Didaktika matematiky II.

   1. Rovnice, nerovnice, úpravy výrazů

     * Učebnice

     * Sbírky příkladů

     * Materiály

     * ŠVP

          * Úprava výrazů – Množiny – Výroková logika – Teorie čísel –
            Rovnice

          * Množiny – Výroková logika – Teorie čísel – Úprava výrazů –
            Rovnice

   Úprava výrazů

     * Problém motivace

     * Číselné výrazy

     * Hodnota výrazu

     * Rozklad na součin (odvození vzorců)

     * Vytýkání (= distributivní zákon)

     * Polynomy

     * Lomené výrazy

     * Výrazy s odmocninami

     * Podmínky

     * Poprvé substituce

     * Různé proměnné

     * Odkud brát příklady k procvičení

   Množiny

     * Motivace (Hilbertův hotel, Paradox holiče, Gödel)

     * Pohled do historie, krize matematiky

     * Pojem množina – výstavba matematiky – odkaz na geometrii, vlastní
       výstavba matematiky

     * Operace s množinami

     * Důkazy rovností množin (Vennovy diagramy, Množinové inkluze???)

     * Absolutní hodnota a intervaly (zavedení absolutní hodnoty –
       algebraicky, geometricky)

     * Kartézský součin množin???

     * Neustálé odkazy na množiny

   Výroková logika

     * Pojem výrok – působivost

     * Složený výrok, logické spojky, negace výroku

     * Výroková proměnná

     * Kvantifikátory

     * Důkazy (přímý, nepřímý, sporem, indukce)

   Teorie čísel

     * Motivace – RSA, Diffie – Hellman, otevřené problémy (prvočíselná
       dvojčata, dokonalá čísla, Fermatova prvočísla – konstruovatelnost)

     * Dělitelnost – kritéria (důkazy)

     * Prvočísla

     * Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek (prvočísla x
       euklidův algoritmus)

   Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

     * Rozdíl mezi rovností a rovnicí

     * Ekvivalentní úpravy

     * Stanovení podmínek a provedení zkoušky

     * Metody řešení (úpravy výrazů, substituce...)

     * Výskyt absolutní hodnoty, odmocniny, parametru

     * Nerovnice – nejčastější chyby, neekvivalentní úpravy

     * Lineární rovnice

     * Lineární nerovnice

     * Kvadratické rovnice

          * Vztahy mezi kořeny

     * Kvadratické nerovnice (součinový tvar x graf)

     * Rovnice s neznámou ve jmenovateli

     * Nerovnice v podílovém tvaru

     * Rovnice s absolutní hodnotou

     * Nerovnice s absolutní hodnotou

     * Rovnice s parametrem

     * Nerovnice s parametrem

     * Rovnice s odmocninou

     * Nerovnice s odmocninou

     * Soustavy (lineární – metody, nelineární)

     * Slovní úlohy

    2. Funkce

   Motivace

     * PC, křivky, finanční matematika

   Zavedení pojmu funkce

     * Předpis

     * Množina dvojic

     * Relace

   Vlastnosti funkcí (odkaz na diferenciální počet)

     * Definiční obor a obor hodnot

     * Ohraničenost

     * Monotónie (význam pro řešení rovnic)

     * Extrémy

     * Periodicita

     * Parita (definice, geometrický význam)

     * Prosté funkce a funkce inverzní

     * Skládání funkcí

     * Grafy funkcí

     * Příklady funkcí mající požadované vlastnosti

     * Otázka kreslení grafů funkcí

     * Posun a změna měřítka souřadného systému

     * Průsečíky se souřadnicovými osami

   Lineární funkce

     * Odkaz na rovnice

     * Absolutní hodnota

   Kvadratická funkce

     * Spojitost s nerovnicemi

     * Absolutní hodnoty

   Mocninné funkce

   Polynomiální funkce

     * Polynomiální rovnice (Racionální kořen, Násobné kořeny)

     * Reciproké rovnice

   Lineární lomené funkce

     * Nepřímá úměrnost

     * Asymptoty (Diferenciální počet, Kuželosečky)

   Racionální lomené funkce

        * Rozklad na parciální zlomky (Integrální počet)

   Exponenciální funkce

     * Umocnění na iracionální exponent

     * Grafy funkcí – různé základy, nejedná se o větev hyperboly

     * Prostá funkce

     * Definice eulerova čísla

     * Rovnice (využíváme toho, že je prostá) – úprava, vytýkání, substituce,
       různé základy, trik

     * Nerovnice (graf)

     * Soustavy, slovní úlohy

   Logaritmické funkce

     * Zavedení pojmu logaritmus čísla

     * Odvození vztahů

     * Úpravy výrazů

     * Grafy funkcí

     * Přirozený, desítkový, obecný logaritmus

     * Logaritmické rovnice a nerovnice – podmínky

          * úprava podle vzorců

          * substituce

          * logaritmování – zpět k exponenciálním (ekvivalentní úprava?)

          * různé základy

          * neznámá v základu

          * soustavy

   Goniometrické funkce

     * Periodické funkce

     * Oblouková míra

     * Otázka cyklometrických funkcí

     * Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku

     * Zobecnění pro libovolný úhel (jednotková kružnice)

     * Odvození významných hodnot

     * Grafy funkcí

     * Goniometrické vzorce – co mají studenti umět?

          * Důkazy dalších vztahů

     * Goniometrické rovnice

          * Substituce

          * Převod na jednu goniometrickou funkci

          * Úpravy dle vzorců

     * Goniometrické funkce v trojúhelníku

          * Sinová věta (poloměr kružnice opsané)

          * Kosinová věta

          * Prostá funkce!

          * Obsahy trojúhelníků (Heronův vzorec a další vztahy)

          * Slovní úlohy

   Témata pro přípravy

   I. blok

    1. Lineární lomené funkce Míša

    2. Logaritmické rovnice Pepa

    3. Sinová a kosinová věta Pavlína

    4. Základní vlastnosti funkcí

    5. Kvadratické nerovnice Ondra

    6. Iracionální rovnice

    7. Slovní úlohy vedoucí na řešení soustavy rovnic Klára

   II. blok

    1. Konstrukce čtyřúhelníků Ondra

    2. Obvodové a středové úhly Klára

    3. Úlohy na posunutí Míša

    4. Stejnolehlost Pepa

    5. Průsečík přímky s rovinou Pavlína

    6. Rovina kolmá k přímce

    7. Odchylky