nekterách statistik. 118 11.2. Definice Libovolná funkce T = T(Xi,... ,Xn) náhodného výběru Xi,... ,Xn (resp. T = T(Xi,Yi,..., Xn, Yn) náhodného výběru (Xi,Yi),..., (Xn, Yn)) se nazývá (výběrová) statistika. Statistika se nazýva výběrový průměr, i n M= - VX i=1 i n s2 = ^rUx< - M>2 i=1 výběrový rozptyl, s = ^fš2 výběrová směrodatná odchýlka, n Sn = ——r V(X - MJiYi - M2) n — ±—' ni i=l výběrová kovariance (přitom M\ = ^ Xi, M2 = ^ Y i) a n i=l n i=l #12 = { ™~\~í^--Pr0lbl'^2^U; 0 jinak, se nazývá výběrový koeficient korelace. (Číselne realizace m, s2, s, s12, r12 statistik M, S2, S, S12, R12 odpovídají číselnám charakteristikami znaků v popisne statistice zavedeným definicích 3.6, 3.10 a 3.12, ale ů rozptylů, smerodatne odchýlký, kovariance a koeficientů korelace je multiplikativní konstanta ^-j-, nikoli ^, jak tomu bylo v popisné statistice.) 11.3. Věta a) Necht' X1,..., Xn je nahodná výber z rozlození se strední hodnotou p a rozptylem a2. Pak E(M) = p, D(M) = ^, E(S2) = a2, ať jsou hodnotý parametrů p, a2 jakekoli. b) Necht' (X1,Y1),... , (Xn,Yn) je níhodný víber z dvoůrozmerneho rozlození s kovariancí a12 a koeficientem korelace p. Pak E(S12) = a12, at' je hodnota parametrů a12 jakíkoli, avsak E(R12) je rovno p poůze priblizne (shoda je výhovůjící pro n > 30), at' je hodnota parametrů p jakakoli. Nýní se bůdeme zabívat nahodným vaberem z normalního rozlození. Zavedeme nekolik statistik vzniklích transformací víberoveho průmerů a výbero-veho rozptýlů (jsoů to tzv. pivotove statistiký) a ůkazeme, jakým způsobem I 119 11. Základní pojmy matematické statistiky se tyto statistiky řídí. V příští kapitole využijeme těchto pivotových statistik při konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametry normálních rozložení. V teto kapitole nam uvedene vlastnosti poslouží pri vypoctu rUžnách pravdepodobností. 11.4. Věta Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(//, a2). Pak platí a) Výběrový průměr M a výběrový rozptyl S2 jsou stochastický nezávisle. b) M ~N(fji,?L), tedy U M-a N(0,1). (Statistika U slouží ke kon- strukci intervalu spolehlivosti pro když a2 žname.) c) K = (n — 1)S2a2 ~ x2(n — 1). (Statistika K slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když // nežname.) n = (Xi-a)2 d) 1-1 2- ~ x2(n)- (Tato statistika, která nemá speciální označení, slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když // žname.) e) T = ^jF^ ~ t(n — 1). (Statistika T slouží ke konstrukci intervalu spo- s lehlivosti pro když a2 nežname.) 11.5. Příklad Hmotnost jedne porce kívy považujeme ža nahodnou velicinu s normalním rožložením X ~ N(7g, 0,25 g2). Jaka je pravdepodobnost, že k príprave 28 porcí kavy postací dva 100 g balícky? Resení: Xi,..., X28 je níhodny víber ž N(7, 0,25). Pocítame P I G\5_ — Cv5_ I V y/28 y/28 J P M < 200 ~28 P (U < 1,51) = $(1,51) = 0,9345. I S pravdepodobností 93,45% mužeme predpokladat, že k príprave 28 porcí kívy postací dva 100 g balícky. 11.6. Příklad Odberatel provede kontrolu stejnorodosti dodavky vyrobku tak, že žmerí sledovaní rožmer u 25 nahodne vybranych vyrobku. Dodavku prijme, jestliže víberova smerodatna odchylka se bude realižovat hodnotou mensí nebo rovnou 0,2 mm. Je žnamo, že sledovany rožmer vírobku ma normalní rožložení N(50 mm, 0,2632 mm2). Jaka je pravdepodobnost prijetí dodavky? 120 Řešení: Xi,..., X25 je náhodný výběr z N(50, 0,2632). Počítáme P (S < 0,2) = P (S2 < 0,04) = P < (n-l)S2 (n_ o2 1)0,04\ ?2 ) P K < 24-0,04 0,2632 o2 P (K < 13,879), tedý číslo 13,879 je a-kvántil Pearsonova rozložení x2(24). V tabulkách kvan-tilú Pearsonová rozložení nájdeme, že a = 0,05. S pravdepodobností pouhých 5% lze očekývát, že odberátel prijme dodávku. Prejdeme nýní ke dvemá nezávislým náhodným výberum z normálního ro-zlození. I v teto situáci nás zájímá rozlození pivotovýčh státistik vzniklých tránsformáčý výberových průmerů á výberových rozptylu. 11.7. Veta Necht' Xii,... , Xnii je nýhodný výber z rozlozený Noj2) á Xi2,..., Xni2 je ná nem nezávislý náhodný výber rozlozený N(^2,o^^, pricemz ni > 2 á n2 > 2. Oznácme Mi, M2 výberove prumerý á S2, S| výberove rozptýlý. Pák plátý: á) Státistiký Mi — M2 (rozdfl výberových prumeru) á (n S2 = 1)S2 + (n2 - 1)S2 ni + n2 — 2 (vázený prumer výberových rozptýlu) jsou stochástický nezývisle. b) Mi — M2 ~ N a1 i °"2 ™2' ni ni ) , tedý U (M1-M2)-(m-H2) N(0,1). (Státistiká U slouzý ke konstrukci interválu spolehlivosti pro rozdfl stredných hodnot u,i — kdýz rozptýlý oj2, o2 známe.) c) Jestliže o\ = a\ = a2, pak K = (rai+"2~2)g* ~ x2(ni+n2-2). (Statistika K slouzý ke konstrukci interválu spolehlivosti pro spolecný rozptýl o2, kdýz stredný hodnotý u,i — ^2 neznáme.) d) Jestliže a2 = o\ = a2, pak T = (mi-m^)-^-^) _ ^ + ri2_2). V ni ni e) F F(ni — 1,n2 — 1). (Státistiká F slouzý ke konstrukci inter- ní o (ji valu spolehlivosti pro podfl rozptylu když stredný hodnoty a2 (2 neznáýme.) 11.8. Príklad Necht' jsou dáný dvá nezávisle náhodne výberý, prvný pochází' z rozlozem N(2; 1,5) á mý rozsáh 10, druhý počhýzí z rozlozem N(3, 4) á má rozsáh 5. Jáký je právdepodobnost, ze výberový prumer 1. výberu bude mensý nez výberový prumer 2. výberu? I 121 11. Základní pojmy matematické statistiky Řešení: P (Mi < M2) = P (Mi - M2 < 0) P (Mi - M2) P U < y ni n -2 + 3 10 5 (^1 ~ ^2) o_ Til T12 P (U < 1,05) = $(1,05) = 0,85314. S pravděpodobností 85,3% je výběrový průměr 1. výběru menší nez výběrový průměr 2. výběru. Shrnutí kapitoly Ustredním pojměm matěmatickě statistiky jě pojěm náhodného výberu, a to jědnorozměrněho i vícěrozměrněho. Transformací jědnoho něbo vícě nahodných výběrů vznika nahodna věliCina zvana (výberová) štátištiká. K nějdůlězitějsím statistikam patrí výberový prUmér, výberový rozptyl, výberová šmérodátná odchýlka, výberová kovariánce, výberový koeficient koreláce. Jělikoz statistika jě nahodný věliCina, ma smýsl poCítat jějí strědní hodnotu a rozptyl. Ukazali jsmě si vláštnošti strední hodnotý a rozptýlu výberoveho prUmeru a štrední hodnotý výberoveho rozptýlu, vý-berove kováriánce a výberoveho koeficientu koreláce. Zabývali jsmě sě rovněz rozloZením výberových štátištik pro náhodne výberý z normálních rozlození, tzv. pivotových statistik. Jak uvidímě v dalsých kapitolých, lzě pomoci' těchto pivotových statistik konstruovat in-těrvalý spolěhlivosti pro paramětrý normýlmch rozlozěný a těstovat hýpotězý o těchto rozlozěných. I Kontrolní otazky a Úkoly 1 Kdý lzě posloupnost nahodných velicin Xi,..., Xn povazovat za nahodný výběr? 2 Uvěd'tě nejdůleZitejší statistiký odvozěně z nýhodněho výběru, ktěrý pochazý a) z jědnorozměrněho rozlozěný, b) z dvourozměrněho rozlozěný. 3 Jaký je vztah mezi výběrovým rozptýleni a rozptýleni v popisně statis-ticě? 4 Necht' Xi,... ,Xi0 je nahodný výběr z N(100,100). Jakě rozlození ma výběrový průměr? 5 Predpokladame. ze velký rocník na výsokě skole mý výsledký ze statistiký normalně rozlozěný kolem strední hodnotý 72 bodů se směrodatnou odchýlkou 9 bodů. Výpoctěte pravděpodobnost, ze a) nahodně výbraný student bude mít výsledek nad 80 bodů b) průměr výsledků nýhodně výbraných 10 studentů bude nad 80 bodů. 6 Necht' Xi,... ,X20 je nahodný výběr z N(^,a2). Najděte císla ki, k2 tak, aby platilo P(4 < h) = 0,05 a P(^ > k2) = 0,05. si 122 12! Bodové a intervalové odhady parametru a parametrických funkcí I 12. Bodove a intervalová odhady parametrů a parametrických funkcí Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitolý budete umet: ■ posoudit nestrannost a asýmptotickou nestrannost bodovách odhadu parametrickáe funkce a pomocáí rozptýlu ohodnotit jejich kvalitu sestrojit intervalý spolehlivosti pro parametrý jednoho a dvou normáal-ních rozlození ■ stanovit rozsah nahodneho váberu tak, abý sárka intervalu spolehlivosti nepresahla dane císlo Casova zatež Pro zvladnutí teto kapitolý budete potrebovat asi 8 hodin studia. Jak jsme poznali v predesle kapitole, nahodná výber je posloupnost stochastický nezavislách nahodnách velicin se stejným rozlozením. Kazde rozlození závisá na nejakem parametru nebo i váce parametrech. Napr. alternativní' rozlozená závisá na parametru v, exponencialná rozlozená na parametru A. normalná rozlozená na parametrech p a a2 apod. Týto parametrý nezname, známe jenom nahodný váber. Ukazeme si, jak lze na zaklade znalosti nahodneho výberu odhadnout neznamý parametr ci jeho funkci, tzv. parametrickou funkci. Je-li odhadem statistika, hovoráme o bodovem odhadu parametricke funkce. Existujá ruzne týpý bodových odhadu, nas budou zajámat odhadý nestranne, asýmptotický nestrannáe a konzistentná. Je-li odhadem interval, jehoz meze jsou statistiký a která s dostatecne velkou pravdepodobnostá pokrýva neznamou hodnotu parametricke funkce, jedna se o interval spolehlivosti. 12.1. Motivace Výchazáme z nahodneho váberu Xi,..., Xn z rozlozená L(v), ktere závisá na parametru v. Mnozinu vsech pn'pustných hodnot tohoto parametru oznacáme S. Parametr v nezname a chceme ho odhadnout pomocá daneho nahodneho váberu (pfípadne chceme odhadnout nejakou parametrickou funkci h(v)). Bodovým odhadem parametricke funkce h(v) budeme rozumet statistiku Tn = T(Xi,... ,Xn), ktera nabává hodnot blázkých h(v), at' je hodnota parametru v jakakoliv. Existujá ruzne metodý, jak konstruovat bodove odhadý (napr. metoda momentu ci metoda maximálná verohodnosti, ale temi se zde zabývat nebudeme) a take ruzne týpý bodových odhadu. Omezíme se na odhadý nestrannáe a asýmptotický nestrannáe. Intervalovým odhadem parametricke funkce h(v) rozumíme interval (D, H), jehoz meze jsou statistiký D = D(Xi,..., Xn), H = H(Xi,..., Xn) a který s dostatecne velkou pravdepodobností pobýva h(v), at' je hodnota parametru v jakakoliv. Zameríme se na intervalove odhadý parametru a parametrických funkcá normalnáho rozlozená. 124 Bodový odhad parametrické funkce by měl mít určité vhodné vlastnosti. Takovou vlastností mUze byt pro jeden odhad nestrannost a pro posloupnost odhadU asymptoticka nestrannost či konzistence. Kvalitu nestranneho bodoveho odhadu lze posoudit pomocí rozptylu tohoto odhadu: čím mensí rozptyl, tím kvalitnejsí odhad. 12.2. Definice Necht' Xi,... ,Xn je nahodný vyber z rozložení L(v), h(v) je parametrický funkce, T, Tl, T2, .. .jsou statistiky. a) Řekneme, ze statistika T je nestranným odhadem parametricke funkce h(v), jestlize V? G S : E (T) = h(v). (Vyznam nestrannosti spodVa v tom, ze odhad T nesmí parametrickou funkci h(v) systematicky nadhodnocovat ani podhodnocovat. Není-li tato podmínka splnena, jde o vychylený odhad.) b) Jsou-li Tl, T2 nestranne odhady teze parametricke funkce h(v), pak rekneme, ze Tl je lepsí odhad nez T2, jestlize V? G S : D(Tl) < D(T2). c) Posloupnost se nazýva posloupnost asymptoticky nestranných odhadu parametricke funkce h(v), jestlize V? G S : lim E(Tn) = h(v). n—>oo (Výyznam asymptotickýe nestrannosti spo cýívaý v tom, ze s rostoucýím rozsahem výyb eru klesýa vychýylenýí odhadu. Je z rejmýe, ze z nestrannosti okam zit e vyplyývýa asymptotickýa nestrannost.) c) Posloupnost se nazýva posloupnost konzistentních odhadu parametricke funkce h(v), jestlize V? G S, Ve > 0 : lim P(|Tn - h(v)| > e) = 0. n—oo (Výyznam konzistence spo cýívýa v tom, ze s rostoucýím rozsahem výyb eru klesa pravdepodobnost, ze se odhad bude realizovat „daleko" od sku-tecne hodnoty parametricke funkce. Lze ukýzat, ze z asymptoticke nestrannosti vyplyvý konzistence, pokud posloupnost rozptylu konverguje k 0.) 12.3. Příklad Nezavisle opakovana merení urcite konstanty p jsou charakterizovana ný-hodným výberem Xl,...,Xn z rozlození se strední hodnotou E(Xj) = p n a rozptylem D (Xi) = a2, i = 1,... ,n. Uvažme statistiky m = - Xi a L 2 i=1 a) Dokazte, ze M a L jsou nestranne odhady strední hodnoty p. b) Zjistete, ktery z techto dvou odhadu je lepsí. Resení: ad a) e{m) = e l - Vi,] = -Y t \ n / n n n i=i i=i i=i E(L) n (^4^) = \E{Xl+Xn) = \\EiX,) +E(Xn)} i 2 ) 2 p I 125 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí ad b) D(M) = D n n i=l i=l i 2 a2 —na = — a2 n D(L) = D (^4^) = ^(X +Xra) = ^[DiXJ + D(Xn)] _a2 + a2 _a2 4 2 Vidíme tedý, ze M je lepsí odhad nez L pro n > 3. 12.4. Poznámka Ve vete 11.3, tvrzení (a), býlo ůvedeno, ze E (S2) = a2, tedý víberový rozptýl S2 je nestranným odhadem rozptýlů a2. (Odtůd je take vide t, z e ve vzorci pro výběrový rozptyl musí být konstanta ^-j-, nikoli ^, aby platilo E(S2) = a2.) Víberova smerodatna odchýlka S vsak není nestranným odhadem smerodatne odchýlký a. Pak bý totiz platilo E (S) = a, ovsem E (S2) = a2, tedý D(S) = E(S2) - [E(S )]2 = a2 - a2 = 0, coz je mozne jen tak, ze S bý býla konstanta. Nýní bůdeme definovat interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci, a to jak oboůstranní, tak levostranný ci pravostranní. Uvedeme doporůcený postůp p ri konstrůkci intervalů spolehlivosti a ůkaz eme si, jaký vliv na s írků intervalů spolehlivosti mía riziko a rozsah víýb erů. 12.5. Definice Necht' X1,... ,Xn je nahodní víber z rozlození L(v), h(v) je parametricka fůnkce, a G (0,1), D = D(X1,... ,Xn), H = H(X1,... ,Xn) jsoů statistiký. a) Interval (D,H) se nazýví 100(1 — a)% (oboůstranný) interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci h(v), jestli ze: G S : P (D < h(v) < H) > i — a. b) Interval (D, to) se nazýví 100(1—a)% levostranní interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci h(v), jestli ze: Vů G S : P (D < h(v)) > i — a. I c) Interval (—to, H) se názývá 100(1 — a)% právostránný interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v), jestli Ze: W G S : P(h(v) 1 — a. d) Číslo a se názývá riziko (zprávidlá a = 0,05, mene c ásto 0,1 ci 0,01), číslo 1 — a se názývá spolehlivost. 126 12.6. Poznýmka Doporůcení postůp pri konstrůkci intervalů spolehlivosti: a) b) c) Vyjdeme ze statistiky V, která je nestranným bodovým odhadem parametrické funkce h(v). Najdeme tzv. pivotovou statistiku W, ktera vznikne transformací statistiky V, je monotónní funkcí h(v) a pritom její rozložení je zname a na nezavisí. (Pri konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normalních rozlození pouzívame jako pivotove statistiky statistiky M, K, T, F z vet 11.4 a 11.7.) Pomocí znameho rozlození pivotove statistiky W najdeme kvantily wa/2, Wi_a/2, takze platí: W? G S : P(Wa/2 < W < Wi_a/2) > 1 a. d) Nerovnost wa/2 < W < w1-a/2 prevedeme ekvivalentními ůpravami na nerovnost D < h(v) < H. e) Statistiky D, H nahradíme jejich císelními realizacemi d, h a získame tak 100(1 — a)% empirickí interval spolehlivosti, o nemz prohlasíme, ze pokryva h(v) s pravdepodobností aspoň 1 — a. (Tvrzení, ze (d, h) pokryví h(v) s pravdepodobností aspon 1 — a je treba clmpat takto: jestlize mnohonasobne nezavisle získame realizace x1,... ,xn nahodne-ho vyberů X1,... ,Xn z rozlození L(v) a pomocí kazde teto realizace sestrojíme 100(1 — a)% empiricky interval spolehlivosti pro h(v), pak podíl poctů tech intervalů, ktere pokrívají h(v) k poctů vsech sestro-jenych intervalů bůde priblizne 1 — a.) 12.7. Veta Necht' (d, h) je 100(1 —a)% empirickí interval spolehlivosti pro h(v) zkonstrů-ovany pomocí císelních realizací x1,... ,xn nahodneho víberů X1,...,Xn z rozlození L(v). a) Pňri konstantníím riziků klesaí ňsííňrka h — d s rostoůcíím rozsahem níahod-neho víberů. b) Pňri konstantníím rozsahů níahodníeho vyíbňerů klesaí ňsííňrka h— d s rostoůcíím rizikem. Nadale se bůdeme zabyvat konstrůkcí intervalů spolehlivosti pro parametry normalních rozlození. Vzdy pro jednů konkretní sitůaci podrobne odvodíme meze intervalů spolehlivosti a pro ostatní sitůace jen uvedeme prehled vzorců. Tňem z vías, kteňríí majíí hlůbňsíí zíajem o statistiků, lze doporůňcit, abyste se po-kůsili ůvedeníe vzorce odvodit a s vyůňzitíím vlastnostíí pňrííslůňsníych pivotovyích statistik, jak byly ůvedeny ve vetach 11.4 a 11.7. 12.8. Príklad Necht' X1,... ,Xn je nahodny víber z rozlození N(^,a2), pricemz n > 2 a parametry ^, a2 nezname. Sestrojte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro strední hodnotů ^ a to a) oboůstrannyí, I 127 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí b) levostranný, c) pravostranný. M = ^£X, W i=l ta/2 (n - 1) T = ^ ~ t{n - 1) (viz věta 11.4, y/ň -íl-a/2 (n - 1), Wi_a/2 = *l-a/2 (n - 1) Řešení: = V tvrzení (e)), Wa/2 ad a) V? G S : 1 - a < P (-ti_a/2(n - 1) < T < tx_a/2 (n - 1)) M - // " I -*l-a/2(w - 1) < -š- < *l-a/2(rc ~ 1) = P M M--—ti_a/2{n V V™ 1) < u < m + )= -^ŕi_a/2(n - 1) V™ / ad b) V? G S : 1 - a < P (T < ti_a(n - 1)) P ( M - u 06 °<2011 1,92 2,20 m 1,8331 = 1,94 1,94 < u s pravdepodobností aspoň 0,95. adc)/i = m+ ^*i-a(n - 1) = 2,06 + ^1,8 u < 2,18 s pravdepodobností aspon 0,95. 2,18 n 128 12.9. Věta Přehled vzorců pro meze 100(1 — a)% empirických intervalů spolehlivosti pro parametry jednoho normálního rozloZení. Necht' Xí}... ,Xn je nýhodný výber z rozloZení N(/i,a2), pricemZ n > 2. a) Interval spolehlivosti pro n, kdyz a2 známe Oboustranný: (d,h) = (m - -^Ui_a/2,m + -^tíi_a/2j Levostranný: (d, oo) = (m — -^U\-a, ooj Pravostranný: (—oo,/?,) = (^—oo,m+ -^tíi_aj b) Interval spolehlivosti pro n, kdyZ a2 neznáme c) d) /n ti-a/2(n - l),m+ -^ti_a/2{n - l)j /n ti-a(n — 1), OC Oboustranný: (d, h) = Levostranný: (d, oo) = Pravostranný: (—oo,h) = ^—oo,m+ -^ti-a(n — l)j Interval spolehlivosti pro a2, kdyZ /j neznáme Oboustranný: (d, h) Levostranný: (d, oo) (n-l)s2 X2l-a/2('n-iy X2a/2(n-l) (n-l)s2 \ Í/2("-l) J (n-l)s2 Pravostranný: (—oo,h) = ( — oo, ^ X?_a(»-l),0C Interval spolehlivosti pro a2, kdyZ /j zname n n Oboustranný: (d,h) = | ^_R>^-^ Levostrannýý: (d, o ) = Pravostrannýý: (—o , h) i=l_ Xi_aH oc o, ,E (xí-m)2\ X2(") I 12.10. Příklad Necht' Xi,..., Xn je nahodný výber z rozlození N(/j, 0,04). Jaký můsí být mi-nimalní rozsah výberů, abý sírka 95% intervalů spolehlivosti pro /j nepresahla císlo 0,16? Rěšění: Podle 12.9 (a) dostavame: 0,16 > h — d = m + a n aa nn 4 • 0,04 • 1,962 a 4a2ui a/2 ^ 1—a/2 0,162 24,01 n > 25. I 129 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí 12.11. Příklad Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích ni > 2, n2 > 2, první pochází z rozloZení N(^i,a2), druhy z rozloZení N(/í2, 2, n2 > 2, první pochází z rozloZení N (p i,a 2), druhý z rozloZení N (p2, 2 a n2 > 2. a) Interval spolehlivosti pro p1 — p2, kdyZ o2, of známe Oboustranny: (d, h) = | m1 — m2 ^ + ^M1_a/2 , 7771 m2 I °2 ri2 ^1—ot/2 Levostranní: (d, oo) = ( m1 — m2 y n h--Itl-ai 00 ni n2 1 a' ) ) I d 131 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Pravostranný: (-00, h) = ^-oo,TOi - to2 - \/^ + b) Interval spolehlivosti pro u,1 — u,2, kdyZ af, af neznáme, ale vime, Ze jsou shodné Oboustranný: (nii - m2 - + ^1-0/2(^1 + ^2 - 2). mi - m2 + s* y/^" + ^1-0/2(^1 + n2 - 2) Levostranný: (d, 00) = (mi - m2 - s*-^/^ + ^íi-«/2(^i + n2 - 2), oc Pravostranný: (-00, h) = (-00, mi-m2 + s*\l^[ + ^*i-a/2(wi + n2 - 2) j c) Interval spolehlivosti pro společní) neznámý rozptyl a2 Oboustranný: (<*,/>) = (^^3),^^) Levostranný: (d, 00) = Q"^^) , 00) Pravostranný: (-00, fr) = (-00, gg^gf) 2 d) Interval spolehlivosti pro podii rozptylů Oboustranný: (d, h) ( 4 4 \ ( ^__^ I 1 ^i-a/2(™l-!»ra2-1) ' Fa/2(n1-l,n2-l) J Levostranný: (d, 00) = ^1_a(rai^1>ra2_1), 00 j Pravostranný: (-oo,/i) = ^-00, Fa[ni j1>ra2_1} j 12.14. Poznámka Není-li v bode (b) vety 12.13 splněn predpoklad o shodě rozptylU, lze sestrojit aspon pribliZný 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro ^1 — //2. V tomto prípade ma statistika T pribliZne rozloZení t(v), kde pocet stupňů volnosti v = ni ' n2 (4/ni)2 , (s|/n2)2 ni —1 + «2 — 1 I Není-li v cele Číslo, pouZijeme v tabulkých kvantilU Studentova rozloZení lineýrní interpolaci. Predpoklad o shode rozptylu lze overit tak, Ze sestrojíme 100(1 — a)% interval 2 spolehlivosti pro íj. Pokud tento interval bude obsahovat 1, lze s pravděpodobností 1 — a povaZovat rozptyly za shodne. 132 12.15. Veta Necht' ŕX (t) je nýahodnyý výyb er z rozlo zenýí pricemz n > 2. Oznacíme p = pl — p2 a zavedeme rozdílový nahodny výber Zi = Xi — Yi, . . . , Zn = Xn — Yn. Necht' M 1 n Zi, S2 1 i=i n1 £(Zi — M)2. i=i Pak statistika T = ~ t (n — 1), tudíž meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro p jsou M ± ^í1_a/2(n — 1). 12.16. Příklad Bylo vybrano sest nových automobilu teze znacky a po urcite dobe bylo zjisteno, o kolik mm se sjely jejich prave a leve prední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika se sjela o: 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika se sjela o: 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Za p redpokladu, ze nam e renýe dvojice hodnot p redstavujýí cýíselnýe realizace nahodneho vyberu rozsahu 6 z dvourozmerneho normalního rozlození *2 \\P2J A^12 ^j) sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot Pi — P2. Resení: zi = 0,3, z2 = —0,1, z3 = 0,2, z4 = —0,2, z5 = 0,1, z6 = 0,2, m = 0,0833, s = 0,1941, a = 0,05. d = m--i=ti-a/2{n n 1) = 0,0833 0,1941 6 0,0833 t0,975(5) = 0,1941 6 2,5706 = —0,12 , . . . ; s , 0,1941 h = m + —=ti_a/2(n - l) = 0,0833 + "'""^0,975(5) n 0,1941 0,0833 + ' ^ 2,5706 = 0,29. I —0,12 mm < pi — p2 < 0,29 mm s pravdepodobností aspon 0,95. 133 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Shrnutí kapitoly Na zaklade znalosti níhodneho vyberů aproximůjeme neznamoů hodnotů parametrů ci parametricke fůnkce bodovím odhadem parametricke fůnkce. Zpravidla pozadůjeme, aby tento odhad mel jiste zadoůcí vlastnosti. K tem patrí nestrannost, resp. asymptotickí nestrannost ci konzistence, pokůd pra-cůjeme s posloůpností bodovych odhadů teze parametricke fůnkce. Bodove odhady vsak mají jednů znacnoů nevíhodů - nevíme, s jakoů pravdepodobností odhadůjí hodnotů nezname parametricke fůnkce. Tůto nevyhodů odtranůjíí intervalovíe odhady parametrickíe fůnkce: jsoů to intervaly, jejich z meze jsoů statistiky a kteríe s p redem danoů dostate cn e velkoů pravd epodob-ností pokryvají hodnotů nezname parametricke fůnkce. Pokůd do vzorců pro meze 100(1 — a)% intervalů spolehlivosti pro danoů parametrickoů fůnkci dosadíme císelne realizace nahodneho víberů, dostaneme 100(1 — a)% empiricky interval spolehlivosti. V praxi se nejňcastňeji poůňzívají intervaly spolehlivosti pro parametry normaíl-ních rozlození. Proto jsme si ůvedly predhled vzorců pro meze 100(1 — a)% empirickích intervalů spolehlivosti pro parametry jednoho a dvoů normalních rozlození. Kontrolní otazky a ůkoly 1 Definůjte nestranny odhad a asymptoticky nestranní odhad parametricke fůnkce. V cem spocíva vyznam nestrannosti a asymptoticke nestrannosti? 2 (S) Prírůstky cen akcií na bůrze v New Yorků ů 10 níhodne vybraních spolecností dosahly techto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Najdete nestranne bodove odhady strední hodnoty a rozptylů prírůstků cen akcií. 3 Necht' X1,..., Xn je nahodní vyber z rozlození Rs(0, b), kde b > 0 je neznámý parametr. Jsou definovány statistiky 7\ = Xx + |X2 + |X3 + |X4 a T2 = \{X\ + X2 + X3 + X4). Ukažte, že 7\, T2 jsou nestranné odhady parametrů b a ůrcete, kterí odhad je lepsí. 4 Definůjte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci, a to jak oboůstranní, tak jednostranne intervaly spolehlivosti. 5 Jaky vliv na sírků intervalů spolehlivosti nm zvísení rizika pri kon-stantníím rozsahů víyb erů? 6 Jaky vliv na sírků intervalů spolehlivosti mí zvetsení rozsahů vyberů p ri konstantníím riziků? 7 Hloůbka more se merí prístrojem, jehoz systematickí chyba je nůlova a naíhodníe chyby m e reníí majíí normíalníí rozlo zeníí se sm erodatnoů od-chylkoů a = 1 m. Kolik merení je nůtno provest, aby se hloůbka more stanovila s chyboů nejvíse ±0,25 m pri riziků 0,05? 8 U jisteho mericího zarízení ma bít posoůzena jeho presnost. Proto na nem byla nezavisle zmerena delka tehoz vírobků. Vísledky merení v cm 134 byly: 15,15; 15,20; 15,04; 15,14; 15,22. Předpokládáme, ze tyto výsledky jsou číselne realizace nýhodneho výberu rozsahu 5 z rozložení N (p, a2). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozptyl a2. 9 Sponzor televizních poradu pro deti chce vedet, kolik času strávi deti sledovaním televize, protoze na techto informacích závisí typy a pocty programu. Nahodnym výberem 100 detí se zjistilo, ze sledovaní televize venují tydne pranierne 27,5 h se smerodatnou odchylkou 8 h. Za predpokladu, ze pocet hodin straveny za tíden sledovaním televize se rídí normalním rozlozením, sestrojte 95% empiricky interval spolehlivosti pro strední hodnotu poctu hodin strívených tydne sledovaním televize. 10 (S) Na jiste velke americke univerzite bylo v r. 1969 nahodne vybrano 5 profesora a nezívisle na tom 5 profesorek a byl zjisten jejich rocní príjem (v tisících dolarä). Muzi: 16, 19, 12, 11, 22, zeny: 9, 12, 8, 10, 16. Predpokladíme, ze uvedene ídaje tvorí realizace dvou nezavislích nahodnych víberä z rozlození N(p^a2) a N(p2,a|). a) Sestrojte 95% empirickí interval spolehlivosti pro podíl rozptylu príjmu muzu a zen. b) Pokud bude uvedeníy interval spolehlivosti obsahovat 1, sestrojte 95% empirickí interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot príjmu muzu a zen. V opacnem prípade sestrojte aspon priblizní interval spolehlivosti. 11 (S) Pet muzu se rozhodlo, ze budou hubnout. Zjistili svou hmotnost pred zahajením diety a po ukoncení diety. Číslo osoby 1 2 3 4 5 Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5 Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97 Za predpokladu, ze uvedene udaje jsou císelne realizace nahodneho vyberu rozsahu 5 z dvourozmerneho normílního rozlození N2 sestrojte 95% empirickí interval spolehlivosti pro stredních hodnotu ubytku hmotnosti. I 135 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí 13 Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozloZení I 13. Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Cíl kapitola Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: formulovat nulovou a alternativnýí hypotýezu stanovit testovýe kritýerium a kritickýy obor pro test nulovýe hypotýezy proti oboustranne alternative i proti jednostrannym alternativam posoudit sýílu testu pomocýí grafu silofunkce ■ provadet testy hypotez o parametrech normalního rozlození tremi raz-nymi zpusoby CCasova zatez Pro zvlýdnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 8 hodin studia. V teto kapitole se budeme zabývat problemem, jak pomoci' statistiky vznikle transformaci' daneho nýhodneho výberu rozhodnout, zda nase domnenka o parametru rozlození, z nehoz nahodný vyber pochýzí, je spravna. Napríklad zname pramernou hmotnost automaticky balených potravinarských výrobku urciteho druhu zjistenou pred a po serízení balícího automatu. S pravdepodobností 95% mame prokazat, ze stredný hodnota hmotnosti balícku se serízením automatu zmenila. Statisticke postupy, ktere resí podobne proble-my, se nazyvají testy hypotez. Nejprve objasnýíme pojmy nulovýa hypotýeza a alternativnýí hypotýeza a vysvnet-líme, kdy dojde k chybe 1. druhu ci 2. druhu. 13.1. Motivace Testovaný hypotez patrí k nejdUleZitejSím metodam matematicke statistiky. Na zýakladne znalosti naýhodnýeho výybneru umonzný s pnredem danou pravdnepo-dobnostý ovnenrovat domnnenky o parametrech rozlonzený, z nnehonz danýy nýahodnýy výber pochazí. 13.2. Definice Necht' Xi,... ,Xn je nýhodny vyber z rozlození L(v), kde parametr ů G S nezname. Necht' h(v) je parametricka funkce a c daný realný konstanta. Tvrzení H0 : h(v) = c se nazyvý nulová hypotéza, tvrzení Hi : h(v) = c se nazyva oboustranná alternativní hypotéza, tvrzení Hi : h(v) < c se nazyvý lévostranna altérnativná hypotéza, tvrzení Hi : h(v) > c se nazyvý pra-vostranna alternativní hypotéza. Testovaním H0 proti Hi rozumíme rozho-dovacý postup zalonzenýy na nýahodnýem vyýbneru Xi, . . . , Xn, s jehonz pomocý zamítneme ci nezamítneme platnost nulove hypotezy. I 13.3. Poznamka Volba alternativní hypotezy není libovolna, ale vyplýva z konkretní situace. Napr. pri soucasne technologii je pravdepodobnost vyrobení zmetku v = 0,01. a) Po rekonstrukci vyýrobnýí linky byla obnovena výyroba, pnrincemnz technologie zustala stejna. Chceme overit, zda se zmenila kvalita vyrobku. Testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v = 0,01. 138 b) Byly provedeny zmeny v technologii vyroby s cílem zvísit kvalitu. V tomto prípade tedy testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v < 0,01. c) Byly provedeny zmeny v technologii víroby s cílem snízit naklady. V teto situaci testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v > 0,01. 13.4. Definice Pri testovaní H0 proti Hi se muzeme dopustit jedne ze dvou chyb: chyba 1. druhu spocíva v tom, ze H0 zamítneme, ac ve skutecnosti platí a chyba 2. druhu spočívý v tom, ze H0 nezamítneme, ac ve skutecnosti neplatí. Situaci p rehledn e zníazornuje tabulka: skutečnost rozhodnutí Ho nezamítáme Ho zamítáme H0 platí správne rozhodnutí chyba 1. druhu H0 neplatí chyba 2. druhu správne rozhodnutí Pravdepodobnost chyby 1. druhu se znací a a nazyva se hladina víznamnosti (vetsinou byva a = 0,05, mene casto 0,1 ci 0,01). Pravdepodobnost chyby 2. druhu se znací (3. Císlo 1 — 3 se nazyva síla testu a vyjadruje pravdepo-dobnost, s jakou test vypoví, ze H0 neplatí. Pri danem rozsahu víberu vede sniZovýní a ke rastu 3 a obrícene. Nyní si ukízeme tri zpusoby, jimiz lze prcvšst test nulove hypotezy proti alternativní hypoteze. Klasickí zpusob spočívý v nalezení kritickeho oboru. Testovíní pomocí intervalu spolehlivosti navazuje na poznatky získane ve 12. kapitole. Moderní zpusob záloZenyý na p-hodnote je vhodny predevsím tehdy, mame-li k dispozici statistickí software. Vsechny tri zpusoby pouzijeme pri resení konkretnho príkladu. 13.5. Poznámka Testovaní H0 proti Hi na hladine víznamnosti a je mozno provídet tremi raznymi zpusoby: a) pomocí kritickíeho oboru b) pomocí intervalu spolehlivosti c) pomocí p-hodnoty. ad a) Najdeme statistiku T0 = T0(Xi,... ,Xn), kterou nazveme testovím kriteriem. Mnozina hodnot, jichz muze testove kriterium nabyt, se rozpadí na dva neslucitelne obory: obor nezamítnutí nulove hypotezy (znací se V) a obor zamítnutí nulove hypotezy (znací se W a nazíva se tez kriticky obor). Tyto dva obory jsou oddeleny krytickími hodnotami (pro danou hladinu významnosti a je lze najít ve statistických tabulkach). Jestlize císelna realizace t0 testoveho kryteria T0 padne do kritickeho oboru W, pak nulovou hypotezu zamítame na hladine vyznamnosti a a znamena to skutecne vyvrícení testovane hypotezy. Jestlize t0 padne do oboru nezamítnutí V, pak jde o pouhe mlcení, ktere platnost nulove hypotezy jenom pripoustí. I 139 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Pravdepodobnosti chyb 1. a 2. druhu nyní zapíseme takto: P(t0 G W|H0 platí) = a, P(t0 G V|H1 platí) = Stanovení kritickeho oboru pro danou hladinu víznamnosti a: Oznacme ŕmin (resp. tmax) nejmensí (resp. nejvetsí) hodnotu testoveho kriteria. Kritickí obor v prípade oboustranne alternativy ma tvar W = (tmin,Ka/2(T)) U (1^/2(T),tmax), kde Ka/2(T) a K1-a/2(T) jsou kvantily rozlození, jímz se rídí testove kriterium T0, je-li testoví hypoteza pravdiví. Kritickí obor v prípade levostranne alternativy mía tvar: W =(tmin,Ka/2(T)), v prípade pravdostranne alternativy ma kriticky obor tvar W = (K1-a/2(T ),tmax). ad b) Sestrojíme 100(1 - a)% empirickyí interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v). Pokryje-li tento interval hodnotu c, pak H0 nezamítíme na hladine víznamnosti a, v opacnem prípade H0 zamítíme na hladine vyíznamnosti a. Pro test H0 proti oboustranne alternative sestrojíme oboustranní interval spolehlivosti. Pro test H0 proti levostranne alternative sestrojíme pravostranní interval spolehlivosti. Pro test H0 proti pravostranne alternative sestrojíme levostrannyí interval spolehlivosti. ad c) p-hodnota udava nejnizsí moznou hladinu vyznamnosti pro zamítnutí nulove hypotezy. Je-li p-hodnota < a, pak H0 zamítíme na hladine víznamnosti a, je-li p-hodnota > a, pak H0 nezamítame na hladine víznamnosti a. Zpusob vypoctu p-hodnoty: Pro oboustrannou alternativu: p = 2min{P(T0 < t0),P(T0 > t0)}. Pro levostrannou alternativu: p = P(T0 < t0), pro pravostrannou alternativu: p = P(T0 > Í0). p-hodnota vyjadruje pravdepodobnost, s jakou císelne realizace X1, . . . , Xn nahodneho víberu X1,... ,Xn podporují H0, je-li pravdiva. Statisticke pro-gramove systemy poskytují ve svych vystupech p-hodnotu. Její vypocet vy-zaduje znalost distribucní funkce rozlození, kterím se rídí testove kriterium T0, je-li H0 pravdiví. Vzhledem k tomu, ze v bezních statistickích tabulkach jsou uvedeny pouze hodnoty distribu cníí funkce standardizovaníeho normíalníího rozlo zeníí, bez po-uzití specialního software jsme schopni vypoďtat p-hodnotu pouze pro test hypotezy o strední hodnote normalního rozlození pri znamem rozptylu. 140 Ilustrace významu p-hodnoty pro test nulové hypotéza proti oboustranné, levostranné a pravostranné alternativé: -p-hodnota - p-hodnota p-hodnota t -to t to t to t to (Zvonovita krivka réprézéntujé hustotu rozloZéní, ktérým sé rídí téstové kritérium, jé-li nulova hypotéza pravdiva.) 13.6. Poznámka Provadímé-li tést nulové hypotézy proti altérnativní hypotézé pomocí kritického oboru, doporuCujé sé dodrzét naslédující postup: 1. Stanovímé nulovou hypotézu a altérnativní hypotézu. Pritom jé vhodné zvolit jako altérnativní hypotézu tén prédpoklad, jéhoz prijétí znaména zavazné opatréní a mélo by k nému dojít jén s malym rizikém omylu. 2. Zvolímé hladinu vyznamnosti a. Zpravidla volímé a = 0,05, méné Casto 0,1 nébo 0,01. 3. Najdémé vhodné téstové kritérium a na zakladé zjisténych dat vypoCí-tíamé jého réalizaci. 4. Stanovímé kritický obor. 5. Jéstlizé réalizacé téstového kritéria padla do kritického oboru, nulovou hypotézu zamítamé na hladiné víznamnosti a. V opacném prípadé nulovou hypotézu nézamítamé na hladiné vyznamnosti a. 13.7. Příklad 10 x nézavislé na sobé byla zméréna jista konstanta Vyslédky méréní byly: 2; 1,8; 2,1; 2,4; 1,9; 2,1; 2; 1,8; 2,3; 2,2. Tyto víslédky povazujémé za císélné réalizacé nahodného vybéru X\,..., Xw z rozlozéní N(//, 0,04). Néjakí téorié tvrdí, zé // = 1,95. Proti nulové hypotézé H0 : // = 1,95 postavímé oboustrannou altérnativu H1 : // = 1,95. Na hladiné víznamnosti 0,05 téstujté H0 proti H1. Řešení: m = 10 (2 + • • • + 2,2) = 2,06, a2 = 0,04, n =10, a = 0,05, c = 1,95 a) Tést provédémé pomocí kritickíého oboru. Pro ulohy o strední hodnoté normalního rozlozéní pri znamém rozptylu používáme pivotovou statistiku U = ~ N(0,1) (viz věta 11.4 (a)). Testové kritérium tédy budé T0 M-c a V"' a budé mít rozlozéní N(0,1), pokud jé H0 pravdiva. Vypoďtamé réalizaci téstového kritéria: t0 novímé kritickyí obor: W : 2,06-1,95 0,2 1,74. Sta- ^min, Ka/2(T )) U (Ki_a/2(T),tmax) = (-^,«a/2) U («i_a/2, 0o) (-00, -Mi_a/2) U (Ul-a/2, 0o) = (-00, -«0,975) U («0,975, 0o) = (-00,-1,96) U (1,96, 00) I 141 0 0 0 1 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Protože 1,74 G W, Ho nezamítáme na hladině významnosti 0,05. b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti. Meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro strední hodnotu v pri znamem rozptylu a2 jsou (viz věta 12.9 (a)): (d, h)= (m- -^Ui_a/2,m + -^tti_a/2) • V našem případě d = 2,06 - ^=«0,975 = 2,06 - ^§1,96 = 1,936, h = 2,184. Protoze 1,95 G (1,936; 2,184), H0 nezamítame na hladine významnosti 0,05. c) Test provedeme pomocí p-hodnoty. Protoze proti nulove hypoteze stavíme oboustrannou alternativu, pouzijeme vzorec p = 2min{P (To < to), P (To > to)} = 2min{P (To < 1,74), P (To > 1,74)} = = 2 min{$(1,74), 1 — $(1,74)} = 2 min{0,95907,1 — 0,95907} = 0,08186 Jelikoz 0,08186 > 0,05, Ho nezamítame na hladine víznamnosti 0,05. Nadíle se budeme zabívat tastovaním hypotez o parametrech normalního rozlození. Ukazeme si ruzne typy testu a naučíme se je provadet pomocí kritickíeho oboru. I 13.8. Definice a) b) c) d) e) a2 zname. Necht' V = c se nazyva Necht' X1,...,Xn je nahodny víber N(v, a2), kde n > 2 a c je konstanta. Test Ho : v = c proti H1 : z-test. Necht' X1,..., Xn je nahodní vyber N(v, a2), kde a2 nezname. Necht' n > 2 a c je konstanta. Test Ho : v = c proti H1 : v = c se nazyva jednovýberový t-test. Necht' X11,..., Xni1 je nahodní vyber z rozlození Na2) a X12,..., Xn22 je na nem nezavisly nahodní víber rozlození N(v2,a2), pricemz n1 > 2 a n2 > 2 a a2 nezname. Necht' c je konstanta. Test Ho : v1 —v2 = c proti H1 : v1 — v2 = c se nazyva dvouvýběrový t-test. ( X ) je nahodny víber z rozlození (9 -AZ) N2 V.WJ Aa12 a2JJ pricemz n > 2 a zídní parametr nezníme. Necht' c je konstanta. Test Ho : v1 — V2 = c proti H1 : v1 — V2 = c se nazyva párový t-test. Necht' X11,..., Xni1 je nahodní vyber z rozlození Na2) a X12,..., Xn22 je na nem nezavisly nahodní vyber rozlození N(v2,a2), pricemz 22 řii > 2 a ií2 > 2. Test H0 : ^| = 1 proti Hi : ^| 7^ 1 se nazývá F-test. Necht' X1,... ,Xn je nahodny vyber N (v, a2), kde v nezname. Necht' n > 2 a c je konstanta. Test Ho : a2 = c proti H1 : a2 = c se nazyví test o rozptylu. 142 13.9. Veta Navodý na provedená výse popsanách sesti týpu testu pomocá kritickeho oboru. a) Provedená z-testu Hýpotezu H0 : u = c proti Hi : u = c (resp. Hi : f < c resp. Hi : f > c) zamátáame na hladinňe výáznamnosti a, jestliňze < tíi_« resp. ^ > «!-„). y/ň > Ui_a/2 (resp. b) Provedená jednovýábňerováeho t-testu Hýpotezu H0 : u = c proti Hi : u = c (resp. Hi : f < c resp. Hi : f > c) zamátaáme na hladinňe výáznamnosti a, jestliňze (resp. ^Vr < ti_a(n - 1) resp. > íi_«(n y/ň 1)). > ti_a/2 (n - 1) c) Provedená dvouvýábňerováeho t-testu Hýpotezu H0 : ui -U2 = c proti Hi : -U2 = c (resp. Hi : -U2 < c resp. Hi : ui - U2 > c) zamátame na hladine váznamnosti a, jestlize mi - m2 - c j_ ,1 TI > ti_a/2 (ni + n2 - 2) (resp. m\—TO2— c V n1 n2 f < íi-a(ni + n2-2) resp. roi- TO2-V n1 n2 r > íl-a(rai+n2-2)). Od náhodneho výberu z dvourozmňernáeho normaálná- d) Provedená pároveho t-testu XA / Xn ho rozlozená prejdeme k rozdálovemu náhodnemu výberu Zi = Xi -yi,..., Zn = Xn - Yn. Oznacáme u = Ui - U2- Pak jde o test hýpotezý H0 : u = c proti Hi : u = c a uloha je prevedna na jednováberový t-test. e) Provedená F-testu 2 2 2 Hypotézu H0 : ^ = 1 proti íŕi : ^ ^ 1 (resp. Hi : ^ < 1 resp. CT2 °2 °2 2 iíi : ^ > 1) zamítáme na hladině významnosti a, jestliže s | < Fa/2(ni + n2-2) nebo -| > Fi_a/2{rii + n2 - 2) (resp. ^ < Fa(ni + n2 - 2) resp. ^ > Fi_a(ni + n2 - 2)). f) Provedená testu o rozptýlu Hýpotezu H0 : c2 = c proti Hi : c2 = c (resp. Hi : c2 < c resp. Hi : c2 > c) zamátáme na hladine váznamnosti a, jestlize (n - 1)s2 < Xa/2(n - 1) nebo (n - 1)s2 > Xl_a/2 (n - 1) (resp. {n 1}'2 < xl(n - 1) resp. ÍILJlf! > x\_a(n - 1)). I c c 143 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení I 13.10. Příklad Je-li ů aůtomatickeho obrýbecího stroje rozptýl delký obrabených soůcístek vetsí nez 380 /jm2, je treba stroj znova nastavit. Nahodne jsme výbrali 15 soůcastek a zmerili jejich delků. Výberový rozptýl zjistených 15-ti delek cinil 680 /jm2. Za predpokladů, ze delký se rídí normýlním rozlozením testůjte na hladine významnosti 0,05 hýpotezů, ze stroj je treba znova nastavit. Rěšění: X1,... ,X15 je nahodný výber z rozlození N(/j,a2), pricemz s2 = 680 jm2. Testůjeme H0 : a2 = 380 jm2 proti pravostranne alternative, který mý tvar H1 : a2 > 380 jm2, na hladine významnosti 0,05. Podle bodů (f) vetý 13.9 dostavame: realizace testoveho kriteria (n — 1)s2 14 • 680 380 25,05. Pritom x2-a(n — 1) = x0)95(14) = 23,685. Protoze 25,05 > 23,685, H0 zamítame na hladine významnosti 0,05. Zjistena data nas tedý opravňůjí k tomů, abýcho stroj znovů serídili (s rizikem 5%, ze bůdeme provadet zbýtecnoů praci). Shrnutí kapitoly Tvrzení o parametrech rozlození, z nehoz pochazí daný nýhodný výber, nazývame nulovou hypot ězou. Proti nůlove hýpoteze stavíme altěřnativn í hypot ě zu, ktera ríký, co platí, kdýz neplatí nůlový hýpoteza. Pri testovaní nůlove hýpotezý proti alternativní hýpoteze se můzeme dopůstit bůd' chyby 1. druhu (nůlovoů hýpotezů zamítneme, ac ve skůtecnosti platí) nebo chyby 2. dřuhu (nůlovoů hýpotíezů nezamítneme, aňc ve skůteňcnosti neplatí). Prav-depodobnost chýbý 1. drůhů se znací a a nazýva se hladina významnosti těštu. Klasický prístůp k testovaní hýpotez spodVa v nalezení vhodneho těstově ho křit ě řia. Mnozina hodnot, jichz můze testove kriteriům nabýt, se rozpada na oboř nězam ítnut í nulov ě hypot ězy a na křiticky oboř. Týto dva neslůňcitelníe oborý jsoů oddňelený křitickymi hodnotami. Pokůd se testovíe kritíeriům realizůje v kritickíem oborů, nůlovoů hýpotíezů zamítíame na hla-dinňe víýznamnosti a a pňrijímaíme alternativní hýpotíezů. V opaňcníem pňrípadňe nůlovoů hýpotíezů nezamítíame na hladinňe výíznamnosti a. Tím jsme ovňsem neprokazali její pravdivost, můzeme poůze ríci, ze nase data nejsoů natolik průkazna, abýchom mohli nůlovoů hýpotezů zamítnoůt. Test nůlovíe hýpotíezý proti alternativníí hýpotíeze lze tíeňz províest pomocíí intervalů spolehlivosti a s výůňzitíím metod popsanýích ve 12. kapitole. Mame-li k dispozici statistický software, můzeme výpocítat p-hodnotu jako nejmenňsí moňznoů hladinů výíznamnosti pro zamítnůtí nůlovíe hýpotíezý. V praxi se nejcasteji setkavame s těšty hypot ěz o pařamětřěch nor-máln ího řozlozěn í. K temto testům patrí napríklad z-test, jednovýberový, píarovíý ňci dvoůvíýbňerovýí t-test apod. c 144 Kontrolní otazky a úkoly Vysvetlete pojem „nulova hypoteza" a „alternativní hypoteza". 2 V cem spocíva testovaní nulove hypotezy proti alternativní hypoteze? 3 Kdy se dopustíme chyby 1. druhu (2. druhu)? 4 Co rozumíme testovym kriteriem a kritickym oborem? 6 Jake znýte testy o parametrech normalního rozlození? 7 Podle udaju na obalu cokolady by její cista hmotnost mela byt 125 g. Vyrobce dostal nekolik stízností od kupujících, ve kterych tvrdili, ze hmotnost cokolad je nizsí nez deklarovanych 125 g. Z tohoto duvodu oddelení kontroly nahodne vybralo 50 cokolýd a zjistilo, ze jejich pru-merna hmotnost je 122 g a smerodatna odchylka 8,6 g. Za predpokladu, ze hmotnost cokolad se rídí normýlním rozlozením, muzeme na hladine vyznamnosti 0,01 povazovat stíznosti kupujících za oprávnene? 8 (S) V restauraci „U bíleho konícka" merili ve 20 prípadech cas obsluhy zakazníka. Vysledky v minutach: 6, 8, 11, 4, 7, 6, 10, 6, 9, 8, 5, 12, 13, 10, 9, 8, 7, 11, 10, 5. V restauraci „Zlaty lev" bylo dane pozorovýní uskutencnneno v 15 pnrýpadech s tnemito výysledky: 9, 11, 10, 7, 6, 4, 8, 13, 5, 15, 8, 5, 6, 8, 7. Na hladine významnosti 0,05 testujte hypotezu, ze strední hodnoty doby obsluhy jsou v obou restauracích stejne. 9 (S) Na 10 automobilech stejneho typu se testovaly dva druhy benzínu lisící se oktanovym císlem. U kazdeho automobilu se pri pranierne rychlosti 90 km/h meril dojezd (tj. drýha, kterou ujede na dane mnozství benzínu) pri pouzití kazdeho z obou druhu benzínu. Výsledky: CcLLltcL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 benzín A 17,5 20,0 18,9 17,9 16,4 18,9 17,2 17,5 18,5 18,2 benzín B 17,8 20,8 19,5 18,3 16,6 19,5 17,5 17,9 19,1 18,6 Za pnredpokladu, nze dojezd se nrýdý normýalným rozlonzeným, testujte na hladinne vyýznamnosti 0,05 hypotýezu, nze rozdýl stnredných hodnot dojezdu pri dvou druzích benzínu se nelisí. 10 Pevnost vlakna bavlnene pnze lze pokladat za nahodnou velicinu s rozlozením N (p, a2). Je-li a2 > 0,36 kg2, vznikají potíze pri tkaní. Pri zkounsce 11 nýahodnne vybranýych vlýaken byly zjinstneny hodnoty jejich pevnosti a vypocten empirický rozptyl s2 = 0,92 kg2. Na hladine významnosti 0,05 je treba zjistit, zda je pnze vyhovující. 11 Normýalnne rozlonzenýa nýahodnýe velinciny pnredstavujýí vyýsledek mnenrenýí týenze konstanty dvema ruznymi metodami a jejich nezname smerodatne odchylky <7i, a2 charakterizují nespolehlivost techto metod zpusobenou nahodnymi chybami. Pri realizaci dvou nezavislých nýhodných výberu rozsahu n1 = 25, n2 = 31 jsme získali empiricke smerodatne odchylky s1 = 0,523, s2 = 0,363. Je mozno na hladine významnosti 0,05 povanzovat obne metody za stejnne spolehlivýe? I 5 Popiste tri zpusoby testovaní hypotez. 145 13. Úvod do testovaní hypotez a testy o parametrech normalního rozložení Príloha A - Statisticke tabulky Príloha A - Statistické tabulky DistribuCn í funkce standardizován é ho normáln ího rozloZen I u $(w) u $(w) u $(w) u $(w) 0,00 0,50000 0,50 0,69146 1,00 0,84134 1,50 0,93319 0,01 0,50399 0,51 0,69497 1,01 0,84375 1,51 0,93448 0,02 0,50798 0,52 0,69847 1,02 0,84614 1,52 0,93574 0,03 0,51197 0,53 0,70194 1,03 0,84850 1,53 0,93699 0,04 0,51595 0,54 0,70540 1,04 0,85083 1,54 0,93822 0,05 0,51994 0,55 0,70884 1,05 0,85314 1,55 0,93943 0,06 0,52392 0,56 0,71226 1,06 0,85543 1,56 0,94062 0,07 0,52790 0,57 0,71566 1,07 0,85769 1,57 0,94179 0,08 0,53188 0,58 0,71904 1,08 0,85993 1,58 0,94295 0,09 0,53586 0,59 0,72240 1,09 0,86214 1,59 0,94408 0,10 0,53983 0,60 0,72575 1,10 0,86433 1,60 0,94520 0,11 0,54380 0,61 0,72907 1,11 0,86650 1,61 0,94630 0,12 0,54776 0,62 0,73237 1,12 0,86864 1,62 0,94738 0,13 0,55172 0,63 0,73565 1,13 0,87076 1,63 0,94845 0,14 0,55567 0,64 0,73891 1,14 0,87286 1,64 0,94950 0,15 0,55962 0,65 0,74215 1,15 0,87493 1,65 0,95053 0,16 0,56356 0,66 0,74537 1,16 0,87698 1,66 0,95154 0,17 0,56749 0,67 0,74857 1,17 0,87900 1,67 0,95254 0,18 0,57142 0,68 0,75175 1,18 0,88100 1,68 0,95352 0,19 0,57535 0,69 0,75490 1,19 0,88298 1,69 0,95449 0,20 0,57926 0,70 0,75804 1,20 0,88493 1,70 0,95543 0,21 0,58317 0,71 0,76115 1,21 0,88686 1,71 0,95637 0,22 0,58706 0,72 0,76424 1,22 0,88877 1,72 0,95728 0,23 0,59095 0,73 0,76730 1,23 0,89065 1,73 0,95818 0,24 0,59483 0,74 0,77035 1,24 0,89251 1,74 0,95907 0,25 0,59871 0,75 0,77337 1,25 0,89435 1,75 0,95994 0,26 0,60257 0,76 0,77637 1,26 0,89617 1,76 0,96080 0,27 0,60642 0,77 0,77935 1,27 0,89796 1,77 0,96164 0,28 0,61026 0,78 0,78230 1,28 0,89973 1,78 0,96246 0,29 0,61409 0,79 0,78524 1,29 0,90147 1,79 0,96327 0,30 0,61791 0,80 0,78814 1,30 0,90320 1,80 0,96407 0,31 0,62172 0,81 0,79103 1,31 0,90490 1,81 0,96485 0,32 0,62552 0,82 0,79389 1,32 0,90658 1,82 0,96562 0,33 0,62930 0,83 0,79673 1,33 0,90824 1,83 0,96638 0,34 0,63307 0,84 0,79955 1,34 0,90988 1,84 0,96712 0,35 0,63683 0,85 0,80234 1,35 0,91149 1,85 0,96784 0,36 0,64058 0,86 0,80511 1,36 0,91309 1,86 0,96856 0,37 0,64431 0,87 0,80785 1,37 0,91466 1,87 0,96926 0,38 0,64803 0,88 0,81057 1,38 0,91621 1,88 0,96995 0,39 0,65173 0,89 0,81327 1,39 0,91774 1,89 0,97062 0,40 0,65542 0,90 0,81594 1,40 0,91924 1,90 0,97128 0,41 0,65910 0,91 0,81859 1,41 0,92073 1,91 0,97193 0,42 0,66276 0,92 0,82121 1,42 0,92220 1,92 0,97257 0,43 0,66640 0,93 0,82381 1,43 0,92364 1,93 0,97320 0,44 0,67003 0,94 0,82639 1,44 0,92507 1,94 0,97381 0,45 0,67364 0,95 0,82894 1,45 0,92647 1,95 0,97441 0,46 0,67724 0,96 0,83147 1,46 0,92785 1,96 0,97500 0,47 0,68082 0,97 0,83398 1,47 0,92922 1,97 0,97558 0,48 0,68439 0,98 0,83646 1,48 0,93056 1,98 0,97615 0,49 0,68793 0,99 0,83891 1,49 0,93189 1,99 0,97670 $(—u) = 1 — $(u) 148 DistribuCn í funkce standardizovaného normaln ího rozložen í u $(w) u $(w) u $(w) u $(w) 2,00 0,97725 2,50 0,99379 3,00 0,99865 3,50 0,99977 2,01 0,97778 2,51 0,99396 3,01 0,99869 3,51 0,99978 2,02 0,97831 2,52 0,99413 3,02 0,99874 3,52 0,99978 2,03 0,97882 2,53 0,99430 3,03 0,99878 3,53 0,99979 2,04 0,97932 2,54 0,99446 3,04 0,99882 3,54 0,99980 2,05 0,97982 2,55 0,99461 3,05 0,99886 3,55 0,99981 2,06 0,98030 2,56 0,99477 3,06 0,99889 3,56 0,99981 2,07 0,98077 2,57 0,99492 3,07 0,99893 3,57 0,99982 2,08 0,98124 2,58 0,99506 3,08 0,99897 3,58 0,99983 2,09 0,98169 2,59 0,99520 3,09 0,99900 3,59 0,99983 2,10 0,98214 2,60 0,99534 3,10 0,99903 3,60 0,99984 2,11 0,98257 2,61 0,99547 3,11 0,99906 3,61 0,99985 2,12 0,98300 2,62 0,99560 3,12 0,99910 3,62 0,99985 2,13 0,98341 2,63 0,99573 3,13 0,99913 3,63 0,99986 2,14 0,98382 2,64 0,99585 3,14 0,99916 3,64 0,99986 2,15 0,98422 2,65 0,99598 3,15 0,99918 3,65 0,99987 2,16 0,98461 2,66 0,99609 3,16 0,99921 3,66 0,99987 2,17 0,98500 2,67 0,99621 3,17 0,99924 3,67 0,99988 2,18 0,98537 2,68 0,99632 3,18 0,99926 3,68 0,99988 2,19 0,98574 2,69 0,99643 3,19 0,99929 3,69 0,99989 2,20 0,98610 2,70 0,99653 3,20 0,99931 3,70 0,99989 2,21 0,98645 2,71 0,99664 3,21 0,99934 3,71 0,99990 2,22 0,98679 2,72 0,99674 3,22 0,99936 3,72 0,99990 2,23 0,98713 2,73 0,99683 3,23 0,99938 3,73 0,99990 2,24 0,98745 2,74 0,99693 3,24 0,99940 3,74 0,99991 2,25 0,98778 2,75 0,99702 3,25 0,99942 3,75 0,99991 2,26 0,98809 2,76 0,99711 3,26 0,99944 3,76 0,99992 2,27 0,98840 2,77 0,99720 3,27 0,99946 3,77 0,99992 2,28 0,98870 2,78 0,99728 3,28 0,99948 3,78 0,99992 2,29 0,98899 2,79 0,99736 3,29 0,99950 3,79 0,99992 2,30 0,98928 2,80 0,99744 3,30 0,99952 3,80 0,99993 2,31 0,98956 2,81 0,99752 3,31 0,99953 3,81 0,99993 2,32 0,98983 2,82 0,99760 3,32 0,99955 3,82 0,99993 2,33 0,99010 2,83 0,99767 3,33 0,99957 3,83 0,99994 2,34 0,99036 2,84 0,99774 3,34 0,99958 3,84 0,99994 2,35 0,99061 2,85 0,99781 3,35 0,99960 3,85 0,99994 2,36 0,99086 2,86 0,99788 3,36 0,99961 3,86 0,99994 2,37 0,99111 2,87 0,99795 3,37 0,99962 3,87 0,99995 2,38 0,99134 2,88 0,99801 3,38 0,99964 3,88 0,99995 2,39 0,99158 2,89 0,99807 3,39 0,99965 3,89 0,99995 2,40 0,99180 2,90 0,99813 3,40 0,99966 3,90 0,99995 2,41 0,99202 2,91 0,99819 3,41 0,99968 3,91 0,99995 2,42 0,99224 2,92 0,99825 3,42 0,99969 3,92 0,99996 2,43 0,99245 2,93 0,99831 3,43 0,99970 3,93 0,99996 2,44 0,99266 2,94 0,99836 3,44 0,99971 3,94 0,99996 2,45 0,99286 2,95 0,99841 3,45 0,99972 3,95 0,99996 2,46 0,99305 2,96 0,99846 3,46 0,99973 3,96 0,99996 2,47 0,99324 2,97 0,99851 3,47 0,99974 3,97 0,99996 2,48 0,99343 2,98 0,99856 3,48 0,99975 3,98 0,99997 2,49 0,99361 2,99 0,99861 3,49 0,99976 3,99 0,99997 149 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily standardizovaného normálního rozložení a a a a 0,500 0,00000 0,850 1,03643 0,930 1,47579 0,965 1,81191 0,510 0,02507 0,860 1,08032 0,931 1,48328 0,966 1,82501 0,520 0,05015 0,870 1,12639 0,932 1,49085 0,967 1,83842 0,530 0,07527 0,880 1,17499 0,933 1,49851 0,968 1,85218 0,540 0,10043 0,890 1,22653 0,934 1,50626 0,969 1,86630 0,550 0,12566 0,900 1,28155 0,935 1,51410 0,970 1,88079 0,560 0,15097 0,901 1,28727 0,936 1,52204 0,971 1,89570 0,570 0,17637 0,902 1,29303 0,937 1,53007 0,972 1,91104 0,580 0,20189 0,903 1,29884 0,938 1,53820 0,973 1,92684 0,590 0,22754 0,904 1,30469 0,939 1,54643 0,974 1,94313 0,600 0,25335 0,905 1,31058 0,940 1,55477 0,975 1,95996 0,610 0,27932 0,906 1,31652 0,941 1,56322 0,976 1,97737 0,620 0,30548 0,907 1,32251 0,942 1,57179 0,977 1,99539 0,630 0,33185 0,908 1,32854 0,943 1,58047 0,978 2,01409 0,640 0,35846 0,909 1,33462 0,944 1,58927 0,979 2,03352 0,650 0,38532 0,910 1,34076 0,945 1,59819 0,980 2,05375 0,660 0,41246 0,911 1,34694 0,946 1,60725 0,981 2,07485 0,670 0,43991 0,912 1,35317 0,947 1,61644 0,982 2,09693 0,680 0,46770 0,913 1,35946 0,948 1,62576 0,983 2,12007 0,690 0,49585 0,914 1,36581 0,949 1,63523 0,984 2,14441 0,700 0,52440 0,915 1,37220 0,950 1,64485 0,985 2,17009 0,710 0,55338 0,916 1,37866 0,951 1,65463 0,986 2,19729 0,720 0,58284 0,917 1,38517 0,952 1,66456 0,987 2,22621 0,730 0,61281 0,918 1,39174 0,953 1,67466 0,988 2,25713 0,740 0,64335 0,919 1,39838 0,954 1,68494 0,989 2,29037 0,750 0,67449 0,920 1,40507 0,955 1,69540 0,990 2,32635 0,760 0,70630 0,921 1,41183 0,956 1,70604 0,991 2,36562 0,770 0,73885 0,922 1,41865 0,957 1,71689 0,992 2,40892 0,780 0,77219 0,923 1,42554 0,958 1,72793 0,993 2,45726 0,790 0,80642 0,924 1,43250 0,959 1,73920 0,994 2,51214 0,800 0,84162 0,925 1,43953 0,960 1,75069 0,995 2,57583 0,810 0,87790 0,926 1,44663 0,961 1,76241 0,996 2,65207 0,820 0,91537 0,927 1,45381 0,962 1,77438 0,997 2,74778 0,830 0,95417 0,928 1,46106 0,963 1,78661 0,998 2,87816 0,840 0,99446 0,929 1,46838 0,964 1,79912 0,999 3,09023 150 Kvantily Pearsonova rozlozen í n 0,001 0,005 a 0,010 0,025 0,050 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 2 0,002 0,010 0,020 0,051 0,103 3 0,024 0,072 0,115 0,216 0,352 4 0,091 0,207 0,297 0,484 0,711 5 0,210 0,412 0,554 0,831 1,145 6 0,381 0,676 0,872 1,237 1,635 7 0,598 0,989 1,239 1,690 2,167 8 0,857 1,344 1,646 2,180 2,733 9 1,152 1,735 2,088 2,700 3,325 10 1,479 2,156 2,558 3,247 3,940 11 1,834 2,603 3,053 3,816 4,575 12 2,214 3,074 3,571 4,404 5,226 13 2,617 3,565 4,107 5,009 5,892 14 3,041 4,075 4,660 5,629 6,571 15 3,483 4,601 5,229 6,262 7,261 16 3,942 5,142 5,812 6,908 7,962 17 4,416 5,697 6,408 7,564 8,672 18 4,905 6,265 7,015 8,231 9,390 19 5,407 6,844 7,633 8,907 10,117 20 5,921 7,434 8,260 9,591 10,851 21 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 22 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 23 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 24 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 25 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 26 9,222 11,160 12,198 13,844 15,379 27 9,803 11,808 12,879 14,573 16,151 28 10,391 12,461 13,565 15,308 16,928 29 10,986 13,121 14,256 16,047 17,708 30 11,588 13,787 14,953 16,791 18,493 35 14,688 17,192 18,509 20,569 22,465 40 17,916 20,707 22,164 24,433 26,509 45 21,251 24,311 25,901 28,366 30,612 50 24,674 27,991 29,707 32,357 34,764 55 28,173 31,735 33,570 36,398 38,958 60 31,738 35,534 37,485 40,482 43,188 65 35,362 39,383 41,444 44,603 47,450 70 39,036 43,275 45,442 48,758 51,739 75 42,757 47,206 49,475 52,942 56,054 80 46,520 51,172 53,540 57,153 60,391 85 50,320 55,170 57,634 61,389 64,749 90 54,155 59,196 61,754 65,647 69,126 95 58,022 63,250 65,898 69,925 73,520 100 61,918 67,328 70,065 74,222 77,929 151 Príloha A - Statisticke tabulky Kvantily Peařsonova rozložení n 0,950 0,975 a 0,990 0,995 0,999 1 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828 2 5,991 7,378 9,210 10,597 13,816 3 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266 4 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467 5 11,070 12,833 15,086 16,750 20,515 6 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458 7 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322 8 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124 9 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877 10 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588 11 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264 12 21,026 23,337 26,217 28,300 32,909 13 22,362 24,736 27,688 29,819 34,528 14 23,685 26,119 29,141 31,319 36,123 15 24,996 27,488 30,578 32,801 37,697 16 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252 17 27,587 30,191 33,409 35,718 40,790 18 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312 19 30,144 32,852 36,191 38,582 43,820 20 31,410 34,170 37,566 39,997 45,315 21 32,671 35,479 38,932 41,401 46,797 22 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268 23 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728 24 36,415 39,364 42,980 45,559 51,179 25 37,652 40,646 44,314 46,928 52,620 26 38,885 41,923 45,642 48,290 54,052 27 40,113 43,195 46,963 49,645 55,476 28 41,337 44,461 48,278 50,993 56,892 29 42,557 45,722 49,588 52,336 58,301 30 43,773 46,979 50,892 53,672 59,703 35 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619 40 55,758 59,342 63,691 66,766 73,402 45 61,656 65,410 69,957 73,166 80,077 50 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661 55 73,311 77,380 82,292 85,749 93,168 60 79,082 83,298 88,379 91,952 99,607 65 84,821 89,177 94,422 98,105 105,988 70 90,531 95,023 100,425 104,215 112,317 75 96,217 100,839 106,393 110,286 118,599 80 101,879 106,629 112,329 116,321 124,839 85 107,522 112,393 118,236 122,325 131,041 90 113,145 118,136 124,116 128,299 137,208 95 118,752 123,858 129,973 134,247 143,344 100 124,342 129,561 135,807 140,169 149,449 152 Kvantily Studentova rozlozen í n 0,900 0,950 0,975 a 0,990 0,995 0,999 1 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 318,3088 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 22,3271 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 10,2145 4 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 7,1732 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 5,8934 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,2076 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,7853 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 4,5008 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,2968 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,1437 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,0247 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,9296 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,8520 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,7874 15 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,7328 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,6862 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,6458 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,6105 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,5794 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,5518 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,5272 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,5050 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,4850 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,4668 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,4502 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,4350 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,4210 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,4082 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,3962 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,3852 oo 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0000 153 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 1 2 3 ni 4 5 6 7 1 161,4500 199,5000 215,7074 224,5832 230,1619 233,9860 236,7684 2 18,5128 19,0000 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 16 4,4940 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,8100 2,6987 2,6143 18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 19 4,3807 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 21 4,3248 3,4668 3,0725 2,8401 2,6848 2,5727 2,4876 22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 23 4,2793 3,4221 3,0280 2,7955 2,6400 2,5277 2,4422 24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,6030 2,4904 2,4047 26 4,2252 3,3690 2,9752 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 27 4,2100 3,3541 2,9604 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 28 4,1960 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 29 4,1830 3,3277 2,9340 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 80 3,9604 3,1108 2,7188 2,4859 2,3287 2,2142 2,1263 120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,1750 2,0868 oo 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 154 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 8 9 10 ni 11 12 13 14 1 238,8827 240,5433 241,8818 242,9835 243,9060 244,6899 245,3640 2 19,3710 19,3848 19,3959 19,4050 19,4125 19,4189 19,4244 3 8,8452 8,8123 8,7855 8,7633 8,7446 8,7287 8,7149 4 6,0410 5,9988 5,9644 5,9358 5,9117 5,8911 5,8733 5 4,8183 4,7725 4,7351 4,7040 4,6777 4,6552 4,6358 6 4,1468 4,0990 4,0600 4,0274 3,9999 3,9764 3,9559 7 3,7257 3,6767 3,6365 3,6030 3,5747 3,5503 3,5292 8 3,4381 3,3881 3,3472 3,3130 3,2839 3,2590 3,2374 9 3,2296 3,1789 3,1373 3,1025 3,0729 3,0475 3,0255 10 3,0717 3,0204 2,9782 2,9430 2,9130 2,8872 2,8647 11 2,9480 2,8962 2,8536 2,8179 2,7876 2,7614 2,7386 12 2,8486 2,7964 2,7534 2,7173 2,6866 2,6602 2,6371 13 2,7669 2,7144 2,6710 2,6347 2,6037 2,5769 2,5536 14 2,6987 2,6458 2,6022 2,5655 2,5342 2,5073 2,4837 15 2,6408 2,5876 2,5437 2,5068 2,4753 2,4481 2,4244 16 2,5911 2,5377 2,4935 2,4564 2,4247 2,3973 2,3733 17 2,5480 2,4943 2,4499 2,4126 2,3807 2,3531 2,3290 18 2,5102 2,4563 2,4117 2,3742 2,3421 2,3143 2,2900 19 2,4768 2,4227 2,3779 2,3402 2,3080 2,2800 2,2556 20 2,4471 2,3928 2,3479 2,3100 2,2776 2,2495 2,2250 21 2,4205 2,3660 2,3210 2,2829 2,2504 2,2222 2,1975 22 2,3965 2,3419 2,2967 2,2585 2,2258 2,1975 2,1727 23 2,3748 2,3201 2,2747 2,2364 2,2036 2,1752 2,1502 24 2,3551 2,3002 2,2547 2,2163 2,1834 2,1548 2,1298 25 2,3371 2,2821 2,2365 2,1979 2,1649 2,1362 2,1111 26 2,3205 2,2655 2,2197 2,1811 2,1479 2,1192 2,0939 27 2,3053 2,2501 2,2043 2,1655 2,1323 2,1035 2,0781 28 2,2913 2,2360 2,1900 2,1512 2,1179 2,0889 2,0635 29 2,2783 2,2229 2,1768 2,1379 2,1045 2,0755 2,0500 30 2,2662 2,2107 2,1646 2,1256 2,0921 2,0630 2,0374 40 2,1802 2,1240 2,0772 2,0376 2,0035 1,9738 1,9476 60 2,0970 2,0401 1,9926 1,9522 1,9174 1,8870 1,8602 80 2,0564 1,9991 1,9512 1,9105 1,8753 1,8445 1,8174 120 2,0164 1,9588 1,9105 1,8693 1,8337 1,8026 1,7750 oo 1,9384 1,8799 1,8307 1,7886 1,7522 1,7202 1,6918 155 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 15 16 17 ni 18 19 20 25 1 245,9499 246,4639 246,9184 247,3232 247,6861 248,0131 249,2601 2 19,4291 19,4333 19,4370 19,4402 19,4431 19,4458 19,4558 3 8,7029 8,6923 8,6829 8,6745 8,6670 8,6602 8,6341 4 5,8578 5,8441 5,8320 5,8211 5,8114 5,8025 5,7687 5 4,6188 4,6038 4,5904 4,5785 4,5678 4,5581 4,5209 6 3,9381 3,9223 3,9083 3,8957 3,8844 3,8742 3,8348 7 3,5107 3,4944 3,4799 3,4669 3,4551 3,4445 3,4036 8 3,2184 3,2016 3,1867 3,1733 3,1613 3,1503 3,1081 9 3,0061 2,9890 2,9737 2,9600 2,9477 2,9365 2,8932 10 2,8450 2,8276 2,8120 2,7980 2,7854 2,7740 2,7298 11 2,7186 2,7009 2,6851 2,6709 2,6581 2,6464 2,6014 12 2,6169 2,5989 2,5828 2,5684 2,5554 2,5436 2,4977 13 2,5331 2,5149 2,4987 2,4841 2,4709 2,4589 2,4123 14 2,4630 2,4446 2,4282 2,4134 2,4000 2,3879 2,3407 15 2,4034 2,3849 2,3683 2,3533 2,3398 2,3275 2,2797 16 2,3522 2,3335 2,3167 2,3016 2,2880 2,2756 2,2272 17 2,3077 2,2888 2,2719 2,2567 2,2429 2,2304 2,1815 18 2,2686 2,2496 2,2325 2,2172 2,2033 2,1906 2,1413 19 2,2341 2,2149 2,1977 2,1823 2,1683 2,1555 2,1057 20 2,2033 2,1840 2,1667 2,1511 2,1370 2,1242 2,0739 21 2,1757 2,1563 2,1389 2,1232 2,1090 2,0960 2,0454 22 2,1508 2,1313 2,1138 2,0980 2,0837 2,0707 2,0196 23 2,1282 2,1086 2,0910 2,0751 2,0608 2,0476 1,9963 24 2,1077 2,0880 2,0703 2,0543 2,0399 2,0267 1,9750 25 2,0889 2,0691 2,0513 2,0353 2,0207 2,0075 1,9554 26 2,0716 2,0518 2,0339 2,0178 2,0032 1,9898 1,9375 27 2,0558 2,0358 2,0179 2,0017 1,9870 1,9736 1,9210 28 2,0411 2,0210 2,0030 1,9868 1,9720 1,9586 1,9057 29 2,0275 2,0073 1,9893 1,9730 1,9581 1,9446 1,8915 30 2,0148 1,9946 1,9765 1,9601 1,9452 1,9317 1,8782 40 1,9245 1,9037 1,8851 1,8682 1,8529 1,8389 1,7835 60 1,8364 1,8151 1,7959 1,7784 1,7625 1,7480 1,6902 80 1,7932 1,7716 1,7520 1,7342 1,7180 1,7032 1,6440 120 1,7505 1,7285 1,7085 1,6904 1,6739 1,6587 1,5980 oo 1,6640 1,6435 1,6228 1,6038 1,5865 1,5705 1,5061 156 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 30 40 ni 60 80 120 oo 1 250,0952 251,1432 252,1957 252,7237 253,2529 254,3100 2 19,4624 19,4707 19,4791 19,4832 19,4874 19,4960 3 8,6166 8,5944 8,5720 8,5607 8,5494 8,5264 4 5,7459 5,7170 5,6877 5,6730 5,6581 5,6281 5 4,4957 4,4638 4,4314 4,4150 4,3985 4,3650 6 3,8082 3,7743 3,7398 3,7223 3,7047 3,6689 7 3,3758 3,3404 3,3043 3,2860 3,2674 3,2298 8 3,0794 3,0428 3,0053 2,9862 2,9669 2,9276 9 2,8637 2,8259 2,7872 2,7675 2,7475 2,7067 10 2,6996 2,6609 2,6211 2,6008 2,5801 2,5379 11 2,5705 2,5309 2,4901 2,4692 2,4480 2,4045 12 2,4663 2,4259 2,3842 2,3628 2,3410 2,2962 13 2,3803 2,3392 2,2966 2,2747 2,2524 2,2064 14 2,3082 2,2664 2,2229 2,2006 2,1778 2,1307 15 2,2468 2,2043 2,1601 2,1373 2,1141 2,0658 16 2,1938 2,1507 2,1058 2,0826 2,0589 2,0096 17 2,1477 2,1040 2,0584 2,0348 2,0107 1,9604 18 2,1071 2,0629 2,0166 1,9927 1,9681 1,9168 19 2,0712 2,0264 1,9795 1,9552 1,9302 1,8780 20 2,0391 1,9938 1,9464 1,9217 1,8963 1,8432 21 2,0102 1,9645 1,9165 1,8915 1,8657 1,8117 22 1,9842 1,9380 1,8894 1,8641 1,8380 1,7831 23 1,9605 1,9139 1,8648 1,8392 1,8128 1,7570 24 1,9390 1,8920 1,8424 1,8164 1,7896 1,7330 25 1,9192 1,8718 1,8217 1,7955 1,7684 1,7110 26 1,9010 1,8533 1,8027 1,7762 1,7488 1,6906 27 1,8842 1,8361 1,7851 1,7584 1,7306 1,6717 28 1,8687 1,8203 1,7689 1,7418 1,7138 1,6541 29 1,8543 1,8055 1,7537 1,7264 1,6981 1,6376 30 1,8409 1,7918 1,7396 1,7121 1,6835 1,6223 40 1,7444 1,6928 1,6373 1,6077 1,5766 1,5089 60 1,6491 1,5943 1,5343 1,5019 1,4673 1,3893 80 1,6017 1,5449 1,4821 1,4477 1,4107 1,3247 120 1,5543 1,4952 1,4290 1,3922 1,3519 1,2539 oo 1,4591 1,3940 1,3180 1,2735 1,2214 1,0000 157 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 1 2 3 ni 4 5 6 7 1 647,7890 799,5000 864,1630 899,5833 921,8479 937,1111 948,2169 2 38,5063 39,0000 39,1655 39,2484 39,2982 39,3315 39,3552 3 17,4434 16,0441 15,4392 15,1010 14,8848 14,7347 14,6244 4 12,2179 10,6491 9,9792 9,6045 9,3645 9,1973 9,0741 5 10,0070 8,4336 7,7636 7,3879 7,1464 6,9777 6,8531 6 8,8131 7,2599 6,5988 6,2272 5,9876 5,8198 5,6955 7 8,0727 6,5415 5,8898 5,5226 5,2852 5,1186 4,9949 8 7,5709 6,0595 5,4160 5,0526 4,8173 4,6517 4,5286 9 7,2093 5,7147 5,0781 4,7181 4,4844 4,3197 4,1970 10 6,9367 5,4564 4,8256 4,4683 4,2361 4,0721 3,9498 11 6,7241 5,2559 4,6300 4,2751 4,0440 3,8807 3,7586 12 6,5538 5,0959 4,4742 4,1212 3,8911 3,7283 3,6065 13 6,4143 4,9653 4,3472 3,9959 3,7667 3,6043 3,4827 14 6,2979 4,8567 4,2417 3,8919 3,6634 3,5014 3,3799 15 6,1995 4,7650 4,1528 3,8043 3,5764 3,4147 3,2934 16 6,1151 4,6867 4,0768 3,7294 3,5021 3,3406 3,2194 17 6,0420 4,6189 4,0112 3,6648 3,4379 3,2767 3,1556 18 5,9781 4,5597 3,9539 3,6083 3,3820 3,2209 3,0999 19 5,9216 4,5075 3,9034 3,5587 3,3327 3,1718 3,0509 20 5,8715 4,4613 3,8587 3,5147 3,2891 3,1283 3,0074 21 5,8266 4,4199 3,8188 3,4754 3,2501 3,0895 2,9686 22 5,7863 4,3828 3,7829 3,4401 3,2151 3,0546 2,9338 23 5,7498 4,3492 3,7505 3,4083 3,1835 3,0232 2,9023 24 5,7166 4,3187 3,7211 3,3794 3,1548 2,9946 2,8738 25 5,6864 4,2909 3,6943 3,3530 3,1287 2,9685 2,8478 26 5,6586 4,2655 3,6697 3,3289 3,1048 2,9447 2,8240 27 5,6331 4,2421 3,6472 3,3067 3,0828 2,9228 2,8021 28 5,6096 4,2205 3,6264 3,2863 3,0626 2,9027 2,7820 29 5,5878 4,2006 3,6072 3,2674 3,0438 2,8840 2,7633 30 5,5675 4,1821 3,5894 3,2499 3,0265 2,8667 2,7460 40 5,4239 4,0510 3,4633 3,1261 2,9037 2,7444 2,6238 60 5,2856 3,9253 3,3425 3,0077 2,7863 2,6274 2,5068 80 5,2184 3,8643 3,2841 2,9504 2,7295 2,5708 2,4502 120 5,1523 3,8046 3,2269 2,8943 2,6740 2,5154 2,3948 oo 5,0239 3,6889 3,1161 2,7858 2,5665 2,4082 2,2875 158 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 8 9 10 ni 11 12 13 14 1 956,6562 963,2846 968,6274 973,0252 976,7080 979,8368 982,5278 2 39,3730 39,3869 39,3980 39,4071 39,4146 39,4210 39,4265 3 14,5399 14,4731 14,4189 14,3742 14,3366 14,3045 14,2768 4 8,9796 8,9047 8,8439 8,7935 8,7512 8,7150 8,6838 5 6,7572 6,6811 6,6192 6,5678 6,5245 6,4876 6,4556 6 5,5996 5,5234 5,4613 5,4098 5,3662 5,3290 5,2968 7 4,8993 4,8232 4,7611 4,7095 4,6658 4,6285 4,5961 8 4,4333 4,3572 4,2951 4,2434 4,1997 4,1622 4,1297 9 4,1020 4,0260 3,9639 3,9121 3,8682 3,8306 3,7980 10 3,8549 3,7790 3,7168 3,6649 3,6209 3,5832 3,5504 11 3,6638 3,5879 3,5257 3,4737 3,4296 3,3917 3,3588 12 3,5118 3,4358 3,3736 3,3215 3,2773 3,2393 3,2062 13 3,3880 3,3120 3,2497 3,1975 3,1532 3,1150 3,0819 14 3,2853 3,2093 3,1469 3,0946 3,0502 3,0119 2,9786 15 3,1987 3,1227 3,0602 3,0078 2,9633 2,9249 2,8915 16 3,1248 3,0488 2,9862 2,9337 2,8890 2,8506 2,8170 17 3,0610 2,9849 2,9222 2,8696 2,8249 2,7863 2,7526 18 3,0053 2,9291 2,8664 2,8137 2,7689 2,7302 2,6964 19 2,9563 2,8801 2,8172 2,7645 2,7196 2,6808 2,6469 20 2,9128 2,8365 2,7737 2,7209 2,6758 2,6369 2,6030 21 2,8740 2,7977 2,7348 2,6819 2,6368 2,5978 2,5638 22 2,8392 2,7628 2,6998 2,6469 2,6017 2,5626 2,5285 23 2,8077 2,7313 2,6682 2,6152 2,5699 2,5308 2,4966 24 2,7791 2,7027 2,6396 2,5865 2,5411 2,5019 2,4677 25 2,7531 2,6766 2,6135 2,5603 2,5149 2,4756 2,4413 26 2,7293 2,6528 2,5896 2,5363 2,4908 2,4515 2,4171 27 2,7074 2,6309 2,5676 2,5143 2,4688 2,4293 2,3949 28 2,6872 2,6106 2,5473 2,4940 2,4484 2,4089 2,3743 29 2,6686 2,5919 2,5286 2,4752 2,4295 2,3900 2,3554 30 2,6513 2,5746 2,5112 2,4577 2,4120 2,3724 2,3378 40 2,5289 2,4519 2,3882 2,3343 2,2882 2,2481 2,2130 60 2,4117 2,3344 2,2702 2,2159 2,1692 2,1286 2,0929 80 2,3549 2,2775 2,2130 2,1584 2,1115 2,0706 2,0346 120 2,2994 2,2217 2,1570 2,1021 2,0548 2,0136 1,9773 oo 2,1918 2,1136 2,0483 1,9927 1,9447 1,9027 1,8656 159 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 15 16 17 ni 18 19 20 25 1 984,8668 986,9187 988,7331 990,3490 991,7973 993,1028 998,0808 2 39,4313 39,4354 39,4391 39,4424 39,4453 39,4479 39,4579 3 14,2527 14,2315 14,2127 14,1960 14,1810 14,1674 14,1155 4 8,6565 8,6326 8,6113 8,5924 8,5753 8,5599 8,5010 5 6,4277 6,4032 6,3814 6,3619 6,3444 6,3286 6,2679 6 5,2687 5,2439 5,2218 5,2021 5,1844 5,1684 5,1069 7 4,5678 4,5428 4,5206 4,5008 4,4829 4,4667 4,4045 8 4,1012 4,0761 4,0538 4,0338 4,0158 3,9995 3,9367 9 3,7694 3,7441 3,7216 3,7015 3,6833 3,6669 3,6035 10 3,5217 3,4963 3,4737 3,4534 3,4351 3,4185 3,3546 11 3,3299 3,3044 3,2816 3,2612 3,2428 3,2261 3,1616 12 3,1772 3,1515 3,1286 3,1081 3,0896 3,0728 3,0077 13 3,0527 3,0269 3,0039 2,9832 2,9646 2,9477 2,8821 14 2,9493 2,9234 2,9003 2,8795 2,8607 2,8437 2,7777 15 2,8621 2,8360 2,8128 2,7919 2,7730 2,7559 2,6894 16 2,7875 2,7614 2,7380 2,7170 2,6980 2,6808 2,6138 17 2,7230 2,6968 2,6733 2,6522 2,6331 2,6158 2,5484 18 2,6667 2,6404 2,6168 2,5956 2,5764 2,5590 2,4912 19 2,6171 2,5907 2,5670 2,5457 2,5265 2,5089 2,4408 20 2,5731 2,5465 2,5228 2,5014 2,4821 2,4645 2,3959 21 2,5338 2,5071 2,4833 2,4618 2,4424 2,4247 2,3558 22 2,4984 2,4717 2,4478 2,4262 2,4067 2,3890 2,3198 23 2,4665 2,4396 2,4157 2,3940 2,3745 2,3567 2,2871 24 2,4374 2,4105 2,3865 2,3648 2,3452 2,3273 2,2574 25 2,4110 2,3840 2,3599 2,3381 2,3184 2,3005 2,2303 26 2,3867 2,3597 2,3355 2,3137 2,2939 2,2759 2,2054 27 2,3644 2,3373 2,3131 2,2912 2,2713 2,2533 2,1826 28 2,3438 2,3167 2,2924 2,2704 2,2505 2,2324 2,1615 29 2,3248 2,2976 2,2732 2,2512 2,2313 2,2131 2,1419 30 2,3072 2,2799 2,2554 2,2334 2,2134 2,1952 2,1237 40 2,1819 2,1542 2,1293 2,1068 2,0864 2,0677 1,9943 60 2,0613 2,0330 2,0076 1,9846 1,9636 1,9445 1,8687 80 2,0026 1,9741 1,9483 1,9250 1,9037 1,8843 1,8071 120 1,9450 1,9161 1,8900 1,8663 1,8447 1,8249 1,7462 oo 1,8326 1,8028 1,7759 1,7515 1,7291 1,7085 1,6259 160 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 30 40 ni 60 80 120 oo 1 1001,4140 1005,5980 1009,8000 1011,9080 1014,0200 1018,3000 2 39,4646 39,4729 39,4812 39,4854 39,4896 39,4980 3 14,0805 14,0365 13,9921 13,9697 13,9473 13,9020 4 8,4613 8,4111 8,3604 8,3349 8,3092 8,2573 5 6,2269 6,1750 6,1225 6,0960 6,0693 6,0153 6 5,0652 5,0125 4,9589 4,9318 4,9044 4,8491 7 4,3624 4,3089 4,2544 4,2268 4,1989 4,1423 8 3,8940 3,8398 3,7844 3,7563 3,7279 3,6702 9 3,5604 3,5055 3,4493 3,4207 3,3918 3,3329 10 3,3110 3,2554 3,1984 3,1694 3,1399 3,0798 11 3,1176 3,0613 3,0035 2,9740 2,9441 2,8828 12 2,9633 2,9063 2,8478 2,8178 2,7874 2,7249 13 2,8372 2,7797 2,7204 2,6900 2,6590 2,5955 14 2,7324 2,6742 2,6142 2,5833 2,5519 2,4872 15 2,6437 2,5850 2,5242 2,4930 2,4611 2,3953 16 2,5678 2,5085 2,4471 2,4154 2,3831 2,3163 17 2,5020 2,4422 2,3801 2,3481 2,3153 2,2474 18 2,4445 2,3842 2,3214 2,2890 2,2558 2,1869 19 2,3937 2,3329 2,2696 2,2368 2,2032 2,1333 20 2,3486 2,2873 2,2234 2,1902 2,1562 2,0853 21 2,3082 2,2465 2,1819 2,1485 2,1141 2,0422 22 2,2718 2,2097 2,1446 2,1108 2,0760 2,0032 23 2,2389 2,1763 2,1107 2,0766 2,0415 1,9677 24 2,2090 2,1460 2,0799 2,0454 2,0099 1,9353 25 2,1816 2,1183 2,0516 2,0169 1,9811 1,9055 26 2,1565 2,0928 2,0257 1,9907 1,9545 1,8781 27 2,1334 2,0693 2,0018 1,9665 1,9299 1,8527 28 2,1121 2,0477 1,9797 1,9441 1,9072 1,8291 29 2,0923 2,0276 1,9591 1,9232 1,8861 1,8072 30 2,0739 2,0089 1,9400 1,9039 1,8664 1,7867 40 1,9429 1,8752 1,8028 1,7644 1,7242 1,6371 60 1,8152 1,7440 1,6668 1,6252 1,5810 1,4821 80 1,7523 1,6790 1,5987 1,5549 1,5079 1,3997 120 1,6899 1,6141 1,5299 1,4834 1,4327 1,3104 oo 1,5660 1,4835 1,3883 1,3329 1,2684 1,0000 161 Príloha A - Statistické tabulky 162 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTICA G Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Systém mí modulární stavbu. V multilicenci pro Masarykovu univerzitu jsou k dispozici moduly: Basic Statistics/Tables, Multiple Regression, ANOVA, Nonpara-metrics, Distribution Fitting, Advanced Linear / Nonlinear Models, Multivariate Explorartory Techniques, Industrial Statistics & Six Sigma. Velká mnoZství informací o systemu STATISTICA lze najít na webove strance spolecnosti StatSoft, která je jejím distributorem v Ceske republice (internetova adresa je www.statsoft.cz). Z teto strínky vede rovneZ odkaz na elektronickou ucebnici statistiky. STATISTICA 6 ma nekolik typu oken: ■ spreadsheet (datove okno, ma príponu sta, jeho obsah vsak lze exportovat i v jiních formatech). Do datoveho okna lze nacítat datove soubory nejruznejsích typu (napr. z tabulkovích procesoru, databazove soubory, ASCII soubory). ■ workbook (ma príponu stw). Do workbooku uklídají vístupy, tj. tabulky a grafy. Sklída se ze dvou oken, v levem okne je znízornena stromova struktura vístupu, v pravem jsou samotne vístupy. V levem okne se lze pohybovat mysí nebo kurzorem, mazat, presouvat, editovat apod. Vístupy mohou slouzit jako vstupy pro dalsí analízy a grafy. ■ report (ma príponu str, lze ho ulozit i ve formatu rtf, txt ci htm). Pokud pozadujeme, aby se vístupy ukladaly nejen do workbooku, ale i do reportu, postupujeme takto: Tools - Options - Output Manager - zaskrtneme Also send to Report Window - OK. Report se podobne jako workbook sklada ze dvou oken. Do reportu muzeme vkladat vlastní text, vysvetlující komentare, pozníamky apod. Tabulky a grafy lze v reportu i workbooku díale upravovat. ■ okno grafů (prípona stg, lze ho ulozit i jako bmp, jpg, png a wmf). Získí se tak, ze ve workbooku klikneme pravím tlacítkem na graf a vybereme Clone Graph. ■ programovací okno (prípona svb). Slouzí pro zapis programu v jazyku STATISTICA Visual Basic. Mezi jednotlivími typy oken se prepíname pomocí polozky Window v hlavním menu. 164 B.1. Bodové zpracování četností 1. Zapište do datového okna programu STATISTICA datový soubor, který bude obsahovat znýmky z matematiky, angličtiny a ýdaje o pohlaví dvaceti studentu (viz príklad 1.10). Navod: File - New - Number of variables 3, Number of cases 20, OK. 2. Znaky nazvete X, Y, Z, vytvorte jim nývestí (X - znamka z matematiky, Y - znamka z angličtiny, Z - pohlaví studenta) a popiste, co znamenají jed-notlive varianty (u znaku X a Y: 1 - víborne, 2 - velmi dobre, 3 - dobre, 4 - neprospel, u znaku Z: 0 - zena, 1 - muz). Soubor ulozte pod nízvem znamky.sta. Nívod: Kurzor nastavíme na Var1 - 2x klikneme mysí - Name X - Long Name znamka z matematiky, Text label - 1 víborně, 2 velmi dobre, 3 dobre, 4 neprospel, OK. U promenne Y lze text label okopírovat z promenne X -v Text Labels Editor zvolíme Copy from variable X. Prepínaní mezi číselními hodnotami a jejich textovím popisem se deje pomocí tlačítka s obrázkem stítku. 3. U znaku X a Y vypoctete absolutní cetnosti, relativní cetnosti a relativní kumulativní cetnosti. Nívod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK - Summary. Vsechny tri tabulky se ulozí do workbooku a listovat v nich muzeme pomocí stromove struktury v levem okne. 4. Vytvorte sloupkoví diagram absolutních cetností znaku X a Y. Navod: Graphs - Histograms - Variables X, Y - OK - vypneme Normal fit - Advanced - zaskrtneme Breaks between Columns, OK. Vytvorte vísecoví diagram absolutních cetností znaku X a Y. Navod: Graphs - 2D Graphs - Pie Charts - Variables X, Y - OK - Advanced - Pie legend Text and Percent (nebo Text and Value) - OK. Vytvorte polygon absolutních cetností znaku X a Y. Navod: ve workbooku vstoupíme do tabulky rozlození cetností promenne X. Pomocí Edit - Delete - Cases vymazeme radek oznacení Missing. Nastavíme se kurzorem na Count - Graphs - Graphs of Block Data - Line Plot:Entire Columns. Vykreslí se polygon cetností. 5. Vytvorte graf empiricke distribucní funkce znaku X. Navod: Pri tvorbe histogramu zadame v Advanced volbu Showing Type Cumulative, Y axis % - 2 x klikneme mysí na pozadí grafu - otevre se okno All Options - vybereme Plot: Bars - Type Rectangles. V tomto grafu jsou vsak svisle cary az k vodorovne ose. Lze pouzít i jiní typ grafu: vytvoríme noví datoví soubor, kterí bude mít dve promenne a prípadu o dva víc nez je pocet variant znaku X. Do 1. promenne zapíseme do 1. radku hodnotu o 1 mensí nez je 1. varianta znaku X, pak varianty znaku X a nakonec hodnotu o 1 vetsí nez je poslední varianta znaku X. Do 2. promenne zapíseme 0, pak relativní kumulativní cetnosti znaku X (v procentech) a nakonec 100. Graphs - Scatterplots -Variables V1, V2 - OK - vypneme Linear fit - OK -2x klikneme na pozadí grafu - Plot:General - vypneme Markers, zaskrtneme Line - Line Type: Step - OK. 165 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Vytvořte graf četnostní funkce znaku X. Návod: Při tvorbe histogramu zadáme v Advanced Y axis % - 2x klikneme mysí na pozadí grafu - vybereme Plot General - zaškrtneme Markers -vybereme Plot:Bars - Type Lines. 6. Z datoveho souboru vyberte pouze zeny (pouze muze) a ukol 3 proved'te pro zeny (pro muze). Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK - Select Cases - zaskrtneme Selection Conditions - Include cases - zaskrtneme Specific, selected by Z = 0, OK. 7. Nadale pracujte s celym datovým souborem. Vytvorte kontingencní tabulku absolutních cetností znaku X a Y a graf simultanní cetností funkce. Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Tables and banners - OK -Select cases - All - OK - Specify tables - List 1 X, List 2 Y, OK, Summary. Vytvorení grafu simultanní cetnostní funkce: Navrat do Crosstabulation Tables Result - 3D histograms - vybereme Axis Scaling - Mode Manual - Minimum 0 (a totez provedeme pro Axis Y) - dale vybereme Graph Layout - Type - Spikes - OK. Graf lze natacet pomocí Point of View. Vytvorte kontingencní tabulku sloupcove a radkove podmínenych relativních cetností znaku X a Y. Navod: Navrat do Crosstabulation Tables Result - Options - zaskrtneme ve sloupci Compute tables volbu Percentages of column counts (resp. Percentages of row counts). 166 B.2. Intervalové zpracování četností 1. Zapište do datového okna programu STATISTICA datový soubor, který bude obsahovat ýdaje o mezi plasticity oceli a mezi pevnosti (viz príklad 2.13). Promenným X a Y vytvorte nývestí „mez plasticity" a „mez pevnosti". Soubor pak ulozte pod nazvem ocel.sta. Navod: viz 1. cvicem, bod 1. 2. Pro X a Y pouzijeme intervalove zpracovaný cetnostý Pro aplikaci Sturger-sova pravidla potrebujeme znat pocet variant promenne X a Y. Navod: Zjistený absolutných cetnostý - viz 1. cvicený bod 3. Zjistený poctu variant: ve workbooku se nastavýme kurzorem na sloupec Count - 2 x klikneme mysý - vybereme Values/Stats - ve výstupný tabulce se objeví' mj. N. Pocet variant je N—1. (X ma 50 variant, Y ma 52 variant, v obou prýpadech volýme 7 trýdicých intervalu.) Dale musýme zjistit minimum a maximum, abychom vhodne stanovili to'did intervaly. Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive statistics - Variables X, Y - zaskrtneme Minimum & maximum - Summary. (Pro X je minimum 33 a maximum 160, tedy vhodný volba trýdicých intervalu je (30, 50), 50, 70),. .., (150,170) - viz poklad 2.13, pro Y je minimum 52 a maximum 189, tedy to'did intervaly zvoh'me (50, 70), 70, 90, ... 170,190) - viz poklad 2.19.) 3. Vytvorte histogram pro X a pro Y. Nývod: Graphs - Histograms - Variables X - vypneme Normal fit - Advanced - zaskrtneme Boundaries - Specify Boundaries - 50 70 90 110 130 150 170 OK - Y Axis %. 2 x klikneme na pozadý grafu a ve volbe All Options muzeme menit räzne vlastnosti grafu. Upozornený: STATISTICA v histogramu znýzorňuje relativný cetnost výskou obdelmku, nikoliv jeho plochou, coz nem v souladu s definic! 2.14. 4. Proveďte zakódovým hodnot promenných X a Y do poslusných trýdicých intervalu. Navod: Insert - Add Variables - 2 - After Y - OK - prejmenujeme je na RX a RY. Nastavýme se kurzorem na RX - Data - Recode - vyplm'me podmínky pro vsech 7 kategorh'. (Pozor - podmýnky se musý psýt ve tvaru X>30 and X<=50 atd.). Pak klepneme na OK. Analogicky pro Y. 5. Vytvorte graf intervalove empiricke distribucný funkce pro X. Nývod: Vytvoome Frequency table pro RX. Pred 1. pfípad vlozýme radek, kde do Category napýíseme 0 a do Cumulative Count take 0. Nastavýme se kurzorem na Cumulative Percent - Graphs - Graphs of Block Data - Custom Graph from Block by Column - Line Plots (Variables) - OK. 2 x klikneme na pozadý grafu - Plot: General - vypneme Markers - Axis: Scaling - Mode Manual - Minimum 1, Maximum 9 - Axis: Custom Units - Position 1, Text 30 atd az Position 9, Text 190 - OK. 6. Sestavte kontingencm tabulky absolutných cetnostý (relativných cetnostý sloupcove a radkove podmmených relativných cetnostý) dvourozmerných trýdicých intervalu pro (X,Y). Navod: Viz ýkol c. 6 ve cvicený 1, kde budeme pracovat s promennými RX a RY. 167 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.3. VýpoCet Číselných charakteristik jednorozmerného a dvourozmerneho souboru, regresní přímka 1. Načtěte soubor znamky.sta. Pro známky z matematiky a angličtiny vypočtěte medián, dolní a horní kvartil a kvartilovou odchylku. Výsledky porovnejte s príkladem 3.5. Navod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK -Variables X, Y, OK - zaskrtneme Median, Lower & upper quartiles, Quartile range - Summary. 2. Nactete soubor ocel.sta. Pro mez plasticity a mez pevnosti vypoctete aritme-ticke prumery, směrodatne odchylky a rozptyly. Výsledky porovnejte s príkladem 3.17. Níavod: Níavod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK - Variables X, Y, OK - zaěskrtneme Mean, Standard Deviation, Variance - Summary. Vysvetlení: Rozptyl a smerodatný odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak nez v príklad 3.17, protoze STATISTICA ve vzorci pro vípocet rozptylu nepouzíví 1/n, ale 1/(n — 1) - bude objasneno pozdeji v matematicke statistice. 3. Nakreslete dvourozměernyí teěckovyí diagram pro (X,Y). Navod: Graphs - Scatterplots - Variables X,Y - OK - vypneme Linear fit - OK. 4. Vypoctete kovarianci a koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Vyísledky porovnejte s pěríkladem 3.17. Naívod: Statistics - Multiple Regression - Variables Independent X, Dependent Y - OK - OK - Residuals/assumption-prediction - Descriptive statistics - Covariances. Pro získaní korelacního koeficientu zvolíme Correlation místo Covariances. Vysvěetlení: Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak neěz v pěríkladu 3.17, protoze ve STATISTICE se ve vzorci pro vípocet kovariance nepouzíva ale 1/(n — 1) - bude objasneno pozdeji. 5. Urcete koeficienty regresní prímky meze pevnosti na mez plasticity a stanovte index determinace. Urcete regresní odhad meze pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diagramu. Níavod: V tabulce Multiple Regression zvolíme Variables Independent X, Dependent Y - OK - Summary:Regression results. Ve vyístupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na rídku oznacenem Intercept, koeficient b\ ve sloupci B na radku oznacenem X, index determinace pod oznacením R2. Pro vípocet predikovane hodnoty zvolíme Residuals/assumption/prediction Predict dependent variable X:110 - OK. Ve vístupní tabulce je hledana hodnota oznaěcena jako Predictd. Nakreslení regresní pěrímky: Níavrat do Multiple Regression - Residuals / assumption / prediction - Perform residuals analysis - Scatterplots - Bivariate correlation - X, Y - OK. Jiní zpusob: Do dvourozmerneho teckoveho diagramu nakreslíme regresní pěrímku tak, ěze v tabulce 2D Scatterplots zvolíme Fit Linear, OK. 168 B.4. VypoCty pravděpodobností s využitím distribuCní funkce binomickěho rozložení Označme X náhodnou veličinu. Její distribuční funkci zavedeme vztahem $(x) = P(X < x). Pokud náhodná veličina X nabývá pouze konečne nebo spočetne mnoha hodnot, lze pomočí $(x) vyjadrit nasledujíčí pravdepodobnosti: a) P (X = x) = P (X < x) - P (X < x - 1) = $(x) - $(x - 1); b) P (x > x) = 1 - P (X < x) = 1 - P (X < x - 1) = 1 - $(x - 1); č) P(xi < X < x2) = P(xi - 1 < X < x2) = $(x2) - $(xi - 1). STATISTICA poskytuje hodnoty distribučníčh funkčí mnoha rozlození. Omezíme se na binomické rozložení (funkče IBinom(x, p, n), kde x ... počet íspečhu, p ... pravdepodobnost íspečhu v jednom pokusu, n ... čelkoví počet pokusu). Vzorový príklad na binomické rozložení: Pojistovna zjistila, ze 12% po-jistníčh udalostí je zpusobeno vloupaním. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 30 níhodne vybraními pojistními udalostmi bude zpusobeno vloupaním a) nejvíse 6, b) aspoň 6, č) prave 6, d) od dvou do peti? Řešení: X ... počet pojistníčh udalostí zpusobeníčh vloupaním , n = 30, p = 0,12. ad a) P (X < 6) = $(6) = 0,9393, ad b) P (x > 6) = 1 - P (X < 5) = 1 - $(5) = 0,1431, ad č) P (X = 6) = $(6) - $(5) = 0,0825, ad d) P(2 < X < 5) = $(5) - $(1) = 0,7469. Postup ve STATISTICE: Otevreme noví datoví soubor se čtyrmi promenními a o jednom prípadu. Řešení: Do Long Name 1. promenne napíseme =IBinom(6;0,12;30). Do Long Name 2. promenne napíseme =1-IBinom(5;0,12;30). Do Long Name 3. promenne napíseme =IBinom(6;0,12;30)-IBinom(5;0,12;30). Do Long Name 4. promňenníe napíňseme =IBinom(5;0,12;30)-IBinom(1;0,12;30). (Do Lange Name promňenníe vstoupíme tak, ňze v datovíem oknňe 2x klikneme mýňsí na níazev promňenníe.) Kreslení grafu distribucní funkce a pravdepodobnostní funkce bino-mickeho rozlození Vzoroví príklad: Nakreslete graf distribuční funkče a pravdepodobnostní funkče níhodne veličiný X ~ Bi(12; 0,3). Postup ve STATISTICE: Výtvoňríme novýí datovýí soubor o 3 promňennýíčh a 13 pňrípadečh. První promňennou nazveme X a uloňzíme do ní hodnotý 0, 1,. . . , 12 (do Long Name napíňseme =v0-1). Druhou promňennou nazveme DF a uloňzíme do ní hodnotý distribuční funkče (do Long Name napíseme príkaz =IBinom(x;0,3;12)). Tňretí promňennou nazveme PF a uloňzíme do ní hodnotý pravdňepodobnostní funkče (do Long Name napíňseme pňríkaz =Binom(x;0,3;12)). Graf distribucní funkce: Graphs - Sčatterplots - Variables X, DF - OK - vý-pneme Linear fit - OK - 2 x klikneme na pozadí grafu - Plot: General - zaskrtneme Line - Line Týpe: Step - OK. 169 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Graf pravděpodobnostní funkce: Graphs - Scatterplots - Variables X, PF -OK - vypneme Linear fit - OK. Podle tohoto navodu nakreslete grafy distribučních a pravdepodobnostních funkcí binomickeho rozložení pro ruzna n a p, napr. n = 5, p = 0,5 (resp. 0,75) apod. Sledujte vliv parametru na vzhled grafu. 170 B.5. Grafy hustot a distribučních funkcí, výpočet kvan-tilů STATISTICA umí kreslit grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení a počítat kvantily techto rozložení. Slouží k tomu Probability Calculator v menu Statistics. Zameríme se na rozložení uvedena definici 8.6. 1. Rovnoměrné spojité rozloženi Rs (0,1) Statistics - Probability Calculator - Distributions - Beta - shape 1 - napíse-me 1, shape 2 - napíseme 1. STATISTICA vykreslí graf hustoty a distribucní funkce. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku Beta objeví hodnota tohoto kvantilu. 2. Exponenciélné rozložené Ex (A) Ve volbe Distributions vybereme Exponential a do okenka lambda napíseme patricnou hodnotu. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku exp objeví hodnota tohoto kvantilu. 3. Normélné rozložené N (y, a2) Ve volbe Distributions vybereme Z (Normal), do okenka mean napíseme hodnotu y a do okenka st. dev. napíseme hodnotu a. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku X objeví hodnota tohoto kvantilu. 4. Pearsonovo rozloženi ché-kvadrat s n stupni volnosti x2(n) Ve volbe Distributions vybereme Chi 2 a do okenka df napíseme patricní pocet stupňu volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku Chi 2 ob jeví hodnota tohoto kvantilu. 5. Studentovo rozložené s n stupni volnosti t(n) Ve volbe Distributions vybereme t (Student) a do okenka df napíseme patricní pocet stupňu volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okíenku t objeví hodnota tohoto kvantilu. 6. Fisherovo-Snedecorovo rozložené s n\ a n2 stupni volnosti F(n\,n2) Ve volbe Distributions vybereme F (Fisher) a do okenek df1 a df2 napíseme pocet stupňu volnosti citatele a jmenovatele. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okíenku F objeví hodnota tohoto kvantilu. 171 Príloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.6. Intervaly spolehlivosti pro parametry normalního rozložení 1. Interval spolehlivosti pro strední hodnotu, kdyz nezname rozptyl: pro tuto situaci umí STATISTICA vypocítat meze intervalu spolehlivosti sama. Príklad: Pri kontrole peti balícku cukru o deklarovane hmotnosti 1000 g byly zjisteny tyto odchylky: —3, 2, —2, 0, 1. Odchylky povazujeme za realizace níhodneho víberu rozsahu 5 z rozlození N (p, a2). Sestrojte 90% interval spolehlivosti pro p. Navod: Vytvoríme noví datoví soubor o jedne promenne a peti prípadech. Zapíseme do nej uvedene odchylky. Statistics - Basic Statistics/Tables -Descriptive statistics - OK - Advanced - Variables vl, OK, zaskrtnete Conf. limits for mean - Interval 90%, Summary. 2. Ve vsech ostatních prípadech postupujeme podle vzorcu uvedeních ve vetích 12.9 a 12.13. Uved'me postup pro situaci, kdy hledame interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot dvou nezavislích normílne rozlozeních nahodních víberu, kdyz nezníme rozptyly, ale víme, ze jsou shodne. Príklad: Na jiste velke americke univerzite bylo v r. 1969 nahodne vybrano 5 profesorek a nezavisle na tom 5 profesoru a byl zjisten jejich rocní príjem v tisících dolaru. Zeny: 9 12 8 10 16, muzi: 16 19 12 11 22. Predpokladíme, ze uvedene hodnoty jsou realizace dvou nezívislích nahodních víberu, první z rozlození N(p2,a2), druhí z rozlození N(p2,a2). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot. Nívod: Vytvoríme noví datoví soubor o ctyrech proměnních (Plat, Sex, HorniMez, DolniMez) a 10 prípadech. Do promenne Plat napíseme príjmy zen, pak príjmy muzu. Do promenne Sex napíseme 5 x jednicku a 5 x dvojku (1=zena, 2=muz). Pomocí Descriptive statistics zjistíme prumery a rozptyly platu zen a muzu. (Víber zen ci muzu: viz cvicení 1, íkol 5.). Vísledky: m2 = 11, s2 = 10, n2 = 5, m2 = 16, s2, = 21,5, n2 = 5. Do Long Name proměenníe DolniMez napííěseme vzorec pro dolníí mez (viz veěta 12.13 (b)): =11-16-sqrt((4*10+4*21,5)/8)*sqrt(1/5+1/5)*VStudent(0,975;8) Do promenne DolniMez se 10 x ulozí hodnota —10,79. Do Long Name pro-měenníe HorniMez napííěseme vzorec pro horníí mez (viz věeta 12.13 (b)): =11-16+sqrt((4*10+4*21,5)/8)*sqrt(1/5+1/5)*VStudent(0,975;8) Do proměenníe HorniMez se 10x uloězíí hodnota 0,79. Znamenaí to, ěze s pravdepodobností aspoň 0,95 lezí rozdíl stredních hodnot platu zen a muzu v intervalu (—10,79; 0,79). Tento vísledek vsak nema praktickí víznam, protoze rozsahy obou víberu byly prílis male. Príklad: Vyreste pomocí STATISTIKY príklad 12.16. Níavod: Vytvoěríme novyí datovyí soubor o těrech proměennyích (Leva, Prava, Rozdil) a ěsesti pěrípadech. Do prvních dvou proměennyích zapíěseme zjiěstěeníe hodnoty. Do LongName proměenníe Rozdil napíěseme =Leva - Prava a nyní postupujeme stejněe jako v uíkolu 1. 172 B.7. Zení Testovaní hypotez o parametrech normálního rozlo- Jednovýběrový ť-test Příklad: Při kontrole balicího automatu, který má plnit cukrem balíčky o hmotnosti 1000 g, byly při přesném převážení peti balíčkU zjisteny tyto odchylky (v gramech) od požadovane hodnoty: 3, —2, 2, 0, 1. Na hladine významnosti 0,05 testujte hypotezu, že automat nema systematickou odchylku od požadovane hodnoty. Nívod pro provedení ť-testu: Vytvorte soubor o jedne promenne X a peti prípadech. Do X zapište namierene hodnoty. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, single sample, OK, Variables X, zaskrtnete Test all means agains 0, Summary. Ve vyístupní tabulce najdete hodnotu testovíeho kritíeria a p-hodnotu. Pokud p-hodnota nabude hodnoty < a, pak se nulovou hypotezu zamíta na hladine víznamnosti a. Dvouvýberový ť-test Příklad: Na jiste velke americke univerzite bylo v r. 1969 níhodne vybrano 5 profesoru a nezíviste na tom 5 profesorek a byl zjisten jejich rocní príjem v tisících dolaru. Ženy: 9 12 8 10 16 Muži: 16 19 12 11 22 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota příjmu žen je stejná jako střední hodnota příjmu mužU. Návod: Vytvořte souboř o dvou přomenných (Plat a Sex) a 10 případech. Do přomenne Plat napiste příjmy žen a mužu a do přomenne Sex dejte 5 x jedničku a 5x dvojku. V menu Basic Statistics/Tables vybeřte volbu t-test, independent, by gřoups, OK, Variables - Grouping Sex, Dependent Plat, OK, Summařy T-tests. Ve vístupní tabulce se nejprve podívejte na p-hodnotu pro test homogenity řožptylu. Je-li vetsí než žvolena hladinu vížnamnosti, žjistete hodnotu testoveho kriteria a p-hodnotu přo test shody středních hodnot. V opacnem případe žaskřtnete v Options volbu t-test with sepařate variance estimates. Párová t-test Příklad: Na hladine víznamnosti 0,05 rozhodnete, zda se u osobního vozu urcite znacky pri spravnem serízení geometrie vozu sjízdejí obe prední pneumatiky stejne rychle. Bylo vybrano sest novích vozu a po urcite dobe bylo zjisteno, o kolik mm se sjely jejich leve a prave prední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Návod: Vytvorte soubor o dvou promenních (Leva a Prava) a sesti prípadech. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, dependent samples, OK, Variables Leva, Prava - Summary. 173 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTICA B 174 Zavěr Závěr Učební text, který jste právě dočetli, byl určen k prvnímu seznámení s matematickou disciplinou nazývanou statistika. Autorským zámerem bylo ukázat vám, ze statistika ve sve popisne forme dokýze pomoci nekolika výstižných charakteristik zprehlednit informace obsazene ve velkých datových souborech, zatímco ve sve induktivní forme zalozene na poctu pravdepodobnosti slouzí predevsím jako nástroj rozhodování v situacích ovlivnených náhodou, kdy na základe znalosti nýhodneho vyberu z urciteho rozlození pravdepodobnosti usuzuje na vlastnosti tohoto rozlození. V soucasnosti je statistika velice rozvinutý a dulezitá veda, která se neustále doplnuje a rozsiruje o nove poznatky. Z tohoto duvodu muze být tento ucební text jen znacne omezenym uvodem, ktery vsak mý dostatecnou oporu v obecnych statistických principech. V seznamu literatury samozrejme najdete knihy, ktere vám poslouzí pri prohlubování a rozsirovýní vasich statistických znalosti, bez nichz se dnes neobejde zádny absolvent ekonomicky zamerene vysoke skoly. Od ekonoma se totiz ocekává, ze bude rozhodovat nejenom na základe svých zkusenosti, ale predevsím na základe matematickych a statistických analyz. Proto musí být schopen sám provest jednodussí analýzy a u tech slozitejsích najít spolecnou rec se statistiky, aby jim mohl zadávat ýkoly a správne interpretovat výsledky techto analýz. Jak jste jiz zjistili, pouziti statistickeho programoveho systemu STATlSTICA osvobozuje uzivatele od namáhavých ukomi, jako je vyhledávání v datech, jejich trídení, sumarizace a graficke znázornení. Dbejte vsak na to, aby data byla do pocítace vkládána peclive a vzdy byla podrobená kontrole. Napr. je uzitecne pro kazdou promennou vypocítat minimum, maximum, medián, kvartilovou odchylku, vykreslit sloupkovy diagram, dvourozmerný teckový diagram apod. Pri zpracování dat rozhodne pouzívejte jen ty metody, kterým dobre rozumíte a jejichz výsledky umíte interpretovat. System STATlSTICA obsahuje velke mnozství metod, jejichz neadekvýtní aplikace muze vest k zavýdejícím ci dokonce chybnym záverum. Po uspesnem zvládnuti predmetu „Statistika" se pred vými otevírají znacne moznosti, jak efektivne získávat informace obsazene v datech a vyuzívat je ve sve kazdodenní práci.