Sada příkladů 2/10
Funkce více proměnných
Parciální derivace
V následujících příkladech zjistěte, kde jsou funkce definované, spojité, kde
mají parciální derivace 1. řádu a kde jsou spojité 1. parciální derivace
1. f(x, y) = ln(x + y)
2. f(x, y, z) = cos x cosh y
3. f(x, y) = |x||y|
4. f(x, y) = 3
√
xy
5. f(x, y) = 5
√
x5 + y5
6. f(x, y, x) = x
y
z .
7. Nechť α ∈ R. Pro jaké hodnoty α bude mít funkce
f(x, y) = (x2
+ y2
)α
sin
1
x2 + y2
parciální derivace 1. řádu v bodě (0, 0)?
Spočtěte parciální derivace 2. řádu a zjistěte, zda jsou záměnné
8. f(x, y) = x4
+ y4
− 4x2
y2
9. f(x, y) = x
y2
10. f(x, y) = x sin(x + y)
11. f(x, y) = tg x2
y
12. f(x, y, z) = xyz
13. f(x, y) = arctg x+y
1−xy
1
14. f(x, y) =
{
xyx2−y2
x2+y2 (x, y) ̸= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).
(Uvažujte bod (0,0).)
15. Spočtěte derivaci funkce x2
− y2
v bodě (1,1) ve směru jednotkového
vektoru, který svírá s kladným směrem osy x úhel π
3
.
16. Najděte jednotkový vektor, v jehož směru má derivace x2
− xy + y2
v
bodě (1,1) největší, nejmenší a nulovou hodnotu.
17. Spočtěte ∂F
∂u
, kde F = f(g), f(x, y, z) je daná funkce a g1(u, v) =
(u2
− 1)/2v, g2(u, v) = (u + v)/(u − v), g3(u, v) = u2
− v2
.
18. Nechť f(s, t) je hladká nezáporná funkce na R2
. Vyjádřete parciální
derivace 1. řádu funkce g(x, y) = f(x, y)f(y,x)
pomocí hodnot f a jejich
parciálních derivací.
2