3
Vektorové prostory
Definice: Vektorovým prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu V ,
(V = 0), na které jsou definovány operace ⊕, která každé dvojici prvků x ∈ V
a y ∈ V přiřazuje prvek x ⊕ y ∈ V (x ∈ V, y ∈ V ⇒ x ⊕ y ∈ V ) a operace ,
která každé dvojici α ∈ R a x ∈ V (α ∈ R, x ∈ V ⇒ α x ∈ V ) přiřazuje
prvek α x ∈ V tak, že jsou splněny následující podmínky:
1. x ⊕ y = y ⊕ x pro každé x a y ∈ V (komutativní zákon sčítání)
2. (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) pro každé x, y a z ∈ V (asociativní zákon
sčítání)
3. existuje prvek Θ ∈ V takový, že x ⊕ Θ = x pro každé x ∈ V (existence
nulového prvku)
4. ke každému x ∈ V existuje y ∈ V takový, že x ⊕ y = Θ (existence
opačného prvku)
5. α (β x) = (α·β) x pro každé α, β ∈ R a x ∈ V (asociativní zákon
násobení)
6. 1 x = x pro každé x ∈ V (násobení jedničkou)
7. α (x + y) = α x + α y pro každé α ∈ R a x, y ∈ V (distributivní
zákon vzhledem k operaci sčítání prvků z V )
8. (α + β) x = α x + β x pro každé α, β ∈ R a x ∈ V (distributivní
zákon vzhledem k operaci sčítání čísel z R)
1
2 3. Vektorové prostory
Poznámky: Prvky vektorového prostoru nazýváme vektory. Reálným číslům
u operace násobení říkáme skaláry.
Značení: Podobně jako u matic píšeme většinou x + y resp. αx místo x ⊕ y
resp. α x (nikdy nepíšeme xα) a nulový prvek Θ (nulový vektor) označujeme
jako 0.
Poznámka: Podobně lze definovat komplexní vektorový prostor, nebudeli
řečeno jinak, budeme se zabývat reálnými vektorovými prostory a místo
”vektorový prostor” budeme říkat jednoduše ”prostor”.
Příklady vektorových prostorů
1. Vektorový prostor Rn
: množina uspořádaných n-tic reálných čísel
x =





x1
x2
...
xn





, xi ∈ R, y =





y1
y2
...
yn





, yi ∈ R,
x ⊕ y
def
=





x1 + y1
x2 + y2
...
xn + yn





, α ⊕ x
def
=





αx1
αx2
...
αxn





.
2. Vektorový prostor Rm,n
(množina všech matic typu m×n; prostor Rm,1
v některých případech ztotožňujeme s prostorem Rm
):
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
am1 am2 . . . amn





, B =





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
... . . .
...
bm1 bm2 . . . bmn





3. Vektorové prostory 3
Obrázek 3.1: Dvourozměrný euklidovský prostor R2
(případ n = 2)
Obrázek 3.2: Obrázek 3.3:
A ⊕ B
def
=





a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
... . . .
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn





α A
def
=





αa11 αa12 . . . αa1n
αa21 αa22 . . . αa2n
...
... . . .
...
αam1 αam2 . . . αamn





4 3. Vektorové prostory
3. Prostor všech spojitých funkcí (f : a, b → R) na intervalu a, b
označujeme C a, b :
f, g ∈ C a, b : a, b → R, α ∈ R
(f ⊕ g)(x)
def
= f(x) + g(x), x ∈ a, b
(α f)(x)
def
= α · f(x), x ∈ a, b
Obrázek 3.4: Obrázek 3.5:
4. Vektorový prostor všech polynomů reálné proměnné (x : R → R, x(t) =
a0 +a1t+· · ·+antn
, n ∈ N, t ∈ R); (nulový polynom Θ(t) = 0, ∀t ∈ R):
x, y ∈ P : R → R, α ∈ R
(x ⊕ y)(t)
def
= x(t) + y(t), ∀t ∈ R
(α x)(t)
def
= α.x(t), ∀t ∈ R
5. Prostor reálných polynomů reálné proměnné, jejichž stupeň je nejvýše
n − 1 označujeme Pn:
x(t) = a0 + a1t + · · · + an−1tn−1
, t ∈ R
y(t) = b0 + b1t + · · · + bn−1tn−1
, t ∈ R
(x ⊕ y)(t) = a0 + b0 + (a1 + b1)t + · · · + (an−1 + bn−1)tn−1
, ∀t ∈ R
(α x)(t) = αa0 + αa1t + · · · + αan−1tn−1
, ∀t ∈ R
Definice: Neprázdnou podmnožinu W vektorového prostoru V nazýváme
jeho podprostorem, jestliže má tyto vlastnosti:
3. Vektorové prostory 5
1. pro každé x a y ∈ W je x + y ∈ W,
2. pro každé α ∈ R a x ∈ W je αx ∈ W;
jinými slovy, jestliže je množina W sama vektorovým prostorem vzhledem k
operacím sčítání a násobení skalárem definovaným na prostoru V .
Příklad: Prostor Pn je podprostorem prostoru P a ten je podprostorem
prostoru C(R) (což je prostor všech spojitých funkcí definovaných na R).
Příklad: Prostor R3
lze ztotožnit s třírozměrným Euklidovským prostorem.
Podprostorem prostoru R3
je např. každá rovina procházející počátkem Θ =
(0, 0, 0) .
Obrázek 3.6:
Definice: Nechť x1, x2, . . . , xn je soubor vektorů z prostoru V , kde n ∈ N.
Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru x1, . . . , xn, jestliže existují
skaláry α1, . . . , αn takové, že platí x = α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn =
n
k=1
αkxk.
Skaláry α1, . . . , αn nazýváme koeficienty lineární kombinace.
Příklad: Zjistěte, zda lze vektor x = (2, 6, 8) vyjádřit jako lineární kombinaci
vektorů x1 = (1, 2, 1), x2 = (−2, −4, −2), x3 = (0, 2, 3), x4 = (2, 0, −3) a
x5 = (−3, 8, 16).
Potřebujeme tedy ověřit, zda existují skaláry α1, . . . , α5 takové, že platí
x = α1x1 + α2x2 + · · · + α5x5. Po dosazení jednotlivých vektorů získáme
6 3. Vektorové prostory
následující identity
x = α1x1 + α2x2 + · · · + α5x5
(2, 6, 8) = α1(1, 2, 1) + α2(−2, −4, −2) + α3(0, 2, 3) + α4(2, 0, −3) + α5(−3, 8, 16)
(2, 6, 8) = (α1 − 2α2 + 2α4 − 3α5, 2α1 − 4α2 + 2α3 + 8α5, α1 − 2α2 + 3α4 + 16α5)
vedoucí na soustavu 3 lineárních rovnic o 5 neznámých tvaru
α1 − 2α2 + 2α4 − 3α5 = 2
2α1 − 4α2 + 2α3 + 8α5 = 6
α1 − 2α2 + 3α3 − 3α4 + 16α5 = 8
Je-li tato soustava řešitelná, pak je x lineární kombinací vektorů x1, x2, . . . , x5.
Dále postupujeme standardním způsobem: upravíme matici soustavy do horního
stupňovitého tvaru


1 -2 0 2 -3 2
2 -4 2 0 8 6
1 -2 3 -3 16 8

 ∼


1 -2 0 2 -3 2
0 0 2 -4 14 2
0 0 3 -5 19 6

 ∼
∼


1 -2 0 2 -3 2
0 0 1 -2 7 1
0 0 3 -5 19 6

 ∼


1 -2 0 2 -3 2
0 0 1 -2 7 1
0 0 0 1 -2 3


a získáme ekvivalentní soustavu (znovu) 3 lineárních rovnic o 5 neznámých
α4 − 2α5 = 3
α3 − 2α4 + 7α5 = 1
α1 − 2α2 + 2α4 − 3α5 = 2
která má obecné řešení tvaru






α1
α2
α3
α4
α5






=






−4 − u + 2v
v
7 − 3u
3 + 2u
u






, u, v ∈ R
a tedy například, zvolíme-li u = v = 0, je α1 = −4, α2 = 0, α3 = 7, α4 = 3 a
α5 = 0 a platí x = −4x1 + 7x3 + 3x4. Vektor x je lineární kombinací vektorů
x1, . . . , x5.
Definice: Nechť x1, . . . , xn je soubor vektorů z V . Množinu všech lineárních
kombinací tohoto souboru nazýváme lineárním obalem souboru x1, . . . , xn a
značíme [x1, x2, . . . , xn]λ = x| x =
n
j=1
αjxj pro jistá α1, . . . , αn ∈ R .
3. Vektorové prostory 7
Tvrzení: Pro libovolné vektory x1, . . . , xn ∈ V je prostor [x1, . . . , xn]λ podprostorem
prostoru V .
Důkaz: x ∈ [x1, . . . , xn]λ, x = n
j=1 αjxj
y ∈ [x1, . . . , xn]λ, y =
n
j=1
βjxj
x + y =
n
j=1
αjxj +
n
j=1
βjxj =
n
j=1
(αj + βj)xj ∈ [x1, . . . , xn]λ
αx = α
n
j=1
αjxj =
n
j=1
(ααj)xj ∈ [x1, . . . , xn]λ
Poznámka: Platí Θ ∈ [x1, . . . , xn]λ, protože Θ = 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn.
Příklad: Uvažujme dvourozměrný euklidovský prostor R2
. Lineárním obalem
dvou různých netriviálních (nenulových) vektorů je celá rovina (celý
prostor R2
). Libovolný vektor x ∈ R2
lze vyjádřit jako lineární kombinaci
dvou (různých) vektorů x1 a x2 (viz obr 3.7). Lineárním obalem jednoho netriviálního
vektoru je přímka procházející počátkem (viz obr 3.8). Lineárním
obalem nulového vektoru je bod (nulový vektor).
Obrázek 3.7:
Poznámky: Jestliže je x1, . . . , xn soubor vektorů, potom každý vektor x ∈
[x1, . . . , xn]λ lze vyjádřit ve tvaru
x =
n
j=1
αjxj
Na koeficienty α1, . . . , αn můžeme pohlížet jako na souřadnice vektoru x v
souřadném systému daném vektory x1, . . . , xn. Kdy jsou tyto souřadnice jed-
8 3. Vektorové prostory
Obrázek 3.8:
noznačně určeny? Jestliže jednoznačně určeny nejsou, potom lze psát
x =
n
j=1
αjxj =
n
j=1
βjxj
kde αj = βj pro alespoň jedno j, takže
n
j=1
(αj − βj)xj = 0 ,
kde aspoň jedno αj −βj = 0. Vyloučením této možnosti zaručíme jednoznačnost
takového rozkladu. To nám umožní následující definice.
Definice: Soubor vektorů x1, . . . , xn ∈ V nazýváme lineárně závislý, jestliže
existují čísla α1, . . . , αn, z nichž aspoň jedno je nenulové, taková, že platí
α1x1 + · · · + αnxn = Θ
a lineárně nezávislý v opačném případě (t.j. z rovnosti α1x1 +· · ·+αnxn = Θ
vyplývá, že α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Příklad: Jak zjistíme, že jsou vektory lineárně závislé nebo nezávislé?
Zjistěte, zda je soubor vektorů x1, x2, x3 z prostoru R3
lineárně závislý
nebo nezávislý, je-li: x1 = (3, 1, 5), x2 = (1, 2, −2) a x3 = (2, 3, −1). Ptáme se
tedy, jak vypadají všechna α1, . . . , α3 taková, že platí α1x1 +α2x2 +α3x3 = Θ.
3. Vektorové prostory 9
Po dosazení za vektory x1 , x2 a x3 získáváme rovnosti
α1x1 + α2x2 + α3x3 = Θ
α1(3, 1, 5) + α2(1, 2, −2) + α3(2, 3, −1) = (0, 0, 0)
(3α1 + α2 + 2α3, α1 + 2α2 + 3α3, 5α1 − 2α2 − α3) = (0, 0, 0)
které po přepsání po jednotlivých složkách vedou k soustavě tří rovnic o třech
neznámých tvaru
3α1 + α2 + 2α3 = 0
α1 + 2α2 + 3α3 = 0
5α1 − 2α2 − α3 = 0
Má-li tato soustava pouze triviální řešení α1 = α2 = α3 = 0, pak je soubor
x1, x2, x3 lineárně nezávislý, jinak je lineárně závislý. Dále postupujeme
obvyklým způsobem


3 1 2
1 2 3
5 −2 −1

 ∼


1 2 3
3 1 2
5 −2 −1

 ∼


1 2 3
0 −5 −7
0 −12 −16


∼


1 2 3
0 −5 −7
0 3 4

 ∼


1 2 3
0 −5 −7
0 0 39

 ,
ze kterého vyplývá, že je soubor x1, x2, x3 lineárně nezávislý.
Příklad: Zjistěte, zda je soubor A1, A2, A3, A4 z prostoru R2,2
lineárně
nezávislý nebo lineárně závislý, je-li
A1 =
1 1
−3 −4
, A2 =
3 3
7 2
, A3 =
2 1
1 −1
, A4 =
1 6
10 3
Hledáme taková čísla α1, . . . , α4, že platí
α1A1 + α2A2 + α3A3 + α4A4 = Θ.
Dosazením a rozepsáním po jednotlivých složkách
α1
1 1
−3 −4
+α2
3 3
7 2
+α3
2 1
1 −1
+α4
1 6
10 3
=
0 0
0 0
α1 + 3α2 + 2α3 + α4 α1 + 3α2 + α3 + 6α4
−3α1 + 7α2 + α3 + 10α4 −4α1 + 2α2 − α3 + 3α4
=
0 0
0 0
10 3. Vektorové prostory
získáme následující homogenní soustavu čtyř lineárních rovnic pro čtyři neznámé
α1, α2, α3 a α4:
α1 + 3α2 + 2α3 + α4 = 0
α1 + 3α2 + α3 + 6α4 = 0
−3α1 + 7α2 + α3 + 10α4 = 0
−4α1 + 2α2 − α3 + 3α4 = 0
Obvyklým postupem převedeme tuto soustavu do horního stupňovitého tvaru:




1 3 2 1
1 3 1 6
−3 7 1 10
−4 2 −1 3



 ∼




1 3 2 1
0 0 −1 5
0 16 7 13
0 14 7 7



 ∼




1 3 2 1
0 2 1 1
0 16 7 13
0 0 −1 5



 ∼
∼




1 3 2 1
0 2 1 1
0 0 −1 5
0 0 −1 5



 ∼




1 3 2 1
0 2 1 1
0 0 −1 5
0 0 0 0




Soubor je tedy lineárně závislý, např. matici A4 lze nakombinovat pomocí
matic A1, A2, A3 z čehož vyplývá, že [A1, A2, A3, A4]λ = [A1, A2, A3]λ. Navíc
lze určit dimenzi lineárního obalu souboru vektorů (viz následující definice)
dim[A1, A2, A3, A4] = 3.
Věta: (redukce lineárně závislého systému) Je-li x1, . . . xn lineárně závislý
soubor vektorů z prostoru V potom lze některý z nich (označíme jej xk)
vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů x1, . . . , xk−1, xk+1 . . . xn tj. xk ∈
[x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn]λ a platí, že vynecháním lineárně závislého vektoru
xk se lineární obal nezmění
[x1, . . . , xn]λ = [x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . xn]λ
Poznámka: Výsledný systém x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn už nemusí být lineárně
závislý.
Definice: Lineárně nezávislý systém vektorů x1, . . . , xn takový, že generuje
celý prostor V , tj. platí [x1, . . . , xn]λ = V , nazýváme jeho bází. Počet prvků
báze nazveme dimenzí prostoru V a označujeme jej dim V = n.
3. Vektorové prostory 11
Poznámka: Jestliže platí V = [x1, . . . , xn]λ, pak lze každý vektor x ∈ V
vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů x1, . . . , xn.
Poznámka: Některé prostory nemají (konečnou) bázi. Jestliže neexistuje
takové n, že každý (n + 1)-členný soubor vektorů z V je lineárně závislý,
pak prostor V nemá konečnou dimenzi a položíme dim V = ∞. Pro nulový
prostor V = {Θ} položíme dim V = 0.
Příklady bází v jednotlivých prostorech
1. Prostor Rn
má dim Rn
= n a existuje v něm standardní báze e1, e2, . . . , en
tvaru
e1 =





1
0
...
0





, ek =





0
...
1
0





, en =





0
0
...
1





2. Prostor Rm,n
má dim Rm,n
= mn a existuje v něm standardní báze
E1, E2, . . . , Emn tvaru
E1 =





1 0 . . . 0
0
...
0 . . . . . . 0





, E2 =





0 1 . . . 0
0 0 . . . 0
...
0 . . . . . . 0





, . . . ,
En =





0 . . . 0 1
0 . . . . . . 0
...
0 . . . . . . 0





, En+1 =





0 . . . . . . 0
1 0 . . . 0
...
...
0 . . . . . . 0





, . . . ,
Emn−1 =





0 . . . . . . 0
...
...
... 0
0 . . . 1 0





, Emn =





0 . . . . . . 0
...
...
... 0
0 . . . 0 1





,
3. Prostor Pn má dim Pn = n a standardní báze e1, . . . , en má následující
tvar
e1(t) = 1, e2(t) = t, . . . , en(t) = tn−1
, t ∈ R.
12 3. Vektorové prostory
Libovolný polynom stupně nejvýše n − 1 lze napsat jako lineární kom-
binaci
p(t) =
n−1
k=0
αktk
= α0 + α1t + · · · + αn−1tn−1
, t ∈ R,
p =
n
k=1
αk−1ek.
4. Prostory P a C a, b nemají konečnou dimenzi (dim P = +∞ a dim C a, b =
+∞).
Příklad: (Kartézský souřadný systém) Každý vektor x = (x1, x2, x3)
v třírozměrném euklidovském prostoru lze napsat jako lineární kombinaci
vektorů standardní báze x = x1e1 + x2e2 + x3e3, pro kterou je navíc každá
jeho složka rovna souřadnici daného vektoru v této bázi.
Obrázek 3.9:
Příklad: (Křivočarý souřadný systém) Každý vektor x v dvourozměrném
euklidovském prostoru lze nakombinovat pomocí dvou navzájem různých
nenulových vektorů x1 x2 tak, že platí x = α1x1 + α2x2 a tím lze i
získat jeho souřadnice α1, α2 v bázi x1, x2, viz obr. 3.10.
Příklad: (Jak zjistit souřadnice nějakého vektoru v bázi?) Nechť x1,
x2, x3 je soubor vektorů z prostoru R3
a x je vektor z R3
. Dokažte, že x1, x2,
x3 je báze a nalezněte souřadnice vektoru x v této bázi, je-li x1 = (1, 1, 1),
x2 = (1, 2, 1), x3 = (0, 0, 1) a x = (1, 0, 4).
3. Vektorové prostory 13
Obrázek 3.10:
Lineární nezávislost ověříme obvyklým způsobem: úpravou matice, která
je sestavena ze sloupců vektorů x1, x2, x3.


1 1 0
1 2 0
1 1 1

 ∼


1 1 0
0 1 0
0 0 1


Z uvedeného postupu vyplývá, že vektory x1, x2, x3 jsou lineárně nezávislé
a soubor x1, x2, x3 je tedy bází R3
. Je-li soubor x1, x2, x3 bází, souřadnice
α1, α2, α3 nalezneme jako jednoznačné řešení soustavy
x = α1x1 + α2x2 + α3x3,
která po dosazení za jednotlivé vektory
(1, 0, 4) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 2, 1) + α3(0, 0, 1)
(1, 0, 4) = (α1 + α2, α1 + 2α2, α1 + α2 + α3)
vede na soustavu tří rovnic o třech neznámých tvaru
α1 + α2 = 1
α2 + 2α2 = 0
α1 + α2 + α3 = 4
Pak postupujeme již známým standardním způsobem


1 1 0 1
1 2 0 0
1 1 1 4

 ∼


1 1 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 3


14 3. Vektorové prostory
a nalezneme jednoznačné řešení α1 = 2, α2 = −1, α3 = 3 a tedy vektor x má
v bázi x1, x2, x3 souřadnice postupně 2, -1, 3 a tedy platí x = 2x1 −x2 +3x3.
Příklad: (Jak přepočítat souřadnice vektoru v jedné bázi na souřadnice
v druhé bázi?)
Obrázek 3.11:
Označme souřadnice vektoru x ve standardní bázi e1, . . . , en postupně
x1, . . . , xn (tedy x = (x1, . . . , xn) = x1e1 + · · · + xnen), souřadnice vektoru x
v bázi e1, . . . en označme jako x1, . . . , xn. Pak můžeme psát
x =
n
k=1
xkek =
n
k=1
xkek, x =



x1
...
xn


 .
Nechť vektory báze e1, . . . , en mají souřadnice ve standardní bázi (a tedy
mají následující složky)
e1 =



t11
...
tn1


 , . . . , ek =



t1k
...
tnk


 , . . . , en =



t1n
...
tnn


 .
Vektor x pak lze napsat následujícím dvojím způsobem
x =
n
k>1
xkek =
n
k=1
xk
n
i=1
tikei =
n
i=1
n
k=1
xktikei
=
n
i=1
n
k=1
tikxk ei =
n
i=1
xiei,
3. Vektorové prostory 15
ze kterého vyplývá, že každou složku tohto vektoru xi lze napsat jako lineární
kombinaci jeho souřadnic v bázi e1, . . . en tvaru xi = n
k=1 tik s koeficienty
tik. Označíme-li matici T = (tik), pak souřadnice vektoru x v bázi e1, . . . , en
získáme řešením soustavy rovnic
T



x1
...
xn


 =



x1
...
xn






x1
...
xn


 = T−1



x1
...
xn



Konkrétně, jsou-li dány matice T (a tím i složky vektorů e1, . . . e3) a
vektor x
T =


1 1 0
1 2 0
1 1 1

 , x =


1
0
4


pak získáme jeho souřadnice v bázi e1, . . . e3 pomocí vztahu x = T−1
x, což
lze interpretovat jako řešení soustavy s maticí T a vektorem pravé strany
x anebo můžeme vypočítat inverzní matici T −1
a pak ji použít k výpočtu
souřadnic jakéhokoliv vektoru (nejenom vektoru x)


1 1 0 1 0 0
1 2 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1

 ∼


1 1 0 1 0 0
0 1 0 -1 1 0
0 0 1 -1 0 1

 ∼
∼


1 0 0 2 -1 0
0 1 0 -1 1 0
0 0 1 -1 0 1

 , T−1
=


2 −1 0
−1 1 0
−1 0 1


x = T−1
x =


2 −1 0
−1 1 0
−1 0 1




1
0
4

 =


2
−1
3


Vektorové prostory se skalárním součinem
Definice: Vektorový prostor V se nazývá vektorovým prostorem se skalárním
součinem, jestliže na něm navíc definovaná operace, která každé dvojici x ∈ V
a y ∈ V přiřazuje skalár x, y ∈ R tak, že platí
1. x, x ≥ 0 pro každé x ∈ V , přičemž x, x = 0 právě když x = Θ
2. x + y, z = x, z + y, z pro každé x, y a z ∈ V
16 3. Vektorové prostory
3. αx, y = α x, y pro každé x, y ∈ V a pro každé α ∈ R
4. x, y = y, x pro každé x, y ∈ V
Příklad: (Vektorové prostory se skalárním součinem) Prostor Rn
se
standardním skalárním součinem: x = (x1, . . . , xn)T
, y = (y1, . . . , yn)T
∈ Rn
x, y =
n
i=1
xiyi = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = xT
y ,
kde zápis xT
= (x1, . . . , xn) označuje vektor transponovaný s vektoru x.
Prostor Rm,n
se standardním skalárním součinem: A = (aij) ∈ Rm,n
, B =
(bij) ∈ Rm,n
A, B =
m
i=1
n
j=1
aijbij.
Prostor C a, b : f ∈ C a, b , g ∈ C a, b
f, g =
b
a
f(x)g(x)dx
Dříve definované prostory se stanou prostory se skalárním součinem, zavedemeli
operaci skalárního součinu s výše uvedenými vlastnostmi.
Definice: Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Pro každé
x ∈ V definujeme normu (velikost) vektoru x předpisem x = x, x .
Poznámka: Norma je korektně definována díky vlatnosti 1., podle které
x, x ≥ 0 pro každé x ∈ V . Norma je tedy nezáporně reálné číslo a představuje
”délku” vektoru.
Příklad: Třírozměrný euklidovský prostor je vlastně prostor R3
se standardním
skalárním součinem.
Příklad: V dvourozměrném euklidovském prostoru R2
platí tzv cosinová
věta:
z 2
= z, z = x − y, x − y = x, x − x, y − y, x + y, y
= x 2
+ y 2
− 2 x, y
3. Vektorové prostory 17
Obrázek 3.12:
Obrázek 3.13:
z 2
= x 2
+ y 2
− 2 x y cos ϕ
Definice: Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a x ∈ V ,
y ∈ V , x = Θ, y = Θ. Pak úhel mezi vektory x a y je takové číslo ϕ ∈ [0, π],
18 3. Vektorové prostory
pro které platí
cos ϕ =
x, y
x · y
.
Definice: Vektory x ∈ V a y ∈ V se nazývají ortogonální (kolmé), jestliže
platí, že x, y = 0.
Věta: (Pythagorova): Nechť x ∈ V a y ∈ V jsou vektory, které jsou na sebe
kolmé ( x, y = 0). Pak platí
x + y 2
= x 2
+ y 2
Důkaz: Toto tvrzení vyplývá z vlastností skalárního součinu
x, y = 0 ⇒ x + y 2
= x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y = x 2
+ y 2
Obrázek 3.14:
Poznámka: Obecně platí trojúhelníková nerovnost
x + y ≤ x + y ,
která předchází u pravoúhlého trojúhelníku v rovnost. Je to důsledek tzv.
Schwarzovy nerovnosti | x, y | ≤ x y .
Definice: Nechť x1, x2, . . . , xn je báze vektorového prostoru se skalárním
součinem. Bázi x1, x2, . . . , xn nazýváme ortogonální bází, pokud xi, xj =
0, i = j, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . n. Bázi nazveme ortonormální, pokud je
ortogonální a navíc xi = 1, i = 1, . . . , n.
3. Vektorové prostory 19
Obrázek 3.15:
Příklad: Prostor R3
se standardním skalárním součinem: standardní báze
e1, . . . , e3 je ortonormální bází. Platí totiž, ei, ej = 0, i = j, ei = 1,
i = 1, . . . , 3 j = 1, . . . 3, a navíc
x = (x1, x2, x3) = x1e1 + x2e2 + x3e3
= x, e1 e1 + x, e2 e2 + x, e3 e3,
a tedy x1 = x, e1 , x2 = x, e2 a x3 = x, e3 . Smyslem zavedení ortonormální
báze kromě jiného je, že získáme jednoduché vzorce pro souřadnice
vektoru v bázi (ta ovšem musí být ortonormální).
Věta: Nechť x1, x2, . . . , xn je ortonormální báze prostoru V a nechť x ∈ V
potom platí x =
n
j=1
x, xj xj.
Definice: Souřadnicím se říká Fourierovy koeficienty a vyjádření x =
n
j=1
x, xj xj
Fourierův rozvoj.
20 3. Vektorové prostory
Důkaz: Nechť x =
n
j=1
αjxj je vyjádření vektoru x v bázi x1, . . . , xn. Skalárním
součinem s xi zprava pro každé i dostáváme i-tou souřadnici αi
x, xi =
n
j=1
αjxj, xi =
n
j=1
αj xj, xi = αi
takže x =
n
j=1
αjxj =
n
j=1
x, xj xj.
Příklad: (Fourierovy řady) Uvažujme vektorový prostor reálných funkcí
na intervalu −π, π se skalárním součinem f, g =
π
−π
f(x)g(x)dx. J.B. Fourier
(1768-1830) byl první, kdo si všiml, že funkce
1
√
2π
,
cos x
√
π
,
sin x
√
π
,
cos 2x
√
π
,
sin 2x
√
π
,
cos 3x
√
π
,
sin 3x
√
π
, . . .
tvoří ortonormální systém ve −π, π . Sestrojíme-li formální analogii vzorce
z předchozí věty pro tento případ, dostaneme řadu
f(x) = f,
1
√
2π
+
∞
j=1
f,
cos jx
√
π
cos jx
√
π
+
∞
j=1
f,
sin jx
√
π
sin jx
√
π
=
1
2
a0 +
∞
j=1
(aj cos jx + bj sin jx),
kde
aj =
1
π
π
−π
f(x) cos jxdx, bj =
1
π
π
−π
f(x) sin jxdx
Obecná spojitá funkce f(x) je vyjádřena řadou sestávající z periodických
funkcí (”kmitů” s periodou 2π/j). Proto jsou Fourierovy řady vhodným nástrojem
pro zpracování signálů (speciálně zvuku).