3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
3. Mocninné a Taylorovy řady
A. Základní pojmy. Obor konvergence
Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funkčních řad. Jsou to funkční řady, jejichž
členy jsou mocninné funkce.
V této kapitole uvidíme, že oborem konvergence každé mocninné řady je jednobodová množina nebo
interval. Ukážeme rovněž, že tyto řady konvergují stejnoměrně na každém uzavřeném podintervalu tohoto
konvergenčního intervalu. Jak plyne z předcházející kapitoly, tato vlastnost nám umožní integrovat a derivovat
mocninné řady člen po členu.
Definice 3.1. (Mocninná řada) Mocninnou řadou se středem v bodě x0 rozumíme funkční řadu tvaru
∞
k=0
ak(x − x0)k
= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ . . . , (3.1)
kde ak (k = 0, 1, 2, . . . ) jsou konstanty, které nazýváme koeficienty řady.
Mocninná řada se středem v x0 = 0 je tedy funkční řada tvaru
∞
k=0
akxk
= a0 + a1x + a2x2
+ . . . . (3.2)
Částečné součty každé mocninné řady jsou polynomy, a proto lze očekávat, že tyto řady budou mít jisté
jednoduché vlastnosti.
Nejprve se budeme zabývat určením oboru (bodové) konvergence I . Především je zřejmé, že každá
mocninná řada konverguje ve svém středu, tj. x0 ∈ I (lze prověřit přímým dosazením do řady). Následující
věta ukáže, že struktura oboru konvergence mocninných řad je velmi jednoduchá: je to buď jednoprvková
množina (obsahující střed řady), nebo interval konečné délky (symetrický kolem středu), nebo celá reálná
osa.
Věta 3.2. (O poloměru konvergence) Ke každé mocninné řadě
∞
k=0 ak(x − x0)k
existuje takové číslo
R ≥ 0 (připouštíme i R = ∞), že pro všechna x ∈ (x0 − R, x0 + R) tato řada konverguje, a to absolutně,
kdežto pro x ležící vně intervalu x0 − R, x0 + R nekonverguje. (Zápisem R = 0 přitom rozumíme, že řada
konverguje pouze pro x = x0 a hodnota R = ∞ znamená, že řada konverguje pro všechna reálná x). Tuto
hodnotu R pak nazýváme poloměrem konvergence.
Poznámka 3.3. V koncových bodech oboru konvergence může řada
∞
k=0 ak(x − x0)k
konvergovat (absolutně
nebo relativně), případně divergovat nebo oscilovat. Tyto případy musíme vždy vyšetřit zvlášť. Nyní
uvedeme kritérium, pomocí kterého lze zjistit hodnotu poloměru konvergence R. Toto kritérium je dokazováno
pomocí limitního podílového a limitního odmocninového kritéria (viz kapitola 1, oddíl A), a formálně
se proto těmto kritériím podobá.
Věta 3.4. (Určení poloměru konvergence) Nechť existuje (konečná nebo nekonečná) limita
lim
k→∞
ak+1
ak
= , resp. lim
k→∞
k
|ak| = .
Potom pro konvergenční poloměr mocninné řady (3.1)
R =
1
.
Přitom pro = +∞ klademe R = 0 a pro = 0 klademe R = +∞.
ÚM FSI VUT v Brně 15
3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
Poznámka 3.5. Pokud jde o vzájemný vztah obou limit uvažovaných v předcházejícím tvrzení, připomeňme,
že platí: Existuje-li lim
k→∞
|ak+1/ak|, potom existuje také lim
k→∞
k
|ak| a obě limity si jsou rovny (viz
kapitola 1). Pozor!! Uvedené vzorce pro výpočet poloměru konvergence lze použít pouze v případě, že mocniny
v řadě „jdou po jedné, tedy nikoliv například v případě řady
∞
k=0
x3x
k (zde mocniny „skáčou po
třech). V takových situacích lze obor konvergence vyšetřit stejnými postupy jako v předchozí kapitole 2.
Příklad 3.6. Určeme poloměr konvergence mocninné řady
∞
k=1
(kx)k
k !
= x +
4
2!
x2
+
27
3!
x3
+ . . . .
Řešení. Daná mocninná řada má střed x0 = 0 a koeficienty ak = kk
k!. Její poloměr určíme pomocí věty 3.4.
Nejprve upravíme výraz
ak+1
ak
=
(k + 1)k+1
(k + 1) !
k !
kk
=
(k + 1)k
kk
=
k + 1
k
k
.
Nyní připomeňme známý vztah
lim
k→∞
k + p
k
k
= ep
pro všechna reálná p.
Pak
lim
k→∞
ak+1
ak
= lim
k→∞
k + 1
k
k
= e,
a tedy R = 1 e.
Příklad 3.7. Určeme obor konvergence mocninné řady
∞
k=1
(x − 1)k
k8k
=
x − 1
8
+
(x − 1)2
128
+
(x − 1)3
1536
+ . . . .
Řešení. Tato mocninná řada má střed x0 = 1 a koeficienty ak = 1 (k8k
). Protože platí
lim
k→∞
k
|ak| = lim
k→∞
1
k
|k8k|
=
1
8
lim
k→∞
1
k
√
k
=
1
8
,
je poloměr konvergence R = 8. Daná mocninná řada tedy konverguje uvnitř intervalu s krajními body
x0 − R = −7, x0 + R = 9 a nekonverguje vně tohoto intervalu. O konvergenci v krajních bodech rozhodneme
dosazením.
Pro x = 9 dostáváme divergentní harmonickou řadu
∞
k=1
1
k . Pro x = −7 pak máme
∞
k=1
(−1)k
k , tedy
konvergentní Leibnizovu řadu. Oborem konvergence dané mocninné řady je proto interval − 7, 9).
B. Spojitost, derivování a integrování mocninných řad
V kapitole 2 jsme viděli, že k tomu, aby základní poznatky o spojitosti, derivaci a integrálu součtu konečně
mnoha funkcí bylo možné rozšířit i na nekonečné součty, je zapotřebí zavést pojem stejnoměrné konvergence.
Podle následujícího tvrzení mocninné řady konvergují stejnoměrně na každém uzavřeném intervalu ležícím
uvnitř oboru konvergence.
ÚM FSI VUT v Brně 16
3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
Věta 3.8. (O stejnoměrné konvergenci mocninných řad) Má-li mocninná řada
∞
k=0 ak(x − x0)k
poloměr konvergence R > 0, potom konverguje stejnoměrně (a navíc absolutně) v každém uzavřeném
intervalu x0 − R , x0 + R ⊂ (x0 − R, x0 + R).
Odtud plynou následující základní vlastnosti mocninných řad:
Věta 3.9. (O spojitosti mocninných řad) Mocninná řada s(x) =
∞
k=0 ak(x − x0)k
je spojitou funkcí
v každém vnitřním bodě oboru konvergence I . Konverguje-li navíc tato řada v levém (resp. pravém)
krajním bodě I , pak je s(x) spojitá v tomto bodě zprava (resp. zleva).
Příklad 3.10. Funkce s(x) =
∞
k=1
(x−1)k
k8k z předcházejícího příkladu je spojitá na (−7, 9) a spojitá zprava
v bodě x = −7.
Věta 3.11. (O derivování mocninných řad) Nechť mocninná řada
∞
k=0 ak(x − x0)k
má poloměr
konvergence R > 0 a součet s(x). Pak platí
s (x) =
∞
k=1
kak(x − x0)k−1
,
tj.
(a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ . . . ) = 0 + a1 + 2a2(x − x0) + . . . ,
přičemž mocninná řada na pravé straně má tentýž poloměr konvergence R.
Věta 3.12. (O integrování mocninných řad) Nechť mocninná řada
∞
k=0 ak(x − x0)k
má poloměr
konvergence R > 0 a součet s(x). Pak platí
b
a
s(x) dx =
∞
k=0
ak
(b − x0)k+1
k + 1
− ak
(a − x0)k+1
k + 1
=
∞
k=0
ak
k + 1
(b − x0)k+1
−
∞
k=0
ak
k + 1
(a − x0)k+1
,
tj.
b
a
(a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ . . . ) dx = a0[x]b
a +
a1
2
[(x − x0)2
]b
a +
a3
3
[(x − x0)3
]b
a + . . .
pro libovolný interval a, b ⊂ (x0 − R, x0 + R), přičemž číselná řada na pravé straně konverguje (a to
absolutně).
Poznámka 3.13. Větu o integraci mocninné řady lze přeformulovat také pro případ, kdy uvažovaný
integrál je funkcí horní meze: pro všechna x ∈ (x0 − R, x0 + R) pak platí
x
x0
∞
k=0
ak(t − x0)k
dt =
∞
k=0
x
x0
ak(t − x0)k
dt =
∞
k=0
ak
(x − x0)k+1
k + 1
=
= a0(x − x0) +
a1
2
(x − x0)2
+
a3
3
(x − x0)3
+ . . .
přičemž mocninná řada na pravé straně má opět poloměr konvergence R.
Pomocí vět o derivování a integrování mocninných řad lze odvodit některé nové vztahy pro součty řad.
Vyjděme např. ze vztahu
∞
k=0
xk
=
1
1 − x
, x ∈ I = (−1, 1) , (3.3)
ÚM FSI VUT v Brně 17
3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
který byl odvozen v kapitole o funkčních řadách. Derivováním této rovnosti dostáváme podle věty o derivaci
mocninných řad
∞
k=1
kxk−1
=
1
(1 − x)2
, tj.
∞
k=1
kxk
=
x
(1 − x)2
, x ∈ (−1, 1) .
Zdůrazněme, že se při derivování a integrování mocninné řady zachovává poloměr konvergence, nikoliv však
nutně konvergence v krajních bodech oboru konvergence. Případnou konvergenci je třeba vždy prověřit
přímým dosazením do řady.
Všimněme si, že řada vystupující v předcházejícím vztahu již není řada geometrická. Dosazením libovolného
x ∈ (−1, 1) do tohoto vztahu lze získat vzorec pro součet negeometrické číselné řady.
Jestliže rovnost (3.3) pro změnu integrujeme, dostáváme po malé úpravě (a prověření konvergence v krajních
bodech) vztah
∞
k=1
xk
k
= − ln(1 − x), x ∈ − 1, 1) . (3.4)
C. Rozvoje funkcí v mocninné řady (Taylorovy řady)
Vraťme se ještě ke vztahu (3.4) a upravme ho jako
ln(1 − x) = −
∞
k=1
xk
k
, x ∈ − 1, 1) .
Tento vzorec lze interpretovat jako rozvoj funkce f(x) = ln(1 − x) do mocninné řady, a sice na intervalu
− 1, 1). To je velmi zajímavá skutečnost (např. proto, že se logaritmickou funkci podařilo vyjádřit pomocí
základních aritmetických operací), která nás vede k obecnější úvaze, totiž za jakých podmínek lze vyjádřit
libovolnou funkci f(x) pomocí nějaké mocninné řady, tj. kdy platí
f(x) =
∞
k=0
ak(x − x0)k
= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ . . . , x ∈ I , (3.5)
kde x0 a ak jsou (zatím nespecifikované) konstanty. Předpokládáme přitom, že daná mocninná řada má kladný
poloměr konvergence R (při R = 0 totiž obor konvergence I obsahuje pouze střed x0, což je nezajímavý
případ.)
Dosazením x = x0 do (3.5) dostáváme f(x0) = a0. Derivací (3.5) a dosazením x = x0 do derivovaného
vztahu máme f (x0) = a1. Opětovným derivováním a dosazením x = x0 pak máme f (x0) = 2 · 1 · a2,
f (x0) = 3 · 2 · 1 · a3 a obecně f(k)
(x0) = k!ak, tj.
ak =
f(k)
(x0)
k!
, k = 0, 1, 2, . . . . (3.6)
Odtud plyne, že pokud platí rozvoj (3.5), pak koeficienty ak jsou dány vztahy (3.6).
Definice 3.14. (Taylorova řada) Nechť funkce f(x) má v bodě x0 derivace všech řádů. Potom Taylorovou
řadou funkce f(x) v bodě x0 nazýváme výraz
Tx0
f (x) =
∞
k=0
f(k)
(x0)
k!
(x − x0)k
.
Poznámka 3.15. (O rovnosti funkce f(x) a její Taylorovy řady) Taylorovu řadu lze napsat vždy,
pokud má funkce f(x) v bodě x0 derivaci všech řádů. Vzniká však otázka, zda tato řada má za součet
skutečně funkci f(x). Tímto problémem se budeme nyní zabývat.
Protože Taylorova řada je limitním případem Taylorova polynomu Pn(x), připomeňme v této souvislosti
tento pojem, se kterým jsme se seznámili v diferenciálním počtu.
ÚM FSI VUT v Brně 18
3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
Víme, že n-krát spojitě diferencovatelnou funkci f(x) můžeme v okolí U(x0) bodu x0 nahradit Taylorovým
polynomem Pn(x), a to se zbytkem Rn(x), takže je
f(x) = Pn(x) + Rn(x) pro všechna x ∈ U(x0),
kde
Pn(x) = f(x0) +
f (x0)
1!
(x − x0) + · · · +
f(n)
(x0)
n!
(x − x0)n
=
n
k=0
f(k)
(x0)
k!
(x − x0)k
.
Odtud lze odvodit následující ekvivalentní podmínku pro to, aby Taylorova řada funkce f(x) byla skutečně
rovna f(x):
Nechť funkce f(x) má v intervalu I derivace všech řádů a nechť x0 ∈ I je vnitřním bodem I. Potom v
tomto intervalu platí
f(x) =
∞
k=0
f(k)
(x0)
k!
(x − x0)k
,
když a jen když
lim
n→∞
Rn(x) = 0 pro všechna x ∈ I. (3.7)
K praktickému ověření vztahu (3.7) se obvykle používá tzv. Lagrangeův tvar zbytku Rn(x) ve tvaru
Rn(x) =
(x − x0)n+1
(n + 1)!
f(n+1)
(x0 + (x − x0)ϑ) ,
kde ϑ je blíže neurčené číslo, přičemž 0 < ϑ < 1.
Taylorovy rozvoje elementárních funkcí. Naznačíme praktický postup při určování rozvojů funkcí do
mocninných řad. V zásadě rozlišujeme metody přímé a nepřímé.
Přímé metody (rozvoje funkcí f(x) = ex
, cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x)r
): Používají se v případě,
lze-li vyjádřit ak podle vztahu (3.6), tj. jsme-li schopni určit f(k)
(x0) pro libovolné k. Ve všech uvedených
případech volíme x0 = 0.
Postup naznačíme pro funkci f(x) = ex
. Platí f(k)
(x) = (ex
)(k)
= ex
, takže f(k)
(0) = e0
= 1, a podle
(3.6) ak = 1
k! (k = 1, 2, . . . ). Pomocí Lagrangeova tvaru zbytku se snadno ukáže, že limn→∞ Rn(x) = 0 pro
všechna x ∈ R. Dohromady
ex
=
∞
k=0
xk
k!
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞) .
Dále analogicky:
sin x =
∞
k=0
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
= x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞),
cos x =
∞
k=0
(−1)k
x2k
(2k)!
= 1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞),
ln(1 + x) =
∞
k=0
(−1)k
xk+1
k + 1
= x −
x2
2
+
x3
3
−
x4
4
+ . . . , x ∈ (−1, 1 ,
(1 + x)r
=
∞
k=0
r
k
xk
= 1 +
r
1
x +
r
2
x2
+ . . . , x ∈ (−1, 1),
kde r je libovolné reálné číslo, r
k := r(r−1)...(r−k+1)
k! pro k = 1, 2, . . . a r
0 := 1. Tato řada se nazývá
binomická.
Nepřímé metody: V následujících příkladech ukážeme i jiné způsoby rozvojů, které vzorce (3.4) přímo
nevyužívají.
Příklad 3.16. Určeme Taylorův rozvoj funkce f(x) = arctg x v bodě x0 = 0.
ÚM FSI VUT v Brně 19
3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
Řešení. Nejprve odvodíme rozvoj funkce f (x) = 1 (1+x2
). Snadno ověříme, že f (x) je součtem geometrické
řady, kde první člen a1 = 1 a kvocient q = −x2
. Tedy
1
1 + x2
= 1 − x2
+ x4
− x6
+ · · · =
∞
k=0
(−1)k
x2k
, x ∈ (−1, 1).
Integrací tohoto vztahu obdržíme rovnost
arctg x =
x
0
1
1 + t2
dt =
x
0
∞
k=0
(−1)k
t2k
dt =
∞
k=0
(−1)k x2k+1
2k + 1
,
kde x ∈ (−1, 1). Dále je třeba ještě vyšetřit konvergenci řady v krajních bodech oboru konvergence. Dosazením
x = 1 dostáváme alternující řadu
∞
k=0(−1)k
(2k+1), která konverguje podle Leibnizova kritéria. Po dosazení
x = −1 a následném vytknutí znaménka obdržíme tutéž řadu. Ukázali jsme tedy, že platí
arctg x =
∞
k=0
(−1)k x2k+1
2k + 1
= x −
x3
3
+
x5
5
−
x7
7
+ . . . , x ∈ − 1, 1 .
Příklad 3.17. Určeme Taylorův rozvoj funkce f(x) = e−x2
se středem v bodě x0 = 0.
Řešení. Nejprve napišme výše odvozený rozvoj funkce ex
, kde proměnnou x přeznačíme jako t:
et
=
∞
k=0
tk
k!
= 1 +
t
1!
+
t2
2!
+
t3
3!
+ . . . , t ∈ (−∞, +∞) .
Odtud dosazením substituce t = −x2
máme
e−x2
=
∞
k=0
(−x2
)k
k!
1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞) .
Užití rozvojů funkcí v mocninné řady. Na závěr této kapitoly budeme na příkladech ilustrovat některé
z četných aplikací rozvojů funkcí v Taylorovy řady. Kromě náhrady funkce Taylorovým polynomem (tedy
částečným součtem Taylorovy řady) lze tyto rozvoje použít např. k vyjádření některých známých číselných
konstant, k výpočtu limit a integrálů a také při řešení diferenciálních rovnic (o této otázce pojednáme později).
Příklad 3.18. Pomocí základních aritmetických operací vyjádřeme hodnotu e, π a ln 2.
Řešení. Položíme-li x = 1 postupně v rozvojích funkcí ex
, arctg x a ln(1 + x), dostáváme vyjádření
e =
∞
k=0
1
k!
= 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ . . . ,
π = 4
∞
k=0
(−1)k
(2k + 1)
= 4 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ . . . ,
ln 2 =
∞
k=0
(−1)k
k + 1
= 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ . . . .
Příklad 3.19. Pomocí rozvoje funkce f(x) = (sin x) x určeme lim
x→0
f(x) a vyjádřeme
x
0
f(t) dt ve tvaru
mocninné řady.
Řešení. Na základě rozvoje funkce sin x snadno určíme
sin x
x
=
∞
k=0
(−1)k x2k
(2k + 1)!
= 1 −
x2
3!
+
x4
5!
−
x6
7!
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞).
ÚM FSI VUT v Brně 20
3. Mocninné a Taylorovy řady Studijní text
Odtud ihned plyne známý vztah
lim
x→0
sin x
x
= 1.
Dále danou řadu integrujeme člen po členu, takže platí
x
0
sin t
t
=
∞
k=0
x
0
(−1)k t2k
(2k + 1)!
dt =
∞
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)(2k + 1)!
,
kde x ∈ (−∞, +∞).
Příklad 3.20. Vypočtěme
1
0
e−x2
dx a určeme, kolik členů řady je třeba sečíst, aby hodnota integrálu byla
aproximována s chybou menší než 10−6
.
Řešení. Pomocí rozvoje funkce et
a následnou substitucí t = −x2
jsme ukázali, že platí
e−x2
=
∞
k=0
(−x2
)k
k!
pro všechna x ∈ (−∞, +∞) .
Opět můžeme integrovat člen po členu, takže
1
0
e−x2
dx =
1
0
∞
k=0
(−x2
)k
k!
dx =
∞
k=0
1
0
(−1)k
x2k
k!
dx =
∞
k=0
(−1)k
k!(2k + 1)
.
Protože obdržená číselná řada je alternující, k odhadu velikosti zbytku využijeme vztah |Rn| ≤ an=1 (viz
kapitola 1, Leibnizovo kritérium). Odtud
|Rn| ≤
1
(2n + 3)(n + 1)!
< 10−6
⇐⇒ n ≥ 8.
K dosažení požadované přesnosti je tedy třeba provést následující náhradu:
1
0
e−x2
dx ≈ 1 −
1
3
+
1
5.2!
−
1
7.3!
+ · · · +
1
17.8!
= 0, 746824 .
Definice 3.21. (Eulerův vzorec) Dosaďme v Taylorově rozvoji funkce ex
za x výraz ix, kde i je imaginární
jednotka. Protože i2
= −1, i3
= −i, i4
= 1, . . . , dostaneme
eix
= 1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+ . . . + i x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ . . .
čili
eix
= cos x + i sin x .
Shrnutí poznatků o mocninných řadách
Mocninné řady jsou funkční řady, jejichž členy tvoří mocninné funkce s přirozeným exponentem (jsou
tedy vlastně polynomy nekonečně velkého stupně). Oborem konvergence každé mocninné řady je buďto jednoprvková
množina, nebo konečný interval symetrický kolem středu, nebo celá reálná osa. Tyto řady navíc
konvergují stejnoměrně na každém uzavřeném podintervalu oboru konvergence. Tato vlastnost nám umožňuje
mocninné řady derivovat a integrovat člen po členu, přičemž poloměr konvergence zůstává nezměněn.
Rozvojem funkce do mocninné řady rozumíme nalezení mocninné řady, jejímž součtem je právě daná
funkce. Tato mocninná řada se pak nazývá řada Taylorova. Pro většinu elementárních funkcí umíme nalézt
její rozvoj do mocninné řady, a to buď pomocí vzorce, nebo užitím jiných obratů. Tyto rozvoje se využívají
především v tom smyslu, že řadu operací (vyčíslení funkční hodnoty, limity, derivace, integrálu) lze provést
snadněji pro tyto rozvoje, nežli pro funkce samotné.
ÚM FSI VUT v Brně 21