Dnes víme, že po logické stránce lze téměř celou současnou matematiku odvodit z jediného zdroje — z teorie množin. N, Bourbaki Nesmírný vliv teorie množin na rozvoj matematiky v posledních padesáti letech je v současné době obecně uznávanou skutečností. Teorie množin pronikla hluboko do mnohých oblastí matematiky a nesmírně je ovlivnila; zvlášť mimořádnou úlohu hraje při studiu logických a filosofických základů matematiky. Prvky množiny mohou být nejrůznější předměty: písmena, atomy, čísla, funkce, body, úhly atd. Odtud je již od samého počátku patrná neobyčejná šířka teorie množin a její použitelnost v mnohých oblastech poznání (v matematice, v mechanice, ve fyzice). Zákony platné pro kvantitativní transfinitní čísla se pod- N. j. VILENKIN P. S. Alexandrov A. N. Kolmogorov Vyprávění o množinách R. Courant N. N. Lužin Státní pedagogické nakladatelství # Praha Knižnice vSeoberného vzdčlání • Maják PŘEDMLUVA 2 2. upraveného a doplneného ruského vydání přeložil dr. Milan Vlach Recenzoval dr. Jiří Veselý Translation © dr. Milan Vlach, 1073 První příležitost slyšet o teorii množin jsem měl v. osmé tříd. Navštívil jsem přednášku, kterou pro moskevské škvoarti koval I. M. Gelfand — tehdy začínající docent a nyní člen korespondent Akademie véd SSSR. Dvě hodiny nám vyprávěl o zcela neuvěřitelných věcech: o tom, že přirozených čísel je stejně mnoho jako čísel sudých, Že racionálních čísel je stejně mnoho jako čísel přirozených, a že bodů na úsečce je stejně mnoho jako bodů na čtverci. Seznamování s teorií množin pak pokračovalo během studia na mechanicko-matematické fakultě Moskevské státní university. Vedle přednášek a seminářů tam existoval ještějiný, svérázný způsob výuky, o kterém snad profesoři a docenti neměli ani tušení. Po vyučování (a někdy — nač tajit hříchy — i v době nepříliš zajímavých přednášek) se studenti toulali po chodbách staré universitní budovy a posuzovali spolu zajímavé úlohy, neočekávané příklady a vtipné důkazy. A právě při těchto rozmluvách se studenti prvních ročníků dovídali od svých starších kolegů, jak se konstruuje křivka procházející všemi body čtverce nebo spojitá funkce nemající mkd* detiveti, atd. Zdůvodnění nebyla ovšem vždy zcela-přetna, a jit-na zkoušku po vyslechnutí těchto rozhovorů py Jjylo. neodpustitelně lehkomyslné. Zkouška však stejně nepřipadátu &úv$ftu — zkouška z teorie funkcí reálně proměnné se podle seznamu přednášek skládala až za dva roky. Ale jak potom tato příprava ,,v kuloárech" pomáhala při sledováni přednášek a skládání zkoušek! U každé věty se vybavovaly zajímavé úlohy, vtipná srovnám a názorné příklady, s nimiž jsme se již dříve setkali. Chci Čtenáři vyprávět o teorii množin zhruba v témž duchu, v jakém jsem se s ní seznamoval při „kuloárních" přednáškách. Největší pozornost proto věnuji pečlivé formulaci jednotlivých úloh, seznámení s neočekávanými a udivujícími příklady, které zcela odporují naivním představám a na které je teorie funkci reálné proměnně tak bohatá. PocítUi po přečteni této knížky žák vyšší třídy nebo student některého z prvních ročníků vysoké Školy přání seznámit se s teorií množin nebo s teorií funkcí reálně proměnné hlouběji, bude autor považovat svůj cíl za splněný. 5 K vážnějšímu studiu lze doporučit tyto knihy:*) 1. P. S. Alexandrou: C vod do obecné teorie množin a funkcí; Praha, NČSAV 1954. 2. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Elementy teorii funkci] ifun-kcionaVnogo analiza; Moskva, Nauka 1968. 3. N JV. Lužin: Teorija funkcij déjstvitelnogo peremennogo; Moskva, Učpedgiz 1948. 4. L P. Natanson: Teorija funkcij veščestvennoj peremennoj, Moskva, Gostechizdat 1950. 5. F. Hausdorf: Teorija množestv, ONTI 1937. Mnoho zajímavých úloh z teorie množin obsahuje kniha J. S. Očana „Sborník zadač i teorém po teorii funkcij déjstvitelnogo peremennogo", Prosveščenije 1965. Mnoho zajímavých údajů, týkajících se některých úloh z této knížky, lze nalézt v knize A. S. Parchomenka „Čto takoe Hnija". Na konci knihy uvádíme řadu úloh z teorie funkcí reálné proměnné, jejichž řešení bude čtenáři užitečné. Poznamenejme ještě, že některá obtížnější místa lze při prvním čtení vynechat, aniž by tím bylo nepříznivě ovlivněno porozumění ostatním částem textu. Tato místa jsou označena čtverečky. *) Českého Čtenáře upozorňujeme ještě na tyto knihy: B. Pospíšil: Nekonečno v matematice, Praha, JČMF 1949; E. Čech: Bodové množiny, Praha, Academia 1966; J. G. Kemeny, J. L. Snell, G. L. Thompson: Úvod do finitní matematiky, Praha, SNTL 1971, 6 Množiny a operace s množinami Co je množina V této kapitole se bude hovořit o tom, co znamená slovo množina a jaké operace lze s množinami provádět. Základní pojem teorie — pojem množiny — nelze přesně definovat. Je sice možné říci, že množina je „souhrn", „soubor", „systém", „třída" a pod. To však nejsou matematické definice, nýbrž spíše zneužívání slovního bohatství jazyka. Definujeme-li nějaký pojem, je především třeba ukázat obecnější pojem, jehož zvláštním případem definovaný pojem je. U pojmu množiny to však není možné, neboř v matematice obecnější pojem neexistuje. Z tohoto důvodu místo uvedení definice množiny budeme význam tohoto pojmu ilustrovat na příkladech. často je třeba hovořit o několika věcech majících společnou nějakou vlastnost. Například lze hovořit o množině všech židlí v určité místnosti, o množině všech atomů planety Jupiter, o množině všech buněk lidského těla, o množině všech brambor v daném pytli, o množině ryb v moři, o množině všech čtverců v rovině, o množině všech bodů dané kružnice atd. Předměty, z nichž se množina skládá, nazýváme jejími prvky. Skutečnost, že se daná množina A skládá z prvků x> y> • • ■, Z, zapisujeme obvykle symbolem A ^ {x,y, ...,*}■ 9 Napríklad množina všech dnů v týdnu se skládá z prvků pondělí, úterý, středa, čtvrtek, pátek, sobota, neděle, takže symbolicky ji zapíšeme (pondělí, úterý, středa, čtvrtek, pátek, sobota, neděle}. Proto symbol {leden, únor, březen, duben, květen, červen, červenec, srpen, září, říjen, listopad, prosinec} označuje množinu všech měsíců v roce, symbol {sčítání, odčítání, násobení, dělení} označuje množinu základních početních výkonů. Množina všech řešení kvadratické rovnice x2 — 2x — 24 = 0 se skládá z čísel —4 a 6, tj. má tvar {—4, 6}. Složené závorky v označení množiny znázorňují okolnost, že jednotlivé prvky jsou shrnuty v jeden celek — v množinu A. Skutečnost, že prvek x patří do množiny A, se zapisuje pomocí symbolu e takto: x e A, Jestliže daný prvek x do množiny A nepatří, píše se x £ A. Například, označuje-li písmeno A množinu všech sudých přirozených čísel, pak 6 e A a 3 $ A. Hovoříme-li tedy o množině, shrnujeme určité objekty v jeden celek, a to v množinu, jejímiž jedinými prvky tyto objekty jsou. Zakladatel teorie množin Georg Cantor to zdůraznil těmito slovy: „Množinou rozumíme každý soubor určitých dobře rozlišitelných objektů našeho nazírání nebo myšleni shrnutých v jeden celek,"*) Prvky množiny mohou být i objekty, které ve skutečnosti neexistují, například v bohosloveckých traktátech se vážně studují vzájemné vztahy v množinách archandělů, zlých duchů apod. Pro názornou představu pojmu množiny navrhl akademik N. N. Lužin toto přirovnání. Představme si průhledný, nepropustný obal, například něco jako uzavřený průhledný sáček, a předpokládejme, že v tomto obalu jsou zabaleny *) V originale: „Unter einer „Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen". (Pozn. pfekl.) všechny prvky dané množiny A a že kromě těchto prvků nejsou uvnitř obalu žádné jiné objekty. Tento obal s objekty x, nacházejícími se uvnitř, může sloužit jako názorný obraz množiny A vytvářené prvky x. Samotný průhledný obal obklopující všechny prvky (a nic jiného kromě meh) pak dosti dobře znázorňuje shrnování prvků x, jehož výsledkem je vytvoření množiny A. Obsahuje-li množina pouze konečný počet prvků, nazývá se konečnou množinou, a je-li v ní nekonečně mnoho prvků, nazývá se nekonečnou množinou. Tak např. množina všech stromů v určitém lese je konečná a množina všech bodů dané kružnice je nekonečná. Jak se určují množiny Množinu lze určit různými způsoby. Jeden ze způsobů spočívá v tom, že se uvede úplný seznam všech jejích prvků. Například množina všech žáků jisté třídy je určena seznamem žáků v příslušné třídní knize, množina všech států světa je určena jejich seznamem v zeměpisném atlase, množina všech kostí lidského těla je dána jejich seznamem v učebnici anatomie. Tento způsob je však použitelný pouze v případě konečných množin, a to ještě zdaleka ne vždy. Například lze sotva pořídit úplný seznam všech ryb v moři, i když je jich pouze konečný počet. Nekonečné množiny už vůbec nelze určovat pomocí úplného seznamu; zkuste například sestavit úplný seznam všech přirozených čísel nebo úplný seznam všech bodů dané kružnice — je zřejmé, že sestavování takového seznamu nikdy nedokončíte. V případě, že množina nemůže být určena pomocí úplného seznamu, určuje se prostřednictvím nějaké charakteristic- 10 ké vlastnosti jejích prvků; tj. takové vlastnosti, kterou mají všechny prvky příslušné množiny, kdežto žádné jiné objekty již tuto vlastnost nemají. Například můžeme hovořit o množině všech přirozených čísel. Potom je nepochybné, že číslo 3 73 do této množiny patří, kdežto číslo — nebo krokodýl do této množiny nepatří. Stejně tak číslo \/2 a planeta Saturn 7 nepatří do množiny všech racionálních čísel, kdežto číslo -j-^-do této množiny patří. V geometrii se často pracuje s množinami bodů, určenými těmi či jinými charakteristickými vlastnostmi. Obvykle, podle staré tradice, se množiny všech bodů, majících danou charakteristickou vlastnost, nazývají geometrickými místy bodů. Například se říká: „Geometrické místo bodů v rovině stejně vzdálených od daného bodu této roviny se nazývá kružnice". To znamená, že množina všech bodů roviny stejné vzdálených od daného bodu této roviny je totožná s množinou bodů jisté kružnice. Určování množin charakteristickými vlastnostmi může někdy vést ke komplikacím. Může se stát, že dvě různé charakteristické vlastnosti určují tutéž množinu, tj. že každý objekt mající jednu vlastnost má i druhou a naopak. Například množina všech tlustokožců majících dva kly je totožná s množinou všech tlustokožců majících chobot, tj. s množinou všech slonů. V geometrii vlastnost „bod M ležící uvnitř ostrého úhlu AOB je stejně vzdálen od ramen úhlu AOB" určuje tutéž bodovou množinu jako vlastnost „ostrý úhel AOM je stejně velký jako ostrý úhel MOB" (viz obr. 1). V aritmetice vlastnost „celé číslo dělitelné dvěma" určuje stejnou množinu jako vlastnost „poslední číslice zápisu čísla v desítkové soustavě je dělitelná dvěma".*) *) Přesněji vzato, máme na mysli, že číslo zapsané poslední číslicí je dělitelné dvěma. (Pozn. překl.) Někdy bývá obtížné dokázat ekvivalenci dvou charakteristických vlastností. Pokuste se například dokázat, že následující dvě vlastnosti určují tutéž množinu bodů, ležících v jedné rovině s trojúhelníkem ABC: (a) Paty kolmic spuštěných z bodu M na strany trojúhelníka ABC leží na jedné přímce, (b) bod M leží na kružnici opsané trojúhelníku ABC (obr. 2). (Totožnost těchto množin jc obsahem tzv. Simsonovy věty a věty k ní obrácené.) Obr. 2 13 I Mnoho matematických vět pojednává o totožnosti dvou množin,' například o totožnosti množiny rovnostranných trojúhelníků a množiny rovnoúhlých trojúhelníků, o totožnosti tečnových čtyřúhelníků a množiny čtyřúhelníků se sobě rovnými součty protilehlých stran, atd. V některých případech není problém totožnosti dvou množin, určených svými charakteristickými vlastnostmi, dosud rozřešen. Tak například není dosud známo, zda jc množina {1093, 3511} totožná s množinou prvočísel «, pro která je číslo 2n — 2 dělitelné číslem n2. Ještě větší potíže při určování množin charakteristickými vlastnostmi vznikají vlivem nedostatečné jasnosti a přesnosti obvyklých jazykových prostředků. Velké množství vzájemně blízkých objektů ztěžuje rozdělení objektů na objekty, které do dané množiny patří a objekty, které do ní nepatří. Hovoříme-H například o množině všech stromů na zeměkouli, musíme nejdříve rozhodnout, jedná-li se o všechny stromy, které na Zemi existovaly a budou existovat, či jedná-li se o stromy, které existovaly v průběhu nějakého daného časového období (např. od 1. května do 1. září 1965). Pak ale vzniká otázka, zda do uvažované množiny patří stromy, které byly v daném období pokáceny*). Dále kromě stromů a rostlin, které zřejmě za stromy nepovažujeme, existuje řada rostlin, u kterých tento rozdíl není tak patrný a je třeba rozhodnout, které z nich do množiny stromů patří a které nikoli. Dokonce množina všech planet Slunce není určena zcela jednoznačně. Vedle velkých planet (Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun a Pluto) obíhá kolem Slunce přibližně 1 600 malých planet, tzv. asteroidů. Průměry některých těchto planetek (Cerera, Pallada, Juno) *) Není ani zřejmé, zda do uvažované množiny patří stromy, které existovaly po celé dané období, ale zároveň existovaly také před ním nebo po něm nebo před ním i po něm. (Pozn. překl.) 14 dosahují stovek kilometru, avšak existují také asteroidy, jejichž průměr nepřesahuje 1 km. Při neustálém zdokonalování pozorovacích metod budou astronomové objevovat stále menší a menší planetky a nakonec vznikne otázka, kde končí planety a kde začínají meteority a kosmický prach. Podobné těžkosti měl i jeden z Babelových hrdinů, ječící po přepadem bandou Beni Krika: „Kde začíná policie a kde končí Beňa Krik?" Jak známo, rozumní Oděsané mu odpovídali, že policie končí právě tam, kde začíná Beňa Krik*). Avšak věta „Planety končí právě tam, kde začínají meteority" sotva někoho uspokojí jako přesná definice množiny planet sluneční soustavy. Ostatně rozdíl mezi planetami a meteority zajímá hlavně astronomy. Avšak rozdíl mezi domem a chatrčí je podstatný pro obyvatele jakéhokoli obydlí. Přitom si lze snadno představit, že tentýž objekt získá u jednoho člověka úctyhodný název „dům", kdežto u druhého pohrdavou přezdívku „chatrč". Pochopitelně i zařazení té či oné budovy do množiny paláců závisí podstatně na tom, kdo dostal za úkol sestavit soupis prvků této množiny. Stejně tak i vyšetřování množiny všech básní publikovaných v Československu je komplikováno existencí mnoha přechodových forem mezi verši a prózou (veršovaná próza, nerýmované verše atd.) Nepříliš přesně je určena i množina osob, majících právo bezplatně cestovat vlakem v Československu. Mimo jiné do této množiny patří děti do pěti let. Může se však stát, že takový neplnoletý cestující dosáhne pěti let během cesty, a pak není jasné, zda do uvažované množiny patří (vypráví se, že jeden puntičkársky otec zatáhl za záchrannou brzdu právě v tom okamžiku, kdy jeho syn dosáhl věku pěti let, aby tak mohl přesně určit zbývající část cesty, za kterou již má zaplatit). Jemné rozdíly mohou vznikat i v jednodušších situacích a jsou spjaty s nepřesností a nedokonalostí hovorového jazy- *) Jssak Babet, Jak to chodilo v Oděse. (Pozn. přckl.) 15 ka. Vyšetřujeme například množinu A tvořenou prvními n přirozenými čísly, A = {1,2, ...,«}, kde n je počet písmen prvních dvou řádků základního textu ,,Evžena Oněgina"*). Takové zadání lze chápat dvojím způsobem. Na jedné straně lze číslo n chápat jako celkový počet všech výskytů každého písmene v uvedených dvou řádkách (tj. celkový počet všech odpovídajících liter). Vypišme tyto dvě řádky a různé výskyty téhož písmene přitom očíslujme. „MiÚiJ, S.T.R^C, BiY!L, M2Ui21ElM3 C2T2I1( At V, DtO^Ěi, K,D2y2 02P,R2A2V2D3U2 s2E2 RjC^NjE,-M4O4H,," Dostaneme n = 45 a A = {1, 2, . . ., 45}. Na druhé stane lze číslo n chápat jako celkový počet vzájemně různých písmen české abecedy, vyskytujících se v uvedených dvou řádkách, tj.: M,0j,S)T)R)Y)C)B)y)L)U,Ž!E,I)A)V)D,O)Ě)K)P,Z)N)H.. Pak dostaneme n = 25 a A = (1, 2, ..25}. Uvedený příklad ukazuje, s jakou pečlivostí je třeba přistupovat k určováni množin, chceme-li se vyhnout nejasnosti a víceznačnosti hovorového jazyka. Holit se či neholit? Nesnáze s určením prvků množiny nejsou spjaty pouze s nepřesností hovorového jazyka. Někdy leží příčina mnohem hlouběji. Uvedeme příklad**). Množiny nejsou obvykle svý- *) Podle překladu Josefa Hory vydaného r. 1945 v nakladatelství Melantrich. (Pozn. překl.) **) Tzv. Russellův paradox (Pozn. překl.) 16 mi vlastními prvky (například množina všech přirozených čísel není přirozené Číslo, množina všech trojúhelníků není trojúhelník atd.). Existují však i takové množiny, které obsahují samy sebe jako jeden ze svých prvků. Například množina abstraktních pojmů je sama abstraktním pojmem (není-li pravda?). Jelikož takové množiny budeme vyšetřovat zřídka, nazveme je extraordinárnimi množinami a všechny ostatní množiny ordinárními množinami. Utvořme nyní množinu A, jejímiž prvky jsou všechny ordinární množiny. Na první pohled se nezdá, že by na této definici bylo něco Špatného; není vidět, proč by výraz „množina všech ordinárních množin" měl být horší než výraz „množina všech trojúhelníků". Ve skutečnosti však zde vzniká vážný logický spor. Pokusme se zjistit, zda množina A je ordinární či extraordinární. Je-li ordinární, pak je jedním ze svých prvků (neboť množina A vznikla shrnutím všech ordinárních množin). Pak ale je, podle definice extraordinarity, množinou extraordinární. Je-li množina A extraordinární, pak (podle definice extraordinarity) musí být svým vlastním prvkem, přitom ale všechny prvky množiny A jsou ordinární množiny; extraordinární množiny jsme mezi prvky množiny A nezahrnuli. Dospěli jsme k logickému sporu — množina A nemůže být ani ordinární ani extraordinární. Takové logické spory vznikají ostatně i v mnohem jednodušších situacích. Například co má dělat vojín, který dostal rozkaz holit všechny ty vojáky své čety, kteří se neholí sami, a žádné jiné? Má se holit nebo nemá? Bude-H se holit, bude patřit mezi vojáky, kteří se holí sami a podle rozkazu takové vojáky holit nemá. Nebude-li se holit, bude patřit mezi vojáky, kteří se neholí sami, a tudíž podle rozkazu musí sám sebe holit. Jsou známy i jiné příklady, kdy na první pohled zcela bezvadné zadání množiny určuje množinu špatně, či přes- 17 nčji meno neurčuji: ji víibrc. Vyšetrujme například*) množinu A všech racionálních čísel, které lze určit pomocí nejvýše dvou set českých slov (včetně slov „nula", „jeden", „dva", atd.), Jelikož je množina všech českých slov konečná (pro jednoduchost se omezíme pouze na slova z Trávníč-kova „Slovníku jazyka českého" a jejich gramatické formy), je i množina všech takových čísel konečná. Nechť jsou to čísla Ti, r2,ri?. Definujeme nyní racionální číslo r takto: r = 0,11i n2. - -nN, kde číslice (číslice stojící na i-tém desetinném místě čísla r) je rovna 1, je-li číslice stojící na i-tém desetinném místě čísla ti různá od jednotky, a rovna 2 v případě opačném. Číslo r není rovno číslu r1} neboť se od něho liší na prvním desetinném místě, není rovno ani číslu r2, neboť se od něho liší na druhém desetinném místě, atd. Číslo r tudíž nepatří do množiny A. Přitom jsme při jeho definici nepřekročili dovolený počet dvou set slov. S tímto paradoxem úzce souvisí další paradox**): Jaké je nejmenší přirozené číslo, které nelze určit pomocí vety, obsahující méně než sto českých slov? Takové číslo existuje, neboť počet slov českého jazyka je konečný, a existují tudíž přirozená čísla, která nelze definovat větou o méně než stu českých slovech. Pak ale mezi nimi existuje také číslo nejmenší. Na druhé straně takové číslo neexistuje, neboť je určeno větou obsahující méně než sto slov — viz věta vytištěná výše kurzívou — a zároveň podle smyslu této věty nemůže být takovou větou určeno. □ Uveďme ještě složitější příklad konečné množiny, ve kterém není možné rozhodnout, zda příslušná množina ob- *) Tzv. Richardův-Berryův paradox (pozn. překl.). **) Tzv. Berryův paradox (pozn. překl.). 18 sahujf? daný prvrk*). Rozdělíme všechna přídavná jména českého jazyka na dvě skupiny. Do jedné skupiny zařadíme všechna přídavná jména, která sama mají tutéž vlastnost, kterou vyjadřují, a do druhé skupiny všechna ostatní. Například přídavné jméno „české" zařadíme do první skupiny, neboť slovo „české" patří do slovní zásoby českého jazyka. Do téže skupiny zařadíme i přídavné jméno „péti-slabičné" neboť slovo „pětislabičné" má právě pět slabik. Naproti tomu přídavné jméno „německé" zařadíme do druhé skupiny, neboť slovo „německé" patří do slovní zásoby českého jazyka a nikoli do slovní zásoby německého jazyka. Do druhé skupiny bude patřit i slovo „jednoslabičné", neboť toto slovo nemá jednu slabiku, ale pět slabik. Do téže skupiny patří i slovo „modré", neboť samo toto slovo není modré, ale pouze vyjadřuje jistou barvu. Zdálo by se, že je vše v naprostém pořádku a že každé přídavné jméno patří právě do jedné skupiny. Avšak abychom rozlišili získané dvě skupiny, zavedeme ještě dvě přídavná jména. Přídavná jména první skupiny nazveme „autologickými" („auto" — ve složených cizích slovech značí: samo-, sebe-, „logos" znamená smysl, zákon) a přídavná jména druhé skupiny „heterologickými" („hetero" — ve složených cizích slovech značí: jino-, nestejno-, různo-). Slova „au to logický" a „heterologický" jsou přídavná jména a jako taková je třeba je zařadit do našich dvou skupin. Při zařazení slova „autologický" nevznikají žádné nesnáze — je třeba je zařadit do první skupiny, a pak bude mít právě tu vlastnost, kterou vyjadřuje — vždyť do první skupiny patří právě autologická slova. Slovo „heterologický" však vyvolává tytéž obtíže, do kterých se dostal vojenský holič. Do skupiny autologických slov je nelze zařadit, neboť pak by slovo „heterologický" muselo mít vlastnost, kterou vyjadřuje, a tato vlastnost spočívá v tom, že nemá patřit do první skupiny, ale do druhé. Přitom je nelze za- *) Tzv. flrelingňv-Nelsonňv paradox (pozn. překl.). 19 řadit ani do druhé skupiny, neboť pak by nemělo mít vlastnost heterologičnosti, a být tudíž autologickým, neboť druhá skupina neobsahuje žádné autologické slovo. □ V teorii množin se nahromadilo mnoho takových příkladů, že zadání množiny obsahovalo vnitřní rozpory. Studium podmínek, při kterých k tomuto jevu může docházet, vedlo k hlubokým úvahám, které zcela změnily tvářnost logiky. Mnohých výsledků tohoto studia bylo později užito při budovám teorie samočinných počítačů, teorie automatů a jinde. Toto studium však již patří do matematické logiky a my se jím dále nebudeme zabývat. Dále budeme vyšetřovat pouze množiny, které jsou určeny přesně, bez rozporů a o jejichž složení nevznikají žádné pochybnosti (např. množina všech přirozených čísel, množina všech čtverců v rovině apod.). Prázdná množina Název „množina" může vzbuzovat dojem, že každá množina musí obsahovat mnoho (řekněme aspoň dva) prvků. Avšak v matematice je třeba vyšetřovat i množiny obsahující pouze jeden prvek a dokonce i množinu neobsahující žádný prvek. Tato posledně jmenovaná množina se nazývá prázdná množina a značí se symbolem 0. Jako příklady prázdných množin nám mohou posloužit množina koní pasoucích se na Měsíci, množina desetinohých savců, množina tříletých šachových velmistrů, množina reálných kořenů rovnice x4 + 16 — 0, množina řešení soustavy rovnic \ 2x - 5y = 9, Í4a - 10/ ^ 6. Proč se zavádí pojem prázdná množina? Především si všimneme, že u množiny určené charakteristickou vlastností jejích prvků nemusí být předem známo, zda vůbec existuje aspoň jeden prvek s danou vlastností. Vyšetřujme např. množinu A tvořenou všemi čtyřúhelníky, které mají zároveň tyto dvě vlastnosti: (a) všechny jejich úhly jsou pravé, (b) jejich úhlopříčky mají různé délky. Pro člověka, který nezná elementární geometrii, není v těchto dvou požadavcích nic rozporného. Avšak z věty o rovnosti délek úhlopříček v obdélníku plyne, že uvažovaná množina čtyřúhelníků je prázdná. Prázdná je také množina všech trojúhelníků, majících součet vnitřních úhlů různý od 180°. Rovněž množina všech kvadratických trojčlenů majících více než dva kořeny je prázdná. Ostatně mnohé matematické věty lze formulovat jako výroky o tom, že určitá množina je prázdná (pokuste se takto formulovat Pythagorovu větu). Bylo by obtížné zjistit, zda množina všech reálných kořenů rovnice #4 _ 7^2 _ qx + 26 = 0 je prázdná nebo neprázdná, aniž bychom tuto rovnici řešili. Přepfšeme-li však tuto rovnicí do tvaru (a1 - 4)2 + (* - 3)2 + 1 = 0, bude zřejmé, že žádné reálné kořeny nemá. Někdy bývá obtížné říci, zda ta či ona množina „nematematického" charakteru je prázdná nebo neprázdná. Jestliže zná někdo špatně zoologii, nebude moci odpovědět na otázku, zda množina žraloků žijících v Bajkalu nebo množina tygrů žijících na svobodě v Austrálii je prázdná. O některých množinách není dodnes známo, zda jsou či nejsou prázdné. Tak např. není dosud známo, zda je 20 21 prázdna množina všech přirozených čísel rc, větších než dvě, pro která má rovnice kladná celočíselná řešení (to je slavný Fermatův problém). Není také známo, je-li prázdná množina těch číslic, které se v desetinném rozvoji čísla tt vyskytují pouze na konečném počtu míst (přitom je již známo několik tisíc prvních desetinných míst čísla 7r). Dodnes zůstává nevyjasněno, zda je prázdná množina všech celočíselných řešení rovnice *3 +jľ3 + Z* = 30. Přitom se připouští jak kladná tak i záporná celočíselná řešení (skutečnost, že tato rovnice nemá kladná celočíselná řešení, je zcela zřejmá). Není rovněž známo, zda je prázdná množina všech živých plesiosaurů na zeměkouli; ukáže-li se totiž, že obluda z jezera Loch Ness skutečně existuje a že je to plesiosaurus, bude tato množina neprázdná. Teorie množin a školská matematika Množiny se mohou skládat z nejrůznějších prvků — z ryb, domů, čtverců, čísel, bodů atd. Tím lze vysvětlit neobyčejný rozsah použitelnosti teorie množin v nejrůznějších oblastech lidského poznání (v matematice, mechanice, fyzice, biologii, lingvistice atd.). V matematice hrají zvláště důležitou úlohu množiny skládající se z „matematických" objektů — geometrických útvarů, čísel, algebraických výrazů, funkcí atd. S některými takovými množinami se pracuje ve školské matematice. Autoři středoškolských učebnic se obvykle názvu „množina" vyhýbají (což snadno pochopíme, uvě-domíme-li si, že i „nejmodernější" části školské matematiky vznikly koncem sedmnáctého století, kdežto teorie množin jc dítětem století devatenáctého). Ve středoškolské matematice se ve skutečnosti s množinami setkáváme na každém kroku. Zvlášť často se setkáváme s číselnými množinami, tj. s množinami, jejichž prvky jsou čísla. Příklady takových množin jsou: a) množina všech přirozených čísel, b) množina všech celých čísel, c) množina všech racionálních čísel, d) množina všech reálných čísel, e) množina ploch pravidelných mnohoúhelníků vepsaných do daného kruhu atd. □ s každou rovnicí jsou spjaty dvě množiny. Jednou z nich je množina čísel, pro která mají smysl všechny výrazy vyskytující se v uvažované rovnici. Tato číselná množina se někdy nazývá oborem přípustných hodnot neznámé. Například pro rovnici x x — 1 1 x2 - 4 + *2 - 9 " ~~ 3~ je oborem přípustných hodnot neznámé x množina všech takových čísel #, pro která platí ^-4^0aJfJ-9 #0, tj. množina všech čísel kromě čísel patřících do množiny {2, -2, 3, —3}. Pro rovnici V-*2 + * +tf+ x = 2 -f yfi> se obor přípustných hodnot skládá z čísel x, pro která platí -xz _j_ x _|_ 12 ^ 0. Tato nerovnost je splněna, jestliže platí — 3 ^ x s£ 4. 22 23 Druhou množinou, spjatou s danou rovnici nebo nerovností, je množina všech jejích řešení. Například množina všech kořenů rovnice x2 — 7x -f 12 = 0 je množina (3, 4}, skládající se ze dvou prvků a množina všech řešení rovnice sin tzx = 0 se skládá z nekonečného počtu čísel, a to ze všech celých čísel. Je-li dána rovnice, je množina M všech jejích řešení určena charakteristickou vlastností svých prvků — tím, že Čísla x, patřící do M, jsou právě ta čísla, která vyhovují dané rovnici. Po vyřešení rovnice můžeme množinu M určit seznamem všech jejích prvků (je-li konečná) nebo jinou jednodušší charakteristickou vlastností (není-li konečná), například vlastností celočíselnosti. Zatímco množina všech reálných řešení jisté rovnice je obvykle tvořena několika čísly nebo (pro většinu trigonometrických rovnic) členy několika posloupností čísel, množina všech řešení nějaké nerovnosti zpravidla zcela vyplňuje nějaké úseky množiny reálných čísel. Například nerovnost 4 — x2 0 platí pro každé a: vyhovující nerovnostem —2 % x 2, a nerovnost (4 „ (x ~ 3) (x — 5) ^0 platí pro všechna x vyhovující nerovnostem —2 x 2 nebo nerovnostem 3 á í g 5. Vyšetřujeme-li místo neostrých nerovností nerovnosti ostré, pak místo uzavřených intervalů dostáváme obvykle intervaly otevřené. Například množina všech řešení nerovnosti (4 - xz) (x - 3) (x - 5) > 0 se skládá z otevřených intervalů -2<*<2a3 I I I i " 6-h -5 -4 -3-2-1012 -3-2-10,12.34 Obr. 3a Zvlášť vhodné je geometrické znázornění množin, jejichž prvky jsou uspořádané dvojice nebo trojice Čísel. Například rovnice x2 -\-j>2 = 25 určuje množinu M všech uspořádaných dvojic čísel (x, y), po jejichž dosazení se rovnice změní v rovnost. Dvojice Čísel (—5, 0), (3, —4) patří do množiny M, neboť (-5)2 + 02 = 25, V + (-4)* = 25, dvojice čísel (1, 6) do množiny M nepatří, neboť l2 + 62 ^ 25. Avšak takový popis množiny M není příliš názorný. Abychom popsali tuto množinu názorněji, užijeme metody souřadnic. Zvolíme v rovině soustavu kartézských souřadnic (to je soustava souřadnic, se kterou se učí žáci pracovat ve škole). Pak každé uspořádané dvojici čísel (x, y) odpovídá v rovině bod A o souřadnicích ía;a každému bodu roviny uspořádaná dvojice jeho souřadnic (obr. 4). Znázorníme-li v rovině všechny uspořádané dvojice čísel (xsy), pro které x2 + y2 = 25, pak snadno nahlédneme, že zaplňují jistou křivku, a to kružnici o poloměru 5 se středem v počátku souřadnic (obr. 5). Vzpomeneme-li si na Pythagorovu včtu, stane se okamžitě zřejmým, že množina 24 25 y < y >A(x,yJ x x 0 Obr. 5 Obr. 6 všech bodů A(x, y)y pro které platí x2 -f y2 = 25, je totožná s množinou bodů zmíněné kružnice (obr. 6). Nerovnosti, obsahující dvě neznámé, neurčují obvykle křivky, ale celé oblasti roviny. Například nerovnost x2 -f ~f* y1 25 určuje ve zřejmém smyslu množinu všech bodů roviny, jejichž vzdálenost od počátku souřadnic nepřevyšuje 5, tj. množinu všech bodů kruhu o poloměru 5 se středem v počátku souřadnic. Přitom body kružnice do uvedené množiny také patří. Nerovnost x2 + y2 < 25 zadává týž kruh, avšak bez hraniční kružnice. □ V geometrii se setkáváme s dvěma druhy množin. Jednak ve větách z geometrie se obvykle hovoří o vlastnostech určité množiny geometrických útvarů. Například věta tvrdí- cí, že úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí, se týká množiny všech rovnoběžníků. Jednak samy geometrické útvary jsou množinami — množinami bodů patřících do daného útvaru. Hovoříme proto o množině všech bodů daného kruhu, o množině všech bodů daného kužele apod. V algebře se setkáváme s takovými množinami, jako jsou množina všech mnohočlenů dvou proměnných, množina všech kvadratických rovnic, množina všech algebraických rovnic apod. Stručně řečeno, téměř každá část učiva ze školské matematiky souvisí s teorií množin. Podmnožiny Zavedení pojmu množiny do matematických úvah se ukázalo velmi užitečným. Díky tomu, že prvky množin mohou být předměty nej různějšího charakteru, je možné některá tvrzení týkající se množin interpretovat například nejen jako tvrzení o bodech geometrických útvarů, ale také jako tvrzení o přirozených číslech nebo jako tvrzeni o živočiších nebo rostlinách či jako tvrzení o atomech nebo molekulách. Pojmy a tvrzení teorie množin se vyznačují značnou obecností a o některých z nich nyní pojednáme. Nejprve se seznámíme s pojmem podmnožiny. Setkáváme se s ním například tehdy, když nějakou množinu nelze studovat samostatně, ale když je zapotřebí studovat ji jako část jiné, „větší" množiny. Je-li každý prvek z množiny B zároveň také prvkem množiny A, říkáme, Že množina B je podmnožinou množiny A a píšeme Bc A nebo A => B. Například množina všech žáků nějaké třídy určité střední školy je podmnožinou množiny všech žáků uvažované školy, A množina všech žáků této školy je pak podmnožinou množiny všech žáků vůbec, 26 27 7 Množina všech lišek je podmnožinou množiny všech šelem, množina všech šelem je podmnožinou množiny všech savců a množina všech savců je podmnožinou množiny všech obratlovců. Je-li geometrický útvar X částí geometrického útvaru Y, pak množina bodů útvaru X je podmnožinou množiny bodů útvaru Y (obr. 7). V geometrii často pracujeme s podmnožinami některých množin geometrických útvarů. Uvedme například tyto množiny rovinných obrazců: a) Množina A všech čtyřúhelníků. b) Množina B všech lichoběžníků. c) Množina C všech rovnobežníku. d) Množina D všech obdélníků. e) Množina E všech čtverců. V tomto výčtu je obrazec z každé skupiny zvláštním případem obrazců předcházející skupiny (lichoběžník je zvláštní případ čtyřúhelníků, rovnoběžník je zvláštní případ lichoběžníku atd.). To však znamená, že každá množina je podmnožinou množiny předcházející: A=>B=>C^D=>E. Stejně tak i každá množina z následujícího výčtu je podmnožinou množiny předcházející: a) množina všech komplexních čísel, li) množina všech reálných čísel, c) množina všech racionálních čísel, d) množina všech celých čísel, e) množina všech přirozených čísel. Často se k určení podmnožiny dané množiny užívá přidání další doplňující podmínky (k charakteristické vlastnosti prvků dané množiny). Například množinu všech přirozených čísel lze z množiny všech celých čísel získat přidáním podmínky n > 0; množinu všech rovnostranných trojúhelníků z množiny všech trojúhelníků přidáním podmínky a = b = c, vyjadřující rovnost délek stran. Již dříve jsme hovořili o tom, že mnohé věty lze formulovat jako tvrzení o totožnosti dvou množin. Rovněž se setkáváme s větami, ve kterých se hovoří o tom, že jedna množina je částí druhé množiny. Například ve větě „Úhlopříčky čtyřúhelníků o stejných stranách (kosočtverce) jsou navzájem kolmé" se hovoří o dvou množinách: o množině A všech kosočtverců a o množině B všech čtyřúhelníků s navzájem kolmými úhlopříčkami. Věta pak spočívá v tvrzení, že platí A c B. Je-li množina A podmnožinou množiny B, A c B, pak příslušnost k množině A je postačující podmínkou příslušnosti k množině B a příslušnost k množině B je nutnou podmínkou příslušnosti k množině A. Označme například množinu všech sudých kladných Čísel písmenem B a množinu všech přirozených čísel, jejichž poslední číslice při zápisu v desítkové soustavě je čtyřka, písmenem A. Je zřejmé, že Ac B. Tudíž k tomu, aby přirozené číslo n bylo sudé, stačí, aby jeho poslední číslice při zápisu v desítkové soustavě byla čtyřka. Na druhé straně k tomu, aby poslední číslice přirozeného čísla byla čtyřka, je nutné, aby toto číslo bylo sudé. V případě, že množiny A a B jsou totožné, je příslušnost k množině A nutnou i postačující podmínkou příslušnosti k množině B. Lze tedy věty o tom, že nějaká podmínka je nutná i postačující, chápat jako věty o totožnosti dvou množin. 28 29 Tak napríklad k tomu, aby celé číslo n bylo dělitelné deseti, je nutné a stačí, aby poslední číslice jeho zápisu v desítkové soustavě byla 0. Jinými slovy množina A všech celočíselných násobků deseti je totožná s množinou B všech celých Čísel, jejichž poslední číslice je 0. Podobně i množina všech kosočtverců je totožná s množinou všech rovnoběžníků, majících navzájem kolmé úhlopříčky. Tudíž k tomu, aby rovnoběžník byl kosočtvercem, je nutné a stačí, aby jeho úhlopříčky byly navzájem kolmé. ■ Teorie množin a kombinatorika Spočítejme, kolik podmnožin má konečná množina M (množina M i prázdná množina 0 jsou také podmnožiny množiny M). Množina skládající se z jediného prvku a má dvě podmnožiny: 0 a {a}. Množina, tvořená dvěma prvky a, b, má již čtyři podmnožiny: tytéž množiny 0 a {a} a ještě množiny {b} a {a, b}. Přidáme-li k množině {a, b} třetí prvek c> pak, kromě již uvedených čtyř podmnožin 0, {a}, {b}, {a, b], vzniknou — přidáním prvku c ke každé z nich — ještě čtyři podmnožiny {ť}> {a, c], {í>, c}, {a, b, c}. Přidání nového prvku zřejmě zdvojnásobuje počet podmnožin. Množina o n prvcích má tudíž 2n podmnožin. Podmnožiny konečné množiny lze rozdělit do skupin podle počtu jejich prvků. Je-li množina tvořena n prvky, pak její podmnožiny sestávající z k prvků se nazývají kombinace k-té třídy z n prvků. Jejich počet se označuje symbolem*) C*. Jelikož počet všech podmnožin je 2H, platí rovnost *} Místo symbolu C£, běžného ve světové literatuře, se u nás často užívá symbolu (;), který čteme „n nad k". (Pozn. překl.). Mezí čísly C* existuje nemálo zajímavých vztahu, z nichž mnohé lze odvodit vyšetřováním množin, vyznačujících se určitými vlastnostmi. Dokažme například, že za předpokladu 1 g k < n platí Q = c*=J -f- c*.,. 0) Za tímto účelem mezi všemi kombinacemi k-té třídy z n prvků aj, a2, ■ . ., «» vybereme ty kombinace, které obsahují prvek a„. Na ostatních k — 1 místech každé kombinace může stát kterýkoli z n — 1 prvků ai, a2,..., Počet všech takových kombinací je proto roven C%I\. Nyní určíme, kolik kombinací k-té třídy z prvků a\, a2s. . an neobsahuje prvek an. Tyto kombinace jsou tvořeny prvky ai, a2,. ■ fln-i- Jelikož jde o kombinace k-té třídy, je jejich počet roven CJ_r Protože však každá z C* kombinací k-té třídy z n prvků a\, a2,...,an bud* prvek an obsahuje anebo neobsahuje, musí platit rovnost (1). Všimneme si ještě, že = 1 pro každé n S: 0, neboť každá množina má pouze jednu prázdnou podmnožinu. Stejně zřejmé je, že Cj| — 1. Užitím uvedených poznámek můžeme postupně určit čísla C%; nejprve pro « = 0, pak pro n = 1, pak pro n — 2 atd. Čísla C* se obvykle zapisují do tabulky trojúhelníkového tvaru (tzv. Pascalův trojúhelník): Co r-l r-2 2 2 2. CO r L hlediska algebry máme před sebou úlohu najít všechny uspořádané dvojice čísel (x,y), po jejichž dosazení do obou rovnic soustavy dostaneme rovnosti. Jednotlivé rovnice soustavy vsak můžeme vyšetřovat samostatně. Označme písmenem M množinu všech uspořádaných dvojic (*, ý) čísel x,y, vyhovujících první z našich rovnic, a písmenem N množinu všech dvojic (x, y), vyhovujících druhé rovnici. Řešením soustavy budou pak všechny dvojice, patřící jak do množiny M, tak i do množiny N. Jinými slovy, množina všech řešení soustavy (1) je průnikem množin M a N. 34 35 Z této poznámky je zřejmý princip grafického řešení soustav: konstruují se křivky (množiny bodů) určené každou rovnicí soustavy a určí se jejich průnik. Například již víme, že body (x, y), jejichž souřadnice vyhovují rovnici x2 -\-yi = 25, leží na kružnici o poloměru 5 se středem v počátku souřadnic. Dále víme, že rovnice x -\- y = 7 je rovnice přímky vytínající na obou souřadnicových osách úseky délky 7. Po narýsování této kružnice a přímky se ukáže, že se protínají ve dvou bodech: A (4, 3) a B (3, 4). Naše soustava má tudíž dvě řešení: xx — 3,^i = 4 a xz — 4, y2=3 (obr. 9). Vyšetřujeme nyní soustavu nerovnic y ^ x2, y i 8 — x2. W Množina M všech řešení nerovnice y ^ x2 se skládá z bodů (•*jJ>0j ležících na parabole popsané rovnicí y = x2 a „nad" touto parabolou. Množina N všech řešení nerovnice y íí 8 — x2 se skládá z bodů roviny, ležících na parabole o rovnici y — 8 — x2 a „pod" touto parabolou (obr. 10). Na obr. 10 je množina M šrafovaná stoupajícími čarami a množina N klesajícími čarami. Množina všech řešení soustavy (2) je průnikem množin Ma N, M Pí N = P. Na obrázku y _ \x*y=7 í 5\ - ^A(4,3) V 0 34) 7\*~ 36 Obr. 10 Obr. 11 10 je tato množina šrafovaná dvojitě. Přitom body hranice množiny P do této množiny patří. Stejným způsobem zjistíme, Že řešení soustavy { y = 2x + 3 W lze znázornit tou částí přímky o rovnici y = 2x + 3, která leží „nad" parabolou popsanou rovnicí y = x2. Přímka protíná parabolu v bodech A ( — 1, 1) a B (3, 9) a „nad" parabolou leží část přímky mezi body A a B (body A a B do množiny řešení soustavy nepatří, viz obr. 11). Vyšetřováním průniku množin nyní ukážeme, že iracionální rovnice V 2 - x- x1 -r VÚx - x2 — 15 = 7 37 nemá řešení. Bylo by možné začít tuto rovnici řešit — uvést na společnou odmocninu a umocnit obě části na druhou a nakonec po prověření získaných kořenů se přesvědčit, že rovnice nemá řešení. Budeme však postupovat jinak. Nejprve zjistíme, pro která reálná čísla x mají odmocniny smysl. Odmocnina V2 + x — x2 má smysl, jestliže 2 + + x — x2 ^ 0. Řešením této nerovnosti dostaneme — 1 á 2, Stejným způsobem zjistíme, že odmocnina VSx — x2 — 15 má smysl pouze tehdy, platí-li 3 s£ x ^ 5. Avšak intervaly —1 : x < 2 a 3 x ;g 5 nemají žádné body společné — jejich průnik je prázdný. Tudíž žádné číslo x nemůže vyšetřované rovnici vyhovovat. Sjednocení množin Snad ještě častěji než tvořit průnik množin je třeba množiny sjednocovat. Již prvňáčci, sčítající tři kuličky a dvě kuličky, sjednocují dvě množiny. Sčítání přirozených čísel je také spjato s určováním počtu prvků sjednocení dvou množin. Zde však nesmíme zapomenout na jisté jemné rozdíly. Mějme dvě slitiny. Jedna slitina obsahuje železo, uhlík, vanad a mangan, druhá slitina obsahuje železo, uhlík, chrom a nikl. Každá slitina obsahuje čtyři chemické p vky. Jestliže je však slijeme dohromady, bude nová slitina obsahovat pouze šest prvků: železo, uhlík, vanad, mangan, chrom a nikl. Je to způsobeno tím, že železo a uhlík byly obsaženy v obou slitinách, tj. sjednocované množiny prvků měly neprázdný průnik. Je proto správnější říci, že sčítání přirozených čísel je spjato se sjednocováním množin majících prázdný průnik. Není-Ii průnik množin prázdný, pak při jejich sjednocování se společné prvky „počítají pouze, jednou". Přesněji: sjednocením několika množin A, B,... se nazývá množina, která se skládá ze všech těch prvků (a žádných jiných), které patří alespoň do jedné ze sjednocovaných množin. Sjednocení množin A a B se značí symbolem A U B. Na obr. 12 je znázorněno sjednocení množiny A bodů kruhu G t a množiny B bodů kruhu G2. Patří-li některé prvky nejen do jediné, ale do několika ze sjednocovaných množin, pak ve sjednocení vstupují pouze jednou. Pro konečné množiny může být proto počet prvků sjednocení menší než součet počtů prvků sjednocovaných množin. Nechť například jedna množina je tvořena různými písmeny české abecedy, vyskytujícími se v první řádce výše zmíněného (str. 16) překladu Evžena Oněgina a nechť se druhá množina skládá z různých písmen vyskytujících se ve druhé řádce tohoto překladu. První množina je tvořena dvaceti písmeny: M,Ú,J,SJT,R,Ý,G,B,Y,L,U,Ž,E,I,A,V,DíO,Ě. Druhá množina obsahuje 15 písmen: K,D,YiO)PíR,A,V,U,S,E,Z,N,M,H. Sjednocením těchto dvou množin je množina těchto 25ti písmen: M,ÚJ,S)T,R,V,C,B,YíLíU,Z,E,I,A,V,D,0>Ě,KíPJZ>N,H. Písmena DjY.OjRjAjV^UjS^M, vyskytující se v průniku našich množin, vystupují ve sjednocení pouze jednou, a proto Obr. 12 39 jsme dostali pouze 25 písmen a nikoliv 20 + 15 = 35 písmen. Jiným příkladem, ve kterém mají sjednocované množiny společné prvky, může být i množina všech žáků ve třídě, chápeme-li ji jako sjednoceni těchto tří množin: a) množiny všech prospívajících žáků, b) množiny všech dívek, c) množiny všech neprospívajících žáků. Je zřejmé, že každý žák této třídy patří alespoň do jedné z uvedených množin. Uvedené množiny však mohou mít společné prvky: prospívající dívky patří do první i do druhé množiny. Někdy tvoříme sjednocení nekonečně mnoha množin. Označme např. symbolem An množinu všech kladných zlomků se jmenovatelem n: A-í1 2 m 1 A-í1 2 m 1 Sjednocením všech množin Ai, A2,..., An>... je množina m všech kladných zlomků, tj. zlomků tvaru —, kde m a n jsou přirozená čísla. Označme symbolem A3 množinu všech pravidelných trojúhelníků, symbolem A4 množinu všech pravidelných čtyřúhelníků, symbolem A5 množinu všech pravidelných pětiúhelníků atd. Sjednocením všech těchto množin je množina A všech pravidelných mnohoúhelníků. 40 □ Všimněme si nyní sjednocování množin v algebře. Známý americký spisovatel Edgar Allan Poe v jedné své povídce píše: „Nikdy jsem se nesetkal s matematikem, který by za Symbol Víry nepovažoval to, že x1 + px + q je absolutně a bezpodmínečně rovno nule. Přejete-li si, zkuste říci některému z těchto džentlmenů, že podle vašeho názoru mohou existovat případy, kdy x2 + px 4- q není bezvýhradně rovno nule. Vtlučete-li mu do hlavy, co máte na mysli, hleďte se co nejrychleji dostat z jeho dosahu, neboť se vám nepochybně pokusí namlátit". Čtenář ovšem chápe, že výraz x2 -f- px 4- ? může být roven nule pro některá Čísla x a různý od nuly pro jiná čísla x. Nás však zajímá jiná otázka: proč se matematici tak často snaží zapsat rovnici tak, aby jedna její Část byla rovna nule? Aby se to stalo jasnějším, vyšetřujme rovnici *V — 7) = —12. Z toho, že součin hodnot dvou výrazů je roven —12, je obtížné odvodit něco o hodnotách každého z obou výrazů. Řešit rovnici v tomto tvaru je proto dosti obtížné. Jestliže vsak převedeme —12 na levou stranu rovnice a přepíšeme získaný výraz ve tvaru součinu, dostaneme rovnici (*2 - 4) (x2 - 3) = 0. (1) Nyní je možné použít známé úvahy: Aby byl součin roven nule, musí být alespoň jeden z činitelů roven nule. Řešení rovnice (1) vede tedy k řešení dvou rovnic: x2 _ 4 — o a x2 — 3 = 0. Avšak na rozdíl od řešení soustavy rovnic nehledají se zde pouze čísla, která vyhovují zároveň oběma rovnicím, ale čísla, která vyhovují alespoň jedné z uvedených rovnic. Jinými slovy, nehledáme nyní průnik, ale sjednocení množin kořenů těchto rovnic. Řešením první rovnice dostaneme kořeny xx = 2, x2 = —2, 41 Obr. 13 řešením druhé rovnice nalezneme ještě další dva kořeny #3 = V3, x4 — —V3. Sjednocením množin {2, —2} a {V3, — V3} dostaneme množinu všech kořenů {2, —2, VŠ~, -V3} dané rovnice. Analogicky rovnice (** + y2 - 37) (y - x — 7) ^ 0 určuje ve zřejmém smyslu množinu tvořenou kružnicí o rovnici a:2 + yz — 37 = 0 a přímkou o rovnic\y — x — 7 = ~ 0 (obr. 13). Kdyby byla místo této rovnice zadána soustava rovnic X2 + y2 _ 37 = 0, y - x - 7 = 0, neurčovala by celý útvar znázorněný na obrázku 13, ale pouze dva body A ( — 6, 1) a B ( — 1, 6), ve kterých přímka protíná kružnici. □ Rozklady množin Rozkladu na podmnožiny se často užívá při klasifikaci objektů. Například při sestavování věcného katalogu se dělí knihy na krásnou literaturu, společenskovědní literaturu, přírodovědní literaturu atd. V biologii se množina všech živočichů neboli říše dělí na podříše, podříše se dělí na kmeny, kmeny na podkmeny a podkmeny na třídy. Množinu lze ovšem rozložit různými způsoby. Kromě věcného katalogu se sestavuje také abecední katalog knih. Při jeho sestavování se množina knih nejdříve rozkládá na podmnožinu, obsahující knihy, jejichž autor má příjmení začínající písmenem A, na podmnožinu knih, jejichž autor začíná písmenem B atd. Potom se každá z takto utvořených podmnožin rozkládá na podmnožiny podle druhého písmene autorova příjmení atd. □ Při rozkládání množin na podmnožiny se často využívá pojmu ekvivalence prvků. Nejprve se stanoví význam výroku prvek x je ekvivalentní prvku yfi a ekvivalentní prvky se pak shrnou do jedné podmnožiny (často se říká do jedné třídy). Aby tento způsob vedl k rozkladu množiny, musí mít pojem ekvivalence jisté vlastnosti. Kdybychom např. nazvali dva lidi ekvivalentními, jestliže se znají, pak bychom uvedeným způsobem k rozkladu nedospěli. Mohlo by se totiž stát, že člověk X se zná s člověkem Y, že člověk Y se zná s člověkem Z a přitom lidé X a Z se neznají. V tomto případě máme do jedné množiny zařadit lidi X a Y, neboť se znají. Zároveň do téže množiny máme zařadit i člověka Z, neboť Y a Z se znají. Potom se však budou v jedné množině nacházet lidé X a Z, kteří se neznají (kteří nejsou ekvivalentní). K tomu, aby uvedený způsob vedl k rozkladu množiny, je nutné a zároveň stačí, aby pojem ekvivalence vyhovoval těmto třem podmínkám: 42 43 a) každý prvek je ekvivalentní sám sobě; b) je-li prvek x ekvivalentní prvku y, pak prvek y je ekvivalentní prvku x; c) je-li prvek x ekvivalentní prvku y a je-li zároveň prvek y ekvivalentní prvku z, pak prvek x je ekvivalentní prvku z. Dá se dokázat, že splnění těchto tří podmínek je nutné a stačí k tomu, aby bylo možné množinu A rozložit na podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků (a přitom tak, aby různé podmnožiny neměly společné prvky). Nazvěme například dvě celá čísla ekvivalentními, jestliže je jejich rozdíl sudé číslo. Snadno se dá ověřit, že všechny tři podmínky a) — c) jsou v tomto případě splněny. Shrne-me-li vzájemně ekvivalentní prvky do podmnožin, rozložíme množinu všech celých čísel na dvě podmnožiny: na množinu všech sudých čísel a na množinu všech lichých čísel. □ ■ Aritmetika zbytkových tříd Je-li m libovolné přirozené Číslo větší než jedna, lze rozložit množinu všech celých čísel na třídy tímto způsobem: Dvě čísla nazveme kongruentními podle modulu m, jestliže je jejich rozdíl dělitelný číslem m. Například Čísla 7 a 19 jsou kongruentní podle modulu 4, ale nejsou kongruentní podle modulu 5, neboť 19 — 7 = 12 je dělitelné čtyřmi, ale není dělitelné pěti. Snadno lze ověřit, že kongruentnost podle modulu má všechny vlastnosti vyžadované od ekvivalence. Množina všech celých čísel se tedy rozkládá na třídy čísel kongruentních podle modulu m a při dělení čísel z téže třídy číslem m je zbytek stejný. Je-li například m = 3, dostaneme tři třídy: třídu násobků čísla 3, třídu Čísel, při jejichž dělení 44 třemi dostaneme zbytek 1 a třídu čísel, při jejichž dělení třemi dostaneme zbytek dvě. Utvořme nyní novou množinu M, jejímiž prvky jsou třídy Čísel kongruentních podle daného modulu m. Množina M má m prvků. V této množině lze definovat operace sčítání a násobení prvků. Bud například m = 5. Vezměme třídu A čísel, dávajících při dělení pěti zbytek 2 a třídu B čísel, dávajících při dělení zbytek 4. Sečteme-li libovolné číslo z třídy A a libovolné číslo z třídy B, dostaneme číslo, při jehož dělení pěti je zbytek 1 (skutečně, (5a + 2) + + (5b + 4) = 5(« + b + 1) + 1). Můžeme tedy říci, že součtem třídy A a třídy B je třída C všech čísel, dávajících při dělení pěti zbytek 1. Násobíme-li libovolné číslo z třídy A libovolným číslem z třídy B, dostaneme číslo, dávající při dělení pěti zbytek 3. Dostali jsme zajímavou aritmetiku, ve které se nepracuje s nekonečným počtem celých čísel, nýbrž pouze s pěti prvky. Třídu čísel, dávajících při dělení pěti zbytek a, označíme symbolem a (například třídu čísel {... —4, 1, 6, 11, 16, . . .} označíme jednoduše 1). Pro „čísla" (zbytkové třídy) 0, 1, 2, 3, 4 je aritmetika dána těmito tabulkami sčítání a násobení: tabulka sčítání 10 12 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 4 0 0 1 1 2 2 3 45 TABULKA NÁSOBENÍ [01234 0 0 0 0 12 0 2 4 0 3 1 0 4 3 0 0 3 4 1 3 4 2 2 1 Zvláště jednoduché jsou tyto tabulky v případě m = 2: TABULKA SČÍTÁN f ! 0 1 TABULKA NÁSOBENÍ I 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 o o 0 1 První tabulka ukazuje, že součet dvou sudých nebo dvou lichých čísel je sudý a že součet sudého čísla a lichého čísla je číslo liché. Druhá tabulka ukazuje, že součin dvou celých čísel je číslo liché pouze tehdy, jsou-li oba činitelé lichá čísla. Aritmetika zbytkových tříd podle daného modulu se studuje v části matematiky, nazývané teorie čísel. Rozdíl množin Rozdílem dvou množin A a B se nazývá množina A \ B, do které patří všechny prvky množiny A, která nepatří do množiny B. Vidíme, že k tomu, abychom mohli utvořit rozdíl A\B> Obr. 14 není nutné, aby množina B byla částí množiny A. Stačí odstranit z množiny A společnou část množin A a B: A\B = A\{A n B). Je-li například A množina všech bodů levého kruhu na obr. 14 a je-li B množina všech bodů pravého kruhu, je jejich rozdíl A\B množina bodů šrafovaného srpku na obr. 14. (bez oblouku MN). Je-li A množina všech žáků (chlapců i dívek) určité třídy nějaké školy a B množina všech žákyň této školy, pak rozdíl A\ B je množina všech chlapců z uvažované třídy. V případě, že množina B je částí množiny A, nazývá se rozdíl A\B doplňkem mnofiny B v množine A a označuje se symbolem BA (množina B může mít samozřejmě v různých množinách různé doplňky). Například doplňkem množiny všech sudých čísel v množině všech celých čísel je množina všech lichých Čísel. Doplňkem množiny všech čtverců v množině všech obdélníků je množina všech obdélníků s nestejně dlouhými sousedními stranami, kdežto doplňkem téže množiny v množině všech kosočtverců je množina všech kosočtverců s nestejně dlouhými úhlopříčkami. Vyšetřují-li se pouze množiny, které jsou podmnožinami dané universální množiny I, pak doplňkem množiny B rozumíme obvykle doplněk v I a místo Bi se píše jednoduše B\ 46 47 M Algebra množin Seznámili jsme se se základními operacemi s množinami — s tvořením sjednocení, průniku a rozdílu. Tyto operace mají řadu vlastností, připomínajících vlastnosti operací sčítání a násobení čísel. Je známo, že algebra mnohočlenů je založena na několika pravidlech pro operace s čísly. Tato pravidla lze vyjádřit rovnostmi takto: pro jakákoliv čísla a, b, c platí &)a-\-b = bJra komutativnost sčítání b) (a -|- b) + c — a 4- (b 4- c) asociativnost sčítání c) a -\- 0 = a existence nulového prvku d) «4- (~a) — a — a = 0 existence opačného prvku e) a . b = b . a komutativnost násobení f) (a . b) . c = a . {b . c) asociativnost násobení g) a . (b + c) = a . b -f- a . c distributivnost násobe- ní vzhledem k sčítání h) a . 1 = a existence jednotkového prvku Většina těchto vlastností operací s čísly se zachovává i pro operace s množinami*). Je například zřejmé, že pro libovolné dvě množiny A a B platí A u B = B U A (A U B i B U A označují touž množinu, do které patří všechny prvky z A i B a která neobsahuje žádné jiné prvky). Stejně zřejmé je i to, že platí (A u B) u C = A u (B u C). *) Považujeme-H sjednocování za analogií sčítání a tvoření průniku za analogii násolx-ní (pozn. překl.). 48 Obr. 15 Obě tyto množiny jsou tvořeny právě těmi prvky, které patří alespoň do jedné z množin A, B a C. Stejně se dokáže, že platí A n B — B A a (AnB)nC = An(BnC) (množiny AH B a B A A se skládají ze společných prvků množin A a B, a množiny (A n B) h G a A n (B n C) ze společných prvků množin A, B a C). O něco složitější je důkaz distributivnosti operace průniku vzhledem k operaci sjednocení, tj. platnosti rovnosti An(BuC) = (AnB)u (A n C). (1) Přesný logický důkaz této rovnosti je spí Š pracný než složitý. Omezíme se proto pouze na dva obrázky, které tuto rovnost ilustrují (obr. 15). Na prvním z nich je vyšrafován průnik množiny A a množiny B U C, kdežto na druhém jsou vyšrafovaný průniky A n B a A n C. Roli nuly a jednotky hrají při operacích s množinami prázdná množina 0 a universální množina I. Platí totiž rovnosti Au0 = A, A n I = A, odpovídající rovnostem a -f- 0 = a, ŕľ.0 = 0, a . I — a pro operace s čísly. 49 Tvorení sjednocení a průniku nmožíii se tt:dy vyznačuje týmiž vlastnostmi jako sčítání á násobení čísel. Díky tomu všechny vzorce z algebry mnohočlenů, pokud se v nich vyskytují pouze operace sčítání a.násobení, platí i pro množiny. Například rovnosti (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 odpovídá rovnost (A u B)2 = A2 u [2(A n B)] u B2, (2) kde A2 značí A n A, B2 značí B n B a 2 (A n B) značí (A n B) u (A n B). Algebra množin má však i své zvláštní rysy. Její základni odlišnost od algebry mnohočlenů spočíva v tom, že pro množiny A a B, z nichž jedna je části druhé, se dají vzorce pro sjednocení a průnik zjednodušit. Platí totiž: Je-li Ac B, pak AuB=B a A n B = A. Je to okamžitě patrné z obr. 16. Jako speciální případ pak platí AuA = An A = = A a A u I = I, neboť A <= A a A c |. To pak umožňuje zjednodušit vzorce algebry množin. Například platí A2 U u [2(A n B)] - A u 2(A n B) = Aj neboť A2 = A a A n n B c A, a jelikož platí také B2 = B, nabývá vzorec (2) tvaru (A U B)2 = A U B. V algebře množin pak nemá vůbec význam hovořit o „mocninách" množin, neboť pro každé n platí An = A. Ukažme nyní, že pro operace s množinami platí i druhý „distributivní zákon", který pro operace s čísly neplatí. Toto pravidlo lze zapsat vzorcem A u (B n C) = (A U B) n (A u G). K důkazu stačí odstranit závorky na pravé straně rovnosti podle vzorce (1) a všimnout si toho, že množiny An B a A n C jsou podmnožinami množiny A. Kromě toho A n A = A, a platí tedy (A n A) u (A n C) u (B n A) u (B n C) = Au (BnG). Obr. 16 Obr. 17 Všimněme si dále, že tvoření rozdílu množin se svými vlastnostmi již nepodobá odčítání čísel. Pro libovolná tři čísla a, b, c platí rovnost a -f [b — c) = (a + b) — c, na druhé straně však existuj! takové tři množiny A, B, C, že platí A u (B\C) # (A u B) \ C. Příčina spočívá v tom, že při operaci sjednocení se berou opakující se prvky pouze jednou a že lze tvořit rozdíl množin i v tom případě, Že „menšitel není obsažen v menšenci". Proto, jsou-li například všechny tři množiny A, B, C totožné, tj. A = B = C, pak A U B = A, a tedy (A U B)\ \G = A\A = 0 a zároveň A U (B\G) = Au0 = A. V teorii množin se vyskytuje ještě operace, nemající analogii v obvyklé algebře. Je to operace přechodu od dané množiny A k jejímu doplňku A' — l\A. Množiny A a A' jsou zřejmě disjunktní a jejich sjednocením je celá univerzální množina, tj. A n A' - 0 a A U A' = I. Kromě toho je zřejmé, že 0' = I (doplněk prázdné množiny je totožný s univerzální množinou) a ľ = 0. Dále platí rovnost (A')' = A (obr. 17). Ukážeme nyní, že je-li A c B, je A' d B\ Skutečně, čím včtší množina je, tím méně prvků zůstane v jejím doplňku. 50 51 Obr. 18 Na obr. 18 je univerzální množina zobrazena jako obdélník a množiny A a B jako kruhy. Doplněk množiny A se skládá z bodů obdélníka ležících vně menšího kruhu a doplněk množiny B z bodů obdélníka ležících vně většího kruhu. Zřejmě A' = B\ O něco složitěji se dokazuje platnost těchto vzorců:*) (AuB)'-A'nB', (A n B)' - A' u B'. Na obr. 19 je znázornění doplňku množiny A šrafováno vodorovnými čarami a znázornění doplňku množiny B svislými čarami. Doplněk množiny A U B se skládá z bodů obdélníka nepatřících do žádného z obou kruhů. To jsou právě ty body obdélníka, které leží v části šrafované vodorovně i svisle, tj. body množiny A' p, B'. Tedy zřejmě (AU B)' = A' n B'. Podobně i obrázek 20 ilustruje vzorec (A n B)' = A' u B'. Všimli jsme si řady vlastností operací s množinami. Pro pohodlí uvedeme jejich seznam (jako obvykle, symbol 0 označuje prázdnou množinu a symbol I univerzální množinu, symbol A' doplněk množiny A v univerzální množině): 1) A c A. 2) Je-li A c B a B c A, je A = B. 3) Je-li A <= B a B c C, je A <= C. *) Tzv. vzorce de Morganovy (pozn. překl.). 52 Obr. 19 Obr. 20 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 !8 19 20 21 22 23 24 25 26 0 c a. Ac |. A u B = B u A. A n B = B n A. A u (B u C) - (A u B) u C. A n (B n C) = (A n B) n C. A u A — A. a ^ a = A. A n (B u C) = (A n B) u (A n C). A u (B n G) = (A u B) n (A u G). A u 0 = A, a n I = a. a u I = i. A n 0 = 0. Vztah A c B je ekvivalentní každému ze vztahů AuB = B,AnB = A. A u A' - I. A n A' = 0. 0' = I. ľ = 0. (a')' = a. Vztah A c B je ekvivalentní vztahu B' c: A', (A u B)' = A' n B'. (A n B)' =* A' \J B', 53 Všimneme si tohoto pozoruhodného „duálního vztahu". Jestliže v kterékoli z vlastností 1) — 26} vzájemně zaměníme symboly Ca D , 0 a I, Y nepravdivého pouze v tom případě, že výrok X je pravdivý a výrok Y nepravdivý. *) Vyšla v překladu v r. 1972 v nakladatelství Odeon (pozn. překl.). V mnoha případech spořívá výrok v tom, žc nějaký prvf--k-a patrí do pod množiny A nějaké univerzální množiny I. V takovém případe operace 1)—4) s výroky odpovídají nám známým operacím s množinami. Například negace výroku „x e A" je výrok „x e A' Tvoření doplňku množiny A odpovídá tedy negování výroku „x £ A". Podobně operaci průniku množin A a B odpovídá konjunkce výroků ,,x e A" a ,,x 6 B", operaci sjednocení množin odpovídá disjunkce těchto výroků a vztahu A <= B odpovídá implikace výroků „x g A" a „x e B". Přitom výrok „x e I" je vždy pravdivý a výrok „x e 0" vždy nepravdivý. Zmíněné vztahy dovolují přirozenou domněnku, že pravidla 1)—26) platí nejen pro množiny, nýbrž i pro výroky, pokud A n B chápeme jako konjunkci výroků, A U B jako disjunkci, A' jako negaci, Ac B jako implikaci, I jako vždy pravdivý výrok a 0 jako vždy nepravdivý výrok. Ukázalo se, že tato domněnka je oprávněná a že výroky tvoří Booleovu algebru vzhledem k operacím 1) —4). Booleovy algebry lze vytvářet nejen z množin a z výroků. Vyšetřujme např. množinu všech posloupností obsahujících n číslic, přičemž je každá číslice buď nula nebo jednička. Definujme sčítání (sjednocení) a násobení (průnik) dvou takových posloupností „po souřadnicích", přičemž tabulky pro sčítání a násobení zadáme takto: 0 1 0 0 1 [ 0 1 0 i o o 1 I 0 1 Například: (1,0, 0, 1) U (1, 1,0, 1) = (1, 1, 0, 1), (1,0, 0, l)n (i, 1,0, 1) -= (1,0, 0, 1). Položme dále a: <= y, kde x = x2)xn), y = ~ {y\ľJ>2> • • -)Jľw)> v tom případě, že pro každou souřadnici platí Xk ^yk- Zaměníme-li v dané posloupnosti x číslici 0 za 1 60 61 a í za O, dostaneme novou posloupnost, kteiou označíme .v'. Nakonec pak označíme posloupnost (0, 0, ..., 0) symbolem 0 a posloupnost (1, 1, .. 1) symbolem !. Necháme na čtenáři, aby prověřil, že pro uvedené operace s posloupnostmi platí všechny zákony 1)—26). Zajímavý příklad Booleovy algebry lze získat z množiny všech přirozených dělitelů přirozeného čísla JV", které je součinem několika různých prvočísel. Jako operaci sčítání (sjednocení) dělitelů vezmeme vytvoření nejmenšího společného násobku těchto dělitelů a jako operaci násobení (tvoření průniku) vytvoření největšího společného dělitele. JV Doplňkem dělitele n nazveme číslo n' = — . Nakonec n řekneme, že n c m, jestliže m je dělitelné n. Není obtížné ověřit, že právě zavedené operace vyhovují podmínkám 1) —26) z odstavce „Algebra množin", přičemž roli množiny 0 hraje číslo 1 a roli univerzální množiny 1 číslo N. Je-li například N= 30,skládáse tatoBooleova algebraz čísel {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. „Součet" dělitelů 2 a 5 je 10 a jejich „součin" je 1. Dělitelem „opačným" k děliteli 3 je 10, tj. 3' = 10. Nakonec 5 <= 15, neboť patnáct je dělitelné pěti. 62 Ve světě zázraků nekonečna Tajemství nekonečna Nebudeme daleko od pravdy, řekneme-li, že celou matematikou proniká myšlenka nekonečna. V matematice se zpravidla nezajímáme o jednotlivé objekty (čísla, geometrické ú tvary), ale o celé třídy takových objektů: o množiny všech přirozených čísel, všech trojúhelníků atd. A takové množiny se skládají z nekonečného počtu jednotlivých objektů. Matematikové a filosofové se proto ve všech dobách zabývali pojmem nekonečna. Tento zájem byl vzbuzen v tom okamžiku, jakmile se stalo zřejmým, že za každým přirozeným číslem následuje další, větší, tj,, že přirozených čísel je nekonečně mnoho. Avšak již první pokusy o studium nekonečna vedly k mnoha paradoxům. Například řecký filosof Zenón užitím pojmu nekonečna dokazoval nemožnost pohybu. Říkal: Dříve než šíp proletí určitou vzdálenost, musí proletět polovinu této vzdálenosti. Před tím však musí proletět její čtvrtinu a ještě před tím její osminu atd. Jelikož tento proces dělení na poloviny nikdy nekončí (zde máme ono nekonečno), nemůže se šíp vůbec pohnout z místa. Stejným způsobem dokazoval, že rýchlonohý Achilles nikdy nedohoní pomalou želvu. 65 Tyto paradoxy a soíisxnaU vedly starořecké matematiky k tomu, že se pojmu nekonečna vyhýbali a „vyháněli" jej z matematických úvah. Někteří filosofové tvrdili, že se všechny geometrické útvary skládají z konečného počtu nej-menších dále nedělitelných částic (atomů). Taková atomis-tická teorie snadno odstraňuje Zenonovy paradoxy, neboť nepřipouští nekonečné dělení — dělit lze nejvýše na atomy, které jsou již nedělitelné. Zde však vznikly nové obtíže. Skládá-li se úsečka z lichého počtu dále nedělitelných atomů, nelze ji rozdělit na polovinu (obr. 24). Kruh nelze rovněž rozdělit na dvě stejné části: střed kruhu bude patřit pouze jedné části, a to odporuje tomu, že jsou obě části stejné. Spory o nekonečno probíhaly chvílemi dosti ostře. Například známý řecký filosof Platón byl k Demokritově atomistic-ké teorii natolik nesmiřlivý, že při každé příležitosti vyhledával díla tohoto autora a ničil je — do objevu knihtisku byla taková metoda ideového boje velmi účinná. Metody využívající pojmu nekonečna umožnily řeckým vědcům dospět k řadě důležitých výsledků, zvláště v geometrii. Zenonovy paradoxy je však naučily opatrnosti. Například Euklides formuloval svou slavnou větu o nekonečnosti množiny prvočísel takto: „Počet všech prvočísel je větší než jakýkoli daný počet prvočísel". Tedy více než jakýkoli daný počet; o tom, zda jich je nekonečně mnoho či nikoliv, Euklides mlčí. Ostatně staří Řekové maskovali použití metod, ve kterých podstatnou roli hrál pojem nekonečna, tak pečlivě, že je evropští matematici 16. —17. století museli znovu objevovat. Ve středověku se problémy nekonečna studovaly převážně v souvislosti s otázkou, je-li konečná či nekonečná množina, andělů, kteří se vejdou na špičku jehly. Široké užívání nekonečna v matematice začíná v 17. století, když vznikla matematická analýza. Tehdy se pojmů „nekonečně velká veličina", „nekonečně malá veličina" užívalo v matematických úvahách na každém kroku. Nestudovaly se však 66 Obr. 24 s-1-h A C B i-\ |-i A C C B množiny obsahující nekonečně mnoho prvků, ale veličiny, které se měnily tak, že byly stále větší a větší, až nakonec převyšovaly libovolnou pevnou hodnotu. Takové veličiny se nazývaly „potenciálně nekonečně velké" v tom smyslu, že se mohou stát libovolně velkými {potentia — možnost). Teprve v polovině 19. století začíná systematické studium množin tvořených nekonečně mnoha prvky a analýza pojmu nekonečna. Zakladateli matematické teorie nekonečných množin se stali pražský vědec Bernard Bolzano (jeho základní práce byly publikovány teprve mnoho let po jeho smrti) a německý matematik Georg Cantor. Těmto vynikajícím vědcům se podařilo překonat středověkou scholastiku a učinit z teorie množin důležitou část matematiky. Hlavním Bolzanovým a Cantorovým úspěchem bylo prostudování vlastností nekonečných množin; vlastnosti konečných množin byly známy již dříve. Ukázalo se, že vlastnosti konečných a nekonečných množin se sobě vůbec nepodobají: mnohé jevy vyloučené u konečných množin se u nekonečných množin mohou snadno vyskytnout. Pokuste se například ubytovat v hotelu, jehož každý pokoj je obsazen jedním hostem, ještě jednoho hosta a přitom tak, aby byl každý pokoj opět obsazen pouze jedním hostem. Nejde to? Pak tedy jen proto, že počet pokojů v hotelu je konečný! Ale kdyby měl hotel nekonečně mnoho pokojů... S takovými hotely se ovšem můžeme setkat pouze ve vyprávění našeho starého známého, mezihvězdného cestovatele Ijona lichého. Dejme mu tedy slovo. 67 Neobyčejný hotel aneb tisícíprvá cesta Ijona Tichého Domů jsem se vrátil dost pozdě — vzpomínkový večer v klubu „Mlhovina Andromedy" se protáhl dlouho přes půlnoc. Celou noc mne mučily děsivé sny. Chvíli se mně zdálo, že mne spolkl ohromný kurdl, pak jsem zase letěl na planetu Durdiotů a nevěděl jsem, jak se vyhnout tamějšímu hroznému stroji, který dělal z lidí šestiúhelníky, pak jsem. . . Prostě nikomu neradím míchat vodku s uleželou medovinou. Do světa skutečnosti mne vrátilo neočekávané zazvonění telefonu. Volal starý přítel a spoluúčastník mezihvězdných toulek profesor Tarantoga. „Naléhavý úkol, drahý Ijone. Astronomové objevili v kosmu jakýsi podivný objekt — z jedné galaxie do druhé se táhne záhadný černý pruh. Nikdo neví, oč jde. I nejlepší radioteleskopy, neutrinoskopy a gravitoskopy selhávají při řešení této záhady. Zbýváš ty. Jsi naše poslední naděje. Co nejrychleji se vydej ve směru mlhoviny ACD — 1587." Druhý den jsem dostal z opravny svou starou fotonovou raketu, zapojil jsem urychlovač času a elektronického robota, který znal všechny jazyky kosmu a všechny historky o mezihvězdných cestovatelích (což mě mělo ochránit před nudou) a vyletěl jsem v určeném směru. Když už robot vyčerpal veškerou zásobu anekdot a začal se opakovat (není nic horšího než elektronický robot, po desáté opakující starou historku), objevil se v dálce cíl mé cesty. Mlhoviny, které zakrývaly záhadný pruh, zůstaly vzadu, a přede mnou se objevil ... hotel „Kosmos". Ukázalo se, že mezihvězdní tuláci Vygonti, pro které jsem kdysi vybudoval planetku, ji opět po kouskách rozkradli a zůstali zase bez útočiště. Aby se nemuseli znovu toulat po cizích galaxiích, rozhodli se vybudovat grandiózní stavbu — hotel pro všechny kosmické cestovatele. Tento hotel se táhl téměř všemi galaxiemi. Říkám „téměř všemi", neboť Vygonti rozebrali některé neobydlené galaxie a z kaž- 68 dé zbývající galaxie odtáhli několik stranou ležících souhvězdí. Avšak hotel vybudovali znamenitý. V každém pokoji byly kohoutky na studenou a horkou plazmu. Na přání jste se mohli dát na noc rozložit a ráno vás vrátný zase složil podle vašeho atomárního schématu. A to nejhlavnější: kotel mel nekonečné mnoho pokojů. Vygonti doufali, že teď už nikdo nebude muset pořád poslouchat větu, které už měli za dobu svých toulek až po krk — „volné pokoje nejsou". Přesto mi štěstí nepřálo. První, co mi padlo v hotelové hale do oka, byl plakát: „Registrace účastníků sjezdu kosmozoologů ve 127. patře". Jelikož kosmozoologové přijeli ze všech galaxií — a těch je nekonečně mnoho — byly všechny pokoje obsazeny účastníky sjezdu. Pro mne už místo nezbylo. Recepční se mne sice snažil dát do pokoje k některému z kosmozoologů, ale když jsem zjistil, že jeden z možných spolubydlících sálá fluor a druhý považuje za normální teplotu svého okolí 860 °C, zdvořile jsem „příjemné" spolubydlení odmítl. Naštěstí byl ředitelem hotelu Vygont, který si dobře pamatoval, jaké služby jsem jim kdysi prokázal, a vynasnažil se mé přece jen ubytovat. Vždyť bych si při přenocování v mezihvězdném prostoru mohl snadno uhnat zápal plic. Po chvilce přemýšlení přikázal recepčnímu: — Ubytujte ho v pokoji číslo 1. Ale kam dám hosta z jedničky, ptal se recepční. — Přestěhujte ho do pokoje číslo 2. Hosta z čísla 2 dejte do čísla 3, hosta z čísla 3 do čísla 4 atd. Teprve teď jsem náležitě ocenil neobyčejné vlastnosti hotelu. Kdyby měl pouze konečný počet pokojů, musel by se host z posledního pokoje odebrat do mezihvězdného prostoru. Avšak díky tomu, že pokojů bylo nekonečně mnoho, měli všichni místa a já jsem sc mohl ubytovat, aniž bych některého z kosmozoologů připravil o pokoj. 69 Nedivil jsem se, když mě druhého dne ráno požádali, abych se přestěhoval do pokoje číslo 1 000 000. Se zpožděním přijeli totiž ještě kosmozoologové z galaxie VSK — 3472 a bylo třeba ubytovat ještě 999 999 hostů. Když jsem však třetího dne zašel do recepce zaplatit za ubytování, zatmělo se mi před očima. K recepci se táhla fronta, jejíž konec se ztrácel kdesi v mracích Magellanových. Ze zástupu bylo slyšet hlasy: „Vyměním dvě známky mlhoviny Andromedy za známku Siria". „Má někdo známku Velryby z 57. roku kosmické éry?" Nechápavě jsem se obrátil k recepčnímu s otázkou: — Co je to za hosty? — Mezigalaktický sjezd filatelistů. — A je jich hodně? — Nekonečně mnoho — z každé galaxie jeden zástupce. — Ale jak je ubytujete, vždyť kosmozoologové odjíždějí až zítra? — Nevím, bude se to teď řešit na pětiminutovce u ředitele. Avšak úkol byl značně složitý a pětiminutovka se protáhla na celou hodinu (což se často stává i na Zemi). Konečně recepční přišel od ředitele a začal s rozmisťováním hostů. Nejprve nařídil přestěhovat hosta z pokoje číslo 1 do pokoje číslo 2. Zdálo se mi to divné, neboť z vlastní zkušenosti jsem věděl, že takovým přemístěním se uvolní pouze jeden pokoj, kdežto filatelistů nebylo ani málo ani mnoho — ale nekonečně mnoho. Recepční však pokračoval v příkazech: — A hosta z čísla 2 přestěhujte do čísla 4, hosta z čísla 3 do čísla 6 a obecně hosta z Čísla n do čísla 2«. Nyní již byl jeho plán jasný: tímto způsobem uvolnil nekonečnou množinu pokojů s lichými čísly a mohl v nich ubytovat filatelisty. V pokojích se sudými čísly pak bydleli zoologové a v lichých pokojích filatelisté. (O sobě nehovořím — za tři dny jsem se s kosmozoology tak spřátelil, že mě zvolili čestným předsedou sjezdu a spolu s nimi jsem musel opustit zabydlený pokoj a přestěhovat se z čísla 1 000 000 70 do čísla 2 000 000). A můj známý filatelista, který stál v řadě na 574. místě, dostal pokoj č. 1147. Obecně filatelista stojící na n-tém místě dostal pokoj číslo 2n — 1. Druhého dne se obtíže s ubytováním zlepšily. Sjezd kos-mozoologů skončil a jeho účastníci se rozjeli do svých domovů. Já jsem se přestěhoval k řediteli hotelu, v jehož bytě se uvolnil jeden pokoj. Avšak to, co je výhodné pro hosty, nemusí být uspokojivé pro vedení hotelu. Za několik dní můj hostitel zesmutněl. — Co se děje, zeptal jsem se ho. — Polovina pokojů je prázdná. Neplníme finanční plán. Ne zcela jsem chápal, jaký finanční plán má na mysli, když se platí za nekonečný počet pokojů, ale presto jsem poradil. — Přestěhujte hosty tak, aby byly všechny pokoje obsazené. Ukázalo se, že to lze udělat velmi jednoduše. Filatelisté obývali pouze liché pokoje: 1., 3., 5., 7., 9. atd. Hosta z pokoje Č. 1 ponechali na místě. Hosta z čísla 3 přestěhovali do čísla 2, hosta z čísla 5 do čísla 3, hosta z čísla 7 do čísla 4 atd. Tak se podařilo všechny pokoje obsadit, ačkoliv nikdo nový nepřijel. Ředitelovy nesnáze tím však neskončily. Ukázalo se, že Vygonti se neomezili na výstavbu hotelu „Kosmos". Neúnavní budovatelé postavili ještě nekonečnou množinu hotelů, z nichž každý měl nekonečný počet pokojů. Při tom však rozebrali tolik galaxií, že porušili mezigalaktickou rovnováhu, což mohlo mít velmi vážné následky. Byli vyzváni, aby všechny hotely kromě našeho zrušili a použitý materiál vrátili na místo. Splnění tohoto příkazu bylo ztíženo tím, že všechny hotely včetně našeho byly plně obsazeny. Vedení hotelu čekal tedy úkol umístit do jediného a k tomu ještě plně obsazeného hotelu všechny hosty z nekonečně mnoha hotelů, z nichž v každém bydlelo nekonečně mnoho hostů. — Už toho mám dost! zvolal ředitel. — Nejprve jsem v plně obsazeném hotelu ubytoval ješ tě jednoho hosta, potom ještě 999 999 hostů, pak ještě nekonečně mnoho hostuj 71 a teď chtějí, aby se do něho vešlo ještě nekonečně mnoho skupin o nekonečně mnoha návštěvnících. Ne, hotel není z gumy, ať si je dají, kam chtějí! Ale příkaz je příkaz a za pět dní mělo být vše připraveno k přijetí nových hostů. V tyto dny nikdo v hotelu nepracoval — všichni přemýšleli, jak úkol splnit. Byla vyhlášena soutěž, jejíž vítěz měl zajištěnu turistickou cestu po jedné z galaxií. Ale všechna navrhovaná řešení byla zamítnuta jako nevyhovující. Pomocný kuchař navrhl ponechat hosta v prvním pokoji na místě, hosta z druhého pokoje přemístit do pokoje číslo 1001, hosta z třetího pokoje do Čísla 2001 atd. Potom ubytovat v našem hotelu hosty z druhého hotelu do pokojů s čísly 2, 1 002, 2 002 atd., hosty z třetího hotelu do pokoje s čísly 3, I 003, 2 003 atd. Návrh byl zamítnut, protože již hosté z prvního tisíce hotelů obsadí všechny pokoje a nebude místo pro hosty z 1 001. hotelu. Vzpomněl jsem si přitom, jak se císař Tiberius uštěpačně zeptal římských senátorů, kteří mu navrhovali, aby na jeho počest byl měsíc září přejmenován na měsíc „tiberius" (předcházející měsíce se již jmenovaly podle císařů Julia a Augusta): „A co navrhnete třináctému císaři?" Poměrně dobrý návrh podal účetní hotelu. Radil využít vlastností geometrické posloupnosti a ubytovat hosty takto: obyvatele prvního hotelu umístit do pokojů s čísly 2, 4, 8, 16, 32 atd. (tato čísla tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 2). Hosty z druhého hotelu do pokojů s čísly 3, 9, 27, 81 atd. (tato čísla tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 3). A takto pokračoval i s hosty dalších hotelů. Ředitel se ho však zeptal: — A pro třetí hotel je třeba použít posloupnosti s kvocientem 4? — Samozřejmě, odpověděl účetní. — Pak nám to nepomůže, vždyť čtvrtý pokoj již obývá host z prvního hotelu a teď tam máme ubytovat ještě někoho ze třetího hotelu, Nyní bylo na mně, abych ukázal, že se na Hvězdné akademii nestuduje pět let matematika zbytečně, — Využijte prvočísel! Ubytujte hosty prvního hotelu v pokojích s čísly 2, 4, 8, 16, . . ., hosty druhého hotelu v pokojích 3, 9, 27, 81, hosty třetího hotelu v pokojích 5, 25, 125, 625, . .., hosty čtvrtého hotelu v pokojích 7, 49, 343, . .. — Nebudeme muset opět ubytovat v jednom pokoji dva hosty, zeptal se ředitel. — Ne! Vždyť pro žádná dvě různá prvočísla nejsou žádné jejich mocniny s přirozenými mocniteli stejné: Jsou-li p a q prvočísla, přičemž platí p q, a jsou-li m a. n přirozená čísla, pakje/ř™ ^ qn- Ředitel se mnou souhlasil a hned navržený způsob zdokonalil tak, že stačila dvě prvočísla: 2 a 3. Navrhl totiž ubytovat hosta z m-tého pokoje ra-tého hotelu v pokoji číslo 2m.3n. Využil přitom toho, že je-li m ^ p nebo n # q, je 2m.3n 2p.3G. V žádném pokoji nebudou proto dva hosté. Tímto návrhem byli všichni nadšeni. Řešil úlohu, která se zdála být neřešitelnou. Vypsanou odměnu jsem však nedostal ani já ani ředitel — při použití našich návrhů by zůstalo mnoho pokojů volných (u mého návrhu to byly pokoje číslo 6, 10, 12 a obecně všechny pokoje, jejichž čísla nebyla mocninami prvočísel, a u ředitelova návrhu všechny pokoje, jejichž čísla nelze zapsat ve tvaru 2m.3n, kde man jsou přirozená čísla.* Nej lepší řešeni navrhl jeden z filatelistů — předseda matematické akademie galaxie Labutí. Podle jeho rady se nejdříve sestaví tabulka, její řádky se očíslují čísly hotelů a její sloupce čísly pokojů. Na příklad v průsečíku čtvrté řádky a šestého sloupce se napíše šestý pokoj čtvrtého hotelu. Zde je tato tabulka (či přesněji, její *) Zkuste sami určit pět nejmenších čísel pokojů, které by zůstaly neobsazeny podle ředitelova návrhu! 73 levá horní část, neboť k zápisu celé tabulky je třeba n konečně mnoho řádků a nekonečně mnoho sloupců): (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1.2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (1,«) (2,«) (3,n) (4,«) (5,«) (m,l) {m,2) (m,3) (m,4) (m,5) .. . (m,n) ... — A teď přidělujte pokoje po čtvercích, řekl matemati] -filatelista. — Jak? Nechápal ředitel. — Po Čtvercích! V pokoji číslo 1 se ubytuje host z mísí (1,1), tj. z prvního pokoje prvního hotelu; v pokoji číslo se ubytuje host z místa (1,2), tj. z druhého pokoje první! hotelu, v čísle 3 pak host z místa (2,2), tj. z druhého pokq druhého hotelu a v čísle 4 host z místa (2,1), tj. z prvníh pokoje druhého hotelu. Tím se podaří ubytovat hosty z 1< vého horního čtverce o straně 2. V čísle 5 pak umístírr hosta z (1,3), v Čísle 6 hosta z (2,3), a tak dále. A na kousku papíru načrtl toto schéma rozmístěn (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ... (1,«) ... i l i 1 i (2,1)^(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) i i í (3,1)^(3,2)^(3,3) (3,4) (3,5) i i (4,1)^(4,2)^(4,3)^(4,4) (4,5) (5íl)^(5,2)*-(513)*-{5,4)^-(5,5) (2,») .. . i (3,n) .. . a»)... y (5,«) (nJl)«-(n,2)Hn,3M»>4)«-(«,5) ••■ («.«) " • i i i r i i , , , 1 1 t ! I t i < — A bude opravdu místo pro všechny, zapochyboval ředitel. — Určitě. Vždyť v prvních ri1 pokojích ubytujeme podle tohoto schématu všechny hosty z prvních n pokojů každého z prvních n hotelů. Dříve či později dostane proto každý host jeden pokoj. Například host z 217. pokoje 136. hotelu dostane pokoj v 217. kroku. Dokonce je snadné zjistit číslo jeho pokoje. Je to pokoj číslo 2172 — 136 4- 1. Obecně, host z n-tého pokoje m-tého hotelu dostane pokoj číslo {n — l)2 4- m, je-li n m a pokoj Číslo m2 — n 4- 1, je-H n < m. Tento návrh byl uznán za nejlepŠí — všichni hosté ze všech hotelů byli ubytováni v našem hotelu a žádný pokoj nezůstal prázdný. Matematik-filatelista 2Ískal vyhlášenou odměnu — poukaz na turistickou cestu do galaxie LGR — 287. Na oslavu tak úspěšného rozmístění hostů uspořádal ředitel hotelu recepci a pozval na ni všechny hosty. Ani tato recepce se neobešla bez nesnází. Hosté ze sudých čísel pokojů se opozdili o půl hodiny a když se objevili, zjistilo se, že jsou už všechny židle obsazeny, ačkoliv hostitel připravil po jedné židli pro každého hosta. Muselo se čekat, dokud si všichni ne přesedli na nová místa a neuvolnili potřebný počet židlí (Žádná nová židle přitom nebyla do sálu přinesena). Zato ale každý host dostal dvě porce zmrzliny, ačkoliv kuchaři připravili pro každého právě jednu porci. Doufám, že čtenář pochopí, jak k tomu došlo. Po recepci jsem nastoupil do své fotonové rakety a odletěl na Zemi. Musel jsem přece říci všem pozemským kosmonautům o novém kosmickém útočišti. Kromě toho jsem si chtěl pohovořit s nejvýznačnějšími matematiky Země a se svým přítelem Tarantogou o vlastnostech nekonečných množin. 74 75 Autorova poznámka Tím se s naším hrdinou dočasně rozloučíme. Mnohé v jeho vyprávění vyvolává pochybnosti — vždyť podle zákonu teorie relativity nelze přenášet signály s rychlostí větší než 300 000 kilometrů za vteřinu. Proto už jenom splnění prvního příkazu by trvalo nekonečně dlouho. Nechtějme však od Ijona Tichého příliš mnoho — při svých cestách zažil již mnohem nepravděpodobnější příhody. Další část knihy je věnována vyprávění o teorii nekonečných množin. A třebaže se příběhy nebudou odehrávat v mezihvězdném prostoru, ale v intervalu <0,1) nebo ve čtverci o straně 1, ukáží se mnohé z nich neméně neobyčejnými. Jak porovnávat množiny V 1. kapitole jsme se zajímali o vlastnosti, kterými se vyznačují jak množiny konečné, tak i množiny nekonečné. Nyní se budeme zabývat vlastnostmi, které jsou charakteristické pouze pro nekonečné množiny. Z vyprávění Ijona Tichého již víme, že tyto vlastnosti se výrazně liší od vlastností konečných množin. Jevy, které nejsou možné u konečných množin, se mohou vyskytovat u množin nekonečných. První otázka, kterou se nyní budeme zabývat, je problém vzájemného porovnávám nekonečných množin. U konečných množin nejrůznější povahy lze vždy říci, které z nich obsahují více prvků a které méně. Pro nekonečné množiny je tato otázka mnohem složitější. Čeho je například více, přirozených čísel nebo racionálních čísel nebo reálných čísel? Kde je více bodů, na úsečce nebo na celé přímce, na přímce nebo ve čtvera? 76 Na první pohled sc zdá, že odpovědět na tyto otázky je docela jednoduché. Vždyí množina přirozených čísel jc částí množiny racionálních čísel a úsečka je částí přímky. Není tedy zřejmé, že přirozených čísel je méně než racionálních a že bodů na úsečce je méně než bodů na přímce? Ukazuje se, že to není zřejmé. Vždyť odnikud neplyne, že při přechodu k nekonečným množinám zůstanou zachovány zákonitosti zjištěné studiem konečných množin; že například bude zachována platnost tvrzení „Část je menší než celek". A ještě důležitější je to, že již samotné porovnání počtu prvků nekonečných množin podle toho, zda jedna množina je částí druhé, je předem odsouzeno k nezdaru*). Například, kde je více bodů: ve čtverci nebo na celé nekonečné přímce? Vždyť nelze vložit ani Čtverec do přímky ani přímku do čtverce. Je sice možné rozdělit přímku na úsečky o délce rovné délce strany čtverce a pak položit každou úsečku do čtverce tak, aby se vzájemně neprotínaly. Ale co když je také možné rozložit čtverec na takové části, že lze pak tyto části položit na přímku tak, aby se Žádné dvě nedotýkaly? A kolik je nekonečných množin, z nichž jedna není částí druhé! Množina čtverců v rovině a množina kruhů v téže rovině nemají žádný prvek společný. Jak je porovnávat? Jak zjistit, čeho je ve vesmíru více — atomů dusíku nebo kyslíku? Úloha je tedy zadána. Nejdříve vyjasníme, v jakých případech se má říkat, že jedna množina má stejný počet prvků jako druhá. Jinými slovy, objasníme, v jakých případech mají dvě nekonečné množiny „stejně mnoho" prvků. *) K témuž nezdaru je ovšem odsouzeno i porovnávání poctu prvků konečných množin podle uvedeného příznaku (pozn. překl.). 77 Na tanečním parketu Pro konečné množiny je úloha porovnání dvou množin snadno řešitelná. Stačí prvky obou množin spočítat a dostane-me-li stejné výsledky, znamená to, že obe množiny mají stejně mnoho prvků. Pro nekonečné množiny se však takový způsob nehodí, neboť začneme-li přepočítávat prvky nekonečné množiny, riskujeme, že tomu zasvětíme celý život a přesto započaté dílo nedokončíme*). Avšak ani u konečných množin není metoda přepočítání ve všech případech účelná. Pojďme třeba na taneční parket. Jak zjistíme, je-li zde stejně mnoho mládenců a dívek? Mohli bychom ovšem požádat, aby se mládenci postavili na jednu stranu a dívky na druhou a pustit se do sčítání jedněch i druhých. Ale tím jednak získáme zbytečnou informaci, neboť nás nezajímá, kolik je zde mládenců a dívek, ale pouze zda jich je stejně mnoho a jednak, mladí si přišli zatančit a ne stát a čekat, až je spočítáme. Splníme tedy jejich přání a požádáme orchestr, aby zahrál nějaký tanec, který všichni umějí. Mládenci požádají dívky o tanec a .. . naše úloha bude vyřešena. Ukáže-li se, že všichni mládenci a všechny dívky tančí, tj. že mládež se rozdělila na tančící páry, bude zřejmé, že na tanečním parketu je mládenců stejně mnoho jako dívek. Zcela stejným způsobem lze zjistit, zda počet diváků v divadle je stejný jako počet sedadel. Jsou-li při představení všechna místa obsazena, přičemž žádný divák nestojí v uličce a na každém sedadle sedí pouze jeden divák, můžeme si být jisti, že diváků je stejně mnoho jako sedadel v hledišti. *) To se nám ovšem může u konečné množiny stát také (pozn. překl.). 78 Ke každému přílivu jeden odliv Poznali jsme způsob, jak zjistit, že dvě konečné množiny mají stejně mnoho prvků, aniž počítáme jejich prvky. Tohoto způsobu lze užít i pro nekonečné množiny. Nemůžeme však již použít orchestru, ale musíme z prvků dvou porovnávaných množin utvořit „taneční páry" sami. Mějme tedy dány dvě množiny A a B. Řekneme, že jsme mezi nimi (nebo také mezi jejich prvky) utvořili vzájemné jednoznačne'přiřazení,*) jestliže jsme z prvků těchto množin utvořili uspořádané dvojice {a, b) takovým způsobem, že 1) prvek a patří do množiny A a prvek b do množiny B; 2) každý prvek z obou množin patří do jedné a jen jedné dvojice. Například, skládá-li se množina A z mládenců na tanečním parketu a množina B z dívek na témž parketu, vytvářejí se dvojice (a, b) ze spolu tančících mládenců a dívek. Tvoří-li množinu A diváci a množinu B sedadla v hledišti, pak je dvojice (íi, b) tvořena divákem a sedadlem, na kterém sedí. Samozřejmě ne každé přiřazení mezi množinami je vzájemně jednoznačné. Je-li A množina všech stromů na Zemi a B množina všech plodů, které na nich rostou, je možné utvořit mezi těmito množinami například toto přiřazení: každému plodu přiřadíme strom, na kterém roste. Avšak toto přiřazení není vzájemně jednoznačné: na některých stromech roste více plodů a některé stromy nyní nerodí. Některé prvky a (stromy) se budou proto vyskytovat ve více dvojicích a jiné prvky se nevyskytnou v žádné dvojici. Existence vzájemně jednoznačného zobrazení mezi dvěma konečnými množinami je ekvivalentní s tím, že obě mají stejně mnoho prvků. Snad nejdůležitějším mezníkem v teorii množin byl okamžik, kdy se Cantor rozhodl použít pojmu *) Často sc také říká zobrazení (pozn. překl.). 79 vzájemně jednoznačného přiřazení k porovnávání nekonečných množin. Jinými slovy, podle Cantora mají dvě (třeba i nekonečné) množiny A a B „stejně mnoho" prvků, jestliže mezi nimi existuje vzájemně jednoznačné přiřazení. Obvykle však matematici neříkají, že „množiny A a B mají stejně mnoho prvků", ale že „množiny A a B mají stejnou mohutnost" nebo, že „množiny A a B jsou ekvivalentní". U nekonečných množin znamená tedy slovo „mohutnost" totéž, co u konečných množin znamená „počet prvků". Ještě před Cantorem dospěl k pojmu vzájemné jednoznačného zobrazení pražský vědec Bernard Bolzano. Avšak Bolzano ustoupil před obtížemi, ke kterým tento pojem vedl. Jak brzy uvidíme, po přijetí principu porovnávám nekonečných množin pomocí vzájemně jednoznačného přiřazení je třeba rozloučit se s mnohými dogmaty. Je Část rovna celku? Základní „dogma", které bylo třeba zavrhnout, bylo pravidlo, přijaté na samém počátku rozvoje matematiky: „Část je menší než celek'''. Toto pravidlo nepochybně platí pro konečné množiny, avšak pro nekonečné množiny platit přestává. Vzpomeňte si, jak ředitel neobyčejného hotelu ubytoval kosmozoology v sudých pokojích. Při tomto rozmístění se host z pokoje číslo n přestěhoval do pokoje číslo In. Jinými slovy, ubytování se řídilo tímto schématem 1 2 3 ... n ... lili 2 4 6...2/Z... 80 Tímto schématem je však určeno vzájemně jednoznačné přirazení mezi množinou všech přirozených čísel 1, 2, 3, ... a její částí — množinou sudých čísel 2, 4, 6, ...,2«, ... A my jsme se dohodli, že množiny, mezi kterými existuje vzájemně jednoznačné zobrazení, považujeme za množiny ekvivalentní. Množina všech přirozených čísel má tudíž „stejně mnoho" prvků jako její část — množina všech sudých přirozených čísel. Stejně tak lze najít vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou všech přirozených čísel a množinou všech čísel tvaru 10, 100, 1 000, 10 000, ... Stačí přiřadit každému přirozenému číslu n číslo 10W: «-> 10«. Tím je žádané vzájemně jednoznačné zobrazení určeno. Opět stejným způsobem lze určit vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou všech přirozených čísel a množinou všech druhých mocnin přirozených čísel n --> n2, nebo množinou všech třetích mocnin přirozených čísel n —*■ n3, atd. Obecné, mezi množinou všech přirozených čísel a její libovolnou nekonečnou částí vždy existuje vzájemně jednoznačné přiřazení. Stačí seřadit čísla této části podle velikosti a očíslovat je. Ostatně, ne nadarmo se říká — nic nového pod sluncem; nové, to je pouze dobře zapomenuté staré. Již na počátku 17. století přemýšlel Galileo Galilei o paradoxech nekonečna a objevil možnost vzájemně jednoznačného přiřazení mezi množinou všech přirozených čísel a množinou všech jejich 81 druhých mocnín. V jeho knize „Besedy a matematické důkazy vztahující se k mechanice pohybu" (1638) je uveden dialog, ve kterém Salviati, vyjadřující myšlenky samotného Galilea, říká: To, co jsme řekli, se vztahuje k těm obtížím, které vznikají v důsledku toho, že, uvažujíce naším omezeným rozumem o nekonečnu, přisuzujeme nekonečnu vlastnosti, které nacházíme u věcí konečných a omezených. To je však nesprávné, neboť takové vlastnosti jako být větší, být menší a rovnost jsou nepoužitelné pro nekonečno — nelze říkat, že jedno nekonečno je větší nebo menší než jiné nekonečno, nebo Že je mu rovno". Na podporu své myšlenky Salviati uvádí, že na jedné straně „druhých mocnin je tolik j kolik je základů, neboť každá druhá mocnina má svůj základ a každý základ má svou druhou mocninu; ani jedna mocnina nemůže mít více než jeden základ a ani jeden základ nemůže mít více než jednu druhou mocninu... *) Přitom počet všech základů je roven počtu všech čísel vůbec, neboť není žádné číslo, které by nemohlo být základem nějaké druhé mocniny. Po tomto zjištění nezbývá než říci, Že počet všech druhých mocnin je stejný jako počet všech čísel ..." Na druhé straně Salviati poznamenává, že „počet všech čísel dohromady — čísel, která jsou druhými mocninami a čísel, která nejsou druhými mocninami — je větší než počet pouze samotných druhých mocnin", přičemž „jak postupujeme ke stále větším číslům, počet druhých mocnin ve značné míře stále ubývá". Jako jediné východisko z objeveného protikladu nabízí Salviati toto: „Nevidíme žádnou jinou možnost řešení, než uznat, že počet všech čísel vůbec je nekonečný, že počet všech druhých mocnin je nekonečný a že počet všech základů je také ne- *) Zde jde pouze o přirozená čísla. 82 konečný. Nelze říci, že počet druhých mocnin je menší než počet všech čísel a že počet všech čísel je větší: vlastností rovnosti a také vlastností být větší a být menší nelze užívat tam, kde se jedná o nekonečnu, ale pouze tam, kde se jedná o konečná množství". Vidíme, že ve skutečnosti Galilei znal myšlenku vzájemně jednoznačného přiřazení a věděl, že existuje takové přiřazení mezi množinou všech přirozených čísel a mezi množinou všech druhých mocnin přirozených čísel, a že lze proto považovat tyto množiny za množiny mající stejný počet prvků. Chápal také to, že u nekonečných množin může být část rovna celku. Z toho však udělal nesprávný závěr, že všechna nekonečna jsou „stejná". Uvažoval pouze o nekonečných podmnožinách množiny všech přirozených čísel, jejichž prvky lze očíslovat. Galilei si nemohl představit, že prvky množiny všech bodů úsečky nelze očíslovat přirozenými čísly (což za nedlouho ukážeme). Podobně jako starověcí atomisté předpokládal, že úsečka se skládá z nekonečného počtu atomů, které lze očíslovat. Spočetné množiny Všechny množiny, které jsou ekvivalentní množině všech přirozených Čísel, se nazývají spočetné množiny. O množině tedy říkáme, že je spočetná, jestliže je nekonečná, ale všechny její prvky lze očíslovat přirozenými čísly. Například množina všech sudých čísel, množina všech lichých čísel, množina všech prvočísel a obecně libovolná nekonečná část množiny přirozených čísel jsou spočetné množiny. Chceme-li dokázat spočetnost některých množin, musíme někdy projevit určitou dávku vynalézavosti. Vezměme na- 83 príklad množinu všech celých čísel (záporných i nezáporných) : • • ■, 3, 2, IjOj 1,2,3, .. ., re, ... Pokusíme-Ii se očíslovat je podle velikosti počínaje od nejakého čísla, pak zůstanou neočíslována všechna čísla, nacházející se před vybraným číslem. Abychom při očíslování nevynechali žádné číslo, je třeba zapsat prvky této množiny do dvou řádků: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . .. -1,-2, -3, -4, -5, -6, -7, ... a očíslovat je po sloupcích. Přitom číslo 0 bude první, číslo —1 druhé, číslo 1 třetí, číslo —2 čtvrté atd. Jinými slovy, nula a všechna kladná čísla budou očíslována lichými čísly a všechna záporná čísla sudými Čísly. Podobá se to tomu, jak ředitel hotelu obsazeného kosmozoology ubytoval všechny filatelisty. Je sice snadné ověřit, že množina všech celých čísel je spočetná, avšak přesvědčit se, že množina všech racionálních čísel je rovněž spočetná, bude složitější. Racionální čísla jsou totiž rozložena velmi hustě — mezi libovolnými dvěma racionálními čísly se najde ještě nekonečně mnoho j iných racionálních čísel. Nem proto vůbec jasné, jak je očíslovat; zdá se, že mezi každými dvěma čísly je třeba očíslovat ještě nekonečně mnoho čísel a že tento postup nikdy neskončí. Skutečně se ukazuje, že racionální čísla nelze očíslovat podle velikosti přirozenými Čísly. Upustíme-li však od očíslování racionálních čísel podle velikosti, podaří se nám je očíslovat. Uděláme to takto: vypíšeme nejprve všechny kladné zlomky se jmenovatelem 1, potom všechny kladné zlomky se jmenovatelem 2, pak se jmenovatelem 3 atd. Dostaneme tabulku tohoto tvaru: 84 1 2 3 4 1 t't't't't' 1 2 3 4 5 t' 2' 2' 2"' 2~' 1 2 3 4 5^ 3~' 3"' t* t' 3"' 1 2 3 4 5^ 1 2 3 4 5 Je zřejmé, že každé kladné racionální číslo se v této tabulce vyskytuje a ne jen jednou. Číslo 3 se například vyskytuje 3 6 9 jak ve tvaru y , tak ve tvaru — , tak i ve tvaru —. Nyní přistoupíme k očíslování. Vzpomeneme si na poslední hrdinský čin ředitele neobyčejného hotelu, který v něm ubytoval všechny hosty z nekonečně mnoha takových hotelů. Použil tehdy očíslování po čtvercích. Stejným způsobem budeme postupovat i my, pouze s tím rozdílem, že některé 2 3 zlomky budeme vynechávat (například, zlomky — > y at<** vynecháme, neboť zlomek -j- už bude očíslován: všechny tyto zlomky vyjadřují totéž číslo). Očíslujeme kladná racionální čísla v tomto pořadí: 1 3 2 J_4.1£l ' *"2' 5 2"' 3' 3 ' ' 3 ' 4 5 4 '" " Tím jsme očíslovali všechna kladná racionální čísla. Nyní je již snadné pochopit, jak se očíslují všechna (záporná ft.r> i nezáporná) racionální čísla. Stačí zapsat odděleně kladné a záporné zlomky ve tvaru dvou tabulek a čísla jedné tabulky očíslovat sudými čísly a čísla druhé tabulky lichými čísly (a ponechat ještě jedno číslo pro nulu). Obecně sjednocením spočetně mnoha spočetných množin dostaneme opět spočetnou množinu. Dá se to dokázat stejným způsobem — očíslováním „po čtvercích". Algebraická čísla Podařilo se nám očíslovat všechna racionální čísla. Avšak racionální čísla se získají z přirozených čísel pomocí pouze jedné operace — pomocí dělení (a případně změnou znaménka). Nyní přidáme ještě operaci odmocňování a budeme vyšetřovat množinu všech čísel, která lze získat z přirozených čísel pomocí této operace a základních početních výkonů. Mezi těmito čísly budou taková čísla jako 'v/2~4- 1, A^3 — V5 a dokonce taková „monstra" jako 7 .________________ I j ^147 + vT -^6 + vT Y ^289 -^4 + V2 + 1 Vzniká otázka, zda je možné očíslovat také množinu všech těchto čísel. Zdá se, že to bude ještě obtížnější, než bylo očíslování množiny všech racionálních čísel. Opravdu, kterému z čísel ^2~a VTmáme přiřadit menší číslo? Ukazuje se však, že i tato množina je spočetná, tj., že její prvky lze očíslovat. Abychom mohli toto tvrzení dokázat, všimneme si nej- 86 prve toho, že každé Číslo uvedeného tvaru je kořenem nějaké algebraické rovnice tvaru aox» + fli*"-1 + • • • + an = 0, (1) kde ao#0a kde a0}. . ., an jsou celá čísla. Například, číslo 3 3/—. — je kořen rovnice 7x — 3 = 0, číslo V 5 je kořen rovnice jfJ — 5 = 0 a číslo V2 4- ^3 je kořen rovnice x6 — 6x4 + 4- 12^2 — 11=0. Někdy je obtížné najít rovnici, jejímž kořenem je dané číslo uvedeného tvaru, nicméně je to vždy možné. Zkuste sami najít rovnici, jejímž kořenem je číslo V2 + V 3. Všimněme si, že zdaleka ne všechny kořeny rovnic tvaru (1), kde a0, .. ., an jsou celá čísla, lze vyjádřit čísly získanými z přirozených čísel základními početními výkony a odmocňováním. Například kořeny rovnice xs - 3x + 3 = 0 nelze takto vyjádřit. Všechna Čísla, která jsou kořeny rovnic tvaru (1) s celočíselnými koeficienty, se nazývají algebraická čísla. Množina všech algebraických čísel obsahuje tudíž množinu všech těch čísel, která lze získat z přirozených čísel pomocí základních aritmetických operací a odmocňování. Podaří-li se nám očíslovat všechna algebraická čísla, odpovíme tím také na otázku položenou na začátku tohoto odstavce. Avšak dříve než očíslujeme algebraická čísla, musíme očíslovat samotné algebraické rovnice tvaru (1). A tím bude již úloha řešena, neboť každá algebraická rovnice íi-tého stupně má nejvýše n různých kořenů. Stačí tedy — potom co budou všechny rovnice s celočíselnými koeficienty očíslovány — sestavit tabulku, v jejíž první řádce budou všechny různé kořeny první rovnice, v jejíž druhé řádce budou všechny různé kořeny druhé rovnice, které 87 se nevyskytují v první řádce, v jejíž třetí řádce budou všechny různé kořeny třetí rovnice, které se nevyskytují ani v první ani ve druhé řádce, atd. Tabulka bude vypadat takto: ai~+a2—> ... ~+ak~-+ —>bi—>bi—*■ ... —>bi-+ —M7i—>C2—> . . . —>Cm—*- Nyní je zřejmé, jak je možné všechna čísla této tabulky očíslovat (v pořadí naznačeném šipkami). Zbývá tedy očíslovat prvky množiny všech algebraických rovnic s celočíselnými koeficienty. Můžeme to udělat dvěma způsoby. Jeden způsob spočívá v tom, že se každé rovnici aoxn + aix«-J + ... + an = 0 přiřadí její „výška", což je číslo h = n + |ffo] + ]ai\ + . . . + \an\. Například výška rovnice 2x* — 3x + 5 = 0je A = 4 + 2+ 0 + 0 + 3 + 5 = 14. Počet všech rovnic dané výšky je zřejmě konečný. Například výšku 2 mají dvě rovnice: x = 0 a — x = 0, výšku 3 má šest rovnic: x1 = 0, —x2 = Q, x + 1 = 0, x — 1 = 0, —x ~\- 1 = 0 a —x —1=0. A nyní očíslujeme rovnice takto: Nejdříve očíslujeme všechny rovnice výšky 2 (žádné rovnice výšky 1 nejsou), potom očíslujeme všechny rovnice výšky 3, pak rovnice výšky 4 atd. Začátek tohoto číslování má tento tvar: N l 2 3 4 5 * = 0 -x — 0 x2 = 0 -x2 = 0 x + 1 = 0 N 6 . 7 8 9 10 x ~ 1 = 10 -x + 1=0 x--1 = 0 * 3 = 0 x -3 = 0 -.— Nakonec budou všechny rovnice očíslovány a pak již — jak je uvedeno výše — není obtížné očíslovat i všechna algebraická čísla. Popsaný způsob číslování rovnic má tu nevýhodu, že je obtížné říci, jaké číslo přísluší dané rovnici (ačkoli i tato úloha je samozřejmě řešitelná). Druhý způsob je založen na myšlence, které se pokoušel užít k řešení své nejobtížnější úlohy ředitel hotelu. Připomeňme, že navrhl použít čísel tvaru 2« . 3™. K řešení naší úlohy je třeba užít všech prvočísel. Čtenář samozřejmě ví, že libovolné přirozené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Budeme postupovat takto: Nejdříve očíslujeme všechna celá čísla, což jsme již učinili na str. 84. Pořadové číslo celého Čísla a označíme symbolem a. Každé rovnici tvaru äo#n + ... + an = 0 (kde, připomeňme, a0, ..,, an jsou celá čísla, a0 ^ 0) přiřadíme Číslo 2*» .3»-i...#;, (symbol pn+l značí (« -f l)-ní prvočíslo). Například, rovnici 2x* _ 2 = 0 přiřadíme číslo 2*. 3» . 5S = 150 000 (neboť celému číslu —2 je přiřazeno číslo 4, nule číslo 1 a celému Číslu 2 Číslo 5). Nyní má každá rovnice své číslo, přičemž různé rovnice mají různá čísla (každé JV se jednoznačně rozkládá na prvočinitele, tj. jednoznačně určuje čísla an, aw_i, ...,aoj těmto číslům odpovídají jistá čísla an, #n-ij ...,floa těmi je určena jistá rovnice aoXn + . .. + + an = 0). ■ Osmičky v rovině Metody, s jejichž pomocí jsme očíslovali všechna algebraická čísla, jsou použitelné i v jiných případech. Obecná situace je zde tato: BucT dána spočtená množina spočetných množin 88 89 Ai, . . ., AM, . . . Utvoříme všechny možné konečné „soubory" prvků těchto množin, přičemž do žádného souboru nepatří více než jeden prvek z každé množiny A*. Jinými slovy, každý soubor má tvar (am, ...,~, ^10, V2 + ^3 atd. 100 Jen za cenu velikého úsilí se francouzskému matematikovi Liouvilleovi podařilo v roce 1844 najít několik transcendentních čísel. A důkaz transcendentnosti čísla k, provedený Lindemannem v roce 1882, byl velikou vědeckou událostí: z tohoto důkazu vyplývala totiž nemožnost kvadratury kruhu. Najednou se ukázalo, že algebraická čísla, s nimiž se setkáváme na každém kroku, jsou ve skutečnosti velice řídkým jevem a že transcendentní čísla, která se tak obtížně konstruují, jsou něčím běžným. Opravdu, již jsme viděli, že algebraická čísla vytvářejí pouze spočetnou množinu. Množina všech reálných čišel je, jak jsme právě zjistili, nespočetná. Je tedy nespočetný i rozdíl množiny všech reálných čísel a množiny všech algebraických čísel, tj. množina všech transcendentních čísel. Tento důkaz existence transcendentních čísel, provedený G. Cantorem v roce 1873, učinil na matematiky velký dojem. Cantorovi se totiž podařilo dokázat existenci transcendentních čísel pouze na základě obecných úvah, bez uvedení -konkrétního příkladu takových čísel. Avšak to, co je předností Cantorova důkazu, je zároveň i jeho slabou stránkou. Z Liouvilleových tvrzení vyplývá jednoduchý způsob konstrukce konkrétních příkladů transcendentních čísel. Transcendentním číslem je například číslo 0,1010010000001 ..., v jehož zápisu po první jedničce je jedna nula, po druhé jedničce dvě nuly, po třetí jedničce šest nul,.. ., po n-té jedničce n! nul, atd. Cantorův důkaz neumožňuje najít žádný konkrétní příklad transcendentního čísla. Takový důkaz je, jak říkají matematici, nekonstruktivní: ukazuje se pouze, že předpoklad o neexistenci transcendentních čísel vede ke sporu. 101 Na dlouhé i na krátké úsečce je stejně mnoho bodů Dokud se čtenář neseznámil s udivujícími vlastnostmi nekonečných množin, nevyvolala u něho otázka „kde je více bodů, na úsečce dlouhé I mm nebo na úsečce dlouhé I m?" ani stín pochybnosti — je přece zřejmé, že úsečka dlouhá 1 m má mnohem více bodů, vždyť je 1 OOOkrát delší. Nyní si však asi čtenář dá pozor na tak kategorická prohlášení — vlastnosti nekonečných množin jsou příliš nepodobné tomu, čemu nás učí všední život. A skutečně, na velmi krátké úsečce i na velmi dlouhé úsečce je stejně mnoho bodů! Jinými slovy, mezi těmito úsečkami vždy existuje vzájemně jednoznačné přiřazení. Jak se takové přiřazení najde, je nejlépe patrné z obr. 29. Je těžké smířit se s myšlenkou, že na úsečce délky milión světelných let je „stejně mnoho bodů" jako na poloměru atomového jádra! Ještě neočekávanější je" to, že dokonce ani qelá nekonečná přímka nemá více bodů než úsečka, tj., že mezi množinou všech bodů přímky a množinou všech bodů úsečky existuje vzájemně jednoznačné přiřazení. Nevezmeme dokonce ani celou úsečku a vynecháme z ní oba její koncové body (jak se říká, nevezmeme úsečku, ale otevřený interval). Jak lze najít vzájemně jednoznačné přiřazení mezi otevřeným intervalem a přímkou, je patrné z obr. 30. Nejprve se bodům intervalu přiřadí body polo- Obr. 29 Obr. 31 kružnice a pak se polokružnice promítne na přímku. Každému bodu intervalu přitom zřejmě odpovídá právě jeden bod přímky a žádný bod přímky přitom není vynechán. Ostatně takové přiřazení lze najit i jinak — pomocí grafu funkce y = tg x (obr. 31). Úsečka a čtverec S tím, že na nekonečné přímce je stejně mnoho bodů jako na úsečce, se matematici s těžkým srdcem smířili. Ale další 102 103 Cantorův výsledek byl ještě neočekávanější. Při hledání množiny mající více prvků než úsečka vyšetřoval Gantor množinu všech bodů čtverce. O výsledku nebylo pochyb. Vždyť úsečka se dá umístit na jednu stranu čtverce a množina všech úseček, na něž se dá čtverec rozložit, má sama tutéž mohutnost jako množina bodů úsečky. Po tři léta (od roku 1871 do roku 1874) hledal Cantor důkaz toho, že mezi body úsečky a body čtverce neexistuje vzájemně jednoznačné přiřazení. Léta plynula a žádoucí výsledek nepřicházel. A najednou, zcela neočekávaně, se mu podařilo najít přiřazení, o němž se domníval, že neexistuje! Zprvu sám sobě nevěřil. Matematikovi Dedekindovi psal: „Vidím to, ale nevěřím tomu." Ale přece jen bylo nutné, smířit se s tím, že i v tomto případě intuice zklamala — ve čtverci je stejně mnoho bodů jako na úsečce. Cantorův důkaz tohoto tvrzení zde pouze načrtneme, neboť jeho přesný důkaz je ztížen nejednoznačností zápisu čísel v desítkové soustavě. Vezměme uzavřený interval <0,1> a čtverec o straně délky 1. Tento čtverec lze umístit tak, jak je znázorněno na obr. 32. Máme najít vzájemně jednoznačné přiřazení mezi body úsečky a čtverce. Promítání čtverce na úsečku AB zde nepomáhá, neboť se při něm do jednoho bodu úsečky D C X fT(x,y) y B , 0 ) x Obr. 32 104 promítne nekonečně mnoho bodů čtverce (například do bodu A se promítnou všechny body úsečky ĎA). Řešení se dostane takto: Každý bod T čtverce ABCD lze zadat dvěma čísly — jeho souřadnicemi x a y (čili jednoduše, jeho vzdálenostmi od stran AB a AD). Tato čísla lze zapsat ve tvaru nekonečných desetinných zlomků. Jelikož ani x ani y není větší než 1, mají tyto zlomky tvar x = 0,aioc2 . .. aM ... (1) y = 0,p\& ... pn ... (2) (pro jednoduchost nebereme v úvahu body čtverce ležící na jeho stranách, ale pouze jeho vnitřní body). Symboly oLn a fín označují číslice (-n)-tého řádu čísel x a y; je-li například * = 0,63205... a y = 0,21357..., je oti = 6, ot2 = 3, a3 = 2 atd., a p\ = 2, p\ = 1, /33 = 3 atd. Nyní potřebujeme najít bod úsečky AB, který odpovídá bodu T. Stačí udat délku úsečky AQ. Položíme tuto délku rovnou číslu z, jehož desetinný rozvoj dostaneme „promícháním" číslic čísel x a y. Jinými slovy, ze dvou zápisů (I) a (2) sestavíme třetí, a to tak, že budeme střídat jejich číslice: Z = 0,ai^ia2^2a3jS3 . .. a.n(Ín • • • Je-li například x = 0,515623.. . a y = 0,734856. pak položíme £- 0,571354682536... Bod z leží v intervalu <0,1>, a zřejmě různým bodům čtverce přitom odpovídají různé body intervalu. Nejsou-li totiž body T a T' totožné, budou se zápisy čísel x a x' nebo^» aj/ v desetinné soustavě lišit alespoň na jednom místě. To však povede k tomu, že čísla z a z' nebudou totožná. Podrobnější rozbor ukazuje, že potom ani samy tyto body nejsou totožné. 105 Všechny body úsečky jsme nedostali. Například bod Z = 0,191919... by musel být přiřazen dvojici x = 0,111.., y = 0,999. . ., odpovídající bodu strany čtverce, a takové body jsme nebrali v úvahu. Při uvedeném zobrazení čtverce do úsečky tudíž nebude bod z odpovídat žádnému vnitřnímu bodu čtverce. Našli jsme tedy vzájemně jednoznačné přiřazení mezi vnitřními body čtverce a body části intervalu <0,1 )>. To ukazuje, že množina všech vnitřních bodů čtverce nemá větší mohutnost než množina všech bodů úsečky. Avšak její mohutnost nemůže být menší, a proto obě množiny mají stejnou mohutnost. □ Nevelkými změnami v našich úvahách lze získat vzájemně jednoznačné přiřazení mezi všemi body čtverce a všemi body úsečky. Stačí k tomu o něco opatrněji míchat číslice souřadnic. Opět nevezmeme celý čtverec, ale pouze jeho část, která zbude po vynechání stran BC a CD. Souřadnice bodů této části vyhovují nerovnostem Q x < 1 a Oá; < 1. Tyto souřadnice lze zapsat ve tvaru nekonečných desetinných zlomků, a díky výše uvedené podmínce nemohou tyto zlomky končit samými devítkami. A nyní číslice desetinných rozvojů čísel x a y rozdělíme na skupiny tím, že každou číslici různou od devítky oddělíme svislou čarou. Je-li například x = 0,3994599967.. ., y = 0,959978090..., pak rozdělení do skupin má tvar x ~ 3j994|5j9996)7] y ~ 95|997|8|0|90|... Takto získané skupiny číslic zamícháme stejným způsobem jako jsme zamíchali samotné číslice. Dostaneme nekonečnou posloupnost skupin číslic: 3J95J994|997J5|8[9996|0J7J90J. .. Před tuto posloupnost umístíme nulu, napíšeme za ní desetinnou čárku, vynecháme svislé Čáry a dostaneme desetinný zlomek Z = 0,3959949975899960790. odpovídající bodu čtverce M(x,y). Dá se ukázat, že toto přiřazení mezi body čtverce 0 ^ x < < 1, 0 g y < 1 a intervalu 0 ^ z < 1 je vzájemně jednoznačné. Nyní už lze snadno najít přiřazení mezi body celého čtverce ABCD a body nějaké úsečky. Stačí vzít úsečku délky 3 a vzájemně jednoznačně zobrazit část čtverce 0 á x < 1, 0 < 1 na interval 0 S Z < 1 a lomenou čáru BCD na úsečku 1 á?g3, □ Nejen čtverec, ale i krychle má stejně mnoho bodů jako úsečka. Obecně každý geometrický útvar obsahující alespoň jednu čáru má stejně mnoho bodů jako úsečka. Takové množiny se nazývají množinami mohutnosti kontinua (z latinského continuum—spojité). Mohutnost kontinua má i množina nekonečných telegramů (viz str. 98). Jedna úloha nějak nevychází Zatím jsme se seznámili se dvěma druhy nekonečných množin. Jedny mají stejně mnoho prvků jako množina všech přirozených čísel a druhé mají stejně mnoho prvků jako má přímka bodů. Ukázalo se, že druhá množina má více prvků. Vzniká přirozeně otázka, zda mezi nimi neexistuje množina, která má více prvků než množina všech přirozených čísel a méně prvků než množina všech bodů přímky. Tato otázka dostala název „problém kontinua'1. Nad tímto problémem se zamýšleli mnozí vynikající matematici, počínaje samotným G. Cantorem, avšak až do nedávné doby zůstával tento problém nevyřešen. 106 107 Mnoho let přemýšlel o problému kontinua jeden z nej-lepších matematiku, zakladatel sovětské vědecké školy teorie funkcí reálné proměnné, akademik N. N. Lužin. Řešení však unikalo jak fa ta morgana v poušti (během úvah nad tímto problémem ovšem vyřešil N. N. Lužin celou řadu nejobtížnějších úloh teorie množin a vytvořil celý ockdíl matematiky — deskriptívni teorii množin). Jednou k N. N. Luzinovi přivedli patnáctiletého chlapce Lva Šnirelmana, který měl výjimečné matematické nadání (později se stal jedním z nejpřednějších sovětských matematiků a členem korespondentem Akademie věd SSSR). Aby vyzkoušel schopnosti mladého matematika, uložil mu N. N. Lužin třicet velmi obtížných úloh. Řešení 29 úloh znal a jednou úlohou byl ... problém kontinua. Ale běda, za týden přisel mladý matematik k N. N. Luzinovi a smutně řekl: Jedna úloha nějak nevychází." Neúspěchy při řešení problému kontinua nebyly náhodné. Situace zde připomíná historii postulátu o rovnoběžkách. Po dvě tisíciletí se projevovaly snahy odvodit tento postulát z ostatních axiómů geometrie. Práce Lobačevského, Hilber-ta a dalších vědců ukázaly, že tento postulát ostatním axiómům neodporuje, ale také jej nelze z nich odvodit. Podobně se ukázalo, že ve vhodné axiomatice teorie množin neodporuje tvrzení o existenci „mezilehlé" mohutnosti ostatním axiómům (výsledek německého matematika K. Gódela, r. 1938), ale nelze je také z nich odvodit (dokázali to nedávno, téměř současně a nezávisle na sobě Američan Cohen, 1963-1964, a Čech Vopěnka, 1964). ■ Existuje množina největší mohutnosti ? Největší mohutnost, se kterou jsme se v našem vyprávění dosud setkali, je mohutnost množiny všech bodů přímky, 108 tj. mohutnost kontinua. Ani množina všech bodů čtverce, ani množina všech bodů krychle nemá větší mohutnost. Není tedy mohutnost kontinua největší mohutností ? Ukazuje se, že není. A nejen to, množina o největší mohutnosti vůbec neexistuje. Ke každé množině A existuje množina, jejíž mohutnost je větší než mohutnost množiny A. Takovou množinou je například množina B všech funkcí definovaných na množině A a nabývajících pouze hodnot 0 a I. Nejdříve ukážeme, že mohutnost množiny B není menší než mohutnost množiny A. Každému bodu a množiny A přiřadíme funkci fa(x) nabývající v bodě a hodnoty 1 a ve všech ostatních bodech hodnoty 0. Různým bodům zřejmě odpovídají různé funkce. Skládá-li se množina A například ze tří bodů 1,2,3, pak bodu 1 odpovídá funkce nabývající v bodě 1 hodnoty 1 a bodu 2 odpovídá funkce nabývající v bodě 1 hodnoty 0. Takové dvě funkce se sobě nerovnají. Tak tedy mohutnost množiny B není menší než mohutnost množiny A. Nyní ukážeme, že tyto mohutnosti se sobě nerovnají, tj. že neexistuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi prvky množiny A a B. Předpokládejme, že takové přiřazení existuje. Označme funkci, odpovídající prvku a z A, symbolem fa{x). Připomeňme, že všechny funkce fa{x) nabývají pouze hodnot 0 a 1. Definujme nyní novou funkci (f{x), a to vztahem h) {am>b2) ■■■ {am,bn). Odtud je patrné, Že počet takových dvojic je roven mn, tj. součinu čísel man. Přeneseme tuto operaci na nekonečné množiny. Budte A a B nekonečné množiny. Jejich kartézským součinem nazveme množinu A X B, jejímiž prvky jsou všechny uspořádané dvojice (a, b), kde a e A, b e B. Je-H například A množina všech bodů intervalu <1,3> a B množina všech bodů intervalu <2,5>, lze množinu A x B znázornit mno- Obr. 33 ' 2 A B žinou bodů obdélníka na obr. 33; každému bodu tohoto obdélníka skutečně odpovídají dva jeho průměty na osy. Má-li množina A mohutnost m a množina B mohutnost n, značíme symbolem mil mohutnost množiny A x B. Pro násobení mohutností platí tato pravidla: m n = nm, (nm) p = m (np), in (n -f p) = nm + m p. Dále platí rovnosti Not = c, cc = c. První z těchto rovností zachycuje to, že kartézský součin dvou spočetných množin je množina spočetná. Třetí rovnost vyjadřuje skutečnost, že kartézský součin dvou množin mohutnosti kontinua je množina mohutnosti kontinua. Mimo jiné to říká, že počet bodů úsečky je stejný jako počet bodů čtverce. Vždyť c označuje počet bodů úsečky a cc počet bodů kartézského součinu úsečky se sebou samou, tj. počet bodů čtverce. ■ Mocniny s nekonečným mocnitelem Jelikož již umíme mohutnosti násobit, dovedeme libovolnou mohutnost umocnit libovolným přirozeným číslem. A nyní objasníme jak umocňovat mohutnost nekonečným mocnitelem, tj. objasníme význam symbolu n"1. Vrátíme se proto opět ke konečným množinám a popíšeme množinu mající nm prvků. Dělá se to takto: Nechť množina A obsahuje m prvků a množina B n prvků. Symbolem BA označíme množinu, jejímiž prvky jsou všechny funkce definované na množině 112 113 A a nabývající hodnot z množiny B. Jinými slovy, každý prvek množiny BA udává pravidlo, které prvkům a množiny A přiřazuje prvky b — f (a) množiny B. Nechť se například množina A skládá ze tří čísel: 1, 2, 3 a množina B ze dvou prvků: tečky a čárky. Prvky množiny BA jsou pak „funkce" tvaru /(I) = ., f{2) = /(3) = - nebo /(l) = -, f (2) = , /(3) — . apod. Jednoduše lze tyto funkce zadat posloupnostmi teček a čárek skládajících se ze tří znaků. Snadno lze nahlédnout, že takových posloupností je 8, tj. 23. Jsou to tyto posloupnosti: , . . j . ; -., ■ , ~ ., -Dostali jsme 8 = 23 posloupností. Není to žádná náhoda. Skíádá-lí se množina A z m prvků a množina B z n prvků, pak se množina BA skládá z nm prvků. Necháváme na čtenáři, aby toto tvrzení dokázal. A nyní již můžeme objasnit význam symbolu nm v případě, že m a n jsou nekonečné mohutnosti. Vezmeme množinu A mohutnosti m a množinu B mohutnosti n a označíme symbolem BA množinu všech „funkcí" definovaných na množině A a nabývajících hodnot z množiny B. Její mohutnost je označena právě symbolem n™. Výše jsme ukázali, že pro libovolnou množinu A je mohutnost množiny všech funkcí definovaných na množině A a nabývajících dvou hodnot 0 a 1 větší než mohutnost samotné množiny A. To znamená, že pro libovolnou mohutnost in platí nerovnost 2m > m. Všimneme si ještě, že c = 2Xo. Opravdu, viděli jsme, že množina všech nekonečných telegramů má mohutnost kontinua. Ale žádný nekonečný telegram není nic jiného než funkce definovaná na množině všech přirozených čísel a nabývající pouze dvou hodnot: tečky a čárky. Proto má množina všech nekonečných telegramů mohutnost 2^°. Tím je naše rovnost dokázána. Po pořádku... Mohutnosti množin (neboli, jak se také nazývají, kardinální Čísla) plní pouze „polovinu práce" přirozených čísel. Vždyť přirozených čísel se používá nejen k tomu, abychom odpověděli na otázku „kolik?", ale také k tomu, abychom odpověděli na otázku „kolikátý?". Jinými slovy, říkáme nejen „dva", „pět", „dvacet", ale také „druhý", „pátý", „dvacátý". A mohutnosti neříkají nic o tom, v jakém pořadí za sebou prvky následují. A ačkoliv množina všech přirozených čísel má stejně mnoho prvků jako množina všech celých čísel, jsou tyto množiny uspořádány různě. Množina všech přirozených čísel má první prvek a množina všech celých čísel první prvek nemá. Při zkoumání pořadí, v jakém jsou prvky v množině rozloženy, tudíž nevystačíme s kardinálními čísly (s mohutnostmi), potřebujeme nové pojmy. Nejprve zavedeme pojem uspořádané množiny. Říká se, že množina A je uspořádaná, jestliže pro její libovolné prvky a, b je definován pojem „uspořádání" a < b, vyznačující se těmito vlastnostmi: 1) je-li a < b, pak a ^ b\ 2) je-li a < b a b < c, pak a < c. Snadno lze uspořádat množiny všech reálných čísel, všech racionálních čísel, všech přirozených čísel atd. Také množinu všech komplexních čísel lze uspořádat. Stačí, řekneme-li, že a + b\ < c -f ^i, jestliže buď a < c nebo a ~ c a zároveň b < d. Například, 2 4- 15i < 3 4- 10i, 2 4- 4i < 2 4- 5i. Analogicky lze uspořádat množinu všech mnohočlenů. Množinu lze ovšem uspořádat různými způsoby. 114 115 Zkoumejme například množinu všech různých slov vyskytujících se v této knize. Tuto množinu lze uspořádat třeba takto: začneme knihu číst a budeme z ní vypisovat slova v tom pořadí, jak se s nimi setkáváme. V tomto případě lze pravidlo uspořádání formulovat takto: slovo A předchází slovo B, jestliže jsme se při čtení setkali se slovem A dříve než se slovem B. Můžeme však postupovat i jinak a říkat, že slovo A předchází slovu B, jestliže je v abecedním uspořádání slovo A před slovem B. Tato dvě uspořádání téže množiny jsou zřejmě různá. Říká se, že dvě uspořádané množiny A a B jsou téhož pořádkového typu, jestliže mezi nimi existuje vzájemně jednoznačné přiřazení zachovávající uspořádám'. Jinými slovy, je-li ai *-+ by a a2 *—>■ b2> pak z ai < a2 plyne, že b\ < b2. Například libovolné dvě úsečky jsou téhož pořádkového typu. Zobrazení, znázorněné na obr. 29 (str. 102) zachovává uspořádání bodů. Také zobrazení celé přímky na otevřený interval znázorněné na obr. 30 zachovává uspořádání. Ale úsečka (uzavřený interval) a přímka jsou různého pořádkového typu, přestože mezi nimi existuje vzájemně jednoznačné přiřazeni — každé takové přiřazení nutně poruší uspořádání, neboť úsečka má počáteční a koncový bod a celá přímka nikoli. Dobře uspořádané množiny Dokonce i spočetnou množinu lze uspořádat nejrůznějšími způsoby. Vždyť spočetnými množinami jsou jak množina všech přirozených čísel, tak množina všech celých čísel, tak i množina všech racionálních čísel. A uspořádání těchto množin je zcela odlišné. Množina všech přirozených čísel má první prvek (číslo 1) a ani množina všech celých Čísel ani množina všech racionálních čísel první prvek nemá. Na druhé straně v množinách všech přirozených čísel a všech celých čísel existují dvojice prvků, mezi nimiž neleží žádné jiné prvky těchto množin (například čísla 5 a 6) a v množině všech racionálních čísel leží mezi libovolnými dvěma různými prvky nekonečně mnoho jiných prvků této množiny. Pro snazší orientaci v tomto různorodém množství uspořádání zavedl G. Cantor zvláštní třídu uspořádaných množin, jejichž vlastnosti značně připomínaly vlastnosti množiny přirozených čísel. Vybereme-li z množiny přirozených čísel libovolnou neprázdnou podmnožinu, bude tato podmnožina nutně obsahovat nejmenší prvek. Množiny, které se vyznačují touto vlastností, nazval G. Cantor dobře uspořádanými množinami. Jinými slovy, uspořádaná množina A se nazývá dobře uspořádanou množinou, jestliže její libovolná neprázdná podmnožina má první prvek. Jak jsme již říkali, nejjednodušší dobře uspořádanou množinou je množina všech přirozených čísel. Její prvky si můžeme znázornit na intervalu (0, oo) body 1, 2, 3, . . . Zobrazení přímky na interval znázorněné na obr. 30 zachovává uspořádání bodů. Polopřímka (0, co) přitom přejde v interval (0, 1). Místo s body 1, 2, 3,... můžeme proto pracovat s body intervalu (0,1). Dostaneme nekonečnou množinu bodů au a2, ...,an, ,,přibližujících" se k bodu 1 (obr. 34a). Zkoumejme nyní bod 1. Tento bod již nemůžeme očíslovat obvyklými čísly — spotřebovali jsme je na očíslování 116 117 bodů au ..., an, ... K tomu, abychom očíslovali i tento bod, potřebujeme nové číslo, které není přirozeným číslem. Protože bod 1 leží za všemi body au .. ., an, ..., které jsou již očíslovány obvyklými čísly, nazveme toto nové číslo „transfinitním" (z latinského trans — za, přes; finitus — konečný). Transfinitní číslo následující hned za všemi přirozenými čísly 1, 2, 3, ... se obvykle označuje písmenem to. Označíme proto bod 1 symbolem a^. Množina A všech bodů oj, ..je také dobře uspořádanou mno- žinou (uvažte proč!). A nyní vezmeme získanou množinu A a posuneme ji o délku 1 napravo. Bod ai přitom přejde do bodu a\ — ai -j-+ 1, bod «2 do bodu a2 = a2 + 1 atd. Dostaneme takto množinu B, skládající se z bodů av . . ., a'n, . .., a^. Není obtížné ověřit, že množina A U B je dobře uspořádaná množina. Pokusíme se její prvky očíslovat. Umíme již očíslovat prvky množiny A. Bod a j následuje hned po bodu aai (viz obr. 34b). Je tudíž přirozené očíslovat bod a\ transfinitním číslem oj + 1, tj. položit a[ = om+l. Stejně přirozené je očíslovat další bod, tj. bod a'2, transfinitním číslem oj 4- 2 atd. A bod a'mi který následuje za všemi body 4-l, 2to + 2, .. . 2eo 4-4- n, . . ., 3to. Postupuj eme-li takto dále, dostaneme dobře uspořádanou množinu, tvořenou body očíslovanými trans-finitrúmi čísly tvaru ko> + n, kde k a. n jsou přirozená čísla. Obr. 34b 0 118 w +4H4Í Tím však vytváření transfinitních čísel nekončí. Opět jsme dostali množinu, jejíž body leží na polopřímce (0, oo). Přitom každá úsečka (n, n 4- 1> této polopřímky obsahuje nekonečně mnoho bodů naší množiny. Zobrazíme opět polopřímku (0, oo) na interval (0, 1). Dostaneme množinu bodů, přibližujících se k bodu 1. K očíslování bodu 1 potřebujeme nyní nové transfinitní číslo. Toto číslo se označuje symbolem oj2. Dále se pak konstruují transfinitní čísla oj2 4-4- 1, ..., oj3, ..., (on, ... a dokonce oj'°. Existuje i transfinitní číslo tvaru oj oj oj oj Těmito otázkami se však nebudeme podrobněji zabývat. Nepochopitelný axióm Již jsme říkali, že některé množiny lze uspořádat různými způsoby. A je možné uspořádat libovolnou množinu? A jestliže ano, lze ji uspořádat tak, aby byla dobře uspořádaná? Těmito otázkami se zabývali mnozí matematikové — z kladného výsledku by plynulo, že transfinitrumi čísly lze očíslovat prvky libovolné množiny. Nečekaně jednoduché a krátké řešení uveřejnil r. 1904 Zermelo. Podařilo se mu dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat (G. Cantor předvídal tuto odpověď již r. 1883). Avšak zdaleka ne všem matematikům se Zerrae-lův důkaz zalíbil. Tento důkaz ge totiž skládá na jednom U9 tvrzení, které se samotnému Zermelovi a také dalším matematikům nezdálo být nijak zřejmé. Toto tvrzení, nazvané později axióm výběru nebo J^ermelův axióm, spočívá v tomto: Představte si, že máte před sebou několik hromádek jablek. Z každé hromádky lze zřejmě vybrat po jednom jablku a utvořit z nich novou hromádku. Zdálo by se, že totéž lze udělat i v případě, že každá hromádka obsahuje nekonečně mnoho jablek a že samotných hromádek je také nekonečně mnoho. A v tom je podstata axiómu výběru: Je-li dána nekonečná množina nekonečných množin, lze z každé množiny vybrat jeden prvek, aniž udáme předem pravidlo výběru. A právě v posledních slovech je jádro věci — axióm výběru vede ke zcela nekonstruktivním důkazům. Pomocí axiómu výběru se dá například dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat, avšak žádný „konkrétní" způsob takového uspořádání odtud nevyplývá. Dlouhá léta užívali matematikové axiómu výběru a považovali jej za zcela zřejmý. Když se však nad ním začali hlouběji zamýšlet, stával se stále a stále záhadnějším. Mnohá z tvrzení odvozených pomocí axiómu výběru zcela odporují našemu názoru. Jeden z předních matematiků Bertrand Russell se o tomto axiómu vyjádřil takto: „Nejdříve se zdá zřejmý, avšak čím více se nad ním zamýšlíš, tím podivnější se zdají jeho důsledky; nakonec pak přestaneš chápat, co vlastně znamená." Nicméně většina matematiků axiómu výběru ve svých úvahách používá. V poslední době se podařilo dokázat, že s axiómem výběru je to stejné jako s hypotézou kontinua, tj. axióm výběru ostatním axiómům ani neodporuje, ani z nich není odvoditelný, Z jednoho jablka dvě Povíme si o jednom z nej podivuhodnějších důsledků axiómu výběru. Asi jste již viděli při práci estrádního kouzelníka. Nejprve ukáže divákům prázdný sáček, pak tam vhodí kouli a vytáhne dvě koule; obě koule vhodí zpět a vytáhne čtyři; vhodí tam čtyři a vytáhne jich osm. Všichni ovšem vědí, že nejde o žádné zázraky a že vše záleží, jak se říká, na „šikovných rukou". V teorii množin se však takové zázraky dějí. Vezměme si nejobyČejnějsí jablko a rozřežme je libovolným způsobem na čtyři části. Zdá se být zřejmé, že nelze sestavit jablko z pouhých dvou těchto částí (stejně jako nelze sestavit celý pomeranč z dílků zbylých po snědení půlky pomeranče). Avšak matematikům se podařilo rozdělit kouli na čtyři stejné části tak, Že ze dvou těchto částí lze sestavit celou kouli téhož poloměru, aniž by se k nim něco přidalo; jenom se s nimi bude pohybovat jako s tuhými tělesy. Ze dvou zbylých částí lze sestavit druhou, stejně velikou kouli. Z jedné koule tak dostaneme dvě koule, stejně velké jako koule původní. Škoda, že je tento problém vyřešen pouze teoreticky, jinak bychom mohli z jednoho jablka udělat dvě, pak čtyři, potom osm atd. Praktické řešení ovšem není možné — odporovalo by zákonu zachování hmoty. Zmíněné rozdělení koule na čtyři části je založeno právě na axiómu výběru. O dalších, neméně podivuhodných důsledcích tohoto axiómu nebudeme zatím hovořit. ■ Konečné rozklady Z hodin geometrie si čtenář patrně pamatuje, co jsou to shodně rozložitelné útvary. O dvou útvarech řekneme, že 120 121 jsou shodně rozložitelné, jestliže je lze rozložit na útvary Xi, .. ., Xm a Yi, . .., ym tak, že útvar X, je shodný s útvarem Yi, útvar X2 je shodný s útvarem Y2, ..., útvar Xm je shodný s útvarem Ym. Například čtverec o straně a a rovno-ramenný pravoúhlý trojúhelník o základně 2a jsou shodně rozložitelné (obr. 35). Avšak z hlediska teorie množin není tato definice tak jednoznačná. Při rozkládání útvaru jako bychom „zdvojovali" body ležící na dělicím řezu: z každého bodu dostaneme dva — po jednom v každé části. A skutečně, rozklad čtverce ABCD a trojúhelníka EFG z obr. 35 se nehodí z hlediska teorie množin: po rozdělení trojúhelníka a složení (ze získaných částí) čtverce body odvěsen EF a FG splynou a dají jednu úhlopříčku AC čtverce, kdežto body výšky FH „se rozdvojí" a vytvoří strany AB a CD našeho čtverce. V teorii množin je tedy třeba definovat tento pojem jinak. O dvou útvarech X a Y řekneme, že jsou shodně rozložitelné, jestliže je lze rozložit na konečně mnoho po dvou disjunktních částí X = X,uX2u Y = Y! u Y2 u Xm, u Ym tak, že útvar Xt je shodný s útvarem Yj, X2 s Y2, . .Xm s Ym. Ukazuje se, že i v tomto smyslu jsou čtverce ABCD a trojúhelník EFG shodně rozložitelné. Nyní je vsak důkaz tohoto tvrzení podstatně obtížnější. Čtenáře, který se chce s tímto důkazem seznámit, odkazujeme na knížku W. Sierpiriského „O teorii mnogošci". 8 E Obr. 35 122 Polští matematikové S. Banach a A. Tarski dokázali, že nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby dva rovinné mnohoúhelníky byly shodně rozložitelné ve smyslu teorie množin, je rovnost jejich obsahů. Zdá se přirozeným očekávat, že pro mnohostěny bude takovou podmínkou rovnost jejich objemů. Avšak tak tomu vůbec není. Pomocí axiómu výběru S. Banach a A. Tarski dokázali, že libovolné dva (omezené) mnohostěny jsou shodně rozložitelné ve smyslu teorie množin, dokonce i když mají různé objemy. A navíc ještě dokázali, že koule a krychle jsou v tomto smyslu shodně rozložitelné a že vůbec každá dvě omezená tělesa jsou shodně rozložitelná. Rozumí se však, podobně jako u zdvojení koule, o kterém jsme hovořili výše, že shodná rozložitelnost koule a krychle se dokazuje pomocí axiómu výbčm. Ukázat konkrétní způsob takového rozkladu nelze. V předkládaném rozkladu se vyskytují opravdu „zázračné" Části — nemající objem; jsou, jak říkají matematici, neměřitelné. 123 Kapitola 3 Podivuhodné funkce a křivky aneb procházky sbírkou matematických kuriozit Jak se rozvíjel pojem funkce Většina matematických pojmů prošla dlouhým vývojem. Zpočátku vznikaly jako zobecnění názorných představ, jako zobecnění každodenní skutečnosti. Odstraňováním speciálních a náhodných rysů postupně z těchto představ vykrystalizovaly přesné matematické definice. Často se však ukázalo, že tyto definice zachycují nejen objekty, jejichž studium vedlo k formulaci dané definice, ale i mnohé jiné objekty. Další studium těchto nových objektů vedlo k vyššímu stupni abstrakce a pak k rozšíření původně zavedených definic. Zároveň nabývaly matematické pojmy stále širšího smyslu, zahrnovaly v sobě stále širší a širší okruh objektů a rozmanitost jejich použití stále rostla. Jak dlouhou vývojovou cestou — od předhistorických dob, kdy se počítalo jen „jeden, dva, mnoho" až do našich dnů — prošel například pojem čísla! Přirozená čísla, zlomky, záporná čísla, komplexní čísla, kvaterniony, hyperkomplexní čísla ... A je třeba říci, že ne vždy vítali všichni matematici zobecnění toho či onoho pojmu s nadšením. Například po dlouhou dobu nebyla mnohými vědci uznávána nejen Čísla komplexní, ale dokonce i čísla záporná. 127 Složitým vývojem prosel i pojem funkce. Myšlenku závislosti některých veličin má svůj původ patrně ve starořecké vědě. Staří Rekové se však zabývali pouze veličinami geometrické povahy. Dokonce i Newton, jeden ze zakladatelů matematické analýzy, používal při studiu závislých veličin geometrického jazyka. I když pojmu funkce užívali ve skutečnosti již Fermat a Descartes, termín „funkce" pochází až z roku 1694, kdy se objevuje v pracích německého myslitele Leibnizc, který se s Newtonem dělí o zásluhu výtvorem matematické analýzy. U Leibnizc však měl pojem funkce velmi úzký smysl a týkal se pouze některých úseček závisejících na poloze bodu na křivce: pořadnice, subtagenty a sub-normály, poloměru křivosti atd. Atak i Leibniz zůstal v okruhu geometrických představ. Až teprve Leibnizův žák Johann Bernoulli podal r. 1718 definici funkce, oproštěnou od geometrické podoby: Funkce proměnné veličiny se nazývá množství utvořené jakýmkoli způsobem z této proměnné veličiny a z konstant". Další krok v rozvoji pojmu funkce je spjat se jménem geniálního žáka Johanna Bernoulliho, petrohradského akademika Leonarda Eulera. Ve svém „Diferenciálním počtu" definuje Euler funkci takto: „Veličiny, závisející na druhých veličinách tak, že se změnou druhých se mení i první, bývají nazývány jejich funkcemi". Avšak pojem funkce byl u Eulera a jeho současníků spojen s možností vyjádřit funkci formulí. Z hlediska matematiků 18. století neurčuje zápis _ í x , je-li x < 0, y~ \x2> je-li x ž 0 jednu funkci, ale dvě. Brzy se stalo zřejmým, že záležitost je mnohem složitější. Při studiu kmitání struny získal Daniel Bernoulli řešení ve tvaru tzv. trigonometrické řady. Nebudeme nyní hovořit o tom, co je to trigonometrická řada, a řekneme pouze, že tvar struny byl popsán jedinou formulí (obsahující však nekoneč- ně mnoho členů). Touž úlohu o kmitání struny řešil francouzský učenec d'Alembert. D'Alembertovo řešení mělo zcela jiný tvar než řešení Bernoulliho a mohlo být pro různé hodnoty argumentu popsáno různými formulemi. Pro matematiku 18. století tak vznikl zdánlivě neřešitelný rozpor: Táž úloha měla dvě řešení, přičemž jedno řešení bylo pro všechny hodnoty argumentu vyjádřeno jedinou formulí, kdežto druhé několika formulemi. To vedlo k pochybnostem o Bernoulliho řešení. Mnozí se domnívali, že D. Bernoulli nenašel všechna řešení, ale pouze řešení, která lze vyjádřit jedinou formulí. Vznikl rozhořčený spor, kterého se účastnili téměř všichni význačnější matematici 18. století — Euler, d'Alembert aj. Spor se však vlastně týkal pojmu funkce, souvislosti mezi funkční závislostí a možností vyjádřit tuto závislost formulí. Konečné řešení otázky přinesl až počátek 19. století, kdy francouzský učenec J. Fourier ukázal, že součet nekonečné řady trigonometrických funkcí se dá na různých úsecích vyjádřit různými formulemi. Potom podal novou definici funkce, v níž zdůraznil, že podstatným je zadání hodnot funkce a ne to, zda je toto zadání uskutečněno pomocí jediné formule či nikoli. Fourierovy výsledky byly zpřesněny německým matematikem Dirichletem, který ukázal, že grafem součtu trigonometrické řady může být libovolná křivka. Je pouze třeba, aby počet maxim a minim této křivky byl konečný a aby neubíhala nekonečně vysoko. Dirichlet také upřesnil Fourierovu definici funkce a dal jí tvar, kterého se užívá i nyní (podobné definice podali o něco dříve než Dirichlet také Lacroix, Lobačevskíj a někteří další matematici). Dirichletova definice zní: „Proměnná veličina y se nazývá funkcí proměnné veličiny x, jestliže každé hodnotě veličiny x odpovídá jediná přesně určená hodnota veličiny ý\ Později byla k slovům „každé hodnotě veličiny x" přidána slova „náležející určité množině" (funkce nemusí být totiž definována pro všechny hodnoty veličiny x). 128 129 Tato definic*- i tyla neobyčejné obrcná, nic se v ní neříkalo o tom, že funkce musí být zadána jedinou formulí na celém intervalu, v němž je definována. A nejen to, funkce nemusela být zadána vůbec žádnou formulí — mohla být definována slovy. Samotný Dirichlet například vyšetřoval tuto funkci: f.. . _ | 0, je-li x iracionální číslo, J\x) — | ] } jc-li x racionální číslo. Z hlediska matematiků 18. století nebyla touto definicí zadána žádná funkce, neboť nebyla dána formule, podle které lze „Dirichletovu funkci" vyčíslit. Přesto je touto definicí plně určena jistá funkce. Je z ní zcela zřejmé, že například A~) = L f(y/2) = o. Dirichletova definice (spolu s uvedeným zpřesněním) byla v podstatě konečným výsledkem pro číselné funkce číselného argumentu. Další vývoj spočíval v tom, že se začaly studovat funkce definované na libovolných množinách, jejichž hodnoty také patří do libovolných množin. Mějme dány dvě množiny A a B a nechť je každému prvku a množiny A přiřazen právě jeden prvek b množiny B. Potom se říká, že na množině A je definována funkce s hodnotami v množině B. V natolik obecné formulaci splývá pojem funkce s pojmy přiřazení, zobrazení, transformace. Z tohoto hlediska je například obsah trojúhelníka funkce, definovaná na množině všech trojúhelníků a nabývající hodnot z množiny kladných Čísel. A kružnice vepsaná do trojúhelníku je funkce zadaná na množině všech trojúhelníků a nabývající hodnot z množiny kružnic. My však nebudeme vycházet z natolik obecné definice, a omezíme se na funkce zadané na číselných množinách a nabývající číselných hodnot. Džin prchá z láhve Dirichletova definice umožnila konstruovat funkce s V0' divuhodnými vlastnostmi. Jestliže dříve bylo pro sestrojení funkce s neobvyklou vlastností potřeba dlouho korm;1" novat různé formule, nyní se vše zjednodušilo. Objevna sc možnost konstruovat a studovat různé funkce, bez ohle*^ na to, zdaje lze vyjádřit jedinou formulí. A během posledr11-ho půl druhého století byly sestrojeny funkce, jejichž vlaSt" nosti se zcela liší od vlastností „rozumných" funkcí- Sám Dirichlet patrně nepředpokládal, že mohou existovat takové „zrůdy". Neobvyklé vlastnosti má již sama Dirichletova funkce> o níž jsme již hovořili. Na jakkoli malé úsečce reálné osY se totiž nachází nekonečně mnoho jak racionálních, tak i ira, cíonálních Čísel. Avšak Dirichletova funkce je rovn#- j^^ pro racionální čísla a nule pro iracionální. Probíbá-h * reálnou osou, „přeskakují" tudíž hodnoty funkce stále z r na 1 a zpět. Narýsovat graf této funkce je zcela ne*110^^' neboť tato funkce je ve všech bodech nespojitá. Avšak i mezi spojitými funkcemi jsou funkce s neoby^ej*1^ mi vlastnostmi. Například může mít na konečném interv^ spojitá funkce nekonečně mnoho ostrých lokálních maxim a minim? Na první pohled je to zcela nemožné. funkce musí totiž nejprve z bodu maxima klesnout d° minima, pak opět růst a dostat se do bodu maxň*13^ " A jak to všechno má udělat na konečném intervalu? "re se ukázalo, že takové divné funkce existují a že d°kOIlCe není vůbec obtížné takové funkce sestrojit. Sestrojíme takovou funkci na intervalu <0, 1>. Nejdřive interval (0, 1> rozpůlíme a na jeho levé polovině sestrojíme rovnostranný trojúhelník. Zbylou pravou polovin^1 °P , rozpůlíme a na její levé polovině f > sestrojíme ^rU ' rovnostranný trojúhelník. Popsanou operaci provedei^ nekonečněkrát. Dostaneme horský pás o nekonečně rnno 130 131 Obr. 36 vrcholcích postupně klesající k bodu 1 (obr. 36). Získanou lomenou čáru budeme považovat za graf funkce f(x). Tato funkce bude definována v každém bodě intervalu <0, 1> s výjimkou pravého krajního bodu 1. V tomto bodě položíme /(l) =0. Jelikož výšky vrcholů klesají k nule, když se jejich první souřadnice blíží k bodu 1, je naše funkce spojitá ve všech bodech intervalu (0,1 )>. A počet bodů maxima a minima je na tomto intervalu nekonečně velký l Obr. 37 132 K sestrojení takové podivné funkce by matematik 18. století musel dlouho kombinovat různé funkce, než by dospěl k tomu, že funkce (ti x cos — , je-li x ^ 0, 0 , je-li x = 0 má na intervalu (0,1) nekonečně mnoho maximálních a minimálmch hodnot (obr. 37). Avšak funkce s nekonečně mnoha maximálními a minimálními hodnotami byly pouze počátkem nepříjemností čekajících na matematiky. Džin teprve začínal unikat z láhve. Mokré body Funkce, kterou jsme sestrojili v předchozím odstavci, má pouze jeden bod, v jehož okolí je nekonečně mnoho bodů maxima a minima, a to bod 1. Nyní sestrojíme jinou funkci, která bude mít takových bodů mnohem více. 133 Předpokládejme, že na interval {0,1) reálné osy shora prší. Před deštěm se budeme chránit takto: Interval <0,1) rozdělíme na tři stejné části a nad střední částí postavíme stan ve tvaru rovnostranného trojúhelníka. Tento stan ochrání před deštěm všechny body střední části (kromě jejích .,..12 krajích bodů, tj. bodů — a—). Dále každou ze zbývajících 3 3 dvou částí rozdělíme opět na tři stejné části a střední části ochráníme před deštěm stany stejného tvaru (ale třikrát menších rozměrů). Dostaneme tak lomenou čáru, znázorněnou na obr. 38. Při třetím kroku sestrojíme další čtyři stany, pak osm atd. Vzniká otázka, zda získaná lomená čára, připomínající pilu, ochraňuje všechny body intervalu či zda zůstaly body, které zmoknou? Některé z takových „mokrých" bodů lze Obr. 38 134 snadno najít; jsou to krajní body chráněných částí (tj. 12 12 7 8 např. body —, —,-g»-g»-g » aíd0 Všechny tyto body zůstanou po postavení příslušného stanu na dešti a další stany je již neochrání. Snadno se dá nahlédnout, že množina všech těchto krajních bodů je nekonečná, avšak pouze spočetná. Ukazuje se však, že kromě těchto spočetně mnoha „mokrých" bodů existuje ještě dalších nespočetně mnoho „mokrých" bodů. Abychom je mohli pohodlně popsat, použijeme trojkové soustavy. Jak známo, tato soustava je založena na stejném pozičním principu jako soustava desítková, jen s tím rozdílem, že jedna jednotka vyššího řádu nepředstavuje deset jednotek, ale pouze tři jednotky nižšího řádu. K zápisu čísel v trojkové soustavě proto stačí místo deseti číslic pouze tři číslice 0, 1 a 2. Není také obtížné naučit se převádět čísla z trojkové soustavy do desítkové. Například číslo mající v trojkové soustavě zápis 0,02020202... je vlastně součtem geometrické řady, mající v desítkové soustavě tvar 2 2,2 --!------h . ■ ■ Součet této řady je roven ~ a proto platí [0,25] x = [0,020202... ]m, kde ovšem na levé straně je zápis v desítkové soustavě a na pravé straně zápis v trojkové soustavě. Nyní již můžeme ukázat všechny body, které zůstanou „mokré" i po sestrojení všech ochranných stanů. První stan 1 2 chrání všechny body ležící mm body a -, To jsou však 135= právě ty body, které mají v trojkové soustavě zápis tvaru 0,1..., kde tečky zastupují libovolnou kombinaci číslic 0, 1, 2 1 2 (stejně tak jako v desítkové soustavě leží mezi body — a — všechny ty body, které mají v desítkové soustavě na prvním desetinném místě jedničku, tj. čísla tvaru 0,1...). Po prvním kroku zůstanou „mokré" ty body, jejichž zápis v trojkové soustavě má tvar 0,0 .. . nebo tvar 0,2... Stejným způsobem se dokáže, že po sestrojení dvou stanů ve druhém kroku zůstanou „mokré" pouze body, jejichž zápisy v trojkové soustavě začínají jednou z těchto čtyř kombinací: 0,00... 0,02... 0,20.. . 0,22. . . Takto, krok za krokem, se před deštěm ochraňují body, jejichž zápis v trojkové soustavě obsahuje jedničky. Nakonec zůstanou „mokré" pouze body, které lze zapsat v trojkové soustavě bez užití číslice 1. „Mokrý" zůstane například bod ~ = 0,020202. . . , bod 3 T = 0,202020... 4 atd. nyní je již zřejmé, proč množina všech „mokrých" bodů má mohutnost kontinua. Jejím bodům lze totiž 136 vzájemně jednoznačně přiřadit prvky množiny všech nekonečných telegramů (viz str. 98). K tomu stačí přiřadit každému bodu tvaru 0,20220200... nekonečný telegram tím, že 0 zaměníme tečkou a 2 zaměníme čárkou. Víme, že množina všech nekonečných telegramů má mohutnost kontinua, a proto má mohutnost kontinua i množina všech „mokrých" bodů. Množinu bodů, které jsme nazvali „mokré", sestrojil poprvé Cantor a říká se jí proto Cantorovo diskontinuum. Ze způsobu konstruování stanů je patrné, že v okolí každého bodu Cantorova diskontinua je nekonečně mnoho bodů maxima a minima pilovité lomené čáry. Čertovo schodiště S Cantorovou množinou souvisí ještě jedna zajímavá funkce. Sestrojí se takto: Opět rozdělíme interval <0, 1> na 1-2 tři stejné části a ve všech bodech střední části (--, --) položíme hodnotu funkce rovnou ^ ; Levou i pravou třetinu intervalu ,.12 <0, 1) rozdělíme opět na tři stejné části a v části (--) po- 1 7 8 ložíme hodnotu funkce rovnou - a v části (—, ■-) rovnou 4 9 9 3 Nyní nám zbývají čtyři intervaly, v nichž funkce ještě není definována: 1 2 1 2 7 ^ 137 Každý í nich rozdelíme na tři stejné části a v každé ze středních částí položíme hodnotu funkce rovnou postupně 1 3 _5 7 8"'¥'"8 *¥* Postupujeme takto dále a dostaneme funkci definovanou ve všech „suchých" bodech, tj. ve všech bodech nepatřících do Cantorova diskontinua. Je snadné definovat ji i v bodech této množiny tak, aby potom byla spojitá a neklesající. y o 138 Obr. 39 1 S 2. 9 X 2 2. A.' 3 3 Graf takové funkce je přibližně znázorněn na obr. 39. Má tvar schodiště s nekonečně mnoha schody (na obrázku ovšem všechny schody nejsou). Ostatně, když už jsme se seznámili s křivkami majícími nekonečně mnoho maxim a minim, sotva někoho udivíme schodištěm o nekonečně mnoha schodech. Udivující je však něco jiného. Vypočítáme celkovou délku všech schodů našeho schodiště. První schod má délku -jL oba další mají ó dclku každý z dalších čtyř má délku atd. Součet délek všech schodů je tudíž vyjádřen součtem geometrické řady 1 2 4 — -I--------r- . . . 3 9 T 27 x Součet této řady je roven _1_ -4 = i. Celková délka všech schodů je tedy rovna 1. Avšak na těchto schodech funkce vůbec neroste, všechen její růst je soustředěn do bodů Cantorovy množiny. A na „délku" této množiny zbývá „velmi málo". Má sice mohutnost kontinua, avšak její délka je nulová (délka celého intervalu 0, 1) je rovna 1 a celková délka schodů je také rovna jedné, takže na Cantorovu množinu zbývá pouze nulová délka). Naše funkce tedy dokáže „stoupnout" od nuly do jedné, ačkoli vzrůstá pouze na množině nulové délky a přitom nedělá žádné skoky. Není to vskutku podivuhodné? 139 Ostnatá čára Po mnoho století pracovali matematikové pouze s křivkami majícími skoro v každém bodě tečnu. Pokud byly výjimky, pak to byly křivky nemající tečnu nejvýše v několika bodech. V těchto bodech se křivka jakoby lámala, a proto se takové body nazývaly body zlomu. Křivka na obr. 40a má dva body zlomu a křivka na obr. 40b deset bodů zlomu. Avšak křivky, které jsme před chvílí sestavili, mají již nekonečně mnoho bodů zlomu: lomená čára z obr. 36 jich má spočetně mnoho a křivka, která vznikne z lomených čar z obr. 38 jich má dokonce nespočetně mnoho. „Láme" se ve všech bodech Cantorova diskontinua a kromě toho ještě ve vrcholech všech trojúhelníků. Avšak dokonce i tato křivka se láme na poměrně „malé" množině bodů — délka této množiny je nulová. Dlouhou dobu žádný matematik nevěřil, že může existovat spojitá křivka skládající se výhradně z bodů zlomu, hrotů a ostnů. Matematikové byli ohromeni, když se podařilo takovou křivku zkonstruovat a nejen to, podařilo se dokonce zkonstruovat funkci, jejíž graf byl takovým ostnatým plotem. Jako prvnímu se to podařilo Bolzanovi. Avšak jeho práce nebyla uveřejněna a jako první uveřejnil takový příklad německý matematik K. Weierstrass. Je však obtížné Obr. 40ab 140 vyložit zde Wcietsttassiiv příklad, neboť je založen na teorii trigonometrických řad. Bolzanův příklad je zcela jednoduchý a velmi připomíná lomené čáry, které jsme již sestrojili. S nevelkými změnami uvedeme nyní Bolzanův příkladL Interval <0, 1> rozdělíme na čtyři stejně velké části a nad občma středními částmi sestrojíme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník (obr. 41a). Získaná křivka je grafem jisté funkce; tuto funkci označíme y — fi{x). Nyní každou ze čtyř částí rozdělíme ještě na Čtyři stejně velké části a sestrojíme další čtyři rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky (obr. 41b). Dostaneme graf druhé funkce ■j> =/2{x). Sečteme-li tyto dvě funkce, bude mít graf součtu y = fi(x) +/2í*) tvar znázorněný na obr. 41c. Je patrné, že získaná lomená Čára má již více bodů zlomu a že body zlomu jsou rozloženy hustěji. Při dalším kroku rozdělíme každou z částí na další čtyři části, sestrojíme 16 rovnostranných pravoúhlých trojúhelníků a přičteme příslušnou funkci y = f3{x) k funkci y =fi{x) Při dalších krocích budeme dostávat stále a stále lomenější čáry, až nakonec výsledná čára bude mít bod zlomu v každém bodě a ani v jednom z nich nebude možné vést tečnu. Obr. 41abc 141 Obr. 42a Obr. 42b Podobný příklad křivky, nemající nikde tečnu, sestrojil holandský matematik van der Waerden. Vzal rovnostranný trojúhelník, každou jeho stranu rozdělil na tři stejně velké části a nad středními Částmi sestrojil nové rovnostranné trojúhelníky s vrcholem vně původního trojúhelníku. Dostal tak šesticípou hvězdu (obr. 42a). Každou z dvanácti stran této hvězdy rozdělil na další tři části a opět nad každou střední částí sestrojil rovnostranný trojúhelník. Vznikla tak ještě ostnatější čára, znázorněná na obr. 42b. Po nekonečně mnoha děleních a konstrukcích rovnostranných trojúhelníků vznikne čára, jejíž každý bod je bodem zlomu, jejíž každý bod má osten. Matematikové sestrojili mnoho spojitých funkcí, jejichž grafy nemají tečnu v žádném bodě, a začali studovat jejich vlastnosti. Tyto vlastnosti se vůbec nepodobaly vlastnostem „rozumných" hladkých funkcí, s nimiž se dosud setkávali. Proto mnozí matematikové hleděli na nové funkce s úžasem. A nejen to, nej přednější představitel klasické matematické analýzy Charles Hermite psal svému příteli holandskému matematikovi Stieltjesovi: „S hrůzou se odvracím od toho politováníhodného vředu spojitých funkcí nemajících deriva- cí ani v jednom bodě" ítj. jak jsme jim říkali, od všude ostnatých křivek). Známý francouzský učenec H. Poincaré psal: „Dříve se při hledání nových funkcí myslelo na nějaký praktický účel. Nyní se vymýšlejí funkce jedině proto, aby se odhalila nedokonalost úsudku našich otců, žádný jiný závěr z nich nelze odvodit." Další vývoj vědy však ukázal, žc se Poincaré mýlil. Ve fyzice se vyskytují čáry velmi připomínající všude ostnaté čáry van der Waerdena a dalších matematiků. Jsou to trajektorie částic vykonávajících vlivem nárazů molekul tzv. Brownův pohyb. Francouzský vědec Perrin zachytil v náčrtech pohyb takových částic. Každých 30 vteřin pozoroval jejich polohu a získané body spojil úsečkami. Výsledkem byly složité lomené čáry, podobné čarám znázorněným na obr. 43. Nesmíme si však myslet, že v době Obr. 43 142 143 mezi jednotlivými pozorováními se částice pohybuje skutečné po přímce. Kdyby ji Perrin pozoroval nejen každou půlminutu, ale každou půlvteřinu, musel by každou úsečku nahradit stejně složitou lomenou čarou jako jsou čáry na obr. 43. A čím menší by byly časové intervaly mezi jednotlivými pozorováními, tím složitější a „ostnatější" by byly získané čáry. Americký matematik N. Wiener ukázal, že Brownův pohyb natolik malé částice, že její setrvačnost lze zanedbat, je možné popsat křivkou nemající nikde tečnu. Uzavřená křivka nekonečné délky S křivkami nekonečné délky se setkáváme často — nekonečnou délku má přímka, parabola, hyperbola atd. Všechny tyto křivky „ubíhají" do nekonečna, a není tedy nic podivného na tom, že mají nekonečnou délku. Ostatně, není obtížné sestrojit také křivku, která celá leží v omezené části roviny a má přitom nekonečnou délku. K tomu stačí vzít kružnici a „navinout" na ni spirálu s nekonečným počtem závitů (obr. 44). Jelikož závituje nekonečně mnoho a délka každého závitu je větší než délka kružnice, je délka celé spirály nekonečná. Ale zdalipak může existovat uzavřená křivka nekonečné délky? „Obvyklé" uzavřené křivky, jako jsou například kružnice, elipsa, kardioida (obr. 45), mají konečnou délku. Avšak délka ostnaté van der Waerdenovy křivky konečná není. Opravdu, nechť je obvod výchozího trojúhelníku roven třem. Hvězda vzniklá po prvním kroku má, jak se dá snadno spočítat, obvod rovný čtyřem. Dalším krokem vznikne lomená čára, skládající se ze 48 úseček délky ^ . Její 48 192 obvod je tedy roven —-. Délka další lomené čáry je atd. * y * zři 144 A při rostoucím n roste tento výraz nade všechny meze. Délka van der Waerdenovy křivky je tedy nekonečná. Existují i jiné křivky nekonečné délky. Sestrojme například lomenou čáru takto: Interval <0, 1> rozdělíme na polovinu a nad levou polovinou sestrojíme rovnoramenný trojúhelník o výšce 1. Potom rozpůlíme interval <^-, 1> a nad jeho levou polovinou sestrojíme rovnoramenný trojúhelník o výšce ~. Další rovnoramenný trojúhelník sestrojíme nad intervalem <-^, -g> a jeho výšku.««^tov- 145 něž — . Výšky dalších čtyř trojúhelníku zvolíme rovny —-atd. (obr. 46). Dostaneme opět „klesající horský hřeben", podobně jako na str. 132. Nyní však klesá velmi pomalu. Délka bočních stran prvního trojúhelníka je zřejmě větší než 1, délka bočních stran druhého a třetího trojúhelníka je větší než —, délka bočních stran čtvrtého, pátého, šestého a sedmého trojúhelníka je větší než — atd. (boční strana je vždy delší než výška). Délka celé lomené čáry není tedy menší než součet nekonečné řady 2 2 2 2 2 2 2+Í2-+2> + (4 + 4+4 +4) + --' Ale součet čísel v každé závorce je roven 2 a závorek je nekonečně mnoho. Součet takové řady je nekonečný a délka naší lomené čáry je tedy nekonečná. Obr. 46 Matematický koberec Vypráví se, že Kateřina II. se jednou zeptala jakéhosi generála, jaký je rozdíl mezi moždířem a houfnicí. V rozpacích generál odpověděl: „Víš, carevno-mátuško, moždíř — to je jedna věc a houfnice — to je druhá věc". Stejně obsažnou odpověď lze asi dostat, zeptáme-li se člověka, jemuž je matematika cizí, jaký je rozdíl mezi křivkou, plochou a tělesem. A nejen to, bude se divit, jak je vůbec možné, ptát se na tak samozřejmou věc. Každému je přece jasné, že křivka, plocha a těleso jsou zcela různé věci a nikoho nenapadne nazývat kružnici plochou nebo kulovou plochu křivkou. Jeden vtipný šachový velmistr řekl, že rozdíl mezi šachovým mistrem a šachistou začátečníkem spočívá v tom, že v postavení, ve kterém vidi mistr plno záhad, je pro začátečníka vše jasné. Podobně je tomu i s naší otázkou. Pokud jde ovšem o takové geometrické útvary, jako jsou čtverce nebo kružnice, nevznikají u nikoho žádné pochyby o tom, zda se jedná o křivky nebo o plochy. Ale během rozvoje vědy se po Cantorových objevech vynořilo mnoho podivuhodných geometrických útvarů, o nichž nejen školák, ale ani zkušený profesor matematiky nerozhodne bez váhání, zda jsou to křivky, plochy nebo tělesa. Uvedeme několik příkladů takových útvarů. Vezmeme interval (Q, 1), rozpůlíme jej a v jeho středu vztyčíme kolmici délky ~. Potom každou z polovin opět rozpůlíme a v každém z nových dělicích bodů vztyčíme kolmici, nyní však délky ~. Dále opět získané intervaly rozpůlíme a v dělicích bodech vztyčíme kolmice délky -—. Po pátém o 147 Íl i i i i i i i i i 1111111 Obr. 47 MIM kroku dostaneme útvar znázorněný na obr. 47. Neomezíme se však na pět kroků, ale budeme naši operaci opakovat nekonečněkrát. Výsledkem bude jakýsi geometrický útvar. A čím je tento útvar, křivkou nebo plochou? Vztyčili jsme přece nekonečně mnoho kolmic. Neslijí se tyto kolmice dohromady a nezaplní malý kousek plochy ,,nad intervalem" <0, 1>? A druhý příklad: Vezmeme čtverec o straně 1, rozdělíme jej na 9 stejně velkých částí a vyjmeme střední část (strany vyjímaného čtverečku však ve čtverci ponecháme). Každý ze zbylých čtverců opět rozdělíme na devět stejně velkých HGIBHSHSI9H S Q H Obr. 48 čtverečků a střední čtverečky opět vyjmeme. Další krok nás již přivede k útvaru znázorněnému na obr. 48 (vyjmuté čtverečky jsou vyšrafovaný). Útvar na obr. 48 je ještě plochou. Nezastavíme se však na třetím kroku a budeme nekonečněkrát dělit čtverečky na devět stejně velkých částí a vyjímat střední čtverečky. Výsledkem bude jistý geometrický útvar nazývaný po polském matematikovi, který si jej vymyslel, Sierpiúskéko koberec. Tento obrazec se podobá látce utkané šíleným tkalcem. Podél i napříč se táhnou nitě osnovy a útku a splétají se do symetrických a velmi krásných vzorů. Sama látka je však velmi „řídká" — každý její kousek je „děravý", i z toho nejmenšího čtverečku byla vyjmuta střední část. A není vůbec jasné, čím je tento koberec — křivkou nebo plochou? Na jedné straně neobsahuje žádnou celistvou část, a proto je stěží plochou, a na druhé straně jsou jeho nitě spleteny Obr. 49 148 149 do tak složitého vzoru, že sotva nikdo bez váhání prohlásí Sierpiňského koberec za křivku. V žádném případě nelze tento obrazec narýsovat. A Sierpiňského koberec není nej složitější geometrický útvar. Místo čtverce bychom mohli vzít krychli, rozdělit ji na 27 stejně velkých krychliček a vyjmout spolu se střední krychličkou ještě šest s ní sousedících krychliček. Potom opět rozdělit každou ze zbylých krychliček na 27 částí a pokračovat ve vyjímání (na obr. 49 je znázorněno těleso zbylé po dvou krocích). Provedeme tuto operaci nekonečněkrát. Čím je zbylý geometrický útvar — křivkou, plochou nebo tělesem? Euklides nepomáhá Když před matematiky dřívějších dob vyvstal složitý geometrický problém, podívali se nejdříve, co o tom píše Euklides, Téměř po dvě tisíciletí sloužil Euklides za vzor matematické přesnosti a jako encyklopedie geometrické moudrosti. Ne nadarmo i filosofové, ve snaze vyhnout se výtkám z nepřesnosti úvah, se obraceli k Euklidovu jazyku a formulovali svá tvrzení jako axiómy, lemmata a věty. Ale právě o otázce, jež nás zajímá, píše Euklides něco zcela nejasného. První řádky Euklidových „Základů" říkají toto: 1. Bod je to, co nemá části. 2. Čáraie to, co má jen délku bez šířky. 3. Hranicemi čáry jsou body. 4. Plocha je to, co má jen délku a šířku. 5. Hranicemi plochy jsou čáry. 6. Mez je to, co je hranicí něčeho. 7. Útvar je to, co se nachází uvnitř nějaké nebo nějakých mezí. Toto je vším možným, jenom ne přesnou matematickou definicí. Člověk, který neví, co je to bod, křivka, plocha, se to sotva doví z těchto „definic" připomínajících odpověď bezradného generála („Čára — to je jedna věc, a plocha — to je druhá věc"). A určitě se z těchto definic nedovíme, čím je Sierpiňského koberec — křivkou nebo plochou, má-li pouze délku bez šířky nebo má-li délku i šířku. Ale v Euklidově době tak složité útvary jako je Sierpiri* ského koberec nebyly známy a pro jednoduché útvary nebyly definice příliš zapotřebí: každý viděl, kde je na obrázku čára a kde plocha. Ostatně i Euklides zřejmě cítil, že s jeho definicemi základních pojmů není vše v pořádku. Uvedl je na začátku knihy a pak na ně dočista zapomněl a ani jednou jich v celé práci nepoužil. Jsou zapotřebí přesné definice? Po dvě tisíciletí byla Euklidova autorita neotřesitelná-Pochybovat o nějakém jeho tvrzení znamenalo definitivně a nenávratně ztratit svou dobrou matematickou pověst. Jeden z největŠích matematiků 19. století Carl Friedrich Gauss, který ještě před Lobačevským dospěl k základním idejím neeuklidovské geometrie, se neodvážil své výsledky uveřejnit, obávaje se — jak psal jednomu ze svých přátel — křiku Boioťanů*). A teprve odvážný vědecký čin velikého ruského geometra Nikolaje Ivanovice Lobačevského, který své objevy uveřejnil neohlížeje se na posměch učenců, kteří ho nechápali, učinil neeuklidovskou geometrii obecným majetkem. *) Boioťané — řecký kmen, který se považoval za zvlášť nadaný duševními schopnostmi. 150 151 Po uveřejnění prací N. I. Lobačevského bylo zřejmé, že existují dvě, logicky stejně bezesporné geometrie, které však vedou ke zcela odlišným tvrzením. Ale je-li tomu tak, ztrácejí jakákoli odvolám na „geometrickou názornost" svou oprávněnost. Každé geometrické tvrzení bylo třeba založit na přesných definicích a bezúhonných logických tvrzeních. A především pro základní geometrické pojmy — křivky, útvary, tělesa — bylo třeba najít přesné definice, ničím nepřipomínající definice typu „toto je jedna věc, a toto zase druhá věc". Snaha po přesných definicích byla vlastní nejen geometrií, ale i matematické analýze 19. století. Pomocí diferenciálního a integrálního počtu, který svými pracemi vytvořili Newton, Leibniz, Euler, Lagrange a další velcí matematikové 17. a 18. století, se podařilo řešit nej-různější úlohy — od výpočtu dráhy střely až do předpovědí o pohybu planet a komet. Avšak základní pojmy, s jejichž pomocí bylo těchto vynikajících výsledků dosaženo, byly vymezeny velice nepřesně. Základ tehdejší matematické analýzy — pojem nekonečně malé veličiny — se zdál být něčím na rozhraní mezi bytím a nebytím, něčím jako nula, ale ne úplná nula. Matematikové 18. století byli nuceni dodávat svým pochybujícím žákům odvahy slovy: „Pracujte a víra přijde." Ale matematika přece není náboženství a nelze ji budovat na víře. A co bylo ještě vážnější — metody, dávající tak významné výsledky v rukou velikých mistrů, vedly k chybám a paradoxům, jakmile jich používali méně talentovaní žáci. Mistry chránila před chybami jejich neomylná matematická intuice, onen podvědomý cit, často vedoucí ke správné odpovědi mnohem rychleji než dlouhé logické úvahy. 2ákům taková intuice chyběla a konec 18. století byl poznamenán neslýchanou ostudou matematiky — záplavou vzorců nemajících mnohdy ani cenu papíru, na němž byly tištěny, a pochybných tvrzení, jejichž použitelnost byla zcela nejasná. A tak matematikové — podobni dětem, které ničí krásnou hračku, aby zjistily, jak je udělána — podrobili všechny dosud užívané pojmy tvrdé kritice a počali na základě přesných definic matematiku budovat znovu. Odkazy na názornost se zavrhovaly a místo nich se vyžadovala nej-přísnější logika*). Avšak požadavkům logiky nevyhovovaly ani nejjednodušší obraty z učebnic matematické analýzy, jako například věta: „Uvažujme oblast G, omezenou uzavřenou křivkou ľ." Co je to uzavřená křivka ? Proč je hranicí oblasti ? Na kolik částí dělí rovinu uzavřená křivka a kterou z těchto částí máme na mysli? Na žádnou z těchto otázek matematika 18. století neodpovídala. Matematikové jednoduše nakreslili ovál a mysleli, že je tím vše řečeno. Ale v 19. století již obrázkům nevěřili. Otázka „co je to křivka" se stala jednou z nej-palčivějších. Trvalo však velmi dlouho, než se podařilo dát na ni vyčerpávající odpověď. Křivka je stopa pohybujícího se bodu Aby bylo možno podat přesnou definici křivky, bylo zapotřebí vycházet z oněch názorných představ, které vedly k vytvoření tohoto matematického pojmu: z představy dlouhých a tenkých nití, světelných paprsků, dlouhých a úzkých cest. Ve všech těchto případech je délka o tolik větší než šířka, že lze šířku zanedbat. Výsledkem matematické idealizace je pojem křivky nemající šířku. *) Přitom se někdy s vaničkou vylévalo i dítě a ve 20. století se mnohé ze „zavrhnutého" vrátilo opět do vědy. 152 153 První pokus o přesnou definici křivky patří francouzskému matematikovi Gamille Jordánovi. Jordán vycházel z toho, že dráhu pohybujícího se velmi malého tělesa si lze představit jako úzkou a dlouhou trubičku. Čím menší jsou rozměry pohybujícího se tělesa, tím se stává trubička užší a užší, až nakonec dostaneme dráhu pohybujícího se bodu — čáru nemající šířku. Z tohoto přirovnání vyšel Jordán při definici křivky a křivkou nazval dráhu pohybujícího se bodu. Sám bod se přitom musel pohybovat spojitě — beze skoků. Přesněji zněla Jordánova definice takto: K určení polohy pohybujícího se boduje zapotřebí zadat jeho souřadnice v každém okamžiku pohybu. Jelikož pohyb se odehrává během nějakého konečného časového intervalu, je možné bez újmy na obecnosti předpokládat, že tímto intervalem je interval <0, 1). Jinými slovy, pohyb bodu začíná v nějakém okamžiku, od něhož začneme čas počítat a končí po uplynutí nějaké časové jednotky (jedné vteřiny, jedné minuty, jednoho roku atd.). V každém okamžiku t tohoto časového intervalu má pohybující se bod jisté souřadnice. Souřadnice pohybujícího se bodu tedy závisí na okamžiku ř, jsou jeho funkcemi. Označme tyto funkce (v případě, že se pohyb odehrává v rovině) symboly f(t) a g(t): Podmínka „spojitosti pohybu" bodu znamená, že funkce f{t) a g{ť) jsou spojité v každém bodě intervalu <0, 1). Zhruba řečeno to znamená, že při malé změně ř se málo změní také hodnoty funkcí/(ř) a g{ť). Přesněji, blíží-li se íi, .. ., tn, ■ ■. k nějaké hodnotě t, lim tn = ř, pak platí n-»-co rovnosti Wxaf{tn) =/(í) a n^°° Hm g(tn) =g(t). R-*-CO Obr. 50 Obr. 51 Ukázalo se, že Jordánova definice byla dosti zdařilá. Všechny křivky, s nimiž matematici té doby pracovali, byly křivkami v Jordánově smyslu, čili jak se říká, byly Jordánovými křivkami. Vezměme například kružnici o poloměru 1. Délka této kružnice je 2tt. Má-li ji tudíž oběhnout bod za jednotku času, musí se pohybovat rychlostí 2tz. Za dobu / tedy oběhne oblouk délky 2ttí. Z obrázku 50 je zřejmé, že její souřadnice v čase t jsou dány vzorci x = COS 271/, y — sin 27tí. Tyto rovnice se nazývají parametrickými rovnicemi kružnice. Parametrické rovnice křivky znázorněné na obr. 51 (tato křivka se nazývá astroida) jsou x — cos3 2tt/, y = sin3 2izt. Jordánovými křivkami mohou být i čáry utvořené z různých křivek. Vezměme například křivku, tvořenou půl- 154 155 x kružnicí o poloměru 1 a jejím průměrem (obr. 52). Pohybující se bod oběhne za polovinu času půlkružnici a za druhou polovinu průměr. Vyjádření souřadnic při pohybu po kružnici již známe. Při pohybu po průměru zůstává souřadnice^1 rovna nule a x se mění od — l do 1. Výsledkem budou tyto parametrické rovnice naší křivky: (cos 27cí, je-li 0 £ í ^-^ > 4/ - 3, je-li igřšl ; (sin 2nt, je-li 0 < t <: y , 1 0, je-li— <řál . Věta je zřejmá, důkaz nikoli Použitím jeho pojmu křivky se Jordánovi podařilo upřesnit význam onoho obratu z učebnic matematické 156 analýzy, o nčiuž jsme již hovořili: „Nechť uzavřená křivka 7'je hranicí oblasti G." Uzavřená Jordánova křivka — to je taková Jordánova křivka, která se v Čase t — 1 dostane do téhož bodu, ve kterém byla v čase ŕ = 0. Jestliže přitom různým okamžikům tl a t2i ležícím mezi 0 a 1, odpovídají různé body, pak tato křivka sama sebe neprotíná, Jordán dokázal tuto větu: Uzavřená Jordánova křivka 1 \ která sama sebe neprotíná, dělí celou rovinu na dvě části. Dva body ležící v téže Části lze spojit lomenou čarou neprotínající křivku ľ a dva body z různých částí takovou čarou spojit nelze, každá lomená čára, která je spojuje, protíná křivku ľ (obr. 53). Tato věta se zdá být zcela zřejmou, ale její důkaz vyžaduje velmi jemných úvah. Důlaz je dosti složitý dokonce i v případě, že křivka 71 je uzavřený mnohoúhelník. Pokuste se bez rozmyslem říci, zda lze body A a B na obr. 54 spojit lomenou čarou neprotínající křivku r. Obr. 53 Obr. 54 157 Dve části, na které uzavřená Jordánova křivka délí rovinu, se nazývají vnitřní a vnější oblast ohraničená touto křivkou. Pojem oblasti ohraničené uzavřenou křivkou tak nabyl přesného významu. Křivka prochází všemi body čtverce Když Jordán podal svou definici křivky, zdálo se zpočátku, že cíle je dosaženo, že máme přesnou definici křivky, definici neopírající se o názornost. Brzy se však ukázalo, že tomu tak není — Jordánova definice v sobě zahrnuje nejen matematikům běžné křivky, ale i útvary, které by nikdo křivkami nenazval. Se „všude ostnatými křivkami" by se matematici ještě nějak smířili, ale nazvat křivkou čtverec, k tomu by nikdo nenašel odvahu. Ukázalo se však, že jak čtverec, tak trojúhelník (ne obvod trojúhelníka, ale celý trojúhelník se všemi vnitřními body), tak i kruh jsou křivky v Jordánově smyslu. Dokázal to italský matematik Peano. Již jsme si říkali, že Cantor našel vzájemně jednoznačné přiřazení mezi body úsečky a čtverce, tj. ukázal, že úsečka má stejné mnoho bodů jako čtverec. Toto přiřazení nebylo spojité. Když se bod pohyboval po úsečce, jemu přiřazený bod čtverce nepopolézal jako brouk, ale skákal jako blecha. Opravdu, vezměme na úsečce body 0,50000000... a 0,4999909990000000... Tyto body leží dosti blízko u sebe, ale jim odpovídající body čtverce jsou od sebe dosti vzdáleny. Prvnímu bodu totiž odpovídá bod (0,50000..., 0,00000...). ležící na dolní straně čtverce a druhému bodu odpovídá bod (0,4999000..., 0,9999000...), ležící až u horní strany čtverce. A budeme-li zvětšovat počet devítek u druhého bodu, takže se bude blížit k prvnímu bodu, odpovídající body čtverce ani nenapadne, aby se k sobe přibližovaly. Cantorovo zobrazení úsečky na čtverec je sice vzájemně jednoznačné, ale není spojité. Neurčuje tudíž Jordánovu křivku. Peanovi se podařilo najít jiné zobrazení množiny všech bodů úsečky na množinu všech bodů čtverce, při němž blízkým bodům úsečky odpovídají blízké body čtverce. Jinými slovy, Peanovi se podařilo sestrojit Jordánovu křivku probíhající všemi body čtverce! Nemůžeme pochopitelně Peanovu křivku nakreslit, ledaže bychom napodobili abstraktního malíře a nakreslili černý čtverec. Na takovém čtverci však stejně nepoznáme, kde křivka začíná, kde končí a jak čtvercem prochází. Nebudeme proto následovat příkladu abstraktního malíře, ale příkladu fyzika Perrina a znázorníme polohy pohybujícího se bodu lomenou čárou. Čím menší budou časové intervaly mezi jednodivými „pozorováními", tím věrněji bude získaná lomená čára zobrazovat Peanovu křivku. Nejprve zachytíme polohu pohybujícího se bodu každou čtvrtinu vteřiny, tj. zakreslíme jeho počáteční polohu, pak po 1 13 — vteřiny od začátku pohybu, pak po — vteřiny, pak po — t 2 4 vteřiny a potom koncovou polohu. Dostaneme 5 bodů, spojíme je úsečkami a dostaneme lomenou čáru, znázorněnou na obr. 55a. Tato lomená čára ovšem neprochází všemi body čtverce. Zmenšíme však časové intervaly mezi jednotlivými pozorováními a budeme zaznamenávat polohu bodu každou — vteřiny. Získaná lomená čára bude klikatější, zvětší se počet bodů zlomu a bude mít tvar znázorněný na obr. 55b. Budeme-li zaznamenávat polohu pohybujícího se bodu ještě častěji, dostaneme lomenou čáru znázorněnou na obr. 55c. Vidíme, Že čára zaplňuje čtverec stále hustěji a hustěji, V limitě, kdybychom pozorovali pohybující se 158 159 ......- 1 o- v -i _n - Lez; E A Obr. 55abc bod v každém okamžiku, dostaneme křivku probíhající všemi body čtverce bez výjimky. Je však třeba dodat, že Peano sice získal na rozdíl od Cantora spojitou křivku, ale na druhé straně jeho křivka již neudávala vzájemně jednoznačné zobrazení úsečky na čtverec. Některými body procházela několikrát. Později se podařilo dokázat, že nelze zachovat zároveň spojitost a vzájemnou jednoznačnost přiřazení: neexistuje Jordánova křivka procházející všemi body čtverce právě jedenkrát! Vše bylo v troskách Těžko lze vyjádřit slovy, jaký dojem v matematickém světě učinil Peanův výsledek. Zdálo se, že se vše zřítilo, že nej-základnější matematické definice ztratily všechen smysl — nebyl vidět žádný rozdíl mezi křivkou a plochou, plochou a tělesem {výsledek o nemožnosti vzájemně jednoznačného a spojitého zobrazení mezi úsečkou a čtvercem nebyl ještě 160 znám). Význačný francouzský matematik H. Poíncaré s hořkostí zvolal: „Jak nás mohla intuice do takové míry oklamat!" Bylo zřejmé, že Jordánova definice křivky není bez vady. Na jedné straně je příliš široká: zahrnuje v sobě i Peanovu křivku. A na druhé straně je příliš úzká: ne všechny obrazce, které bychom snad intuitivně zařadili mezi křivky, spadají do této definice. Například čára zobrazená na obr. 44 str. 145 (kružnice s navinutou spirálou) již není Jordánovou křivkou. Byl objeven i další, hlouběji ukrytý, nedostatek Jordánovy definice — tato definice se týká nejen samotné křivky, ale i toho, jak a s jakou rychlostí ji bod probíhá. Představme si například běžce, který proběhne první polovinu kružnice za minuty a pak unaven pro- 3 běhne druhou polovinu kružnice za — minuty. V tomto případe dostaneme zřejmě zcela jiné parametrické rovnice než na str. 155. A bod přece může kružnici probíhat nekonečně mnoha způsoby, chvíli rychleji, chvíli pomaleji. Táž kružnice může proto mít různé parametrické rovnice. A není příliš snadné domyslet se, že rovnice 1 - t2 y = i +t2 2ŕ 1 + t2 určují touž kružnici jeho rovnice x = cos 2nt, y = sin 27rř. U složitějších křivek se lze snadno zmýlit. Vezměme například lemniskatu. Tuto křivku lze proběhnout tak, jak Jf* znázorněno na obr. 56a a nebo tak, jak je znázorněno 161 Obr. 56ab na obr. 56b. A rozhodnout podle parametrických rovnic, zda jsou to křivky totožné anebo různé, je dosti obtížné. Vznikla tedy opčt otázka, co je to křivka a čím se liší od plochy? OdpověcF souvisela s obecnými Cantorovými výsledky o geometrických útvarech. Jak se dělají sochy Když Cantor vytvořil základy teorie množin, přešel k otázce „co je to geometrický útvar". Nejobecnější odpověď na tuto otázku zněla: geometrický útvar je libovolná množina bodů prostoru. Leží-li tato množina v rovině, je to rovinný geometrický útvar. Taková odpověď je však příliš obecná — „útvar" v tomto smyslu nemá žádné dostatečně zajímavé vlastnosti. Bylo proto nejdříve zapotřebí omezit souhrn studovaných množin, vyčlenit z nich ty, které se svými vlastnostmi nejvíce blíží běžným geometrickým útvarům. Abychom mohli určit třídu takových útvarů, objasníme, co mají běžné geometrické útvary (jako jsou čtverec, kruh, úsečka, astroida atd.) společného. Ukazuje se, že všechny tyto útvary lze získat jednotným způsobem. Obr. 57 Vypráví se, že slavný sochař Rodin odpověděl na otázku, jak se mu daří dělat jeho vynikající sochy, slovy: „Vezmu kus mramoru a všechno přebytečné odtesám." Tímto způsobem lze získat libovolný omezený rovinný geometrický útvar.**) Je třeba vzít nějaký Čtverec, ve kterém daný útvar leží*) a potom „odsekat" všechno přebytečné. Nemusíme však odseknout vše najednou. Můžeme to udělat po částech. Například můžeme při každém kroku odstranit malý kousek ve tvaru kruhu. Přitom vnitřek kruhu odstraníme, ale jeho hranici — kružnici — ponecháme. Na první pohled se zdá, že takto lze dostat pouze útvary, které mají podobný tvar jako útvary znázorněné na obr. 57. Připustíme-Ii přitom, že můžeme odstranit nejen jeden kruh nebo dva kruhy nebo konečně mnoho kruhů, ale i ne- *) Předpokládáme, že k útvaru patří i jeho hranice (pozn. překl.) **) Takový čtverec existuje, neboř předpokládáme, že daný útvar jf omezený (pozn. překl.). 162 163 konečne mnoho kruhů, miižwtie takto získat libovolný útvar. Stačí dokonce připustit pouze možnost odstranění nejvýše spočetně mnoha kruhů. Stačí postupovat takto: Vzít všechny kruhy, jejichž poloměry i souřadnice středů jsou racionální. Podle věty na str. 90 je množina takových kruhů spočetná. A potom odstranit z roviny všechny ty kruhy naší množiny, uvnitř kterých není žádný bod geometrického útvaru. Zřejmě nám zbude pouze samotný geometrický útvar a odstraněných kruhů nebude více než spočetně mnoho. Ostatně, není nutné odstraňovat kruhy. Místo nich to mohou být Čtverce, obdélníky, elipsy — stačí zachovat jedinou podmínku: vnitřní body se odstraňují, hraniční body se ponechávají. Obr. 58 E F Kontinua Ukazuje se, že kromě běžných geometrických útvarů lze odstraněním spočetně mnoha kruhů (čtverců atd.) získat i další množiny, které se již běžným útvarům příliš nepodobají, ale které přesto mají mnoho zajímavých vlastností. Například Sierpiňského koberec, o němž jsme již nejednou hovořili, se dostane právě tímto způsobem: ze čtverce o straně 1 se postupně odstraňují malinké čtverečky, přičemž se jejich strany ve čtverci ponechají. Odstraňováním však můžeme dostat i útvary nemající žádný kousek celistvý. Budeme-li například odstraňovat kříže,*) jak je to znázorněno na obr. 58, dostaneme nakonec množinu, neobsahující žádný celistvý *) A odstraníme-li s každým křížem i jeho krajní úsečky, např. úsečky AU, CD, EF, GII. kousek (čili, jak se říká, množinu totálně nesouvislou). Zavedeme proto toto omezení: po každém odstranění musí zbýt množina tvořená „jediným kouskem". Potom i po všech odstraněních zbude množina tvořená jediným kouskem (čili jak říkají matematici, množina souvislá). Kromě toho bude zbylá množina omezená, neboť se celá nachází v nějakém čtverci. Získané množiny tedy vyhovují těmto třem podmínkám: 1) množina F se sestrojuje ze čtverce odstraňováním spočetně mnoha kruhů (čtverců atd.) s ponecháním jejich hranic; 2) množina F je tvořena „jediným kouskem" (je souvislá), 3) množina F je omezená. Takové množiny nazval Cantor kontinua (připomeňme, že latinské slovo „continuus" znamená „spojitý"). A právě kontinua se ukázala být nej obecnějšími množinami, jejichž vlastnosti jsou velmi blízké vlastnostem běžných geometrie* kých útvaru. 164 165 Cantorovy křivky Nyní jsme již připraveni odpovědět na otázku, co je to rovinná křivka. Jelikož rovinné křivky mají být geometrickými útvary, je zřejmé, že je třeba je hledat mezi kontinui. Kontinuem je vsak i kruh a čtverec a o těchto útvarech jistě neřekneme, že jsou to křivky. Musíme proto přidat nějakou podmínku, která by takové útvary vyloučila. Všimněme si, že jak kruh, tak i čtverec obsahují „celistvé" kousky roviny. A křivky takové celistvé kousky roviny neobsahují ; vezmeme-li jakkoli malý čtvereček, vždy jsou v něm body, které na křivce neleží (obr. 59). A to je právě potřebná doplňující podmínka: rovinnou křivkou v Cantorovš smyslu se nazývá kontinuum nacházející se v rovině a nezaplňující žádný celistvý kousek roviny (tj. takové, že v každém čtverci leží body, které do kontinua nepatří). Například úsečka, obvod trojúhelníka, kružnice, hranice čtyřlisté růže (obr. 70)* jsou křivky. Křivkou je také Sierpiň-ského koberec. Jelikož jsme při jeho sestrojování proděravěli všechny čtverce, jež jsme při dělení dostali, nemůže obsahovat žádný celistvý kousek roviny. Cantorovou křivkou je i kružnice s navinutou spirálou a zubatá křivka z obr. 60 Obr. 59 Obr. 60 y *i Viz str. 180. 166 spolu s intervalem <0,1) osy y. Vůbec všechny útvary, které jsou křivkami v názorném, naivním pojetí, jsou také křivkami v Cantorově smyslu. A obrazce, obsahující alespoň jediný celistvý kousek roviny, již mezi Cantorovy křivky nepatří. Avšak i mezi Cantorovými křivkami jsou takové, jejichž vlastnosti se vůbec nepodobají vlastnostem běžných křivek. O některých takových křivkách si nyní povíme. Je obsah křivky vždy nulový? Po seznámení s křivkami procházejícími všemi body čtverce je asi čtenář připraven na vše. Ale přesto — může mít křivka nenulový obsah? Vždyť již Euklides říkal, že křivka je délka bez šířky. Odkud by se v takovém případě vzal obsah? Nepospíchejte však s konečnou odpovědí. Dříve než začneme otázku zkoumat, musíme se dohodnout na přesném významu používaných slov. Jaký význam mají rčení „křivka má nulový obsah" nebo „křivka má nenulový obsah"? Vezměme si nejběžnějŠí křivku — úsečku. Jelikož její šířka je rovna nule, můžeme ji umístit uvnitř obdélníka libovolně malého obsahu, stačí zvolit dostatečně malou šířku obdélníka. Podobně i kružnici lze umístit do mnohoúhelníka o libovolně malém obsahu. Stačí do ní vepsat pravidelný mnohoúhelník s dostatečně velkým počtem stran a zároveň jí analogický mnohoúhelník opsat. Oblast mezi těmito dvěma mnohoúhelníky bude mít malý obsah (tím menší, čím více mají mnohoúhelníky stran) a celá kružnice je v ní obsažena (obr. 61). Nyní je již význam slov „křivka má nulový obsah" dostatečně zřejmý. Tato slova říkají, že ke každému i jakkoli malé-kladnému číslu e existuje mnohoúhelníková oblas* Obr. 61 křivku obsahuje a jejíž obsah je přitom menší než e. A jestliže alespoň pro jedno kladné s taková oblast neexistuje, pak má křivka obsah nenulový. Abychom tuto definici ještě více objasnili, užijeme jí nejen u tak jednoduchých křivek, jako jsou úsečka a kružnice, ale i u složitějších křivek. Jednou z takových křivek je ovšem Sierpiňského koberec. Určíme jeho obsah. Nejdříve si vzpomeneme, že obsah celého čtverce byl roven 1. Při prvním kroku jsme odstranili prostřední čtverec o obsahu ~. g Výsledkem byla mnohoúhelníková oblast o obsahu —. Při druhém kroku jsme vyjmuli 8 čtverců, z nichž každý měl obsah —. Zbyla mnohoúhelníková oblast o obsahu ol 8 8 _64 /8\2 9" ~81 ~ŠT ~ \9j ' Nyní je již patrné, íic po třetím kroku zbude rnnnhoúhel« m níková oblast o obsahu pak oblast o obsahu (l)4atd- Vezmeme-li však libovolný ryzí zlomek a budeme-li ho umocňovat stále větším a větším číslem, dostaneme v limitě nulu: je-li 0 < q < 1, pak je lim q» = 0 . . /8\M Je tedy také lim I — I =0. Avšak podle definice limity to fl->-00 \ J ! znamená, že pro libovolné kladné e existuje takové n, že platí | —I < e. Po n krocích tedy dostaneme mnohoúhelníkovou oblast, jejíž obsah je menší než e. A tato oblast zcela pokrývá Sierpiňského koberec. Je tedy obsah Sierpiňského koberce nulový. Zdálo by se, že je to naprostý triumf Euklidovy definice. Dokonce i tak složitá křivka, jako je Sierpiňského koberec, má nulový obsah. Ale s oslavou vítězství je třeba ještě počkat. Nikdo nás přece nenutil, abychom vyjímali tak veliké kousky. Budeme postupovat hospodárněji a nerozdělíme čtverec na 9, nýbrž na 25 stejně velkých částí (tj. každou stranu rozdělíme na 5 částí). Odstraníme prostřední čtvereček, jehož každý ze zbývajících 24 čtverečků opět na 25 částí a odstranit prostřední část. To by však bylo opět nehospodárne. Místo toho vezmeme strany odstraněného čtverce a prodloužíme je až na strany velkého čtverce. Dostaneme čtyři čtverce (v každém rohu jeden) a čtyři obdélníky. V každém čtverci a v každém obdélníku sestrojíme kříž, jehož ramena mají 169 Obr. 62 šířku ~ a vyjmeme prostřední části křížů (obr. 62). Jelikož každá střední část má obsah -~, bude součet obsahů všech 625 8 625 Čtverečků odstraněných při druhém kroku rovný Při třetím kroku odstraníme stejným způsobem 64 čtverečků 64 64 o celkovém obsahu—^- = -r^rp^ atd. Obsahy odstraněných z53 1 dojíd čtverečků tvoří geometrickou řadu ± + i ■ 6t + 25 ^ 252 ; 25* 8 1 s kvocientem—. Součet této řady činí pouze y^. Co to však znamená? Znamená to, že při každém kroku zbývá na 16 zbylou oblast alespoň . A žádná mnohoúhelníková 170 16 oblast o ploše menší než — nemůže zbylou část pokrýt. Ale tato zbývající Část, podobně jako Sierpiňského koberec, je křivkou (v Cantorově smyslu) — při jejím sestrojování jsme každý obdélník proděravěli a žádný celý obdélník jsme neponechali. Vychází nám tedy, že křivka v Cantorově smyslu může mít nenulový obsah! Oblasti bez plošného obsahu Prese všechno není uvedený příklad ještě příliš přesvědčivý; příslušná křivka protíná sama sebe v každém svém bodě a není hranicí žádné oblasti. Vzniká tudíž otázka, zda také „rozumná" křivka, která sama sebe neprotíná, tj. uzavřená sama sebe neprotínající křivka v Jordánově smyslu může mít nenulový obsah. Ukazuje se, že může! Abychom sestrojili takovou křivku, změníme poněkud předchozí konstrukce. Nejprve sestrojíme množinu, jež nemá nejen celistvý kousek roviny, ale ani kousek křivky, ale která má přitom nenulový obsah. K tomu je zapotřebí odstraňovat nejen střední čtverčíky, ale celé kříže, jak je to znázorněno na obr. 63. Rozměry křížů přitom zvolíme tak, aby obsah prvního Vyjmutého kříže byl roven ~, aby sou- ret obsahů všech křížů odstraněných při druhém kroku byl roven 625 - (d • při třetím kroku pakl —I atd. Celkový obsah odstraněných křížů bude roven součtu geometrické řady 25 + '\25> 171 Obr. 63 tj. —; a to je méně než polovina obsahu celého čtverce. Při této konstrukci jsme však vyjímali celé kříže a nelítostně jsme celý čtverec rozpižlali. Žádné dva body tohoto zbytku nelze spojit křivkou, dokonce ani křivkou ve smyslu Canto-rovy definice. Jakékoli spojení mezi jeho body chybí. Jak říkají matematici, zbylá množina je totálně nesouvislá. A obsah této množiny, neobsahující žádný celistvý kousek roviny ani oblouk křivky, je různý od nuly. Tuto množinu tedy nelze pokrýt žádnou mnohoúhelníkovou oblastí, jejíž 9 obsah je menší než — . Nyní je již snadné sestrojit příklad uzavřené křivky, která sama sebe neprotíná a která přitom má nenulový obsah. K tomu stačí spojit získané body stejným způsobem, jakým jsou Peanovou křivkou spojeny všechny body čtverce. Díky tomu, žc jsme při každém kroku odstraňovali celé kříže, neprotíná získaná křivka sama, sebe v žádném bodě (a tím se právě liší od Pcauovy křivky). Jelikož však prochází všemi 9 body množiny, jejíž obsah není menší než — , je také obsah 9 získané křivky přinejmenším roven — . Nyní lze již bez námahy sestrojit oblast mající nulový obsah. K tomu stačí spojit dva body A a B naší křivky libovolnou křivkou, například půlkružnicí. Takto vzniklá křivka T je hranicí jakési oblasti G. Jak velký obsah má tato oblast? Odpověď závisí na tom, zda do oblasti započítáme nebo nezapočítame její hranici — vždyť sama hranice má 9 obsah alespoň -yy. Je zřejmé, že obvyklý plošný obsah naše oblast nemá. O takových oblastech, nemajících obvyklý plošný obsah, se v matematice říká, že nejsou schopně kvadra~ tury. Nečekané příklady Po objevu Pcanovy křivky byli matematikové pravděpodobně přesvědčeni, že už znají všechny „nestvůry" ze-světa neobyčejných funkcí a křivek. Ale i pak je ještě nejednou geometrická intuice oklamala. Nakolik se vlastnosti Canto-i ových křivek mohou lišit od vlastností běžných křivek, o tom nejlépe svědčí tento příběh. Na počátku 20. století uveřejnil známý matematik Schoenflies řadu prací, pojednávajících o různých vlastnostech křivek, hranic oblastí atd. Schoenflies se při tom často odvolával na „geometrickou názornost". Avšak po několika letech, roku 1910, se objevil krátký článek (dvanáctistránkový) mladého holandského matematika Brouwera. Článek obsahoval několik překvapujících příkladů, z nichž plynulo, že část Schoenfliesových výsledků je nesprávná a ostatní výsledky, byť i správné, jsou dokázány nepřesně. Byl lo 172 173 Obr. 64 vskutku špatný žert, který Schoenrliesovi vyvedla „geometrická názornost"! Abychom ukázali jak se „zřejmá" tvrzení ukázala být nepravdivá, uvedeme některé Brouwerovy příklady (užijeme přitom některých zjednodušení, nalezených později). Brouwer sestrojil omezenou oblast, jejíž hranice (v běžném slova smyslu) není kontinuum. Vzal „láhev" a její hrdlo začal vytahovat a navíjet na kružnici (obr. 64). Dostal tak oblast, ohraničenou dvěma spirálami a „lahví". Tato hranice však není kontinuem; abychom dostali kontinuum, museli bychom ke spirálám přidat ještě kružnici, na kterou se navinují. Přidáme-li k hranici kružnici, vznikne nová obtíž: body hranice nelze spojit s body oblasti křivkami konečné délky. Oblasti a hranice Když už jsme začali hovořit o oblastech a hranicích, upřesníme si příslušné pojmy. Vždyť ukázřila-li se Jordánova definice křivky ne zcela vyhovující, je zapotřebí definovat znovu i oblast. Otevřenou množinou v rovině nazveme libovolnou množinu, která je sjednocením kruhů, z nichž jsou odstraněny jejich hranice. Například doplněk libovolného rovinného kontinua je otevřenou množinou v rovině. Všechny běžné rovinné oblasti (vnitřek kruhu, vnitřek čtverce, vnitřek trojúhelníka atd.) jsou otevřenými množinami v rovině. Kromě toho jsou souvislé: libovolné dva jejich body lze spojit lomenou čárou, aniž vyjdeme z oblasti. Tyto vlastnosti právě definují rovinnou oblast: Rovinnou oblasti se nazývá souvislá množina bodů roviny, která je sjednocením kruhů, z nichž jsou odstraněny jejich hraniční kružnice. Počet kruhů přitom může být libovolný. Dá se však dokázat, že libovolnou oblast lze sestavit ze spočetně mnoha kruhů. Kruh, z něhož je odstraněna jeho hraniční kružnice, se nazývá okolím svého středu a. Bod a v rovině se nazývá hraničním bodem oblasti G, jestliže se v libovolném okolí bodu a nacházejí jak body oblasti G, tak i body, které do oblasti G nepatří (obr. 65). Analogicky se definují pojmy otevřené množiny, oblasti a hraničního bodu oblasti v prostoru. Rozdíl spočívá pouze v tom, že místo kruhů s odstraněnou hranicí se berou koule s odstraněnou hraniční kulovou plochou. Kromě pojmu okolí bodu (v rovině nebo v prostoru) budeme ještě potřebovat pojem relativního okolí bodu. Obr. 65 174 175 Obr. 66 Obr. 67 Relativním okolím bodu a vzhledem k množině A nazveme množinu těch bodů z okolí bodu a, které patří do množiny A, tj. průnik množiny A a obyčejného okolí bodu a. Je-li A například křivka znázorněná na obr. 66 a je-li G okolí bodu a, pak relativním okolím bodu a vzhledem k množině A je oblouk křivky A mezi body b a c. Skládá-li se množina A z několika bodů, pak každý její bod má relativní okolí tvořené pouze tímto bodem. Takové okolí dostaneme takto: vezmeme obyčejné okolí bodu, které neobsahuje žádný z ostatních bodů množiny A a utvoříme průnik množiny A s tímto okolím (obr. 67). Velké zavlažovací práce Nyní si povíme o druhém ještě podivuhodnějším Brouwerově příkladu. Vezměme mapu nějakého státu a států s ním sousedících. Téměř každý bod hranice tohoto státu patří dvěma a jen dvěma státům: danému státu a jednomu ze sousedních. V každém takovém hraničním bodě tedy mohou Obr. 68 stát dva pohraničníci — jeden z této země a druhý ze sousední. Na mapě je také několik bodů, kde se setkávají hranice tří států (obr. 68). V těchto bodech již stojí tři pohraničníci. Takových bodů je však na mapě pouze konečně mnoho. A zdá se být zcela zřejmým, že takové body nemohou zaplnit celou hranicí státu, tj., že nemohou existovat tři oblasti (tři státy) mající tutéž společnou hranici. Jinými slovy, zdá se zřejmým, že nemohou v každém bodě hranice stát tři pohraničníci ze třech různých států. Ale Brouwer takové tři oblasti sestrojil. Abychom pochopili jeho příklad, představme si, že v oceánu je ostrov, na němž jsou dvě sladkovodní jezera, přičemž v jednom jezeře je voda studená a ve druhém teplá. Provedeme nyní následující zavlažovací práce. Během prvních 24 hodin vykopeme kanály vycházející jak z oceánu, tak i z obou jezer, ale tak aby zůstaly „slepé" (tj. tak, aby to byly pouze zálivy příslušných zdrojů vody), aby se nikde vzájemně nedotýkaly a aby vzdálenost každého bodu souše jak od mořské vody, tak i od vody každého z obou jezer byla menší než jeden kilometr (obr. 69). Během dalších dvanácti hodin prodloužíme tyto kanály tak, aby zůstaly jako dříve slepými, aby se vzájemně nedotýkaly a aby vzdálenost každého bodu souše od každého ze tří kanálů byla menší než půl kilometru. Kanály se ovšem 176 177 Obr. 69 budou muset zužovat. V dalších šesti hodinách prodloužíme kanály tak, aby každý bod souše byl od každého z kanálů vzdálen o méně než čtvrt kilometru atd. S každým novým krokem budou kanály stále klikatější a užší. Po dvou dnech takové práce bude celý ostrov protkán těmito třemi kanály a stane se z něho Cantorova křivka. V libovolném bodě této křivky si lze podle přání nabrat jak slanou vodu, tak teplou sladkou nebo studenou sladkou vodu. A tyto tři druhy vody se přitom nemohou smísit. Kdybychom místo oceánu a jezer vzali tři státy, dostali bychom onen podivuhodný obrázek, o němž jsme hovořili na počátku — v každém bodě hranice lze postavit tři pohraničníky — po jednom z každého státu. „Nezpracovatelné" téma Jíž jsme hovořili o tom, že Cantorova definice měla jeden nedostatek — vůbec se nehodila pro prostorové křivky. A co je to plocha v prostoru — to už vůbec nikdo nevěděl. Tuto úlohu — objasnit, co je to prostorová křivka a co je to plocha v prostoru — předložil v létě roku 1921 svému třiadvacetiletému žáku Pavlu SamuiloviČi Urysonovi důstojný profesor Moskevské university Dmitrij Fjodorovič Jegorov (jak je vidět, myslel více na matematickou důležitost problému než na jeho vhodnost pro disertační práci — úloha byla jednou z nejobtížnějších). Uryson brzy pochopil, že Jegorovova úloha je pouze zvláštním případem mnohem obecnějšího problému: co je to dimenze geometrického útvaru, proč je třeba říkat, že úsečka nebo kružnice jsou jednorozměrné (mají dimenzi 1), že čtverec je dvourozměrný (má dimenzi 2) a že krychle nebo koule jsou trojrozměrné (mají dimenzi 3) ? Na toto období Urysonova života vzpomíná jeho nejbližsí přítel, tehdy rovněž mladý aspirant, nyní akademik a čestný předseda Moskevské matematické společnosti Pavel Sergejevič Alexan-drov, těmito slovy: „... Celé léto roku 1921 proběhlo v usilovných pokusech najít „skutečnou" definici (dimenze), přičemž Pavel Sa-muilovič přecházel od jedné varianty ke druhé a neustále konstruoval příklady ukazující, proč je třeba tu či onu definici zavrhnout. Byly to dva měsíce skutečně plného soustředění. Konečně se jednoho srpnového rána Pavel Samuilovič probudil s hotovou, definitivní a dnes všem dobře známou induktivní definicí dimenze. . . Téhož jitra mi P. S. Uryson při koupání v Kflazmě vyložil svou definici dimenze a zároveň během tohoto rozhovoru, který se protáhl na několik hodin, nastínil plán celé teorie dimenze s řadou vět, které tehdy byly pouhými domněnkami, o nichž se nevědělo ani jak se do nich pustit a které pak byly dokázány jedna za druhou během následujících měsíců. Nikdy jsem už nebyl 178 179 účastníkem nebo svědkem matematického rozhovoru, který by se skládal z takového neustálého toku nových myšlenek jako onoho srpnového rána. Celý tehdy nastíněný program se plně uskutečnil během zimy 1921/22; na jaře roku 1922 byla celá teorie dimenze hotova..." Základní myšlenka Urysonovy definice dimenze spočívá v tomto: K oddělení části křivky od její zbývající části stačí obvykle dva body nebo několik bodů (na obr. 70 je část čtyřlisté růže obsahující střed oddělena od zbývající části osmi body). Avšak část plochy již nelze od zbývající Části oddělit několika body — k tomu je nutně zapotřebí celá křivka — ať zvolíme na ploše body jakkoli, vždy je můžeme obejít. Analogicky i část trojrozměrného prostoru lze oddělit od zbývající části prostoru plochou. To vše se muselo ještě zpřesnit: u některých křivek je k oddělení jejich částí zapotřebí nekonečně mnoha bodů; tyto body však nevytvářejí žádnou křivku. Urysonovi se podařilo přesně zformulovat všechny potřebné definice. V jistém smyslu jeho definice připomínaly definice Euklidovy (hranice křivky jsou body, hranice plochy jsou křivky). Ale tato podobnost je asi taková jako podobnost mezi řeckou trojveslicí a moderním křižníkem. Obr. 70 180 ■ Induktivní definice dimenze Řekneme si nyní přesněji, jak Uryson definuje dimenzi geometrického útvaru. Nejprve objasníme, co je množina nulové dimenze. Typickou množinou nulové dimenze je množina, skládající se z jediného bodu nebo z konečně mnoha bodů. Každý bod takové množiny má relativní okolí s prázdnou hranicí (vzpomeňme si na obr. 67). Právě tuto vlastnost přijal Uryson za definici množiny nulové dimenze. Přesněji zní tato definice takto: Množina F má nulovou dimenzi, jestliže její libovolný bod má libovolné malé relativní (vzhledem k F) okolí s prázdnou hranicí. Má-li množina F nulovou dimenzi, dá se to ve většině případů zjistit tím, že se pro každý bod sestrojí libovolně malé obyčejné okolí, jehož hranice neobsahuje žádný bod množiny F (v takovém případě je jistě hranice relativního okolí prázdná). V trojrozměrném prostoru však existují množiny nulové dimenze, pro jejichž body taková obyčejná okolí sestrojit nelze. Slova „libovolně malé" jsou do této definice přidána z tohoto důvodu: Kdyby tam nebyla, mohli bychom například pro každý čtverec najít tak velký kruh, že by se celý čtverec nacházel uvnitř tohoto kruhu, takže ani jeden bod čtverce by se nedostal na hranici kruhu. A bez oněch slov v definici by měl čtverec dimenzi nula a nikoli dimenzi dvě, jak tomu ve skutečnosti má být. Nejen konečné, ale i mnohé nekonečné množiny mají nulovou dimenzi. Vezměme například množinu F, skládající se z těch bodů reálné osy, které mají souřadnice 0, 1, —, 4-, . Libovolný od nuly různý bod této množiny o n má zřejmě libovolně malé relativní okolí vzhledem k F, jehož hranice neobsahuje žádný bod této množiny. Jedině u bodu nula mohou vzniknout pochybnosti. Vezmeme-li 181 vsak kružnicí o polomeni « .se Ntíedein v bod ŕ 0, kde a jc iracionální číslo, pak žádný z bodu naší množiny nebude ležet na této kružnici. Nulovou dimenzi má i množina Q všech bodů přímky s racionálními souřadnicemi. Abychom se o tom přesvědčili, stačí za okolí bodu a z množiny Q vzít otevřený interval se středem v tomto bodě a mající iracionální délku. Nulovou dimenzi má také Cantorova množina (viz str. 137), množina, která zbude ze čtverce po odstranění křížů (viz str. 164) a mnoho dalších množin. Analogicky lze konstruovat množiny nulové dimenze nejen v rovině, ale i v prostoru (přitom se ovsem okolí bodu chápe jako okolí v prostoru). Poté, když Uryson definoval množiny nulové dimenze, přesel k jedno rozměrným množinám, tj. ke křivkám. V tomto případě již neexistují malinká okolí s prázdnou hranicí (viz obr. 70). Avšak u běžných křivek protíná okolí jejího bodu samu křivku pouze v několika bodech. A množina skládající se z konečného počtu bodů má nulovou dimenzi. Uryson tuto poznámku zobecnil a jednorozměrné množiny definoval takto: Množina F má dimenzi jedna, jestliže nemá nulovou dimenzi a jestliže každý její bod má libovolně malé relativní (vzhledem k F) okolí, jehož hranice má nulovou dimenzi. Ukázalo se, že nejen běžné křivky (kružnice, úsečky, elipsy atd.) mají podle Uiysonovy definice dimenzi jedna, ale že tutéž dimenzi mají i všechny Cantorovy křivky. Tím bylo umožněno definovat nejen pojem rovinné křivky, ale i prostorové křivky: Křivkou se nazývá kontinuum dimenze jedna. A nyní již bylo zřejmé, jak definovat plochy, trojrozměrná tělesa a obecně množiny libovolné dimenze. Protože Uryson definuje nejdříve dimenzi 0, potom pomocí této definice podává definici dimenze 1 a pak analogicky definici dimenze 2 atd., nazývá se obecná Urysonova definice dimenze definicí induktivní. Práci je třeba otisknout, a ne recenzovat! Uryson dokázal velmi mnoho zajímavých včt souvisejících s jeho definicí dimenze. Avšak nejhlavnější větu ne a ne dokázat: stále se nedařilo dokázat, že ta nej obyčejnější krychle má dimenzi 3. Po dlouhém úsilí našel pozoruhodné východisko tím, že vymyslel novou definici dimenze. Nevyložíme tuto definici podrobně, ale objasníme ji na nejjednoduš-ších útvarech. Vezmeme-li úsečku nebo kružnici, můžeme je rozdělit na libovolně malé části tak, že žádný jejich bod nepatří do více než dvou částí (obr. 71). Přitom je zapotřebí brát části i s jejich hranicemi (tj. s krajními body). Čtverec již tak rozdělit uejde. Na první pohled se zdá, že při dělení čtverce na části budou vždy existovat body patřící všem čtyřem částem (obr. 72a). Budeme-li však části čtverce skládat podobně jako cihly na stavbě, podaří se dosáhnout toho, že každý bod bude patřit nejvýše do tří různých částí (obr. 72b). Analogicky i krychli lze rozložit na malinké kvádry tak, že každý bod patří nejvýše do čtyř kvádrů. Právě tuto vlastnost přijal Uryson za novou definici dimenze: O útvaru řekneme, že má dimenzi n, jestliže je možné jej rozdělit na libovolně malé uzavřené části tak, že žádný bod nepatří do n + 2 různých částí, ale při libovolném dostatečně jemném rozdělení existují body patřící do n + 1 různých částí. Použitím této definice dimenze Uryson dokázal, že čtverec má dimenzi 2, že krychle má dimenzi 3 atd. A pak dokázal, že tato nová definice je ekvivalentní původní definici. Urysonova teorie dimenze udělala na celý matematický svět hluboký dojem. Výrazně o tom svědčí tato epizoda: Při svém zahraničním pobytu přednášel Uryson o svých výsledcích v Gôttingen. Až do příchodu nacistů k moci byla gôttingenská universita jedním ze základních matematických středisek. Po přednášce řekl vedoucí gottingenské matematické školy, slavný David Hilbert, že tyto výsledky 182 183 řejnil Uryson několik desítek vědeckých prací). Tragická událost přervala jeho život — 17. srpna 1924, když se koupal za bouře v Biskajském zálivu, Uryson utonul. Uryson zanechal velké množství konceptů a náčrtů neuverejnených výsledků. Jeho nejbližší přítel (a spoluautor mnoha prací) Pavel Sergejevič Alexandrov přerušil na nějakou dobu své vlastní výzkumy, připravil Urysonovy práce k uveřejnění a učinil tím Urysonovy výsledky majetkem všech matematiků. Dnes je Urysonova teorie dimenze důležitým oddílem matematiky. Obr. 72ab je třeba otisknout v časopise „Mathematische Annaíen" — jednom z hlavních matematických časopisů té doby. Po několika měsících přednášel Uryson opět v Gôttingen a Hil-bert se zeptal redaktora časopisu „Mathematische Annalen" Richarda Couranta, zda je již Urysonova práce otištěna. Courant odpověděl, že práce je v recenzním řízení. „Ale vždyť jsem jasně řekl, že práci je třeba otisknout, a ne recenzovat!" zvolal Hilbert. Po tak nedvojsmyslném vyjádření byla práce neprodleně otištěna. Po tři roky trvala Urysonova vědecká činnost, nemající co do hloubky a intenzity obdoby (během této doby uve- 184 183 z A věr příklady a cvičení Nekonečné množiny se vyznačují neobyčejnými vlastnostmi. V průběhu studia těchto vlastností museli matematici stále více a více vybrušovat své úvahy, stále podrobněji analyzovat své důkazy a během tohoto procesu vzniklo nové důležité odvětví matematiky ~ matematická logika. Po dlouhou dobu převládalo míněni, že teorie množin a matematická logika jsou abstraktní vědy nemající žádné praktické použiti. Když však byly vytvořeny samočinné počítače, ukázalo se, že otázky programováni na těchto počítačích úzce souvisí s metodami matematické logiky a mnohé výzkumy, zdánlivě odtržené od života, nabyly prvořadého praktického významu (tak tomu bývá v dějinách vědy často — ještě na počátku třicátých let našeho století bylo možné se dočíst: ,,Uran nemá praktického významu"). V současné době je teorie množin jedním ze základů, na nichž spočívají takové oblasti matematiky, jako je funkcionální analýza, topologie, obecná algebra atd. Také sama teorie množin se dále vyvíjí a její výsledky souvisí se samými základy matematiky. Ukázalo se například, že „naivní" přístup k pojmu množiny, o němž jsme v této knížce hovořili, v mnoha případech nestačí a že velmi plodný je axiomatický přístup. Tyto otázky však daleko překračují zamýšlený rámec této knihy. 1. Množina A se skládá z celých čísel dělitelných čtyřmi, množina B se skládá z celých čísel dělitelných deseti a množina C se skládá z celých čísel dělitelných 75. Z jakých čísel se skládá množina A n B n C? 2. V knihovně se nacházejí knihy z různých oblastí vědy a umění. Označme písmenem A množinu všech knih v knihovně a písmenem B množinu všech matematických knih (nejen z dané knihovny). Charakterizujte množinu A \ B. 3. Užitím pravidel algebry množin zjednodušte výraz [(A u B u C) n (A u B)] \ {[A u (B \ C)] n A}. 4. Množina A se skládá z bodů M (x, ý) roviny, pro které platí \x\ -SĹ 4, \y\ ^ 4, množina B se skládá z bodů roviny, pro něž platí x2 -\- y2 á 25 a množina C z bodů roviny, pro než platí x > 0. Znázorněte množinu (A n B) \ C. 5. Dokažte rovnosti a) (A\B)\C = (A\C)\(B\C), b) (A\ B) u (B\C) u (C\ A) u (A n B n C) = -AuBuC. 6. Dokažte, že platí a) (AnQu(BnD)c (A u B) n (C u D), b) (B\C)\(B\A)c A\C, c) A\Cc(A\B)u(B\C). 7. Plyne z A \ B — C, že A - B u C? 8. Plyne zA=BuC,žeA\B = C? 9. Která z množin je Částí druhé a) A\(BuC) a (A\B)\C, b) Au (B \ C) a (AuB)\C, c) (A\ B) U C a Au(C\B)? 10. Užitím vztahů 1) — 26) ze str. 52 a 53 zjednodušte výraz [(X\Y)'n (X'u Y')]'. 11. Nalezněte vzájemně jednoznačné přiřazení mezi intervalem 0 < x < 1 a celou číselnou osou, 186 187 12. Nalezněte vzájemně jednoznačné přiřazení mezi číselnými množinami 0 ^ x < 1 a 0 s i < oo. 13*. Nalezněte vzájemně jednoznačné přiřazení mezi intervalem 0 x 1 a intervalem 0 < x < 1. 14. Sestrojte vzájemně jednoznačné zobrazení intervalu 0 ^ x 1 na celou číselnou osu. 15*. Sestrojte vzájemně jednoznačné přiřazení me2Í množinou všech čísel intervalu 0 ^ x ^ 1 a množinou všech iracionálních čísel téhož intervalu. 16*. Zobrazte vzájemně jednoznačně polopřímku 0 á ^ í < oo na celou číselnou osu. 17. Nalezněte vzájemně jednoznačné přiřazení mezi body roviny a body kulové plochy, ze které je jeden bod odstraněn. 18*. Nalezněte vzájemně jednoznačné přiřazení mezi body roviny a kulové plochy. 19. Nalezněte vzájemně jednoznačné přiřazení mezi body otevřeného čtverce 0<# nice? 188 25. Jakou mohutnost má množina všech rovinných mnohoúhelníků, jejichž všechny vrcholy mají racionální souřadnice ? 26. Jakou mohutnost má množina všech konvexních mnohostěnů, jejichž všechny vrcholy mají racionální souřadnice? 27. Jakou mohutnost má množina všech racionálních funkcí s celočíselnými koeficienty v čitateli i jmenovateli? 28. Jakou mohutnost má množina všech mnohočlenů s racionálními koeficienty? 29. Jakou mohutnost má množina všech posloupností přirozených čísel? 30. Jakou mohutnost má množina všech konečných posloupností přirozených čísel? 31. Jakou mohutnost má množina všech rostoucích posloupností přirozených čísel? 32. Jakou mohutnost má množina všech mnohočlenů třetího stupně s reálnými koeficienty? 33. Jakou mohutnost má množina všech mnohočlenů s reálnými koeficienty? 34. Je možné sestrojit v rovině množinu vzájemně se ne-protínajících kružnic mohutnosti kontinua? 35. Je možné sestrojit v rovině množinu vzájemně se ne-protínajících písmen F mohutnosti kontinua? a písmen N? 36. Je možné sestrojit v rovině množinu mohutnosti kontinua, skládající se ze vzájemně se neprotínajících písmen A? 37. Jaká je mohutnost množiny všech reálných čísel, v jejichž desetinném rozvoji se vyskytuje číslice 7? 38. Jaká je mohutnost množiny všech reálných čísel, v jejichž desetinném rozvoji se nevyskytuje číslice 5? 39. Jaká je mohutnost množiny všech reálných čísel větších neč nula a menších než 1, v jejichž desetinném rozvoji 189 stojí na druhém desetinném místě číslice G a jinde se již tato číslice nevyskytuje? 40. Dokažte, že platí-li A \ B ~ B \ A, pak A ~ B (A ^ B znamená, že množiny A a B mají stejnou mohutnost) . 41. Dokažte, že je-li A B a A ~ A U C, je také B ^ B u C. 42. Zjistěte, zda platí tvrzení: „Je-li A ~ C, B ~ D, přičemž A = B, C => D, pak A \ B ~ C \ D". 43. Zjistěte, zda platí tvrzení: „Je-li A ~ B, C d A, C => B, pak C\ A ~ C\B". 44. Očíslujme všechna racionální čísla intervalu <0, 1>. Dostaneme tak posloupnost bodů ru r2, . . . , rn, . . . Sestrojme okolí bodu ri o poloměru —, okolí bodu r2 o poloměru okolí bodu rj o poloměru ^ atd. Obsahuje sjednocení M všech těchto okolí celý interval «(0, 1>? 45. Odhadněte délku množiny M z úlohy 44. 46*. Množinu všech posloupností reálných čísel (xíy ... ... xn, . . .), pro něž platí 0 á xB í 1, nazveme spočetně-rozměrnou krychlí. Dokažte, že množina všech bodů spočet-něřozměrné krychle má mohutnost kontinua. 47*. Sestrojte spojitou funkci, jež má na každém intervalu nekonečně mnoho maxim a minim. 48*. Množina M se skládá z těch bodů intervalu <0, 1>, které lze vyjádřit ve tvaru desetinných zlomků, v nichž se nevyskytují číslice 3 a 8. Popište, jak lze tuto množinu získat z intervalu <0, 1> postupným odstraňováním otevřených intervalů. 49. Proveďte totéž s body, v jejichž desetinném rozvoji se nevýSíkýfuji kombinace 38 (ve zde uvedeném pořadí). 50J*r B je hromadným bodem množiny všech racionálních čísel z intervalu <0, 1>. 52. Existují hromadné body množiny všech celých čísel? 53. Dokažte, že doplněk libovolné otevřené množiny v rovině obsahuje všechny své hromadné body. 54. Dokažte, že obsahuj e-li množina všechny své hromadné body, je její doplněk otevřenou množinou. 55. Uveďte příklady takových množin v rovině, které a) nemají hraniční body, b) mají hraniční body, ale žádný z nich do množiny nepatří, c) obsahují všechny své hraniční body, d) se skládají pouze z hraničních bodů, e) obsahují pouze část svých hraničních bodů. 56. Uveďte příklady množin v prostoru, které mají vlastnosti a) — d) z úlohy 55. 190 191 Obsah Předmluva 5 KAPITOLA 1 Množiny a operace s množinami 9 Co je množina 9 Jak se určují množiny 11 Holit se či neholit? 16 Trázdná množina 20 Teorie množin a školská matematika 22 Podmnožiny 27 Teorie množin a kombinatorika ' 30 Univerzální množina 32 Průnik množin 33 Sjednocení množin 38 Rozklady množin 43 Aritmetika zbytkových tříd 44 Rozdíl množin 46 Algebra množin 48 Planeta bájí 54 Booleovy algebry 59 KAPITOLA 2 Ve světě zázraků nekonečna 65 Tajemství nekonečna 65 Neobyčejný hotel aneb tisícíprvá cesta Ijona Tichého 68 Autorova poznámka 76 Jak porovnávat množiny 76 Na tanečním parketu 78 Ke každému přílivu jeden odliv 79 Je část rovna celku? 80 Spočetné množiny 83 Algebraická Čísla 86 Osmičky v rovině 89 Různě velké množiny 92 Spočetné množiny jsou najmenší z nekonečných množin 94 Nespočetné množiny 95 Nesepsaný seznaní 96 Nrspočclnořit konliim;i 99 Existence transcendentních čísel 100 Na dlouhé i na krátké úsečce je stejně mnoho bodů 102 Úsečka a čtverec 103 Jedna úloha nějak nevychází 107 Existuje množina největsí mohutnosti? 108 Aritmetika nekonečna 110 Mocniny s nekonečným mocnitelem 113 Po pořádku... 115 Dobře uspořádané množiny 116 Nepochopitelný axióm 119 Z jednoho jablka dvě 121 Konečné rozklady 121 KAPITOLA 3 Podivuhodné funkce a křivky aneb procházky sbírkou matematických kuriozit 127 Jak se rozvíjel pojem funkce 127 Džin prchá z láhve 131 Mokré body 133 Čertovo schodiště 137 Ostnatá čára 140 Uzavřená křivka nekonečné délky 144 Matematický koberec 147 Euklides nepomáhá 150 Jsou zapotřebí přesné definice? 351 Křivka je stopa pohybujícího se bodu 153 Věta je zřejmá, důkaz nikoli 156 Křivka prochází všemi body Čtverce 158 Vše bylo v troskách 160 Jak se dělají sochy 162 Kontinua 164 Cantorovy křivky 166 Je obsah křivky vždy nulový? 167 Oblasti bez plošného obsahu 171 Nečekané příklady 173 Oblasti a hranice 174 Velké zavlažovací práce 176 „Nezpracovatelné'' téma 179 192 193 knižnice všeobecného vzdělání #ft ada maják Induktivní definice diinenžé lol Práci je třeba otisknout, a ne recenzoval! 1ÍÍ3 závěr 186 Vyprávění o množinách Příklady a cvičení 187 naum Jakovlevič vilenkin Z 2. upraveného a doplněného ruského vydání Rasskazy o mno-žestvach, vydaného nakladatelstvím Nauka v Moskvě roku 1969, přeložil dr. Milan Vlach Obálku navrhl a graficky upravil Jaroslav Šváb. Vydání 1. — Praha 1973 — Počet stran 196. Odpovědný redaktor: Pavel Vít. Výtvarná redaktorka: Milada Slaninová. Technická redaktorka: Hana Převrátilová. Vytiskl TISK, knižní výroba, n. p., Brno, závod 3 - Český Těšín. 8,22 AA (7,58 AA textu, 0,64 AA grafiky) — 8,74 V A. Náklad 3 000 výtisků. Tematická skupina a podskupina 03/2. Cena vázaného výtisku Kčs 12,50. 510/21,855 Vydalo Státní pedagogické nakladatelství, n. p., v Praze jako svou publikaci č. 35-19-11. i I 14-604-73 Kčs 12,50