1
Úlohy do semináře DM4
Sestavila Irena Budínová
1. Řešte následující úlohu, která typově odpovídá úloze z Matematické olympiády.
Vysvětlete postup řešení.
Je dán trojúhelník ABC. Střed strany AB je bod U a na straně BC zvolte bod
V tak, aby | |: | | = 1: 3. Narýsujte průsečík přímek AC a UV a označte ho T.
V jakém poměru jsou délky úseček AC a CT?
2. Řešte následující úlohu, která typově odpovídá úloze z Matematické olympiády.
Vysvětlete postup řešení.
Prodavačka prodávala syrová vejce. První zákazník si koupil polovinu všech vajec
a půl vejce, druhý zákazník polovinu zbytku a půl vejce, třetí zákazník polovinu
zbytku po druhém a půl vejce a prodavačce zbylo jedno vejce. Kolik vajec měla
na počátku?
3. Doplňte chybějící číslice tak, aby platilo:
x x 9
. x x 4
x x x x
1 7 x 4
x x 2 3
x x x x x x
4. Zdůvodněte (pokud možno různými způsoby), proč platí následující pravidla:
a) Součin sudého počtu záporných čísel je číslo kladné.
b) Součin lichého počtu záporných čísel je číslo záporné.
c) Dělit nulou nelze.
5. Ukažte induktivní a deduktivní přístup při dokazování následujícího tvrzení a dokažte
úplnou matematickou indukcí.
Číslo ( − 7) je dělitelné šesti pro libovolné přirozené číslo .
6. Řešte následující slovní úlohy a) experimentálně, b) rovnicemi, c) kongruencemi.
Číslo y dává po dělení pěti zbytek 2 a po dělení sedmi zbytek 4. O jaké číslo se
jedná?
7. Dokažte, že √5 není racionální číslo. Znázorněte úsečku délky √5 cm
a) pomocí Pythagorovy věty,
b) pomocí Eukleidových vět.
8. Řešte následující úlohy z finanční matematiky. Vysvětlete na nich problematické části
procentového počtu.
a) Cena kabátu byla nejprve zvýšena o 20 % a potom byla tato nová cena snížena
o 35 %. Nyní se kabát prodává za 3 990 Kč. Jaká byla jeho původní cena před
zdražením?
b) Cena kabátu byla nejprve zvýšena o 20 % a potom byla tato nová cena snížena
o 25 %. Ušetří nakupující oproti ceně před zdražením?
2
9. Řešte následující slovní úlohy a ukažte různé přístupy k řešení:
a) Honza a Kája mají dohromady ušetřeno 3 220 Kč. Kája ušetřil o 180 Kč méně
než Honza. Kolik korun ušetřil každý z nich?
b) Cihla váží kilo a půl cihly. Kolik váží cihla?
10. Ukažte možnosti ověřování / dokazování následujících matematických tvrzení. Ve
kterém ročníku se s těmito větami můžeme setkat?
a) Pro prvních lichých přirozených čísel platí 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2 − 1) = .
b) Součet tří po sobě jdoucích mocnin čísla 2 je vždy dělitelný číslem 7.
11. Řešte následující slovní úlohy.
a) Vyřešte úlohu i) pomocí rovnice, ii) graficky, iii) pomocí funkcí:
Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 4 km/h vyjel z téhož místa o 2
hodiny později cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho a jak
daleko od výchozího místa dohoní cyklista chodce?
b) 45 litrů vína bylo stočeno do 54 lahví, některé byly litrové a některé 0,7 litrové.
Kolik bylo kterých lahví?
12. Řešte úlohy a rovnice vedoucí na řešení kvadratických rovnic:
a) Nalezněte koeficienty a tvar kvadratického polynomu + + , jestliže
víte, že součin kořenů je roven − a součet kořenů − .
b) Řešte v oboru reálných čísel rovnici pouze ekvivalentními úpravami:
3
( − 2)( − 5)
=
+ 2
− 5
−
2
− 2
.
13. Na následujících příkladech popište metodiku výuky zakreslování grafu funkce.
a) Motivujte reálnými příklady následující funkce a zakreslete jejich grafy:
= 3 , = −0,5 , = 2 − 5, = 2( + 3).
b) Zakreslete grafy funkcí: = !
, = !
+ 1, = !"
14. Kvadratická funkce.
Zakreslete grafy funkcí = − + 1, = 2 − 4 − 6. Určete vlastnosti
druhé funkce.
15. Racionální lomená funkce.
a) Zakreslete graf funkce =
!"
!%
. Určete vlastnosti této funkce.
b) Jak se změní tlak plynu, jestliže se při stejné teplotě změní jeho objem na
dvojnásobek? Zakreslete graf.
16. Goniometrické funkce.
Zakreslete grafy funkcí = sin 3 , = −2 sin + 1, = cos( −
+
).
Určete vlastnosti druhé z funkcí.
17. Goniometrické funkce
Pomocí jednotkové kružnice definujte funkce = sin , = cos , = tg .
Dále pomocí jednotkové kružnice určete sin / a cos 0
/.
18. Aplikace goniometrických funkcí.
a) Máme pravidelný trojboký jehlan o délce hrany základny 2 cm a výšce 4 cm.
Určete odchylku a) boční stěny od základy, b) boční hrany od základny.
3
b) Zjistěte bez kalkulačky za použití pravítka, kružítka a úhloměru úhel 1, je-li
sin 1 = 0,73.
19. Planimetrie.
Jaký je součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku? Dokažte různými způsoby.
20. Řešte konstrukční úlohy:
Proveďte a popište základní konstrukci úsečky délky
0
cm dvěma různými
způsoby.
21. Řešte konstrukční úlohy:
Je dána úsečka AP, |AP| = 4 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které
je AP výškou ke straně BC a dále je dáno c = 5 cm, tb = 6 cm.
22. Geometrická zobrazení.
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: strany , a těžnice ke straně .
23. Geometrická zobrazení.
Rozdělte úsečku AB v poměru zlatého řezu.
24. Stereometrie.
Definujte pravidelná tělesa a uveďte jejich zajímavé vlastnosti.
Experimentálním způsobem ověřte platnost Eulerovy věty.
25. Míry geometrických útvarů.
a) Definujte následující pojmy: délka úsečky, obsah rovinného útvaru, objem
prostorového útvaru.
b) Ukažte zavedení obsahu čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, trojúhelníku.
26. Míry geometrických útvarů.
Vepište do kružnice o poloměru 2 postupně rovnostranný trojúhelník, čtverec,
pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník. Vyjádřete jejich obvody a
obsahy pomocí 2.
27. Řešte kombinatorické úlohy. Postupujte způsobem odpovídajícím základní škole a
pomocí vzorce, který na příkladu osvětlíte.
Kolik přímek je určených 12 různými body v rovině, jestliže právě čtyři z nich
leží na jedné přímce a žádné tři další ze zadaných bodů již neleží na jedné
přímce?
28. Řešte úlohy z pravděpodobnosti a statistiky:
Z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 0 sestavte všechna šesticiferná čísla tak, aby se číslice
v zápisu čísla neopakovaly. Náhodně vybereme jedno číslo. Vypočítejte
pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo bude i) dělitelné pěti, ii) dělitelné
třemi.