1. Vývoj představ o atomu
1. 1. Historie do objevu elektronu
V. stol. př. K.
Leukippos (~460-370) Demokritos (~470-371)
1. 1. Historie do objevu elektronu
1808 Dalton – zákon stálých poměrů slučovacích
John Dalton (1766-1844)
1811 Avogadro – molekula, Avogadrovo číslo
Amadeo Avogadro (1776-1856)
−
= ⋅ 23 1
6,022 10 molN
1
1. 1. Historie do objevu elektronu
1833 – Faradayovy zákony elektrolýzy
Michael Faraday (1791-1867)
1859 – objev katodových paprsků
J. J. Thomson (1856-1940)
= ⋅ 4
9,65 10 CF
1. 1. Historie do objevu elektronu
1898 – objev elektronu
1900 – George Johnstone Stoney – název elektron
J. J. Thomson (1856-1940)
= ⋅ ⋅11 -1
1,759 10 C kg
e
m
2
1. 2. První modely atomu
1898 – pudinkový model atomu: J. J. Thomson
J. J. Thomson (1856-1940)
1. 2. První modely atomu
Rutherfordův experiment: 1910-1911
3
1. 2. První modely atomu
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
1. 2. První modely atomu
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
b
ϕ
+,m Ze
+, ,M v e2
υ
JÁDRO
ALFA ČÁSTICE
ε−Ze
q
- úhel odchýlení částiceϕ α
- excentricita hyperbolyε
- minimální vzdálenost částice od jádraq α
v0
( )= ⋅ + cosq ε υ1
= ⇒ =sin
sin
b b
υ ε
ε υ
( )= ⋅ + cos
sin
b
q υ
υ
1
= + ⋅
Ze
Mv Mv
qπε
2
2 2
0
0
1 1 1 2
2 2 4
zákon zachování energie
( )
= + ⋅
+
sin
cos
v Ze
v Mv b
υ
πε υ
2 2
0
2 2
0
4
1
4 1
=při označení
Ze
k
Mvπε
2
2
0
2
4 ( )
= + ⋅
+
sin
cos
v k
v b
υ
υ
2
0
2
2
1
1
4
1. 2. První modely atomu
( ) ( )
−
= + ⋅
++
cos sin
coscos
k
b
υ υ
υυ
2
2
1 2
1
11
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
b
+, ,M v e2
υ
JÁDRO
ALFA ČÁSTICE
q
v0
= ⇒ = =
+
sin
cos
v b
Mvb Mv q
v q
υ
υ0
0 1
( ) ( )
= + ⋅
++
sin sin
coscos
k
b
υ υ
υυ
2
2
2
1
11
Zákon zachování momentu hybnosti:
dosazením do posledního vztahu na předchozí straně:
( )
−
= + ⋅
+ +
cos sin
cos cos
k
b
υ υ
υ υ
1 2
1
1 1
+ = − + ⋅cos cos sin
k
b
υ υ υ
2
1 1
= ⋅ ⇒ =cos sin tg
k b
b k
υ υ υ
2
2
ϕ
 
− 
 = − = − ⇒ = = =
 
− 
 
sin cos
, c
sincos
b
k
otg
π υ ϕ
π ϕ ϕ
ϕ π υ υ
ϕπ υ
2 2 22
2 2 2
22 2
( )+, dϕ ϕ ϕ
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
Jaká je pravděpodobnost odchýlení částice alfa do úhlu
1 m
1 m b
db
( )+, dϕ ϕ ϕOdchýlení o úhly
odpovídá dopadu do mezikruží ( )+, db b b
plocha tohoto mezikruží ⋅db bπ2
celková plocha mezikruží ⋅ ⋅dP b bπ2
kde P je počet atomů Au na ploše
2
m .1 Pravděpodobnost odchýlení je dána
⋅ ⋅dP b bπ2
1
, protože = ⋅cotg ,
2
b k
ϕ
= − ⋅ ⋅d d ,
sin
k
b ϕ
ϕ2
1
2
2
 
= ⋅ ⋅ ⋅ 
 
cos
d d ,
sin
Ze
w P
Mv
ϕ
π ϕ
ϕπε
2
2
30
2
2
2
1. 2. První modely atomu
5
1. 2. První modely atomu
Rutherfordův model atomu (planetární)
z podobnosti Coulombova zákona a zákona gravitačního:
= − ⋅
⋅ ⋅
C
Ze r
F
rrπ ε
2
2
04
= − ⋅G
Mm r
F
rr
κ 2
vyplývá, že atom se musí řídit Keplerovými zákony:
1. Elektrony se pohybují kolem jádra po elipsách, v jejichž společném ohnisku je jádro.
2. Průvodič elektronu opisuje ve stejných časových intervalech stejné plochy.
3. Platí kde T je oběžná doba, a je velká poloosa eliptické dráhy= .
T
konst
a
2
3
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
elektron se pohybuje po kruhové dráze – podléhá zrychlení (dostředivému), podle
klasické elektrodynamiky musí vyzařovat energii ve formě elektromagnetického záření
pokud by elektron padal do jádra a v něm se energie obnovovala, muselo by mít
emitované záření spojité spektrum – spor se skutečností: čárové spektrum
atomy v základním stavu nezáří
6
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
Kirchhoff:
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
( )= , , spektrální zářivost tělesa
E
f T E
A
ν
ν
ν
ν
= ⇒1spektrální pohltivost tělesa, A absolutně černé tělesoAν ν
Wilhelm Karl Werner Wien
(13.01.1864-30.08.1928)
John William Strutt alias Lord Rayleigh
(12.11.1842-1919)
Kirchhoff, G.
(Gustav), 1824 -
1887
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
Rayleigh-Jeans:
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
( )⋅ = ⋅4
2
, d d
kTc
f T
π
λ λ λ
λ
( )⋅ = − ⋅ ⋅2
2
2
, d d
kT
f T
c
π
ν ν ν ν
( )
∞ ∞
⋅ = − ⋅ ⋅ → ∞∫ ∫
2
2
0 0
2
, d d
kT
f T
c
π
ν ν ν ν
ultrafialová katastrofa
James Jeans (1877-1946 )
7
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
Max Planck (1900):
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
−
střední energie "oscilací" není , ale
e
h
kT
h
kT ν
ν
1
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(23.04.1858-04.10.1947)
( )
⋅
⇒ ⋅ = − ⋅
−
d
, d
e
h
kT
h
f T
c ν
π ν ν
ν ν
3
2
2
1
−
= ⋅ ⋅, J sh 34
6 626 10
kvantová emise: energie se z atomů
vyzařuje jen ve formě oddělených
porcí – kvant – energie
kvantum energie má velikost
hν
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
8
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 2. Fotoelektrický jev
Philipp Lenard (1862–1947 )
Aµ
U
1898 Lenard a Thomson: při
fotoelektrickém jevu jsou
uvolňovány elektrony, jejich energie
jsou úměrné frekvenci, ne intenzitě
světla (jak odpovídalo klasické
elektrodynamice) U
I
U01
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 2. Fotoelektrický jev
Albert Einstein (1879–1955)
1905 Einstein: světlo je v
kvantech nejen uvolňováno,
ale i absorbováno
= + kh A Wν
Energie kvanta se zčásti
spotřebuje na výstupní práci
elektronu z kovu (A), zbytek
je kinetickou energií
emitovaného elektronu.
Nobelova cena 1921
= ⇒ =min min
A
h A
h
ν ν
/A eV
5,32Pt
2,35Na2,22K
2,16Rb1,81Cs
kovkov /A eV
9
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 2. Fotoelektrický jev
1905 Einstein: je-li světlo v kvantech volňováno i absorbováno, lze předpokládat,
že se v kvantech i šíří: zavedení částice foton
foton má energii: hν
foton má klidovou hmotnost nulovou, protože se šíří rychlostí c
foton má hmotnost: = ⇒ =
h
mc h m
c
ν
ν2
2
foton má hybnost: = = =
h h
p mc
c
ν
λ
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 3. Comptonův jev (rozptyl)
1922 Compton: dopadá-li na hmotu monoenergetické rentgenové záření, rozptyluje
se. Rozptýlené záření má přitom větší vlnovou délku než záření dopadající. Úhel, o
který se rentgenové záření rozptýlí, souvisí jednoznačně se vzrůstem vlnové délky.
Význam děje: konečné potvrzení fotonu. Celý děj lze vysvětlit
jako pružnou srážku fotonu a elektronu
Arhtur Holly Compton (1892-1962)
10
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 3. Comptonův jev (rozptyl)
′
= ⋅ − ⋅sin cos
h
p
c
ν
ψ ϕ0
= = =
mc h
p mc
c c
ν
ν2
ϕ
′h
c
ν
ψ
px
y
Zákony zachování hybnosti:
′
= ⋅ + ⋅cos sin
h h
p
c c
ν ν
ψ ϕ
po umocnění a sečtení:
′ ′   
= + − ⋅   
   
cos
h h h
p
c c c
ν ν νν
ϕ
2 2 2
2
2
2
stejnou veličinu vypočítáme ze zákona zachování energie:
( )′ ′+ = + ⇒ = + −
h
h m c h mc m m
c
ν ν ν ν2 2
0 0 2
z relativistického vztahu pro hmotnost určíme rychlost:
 
= ⇒ = − 
 
−
2
2 20 0
22
2
1
1
m m
m v c
mv
c
( )
 
= = ⋅ − = − 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 20
02
1
m
p m v m c c m m
m
( ) ( )
 
′ ′= ⋅ − + − 
 
m hh
p c
c c
ν ν ν ν
2
22 2 0
4 2
2
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 3. Comptonův jev (rozptyl)
porovnání pravých stran podtržených rovnic:
( ) ( )
′ ′   ′ ′⋅ − + − = + − ⋅   
   
cos
h h h h
m h
c cc c
ν ν νν
ν ν ν ν ϕ
2 22 2
2
02 2
2 2
( ) ( )′ ′ ′ ′− + − = + − ⋅cos
m c
h
ν ν ν ν ν ν νν ϕ
2
2 2 202
2
 
′= = ⇒ − + − = − ⋅ ′ ′ ′ ′ 
, c
m cc c c c
h
osν ν ϕ
λ λ λλ λ λ λλ
32 2
02 1 1
2 2
( )′ ′ ′− + − = − ⋅cos
m c
h
νν ν ν νν ϕ
2
02
2 2
( )′− + − = −cosm c λ λ ϕ01
( )′ − = − cos
h
m c
λ λ ϕ
0
1
 
− = − − = 
 
cos cos sin sin
ϕ ϕ ϕ ϕ2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
′ − = sin
h
m c
ϕ
λ λ 2
0
2
2
h
m c0
Comptonova vlnová délka elektronu
11
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 4. Vlnové vlastnosti částic
1927 Davisson, Germer: interference elektronů po odrazu na krystalových rovinách se
řídí stejným zákonem, jako při pokusu s rentgenovým zářením
Clinton Davisson (1881-1958),
lester Germer (1896-1971)
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 4. Vlnové vlastnosti částic
Vulfova-Braggova podmínka pro maximum interference s rentgenovým zářením:
= sinn dλ ϕ2
ϕ
d
n pořadí maxima
dráhové zpoždění
měření spekter:
a) otáčení krystalu při konstantní energii
elektronu
b) změna energie elektronu při
konstantním úhlu
= = ⇒
v
E h hν
λ
zavedení vlnové délky pro částice:
=
h
mv
λ
de Broglieova vlnová délka částice
Louis Victor Pierre Raymond duc de
Broglie (1892-1987)
dualismus vlna- částice
12
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 5. Ohyb mikročástic na štěrbině
stejnou ekvivalenci jako při odrazu na krystalu můžeme nalézt i při průchodu
mikročástic štěrbinou:
x
y
yp
α1
p
xpδα1
xδ
λ
2
= sinxp pδ α1
=sin
x
λ
α
δ1
2
2
= ⇒ ⋅ = ⋅x
x
p
p x p
p x
δ λ
δ δ λ
δ
=
h
mv
λ
⋅ =xp x hδ δ
zavedeme-li střední kvadratické odchylky:
xp x
2
∆ ⋅ ∆ ≥ =
h
π2
1. Heisenbergova relace neurčitosti
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 5. Ohyb mikročástic na štěrbině
∂
= ⇒ ∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ∆
∂
p E p
E E p p
m p m
2
2
Werner Heisenberg (1901-1976)
∆
∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆
∆
p x
E p m p
m t m
1
E t∆ ⋅ ∆ ≥
2
2. Heisenbergova relace neurčitosti
příklady:
dvojí filosofický výklad
důsledky a projevy
13
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 6. Zákonitosti spektra atomu vodíku
Johann Jacob Balmer
(1825-1898)
= =
−
, , , ,...H
n
n
n
λ λ
2
0 2
3 4 5 6
4
1885: ve viditelné oblasti spektra 4 čáry
později: v ultrafialové oblasti další čáry,
které se zhušťují až k hraně série
P. A. (Per Axel) Rydberg (1860-1931)
upravil vztah na:
 
= − = 
 
= ⋅ -1
je vlnoče
, m je Rydbergův vlnočet
n H n
n
H
R t
n
R
σ σ
λ2 2
7
1 1 1
2
1 0967758 10
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 6. Zákonitosti spektra atomu vodíku
další zkoumání spektra v ultrafialové a infračervené oblasti:
 
= − > 
 
kn HR n
k n
σ 2 2
1 1
k
k = 1 : Lymanova série UV
k = 2 : Balmerova série viditelné + UV
k = 3 : Paschenova série IR
k = 4 : Brackettova série IR
k = 5 : Pfundova série IR
k = 6 : Humphreyova série IR
potvrzení Ritzova kombinačního principu:
Vlnočet jakékoli spektrální čáry vodíku lze
vyjádřit rozdílem vlnočtů jiných dvou čar.
= ⇒ = −term: H
n kn k n
R
T T T
n
σ2
= −kn kj jnσ σ σ
14
1. 4. Bohrův model atomu
= =, , , ,... je hlavní kvantové číslomrv nh nπ2 1 2 3
1913: 3 postuláty popírající částečně klasickou mechaniku a klasickou elektrodynamiku:
I.I. Elektron může trvale kroužit kolem jádra atomu jen v takovýchElektron může trvale kroužit kolem jádra atomu jen v takových
kruhových drahách (kvantových), pro které 2kruhových drahách (kvantových), pro které 2ππ nnáásobek momentusobek momentu
hybnosti elektronu vzhledem k jhybnosti elektronu vzhledem k jáádru je celistvým ndru je celistvým náásobkemsobkem
PlanckovyPlanckovy konstantykonstanty
II.II. Pokud elektron obPokud elektron obííhháá v nv něěkterkteréé z kvantových drah, atom nezz kvantových drah, atom nezáářříí, jeho, jeho
energie je stenergie je stáálláá..
III.III. PPřři pi přřechodu elektronu na jinou kvantovou drechodu elektronu na jinou kvantovou drááhu se vyzhu se vyzáářříí nebonebo
pohltpohltíí foton, jehofoton, jehožž energie je rovna zmenergie je rovna změěnněě energie elektronu:energie elektronu:
= −nm n kh E Eν
Niels Henrik David Bohr
(1885-1962)
= = ⇒, podmínka kruhové dráhy:
mv Ze Ze
mrv nh r
r r mv
π
πε πε
2 2 2
2 2
0 0
2
4 4
klasickými postupy je možné vypočítat poloměr kruhové dráhy, rychlost elektronu a jeho energii:
1. 4. Bohrův model atomu
=
−
= ⋅ ⇒ = ⋅ = = ⋅, m je Bohrův poloměrn n
hZe
v r n r a
h n mZe
ε
ε π
22
2 110
1 02
0
1
5 29167 10
2
= + = − = −n n p n
n
Ze mZ e mZ e
E T W mv
r h n h nπε ε ε
2 2 4 2 4
2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
2 4 8 4
= −n
mZ e
E
h nε
2 4
2 2 2
0
1
8
 
= − ⇒ = − ⇒ = − 
 
nm n k n k nm
nm
c mZ e
h E E h E E
h c m n
ν σ
λ ε
2 4
2 3 2 2
0
1 1
8
 
= − 
 
= =
porovnáním s Balmerovým vztahem
dostáváme pro Rydbergův vlnočet:
nm H
H
R
m n
me
Z R
h c
σ
ε
2 2
4
2 3
0
1 1
1
8
Z je protonové číslo (pořadí v periodické soustavě)
15
→ =
+
redukovaná hmotnost elektronu:
Mm
m
M m
µ µ 0
0
později zpřesnění – vliv pohybu jádra – vedlo k náhradě:
1. 4. Bohrův model atomu
−
→ ∞ = = ⋅pak je možné pro : Rydbergova konstanta , m
m e
M R
h cε
4
7 10
2 3
0
1 0937309 10
8
souhlas byl tak obrovský, že v roce 1932 Urey, Brickvedde a Murphy, když zjistili, že
spektrální čáry vodíku jsou doprovázeny velmi blízkými slabými čarami s nepatrně
vyšším vlnočtem, tak, jako by M bylo dvojnásobné, objevili první izotop vodíku:
deutériumdeutérium
Bohrovy představy:
1. 4. Bohrův model atomu
Grotrianův diagram:
16
Častá interpretace 1. Bohrova postulátu:
1. 4. Bohrův model atomu
= =, , , ,... je hlavní kvantové číslomrv nh nπ2 1 2 3
=
h
mv
λ de Broglieova vlnová délka částice
= inr nπ λ2
přípustné dráhy jsou pouze ty, kde délka kruhové dráhy je
celistvým násobkem de Broglieovy vlnové délky elektronu
povolená (kvantová) dráha pro n = 4
nepovolená dráha
představa 3. Bohrova postulátu:
1. 4. Bohrův model atomu
17
Důležitý experiment potvrzující hladinové uspořádání kvantovaných energií v elektronů v
atomech: FranckůvFranckův--HertzůvHertzův pokuspokus –– 1914 (1914 (JamesJames FranckFranck, Gustav Hertz,, Gustav Hertz,
Nobelova cena 1925)Nobelova cena 1925)
1. 4. Bohrův model atomu
1915 – Sommerfeld: spektrální čáry mají jemnou strukturu: každá čára se skládá z
několika velmi blízkých čar. Domníval se, že je to způsobeno tím, že kromě povolených
kruhových drah jsou možné i eliptické dráhy s různou excentricitou
1. 5. Nedostatky Bohrova modelu atomu
Arnold Sommerfeld
(1868-1951)
Bohrův model je směsí klasických představ a postulátů, které jsou s klasickými
představami ve sporu
Bohrův model nedokáže vysvětlit spektra jiných atomů než H, He+, Li2+, Be3+, B4+, …,
takzvaných izoelektronových atomů
Bohrův model nedokáže
vysvětlit existenci molekuly H2, O2, …
zdůvodnit jevy, nastávající v atomech, které jsou ve vnějším elektromagnetickém poli
vysvětlit různé intenzity spektrálních čar
18
částice má vlnové vlastnosti = měla by být popsatelná stejně jako vlnění:
1. 6. Základní představy, ze kterých vznikla kvantová mechanika
( ) ( )= ⋅, e popis stacionárního vlněníi t
r t r ω
ψΨ
prostorová závislost periodická časová závislost
= =
v
fω π π
λ
2 2
funkce musí vyhovovat vlnové rovnici: ∂
=
∂v t
ψ
∆Ψ
2
2 2
1
po dosazení: ( )= − ⋅e ei t i t
v
ω ω
ψ ψ ω∆ 2
2
1
+ =
v
ω
ψ ψ∆
2
2
0 = = =
mv
hv h
p
ω π π π
λ
2 2 2
de Broglieova vlnová délka
+ =
m v
h
π
ψ ψ
2 2 2
2
4
0∆
 
+ = 
 
m
mvψ ψ∆ 2
2
2 1
0
2
= −kinW E U
− + =U E
m
ψ ψ ψ
2
2
∆
=ˆ ˆ, je Hamiltonův operátor, operátor celkové energieH E Hψ ψ
SchrödingerovaSchrödingerova rovnicerovnice
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 1. Vlnová funkce
postulát: Časový vývoj stavu soustavy dokonale popisuje vlnová funkce
n částic: ( ), , ,... ,r r r r tΨ 1 12 2
Ψ je bez přímého fyzikálního významu, zpravidla je
komplexní
Ψ je řešením časové Schrödingerovy rovnice:
∂
=
∂
ˆi H
t
Ψ
Ψ
ˆH je Hamiltonův operátor (celkové energie)
Ψ určuje stav jednoznačně, tj. lze z ní matematickými postupy získat veškeré
dostupné informace o soustavě
je hustota pravděpodobnosti výskytu⋅ = = ρ
2
Ψ Ψ Ψ
⋅dVρ je pro n = 1 pravděpodobnost toho, že v čase t je částice
v objemu dV v místě popsaném průvodičem
x
y
z
r dV
( )⋅ =∫ d integrace přes celý prostorVΨ
2
1
normovací podmínka
Ψ
19
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 1. Vlnová funkce
při stacionárních dějích (silové pole je časově nezávislé), platí:
( ) ( )= ⋅, ei t
r t r ω
ψΨ kde je řešením tzv. bezčasové Schrödingerovy rovnice:ψ
=ˆ ˆ, je Hamiltonův operátor, operátor celkové energieH E Hψ ψ
pro jednu částici má Hamiltonův operátor tvar: = − + ⋅ˆH U
m
∆
2
2
každá vlnová funkce musí mít 4 následující vlastnosti:
jednoznačná
spojitá
konečná
kvadraticky integrabilní
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 1. Vlnová funkce
hlavní rozdíly mezi kvantovou a klasickou mechanikou:
kvantová klasická
určení stavuvlnovou funkcí časovou závislostí souřadnic
( ), , ,... ,nr r r r t1 2 3Ψ ( ) ( ) ( ) ( ), , ,... nr t r t r t r t1 2 3
energie jespojitá pouze u volné
částice, jinak diskrétní zásadně spojitá
lokalizacevždy jen pravděpodobnost přesná lokalizace – existují
trajektorie
rozlišitelnost
částice stejných vlastností
jsou nerozlišitelné
částice lze vždy rozlišit podle
trajektorie
20
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 2. Hodnoty fyzikálních veličin
Každé fyzikální veličině je v kvantové mechanice přiřazen operátor (postulát)
dva operátory jsou postulovány: operátor souřadnice:
a operátor složky hybnosti:
= ⋅ˆx x
∂
= −
∂
ˆxp i
x
Operátory ostatních fyzikálních veličin se získávají tak, že se do klasického
definičního vztahu dosadí postulované operátory. Příklad: operátor celkové energie
+ +  ∂ ∂ ∂
= + = ⇒ = − − − + = − + ∂ ∂ ∂ 
ˆx y zp p p
E T U H i i i U U
m m x y z m
22 2 2 2
1
2 2 2
∆
Hodnoty, kterých může nabývat fyzikální veličina D reprezentovaná operátorem jsou
charakteristickými hodnotami tohoto operátoru, získané řešeních charakteristické rovnice:
ˆD
=ˆDf fD
f jsou charakteristické funkce, které slouží k výpočtu pravděpodobnosti příslušné hodnoty
v daném stavu, musí být jednoznačnéjednoznačné a kvadratickykvadraticky integrabilníintegrabilní
množina všech charakteristických hodnot se nazývá spektrum veličiny D
zL
= ⋅ +lnf i Cϕ
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 2. Hodnoty fyzikálních veličin
Spektrum může být: spojitéspojité (hybnost, souřadnice, čas, elektrický proud, …
diskrétnídiskrétní (moment hybnosti, elektrický náboj, …)
∂
= −
∂
ˆ
zL i
ϕ
Je-li charakteristická funkce příslušná charakteristické hodnotě , je
pravděpodobnost této hodnoty dána vztahem:
= ∫
*
di ifσ ψ τ
2
Příklad: nalezení všech možných hodnot složky momenty hybnosti:
if iD
kde je komplexně sdružená funkce k , je vlnová funkce popisující
daný stav, je element všech proměnných, integruje se přes
celý uvažovaný objem a symbol značí modul komplexního čísla
*
if if ψ
dτ
∂
− =
∂
f
i f
ϕ
zL =
−
d
d
f
f i
ϕzL
= ⋅
d
d
f
i
f
ϕzL zL
= ⋅e
i
f C
ϕ
kde m je celé číslo; tento vztah je 1. Bohrovým postulátem
zLzL
( )
( ) ( )
+     
⋅ = ⋅ = ⋅ + + +    
    
e e cos sin
i i
C C C i
ϕ ϕ π
ϕ π ϕ π
2
2 2
zL
zL
= ⋅mzL
jednoznačnost:
21
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
atom vodíku v základním stavu
−
= ⋅e
r
a
ψ
π
0
100
2
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
radiální hustota pravděpodobnosti výskytu ( )
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫0
e sin d d
r
a
P r r
π π
υ υ ϕ
π
0
22
2
0
2
22
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
excitovaný stav atomu vodíku ( )
−    
 = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −   
     
2
e cos
r
ar r r
a a a
ψ υ
π
0
2
5 2
520
0 0 0
56 2 2 2
1 3
78125 15 525 11
1
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 2. Hodnoty fyzikálních veličin
souměřitelnost: V kvantové mechanice existují dvojice fyzikálních
veličin, které nejsou současně měřitelné s libovolnou přesností
(relace neurčitosti)
, xx p ,x yL L ,x zL L ,z yL L
23
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 3. Princip totožnosti a Pauliův vylučovací princip
Částice se stejnými fyzikálními vlastnostmi jsou
navzájem nerozlišitelnénerozlišitelné.
( ) ( )=, ,ψ ψ
2 2
1 12 2r r r r
nelze zjistit výměny dvou částic, tj. nesmí se změnit rozložení hustoty pravděpodobnosti
výskytu:
existují dvě možnosti, jak tento vztah splnit:
( ) ( )=, ,ψ ψ1 12 2r r r r
( ) ( )= −, ,r r r rψ ψ1 12 2
částice, které se řídí tímto vztahem jsou bosonybosony
částice, které se řídí tímto vztahem jsou fermionyfermiony
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 3. Princip totožnosti a Pauliův vylučovací princip
V soustavě stejnýchV soustavě stejných fermionůfermionů nemohou existovatnemohou existovat
22 fermionyfermiony v totožném stavu.v totožném stavu.
pro fermiony platí PauliůvPauliův vylučovací principvylučovací princip:
Wolfgang Pauli (1900-1958)
Enrico Fermi (1901-1954)
Paul Dirac (1902-1984)
24
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 4. Spektra fyzikálních veličin
energie E: =ˆ , liší se podle (silového pole)H E Uψ ψ
E spojitá (volná částice)
diskrétní (kvantovaná)
elektron v poli jádra:
jednorozměrná potenciálová jáma:
lineární harmonický oscilátor:
= − = , , ,....n
Z e
E n
h n
µ
ε
2 4
2 2 2
0
1
1 2 3
8
= − = , , ,....n
h
E n n
ma
2
2
2
1 2 3
8
 
= + = 
 
, , , ,....ν
1
0 1 2 3
2
nE n h n
poslední dva případy: E > 0
hybnost p: spojitá ve všech složkách, všechny složky souměřitelné
moment hybnosti L: složky i velikost kvantovány, složky vzájemně nesouměřitelné
= = ± ± ± ±, , , ,....,0 1 2 3zL m m l( )= ⋅ + ⋅ = , , , ,....,L l l l l1 0 1 2 3
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 5. Částice v jednorozměrné potenciálové jámě
spojitost v 0:
= ∞ < ∧ >0U x x a
x
U
0 a
I. II. III. = ∈ ,0 0U x a
+ =I. III. ψ 0
∂
− =
∂
II.
ψ
ψ
2 2
2
2
E
m x
= −
d
d
ψ
ψ
2
2 2
2mE
x
−
= + =e e kdeikx ikx mE
C C kψ 1 2
2
= +1 20 C C spojitost v a:
−
= +e e1 20 ika ika
C C
−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = = ± ± ±e e sin , , , ,...
π
1 2 0 0 2 0 1 2 3ika ika
n
n
C C i ka k n
a
−
= − = ⋅ = ⋅ = ⋅e e sin sin sin
π
ψ 1 1 12ikx ikx n
C C iC kx C kx C x
a
⇒ ≠ 0n
25
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 5. Částice v jednorozměrné potenciálové jámě
určení konstanty ve vlnové funkci
= ⇒nmEn
a
π 2
= ⋅n
h
E n
ma
2
2
2
8
= ⋅nE n
ma
π 2 2
2
2
2
= ⋅ sin
n
C x
a
π
ψ
podmínkou normování: = ⋅ =∫ ∫
*
d d
a a
x xψ ψ ψ
2
0 0
1
    
⋅ = − ⋅ −         
∫ ∫
a a
sin d cos d = sin =1
2 2
aa a
n n a n
C x x C x x C x
a a n a
π π π
π
2 2 22
00 0
1 1
2 2 2
0
=C
a
2
konečná podoba vlnové funkce: = ⋅ sinn
n
x
a a
π
ψ
2
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 2. Vlastnosti elektronu v atomovém obalu
stav elektronu je jednoznačně určen 4 kvantovými čísly:
n – hlavní kvantové číslo – určuje energii elektronu v poli jádra:
= − = , , ,....n
Z e
E n
h n
µ
ε
2 4
2 2 2
0
1
1 2 3
8
l – vedlejší kvantové číslo – velikost orbitálního momentu hybnosti:
( )= ⋅ + ⋅ = −, , , ,...,L l l l n1 0 1 2 3 1
m – magnetické kvantové číslo – složka orbitálního momentu hybnosti:
= ⋅ = − − + − −, ,..., , , ,... ,zL m m l l l l1 1 0 1 1
ms – spinové kvantové číslo – složka vlastního momentu hybnosti:
= ⋅ = − ,z s sS m m
1 1
2 2
26
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 2. Vlastnosti elektronu v atomovém obalu
Spin – souhrnné označení vlastností mikročástic, které souvisejí s existencí
vlastního momentu hybnosti. U klasických objektů vzniká vlastní moment hybnosti
rotací kolem osy procházející těžištěm. U mikročástic je tato vlastnost postulována
(spory s teorií relativity).
U každého momentu hybnosti může složka nabývat 2s + 1 hodnot, kde s je
kvantové číslo určující velikost momentu hybnosti. Protože v případě
spinového momentu hybnosti je 2s + 1 = 2, platí:
poznámky a komentář:
Proč není kvantována velikost spinového momentu hybnosti?
( )= ⇒ = ⋅ + ⋅ = ⋅s S s s
1 3
1
2 2
Podle velikosti n se elektrony dělí do slupek: K, L, M, N, …
Podle velikosti l se elektrony dělí do orbitů (drah): s, p, d, f, …
Nejznámější projevy spinu: dublety ve spektru (Na 589,0 nm + 589,6 nm), SternůvGerlachův
pokus
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 2. Vlastnosti elektronu v atomovém obalu
V elektronovém obalu atomu nemohou existovat dva
elektrony, které by měly všechna 4 kvantová čísla stejná.
Pauliův vylučovací princip pro elektrony v atomovém obalu:
-½112L
½112L
-½012L
½012L
-½-112L
½-112L
-½002L
½002L
-½001K
½001K
msmlnslupka
Výpočet maximálního počtu elektronů v n-té slupce:
( ) ( ){ }
−
=
 ⋅ + = ⋅ − + + = ∑
n
l
n
l n n
1
2
0
2 2 1 2 2 1 1 1 2
2
počet možných l
počet možných mss
počet možných m
27
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 3 Orbitální a spinový magnetický moment
Elektron s má orbitální moment hybnosti (v klasické fyzice je to spojeno s
křivočarým pohybem), má náboj (-e), z toho plyne, že se chová jako závit protékaný
stejnosměrným elektrickým proudem, proto má i orbitální magnetický moment.
Mikročástice mají vlastní moment hybnosti a vlastní magnetický moment (jako
postulát, později vyplynulo z relativistické kvantové teorie Diraca).
Poměr složek orbitálního magnetického momentu a orbitálního momenty hybnosti
je konstantní:
= − ⇒ = − ⋅z
z
z
M e e
M m
L m m0 02 2
= − =,z B B
e
M m
m
µ µ
02
−
= ⋅ ⋅ -1
, J T Bohrův magnetonBµ 24
9 27 10
= − ⇒ = − ⋅ = − ⋅sz
sz s s B
z
M e e
M m m
S m m
µ
0 0
2
≠l 0
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 4. Energie elektronu v atomovém obalu
Základním vztahem pro energii je energie elektronu v poli jádra:
= − = , , ,....n
Z e
E n
h n
µ
ε
2 4
2 2 2
0
1
1 2 3
8
I když je v obalu jediný elektron, není uvedená energie jediným příspěvkem k celkové
energii. Pokud má elektron nenulové vedlejší kvantové číslo, má i nenulový orbitální
magnetický moment. Protože má zároveň i spinový magnetický moment, vzniká
interakcí těchto momentů (které mohou být různě velké a různě orientované, přídavná
energie, která může nabývat 2l + 1 různých hodnot - spin-orbitální interakce – vysvětlení
jemné struktury spektrálních čar. Z toho vyplývá, že energie elektronu závisí i na
vedlejším, magnetickém a spinovém kvantovém čísle:
= + ∆n lsE E E
28
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 4. Energie elektronu v atomovém obalu
V obalu je více elektronů: k předchozí energii přispupují další přídavné energie,
které vznikají interakcí elektronů mezi sebou:
Coulombovská interakce elektronů mezi sebou
↔i jl linterakce orbitálních magnetických momentů
interakce orbitálních a spinových magnetických momentů
výměnné interakce
interakce
interakce
interakce orbitálních a spinových magnetických momentů elektronů s magnetickým
momentem jádra
↔i jl s
↔i il s
↔i js s
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 5. Periodická soustava prvků
1869 Mendělejev
Dimitrij Ivanovič
Mendělejev (1834-1907)
Prvky vypsal spolu s atomovými „vahami“
na papírky, seřazoval je do řádek. Když
narazil na skokovou změnu v chemických a
fyzikálních vlastnostech (F-Na, Cl-K), začal
novou řádku. Hlavním úspěchem tohoto
uspořádání byla předpověď nových prvků:
ekaaluminium – gallium
ekabór – scandium
ekasalicium – germanium
29
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 5. Periodická soustava prvků
Hundova pravidla: pořadí zaplňování stavů se řídí součtem n + l , jsou-li 2 kombinace
rovny, přednost má kombinace s menším n; pokud je to možné, zaujímají elektrony
stavy se stejným ms
1s 1
2s 2
2p 3s 3
3p 4s 4
3d 4p 5s 5
4d 5p 6s 6
4f 5d 6p 7s 7
5f 6d 7p 8s 8
1s 2
2s, 2p 2 + 6 = 8
3s, 3p 2 + 6 = 8
4s, 3d, 4p 2 +10 + 6 = 18
5s, 4d, 5p 2 +10 + 6 = 18
6s, 4f, 5d, 6p 2 +14 +10 + 6 = 32
7s, 5f, 6d, 7p 2 +14 +10 + 6 = 32
valenční sféra, valenční elektrony:
chemické vlastnosti
elektronový oktet sp: netečné plyny
alkalické kovy
halogeny
lanthanoidy
aktinoidy
→57 71La Lu
→89 103Ac Lw
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
zabývá se energií elektronového obalu pro atomy s více elektrony bez ohledu na
velikosti jednotlivých kvantových čísel elektronů
Základní myšlenka: 1 elektron má 2 momenty hybnosti, které nejsou dokonale poznatelné,
můžeme určit jen velikost a jednu složku. Součet těchto vektorů by byl „rozmazán“ daleko
více než kterýkoli z původních vektorů.
L
S
J
zL
zS
30
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Celkový (úhrnný) moment hybnosti musí být kvantován jako každý jiný moment hybnosti:
( )= ⋅ + ⋅ =z jJ j j J m1
Velikost orbitálního momentu hybnosti je dána kvantovým číslem l, spinový může vůči
němu zaujímat dva různé směry. Kvantové číslo j proto nabývá nejvýše dvou hodnot:
 
= + − = = 
 
, při je pouzej l l l j
1 1 1
0
2 2 2
Kvantové číslo mj pak může nabývat 2j + 1 hodnot:
= − − + − + −, ,..., , ,..., ,jm j j j j
1 1
1 1
2 2
Pro N elektronů je zavedení celkového momentu hybnosti všech elektronů ještě
významnější, protože změna energie elektronového obalu závisí na změnách celého obalu.
Při určování celkového momentu hybnosti elektronového obalu je vzhledem k neurčitosti
možné použít dvou postupů:
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Pro lehčí atomy je vhodnější způsob označovaný LS:
= = = +∑ ∑i iL L S S J L S
Pro těžší atomy je vhodnější způsob označovaný jj:
= = ∑+i i i iJ L S J J
Kvantování všech 3 momentů hybnosti elektronového obalu:
( )= ⋅ + ⋅ =z SS S m1S S
( )= ⋅ + ⋅ =z JJ J m1J J
( )= ⋅ + ⋅ =z LL L m1L L = = − − +∑, , ,..., ,..., , , ,...,i LL l m L L0 1 2 1 0 1
= = − +
= = − − +
pro sudé: , , ,..., ,...,- , , ,...,
pro liché: , ,..., ,..., , ,...,
S
S
n
n S m S
n
n S m S
0 1 2 1 0 1
2
1 3 1 1
2 2 2 2 2
S
S
= + + − − = − − + −, ,..., , ,..., ,JJ L S L S L S m J J J J1 1
+ > +hodnot pro , hodnot proS L S L2 1 2 1
1
>S L
31
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Stavy s různými čísly L, S, J mají různé energie.
Ne všechny kombinace trojic LSJ jsou možné (Puliův vylučovací princip).
Příklad:
Plně obsazené orbity k L, S, J nepřispívají (opačné orientace se odečtou).
2 elektrony na orbitě p (l = 1)
teoreticky: L = 0, 1, 2
S = 0, 1
J = 0, 1, 2, 3
24 stavů
ve skutečnosti: = = ±
= = ±
= − = ±
,
,
,
s
s
s
m m
m m
m m
1
2
1
2
1
2
1
0
1
⋅
= stavů
6 5
15
2
Kolika různých energií mohou tyto stavy nabývat?
Označení energetické hladiny: term ( ) +S
Jn L2 1
multiplicita
značí se písmeny S, P, D, …
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Kolika různých energií mohou tyto stavy nabývat?
m1 m2 sm 1 sm 2
L S J term
1 1 ↑ ↓ 2 0 2 D1
2
1 0 ↑ ↑ 1 1 2 P3
2
1 0 ↓ ↓ 1 1 0 P3
0
1 0 ↑ ↓ 1 0 1 P1
1
1 0 ↓ ↑ 1 0 1 P1
1
1 -1 ↑ ↑ 0 1 1 S3
1
1 -1 ↓ ↓ 0 1 1 S3
1
1 -1 ↑ ↓ 0 0 0 S1
0
1 -1 ↓ ↑ 0 0 0 S1
0
0 0 ↑ ↓ 0 0 0 S1
0
-1 0 ↑ ↑ 1 1 0 P3
0
-1 0 ↓ ↓ 1 1 2 P3
2
-1 0 ↑ ↓ 1 0 1 P1
1
-1 0 ↓ ↑ 1 0 1 P1
1
-1 -1 ↑ ↓ 2 0 2 D1
2
základní term
(s minimální energií)
32
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Pořadí příspěvků k energii od vzájemných interakcí:
Pro lehčí atomy LS: Pro těžší atomy jj:
1. výměnná energie
2. Coulombovské odpuzování
3. spin-orbitální interakce
1. spin-orbitální interakce
2. Coulombovské odpuzování
3. výměnná energie
3. spektra atomů
3. 1. Optická spektra
Vznikají přechody valenčních elektronů.
Intenzity čar jsou dány pravděpodobností přechodů, které závisejí na způsobu excitace.
Přesné výpočty umožňuje kvantová elektrodynamika využívající časového poruchového
počtu.
3. 1. 1. Výběrová pravidla
Podle výpočtů kvantové mechaniky jsou pravděpodobnosti některých přechodů nulové takovým
přechodům se říká zakázané přechody.
∆ = ±
∆ = ±
∆ =
,
s
l
m
m
1
0 1
0
∆ =
∆ = ±
∆ = ± = → =
,
, s výjimkou
S
L
J J
0
0 1
0 1 0 0J
pro stav s více elektrony:
33
3. Spektra atomů
Příklad na použití výběrových pravidel:
3. 1. 1. Výběrová pravidla
jde o přechod z n = 3 na hladinu n = 2, u jednoho elektronu jsou velká kvantová čísla
totožná s malými
Kolik čar má jemná struktura čáry ?Hα
jeden elektron na n = 3 může být ve stavech daných kvantovými čísly:
= = = ±, , ; ;L S J L1 1
2 2
0 1 2
na n = 2 může být ve stavech daných kvantovými čísly:
= = = ±, ; ;L S J L1 1
2 2
0 1
povolené přechody mezi termy:
∆ = ± ⇒ → → →S P, P S, D Pl 1
∆ ≤ ⇒ →J
5 3
1
2 2
přechody zakázané podle:
přechody zakázané podle: ∆ ≠l 0
přechod zakázaný podle: ∆ ≠l 2
S P P D D1 1 53 3
2 2 22 2
2 2 2 2 2
S P P1 1 3
2 2 2
2 2 2
Sledovaná čára se skládá ze 7 čar jemné struktury: Lambův posuv.
3. Spektra atomů
3. 1. 1. Výběrová pravidla Schéma energetických hladin a
povolených přechodů pro valenční
elektron sodíku. Ve sloupcích jsou
řazeny energetické hladiny podle
hlavního kvantového čísla, sloupce
odpovídají jednotlivým termům.
Sodíkový dublet: dvě
žluté čáry stejné intenzity
s velmi blízkou vlnovou
délkou. Nepatrná
odlišnost energie termů
a je důsledkem
rozdílné interakce mezi
spinovým a orbitálním
momentem (projev
spinu).
P3
2
2
P1
2
2
34
3. Spektra atomů
3. 1. 2. Výměnné síly Schéma energetických hladin a
povolených přechodů pro helium. Je
nutné oddělit stavy s S = 0
(parahelium) a stavy s S = 1
(ortohelium). Vzhledem k výběrovému
pravidlu pro S nejsou mezi nimi
povolené přechody.
Coulombovské síly mezi elektrony
jsou v obou případech stejné, rozdíly v
energiích jsou tedy dány odlišnými
interakcemi mezi stavy s paralelními
spiny: nebo a spiny
antiparalelními . Interakce
spinových magnetických momentů
jsou přitom slabší než rozdíly energií.
Jediné vysvětlení: výměnné síly.
Toto je zakázaný přechod, který se
může uskutečnit jen při srážce dvou
atomů, při které dojde k výměně
elektronů.
Spektrum hélia:
3. Spektra atomů
3. 1. 3. Magnetooptické jevy
Zeemanův jev (1896): štěpení spektrálních čar v magnetickém poli
Pieter Zeeman (1865-1943)
V magnetickém poli interagují oba magnetické
momenty elektronu s vnějším magnetickým polem.
Má=li vnější magnetostatické pole změr osy z:
∆ = +z szE M B M B
( )∆ = + = +B s B B sE m B m B B m mµ µ µ2 2
35
3. Spektra atomů
3. 1. 3. Magnetooptické jevy
( )∆ = + = +B s B B sE m B m B B m mµ µ µ2 2 ( )∆ = ∆ + ∆B
s
B
m m
h
µ
ν 2
( )= + ∆ + ∆B
s
B
m m
h
µ
ν ν0 2 Protože platí výběrová pravidla ∆ = ±
∆ =
,
s
m
m
0 1
0
při zářivém přechodu
budou frekvence odpovídající dovoleným přechodům:
=ν ν1 0 = + BB
h
µ
ν ν2 0 = − BB
h
µ
ν ν3 0
Původní spektrální čára se rozštěpí na 3 čáry, z nichž jedna bude na původním
místě, dvě budou symetricky odchýleny.
Normální Zeemanův jev
3. Spektra atomů
3. 1. 3. Magnetooptické jevy
Příspěvek k energii
rozštěpení na jiný počet čar:magnetické momenty se skládají jinak než momenty
hybnosti (poměr magnetických momentů je proti mechanickým dvojnásobný), proto
g je Landeeho faktor
Každý energentický stav se v magnetickém poli štěpí na 2J + 1 podstavů
Anomální Zeemanův jev
není rovnoběžný s Jµ
∆ = ⋅ J BE g m Bµ
( )= , ,g g L S J
sodíkový dublet
→P S1 1
2 2
2 2
→P S13
22
2 2 4 + 2, 8 kombinací – 2
(zakázané přechody) = 6 čar
2 + 2, 4 kombinace = 4 čáry
36
3. Spektra atomů
3. 1. 4. Spontánní a vynucené přechody
spontánní, pravděpodobnost
emisní přechod
doba života excit. stavu
celková pravděpodobnost emisního přechodu:
k
kiA
pravděpodobnost přechodu
i
−
s8
10
vynucený (indukovaná emise), vzniká dopadem
fotonu s energií = −k ih E Eν
( )⋅ kiu Bν
( )+ ⋅ki kiA u Bν
absorpční přechod
k
i
pouze vynucený, pravděpodobnost ( )⋅ iku Bν
, ,ki ki ikA B B Einsteinovy koeficienty
platí: =ki ikB B
Pravděpodobnost emise je vždy větší než pravděpodobnost absorpce.
3. Spektra atomů
3. 1. 4. Spontánní a vynucené přechody
Předchozí tvrzení platí pro libovolné 2 hladiny, v tříhladinovém systému je možné
dosáhnout inverzního stavu.
zakázaný přechod (nelze ho
uskutečnit bez přítomnosti třetí
částice, spontánní emise je
nemožná)
metastabilní hladina, doba života ~ 1 s
základní stav
excitované stavy
čerpání – intenzivní absorpce
spontánní emise
vynucená emise
Záření produkované vynucenou emisí je :
monochromatické
koherentní
kolimované
37
3. Spektra atomů
3. 1. 4. Spontánní a vynucené přechody
laser Light Amplification by Stimuled Emission of Radiation
maser Microwave
vhodná prostředí: rubín, CO2,
neodymové sklo, He+Ne,
GaAs (polovodičové lasery)
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
1895 – Roentgen: elektromagnetické záření s kratšími vlnovými délkami než
ultrafialové: 10 až 0,01 nm
Wilhelm Conrad Röntgen (1845-1923)
ruka poraněná brokovnicí
38
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
katoda
antikatoda
anoda
uspořádání podle Coolidge
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
a) brzdné záření: spojité spektrum, nezávisí na materiálu antikatody
= ⇒ =min
hc
eU h
eU
ν λ
krátkovlnná hranice
= ⇒ =min25 kV , nmU λ 0 05
39
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
b) charakteristické záření: čárové spektrum, závisí na materiálu antikatody
Kβ
Kα
Lα
Lβ
vznik: excitace elektronu v atomu
z vnitřních vrstev: série
≈ → ≈ →
≈ → ≈ →
L K M K
M L N L
K K
L L
α β
α β
frekvence čar charakteristického Roentgenova spektra popsal Moseley:
( )= ⋅ −C Zν ρ
konstanta čáry
vyjadřuje odstínění slupky,
ze které elektron přechází
od jádra
vztah je ve shodě se
vztahem Balmerovým:
( )−
= = ∆ i
i
Z
c n
ρν
σ
2
2
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
vazba: interakce elektronů ve valenční („vnější“) slupce
2 krajní případy vazeb: 1) iontová (heteropolární) - NaCl
2) kovalentní (homeopolární) – H2
soustava 2 atomů vodíku s elektrony, jejich spiny jsou paralelní a antiparalelní
40
41
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
stavba složitějších molekul – H2O
O – ve valenční slupce 6 elektronů: 2 ve stavu s (vykompenzovány, vazby se neúčastní)
4 ve stavu p: m = 0, 1, -1
m = 0 m = -1, +1
pro sdílení elektronů nejvhodnější
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
Stavy všech 4 p elektronů jsou různé, mají však prakticky stejnou energii. Kvantová
mechanika pak umožňuje sestavit další vlnové funkce lineární kombinací všech 6
možných stavů. Hustoty pravděpodobnosti těchto 6 možných stavů pak mají tvar
symetrický podle jednotlivých os:
42