přednáška 05: diskrétní náhodná veličina Zabývejme se nyní znovu pstními modely, ale tak nějak od začátku š šKlasická pst se rozvíjela díky hazardním hrám a sázkám š šModerní teorie psti se věnuje spíše popisu náhodnosti při měření nějaké veličiny – používá proto další pojmy a terminologii Klíčovým pojmem zde je náhodná kvantitativní veličina, která může být dvou typů: diskrétní a spojitá šNásledující výklad viz Budíková, Králová, Maroš: Průvodce základními statistickými metodami, str. 69-76 š švýklad pro EX, DX doplněn z el.textu Matematika 3, kapitola 10. Příklad 1: hodíme třikrát mincí a zajímáme se o počet líců v těchto třech hodech X = počet líců ve třech hodech mincí Počet líců X= … Možné elem. výsledky Pstní funkce Relativní kumulativní četnosti X=0 RRR p(0)=1/8=0,125 0,125 X=1 LRR,RLR,RRL p(1)=3/8=0,375 0,500 X=2 LLR,LRL,RLL p(2)=3/8=0,375 0,875 X=3 LLL p(3)=1/8=0,125 1,000 šDefinice: Náhodná veličina X je tedy pravidlo, které přiřazuje elementárním výsledkům množiny Ω reálná čísla (= zobrazení množiny Ω do množiny reálných čísel) š(také viz obrázek) … a teprve těmto reálným číslům přiřadíme psti Klasické značení: šX = x … náhodná veličina X nabývá hodnoty x šX = 1 … náhodná veličina X nabývá hodnoty 1 š šX ≤ x … náhodná veličina X nabývá hodnoty menší než nebo rovné x šX ≤ 2 … náhodná veličina X nabývá hodnoty menší než nebo rovné 2 š š Definice: Distribuční funkce F(x) náhodné veličiny X je pst, že veličina X nabývá hodnoty menší než nebo rovné x ….. F(x):= P(X ≤ x) šPokračujme v příkladu 1: najdeme graf distribuční funkce F(x) počtu líců ve třech hodech mincí š šDistribuční funkce u diskrétní veličiny je velmi blízká relativní kumulativní četnosti, ale pozor, je definovaná pro jakékoli reálné x, tj. i když veličina X nabývá pouze hodnot 0,1,2,3, tak distribuční funkce je definována i pro x=2,26; x=-0,5; x=4,8, apod. š š Distribuční funkce F(x):= P(X ≤ x) šPokračujme v příkladu 1: najdeme graf distribuční funkce F(x) počtu líců ve třech hodech mincí šx<0 … F(x)=P(X≤x)= 0 … nelze naměřit počet líců ≤ záporn číslu šx=0 … F(0)=P(X ≤ 0)=p(0)= 0,125 š0< x < 1 … F(x)=P(X≤x)=p(0)=0,125 šx=1 … F(1)=P(X ≤ 1)=p(0)+p(1)= 0,500 š1< x < 2 … F(x)=P(X≤x)=p(0)+p(1)=0,500 atd viz obrázek vlastnosti distribuční funkce F(x):= P(X ≤ x) vlastnosti distribuční funkce F(x):= P(X ≤ x) šJe důležité si pamatovat, že vlastnosti této distribuční funkce platí pro všechny veličiny, diskrétní (tato přednáška) i spojité (příští přednáška) š šPojem distribuční funkce je nejdůležitějším pojmem teorie psti, protože spojuje popis diskrétních i spojitých veličin do jednoho rámce Střední hodnota EX diskrétní veličiny X: Protože ovšem DX je průměr čtverců veličiny, nemá rozměr stejný jako veličina X Jedná se vlastně o Ot. 09: model psti 03 – diskrétní pst … pouze jsme dodali další pojmy (distrib fce, střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka) Z axiomů psti plyne pro pstní funkci: Dopočtení F(x), ED, DX pro příklad z př. 2 š š17: distribuční funkce, střední hodnota a rozptyl diskrétní náhodné veličiny š š Rekapitulace otázek: