2 Maticová algebra
Matematika pro ekonomy
Jaro 2012
Ivana Vaculová

Osnova
•1 Matice – základní pojmy (definice, typ matice, řádkové a sloupcové vektory)
•2 Druhy matic -  nulová matice,
-jednotková matice,
-transponovaná matice,
-čtvercová matice - regulární, singulární,
-trojúhelníková matice.
•3 Základní maticové operace – rovnost matic,
-součet matic,
-reálný násobek matice,
-součin matic.
•4 Determinant
•5 Inverzní matice
•6 Hodnost matice
•7 Soustava lineárních rovnic
2

1 Matice – základní pojmy
•Definice 1.1:
•Schéma m.n reálných (komplexních) čísel
•
•
•                A =                                              nazýváme maticí A typu (m, n).
3
Poznámky:
1.Čísla aij  jsou prvky matice. Přitom aij značí prvek, který leží v i-tém řádku a     j-tém
sloupci matice A. Index i se proto nazývá řádkový index prvku aij  a j sloupcový index prvku aij .
2. Je-li m = n, pak matici A nazýváme čtvercovou maticí řádu n.
3. Je-li A matice řádu n, pak aritmetický vektor (a11, a22, ann) se nazývá její hlavní diagonála a
aritmetický vektor (a1n, a2, n-1, ... , an1) její vedlejší diagonála.
4. Každý z m řádků matice A můžeme chápat jako n-rozměrný aritmetický vektor, každý z  n sloupců
můžeme chápat jako m-rozměrný aritmetický vektor.
5. Matice budeme označovat velkými písmeny A, B, ... nebo (aij).

2 Druhy matic
4
ØNulová matice 0 je matice, jejíž všechny prvky jsou rovny nule.
Ø
ØJednotková matice E je čtvercová matice řádu n, jejíž všechny prvky v hlavní diagonále se rovnají
1 (aii = 1) a ostatní prvky jsou rovny 0 (aij = 0 pro i ≠ j).
Ø
                                E =                   - jednotková matice 3. řádu.
Ø
Ø
ØMaticí transponovanou AT k matici A typu (m, n) rozumíme matici typu (n, m), kterou získáme z
matice A výměnou řádků za sloupce.
Ø
ØMatice A se nazývá symetrická, platí-li A = AT. Je to tedy čtvercová matice, jejíž prvky
symetricky umístěné vzhledem k hlavní diagonále jsou stejné.
Ø
ØMatice A typu (m, n), která má pod, resp. nad diagonálními prvky aii samé nuly, takže aij = 0 pro
i > j, resp. i < j, se nazývá trojúhelníková.

5
3 Základní operace s maticemi
Definice 3.1
Dvě matice A, B stejného typu (m, n) považujeme za sobě rovné a píšeme A = B, mají-li všechny
odpovídající prvky stejné, tj. aij = bij , pro všechna i = 1, ... , m,       j = 1, ... , n.
3.1 Rovnost matic

6
Definice 3.2
Nechť matice A = (aij), B = (bij), jsou téhož typu (m, n). Pak jejich součtem rozumíme matici C = A
+ B, kde cij = aij + bij pro všechna i = 1, ... , m, j = 1, ... , n.
Definice 3.3
Součinem matice A = (aij) typu (m, n) a reálného čísla k nazýváme matici
B = k . A , kde bij = kaij pro všechna i = 1, ... , m, j = 1, ... , n.
3.2 Součet matic
3.3 Násobení matic reálným číslem

•Komutativní zákony
•                                      A + B = B + A ,             k.A = A.k ,   k ∈ R.
•Asociativní zákony
•                     (A + B) + C = A + (B + C),            k.(l.A) = (k.l).A, k, l ∈ R.
•Distributivní zákony
•                           k.(A + B) = k.A + k.B,            (k + l)A = k.A + l.A, k, l ∈ R.
•Existence nulové matice
•Existuje taková matice 0, že pro každou matici A platí:
•A + 0 = A.
•Existence opačné matice
•Ke každé matici A existuje taková matice -A, že
• A + (-A) = 0.
7
Pozn.: Z uvedeného vyplývá, že množina všech matic typu (m, n) tvoří vzhledem k operacím sčítání
matic a násobení matice reálným číslem vektorový prostor.
Pravidla pro sčítání matic a násobení matice reálným číslem:

8
Definice 3.4
Nechť A = (aij) je maticí typu (m, n) a B = (bjk) je matice typu (n, p).
Součinem matic A.B (v tomto pořadí) je matice C = A.B = (cik) typu (m, p), kde
cik = ajn=Σ1ij.bjk = ai1.b1k + ai2.b2k + ... + ain.bnk.
3.4 Součin matic

•Asociativní zákon
•(A.B).C = A.(B.C).
•Distributivní zákony
•(A + B).C = A.C + B.C ( pro násobení zprava),
•C.(A + B) = C.A + C.B ( pro násobení zleva).
•
•Násobení jednotkovou maticí E
•A.E = E.A = A pro každou čtvercovou matici A řádu n.
•
•Násobení  nulovou matici 0
•A.0 = 0.A = 0.
•
•Je-li A.B = 0, pak nemusí být ani A = 0, ani B = 0.
•
•Obecně neplatí komutativní zákon, tj. obecně A.B ≠ B.A.
•
•Existuje-li součin matic A.B, pak (A.B)T = BT. AT.
9
Pravidla pro násobení matic:

4 Determinanty
•Definice 4.1:
•Determinantem (řádu n) čtvercové matice A řádu n, jejímiž prvky aij jsou reálná (popř. komplexní)
čísla, nazýváme číslo, které značíme det A; │A│ a definujeme takto:
•1. Je-li n = 1, pak det A = a11.
•2. Pro n ≥ 2 je
•
•
•
•
•
•
•
•
• kde matice A1j vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j-tého sloupce.
10

11
Při výpočtu det A (n = 2) postupujeme tak, že od součinu prvků na hlavní diagonále odečteme součin
prvků na vedlejší diagonále:
4.1 Výpočet determinantu matice A řádu n = 2

12
A)Užitím definice pro výpočet det A, kde A je řádu n ≥ 2:
B)
B)
B)
B)
A)
A)
A)
A)
B)Pomocí tzv. Sarrusova pravidla:
4.2 Výpočet determinantu matice A řádu n = 3

13
Věta (Laplaceův rozvoj)
Pro čtvercovou matici A řádu n platí:
- rozvoj determinantu podle i-tého řádku,

- rozvoj determinantu podle j-tého sloupce,
kde matice Aij vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
Poznámky
1. Determinant matice Aij nazýváme subdeterminantem vzhledem k prvku aij.
2. Součin (-1)i+j. det Aij nazýváme algebraickým doplňkem prvku aij a značíme
A)
A)
A)
A)
A)
A)
4.2 Výpočet determinantu matice A vyšších řádů

14
Věta 4.2.1
Vyměníme-li ve čtvercové matici A navzájem dva řádky (sloupce), pak pro takto vzniklou matici B
platí: det B = - det A.
Věta 4.2.2
Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0.
A)
Věta 4.2.3
Nechť matice B vznikne tak, že k p-tému řádku (sloupci) čtvercové matice A řádu n přičteme k
násobek, k ∈ R, q-tého řádku (sloupce), p ≠ q.
Pak platí det A = det B.
A)
Poznámka
Čtvercová matice A řádu n ≥ 2, jejíž determinant det A ≠ 0, se nazývá regulární. V opačném případě
jí říkáme singulární (det A = 0).
A)
4.2 Pomocné věty pro výpočet determinantu

15
Definice 5.1
 Inverzní maticí k čtvercové matici A řádu n rozumíme takovou čtvercovou matici A-1 řádu n, pro
kterou platí:
A . A-1 = A-1. A = E,      kde E je jednotková matice řádu n.
5 Inverzní matice

16
Definice 6.1
Nechť A = (aij) je matice typu (m, n). Považujme řádky za aritmetické vektory vektorového prostoru
Vn. Hodnost matice A je r (značíme h(A) = r), existuje-li r lineárně nezávislých řádků matice A a
každých r+1 řádků je lineárně závislých.
6 Hodnost matice
Věta 6.1
 Nechť A je libovolná matice typu (m, n). Hodnost matice A se nezmění při kterékoliv z
následujících elementárních úprav:
a)záměně pořadí řádků (sloupců),
b)násobení jednotlivých řádků (sloupců) čísly ki ≠ 0,
c)přičtení k některému řádku (sloupci) lineární kombinace zbývajících řádků (sloupců),
d)vynecháním řádku, který je lineární kombinací zbývajících řádků.
Poznámka
Hodnost matice A typu (m, n) bychom mohli definovat pomocí sloupcových vektorů z vektorového
prostoru Vm. Obě definice vedou k témuž výsledku h(A) = r.

17
Mějme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých x1, ... , xn ∈R
můžeme přepsat na tvar

  Označme:
7 Soustava lineárních rovnic
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
     :            :
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm,
A.X=B
Poznámka:
Jestliže bk = 0 pro k = 1, ... , m, pak soustavu (1) nazýváme soustavou homogenních rovnic.
Jestliže je alespoň jedno bk ≠ 0, hovoříme o soustavě nehomogenních rovnic.
Pak
je maticový zápis rovnice.
vektor neznámých
vektor pravých stran
rozšířená matice soustavy
matice soustavy
Je-li matice A regulární, pak má soustava lineárních rovnic A.X = B právě jedno řešení:
(U rozsáhlejších soustav je však řešení pomocí inverzní matice náročné, proto častěji využíváme
tzv. Gaussovu eliminační metodu.)

18
Předpokládejme, že matice A′|B′ vznikne z rozšířené matice soustavy A|B úpravami:
a)výměnou dvou řádků,
b)vynásobením řádku číslem různým od nuly,
c)vynecháním řádků se samými nulami,
d)přičtením k-násobku (k ≠ 0) řádku k jinému řádku.
Pak soustavy A . X = B a A´. X = B′ mají stejná řešení. Správnost úvahy vyplývá z toho, že každý
řádek rozšířené matice soustavy odpovídá příslušné rovnici. Uvedené úpravy můžeme s rovnicemi
provádět.
Úpravy a) až d) nemění hodnost matice A ani matice A|B.
Užitím úprav a) až d) budeme postupně upravovat rozšířenou matici soustavy
na trojúhelníkový tvar tak, aby aij = 0 pro i > j.
Na takto upravenou soustavu rovnic poté aplikujeme Frobeniovu větu:
1) Soustava AX = B má řešení ó h (A) = h (A│b) = k
2) Pokud k < n …soustava má nekonečně mnoho řešení.
    Pokud k = n ….soustava má právě jedno řešení.
7.1 Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních rovnic

Literatura
•Kaňka M. a kol. Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty.  Praha: Victoria Pubishing, 1996.
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Kočandrle, M. Boček, L. Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, Praha: Prometheus, 1995.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/08_MI_KAP%202_1.pdf
•
19