MA3, část 1: Nekonečné řady - otázky ke zkoušce (odkazy na SC = sobory cvičení … viz text Dula, Hájek: cvičení – nekonečné řady) Otázka 1: co je to součet nekonečné řady (definice)? SC 01- a,b,g,h,i,02-a,f,g,03-a,b,c soubor cvičení 1: udělejte a),b)g) (součet pomocí geometrické řady), h),i) (převod desetinného čísla na zlomek) soubor cvičení 2: udělejte a) (najdete ve skriptech Novák-Došlá jako řešený příklad, tuto řadu, způsob řešení a součet si zapamatujte), f) g) (f a g podobně jako řešený př. 4/str.10, je důležité vidět, že log 2 je konstanta, a že sin(a) je konstanta, kterou lze násobit celou řadu ... převedeme na případ typu a) s tím, že součet s[n] násobíme vhodnou konstantou) soubor cvičení 03: udělejte a),b),c) rozkladem na parciální zlomky Otázka 2: kritéria konvergence pro řady s kladnými členy SC 04-a,b,c,d,e,f,05-a,b,06-f,j Řady s kladnými členy, kritéria konvergence ... nemusíte dělat Raabeovo a limitní Raabeovo kritérium, jinak ostatní kritéria ano; pak udělejte soubor cvičení 04: a,b,c,d ... srovnávací kritérium + e,f ... podílové (i limitní) kritérium soubor cvičení 05: a,b ... odmocninové (i limitní) kritérium soubor cvičení 06: f,j ... integrální kritérium Otázka 3: kritérium konvergence pro alternující řady, absolutní a neabsolutní konvergence SC 07-a,b,d,f, 08-a,b,c,e, 10-a,b,c,d,e,f,g,h,i musíte umět: Leibnizovo kritérium, definici neabsolutní konvergence, musíte znát větu: z absolutní konvergence plyne i neabsolutní konvergence řady (tj. když dokážeme absolutní konvergenci řady, konvergence příslušné alternující řady už z toho plyne) Leibnizovo kritérium: soubor cvičení 07: a),b),d),g) absolutní a neabsolutní konvergence: soubor cvičení 08: a,b,c,d nedělejte soubor cvičení 09 (Abelovu a Dirichletovu podmínku) soubor cvičení 10: opakování, udělejte všechno kromě příkladu j) (pozor, příklad 10-f konverguje, výsledek není v textu dobře … limita vyjde menší než jedna podle limitního podílového kritéria) Otázka 4: řady funkcí - obor konvergence musíte znát: jak se určí na základě podílového krit. nebo odmocninového krit. obor konvergence řady funkcí nekonečné řady funkcí (soubory cvičení jsou znovu číslovány od čísla 1, k číslu jsou přidány další dvě nuly, aby bylo naznačeno že se jedná o soubor cvičení v hlubině textu, v jeho druhé půlce): soubor cvičení 0001 - určete obor konvergence, podílové kritérium ... b,c,f soubor cvičení 0002 - určete obor konvergence, odmocninové kritérium ... b),d) (pozor, i krajní bod (-4/3) patří do oboru konvergence, ve výsledku ve skriptech je chyba) nedělejte soubor cvičení 0003 (ověření stejnoměrné podmínky konvergence) Otázka 5: řady funkcí - stejnoměrná konvergence, Weierstrassovo kritérium, integrace a derivace řady člen po členu SC 0004-a,b,c … příklady Na Weierstrassovo kritérium (řešení př. c … může být i celé R, důkaz pomocí lokálních extrémů); SC 0005-a,b,c, a také řešené příklady 07,08-str.38-39; SC 0006-a,d,e ... POZOR, příklad 6e je vysvětlen až v otázce 8, jedná se o binomickou řadu) musíte znát: a) definici stejnoměrné konvergence (pomocí obrázku), Weierstrassovo kritérium: co říká? co zaručuje? (integraci či derivaci dané řady člen po členu na daném oboru stejnoměrné konvergence) Otázka 6: mocninné řady musíte umět: a) vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady R=1/ró, kde ró vypočteme jako limitu podle limitního odmocninového nebo podílového kritéria ... žádné příklady zde nejsou, protože se jedná o speciální případ otázky 4 b) větu: mocninná řada ve vnitřních bodech svého oboru konvergence konverguje stejnoměrně (když tuto větu napíšete, nemusíte už stejnoměrnou konvergenci nijak jinak dokazovat) ... žádné příklady zde nejsou, pouze se jedná o speciální případ otázky 5 Otázka 7: Rozvoj funkce do Taylorovy nebo Maclaurinovy nekonečné řady SC 0007-a,b,c; 0008-b,c,f, pročtěte si též úvod a řešené příklady ve sbírce před těmito soubory cvičení musíte umět vzorec pro Taylorovu a Maclaurinovu řadu a odpověď na otázku, k čemu jsou potřeba (vzorce se hodí na rozvoj funkce v nekonečnou řadu, a pak pro přibližný výpočet funkčních hodnot jen pomocí sčítání, násobení a dělení (kalkulačka) nebo pro výpočet určitých integrálů některých obtížně integrovatelných funkcí); Otázka 8: Binomická řada (1+x)^(alfa)=... tato řada je speciální případ Taylorovy řady pro rozvoj funkce (1+x)^(alfa) a je užitečná pro rozvoj některých funkcí v nekonečnou řadu, a tedy např. pro výpočet přibližných hodnot těchto funkcí; objevuje se v SC 0006, příklad e, a v SC 0009, příklady a,b,c (nejprve teorie a řešené příklady na str. 52-53). musíte umět: vzorec binomické řady pro obecné alfa, pak se Vám snadno budou rozvíjet následující funkce: odmocnina z (1+x) ... alfa = 1/2 odmocnina z (1-x) ... alfa = 1/2, subst. t=-x odmocnina z 1/(1+x) ... alfa = -1/2 odmocnina z 1/(1-x) ... alfa=-1/2, subst. t=-x odmocnina z 1/(1-x^2) ... alfa=-1/2, subst. t=-x^2 integrací předchozího řádku dostaneme rozvoj funkce arcsin x ... remember! Otázka 9: přibližný výpočet funkční hodnoty rozvojem do nekonečné řady + odhad chyby výpočtu užití mocninných řad + integrace pomocí řad: soubor 09: udělejte a),g),h) soubor cvičení 10: udělejte c),i) (pozor, konstanta C ve výsledku př. c nemá být, jedná se o určitý integrál) spočítejte a zapamatujte si ještě příklady 1.23-1.27 ze souboru strojarna02.pdf, který najdete v ISu pro přednášku - Musíte umět: jak odhadnout velikost zbytku řady pomocí Majorantní řady, kterou umíme sečíst (př. 1.23); b) integrálního kritéria (př. 1.24, 1.26), c) Leibniz.kritéria (př. 1.25, 1.27). Otázka 10: schopnost rozvinout řadu ze vzorce do prvních pěti členů VERSUS schopnost rozvinutou řadu zapsat vzorcem pro n (procvičeno částečně v sadě SC 10 … v první SC s číslem 10, v první polovině sbírky). MA3, část 2: Obyčejné diferenciální rovnice - otázky ke zkoušce (teoretické otázky se odkazují na anglický text Erwin Kreyszig (viz IS), příklady na SC = sobory cvičení … na text Dula, Hájek: cvičení – obyčejné diferenciální rovnice) Otázka 11: ODR 1.řádu základní pojmy: řešení ODR na intervalu, obecné řešení, partikulární řešení, singulární řešení (= řešení, které nezískáme z postupu obecného řešení, protože se jedná o řešení v situaci, kdy v obecném postupu dělíme nulou), počáteční úloha pro ODR 1.řádu … Kreyszig str. 4, str.6 str. 6-10 ve sbírce ODR prostudovat, pak soubor cvičení 01: příklady a,b,c, … ODR se separovatelnými proměnnými soubor cvičení 02: příklady a,b,c,d … ODR se separovatelnými proměnnými, počáteční úloha (příklad b … y=arccos(1/(odmocnina ze 2 krát sin(x))) (příklad c … obecné řešení je e na k krát odmocnina ze zlomku, ale počáteční podmínku splňuje singulární řešení, které nezískáme z obecného vzorce, ale protože jsme dělili při úpravě funkcí ln(y), musíme ji zvlášť probrat ln(y)=0 pro y(x)=1 … tato funkce je řešením, což zjistíme dosazením do rovnice) (příklad d … ve sbírce je trochu křečovité vyjádření výsledku … je dobře, ale možná někomu vyšlo y= druhá odmocnina z 2*[ln (1+e^x) +1/2 -ln2], a to je taky dobře, jen jiný tvar) str. 12-14 ve sbírce prostudovat, pak soubor cvičení 04: příklady a,b,c,d … substitucí y/x=z převedeme na separovatelnou rovnici (příklad a … řešení má být: y=x*e^(kx) … konstanta k je v exponentu) (příklad c … řešení je dobře, ale někdo by jej ještě chtěl vyjádřit v explicitním tvaru y=(2x+cx^4)/(1-cx^3) (příklad d … výsledek ve skriptech se nezdá dobře, správně je y=(-x)/(c+ln|x|)) str.21 dole - str 25 prostudovat, pak soubor cvičení 06: příklady a,b,c,d,f,g … lineární ODR 1.řádu (příklad b … výsledek ve skrptech je dobře, ale určitě byste jej chtěli vyjádřit ve tvaru y=c/(1+x^2)^2 + (3x+x^3)/(1+x^2)^2) Otázka 12: model 01 – model exponenciálního růstu, model exponenciálního úbytku (včetně pojmu „poločas rozpadu“) Kreyszig str.5-example 3, str. 7-example 5 (poločas rozpadu = „half-life“ … př. 21 na str. 9, výsledek je v IS v souboru Kreyszig-dodatky) Otázka 13: Geometrický význam ODR 1.řádu … směrové pole … Kreyszig str.9-10 (včetně obrázku b) s vrstevnicemi = izoklinami) Otázka 14: model 02 – radiokarbonové datování pro známý poločas rozpadu, model 03 – model míchání a rozpouštění soli … Kreyszig str.13-14 … podrobně vysvětlete sestavení ODR a její řešení v jednom z těchto dvou modelů Otázka 15: Existence a jednoznačnost řešení pro počáteční úlohu ODR 1.řádu … Kreyszig str.37-40 (včetně obrázku 27 na str. 40) Otázka 16: ODR 2.řádu základní pojmy – lineární ODR 2. řádu homogenní a nehomogenní, princip superpozice pro homogenní rovnici, obecné a partikulární řešení, počáteční úloha pro ODR 2.řádu (počáteční podmínky jsou dvě … jaké?) … Kreyszig str.45-50 (včetně example 5 na str. 50) Cvičení na ODR 2.řádu: str. 50-69 ve skriptech vše prostudujte včetně řešených příkladů, soubory cvičení SC 18 až SC 26 tyto příklady samostatně spočítejte: SC 18 ... příklady a,b,c,g,h,i … homogenní LODR-2-KK SC 19 ... příklady a,b,c,d … nehomogenní LODR-2-KK metodou variace konstant (příklad a … ve výsledku je chyba, chybí ještě odečíst x*e^x od toho, co tam je; ale vzhledem k tomu, že lze odečítanou funkci (-1) x*e^x “schovat”=sloučit do výrazu (cé dva)*x*e^x, je výsledek ve skriptech vlastně dobře) (příklad c … ve výsledku je chyba, chybí ještě odečíst funkci e^x od toho, co tam je; ale vzhledem k tomu, že lze odečítanou funkci (-1)e^x “schovat”=sloučit do výrazu (cé jedna)*e^x, je výsledek ve skriptech vlastně dobře) SC 20 ... příklady a,b,c,d,i … nehomogenní LODR-2-KK metodou neurčitých koeficientů – část 1: Pohlédnutím do výsledku ve skriptech lze tak trochu v sadách 20 až 26 odtušit, zda vaše volba yp byla správná (příklad d … výsledek ve skriptech je nyní opravdu špatně, správně má být y=c1*e^(-5x)+c2*e^x-1/5) SC 21 ... příklady a,b,c,d … nehomogenní LODR-2-KK metodou neurčitých koeficientů – část 2 SC 22 ... příklady a,b,c,d … nehomogenní LODR-2-KK metodou neurčitých koeficientů – část 3 SC 23 ... příklady a,b,c … nehomogenní LODR-2-KK metodou neurčitých koeficientů – část 4 (příklad a metodou neurčitých koeficientů: volíme Yp=(ax+b)*x*cos x + (cx+d)*x*sin x … a pak porovnáme po dosazení koeficienty u cos x na obou stranách, u x*cos x na obou stranách, u sin x na obou stranách, u x* sin x na obou stranách … tak dostaneme čtyři rovnice pro čtyři neznámé a,b,c,d, výsledek ve skriptech je dobře) (příklad b metodou neurčitých koef: volíme Yp=(ax+b)*cos x + (cx+d)*sin x, po dosazení porovnáme podobně jako v případě a), dostaneme čtyři rovnice pro neznámé a,b,c,d, výsledek je dobře) SC 24/ str. 63, příklady: a,b,c,f,g … nehomogenní LODR-2-KK metodou neurč. koeficientů – část 5 (příklad a … volíme yp=a+ x*(b*cos x + c*sin x) (příklad b … volíme yp=a*e^(-x)+ b*e^(-x)*x) (příklad c … volíme yp=ax+b+c*e^(-x)) Ty volby yp jsou víceméně jasné z výsledků, které jsou všechny dobře (příklad f … zkuste yp i metodou variace konstant jako v sadě 19, měl by vám vyjít stejný celkový výsledek dané počáteční úlohy, protože řešení počáteční úlohy LODR-2-KK je jediné) Cvičení na LODR-n-KK řádu vyššího než 2: SC 24/str.66 (mylně očíslovaná série stejným číslem), příklady a,b,g,h SC 25/str. 68, příklady a,b,c (příklad a … poslední člen výsledku ve skriptech má být x^4/6, nikoli x^4/16) Otázka 17: Eulerův vzorec – dokažte rozvojem v nekonečné řady … Kreyszig str.58, vzorec (11): ^ Otázka 18: Model 04 – oscilace tělesa na pružině, tlumená a netlumená volná (nevynucená) oscilace … Kreyszig str.61-67 (včetně nějakých obrázků grafu řešení, zejména obr. 34 a obr. 38) Otázka 19: Existence a jednoznačnost počáteční úlohy pro ODR 2.řádu homogenní, Wronskián; věta o obecném řešení homogenní úlohy … Kreyszig str.73-79 Otázka 20: Řešení ODR metodou mocninné řady … spojení obou oblastí tohoto předmětu v jednu metodu!!! … Vysvětlete na řešení jednoho příkladu Došlá,Novák: Nekonečné řady (viz IS), str.85-89. Info ke zkoušce: zkouška bude mít teoretickou i praktickou část, podmínkou absolvování zkoušky je napsat každou z částí aspoň na 40 procent; celková doba trvání je 90 minut. Žádná ústní část se v tomto předmětu nekoná. Otázky ke zkoušce jsou skutečně otázky, tj. student by na ně měl být schopný v písemné teoretické části patřičně = samostatně reagovat. Příklad otázky: - Otázka 13: vysvětlete na příkladu a na obrázku řešení ODR graficky pomocí směrového pole - Otázka 18: sestavte ODR oscilace tělesa na pružině (včetně obrázku), vysvětlete označení a uveďte řešení této ODR (včetně obrázku)