2.5 Kmity a rezonance
Kmitavý pohyb
● těleso vychýlené ze stálé rovnovážné polohy (tj.
polohy, do které má tendenci se po vychýlení vracet)
koná periodický (pravidelně se opakující) pohyb
● jedno opakování tohoto pohybu nazýváme kmit
● kmitající soustavu těles nazýváme oscilátor
● dobu trvání jednoho kmitu nazýváme perioda T
● převrácenou hodnotou periody je frekvence f
● definice periody T a frekvence f zůstávají stejné jako
u rovnoměrného pohybu po kružnici – viz téma 2.1p.
● polovina kmitu se (zejména u kyvadel) nazývá kyv,
kyvem se zpravidla myslí pohyb z jednoho mrtvého bodu ke druhému
Mechanické oscilátory
Příklady mechanických oscilátoru
● závaží o hmotnosti m na pružině s tuhostí k
● matematické kyvadlo (hmotný bod na nehmotném závěsu),
v praxi se přibližně realizuje kovovou kuličkou zavěšenou na niti
● fyzické kyvadlo (jakékoliv těleso zavěšené nad svým těžištěm)
● ladička; struna na kytaře; sloupec vzduchu ve flétně
● lehký míček plovoucí na hladině vody
● kulička v kulové dutině s hladkými stěnami (misce)
● nepokoj v mechanických náramkových hodinkách
● dětská houpačka
Amplituda a fáze
Amplituda ym
● je maximální výchylka oscilátoru během kmitu
vzhledem k rovnovážné poloze
● mrtvé body (body zvratu) jsou do sebe vzdáleny
o dvojnásobek amplitudy v daném kmitu
Fáze ϕ = ω t + ϕ0
● určuje okamžitou polohu oscilátoru; říkáme, že
oscilátor je v určité fázi kmitu
● počáteční fázi ϕ0
pokládáme často rovnu nule,
takže platí ϕ = ω t
Typy kmitů podle tlumení a buzení
Kmity podle tlumení
● netlumené (amplituda zůstává v čase konstantní)
● tlumené (amplituda klesá s časem, ovšem ne lineárně)
Kmity podle buzení
● vlastní (po počátečním vychýlení z rovnovážné
polohy kmitá oscilátor sám bez vnějšího působení);
vlastní kmity jsou vždy tlumené v důsledku odporových sil (např.
tření); tlumení je někdy nežádoucí a někdy žádoucí – např. tlumiče
automobilu
● nucené (na těleso působíme periodickou silou
o frekvenci f, takže mechanický oscilátor pak kmitá
také s touto frekvencí)
Rezonance
Rezonance
● nastává pouze u reálného buzeného oscilátoru jedná
se tedy o nucené kmity oscilátoru, jehož vlastní kmity
by byly tlumené
● zajímá nás závislost amplitudy ym
na frekvenci budící
síly f ; zjistíme, že amplituda prudce vzrůstá, když se
budící frekvence f blíží frekvenci f0
vlastních kmitů
mechanického oscilátoru
● tento prudký nárůst amplitudy nazýváme rezonance
● rezonanci musíme mít pod kontrolou ve strojírenství,
u výškových staveb, u dlouhých mostů apod.
Souvislost RPK a kmitání
Harmonické kmity
● podíváme-li se na těleso pohybující se RPK ze strany
(v rovině pohybu), uvidíme harmonické kmity
● harmonické kmity vykonává také závaží na pružině
● RPK a kmitání popisujeme stejnými veličinami
T, f, ϕ, ω ; veličinu ω nazýváme u RPK úhlová
rychlost, zatímco u harmonických kmitů úhlová
frekvence
● okamžitou výchylku
harmonických kmitů
určuje funkce sinus
y = ym sinω t
v = ymω cosω t
ay = − ym ω2
sinω t
2.5p Kyvadla, historie měření času
Kyvadlo
● doba kmitu T matematického kyvadla závisí pouze na
délce závěsu l a intenzitě gravitačního pole g v místě,
kde je kyvadlo zavěšeno
● protože obě veličiny lze poměrně dobře fixovat, hodí
se kyvadlo k řízení chodu hodin
● předchůdcem kyvadla v mechanických hodinách byl
lihýř (je např. v Pražském orloji), jehož chyba byla
běžně několik minut za jeden den
T = 2π
l
g
Mechanické hodiny a kyvadlo
Prozkoumávání nového světa
● v 17. století bylo potřeba přesné určení zeměpisných
souřadnic
● zeměpisná šířka se určovala podle výšky Polárky nad
obzorem pomocí přístroje zvaného sextant
● pro určení zeměpisné délky byl kromě měření polohy
hvězd potřeba přesný čas – hodiny, které mají velkou
přesnost (± 0,1 s za 1 den) a jdou dobře i na lodi
● s myšlenkou spojení kyvadla a hodin přišel asi první
Galileo Galilei, ale nestihl ji zrealizovat
● první (a velmi přesné) kyvadlové hodiny nejen navrhl
ale i vyrobil Christian Huygens 1656
Měření času
Přirozená jednotka času
● už pro pravěkého člověka byl jeden den (1 d)
● den se přirozeně dělil na světlo a tmu … den a noc
● den i noc se dělily na tucet (12) dílů, jejichž délka
pak záležela na ročním období (babylónský čas)
● s mechanickými hodinami (ozubená kola) přichází
dělení dne na 2 x 12 = 24 stejně dlouhých hodin
● přesnější dělení > další ručička > 60 malých dílků
(lat. minuta)
● další zpřesňování: prima minuta a sekunda minuta
● převody: 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s
Měření času - kalendář
Kalendář vzniká na základě pozorování
● pohybu nebeských těles (slunce, měsíc, hvězdy)
● dějů v přírodě
● Juliánský kalendář (Julius Caesar 45 př.n.l.)
● Gregoriánský kalendář (Řehoř XIII. 1582)
● zajímavý je Mayský kalendář, přesnější než náš GK
● zajímavý je i čistě lunární Islámský kalendář, který
se proti našemu kalendáři každý rok posunuje
Měření času a pražský orloj
Měření času a pražský orloj
2.6 Mechanika pevných těles
Pevné těleso
● reálná pevná tělesa jsou tvořena pevnou látkou
s určitou hustotou ρ
Hustota ρ (angl.)
● je definována jako podíl hmotnosti m a objemu V
tělesa z dané látky
●
[ρ] = kg.m-3
● obdobně lze definovat i hustotu kapalin a plynů
● hustota plynů se mění s teplotou a tlakem, uvádíme
ji za normálních podmínek (p = 101325 Pa, t = 0 °C)
ρ =
m
V
Chování těles při deformaci
Deformace pevného tělesa
● změna rozměrů, tvaru, objemu
Pevná tělesa dělíme na
● pružná (elastická) tělesa … přestane-li působit
deformační síla, vrací se do původního tvaru
● tvárná (plastická) tělesa … i když přestane působit
deformační síla, zůstanou v deformovaném tvaru
Ráz (odraz, nebo náraz) těles
● pružný (kulečníkové koule, míč na basketbal) - odraz
● tvárný (koule z plastelíny) - „slepí“ se do 1 tělesa
Změna vlastností látek s teplotou
Křehkost
● těleso se působením deformační síly rozlomí,
roztříští, rozpadne na kousky (např. sklo)
Pevné látky mění své vlastnosti
● ponoříme-li gumovou hadičku na chvíli do tekutého
dusíku (teplota varu tv
= – 196 °C), ztratí pružnost
a snadno ji rozbijeme kladivem
● ztráta pružnosti nebo vznik trhlin vlivem deformací
může být velmi nebezpečné u staveb nebo strojů
(technické aplikace fyziky pevných látek)
Typy deformace pevných látek
Deformace podle působících sil
● tah  
● tlak  
● ohyb  
● smyk
● kroucení  
Mechanické napětí σ (sigma)
● veličína přímo úměrná napěťové síle F a nepřímo
úměrná průřezu namáhané tyče S
● všimněte si, že napětí se definuje stejně jako tlak,
má i stejnou jednotku (jakou ?), ale jiný fyzikální význam
σ =
F
S
Hookův zákon
Zákon popisující pružnou deformaci tělesa (tyče)
● formuloval Robert Hook, současník Isaaca Newtona
● prodloužení tyče je přímo úměrné působícímu
mechanickému napětí
● konstanta přímé úměrnosti
je E-1
● konstanta E se nazývá
modul pružnosti v tahu a jde o materiálovou
konstantu uváděnou v technických tabulkách
● pro ocel E = 220 GPa
∆ l =
1
E
σ l
Tuhé těleso
Tuhé těleso
● zidealizovaná předsava tělesa, které se nedeformuje
● pokud na těleso nepůsobí velké napěťové síly,
odpovídá tato představa realitě
● tvar tuhého tělese se tedy nemění, zajímá nás pouze
změna jeho polohy, tedy pohyb
Pohyb tuhého tělesa
● posuvný … translace
● otáčivý … rotace
2.6p Rotace tuhého tělesa
Otáčení tuhého tělesa
● probíhá kolem osy otáčení (body na ose otáčení jsou
během otáčení v klidu – nepohybují se)
● osa otáčení může mít reálný základ (hřídel či osička,
uložená v ložiskách; umožní pouze rotaci, ale nikoliv
translaci), nebo může být pouze myšlená (těleso pak
často koná otáčivý i posuvný pohyb současně)
● vektor síly, která způsobuje roztočení tělesa, nesmí
ležet na přímce procházející osou otáčení
● účinek síly záleží nejen na velikosti působící síly, ale
také na kolmé vzdálenosti přímky, na níž leží vektor
působící síly od osy vzdálenosti, tj. tzv. rameno síly
Moment síly vzhledem k ose otáčení
Moment síly M (angl. moment)
● vektorová veličina, leží na ose otáčení, míří směrem
k pozorovateli, pokud vidí kladný směr otáčení (proti
směru hodinových ručiček – tak se pouští voda :-)
● vektorově ji definujeme jako vektorový součin
polohového vektoru r působiště síly vzhledem k ose
otáčení a působící síly F
● pokud místo polohového vektoru vezmeme rameno
síly d a u síly uvažujeme její velikost F, dostaneme
jednoduchý vztah M = F d
M = r×F = r F sin a
Moment síly vzhledem k ose otáčení
Moment síly M
F
r
d
a
M = F d
M
Moment síly vzhledem k ose otáčení
Jednotka momentu síly
● je newtonmetr … N.m
Pravidlo pravé ruky
● pokud ohnuté prst pravé ruky ukazují směr otáčení,
pak kolmo k nim vztyčený palec ukazuje směr
momentu síly (a samozřejmě i směr osy otáčení)
● toto pravidlo platí obecně pro vektorový součin:
první vektor (zde polohový vektor r) míří do dlaně,
druhý vektor (zde síla F) ukazují prsty pravé ruky
a součin vektorů ukazuje kolmo vztyčený palec
[M ] = [ F ].[d] = N.m
Momentová věta
Slovní vyjádření
● Otáčivý účinek několika sil na tuhé těleso se ruší, jeli
součet jejich momentů vzhledem k téže ose nulový.
Matematické vyjádření
● Pro rovnovážný stav (klid nebo rovnoměrnou rotaci)
platí
● obecně
● pro dvě síly
● vyjádření pro dvě síly je základem pro popis několika
jednoduchých strojů (páka, kladka, kolo na hřídeli)
∑ M = ∑ F×r = 0
F1 d1 = F2 d2
Momentová věta a rovnoramenné váhy
Popis situace
● na rovnoramenných vahách je v rovnováze moment působený
tíhou váženého tělesa na levé misce a moment působený tíhou
závaží na pravé misce
● ramena obou sil jsou stejně velká d = d1
= d2
● tedy platí (pro dvě síly – tíhy)
● F1
d = F2
d
● G1
d = G2
d
● m1
g d = m2
g d / : g : d
● m1
= m2
● tedy hmotnost tělesa m1
je stejná jako hmotnost závaží m2
2.7 Mechanika tekutin
Tekutiny
● nemají stálý tvar – tečou
● kapaliny (mají stálou hustotu – jsou nestlačitelné)
● plyny (hustota se mění s tlakem a teplotou – jsou
stlačitelné)
Mechanika tekutin
● podle typu tekutiny
● hydromechanika (mechanika kapalin – vody)
● aeromechanika (mechanika plynů – vzduchu)
● podle proudění tekutiny
● hydrostatika a aerostatika (tekutina je v klidu)
● hydrodynamika a aerodynamika (proudící tekutina)
Kapaliny a plyny
Kapaliny
● zachovávají svůj objem V
● v nádobě vytváří vodorovnou hladinu
● jsou nestlačitelné (ideální kapalina), resp. velmi málo
stlačitelné (reálná kapalina)
Plyny
● snadno mění svůj objem V
● vyplní celý objem uzavřené nádoby
● jsou dokonale stlačitelné (ideální plyn), resp. velmi
snadno stlačitelné (reálný plyn)
Vnitřní tření (vazkost, viskozita)
Ideální tekutiny
● ideální kapalina i ideální plyn nemají žádné vnitřní
tření
Reálné tekutiny
● reálné kapaliny i reálné plyny mají vnitřní tření, které
brzdí jejich proudění
● velké vnitřní tření (velkou viskozitu) mají např. med,
nebo rozehřátý asfalt
● malé vnitřní tření má např. voda, líh
● u některých látek závisí viskozita na přesném složení
a teplotě (např. oleje – mazání motoru v automobilu)
Tlak působený vnější silou
Pascalův zákon
● tlak vyvolaný vnější silou se šíří v tekutině všemi
směry a je ve všech místech tekutiny stejně velký
● aplikace: hydraulická zařízení (zvedák, lis, stavební
stroje – buldozer, bagr, brzdy v automobilu, …)
Tlak p (angl. pressure)
● je přímo úměrný působící tlaková síle F a nepřímo
úměrný ploše pístu S
● jednotkou tlaku je pascal
1 Pa = 1 N.m-2
(newton na čtverečný metr)
p =
F
S
Princip hydraulických zařízení
Hydraulická zařízení
● hydraulické brzdy v automobilech, stavební stroje,
zvedáky, lisy, polohovací křeslo u stomatologa
● menší píst je v praktických zařízeních často nahrazen
čerpadlem, nebo pumpou na hydraulickou kapalinu
p = konst. ⇒
F1
S1
=
F2
S2
⇒
F1
F2
=
S1
S2
Tlak působený tíhou kapaliny
Hydrostatický tlak
● odpovídá tíze kapaliny G v myšleném sloupci nad
myšlenou či skutečnou plochou S (např. dno nádoby)
●
objem sloupce kapaliny je V = S h a tíha G = ρ V g
● odtud hydrostatická tlaková síla Fh
= ρ S h g
● a hydrostatický tlak
● ve vodě vzroste tento
tlak na každých 10 m
o 100 kPa = 1 at
(o 1 technickou atmosféru)
● hydrostatický paradox a Pascalův pokus se sudem !
p =
F
S
= ρ h g
Archimedův zákon
Slovní vyjádření
● Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou,
která se rovná tíze kapaliny stejného objemu, jaký
má ponořená část tělesa.
● lze využít k určení hustoty pevné látky (příběh
o králi, ztlatníkovi a koruně ze slitiny Au a Ag)
● vztlakem se vysvětluje i plování těles (záleží na
porovnání hustot tělesa a kapalin … jak?)
Matematické vyjádření
●
ρ … hustota kapaliny
● V … objem ponořené části tělesa
Fvz = ρ g V
Tlak působený tíhou vzduchu
Atmosferický tlak
● nelze vyjádřit stejně jednoduchým vzorcem jako
hydrostatický tlak, protože hustota vzduchu se mění
s výškou
● s rostoucí výškou hustota i tlak rychle klesají a klesá
také teplota vzduchu (na 1000 m zhruba o 6,5 °C)
● existenci atmosferického tlaku svými experimenty prokázali
jako první Jan Evangelista Torricelii a Otto von Guericke
● tlak vzduchu měříme barometrem, obecně přístroje k měření
tlaku nazýváme manometry
● ke snižování tlaku vzduchu v nádobě slouží vývěvy
● normální atm. tlak u hladiny moře p0
= 101 352 Pa
2.7p Proudící tekutiny
Objemový průtok QV
● množství tekutiny, které proteče průřezem trubice
za jednotku času
● známe-li průřez trubice S a rychlost proudění
tekutiny v, vypočteme jej
Rovnice kontinuity
● česky nazývána rovnice spojitosti toků
● platí pouze pro kapaliny (protože jsou nestlačitelné)
● Objemový průtok kapaliny měřený v libovolném
místě trubice zůstává v celé trubici konstantní.
QV = S v
Rovnice kontinuity
S1 v1 = S2 v2
v2
v1
S1
S2
Bernoulliova rovnice
Zákon zachování energie
● myšlený jednotkový objem kapaliny má v každém
místě trubice stejnou celkovou mechanickou energii
● jde o kinetickou energii (úměrná v2
), potenciální
energii polohovou (úměrná h) a tlakovou (úměrná p)
● platí pouze v ideální kapalině (bez vnitřního tření)
Celkový tlak proudící kapaliny
● statický tlak p, který naměříme manometrem
●
hydrostatický tlak ρ g h
● dynamický tlak, daný pohybem kapaliny
1
2
ρv
2
Bernoulliova rovnice
1
2
ρv1
2
 p1 = 1
2
ρv2
2
 p2
v2
v1
p1
p2
Bernoulliova rovnice a vzduch
Aerodynamický paradox
● Foukni silně (rychle) mezi dva papíry! Co se stane?
● Proč je nebezpečné, když cyklistu předjíždí rychle
jedoucí kamion?
● Na jakém principu funguje rozprašovač (fixírka)?
Aerodynamika v dopravě
● Víme, že křídla letadel jsou zvedána aerodynamickou
vztlakovou silou (tvar křídla, rychle proudící vzduch).
● Závodní auta F1 mají naopak přítlačná křídla.
Hydrodynamický paradox
● Jak funguje vodní vývěva? (rychle proudící voda)
Torricelliho vzorec
Rychlost výtoku kapaliny
● kapalina vytéká z otvoru ve stěně nádoby
● v místě otvoru se její hydrostatický tlak přesně
vyrovná s dynamickým tlakem
● což matematicky zapíšeme rovnicí
●
vydělte tuto rovnici hustotou kapaliny ρ a vyjádřete
z ní rychlost v výtoku kapaliny z nádoby v závislosti
na výšce h hladiny kapaliny nad výtokovým
otvorem.
ρ g h = 1
2
ρv
2
Torricelliho vzorec
Výsledek odvození
● pokud osamostatníte rychlost, dostanete výsledný
vztah nazývaný Torricelliho vzorec
v = 2h g
2.8 Teorie relativity
Speciální teorie relativity
● Albert Einstein 1905
● ve všech inerciálních vztažných soustavách probíhají
všechny fyzikální děje podle stejných zákonů
● rychlost světla ve vakuu je mezní (nepřekročitelná)
rychlost a je stejná ve všech inerciálních vztažných
soustavách
Obecná teorie relativity
● Albert Einstein 1926
● zobecňuje popis i na neinerciální vztažné soustavy
● buduje moderní teorii gravitace
● projevuje se v kosmickém měřítku (hvězdy, galaxie)
Skládání rychlostí
Princip stálé rychlosti světla
●
rychlost světla ve vakuu c je mezní (nepřekonatelná)
rychlost a je stejná ve všech inerciálních vztažných
soustavách
● z tohoto principu jasně plyne, že rychlosti se nemohou
skládat prostým sčítáním
● v rámci STR lze (pomocí středoškolské matematiky)
odvodit vzorec
v =
v1  v2
1
v1 v2
c2
Další důsledky STR
Relativita současnosti
● události, které jeden pozorovatel vnímá jako současné,
mohou z pohledu druhého pozorovatele nastat v různou dobu
Vyjadřování vysokých rychlostí
● rychlosti v blízké rychlosti světla c vyjadřujeme často
pomocí poměru β
Kontrakce délek
● tělesa se ve směru pohybu vysokou rychlostí zkracují
● označíme-li klidovou délku l0
, pak při rychlosti v = βc je
pozorována délka (ve směru pohybu)
β =
v
c
l = l0 1−β 2
Další důsledky STR
Dilatace času
● pozorujeme-li částici pohybující se vysokou rychlostí, plyne
její čas z našeho pohledu pomaleji
● tento jev byl mnohokrát pozorován, např. při detekci mionů,
které vznikly v horních vrstvách atmosféry a jen díky dilataci
času mají šanci doletět až k povrchu Země
● označíme-li trvání děje ve vlastním čase pohybující se
částice (soustavy) ∆t0
, pak při pohybu rychlostí v = βc je
pozorována doba trvání děje
∆t =
∆t0
1−β 2
Hybnost a energie ve STR
Hybnost p částice (tělesa)
● částice s klidovou hmotností m0
, pohybující se vysokou
rychlostí v = βc má hybnost
● na vzorec se lze dívat i tak,
že hmotnost částice (tělesa)
s jeho rychlostí v roste
Energie E částice (tělesa)
● celková energie E se skládá
z klidové energie m0
c2
a z kinetické energie Ek
p =
m0 v
1−β 2
E = mc
2
E = m0 c2
 Ek
Albert Einstein
Osobnost 20. století
● narozen 1879 v Ulmu v židovské podnikatelské rodině
● 1905 - „zázračný rok“ - publikoval několik děl, která změnila
fyziku (2005 – světový rok fyziky)
● 1911-12 učil na německé univerzitě v Praze
● 1922 – Nobelova cena za fyziku
● 1933 – utíká před fašisty z Německa do USA
● v průběhu 2. sv. války varuje prezidenta USA před nebezpečím
atomové bomby (bojí se, že by ji mohl získat Adolf Hittler)
● později usiluje o mír, snaží se prosadit zákaz jaderných zbraní
● jeho rodinný život není příliš šťastný
● ve fyzice se snaží o sjednocení známých teorií do jedné velké
dokonalé teorie (jednotné teorie pole), ale to se dodnes nedaří
Určeno pro prezentaci přednášky Vybrané kapitoly z fyziky pro studenty OVP.
Byly použity materiály z http://www.musilek.eu/fyzika , které vycházejí z učebnice
Ivan Štoll: Fyzika pro netechnické obory SOŠ a SOU, Prometheus, Praha 2001