Cvičení z matematické analýzy 3
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními
koeficienty
6. 3. 2019
MA2BP.CAN3
3. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
6. 3. 2019
Náplň 8. cvičení
Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998.
MA2BP.CAN3
3. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
6. 3. 2019       2 /
Trocha teorie pro pripomenutí
iS1      4 E ►   < E E      -O Q, O
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019       3 /
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
iS1
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = ^(x), kde a, b,cGR,a^0.
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = ^(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = d(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = ^(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = c/(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = r(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eAlX +C2 eA2X
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Trocha teorie pro pripomenutí
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b(x)yr + c(x)y = c/(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou spojité v nějakém intervalu /.
■ Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = r(x), kde a, b,cGR,a^0.
■ Je-li r(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
■ Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eAlX +C2 eA2X
■ má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen Ai = A2, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX +C2xeAlX
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Trocha teorie pro pripomenutí
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru
a(x)y/; + b{x)yr + c(x)y = c/(x), funkce a(x), b(x), c(x), d(x) jsou
spojité v nějakém intervalu /.
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
je rovnice tvaru ay" + by1 + cy = r(x), kde a, b,cGR,a^0.
Je-li f(x) = 0, hovoříme o homogenní rovnici.
Při řešení homogenní rovnice ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici a\2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny Ai,A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = Q eAlX +C2 eA2X
■ má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen Ai = A2, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX + C2xeAlX
■ je-li Ai52 = Ol ±     má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar
y = Q eax cos fix + C2 eax sin fix
"O ^ O'
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y = Ci e3x + C2 e
4x
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0 y" - y' - 6y = 0
y = Ci e3x + C2 e
4x
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0
y = de3x+C2e4x y = cie-2x+C2e3x
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
y = c1e3x+C2e4x y = Cie-2x+C2e3x
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
y = de3x+C2e4x y = Cie~2x+C2e3x y = Q + C2 e~5x
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
y = de3x+C2e4x y = Cie~2x+C2e3x y = Q + C2 e~5x
d2,
4P " 20$ + 25x
= 0
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
d2,
4P " 20$ + 25x
= 0
y = Q e3x + C2 e4x y = Qe-2x+C2e3x y = Q + C2 e~5x
x = Ci efř+C2reir
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
Q   y» _ fyl + l2y = 0
B y" - y' - 6y = 0 B y" + 5y' = 0
0 4§- 20f + 25x = 0
B 4y" - 8y' + 5y = 0
y = deóx+C2e4 y = cie-2x+C2e3 y = Q + C2 e-5
5 5
x — C\ e2ŕ +C2ŕeš
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 0 y" - y' - 6y = 0 y" + 5y' = 0
4$ - 20f + 25x 4y" - 8y' + 5y = 0
= 0
y= Cie3x+C2e4x y = Qe-2x+C2e3x y = Q + C2 e~5*
x = Ci eir+C2re§ř y = ex(Cicosf+ C2sinf)]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0
y" - / - 6y = 0 y" + 5y' = 0
d2
Ay" - 8y' + 5y = 0 y" - 4y' + 13y = 0
= 0
y =
y = Cie3x+C2e4x y = Q e"2x + C2 e3x y = Ci + C2 e"5x
x = Ci e2r +C2te2t
L
ex(Cicos| + C2sin |)]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7/ + 12y = 0 y" - y' - 6y = 0 y" + 5y' = 0
d2
Ay" - 8y' + 5y = 0 y" - 4y' + 13y = 0
= 0
y = c1e3x+C2e4x y = cie-2x+C2e3x y = Ci + C2 e-5x
5 5
x = Ci e2ŕ +C2ŕe2ŕ
y = ex(Ci cos | + C2 sin |)] y = e2x(Ci cos3x + C2 sin 3x)]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019       5 /
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
O y"-2y' + 5y = 0,   y(§) = 0, y'(§) = 1
MA2BP.CAN3
3. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
6. 3. 2019       5 /
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + by = 0,   y(f) = 0, /(§) = !
y = —| ex —| sin 2x
□    g ► ^ -e ► < =
•fy <\ (y
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(f) = 1 [y = -\ e* -f sin 2x; y" + 2 V + /72y = 0,   y(0) = a, y'(0) = C(a, CeR)
□
13"
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(f) = y" + 2V + h2y = 0,   y(0) = a, y'(0)
1      [y = -J ex-f sin2x" = C(a, Cel) [y = e-hx(a + (C + ah)x)]
□
13"
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ex -f sin 2x y" + 2V + /72y = 0,   y(0) = a, /(O) = C(a, CgR)
[y = e-^ía + ÍC + a^x)]
c/t2
+ 2a% + a2s = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
dt
□     g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/+ 5y = 0, y(f) = 0, y'(f) = y" + 2hy' + h2y = 0,   y(0) = a, /(O)
1 [y =-|ex-f sin2x = C(a, Cel)
[y = e-hx(a + (C + ah)x)]
d2s _,_ o-^ds _,_ „2 dt2
+ 2af + azs = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
s = a e aŕ +a2í e at
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ex -f sin 2x y" + 2V + /72y = 0,   y(0) = a, /(O) = C(a, CgR)
[y = e-^ía + ÍC + a^x)]
c/2s
+ 2af + a2s = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
s = ae aŕ +a2re at
dt2  1 ^adt
y" — y — 0,   integrální křivka se dotýká přímky y = x v bodě [0, 0]
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019
Příklady
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínky:
y" - 2/ + 5y = 0, y(f) = 0, y'(§) = 1 [y = -\ex -f sin 2x y" + 2V + /72y = 0,   y(0) = a, /(O) = C(a, CgR)
[y = e-^ía + ÍC + a^x)]
c/2s
+ 2af + a2s = 0,   s(0) = a, s'(0) = 0
s = ae aŕ +a2re at
dt2  1 ^adt
y" — y — 0,   integrální křivka se dotýká přímky y = x v bodě [0, 0]
y =
ex — e x
MA2BP.CAN3
3. cvičení
6. 3. 2019