Cvičení z matematické analýzy 3
Alternující rady
12. 3. 2018
□        g ►   < -E ►   < =
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018 1/7
Náplň cvičení
Alternující řady
■ Základní pojmy
■ Absolutní konvergence
■ Příklady
Domácí úkol - soubor cvičení 10
Literatura
Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné rady. MU Brno, 1994.
Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné rady. MU Brno, 2013.
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       2 /7
Alternující řady
MA2BP.CAN3 3. cvičeni 12. 3. 2018       3 /7
Základní pojmy
MA2BP.CAN3 3. cvičení 12. 3. 2018       4 /7
Základní pojmy
Alternující řada
Nekonečná řada Xl^Li an se nazývá alternující, jestliže pro Vn £ N platí
sgn a„+i = -sgn a„
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       4 /7
Základní pojmy
Alternující řada
Nekonečná řada Xl^Li an se nazývá alternující, jestliže pro Vn £ N platí
sgn a„+i = -sgn a„
Kritérium konvergence (Leibnizovo)
Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada (—l)n_1an konverguje právě tehdy, když platí lim^oo an = 0.
Věta má tvar ekvivalence, znamená to tedy (mimo jiné), že
■ je-li lim^oo an = 0, pak řada J2T=i (-l)"-1^ konverguje;
■ vlastnost lim^oca^ = 0 je nutná i dostatečná podmínka konvergence
řady Eľ=i(-ir^
n
□       g ► < -E ► < =
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       4 /7
Absolutní konvergence číselných řad
MA2BP.CAN3 3. cvičeni 12. 3. 2018       5 /7
Absolutní konvergence číselných řad
Konverguje-li řada YlT=i \an\* konverguje i řada YlT=ian
j
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       5 /7
Absolutní konvergence číselných řad
Konverguje-li řada YlT=i \an\* konverguje i řada YlT=ian
j
Absolutní/neabsolutní konvergence
Říkáme, že řada J2n=i an konverguje absolutně, jestliže konverguje rada }_^n=1 a„\.
Říkáme, že řada Xln^=i an konverguje neabsolutně, jestliže řada E^°=i 3" konverguje a řada J27=i la"l diverguje.
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       5 /7
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
U      2^n=l 3n-l
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
oo (-1)
n=l
n-1
3n-l
[konverguje neabsolutně]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
oo (-1)
n=l
n-1
3n-l
[konverguje neabsolutně]
2^n=l (2n-l)3
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
2^n=l (2n-l)3
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
2^n=l (2n-l)3
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
l^n=l 5n-2
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
2^n=l (2n-l)3
l^n=l 5n-2
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
l^n=l 3n-l 2^n=l (2n-l)3
l^n=l 5n-2 Voo (-1)"
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
2^n=l (2n-l)3
l^n=l 5n-2 Voo (-1)"
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje] [diverguje]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
2^n=l (2n-l)3
l^n=l 5n-2 Voo (-1)"
Voo (-1)"
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje] [diverguje]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
D	2^n=l	(_l)n-l 3n-l	[konverguje neabsolutně]
	2^n=l	(_l)n-l (2n-l)3	[konverguje absolutně]
	sr^oo 2^n=l	5n-2	[diverguje]
□	sr^oo 2^n=l	(-ir	[diverguje]
	sr^oo 2^n=l	(-ir 1 + A7	[konverguje neabsolutně]
MA2BP.CAN3 3. cvičeni 12. 3. 2018       6 /7
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
2^n=l (2n-l)3
l^n=l 5n-2 Voo (-1)"
Voo (-1)"
voo (-1)" Z^n=l H\/~H
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje] [diverguje]
[konverguje neabsolutně]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
D	2^n=l	(_l)n-l 3n-l	[konverguje neabsolutně]
	2^n=l	(_l)n-l (2n-l)3	[konverguje absolutně]
	sr^oo 2^n=l	5n-2	[diverguje]
□	sr^oo 2^n=l	(-ir	[diverguje]
	sr^oo 2^n=l	(-ir 1 + A7	[konverguje neabsolutně]
	sr^oo 2^n=l	n\fň	[konverguje absolutně]
MA2BP.CAN3 3. cvičeni 12. 3. 2018       6 /7
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
l^n=l 3n-l	[konverguje neabsolutně]
2^n=l (2n-l)3	[konverguje absolutně]
l^n=l 5n-2	[diverguje]
Voo (-1)"	[diverguje]
Voo (-1)" Z^n=l 1+n	[konverguje neabsolutně]
voo (-1)"	[konverguje absolutně]
spoo (-l)nlnn	
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Příklady
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
D	A^n=l 3n-l	[konverguje neabsolutně]
	2^n=l (2n-l)3	[konverguje absolutně]
	l^n=l 5n-2	[diverguje]
□	Voo (-1)"	[diverguje]
	Voo (-1)"	[konverguje neabsolutně]
	voo (-1)"	[konverguje absolutně]
	spoo (-l)nlnn	[konverguje neabsolutně]
MA2BP.CAN3 3. cvičeni 12. 3. 2018       6 /7
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
v^oo j-l)" Z^n=l n—In n
-i)
n-l
2n-l):
-1)
n-l
5n-2
-1)"
n
1 + A7
-l)nlnn
n
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje] [diverguje]
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[konverguje neabsolutně]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady
n-l
v-^oo (-1) l^n=l 3n-l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
Eoo n=l
v^oo j-l)" Z^n=l n—In n
-i)
n-l
2n-l):
-1)
n-l
5n-2
-1)"
n
1 + A7
-l)nlnn
n
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[diverguje] [diverguje]
[konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně]
[konverguje neabsolutně] [konverguje neabsolutně]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       6 /7
Domácí úkol - soubor cvičení 10
Určete součet řady
d/   1-2 ^ 2-3 ^ 3-4 ^ ' ' ' b)  Z)n=l (a7+6)(a7+2)
<0 E~i(-i)BáSy
Zjistěte, je-li splněna nutná podmínka konvergence řady
3 n- g -r 27 n- 81 -r • • •
Rozhodněte o konvergenci řady
+
13
\/3      V2^      VŠ^š v^ší
oo 2n-a7!
b) E~ i ^
W   Z^a7=1 (n+l)ln(n+l)
Rozhodněte o (ne)absolutní konvergenci či divergenci řady
n=U (2n-l)2
MA2BP.CAN3
3. cvičení
12. 3. 2018       7 /7