Jordanova teorie míry



obrázek
•Nechť je dán v rovině měřitelný útvar U. Zvolme jednotkovou úsečku δ. V rovině sestrojme dvě
navzájem kolmé přímky a s nimi veďme ve vzdálenosti δ, 2δ, 3δ,… rovnoběžky. Tím vzniknou dvě osnovy
navzájem kolmých přímek, které vytvoří čtvercovou síť S o rozměru δ. Síť S pokryje rovinu.

•   Jádrem útvaru U v dané čtvercové síti        rozumíme množinu J, která má tyto vlastnosti:
1. J je sjednocením konečného počtu čtverců sítě,
2. J je podmnožinou U,
3. J je maximální množinou s vlastnostmi 1 a 2, tj. každá množina J´, která má vlastnosti 1 a 2, je
podmnožinou množiny J.
•Jádro J útvaru U v síti S je sjednocení všech takových čtverců sítě S, že každý jejich bod náleží
útvaru U.
•

•     Obalem útvaru U v dané čtvercové síti rozumíme množinu O, která má tyto vlastnosti:
1. O je sjednocením konečného počtu čtverců sítě,
2. U je podmnožinou O,
3. O je minimální množinou s vlastnostmi 1 a 2, tj. každá množina O´, která má vlastnosti 1 a 2,
obsahuje množinu O jako svou podmnožinu.
•Obal O útvaru U v síti S je sjednocení všech takových čtverců sítě S, že alespoň jeden jejich
vnitřní bod náleží útvaru U.

Pro velikost jádra útvaru, velikost útvaru a velikost obalu útvaru platí vztah: Velikost jádra f(J)
je počet čtverců jádra J útvaru U v síti S, velikost obalu f(O) je počet čtverců obalu O útvaru U v
síti S.
•
•velikost jádra (dolní mez),
•velikost obalu (horní mez)

Základním měřitelným útvarem v rovině je každý útvar, který je omezený a jehož hranicí v rovině je
jednoduchá uzavřená křivka. Měřitelným útvarem v rovině je každý útvar, který lze získat z
konečného počtu základních měřitelných útvarů pomocí množinových operací.
•