Sbírka úloh ze SHODNÝCH ZOBRAZENI pro studium učitelství 1. stupně základní školy Leni Lvovská Říjen 2019 Inspirace je stav, v němž duše živěji vnímá dojmy, chápe a třídí představy, a tedy je i lépe objasňuje. Je stejně nutná v geometrii jako v poezii. Alexander Sergejevič Puškin (1799 - 1837)[11] Úvod Sbírka úloh vznikla jako podpora k výuce geometrie pro studium učitelství prvního stupně základní školy. Tato sbírka nabízí studentům soubor řešených příkladů i množství dalších cvičení specificky vybraných pro téma Shodná zobrazeni, kde v podobném rozsahu studijní materiály chybí a studenti jsou nuceni vybírat si úlohy z několika různých zdrojů. V rámci úloh je předloženo i množství didaktických nápadů vedoucích k podpoře geometrické představivosti, mimo jiné je zapojena stavebnice Geomag. Současně tento text poukazuje v některých předložených příkladech a cvičeních na propojení geometrie s ostatními předměty a především se světem kolem nás, čímž je zahrnut nejnovější trend mezipředmětovosti. Nechybí ani náročnější konstrukční či důkazové úlohy. K tvorbě většiny obrázků byl použit výukový software GeoGebra, ve kterém lze úlohy řešit i dynamicky. Je tedy snadné použít výukový software GeoGebra také přímo ve výuce nebo při samostatném řešení úloh. Na vybrané dynamické aplety a krokované konstrukce jsou u konkrétních konstrukcí uvedeny přímé odkazy. Tento text vznikl s podporou projektu MUNI/FR/1193/2018, Inovace čtyř předmětů Geometrie pro učitelství 1. stupně základní školy se stavebnicí Geomag a výukovým softwarem Geogebra na Pedagogické fakultě MU v Brně. 4 1 Základní vlastnosti shodných zobrazení Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X' roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X' se nazývá obraz. Shodné zobrazení je v geometrii takové zobrazení mezi Euklidovskými prostory, které zachovává vzdálenost. Shodné zobrazení prostoru do sebe se nazývá shodnost. • Shodné zobrazení zachovává vzdálenost, tj. pro libovolné dva body X, Y a jejich obrazy X', Y' platí XY = X'Y'. • Složením shodných zobrazení vznikne opět shodné zobrazení. • Shodné zobrazení je prosté (injekce). • Pro každé shodné zobrazení je inverzní zobrazení opět shodné. • Identita je shodné zobrazení. • Všechny shodnosti euklidovského prostoru tvoří s operací skládání zobrazení grupu shodností, tzv. euklidovskou grupu. • Jsou-li A, B, C a A', B', C dvě trojice bodů neležících v přímce a platí-li AB = A'B', BC = B'C a AC = A'C, pak existuje jediné hodné zobrazení v rovině, v němž je obrazem bodu A bod A', bodu B bod B' a bodu C bod C (tzv. věta o určenosti shodného zobrazení v rovině). V tomto textu se budeme zabývat pouze shodnostmi v rovině. 5 2 Základní druhy shodností v rovině Pro ujasnění pojmů, které používáme v úlohách, uvádíme přehled základních shodností v rovině a jejich vlastností. posunutí (translace) Všechny body roviny jsou posunuty stejným směrem o stejnou vzdálenost směr a vzdálenost jsou dány orientovanou úsečkou, resp. vektorem posunutí. Dané posunutí je vektorem posunutí určeno jednoznačně. T(ĎĚ) : AABC ^ AA'B'C osová souměrnost (zrcadlení, osová symetrie) Zobrazení dané osou souměrnosti, která dělí rovinu na dvě poloroviny. Odpovídající si body leží na kolmici k ose souměrnosti v opačných polorovinách a ve stejné vzdálenosti od osy. 0{<* DE) : AABC ^ AÄB'C A' 6 otočení (rotace) Všechny body roviny jsou otočeny kolem pevně daného bodu (středu otočení) stejným směrem o stejný úhel (úhel otočení). 11(0, a) : AABC ^ AÄB'C A1 středová souměrnost (středová symetrie) Středová souměrnost v rovině je zvláštní případ otočení - otočení kolem středu souměrnosti o 180 stupňů. S(S) : AABC ^ AA'B'C 7 totožnost (identita) Zobrazení, které každý bod zobrazuje na sebe sama. Lze ji považovat za posunutí o úsečku nulové délky nebo za otočení o nulový úhel. X\ : A ABC ^ AÄB'C c=c A=A' posunutá (osová) souměrnost Složení osové souměrnosti a posunutí ve směru osy. T(DÉ)0(ó) : AABC h-> AA"B"C Příklad 2.1. Uvedené základní shodnosti v rovině rozdělte na shodnosti přímé, tj. shodnosti zachovávající orientaci, a shodnosti nepřímé, tj. shodnosti nezachovávající orientaci. Řešeni: Přímé shodnosti - posunutí, otočení středová souměrnost, totožnost. Nepřímé shodnosti - osová souměrnost, posunutá osová souměrnost. Příklad 2.2. Která z velkých tiskacích písmen abecedy A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z lze zakreslit tak, že jsou osově souměrná? Rozdělte písmena do skupin podle počtu os souměrnosti. Řešeni: 1 osa - A, B, C, D, E, K, M, T, U V, W, Y; 2 osy - H, I, X, O. Příklad 2.3. Na obrázku je nakresleno šest rovinných útvarů: a) Které z útvarů na obrázku níže jsou osově souměrné? b) U osově souměrných útvarů určete všechny jejich osy souměrnosti. c) Načrtněte rovinný útvar, který má právě čtyři osy souměrnosti. c) Načrtněte rovinný útvar, který má nekonečně mnoho os souměrnosti. Řešeni: A) 2 osy souměrnost, B) 2 osy souměrnosti, D) jedna osa souměrnosti. Čtyři osy souměrnosti má např. čtverec, nekonečně mnoho os souměrnosti má např. kruh. 9 Cvičení 2.4. Dokresli obrázek tak, aby byl středově souměrný podle středu S. O o 0 □ □ o o o □ o o s c A □ A A A Cvičení 2.5. Ve čtvercové síti přerýsuj útvar T: a) v osové souměrnosti podle osy 0\ a pojmenuj ho T1? b) v osové souměrnosti podle osy 02 a pojmenuj ho T2, c) ve středové souměrnosti podle středu S a pojmenuj ho T3, / d" °2 10 Cvičení 2.6. Diskutujte nad danými obrázky. Jaká zobrazení a modely demonstrují? Jaké jsou určující prvky a samodružné body těchto zobrazení? Vytvořte podobné modely. Cvičení 2.7. Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o, která: a) protíná úsečku AB v jednom bodě, který není totožný s jejím krajním bodem, b) protíná úsečku AB ve středu a je na ni kolmá, c) je rovnoběžná s úsečkou AB, d) protíná úsečku AB v bodě B a není kolmá k úsečce AB. Cvičení 2.8. Kolik os souměrnosti má každá : a) úsečka b) polopřímka c) přímka Cvičení 2.9. Sestrojte obraz kružnice k v osové souměrnosti s osou o, která: a) prochází středem S kruhu K, b) prochází mimo kruh K, c) prochází kruhem K, ale neprochází jeho středem. 11 Cvičení 2.10. Je dán libovolný čtyřúhelník ABC D. Sestrojte čtyřúhelník k němu osově souměrný tak, aby v této souměrnosti byl vrcholu A přiřazen bod A', který je totožný se středem strany BC. Cvičení 2.11. Které z následujících útvarů jsou středově souměrné: a) úsečka, b) polopřímka, c) obdélník, d) kružnice, e) čtverec, f) kosočtverec, g) obdélník, h) rovnoběžník, i) trojúhelník, jehož strany mají různou velikost, j) rovnostranný trojúhelník, k) rovnoramenný trojúhelník. Načrtněte obrázky a v kladném případě určete střed souměrnosti. Cvičení 2.12. Ve středové souměrnosti určené bodem S sestrojte obraz úsečky AB, kde střed souměrnosti a) neleží na přímce AB, b) je totožný s bodem A, c) leží na úsečce AB, S ^ A ^ B. Cvičení 2.13. Narýsujte úhel AVB o velikosti 45° . Sestrojte jeho obraz ve středové souměrnosti se středem a) V, b) A, c) S -i AVB. Cvičení 2.14. V otočení určeném bodem S a úhlem (3 = 45° sestrojte obraz úsečky AB, která prochází bodem S. Cvičení 2.15. V otočení určeném bodem M a úhlem 7 = 60° sestrojte obraz přímky p, která neprochází středem otáčení. 12 Cvičení 2.16. V otočení určeném bodem R a úhlem a = —60° sestrojte obraz kružnice k. Cvičení 2.17. Narýsujte libovolný trojúhelník ABC. Sestrojte trojúhelník A'B'C, který je obrazem trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti: a) se středem v bodě S, který je střed strany AC, b) ve které je obrazem bodu A bod B. Cvičení 2.18. Jsou dány dvě kolmé přímky kal. Sestrojte jejich obrazy ve středové souměrnosti se středem S, jestliže: a) S leží na průsečíku přímek kal, b) S leží na přímce k a není totožný s průsečíkem přímek kal. Cvičení 2.19. Jsou dány dvě kolmé přímky a a b. Určete posunutí T, které zobrazí přímky a a b na přímky přímky a' a b' tak, aby průsečíky přímek a, b, a' a b' tvořily a) čtverec, b) obdélník. Cvičení 2.20. Jsou dány tři různé body A, B, C, které neleží v přímce. V osunutí určeném orientovanou úsečkou AB sestrojte obraz: a) úsečky AC, b) přímky BC, c) přímky AB. Cvičení 2.21. Je dán čtverec ABCD, a = 5 cm. Bod S je průsečík úhlopříček čtverce. Sestrojte kružnici k, která je určena bodem S a poloměrem 2 cm. Bod X leží na polopřímce AS, \AX\ = 8 cm. Obrazec otočte podle bodu A o úhel 45°. Cvičení 2.22. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF a jeho obraz A'B'C'D'E'F' v posunutí určeném orientovanou úsečkou SD, kde S je střed souměrnosti šestiúhelníku ABCDEF. Jaký útvar vznikne sjednocením šestiúhelníku ABCDEF a šestiúhelníku A'B'C'D'E'F'? Úlohu modelujte s využitím stavebnice Geomag. 13 Řešeni: Sjednocením šestiúhelníku ABCDEF a šestiúhelníku A'B'C'D'E'F' vznikne šestiúhelník, ale nejedná se o pravidelný šestiúhelník. V modelu je červenou komponentou vyznačena orientovaná úsečka SD. Cvičení 2.23. Určete všechna shodná zobrazení, která převedou žlutý čtverec na červený. Nakreslete obrázky i s odpovídajícím popisem vrcholů čtverců ke každému zobrazení. 14 Příklad 2.24. Je dán rovnoramenný lichoběžník ABCD, \AB\ = 2\CD AB || CD, S je střed úsečky AB. Určete shodné zobrazení, které zobrazí: a) AASD^ ABSC, b) AASD ^ ASBC, c) ASBC^ AASD, d) ADCS^ ADCS, Řešeni: d c a s b a) osová souměrnost O(o AB) : AASD i->- ABSC, b) posunutí T(A~Š) : AASD h-> AS5C, c) posunutí T(šl) íASEC i-> AASU, d) identita Xd : ADCS h-> ADCS, Cvičení 2.25. Je dán pravidelný osmiúhelník ABCDEFGH. Určete shodné zobrazení, které zobrazí: a) AADE^ ABGF, b) AACD^ AEGH, c) AACD^ ADEG, d) AACU^ AGED, 15 Příklad 2.26. Pravidelný pětiúhelník ABCDE zobrazte: a) ve středové souměrnosti se středem D, b) v osové souměrnosti s osou AC, c) v posunutí určeném vektorem CE, d) v otočení o úhel 60° kolem bodu C. Řešeni: a) Pravidelný pětiúhelník ABCDE ve středové souměrnosti se středem D. Zápis konstrukce: 1) pětiúhelník ABCDE 2) » ED 3) k,;k, (D, |ED|) 4) IE'e k, n h ED obdobným způsobem sestrojíme zbylé body 5) A'; A' e k2 n — AD 6) B'; B' e k3 fl — BD 7) C; C'ek4íl»CD D' = D ... D je samodružný bod 8) pětiúhelník A'B'C'D'E' " _ Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/saxej 6u9#material/kzb9kwdm b) Pravidelný pětiúhelník ABCDE v osové souměrnosti s osou AC. Zápis konstrukce: 1) pětiúhelník ABCDE 2) «-» o;«-» o = *+ AC 3) «p;«pi«0ABE«p 4) k1;k1 (S^IBS^) 5) B'; B' e k1 fl «-* p obdobným způsobem sestrojíme zbylé body 6) D'; D' e k2 n 7) E"; E'ek3n«r 8) AF = A A C = C ... A, C jsou samodružné body 9) pětiúhelník A'B'C'D'E' ® 2 _ Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/saxej 6u9#material/xmygytx8 16 c) Pravidelný pětiúhelník ABCDE v posunutí určeném vektorem CE. Zápis konstrukce: 1) pětiúhelník ABCDE 2) u ... vektor posunutí 3) <-» p; p II OE AD e n p 4) ki;k, (D,|CE|) 5) D'; D' e k, n ~ p obdobným způsobem sestrojíme zbylé body 6)E' T)C 8) A' 9) B' E' e k2 n « q C'Etjílnq A' € k4 n ~ r B' € k, n ~ r M «■ 10/10 H- w 10) pětiúhelník A'B'C'D'E' ® Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/saxej 6u9#material/p59bhmen d) Pravidelný pětiúhelník ABCDE v otočení o úhel 60° kolem bodu C. Zápis konstrukce: 1) pětiúhelník ABCDE 2) ^;^ (C, |BC|) 3) « BCX; |«BCX| = 60° 4) B'; B' £ k1 ÍIh CX obdobným způsobem sestrojíme zbylé body 5) A'; A' e k, n m CY 6) E1; E' e k2 fl « CZ 7) D1; D' e k, n « CW 8) C"; C = C ... C je samodružný bod 9) pětiúhelník A'B'C'D'E' ® 2 Konstrukce " krok po kroku": https://www.geogebra.org/m/saxej6u9#material/tpjxeurj ..d 17 Příklad 2.27. Určete všechny shodnosti, které reprodukují a) rovnostranný trojúhelník, b) pravidelný pětiúhelník, c) pravidelný šestiúhelník. Řešeni: V každé shodnosti, která reprodukuje některý z pravidelných n-úhelníků, je zřejmě střed kružnice tomuto n-úhelníku opsané samodružným bodem. Užitím vlastností pravidelných n-úhelníků a shodností v rovině dostaneme následující výsledky: a) Pro rovnostranný trojúhelník existuje 6 shodností, které ho reprodukují: Id, č?i(oi), 02(02), 03(03), ^1(5,120°), ^2(5,240°), tj. identita, tři osové souměrnosti s osami v osách jeho stran, dvě rotace se středem ve středu kružnice jemu opsané a odpovídajícími úhly. b) Pro pravidelný pětiúhelník existuje 10 shodností, které ho reprodukují: Id, CMoí), 02(o2), 03(03), 04(o4), C?5(o5), 7^(5,72°), n2(S,U4°), 72-3(iS, 216°), TZ/í(S, 288°), tj. identita, pět osových souměrností s osami v osách jeho stran, čtyři rotace se středem ve středu kružnice jemu opsané a odpovídajícími úhly. c) Pro pravidelný šestiúhelník existuje 12 shodností, které ho reprodukují: Id, S(S), OxK), 02(o2), 03(03), C?4(o4), 05(o5), 06(o6), 7^(5,60°), Tl2(S, 120°), TZ3(S, 240°), ft4(S, 300°), tj. identita, středová souměrnost, šest osových souměrností - tři s osami v osách jeho stran a tři s osami procházejícími dvojicemi protějších vrcholů, čtyři rotace se středem ve středu kružnice jemu opsané a odpovídajícími úhly. 18 Cvičení 2.28. Na obrázku jsou zobrazeny ve čtvercové síti čtyři útvary. a) Rozhodněte, mezi kterými útvary na obrázcích existuje shodé zobrazení. b) U nalezených shodností určete, zda se jedná o shodnost přímou nebo nepřímou. c) Určete typ shodnosti a její určující prvky. a) c) d) 19 Příklad 2.29. Určete zobrazení, které převádí čtverec ABCD na čtverec A'B'C'D'. U každého zobrazení zapište i jeho určiújící prvky. A) B) A=A' B=B' A=C C) B=B' A=D' B=C A=B' B=A' Řešeni: A) osová souměrnost s osou AB, B) otočení se středem v bodě B o 90°, C) posunutí o vektor DÁ, D) středová souměrnost se středem ve středu úsečky AB. 20 Cvičení 2.30. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby \AB\ = \BD\. Určete všechna shodná zobrazení v rovině, ve kterých je obrazem rovnostranného trojúhelníka ABD druhý trojúhelník tvořící spolu s trojúhelníkem ABD kosočtverec ABCD. Příklad 2.31. Na obrázku je půdorys románského kostela Sainte Foy v Con-ques ve Francii. Najdi na obrázku shodná zobrazení a zakresli je, tj. např. zvýrazni části zobrazené a) v posunutí, b) v otočení, c) ve středové souměrnosti a d) v osové souměrnosti. Řešeni: V příloze na konci textu. Příklad 2.32. Na obrázku je hvězdová klenba renesančního zámku Náměšť na Hané. Na obou obrázcích klenby najděte všechny osy souměrnosti a vyznačte střed souměrnosti. Zkuste navrhnout vybarvení obrázku tak, aby v obrázku byly: a) 1 osa souměrnosti, b) 2 osy, c) 3 osy a d) 4 osy souměrnosti. Řešení: Příklad vybarvení první klenby v příloze na konci textu. 21 Cvičení 2.33. Na obrázku je půdorys kostela sv. Jana Nepomuckého na Zelené hoře ve tvaru pěticípé hvězdy: a) Najděte všechny osy souměrnosti. b) Určete rotaci, kterou je třeba použít, aby se jeden cíp hvězdy přesunul na místo vedlejšího cípu? c) Zvolte si jednu osu a podle ní, půdorys vybarvěte tak, aby byl osově souměrný. Cvičení 2.34. Na obrázku je rozeta Katedrály La Seu na Mallorce. Najděte v ní posunutí, otočení, středovou a osovou souměrnost. 22 Cvičení 2.35. Na obrázku je mandala známá jako Květ života. a) Najděte všechny osy souměrnosti. b) Vybarvěte mandalu tak, aby se počet os souměrnosti změnil na 2. c) Lze vybarvit mandalu tak, aby byla středově souměrná, ale nebyla osově souměrná? Zdůvodněte. Příklad 2.36. Pojmenujte dopravní značky na obrázku a určete u nich počet os souměrnosti. Za domácí úkol nafotte na cestách další značky a rozdělte je do skupin podle počtu os souměrnosti. Řešeni: Zákaz vjezdu všech vozidel (v obou směrech) - nekonečně mnoho os, Dej přednost v jízdě - 3 osy, Stop, dej přednost v jízdě - 0 os, Zákaz vjezdu v jednom směru - 2 osy, Hlavní silnice - 4 osy. 23 3 Skládání shodností Příklad 3.1. Doplňte korektně následující tvrzení: 1. Složením (dvou) posunutí je...................... 2. Složením dvou středových souměrností je................ 3. Složením dvou otočení se stejným středem je................... 4. Složením dvou osových souměrností se stejnou osou je................ 5. Složením dvou osových souměrností s rovnoběžnými osami je.......... 6. Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami je.......... Ke každému tvrzení načrtněte vhodný obrázek. Řešeni: 1) Složením (dvou) posunutí je posunuti. 2) Složením dvou středových souměrností je posunuti. 3) Složením dvou otočení se stejným středem je otočeni se stejným středem. 4) Složením dvou osových souměrností se stejnou osou je identita. 5) Složením dvou osových souměrností s různými rovnoběžnými osami je posunuti. 6) Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami je otočeni kolem průsečíku os. Cvičení 3.2. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC a body Si, S2, S3 jsou po řadě středy jeho stran AB, BC, CD. Určete obraz trojúhelníka ABC v zobrazení F = S± o PP', o _L PP', a z posunutí ve směru této osy, přičemž velikost posunutí je rovna velikosti pravoúhlého průmětu úsečky PP' do přímky o (Obr. 2b). Poznámka: Uvědomte si souvislosti výsledků příkladu s větou o určenosti shodného zobrazení v rovině. Příklad 4.5. Jsou dány dvě shodné kružnice ki(Si,r), k2(S2,r), které se protínají v bodech X, Y. Určete alespoň jedno shodné zobrazení, ve kterém je obrazem kružnice k\ kružnice k2. 28 (a) (b) Figuře 2 Řešeni: Ve shodném zobrazení je obrazem kružnice k(S,r) opět kružnice s týmž poloměrem r, jejímž středem je obraz bodu S. Obrazem dané kružnice ki bude tedy kružnice k2 v každém shodném zobrazení, v němž je obrazem bodu Si bod S2. K řešení úlohy tedy lze využít výsledků příkladu 4.4. Příklad 4.6. Ukažte, že složením dvou osových souměrností s kolmými osami vznikne středová souměrnost se středem v průsečíku těchto os. Řešeni: Uvažované osové souměrnosti označme Oi,02, jejich osy o1,o2, průsečíky těchto os S, Z zobrazení složené z těchto souměrností, tj. Z = 0\o02. Obraz bodu X v 0\ označme Xi, obraz bodu X\ v 02 označme X', tj. obrazem bodu X v Z je bod X'. Zobrazení Z bude se středovou souměrností se středem S právě tehdy, když pro každý bod X roviny a jeho obraz X' v tomto zobrazení bude bod S středem úsečky XX'. a) Je-li X = S, je X = X' = S, nebot S je samodružným bodem zobrazení Z. b) Necht X E Oi a X ^ S. Pak je X = X\ a bod S je středem XX'. (Obr. 3) c) Necht X E o2 a X ^ S. Pak Xx E o2, S je středem XXX a Xx = X'. Platí tedy, že S je střed XX'. (Obr. 4) d) Necht X ^ o\ a X ^ o2. Pak X\ ^ o2. Označme Xq průsečík přímky XX\ s o\. Body X, S, X\ neleží v přímce. Pro thojúhelník XSX\ platí XS = SXi a 0\ je jeho osa souměrnosti, tj. -šXSXq =^XqSXi. Označme dále X" průsečík přímky X\X' s osou o2. Body X1? S, X' také neleží v přímce. Pro trojúhelník XiSX' platí XľS = X'S a o2 29 °2 X' Figure 3 > x °2 S 1 > x1 =X' Figure 4 je jeho osa souměrnosti, tj. ^X^X" = p, \S, -H- p\ = di, \0, -H- p| = d