MATEMATIKA
vyšší úroveň obtížnosti
MAGVD10C0T01
DIDAKTICKY TEST
Didaktický test obsahuje 21 úloh.
• Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu.
• Povolené pomůcky: psací a rysovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu.
Testový sešit
• První část (úlohy 1-10) didaktického testu tvoří úlohy otevřené.
• Ve druhé části (úlohy 11-21) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí.
U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.
• Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je-li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body.
Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají.
Poznámky zapsané do testového sešitu nebudou předmětem hodnocení.
Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu.
Pokyny pro vyplňování záznamového archu
• Pište modrou nebo černou propisovací tužkou.
• Výsledky otevřených úloh pište čitelně do
vyznačených polí záznamového archu.
1Z
• Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení.
• Zápisy uvedené mimo vyznačená pole se nenačítají a nebudou vyhodnoceny.
• Nejednoznačný nebo nečitelný zápis bude považován za chybné řešení.
• V úlohách s nabídkou odpovědí vyberte správnou odpověď a vyznačte ji křížkem v příslušném poli záznamového archu.
A       B       C       D E
14
• Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole.
A       B       C       D E
14
Maximální bodové hodnocení: 50 bodů
• Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď.
• Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou.
Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!
Úlohy vyřešte a výsledky zapisujte do příslušných polí v záznamovém archu.
Úloha 1 max. 2 body
Jsou dána čísla s = 9 • 10180, t = 54 • 10160. Ve stejném tvaru (součin co nejmenšího přirozeného čísla a mocniny deseti) uveďte čísla a, b:
1. a = s : 45
2. b = s2-.t
Úloha 2 max. 2 body
Pro a > 0 zjednodušte výraz:
(a2 - 2)2 - 4 a4 + 2a3
Úloha 3 max. 2 body
300n
Posloupnost (an)n=i Je určena vzorcem an =
n2+l
3
1. Kolik clenu posloupnosti je vetsich nez - ?
2. Vypočtěte limitu an pro n -> +oo.
Úloha 4
V R řešte:
xlog4*+1 =
(x + l)log8
max. 2 body
Úloha 5 max. 2 body
Je dán čtyřúhelník ABCD (viz obrázek). Strana BC má délku x, strana AD délku d, velikosti úhlů BDC a ABD jsou s a <p, vnitřní úhly při vrcholech A a C jsou pravé. Vyjádřete délku x v závislosti na veličinách s, cp ad.
D
A B
Úloha 6 max. 2 body
V nádobě tvaru válce o poloměru podstavy 5 cm sahá voda do výšky 20 cm. Ponořením ocelové krychle hladina stoupne o 4 cm. Kolik centimetrů měří hrana krychle? Údaj zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
Úloha 7 max. 2 body
x + 2
Ze vztahu y =-vyjádřete pro přípustné hodnoty y proměnnou x.
x + 3
Úloha 8
Reálná funkce / s reálnou proměnnou x je dána předpisem:
/(*) = !-
x + 3
1. Určete průsečíky X a Y grafu funkce / s osami souřadnic x a y.
2. Sestrojte graf funkce /.
4 7
1-1
max. 3 body
o
x
Úloha 9 max. 4 body
Kružnice k se středem S je vepsána do čtverce s vrcholy A[-4; 0],B[2; -2], C [4; 4] a D[-2; 6].
1. Proveďte náčrtek.
2. Určete souřadnice středu S, poloměr r a rovnici kružnice /c. Do záznamového archu uveďte celý postup řešení včetně náčrtku!
Úloha 10 max. 4 body
Během prvních 5 dnů se vyrobilo denně v průměru o čtvrtinu výrobků méně, než se vyrobilo v každém z 10 následujících dnů. Celkem se vyrobilo 2 200 výrobků. Kolik výrobků z tohoto počtu připadá na prvních 5 dnů?
Do záznamového archu uveďte celý postup řešení!
Každou z následujících úloh vyřešte, vyhledejte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu.
Úloha 11 max. 3 body
K výrazům 1-3 přiřaďte ekvivalentní vyjádření z nabídky A - E pro libovolné x e R.
1. (cos x —sin x)2 A) 1
2. cos2 (-x) + sin2 (-x) B) -1
3. 1 — cos 2x C)     1 — sin 2x
D) 2sin2 x
E) není uvedeno
Úloha 12 max. 3 body
V předpisech zobrazení 1-3 doplňte podle obrázku chybějící symboly z nabídky A - E.
C
E
1.    Ve středové souměrnosti se středem R se úsečka AE zobrazí na
2.    V osové souměrnosti s osou      se úsečka DG zobrazí na úsečku IF
3.    V otočení se středem F o úhel a = 60° se úsečka PO zobrazí na
A) AB
B) AC
C) BI
D) EB
E) EC
Úloha 13 2 body
Bod M je vnitřním bodem hrany CG krychle ABCDEFGH. Na které přímce určené vrcholy krychle leží průsečík přímky EM s rovinou ABD?
A) na přímce AC H G
B) na přímce AD
C) na přímce BC
D) na přímce CD
E) na jiné přímce
Úloha 14 2 body
Jaká je odchylka <p přímky p: x\/3 + y = 0 a přímky q: x = VŠ?
A) <p = 90°
B) <p = 60°
C) cp = 45°
D) <p = 30°
E) Přímky jsou rovnoběžné.
Úloha 15 2 body
Určete součet s nekonečné geometrické řady at + a2-\-----h an +    kde pro všechna
přirozená čísla n platí:
471-1
A) součet neexistuje
3
B) s = -
C) s = — ' 16
1
D) s = -
' 4
E) jiná reálná hodnota
Úloha 16 2 body
Pro všechny reálné hodnoty proměnné x platí:
(x + m) (x — 2) = x2 + bx + 8
Který zápis bude po dosazení vypočtených hodnot b, m pravdivý?
A) b = m + 2
B) b < m
C) b - 2m = 0
D) Ď > 0
E) b = 2 — m
Úloha 17 2 body
Značka automobilu se skládá ze šesti znaků. První tři znaky jsou některá z písmen ABCDEF a po nich následuje trojčíslí z číslic 0 až 9. (Znaky se mohou ve značce opakovat, takže existuje například značka ABA020.) Jaký maximální počet aut lze takto označit, když žádná dvě auta nesmí mít stejnou značku?
A) 1 216
B) 27 000
C) 35 568
D) 157 464
E) 216 000
Úloha 18 2 body
Ve firmě jsou zaměstnanci rozděleni do dvou skupin. V první skupině mají zaměstnanci průměrný měsíční plat 45 000 korun, ve druhé pobírají průměrně 30 000 korun. Průměrný měsíční plat všech zaměstnanců firmy je 32 400 korun.
Kolik procent zaměstnanců je zařazeno do druhé skupiny?
A) méně než 75 %
B) alespoň 75 %, ale méně než 80 %
C) alespoň 80 %, ale méně než 85 %
D) alespoň 85 %, ale méně než 90 %
E) nejméně 90 %
Úloha 19 2 body
Martin si půjčil částku 42 000 korun. Na konci každého úrokovacího období splatil 6 000 korun. Po pěti splátkách se dlužná částka snížila na 20 000 korun. Kolik procent z dosud zaplacených peněz šlo na platbu úroků?
A) téměř 24 %
B) téměř 27 %
C) 30 %
D) asi 33 %
E) jiný počet
Úloha 20 2 body
Hledáme komplexní číslo, jehož druhá mocnina je rovna číslu i (tj. imaginární jednotce). Na kterém z obrázků jsou zobrazena obě komplexní čísla zx, z2 s touto vlastností?
A)
		V i
/ 1		A / \
l \ \	0	
		
C)
/
o
\
/
E)
B)
zx *
T
o
\
11
\ I
V2
D)
X
T
/T
v:
\
11
O        / x /
é	
/ /	i A / \ /       V ,
	0        / x /
Úloha 21 max. 3 body
Přirozené číslo n má na předposledním místě pětku a zbývajících 29 cifer tvoří dvojky. O každém z následujících tvrzení 1-4 rozhodněte, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne).
1. Číslo n je dělitelné čtyřmi.
2. Číslo n je dělitelné osmi.
3. Číslo n je dělitelné devíti.
4. Číslo n je dělitelné šesti.
ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDLI VŠECHNY ODPOVĚDI