1 Funkce dvou a tří proměnných
1.1 Pojem funkce více proměnných
Definice
Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R2
(tj. z roviny)
přiřazuje jediné reálné číslo.
Značení: z = f(x, y),
D(f) ⊂ R2
- definiční obor funkce funkce f,
H(f) ⊂ R - obor funčních hodnot funkce f
Příklady
Objem kvádru V = a2
c
vzdálenost bodu v rovině od počátku soustavy souřadnic d(x, y) =
√
x2 + y2.
Definice
Funkce tří proměnných je předpis, který každému bodu z R3
(tj. z prostoru)
přiřazuje jediné reálné číslo.
Značení: f(x, y, z)
Příklady
Objem hranolu V = abc
vzdálenost bodu v prostoru od počátku soustavy souřadnic d(x, y) =
√
x2 + y2 + y2.
Příklad
Je dána funkce f(x, y) =
√
x2y + y + 1. Vypočtěte f(1, 2), f(−5, 1).
Řešení
f(1, 2) =
√
12 · 2 + 2 + 1 =
√
5,
f(−5, 1) = (−5)2 · 1 + 1 + 1 =
√
27.
1.2 Parciální derivace funkce
Při výpočtu parciální derivace funkce f(x, y) podle x považujeme proměnnou
y za konstantu a stanovíme derivaci podle vzorců a pravidel pro derivování
funkce jedné proměnné. Analogicky při výpočtu parciální derivace funkce
f(x, y) podle y považujeme proměnnou x za konstantu.
Značení:
parciální derivace funkce f podle x: ∂f
∂x
, fx
parciální derivace funkce f podle x v bodě (a, b): ∂f(a,b)
∂x
, fx (a, b)
parciální derivace funkce f podle y: ∂f
∂y
, fy
parciální derivace funkce f podle y v bodě (a, b): ∂f(a,b)
∂x
, fx(a, b)
1
Parciální derivace funkce f podle x udává změnu funkce f ve směru osy
x, parciální derivace funkce f podle y udává změnu funkce f ve směru osy y.
Příklady
Vypočtěte parciální derivace funkce f v bodě (a, b) podle obou proměnných:
1. f(x, y) = 3x2
y3
+ 5x − 6y + 4, (a, b) = (−1, 6)
2. f(x, y) =
x
y
+
y
x
, (a, b) = (1, 2)
3. f(x, y) =
x + y
x − y
, (a, b) = (−3, 5)
Řešení
1.
∂f
∂x
= 6xy3
+ 5
∂f(−1, 6)
∂x
= 6 · (−1) · 63
+ 5 = 221
∂f
∂y
= 9x2
y2
− 6
∂f(−1, 6)
∂y
= 9 · (−1)2
· 62
− 6 = 30
2.
∂f
∂x
=
1
y
−
y
x2
,
∂f(1, 2)
∂x
=
1
2
−
2
1
= −
3
2
,
∂f
∂y
= −
x
y2
+
1
x
,
∂f
∂y(1, 2)
= −
1
4
+
1
1
=
3
4
3.
∂f
∂x
=
1 · (x − y) − (x + y) · 1
(x − y)2
=
−2y
(x − y)2
∂f(−3, 5)
∂x
=
−10
(−3 − 5)2
= −
10
64
= −
5
32
∂f
∂y
=
1 · (x − y) − (x + y) · (−1)
(x − y)2
=
2x
(x − y)2
∂f(−3, 5)
∂x
=
−6
(−3 − 5)2
=
6
64
=
3
32
Příklad
Ukažte, že funkce u(x, y) = y
x
vyhovuje parciální diferenciální rovnici
x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
= 0 .
Řešení
∂u
∂x
= −
y
x2
,
∂u
∂y
=
1
x
2
Dosadíme do dané rovnice
L = x · (−
y
x2
) + y ·
1
x
= −
y
x
+
y
x
= 0, P = 0 ⇒ L = P
1.3 Derivace ve směru
Derivace funkce f v bodě (a, b) ve směru daném vektorem s = (cos α, sin α)
udává změnu funkce f ve směru vektoru s.
Značení:
∂f(a, b)
∂s
Výpočet:
∂f(a, b)
∂s
=
∂f(a, b)
∂x
cos α +
∂f(a, b)
∂y
sin α ,
kde α je úhel, který svírá vektor s s kladnou poloosou x.
1.4 Gradient funkce
Gradient funkce f je vektor (fx, fy).
Značí se grad f.
Gradient funkce f v bodě (a, b) udává směr největšího růstu funkce f v
bodě (a, b).
Výpočet derivace ve směru pomocí gradientu:
∂f(a, b)
∂s
= grad f(a, b) · so ,
kde so je jednotkový vektor ve směru vektoru s.
Příklad
Je dána funkce f(x, y) = x3
− y2
+ 2xy.
1. Vypočtěte grad f v bodě [2, 3].
2. Vypočtěte derivaci funkce f v bodě [2, 3] ve směru vektoru s = (−3, 2).
Řešení
1. grad f = (3x2
+ 2y, −2y + 2x) ⇒ grad f(2, 3) = (3 · 22
+ 2 · 3, −2 ·
3 + 2 · 2) = (18, −2)
2.
∂f(2, 3)
∂s
= (18, −2) · (−
3
√
13
,
2
√
13
) = −
54
√
13
−
4
√
13
=
= −
58
√
13
= −
58
√
13
13
3
1.5 Derivace vyšších řádů
Pro funkci dvou proměnných jsou parciální derivace fx a fy funkcemi dvou
proměnných a mohou tedy mít parciální derivace. To jsou potom druhé parciální
derivace funkce f.
Značení:
∂2
f
∂x2
nebo fxx
∂2
f
∂y2
nebo fyy .
”Smíšená” parciální derivace
∂fx
∂y
se zapisuje jako
∂2
f
∂y∂x
, nebo fxy
a parciální derivace
∂fy
∂x
jako
∂2
f
∂x∂y
, nebo fyx .
Na pořadí proměnných v poznačení smíšené parciální derivace příliš nezáleží,
protože obvykle se ukazuje, že fxy a fyx si jsou rovny. Platí totiž:
Existuje-li fy i fxy a je-li fxy spojitá funkce, pak existuje i fyx a platí
fyx = fxy.
Totéž platí, zaměníme-li x a y.
Příklad
Najděte první a druhé parciální derivace funkce f(x) = x2
y + y2
sin x.
Řešení
fx = 2xy + y2
cos x fxx = 2y − y2
sin x fxy = 2x + 2y cos x
fy = x2
+ 2y sin x fyy = 2 sin x fyx = 2x + 2y cos x
Analogicky se definují derivace vyšších řádů. např. parciální derivace
∂fxy
∂y
znamená třetí parciální derivaci funkce f: fxyy.
Příklad
Pro funkci z předchozího příkladu vypočtěte všechny třetí parciální derivace.
4
Řešení
fxxx = −y2
sin x fxxy = 2 − 2y sin x
fxyx = 2 − 2y sin x fxyy = 2 cos x
fyxx = −2 − 2y sin x fyxy = 2 cos x
fyyx = 2 cos x fyyy = 0
1.6 Extrémy funkce dvou proměnných
Řekneme, že funkce f(x, y) má v bodě (x0, y0) lokální maximum (resp. lokální
minimum), nabývá-li v nějakém okolí bodu bodu (x0, y0) maximální
(resp. minimální) hodnoty v (x0, y0). Analogicky jako pro funkci jedné reálné
proměnné platí (nutná podmínka existence extrému):
Má-li funkce f lokální maximum nebo lokální minimum v bodě (x0, y0),
potom je
fx(x0, y0) = 0 a fy(x0, y0) = 0 .
Bod (x0, y0), v němž jsou první parciální derivace nulové, se nazývá stacionární
bod.
Může se stát, že derivace fx a fy jsou v bodě (x0, y0) nulové a přesto nemá
funkce f v tomto bodě lokální maximum ani minimum. Z tohoto hlediska je
zajímavý případ tzv. sedlového bodu, tj. bodu, ve kterém má funkce f v
jednom směru lokální maximum a v druhém směru lokální minimum.
Nechť funkce f m8 spojité druhé parciální derivace. Označme (x0, y0)
stacionární bod funkce f. Specifikace extrému se provádí pomocí druhých
parciálních derivací. Označme D = fxxfyy − f2
xy . Platí
1. Je-li D(x0, y0) > 0, má funkce f v bodě (x0, y0) extrém.
(a) Je-li fxx(x0, y0) > 0, má funkce f v bodě (x0, y0) lokální minimum.
(b) Je-li fxx(x0, y0) < 0, má funkce f v bodě (x0, y0) lokální maximum.
2. Je-li D(x0, y0) < 0, nemá funkce f v bodě (x0, y0) extrém, má v bodě
(x0, y0) sedlový bod.
3. Je-li D(x0, y0) = 0, nedává tato věta žádnou informaci o extrému funkce
f v bodě (x0, y0).
5