Popis časového vývoje Pohyb hmotného bodu je plně popsán závislostí polohy na čase. Otázkou je, jak zjistit vektorovou funkci času ~r (t), která pohyb částice pln určuje. Zákony mechaniky fungují tak, že na základě znalosti interakcí částice s okolními objekty a znalosti její polohy ve dvou okamžicích lze v principu určit její polohu v libovolném okamžiku. Ukazuje se, že důležitými pojmy pro popis pohybu částice jsou rychlost a zrychlení. •Pohyb hmotného bodu je plně popsán závislostí polohy na čase. •Otázkou je, jak zjistit vektorovou funkci času ~r (t), která pohyb částice •pln určuje. •Zákony mechaniky fungují tak, že na základě znalosti interakcí částice s okolními objekty a znalosti její polohy ve dvou •okamžicích lze v principu určit její polohu v libovolném okamžiku. •Ukazuje se, že důležitými pojmy pro popis pohybu částice jsou rychlost •a zrychlení. • •r(t) popisuje závislost polohového vektoru částice na čase. • •Koncový bod vektoru r , vedený z počátku soustavy souřadnic, opisuje křivku C , nazvanou trajektorie hmotného bodu. Změna vektoru - posunutí •Poloha hmotného bodu M je určena polohovým vektorem • 22a • Okamžitá rychlost v = dr/dt (v limitě) např. vx = dx/dt. Má směr tečný k dráze v daném okamžiku. 25a Δr ≠ Δs → obecně dráha změna polohového vektoru t (s) t (s) To, že ujedeme stejnou dráhu za stejný čas není zárukou stejné okamžité rychlosti v průběhu tohoto pohybu •Průměrná rychlost Okamžitá rychlost • • • •Obecně se v průběhu pohybu mění velikost (i směr). Rychlost Rychlost, zrychlení Tečné a normálové zrychlení Úhlové veličiny •Zrychlení • •Je to “růst rychlosti s časem”. • •Ačkoli jde o běžný vektor, je účelné (především pro pohyb kruhový) rozložit zrychlení vzhledem ke směru rychlosti obecného pohybu na tečné a normálové (orientace vůči pohybu, nikoliv vůči souřadnému systému) • •Budiž potom • Zrychlení normálové (dostředivé) 2_11 Definice radiánu ! Směr dává normála, velikost dává úhel Pohyb přímočarý - rovnoměrný •Zavedeme-li souřadnou soustavu tak, aby se jedna osa (např. x = s ) ztotožňovala se směrem pohybu, potom vystačíme se skalární rychlostí v = vx a se skalárním zrychlením a. Pozůstatek vektorové povahy těchto veličin je jejich orientace (+/-). 2_13 Pohyb rovnoměrný přímočarý v = v0 ó a = 0. v = dx/dt => x(t) = x0 + v t kde x0 = x(t=0) je integrační konstanta - počáteční podmínky. Pohyb přímočarý – rovnoměrně zrychlený • a = at. = konst. • a = dv/dt => v(t) = v0 + a t , kde v0 = x(t=0) je opět integrační konstanta • x(t) = x0 + v0 t + a t2/2 . • Po druhé integraci přibyla další integrační konstanta. Počáteční podmínky jsou určeny dvěma parametry x0 a v0. • 2_14 -Rychlost roste s časem lineárně -Draha roste s časem kvadraticky Pohyb křivočarý •Normálová složka zrychlení an musí být obecně alespoň někde nenulová a poloměr křivosti r se může měnit. •Speciální případ je pohyb po kružnici. Odehrává se v jedné rovině a poloměr r křivosti je konstantní. Þ • Umožňuje analytické vyjádření časových závislostí sledovaných veličin Pohyb po kružnici I - rovnoměrný •Vzhledem k periodičnosti pohybu požíváme úhlové veličiny: –ds = r dj –v = ds/dt = r dj/dt = r w –w = dj/dt = 2p / T (j = 2p za dobu jednoho oběhu T) = 2p f •Takto se zavádí úhlová rychlost w [s-1], která je zde konstantní = rovnoměrný pohyb • •Normálové / dostředivé zrychlení • ad = v2/r = w2r = vw •ad = konst. at = 0 j r w 0 s ad •Po integraci: –j(t) = j0 + w t –s(t) = s0 + rw t –j0 nebo s0 jsou integrační konstanty opět dané počátečními podmínkami. w = dj/dt = konst., at = 0, ad = w2r =v2/r j r w 0 ad Pohyb po kružnici – pohyb kmitavý •Průměty rovnoměrného kruhového pohybu do kolmých os jsou pohyby kmitavé. • Souřadnice hmotného bodu B : • • x(t)= r.cos j(t) = r.cos(j0 + w t) • y(t)=r.sin j(t) = r.sin(j0 + w t) • • j0 se zde nazývá • počáteční fáze (v čase t = 0) • • r ≈ A …se nazývá amplituda 2_20a VYNECHAT Pohyb po kružnici II - zrychlený •Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici. •Hmotný bod se pohybuje s konstantním Úhlovým a tečným zrychlením : • e = dw /dt = d2j/dt2 = konst. [s-2] • at = dv/dt= e . r = konst. •Po integraci: –w(t) = w0 + e t –j(t) = j0 + w0 t + e t2/2 2_18 Srovnej s x(t) = x0 + v0 t + a t2/2 = r . j(t) = r. (j0 + w0 t + e t2/2) Pohyb po kružnici - obecně •Protože rovina kruhové dráhy může mít různou polohu v prostoru, je nutné pro obecný případ pohybu použít vektorů • •Orientovaný úhlel dj má směr normály ke kružnici, orientované tak, že je úhel vidět jako pravotočivý. • (proti směru hodinových ručiček) • •Obdobně je definován i směr a orientace úhlové rychlosti w a úhlového zrychlení e. 2_18 Pohyb v prostoru •Při obecném pohybu v prostoru je nutné pracovat s vektory a operace se provádějí v souřadnicích. •Pro zjednodušení se snažíme využít případné symetrie a snížit počet složek, ve kterých dochází ke změně. •Příkladem je pohyb v blízkosti povrchu Země - vrhy, odehrávající se ve svislé rovině x,z. Vrhy •U všech vrhů předpokládáme: –Zrychlení, které působí svisle dolů a má velikost tíhového zrychlení a = (0, 0, -g) –pohyb začíná z bodu r0 = ( x0, y0, z0) –počáteční rychlostí v0 = (vx0, vy0, vz0) •Z pedagogických důvodů se vrhy dělí podle počátečních podmínek na speciální případy. • •Všechny vektory se dají volbou souřadného systému převést na dvourozměrné Vrh svislý •Počáteční podmínky: –a = (0, 0, -g) r0 = (0, 0, z0), v0 = (0, 0, vz0) •Smysl má soustředit se jen na svislou osu z: –vz(t) = vz0 – g t – z(t) = z0 + vz0 t – g t2/2 – –Podmnožinou jsou a) volný pád : vz0 = 0. • b) vrh vzhůru : vz0 > 0, z0 = 0. •Rychlost se zmenšuje , až dosáhne nuly v čase tm = vz0/g • horní úvrati kde dráha (max. výška) z(tm) = v2z0/2g •Potom těleso padá a rychlost je záporná. Na zem (souřadnice z0) dopadne v čase tn, který je řešením kvadr. rovnice • z(tn) = tnvz0 –gt2n /2 = 0 => tn = 0 • tn = 2vz0/g = 2tm.. Vrh vodorovný •Počáteční podmínky: –a = (0, 0, -g) –r0 = (x0, y0, z0), (x0= y0 = 0) –v0 = (vx0, 0, 0) •Pohyb je nyní nutno popsat ve dvou osách. Ve svislé z se • jedná o volný pád - ve vodorovné x o pohyb pohyb rovnoměrně zrychlený: rovnoměrný přímočarý : –vz(t) = – g t vx(t) = vx0 –z(t) = z0 – gt2 /2 x(t) = x0 + vx0t – –Vrh je ukončen dopadem tělesa Þ –t (maximální) = doba vrhu t společná pro obě složky pohybu – vrh_vodor Vrh šikmý I •Počáteční podmínky: –a = (0, 0, -g) –r0 = (x0, y0, z0), (x0= y0 = 0) –v0 = (vx0, 0, vz0) – •Počáteční rychlosti jsou spolu vázány: –vx0 = v0 cos(a) –vz0 = v0 sin(a) •Těleso je tedy vrženo počáteční rychlostí v0 pod elevačním úhlem s vodorovnou rovinou a. – vrh_šikmy Lorentzova síla Lorentzova síla •