Kapitola XI.
CVIČENÍ   V DERIVOVÁNÍ
§ 27.DERIVACE   ZÁKLADNÍCH   ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ. Derivace mocniny.
_ ,        „ t      (postupně se dokazuje platnost pro každé   n '.
x   ,   y = n.xr     i   přirozené,celé,racionálni a reálné .) :
axQ,
y = a.nx
n-1
y = ax ,   y = a
a   ,   y   = 0
:( 9i)
210. cvičeni. Derivujte funkce :
a) y= x7 , b) y = 5x\ c) y = £x6, d) y = fe, e) y = x-3, f) y = 3x-5,g)y=£x-\
ž 2 2 -1 .1
= ť, k) y = |x^, m) y = ax5, n) y = x ^,o) y = \x. ', y = x1'7,p) y =x~5»5
v?
h) y
k) y
71
r) y = ty0'1*, s) y = x*   t) y = axe , y = xloS 2 , u) y = 4.x* y«(^-l)x>®+1
1 .1
Výsledky : a)7x6, b) 20x3, c) 8x5, d)í| , e)-3x~*, f)-15x~6, g)-x~5, h) fx",k)x * «)S.x^1n) - k"', o)- fŽ.x^ , l,7x0'7, p) -5.3X-6.3, r) Z,**-0'1^)^"*,
p JT-4 t) aex6"1,    logS.x1^2"1 , u)Tx~~*"" ,   v) Xfí .
V dalšich případech před derivováním převedeme funkční předpis na mocninu proměnné x :
a - « x~n bx* -**X
m
x* = x5
211.cvičeni, a) y = |, b) y = —c) y =- i , d) y =- e) y = Vx" ,f)y=
3 9 W—
6) y = ' h) y = ~ ýy> k) y = T^S, nOyjaJx.ÍP.fc*, n) y= VxfcíŠ .
Výsledky t a)-3x-2, b)- -i- , c) -Ä , d)   2 , e) J;- , f) |.Vxn-m, g) - —i- , -- Sx5 x^ 3x*        2/í 01 jý^ř
h) tč= . k) , m) 2J
Derivace součtu funkcí.
j   ^ff(x) + g(x) + h(x) * ....._7   =   f'(x) + g'(x) + h'(x) +.
i
:   Pro k stejných funkci:^~k.f(x)_7   =   k.f (x)
: ( 92)
212.cvičeni. Derivujte funkce s
a) y = 5x*- 4X3* 8x2- 7x - 6 ,   b) y = 3 - x4, c) y = 2X3-        + 3-
ll d) y = Vx.(x5- £ ♦ 1 ) ,   e) y = ef+ 2
3x';
Výsledky i a)20x3- 12x2+ 16x - 7, bí-^x5, c) 6x2+ -ij - --^j- ,
d) Zx2^ - 1 + — ,   e) . ^     3^ 8xVx
r 2Vx 3X5
ii
2Vx
V případech d),e) minulého cvičení provedeme nejprve naznačené početní výkony (násobeni,děleni) a pak teprve derivujeme součet mocnin.
Derivace součinu funkcí.
I     y = u(x).vCx) Stručně i   y = u.v '
* •
!    y'= u'(x).v(x) + v'(x).u(x) y'= u'.v ♦ v'.u :( 93)
I y = u.v.w        y'= u'.vw + v'.uw + w'.uv 1
/73Apřiklad.
a) y = (x2- 3x + 3).(x2+ 2x - 1)
y'= (2x-3).(x2+2x-l) + (2x+2).(x2-3x+3) =........ = 4x5- Jx2- 8x + 9 ;
b) y = (x2+ 1).(1- x3).(x-2- 1)
y^/ix.U-x3) + (-3x2).(x2+iy.(x-2-l) + (-^x-3).(x2+l).(l-x5) =......... =
= 5x4 - 2x - 1 - 2x~5 213.cvičení. Derivujte funkce :
a) y = ( Vx" + 1 ).( -i- - 1 )   ,     /" - _7 ;
Vx d-xrx
b) y=(l+nxm).(l+mxn) ,     ŕ"inn. [x*-1 + x11-1 + (m+n)xm+n-1}   j . '   DESÍTKA   ÚLOH   čis. 29 j       Derivujte funkce i
D y  = *
Vx t3, i_ 60Vx
řXfX l-l   3 y js.
2) y   = ♦   \/fLL    , ^   6x3^,1   _7 ;
» y . VxVxl^ -     V^ľx   . T ?9g-x   .7 i
,)y .^xK.t^) 4) r^vfc.s.Jfc, 7
5) y   =    ( x\£ + 2.Vx - 2x )  J 3V? » + ) _ ^
6) y   =     ^ - ?X i- 2X-2 6) ^ -tf * e^fc - 16Vx       7 .
SX5.^
4 - 3X3 + 2x2V^ y) /-   -     - 24X3 t 13x2l£     7 ,
7) y
2yx 6x^č
8) y   .     3X-1 - 2x + 2xVx-       f C
-63^x -f 18x2^x - lOx3
ax2^ ' ~ i2x^
7
yx 3x
9) y
,_ Vx    x/x' xyx
10) y   =   ( ^x + 2x ).( 1 + Vx2 + 3x ) ,     </f   l+V>x+°fc? +10xfc +36xy?_7 .
2     \T7        IT 5^
x ,   j  i    ••■   v.     c\   .     X^-ĽjVx7  + 4xVx
+) Výsledek úlohy 5) «
18x2
P"
- 100 -
j   7 - -f" .     y'= - -T-f^ Stručně , y * i , y'=- 3^ i
:        v(x) i v(x) 7^ v :
:     -<r  -    U(x) u'(x).v(x)  - y'(x).u(x) U '     u'.V  - v'.U Í
: v(x) <fv(x) ľ2 v v2
• *
214-.cvičeni. Derivujte funkce .
= ■<          2x             _     1 + x - x2        \ „     ax + b 1 - y?
a) y = -r ,   b; y = -? ,   c) y = - , d)   y = <, ,
1-x 1-x+x^ cx + d 1+x-^
•) T = .   «7« , g) 7 - - , h) y =--£——2-r— .
Vx+1 x-^ x~ 3x+ 6 (l-aŕ).(l- 2x5)
Výsledky « a) 2*±Ä b)     ^j'j , c) d) ^x2 j -
(1-x2)2 (l-x+x2)2^ (cx+d)* (l+x5)*        2Vx<V3 +1)*
f)
- 4x             „s      3-2x                      6x(l + ?x -5a?) ;-r—? t S)--r   . b) -\>     ^-7 •
~—-rr-j t té' -■-2   ' aj -2
5V?.(x- /x) (x?-3x+6) (1-x2). (1-2x3)
: y * C      -711 .    y' = n-f fW _7a"1.f'(x) i
:      Platnost pro   n    přirozené     plyne z derivace součinu.       :( 95)
Platnost pro   n     celé     záporné   plyne z derivace podílu.: :      Platnost pro   n     reálné     se ověří derivací složené funkce. '.
Poznámka.Mocnina funkce patří k tzv. složeným funkcím,jichž derivace budeme určovat později podle zvláštního pravidla.Poněvadž se však s takovou funkci setkáme velmi často,je třeba její derivaci si osvojit brzy a provádět ji s jistotou. /7V.příklad :
a) y = (3x2- 5x +2)5 , y'= 5.(3x2-5x+2)\ (3x2-5x-f2)'= 5.(3x2-5x+2f.(6x-5) ;
b) y = (x3 - 2x+l)~3 , y'a^.(x*- 2x+l)~\(x3-2x+l)'=-3.(x5-2x+l)""\(3x2-2) ;
c) y =
12xyxl( řx -1
d) y = ( x11- 1) * ,      y'=- fix*- 1) '.(^-1)'= -j^"
V dalších případech převedeme funkční předpis na mocninu funkce i
e> 7 = Ttk=?   čili   y = (3x-2)-1,   y'= -l.(3x-2)-2.(3x-2)'=--2—_
íx (3*-2r
g) y = ^x2- 2x + 6 čili   y = (x^x+S)5"    ,     y' = -, 2(x-l)
5f2 .   v'=-?*L
Tž^x^xTeF* '
h) y - žili   y = (l-x?) c , y
Některé   z uvedených   příkladů možno také derivovat jako podíl funkci .
- 101 -
215.cvičeni. Derivujte funkce :
a) y = (5x2- 2)1°b) y= (7x2- i .6)6, c) y =      2-        , d)y= _1 e)^^,
ř)y^x5-3x+l, g)y=0, h)y=- J/(8-^)X1t k)y = ^g", m) y , ,
e
Výsledky « a)100x(5x2-2)9, b) 6C7X2- 4 +6)5. il£±Íf c)-    g<2*-??... d) Jfe e
(x*-$x+7)* (x**!)5
>-jJ= « , s> -=^=r , h) fe^F , k) -§4. j£äT ,
i  DESÍTKA   ÚLOH   čis. JO Derivujte funkce :
i-----------------1
2)y = X5. ^     x%( 7x6 - 40)      j t
^(x6- 8)2
Vl 2(l-x).(l+1ŕ) řl+xZ
4) y = x2. Vi ♦ £     , /-   »<«;9^)       _7 ;
4. Ví + V£
5) y . _Siě_ . ^(5x^)2 - , -7 i
5 fcx+l
6) y -   d-x)P . r   -(l-x)P-1.^p.q + (p-q)x/ ?
,   5x 27x5. /(4x5+2)^
8)y. =ySZL,      r   v*2 „  j ;
2
„v X /- 1  - X  + 4x 7
9> 7 ■ •      ' <l-x)>.(l+x)* ^ •
Derivace goniometrických funkci.
•......................................................................I
!     y   =   sin x y   =   cos x y   =   tg x y   =   cotg x :
Í ' ' 1 ' 1        i ( 96)
• y   =   cos x y   = -sin x y   = -2 y   - ~   . 2     • •
: cos x sin x ;
• •
216.cvičení.   Derivujte funkce «
a) y - 5x2- ain x , b) y = sin x   -   cos x , c) y= tg x - cotg x, d)y=sinx.cosx
- 102 -
e) y = Acotg x , f) y = -£2S_3L , g) y =   *'Bín x   , h) y = sln x " x-cos x ,
l-sin x 1+ tg x oos x + x.sln x
Výsledky » a) 10x-cos x, b) coax+sinx, c)---? ,d) cos2x, e)*(Bin2x-g).
(sinx.cosx) sin x
1 j cos2x(l+tKx)(Binx+x.cosx)-x.sinx      ^) _s?_
1-sln x ' cos x.(l+tgx) '       (cos x + x.sin x)2
M££3i2£_£25i222££i£feŽ£ÍĽlií2íE£Í derivujeme podle pravidla o derivaci mocniny funkce.Doporučuje se před derivací zapsat mocninu goniometrické funkce podle vzoru :
y = sIľPx   čili   y = (sin x)n   ,     y' =   n.(sin x)n_1.(sin x)'= .......
Později si můžeme tento zápis jen představovat.
217.cvičení. Derivujte funkce :
a) y = cos~^x , b) y = tg^x , c) y = sin^x + cos3 x , d) y = tg^x - 3 tg x + 3x,
\ _    cos^x    cos^x    r\ _ _    2siii?x . sin^x    _y_    1 5_
e) y = —3---3— , f) y = srn x--y- ♦ —5— , g)y= ^j—, h)y= (
k) y = —m) y = Vsin x , n) y = ^cos2x, o)y= ~     - , p) y = Vl + 2tg x , 008 * _ Vtg~í
q) y =   4. ^cotg2x +   V'cotg^ , r) y = + £2íČs_ ,s)y= _ _2sinx,
1+cotg x     1+tg x 4cos x     8cos x
t) y = (1+ sin2x)^ , u) y = Vl+ cos2x , v) y = —1       -. w)y= cosx.^l+sin2x.
Vl+sin^x
Výsledky 2 a) 5cos~6x.sin x, b) 7tg6x.—^5- , c)?jsin2x(sinx-cosx), d) ítg^x ,
cos x
=-ít,3„                 „.„5„     „'v     dos x         5sinx    t\ 4-sin x    _\     cos x e; sxn x.cos x, f) cos-^x , s)--, a) *—5— , k.) —   g   , m; -_ ,
sin x cos x cos^x
2 Vsin x
3 ycosx cos x.ytg^x cos x. yi+2tg x 3sinlx. ycotg x
n) -   2gi^   . o) -=^_, P) -V q)--
„■*—10.—«—o> - sin2x
r) -cos2x , s) 3008 x-12cos x+8^ t) *(1+sia2x)3,Bln2X f u)
v)-- sin2x , w) - 2sin5x
2. V(l+sin2x)3 Vl+sin^x
8008 x 4.V(l*coŕx)í
y   = a
£ , a> O   ,   y' =   ax.ln a   ;      y   =   ex   ,   y' =   ex   :( 97)
218.cvičeni.   Derivujte funkce t
a) y = 3X, b) y = ÍÓ*, c) y = (VF ) . d) y = ex.cos x , e) y = x.ex(cosx+sinx),
4>\ *    l+ex     „s _    1-10X    ^1 _      1      t\ _      x      _y_   x3+2x   _v_ ex t) y = -= 1 g; y = -r , h; y = -— , k; y = —- , m;y= -—, n;y= - ,
l-ex 1+lCT 2X 4X ex sin x
ex
o) y = VZŠ , p)   y = -, 5 ,   q)   y = .
2. ý(x-ex)a '1 + e
Výsledky t a) 3X.ln3, b) lO^.lnlO , c) (V3 ) .InVi , d) ex(cos x - sin x ) ,
e) ex(cosx+sinx+2x.cosx), f)     2e*     , g) - iil^nlO n) _ ln2   k) l-x.;tn»
-103 -
B) 2-2x+?x2-x' f f) e^sinx-cosx? >o) _äL_, p) -S^Ll_.a) -=jí--
Bin * 2. FIW*       f^x^ (l^)^25
• «
j       7   =   logax ,   y' =  |.loSae   =       !Hä '    y * ln x   ,   y'a 1   Í (98 )
219. cvičeni.   Derivujte funkce :
a) y = x2.logjX , b) y = x.log x , c) y = x.lnx - x , d) y = x.sin x.In x ,
e) y = f) y =        ,g) y = ±=^, h)y= ln6x, k) y Jínx, m)y= 1^1+ ln2x ,
x lnx 1+lnx
Výsledky : a) 2xlogjX + xlog^e, b) logx + yjjjQ- , c) ln x , d)sinx.lnx +sinx +
+ x.cosx.lnx , e) , f) -    1 ■>    , g) -—-? , h) §.ln5x ,
x0*-1 x.ln^x x(l+ lnx r x
t\      1_ „,■>      ln x_
k) -± ,   m) - •
3x ýln2x x. rl+ ln2x
!   y   =   arcsin x ,   y' =       1 ;     y   =   arccos x , y'=— 1 :
: i i    :< 99 )
:   y   =   arctg x   ,   y   = -t-      ;     y   =   arccotg x, y =--n- :
: i + x* i +xr :
220. cvičeni.   Derivujte funkce :
a) y = x.arcsin x, b) y = arccoa x, c) y = VLarctg x , d) y =   u™*** (
VT-1F
e) y = (arcsin x)2 , f) y =   ("ffi x?     , g) y = ľ 1 - (arccos x)2 .
tr-„t  i-L    . „i „__■ „ .     x        v\   x-t-arccosx.Vl-x^     „ \ arctg x . l/x
Výsledky : aj arcsinx + , b;--——-        , c; -°— + - ,
^? x2. 2Vx l+x2
Yl-x2 + x.arcsin x     e^ 2arcsinx   ^ arctgx   g^ _arccos x_
Vci-x2)5 Vl-x2             l+x2         Vl-x2. Vl- (arccos x)2
,---------,-----------1
!  DESÍZKA   uXOH   čis.   31  ! Derivujte funkce »
I__________________________i
ni „    arccotg x z-    x2-i- 2x(l+x2).arccotg x 7
D y =-~2        ' L--4,,   2s-- s
x* x (l+x )
o\        ex.arccos x                            r~ „x <• arccosx         1          arccosx   >, 7 2; y =- i  e j---——--—   ; _/;
3) y = x-j-i-.arctg x   -   |   ,        C x.arctg x   J •
4) y = x. Vl-x2   +   arcsin x   ,      ^~ 2. Vl-x2     _7 ;
5) y = x - C?.arcsin x   , f 3C'arcsin *   _7 5
6n 1 + x.arctg x Vl-? arctg x       7 .
VIT? Vľľ+77 " '
- 104 -
7) y = x.(arcsin x)2 - 2x + 2. .arcsin x ,     £" (arcsin x)    j ;
8) y = l/l - arcsin x ^ 1-.y ,
1 * arcsin x ^^./-(arcsinx)2 - 1 ^
9) y = x + l/l^.arccos x   , f - x-arccos *      7 ;
10) y = 3X3.arcsin x   + (x2* 2). Vl-x2 ,   £ 9X2.arcsin x   _7 . § 28.DERIVACE   SLOŽENÝCH FPmCÍ.
Složenou funkci nahrazujeme řetězcem funkci,jež jsou jejimi složkami x 7 = P^~f(x)_7   lze zapsat   y_=_|£|2 , z_=_f£x2
y = F{f^p(x)_7) y = ř(z) ,    z = tffU)j
z = f(u)    ,        u = <p(x)
Důležité je vystihnout prvni.tzv. vnějši složku   a pořadí vnitřních složek.Např.:
y = sin 2x        lze zapsat   y = sin z ,   z = 2x ;
2 2 y = sin x lze zapsat   y = z        ,   z = sin x ;
2 2 y = sin 2x        lze zapsat   y = z        ,   z = sin 2x
z = sin u   ,      u = 2x
:      y = SCf(x) 7     čili     y = F(z)    ,     z = f(x) :
• •
j y'= P'(z) . f'(x) j (100)
J StručněiDerivace složené funkce se rovná součinu derivaci složek. :
• *
y = sin 2x   ;     y'= (sin z)'. (2x)'= cos z . 2 = 2.cos 2x
y = sin2x     ;     y'= (z2)'.(sin x)' = 2z . cos x = 2.sin x.cos x = sin 2x
y = sin22x   ;     y'= (z2)'.(sin u)'.(2x)'= 2z.cos u. 2 = 4.sin 2x ,cos2x
= 2.sin 4x
Při procvičováni derivace složené funkce se doporučuje provést v několika prvnich připadech nejprve jeji rozklad na složky,derivace složek znásobit a zavést zpět původni proměnnou x.Postupně je třeba se osvobozovat od zaváděni nových proměnných a derivovat složenou funkci přimo.Za tim účelem budeme procvičovat derivaci složené funkce postupně na jednotlivých typech t derivace mocniny funkce,derivace složené funkce goniometrické atd.
2§£iY§£e_52£5i52_£äôfe£§   byla již určována podle pravidla t
y = Ct^jŕ     .     7' - n.^-f(x)_7n-1.f'(x)
Ověřte si jeho správnost a platnost pro každé n užitim pravidla (100).Připomeňte si cvičeni t 215,217,218opq,219hkm a 220defg.
Znovu se zdůrazňuje úprava zápisu funkce před derivováním v některých připadech, jako :        y = cos13*    čili    y = (cos x)n     ;     y = tffx      čili     y = (tg x)n ;
y = arcsin11* y = (arcsin x)n;     y = log11* y = (log x)n .
- 105 -
^ • • ^
j y = sin f(x) y = cos f(x) y - tg f(x) y =cotg f(x) j
I y'= cos ŕ(x).f'(x); y'=-sin f(x).f'(x); y'= -i-.f'(x); y'= —=J=-f'(x)!
j cos^fíx) siirr(x) :
y = sin(ax+b) ,   y'= cos(ax+b).(ax+b)'= a.cos(ax+b) 221.cvičeni.   Derivujte funkce i
a) y = sin5x, b) y = cos| , c) y = tg(3x2-x), d) y = sinl£, e) y = cos^x2" ,
f) y = sini , g) y = cos , h) y = sin2x ,k) y = sin l^l+x2 ,m)y=cotg^l+x2,
x 1-x
n) y = sin(sin x) , o) y = tg(sin x) ,p) y = cotg(ln x), q) y =cos(arccos x)
Výsledky8a) 5cos5x, b)- isiní, c)-|S=i--, d) ,e)_ a-siJ-?
- *    *      cos^OjT-x) 2Vx ? ^
ŕ)- -y.cosi ,g) —=2x-7.sin -i-y , h) 2x.ln2.cos 2X, k)     x      .cosľl+x5 ,
m)   -r        - 2x-_        ,n)cosx.cos(sin x) , o) -S03 x-      p) -^-i- ,
3yaT?F.sin2^? cos"(sin x) x.sinflnx)
j sin(arccos x)
222.cvičeni.
a) y = sin54x ,b) y = cos3(ž), c)y = d) y =     K ■g)e)y=^tgÍ, f )y- 1
* tg22x sin5| 02 xVs7n^x
Výsledky: a) 20sin\x.cos4x, b)-cos2(i).siní ,0) -" 4 »—, d) —° ľ2* - ,
e)     ľr4-     a x •   f) ?        tg2x.sin22x       2sin* |
M/íif-.cos   f f\^^-3-Vr'
Í y = af(x)   ,   y'= af<x).ln a.f'(x)    ; y = ef(x> , y'=ef(x>.f'(x)i(102)
223.cvičeni.   Derivujte funkce :
mx+n   v \ _   c-x^-Sx+l     »        3x   .y_    -x     s        x2    -\ _ Vx a; y = a      , b; y= 5 » O y= e' , d;y= e   , ej y= e   , f; y = e ,
x , g) y = e1* *   b) y= esin x, k) y= 2^ , m) y= e*15*   n) y^*151, o)y=a8Ín5x,
p) y = 10*'*«*, q) y= e^.ln x , r) y= x.e1"00^ ,s) y= sin( e^+3x^ ) .
Výsledky: a) a^^.lna.m ,b) 2(x-l)ln5.5x2_2x+1, c) 3e3x, d)-e~x, e) 2x.ex2 ,
f) e*5.-^ , g) e^.i , h) esiax.C08x , k) y.ln2.±£2=L., m) y.-L , 2Vx ln^x 2VTS
o
n) y.---       , o) y.lna.3sin2x.cosx , p) y.lnlO.(tgx + —2_) ,q)e~x.(i -2xlnx)
2x.VTňx cos x
r) e1"0081^^ x.sinx) , s) (2x+3).ex2+5x-2.cos( e3^5^ ) .
Na složené exponenciálni funkce o zakladu e převádime funkce exponenciálni,
jichž základem je nějaká funkce proměnné x (nebo jen proměnná x).Přitom uži-
váme rovnosti pro a > 0 a   = a
- 106 -
í
fa
Napríklad y = xx    zapíšeme    y = e111 y   =   ex,lnx    ,pro   x > O
y'= =   ex,lax.(lnx + 1)= x^dox+l)
224.cvičení.   Podle uvedeného vzoru derivujte funkce :
a) y = x81* x , ry.ícosx.lnx + SfS^; b)   y = x*« x -^S£- + 7 .
COS X X
Poznámka. S derivaci furkcí exponenciálních tvaru
y . r^r^ i strucně
y = u
se setkáme u derivační metody zv. logaritmická derivace , která je výhodnější, jde-li o složitější funkční zápis.
DESÍTKA   ÚLOH   čís.   32 |
1) y = cos'
2 1 - Vx 1+Vx x -1
Derivujte funkce s
--.Bin(2.i--^
Vx. (1+Vx)c
2) y = <tg i=2_ ) l+ex
3) y = sin'
4) y
2 1-ln x
5) y
6) y = e
7) y = io
fr^-
y cos (x.lnx),
sin? J£_ , Vx +1
íl
1-sin 3x
y =
é
7
4
y y
7 7
2e*
(l+e*)'
2«( sin
1-e-l+e3
1 + Vx x -2
)
)
iSL^J.. sin(2.±=Í2L* )
Vx Vx 'sin ,cos
1+Vx 1+Vx
-2-
4.V5(1+VS)23 ľ
■ $(l+lnx).        x.lnx).sin2(x.lnx) ; 1
= - y
(1+x). Vl- x*
= - 12y.lnl0.sin^3x.cos3x
8) y
9) y 10) y
= _l_.e^-arctgx ♦ |lnx +1 f y' B y. < 2x _ _1
V£
77
)
2 2 3sin x.cos x
y y
2y.ln2.sinx(cosx.cos x2-x.sinx.sin x2);
___1
2SEiZ&ce_složen^ch_funkcí_logaritmi
^.foVd + e^ )'
j   y = logaf(x)    ,   y'= j^y.ftx).^   ;      y = ln f(x)   , y'^jf'(x)j(l03)
225.cvičení.     Derivujte funkce :
a) y = m(3-5x) ,b) y = ln(3x2-2x+5) ,c) y = ln sinx , d) y= ln cosx, e)y=ln tgx,
f) y = log^l-x2) , g) y = ln(x+ V^ľ"? ) , h) y = ln tg(| + f" ) .
Výsledkyt a) b)     f3"2   , c) cotg x, d)-tg x, e) al2 », f) "g2x - 3 5X        3x^-2x+5 sln ^ (l-x^).l
.ln 2
S)
, h) —^~ .
Jestliže u složené funkce logaritmické je vnitřní složka vyjádřena výrazem, který se dá logaritmovat,je výhodné nejprve naznačený logaritmus složky f(x) provést a pak teprve derivovat.
- 107 -
/75/.přiklad : y = ln = £.ln J=f = z<f ^d-*) - l»<i«h7
<   1        -1 1      7 -1
y ■        -1=5---T+T" -7 "
Provádíme-li derivaci takové funkce přímo,pak v případě,že vnitřní složka je zlomkem,tj. f(x) = » píšeme při derivováni'hned místo zlomek «
nebo je-li   f (x) =|/ y   j» Piěeme Při derivování hned místo výraz \/^xj .
U přímé derivace se setkáváme se složitějšími zápisy.Tak v uvedeném příkladě 775/ by bylo,,    \T£ , , \T£    ,_x   ' j
226«cvičeni.   Derivujte funkci : ^
a) y = ln , b) y = ln ,°y = ln , y = ln(x.sin x. Vl- x2 )
x-3 2- x* ex
Výsledky:a) -—-, b)   . 2x,    , c) -rpi— , d) i--^ + cotg x .
- (x-2).(x-3)        x4-5x +6        ex- 1
i-----------------------1
j  DESÍTKA   ÚLOH   čís. 33   j      Derivujte funkce s 1) y = ln * +   ^     , y'=-
x.Vl^?.(x + ) 1
2) y = ln-x,_ , y = -
Vx^- 1
e* + VTTT*
3) y = ln( ex +   řl + e     ) , y'=
4) y =
-i- .ln( VZ.tgx +   Vl + 2tg2x ) ,y'= -^
^ _ VITsI?
* x. ITOTTI
sin x
^Vlníax^bx+c) ^
«   _ _ 2ax + b
7) y = er '» y = y
2(ax2+bx+c). Vlníax^+bx+c)
f/-x+3 <        cotg ^
8) y = Vln sin ^     , y =-3
12.v/ln2sin í+1
9) y = ln ex+2 ♦ Ve2x74extl_ y'_
e*+2 -  l^e2** 4ex+ 1 Ve^WTI
Wl + VT5 11 - VT=ä
10) y = ln \}^ T !S 7'---^
^ 2x.VlT^
Při derivaci součtu dvou složených funkci různého typu můžeme derivovat zvláší
jednotlivé funkce,k čemuž se doporučuje zavést za tyto funkce nové označení.
/76/Kapř. u funkce,_ 2 ,_
y = |.(1 - yi+x2 )   + 3.1n(l+ yi+x2 )     zavedeme^ :
u = l.a - f    , v = 3.1*(1+  ^U? )      a derivujeme
- 108 -
3.^(1«*)* 3.^(1^)2.(1+j^l+x^ )
, '   - 6x + 6x1 fl+x* ' _6x
" = s______ • v =
'       ' 2x y   =   u + v   ,       y   = u   + v   = -7
1 + /l+x2
----------------------!
|  DESÍTKA   ÚLOH   čís.   ?4    |        Derivujte funkce i L
J
1) y=2. +   ln^^S_     ( y'-JE. ;
2) y = 2«. l^-x+x2   - 2.1n(x+2 ♦ Itac+x2 ) , y'=  )ín-x + x2 ;
,s Vl+x2 1 ,„ Vl+x2 + 1
3) y =--2~   +   j.ln - , y
* x A
4) y = ln(l + Vl+Í )   + -i—-    , . y'= -x   „_^
1 + V£? x2^ *2|£7
5) y = i. ^(3x+l)2   +   ^x+l   +   ln( ^3x+l - 1) . J '
~^3x+l - 1
6) y = 3^S. Vx2+ 2x +2     - £.l*(x+l ♦ Vx^xtí ) , y'= ** «
2x + 2
ul . Vx2^ 1 x-1 '__4x .
x+i x +1 (l+x).(l+xfc)
.Vl+ex -
8) y = (x-2).řl+ei   - ln
/l+ex   - 1                          ' x.ex *--- » J ~ .._
O+e*   +1 2. Vl+ex
x                             ,   I/.   2 «      arcsin x
9) y = .arcsin x    +   ln rl-xr   , y = - - ;
VZ? _ (1-x2).^?
10) y---£2sx_    +     m \/ 1 ♦ oos x (              y', -Cosfx. .
2sin x                   '     sin x sJUrx
• •
•! y = arcsin f(x) , y'= -i--f'(x);   y= axctg f(x)   , y'= -i-f'(x)Í
:                           Vi - í+^íx^T2 :
: y = arccos f(x) , y'=        ~ 1 —-,f'(x);   y =arccotg f(x), y'= -—-f'(x):
!                                    Vl - STU}?* l+tfUlf
(5- 4x - x2
777/.přiklad.
y = arcsin ž*2 , y'= —^—=.(^)'= ,-_L-Ji-- | - —
227.cvičeni.     Derivujte funkce i
a) y = axcsin 1      ;        b) y = i.arctg '= -5—i- ;
1        V*x^? ' x    2x +5
c) y = arccos 2x~1 , y'= 2 —;   d) y = arccos i ,
-109 -
e) y = arccos —7? , y' g) y = arcsin i=2§ « y'
-2^
f) y = arctg y'= - ■1-n ;
1 x   »        1+ x"1
_J5 v-   i^2 .
k) y = arcsin ex , y'=
n) y = arcsin l^l-x2 , y'= ■■ -1 ■ ;
g ^|
m) y = 2.arcsin Vx ,   y'=     1 ■
Vx-~? 1
o) y = arctg
y =
1+
V^? 2.^
i DESÍTKA ÚLOH fiís. 35 I Derivujte funkce l______________________l
1) y = 2.arcsin j/|   -    j^x-r2 ,
2) y , . Í+Ž V^Ix2   ♦  ^.arcsin žj2- ,
y =
3) y = ^.In
^ x^+2x+4
1, \ 1 «_ x2+2x+2
16 x^-2x+2
5) y = 2^6. ^ax-x*
6) y = ^.ln(x2+x+l)
-^.arctg 2±1 l.axctg
g"-, arcsin 1
a
2x1-1
.arctg V3 \0
7) y = %.fx.)aZ- x2   +   a2.arcsin | _7
8) y = x.arcsin ^jfj   +   arctg Vx    - V*
9) y =  l^ax-x2    -    a.axctg ^gT ,
+   2.arctg ,
0 y =	x2
	V5+ 4x- x* 1
y =	J - 8 '
	1
y =	x> 4
y = 0	1^2 ax- x2 ; x
y =	x2* x + 1
* y =	
i y =	arcsinj^ j
» y =	
# y =	1 i/i^r x* rT+x
Derivace funkcihypeŕbolických. Pro hyperbolické funkce siah x
e*" e"X   cosh x   = e%+ e~X,
t6h x =-2^3. cotsh * = 4^3
se odvozuje s
y y
= sinh x ,	9 y =	cosh x ;	y =
= cosh x ,	0 y =	sinh x ;	y =
= tgh x ,	y =	1 —2 ' ' cosh x	y =
= cotgh x ,	# y =	-1 -----3 ; sinti x	y =
sinh f(x)
y = cotgh f(x)
ex+ e~x
«     7 = cosh f(x).f'(x)
»     y'= sinh f(x).f'(x)
4
• y
:<io5)
—Vr^'^ cosrf(x)
y'=   ~\ , ,.ť(x)
sinli f(x)
K zjednodušeni funkcí,které obdržite derivováním,užijte vztahů mezi hyperholicky-mi funkcemi,z nichž nejzákladnější jsou :
2 2 cosh x - sinh x = 1
tgh
sinh x cosh x
- 110 -
cotgh x =
cosh x sinh x
2 2
cosh 2x = cosh x   +   sinh x     ;       siah 2x   =   2.sinh x.cosh x
Z každého racionálního vztahu mezi funkcemi goniometrickými lze získat odpovídající vztah mezi funkcemi hyperbolickými tak,že
symbol   sin      nahradíme symbolem l.sinh
symbol   cos      nahradíme symbolem cosh
symbol   tg        nahradíme symbolem      i.tgh ^   = ~ 1
symbol   cotg    nahradíme symbolem -i.cotgh Přesvědčte se o tom u uvedených pěti vztahů mezi hyperbolickými funkcemi.
228.cvičení.     Derivujte funkce s
a) y = cosh(sinh x) , b) y =   tghíl-x2) , c) y = tgh(ln x) , d) y = sinh^x ,
e) y = sinh2x + cosh2x , f) y = |/coshx , g) y = In coshx ,h) y=arctg(sinh x).
— 2x 1
Výsledky : a)sinh(sinh x).cosh x , b) -n-7~ • °) -^T?- t
cosh (1-^) x.cosh (lnx)
d) 3sinh2x.cosh x , e) 2sinh 2x , f)   slnh x , g) tgh x , h)
2fcoshx
"1
cosh x
1^ DESÍTKA   ÚLOH   čís.   36   j        Derivujte funkce *
1) y = 003n x   - ln cotgbf ,l~ J i        2) y = ln cosh x   +    1   g ,<ftgh5x7
sinh x sinh^x 2cosh x
5) y = j.tgh |   - g.tgh5 f ,C-i-Tp^ 7;       4) y = arcsin(tgh x) , f—- _7;
4cosh   j cosh x
5) y = arccos( ) ,     C^é^í -7 •        6) 7 = arctg(tgh x) , ^čěšíh^ _/
7) y =   l/l + sinh24x   ,        ^sinh 4x_7; 8) y = f(l+tgh2x)3,/--5tK*j x 7
2cosh2x.Vl+tghi:x
9) y = ecosh2x   ,        ^e^^.sinbžx 7; 10) y= itghx + l£ln VŽ-*frj + 1 ,
d 0      1 - VF.tgh x
l-sinh^x
Logaritmická___d e_r i_y_a c_e»
Funkce vyjádřené výrazem,který se dá logaritmovat,můžeme derivovat metodou tzv. logaritmické derivace.Podstatu této metody tvoři derivace složené logaritmické
funkce J ^fln f(x) j' = ^y.t'(x)   = £^2p
Při označeni   y = f (x)        ^"lix y =   - • y*        = v
Kromě funkci,jež jsou součinem a podílem mocnin funkcí,derivujeme metodou logaritmické derivace funkce   tvaru „/„\
y   = ^u(x)_7vU;   , stručně     y   =   uv .
Postup ukážeme na dvou příkladech f ^ /78/.příklad : y = W1)3.^
1. krok : funkční rovnici logaritmujeme (přirozeným logaritmem )
ln y = 3.1n(x+l) + |.ln(x-2) _ |.in(x-3)
2. krok t derivujeme obě strany vzniklé rovnosti funkcí
- 111 -
y'    3   .    1 2 y   xtl + 5Ti=27 " 5*5=37
3.krok t pravou stranu upravíme ~
y 57^ - 302x + 361 y = 26(x+l)l»-íí)U-3)
4-.krok t rovnost násobíme číslem y,za něž na pravé straně dosadíme danou funkci;
„ .  4„an< '   57x2 - 302x + 361 (x+l)2.Kx-2
po kráceni y = ";>6U-gKx-3J      '     5 g
^(x-3)2
229.cvičení.     Užitím logaritmické derivace derivujte funkce í
O.I£7.fc?   ,        y' =   6+ 5x * 8*2? 4x?+ 2*4+ ^
a) y = (1+x
b) y
(3-x)4.yx72 * =   (x2- 32x -73).(3-x)3
2(x+l)6.V^2_
c) y . tf'-Kj+lj , y' .   »** f V -Í*Š*%
'     (x^-l)2 3x(l-x4)   ' (3ŕ-l)2
3X2 + lOx + 20
d) y
15(x2+4) .y(x-5)2 .y^íT
Derivujte některý z těchto prípadu také dřívějšími metodami a srovnejte s metodou logaritmické derivace.
f (x)
Touto metodou možno derivovat všechny složené exponenciální funkce tvaru y =a * ', a >0. Viz cvič. 223.
/79/.přiklad : y   =   (sin x)00B x
i.krok :logarítmujeme   ln y   =   cos x . In sin x
» 2
Ic os  "x. j = -sinx.ln sinx   +   -a^n /. y
3. a 4.krok t y' =   (cosx.cotgx - sinx.ln sinx).(sin x)cos x
230.cvičeni.     Užitím logaritmické derivace derivujte funkce i
a) y = x* , b) y = ^ , c) y = 2.xV5 , d) y = x** , e) y = x1* z,f )y=xar^m£.
g) y =(sin x)x, h)y= (tg x)x, k)y= (In x)x, m)y= ( -fy ) , n)y = ( iS )
Výsledky s a) x^l+lnx), b)    ♦/    , c) 2+lEf .y , d) x3^*1.(2.lux +1) , -i- 2.Vx
e) 2.xlnx-1.lnx ,f) y. .     ^ x   + aJC°ln x ), g) y.(ln sinx   + x.cotg x ) ,
vir?
h) y.(ln tgx   +   -gfézz ), k) y.( +   ln lnx ),m) y.( jij + ln ^ )
*tS«<1 + 111 T+x   5 '   ♦/ b)  ^^.(l- H«) (1+x)
Der^ace_funkce_dané__i_5_E_i_Í_£_Í_£„S_i •
U funkce dané implicitně rovnici     F(x,y) = 0    předpokládáme existenci explicitního tvaru  y = f(x) , i když někdy nedovedeme   vypočítat y z rovnice P(x,y)=0. Tedy také ve funkčni rovnici F(x,y) =.0   je y jistou funkcí proměnné x,a to nejčastěji funkci složenou.Eroto při derivování se setkáme s takovými zápisy s
(ay)'=   a.y'   ;      (yV =   n.y^.y'     5      (xW =   3x2y* + ^.'x5
- 112 -
(sin y)' =   cos y . y'   ;     (e7)' =   e-^.y'   ;     (arcsin y) = ■■ 1   . y'
K?
Derivaci implicitni funkce   F(x,y) = 0   budeme zatím počítat zcela formálně takto
Funkci   P(x,y)= 0   derivujeme podle proměnné x,přičemž y považujeme za funkci x.
Ze vzniklé rovnice vypočteme derivaci y' jako neznámou.
/80/.přiklad : , ,
x<í-2xy   +   yí-l   = 0
2x   - 2(y+y;x)+3y2y'       = 0
y' =
3r- 2x
Derivace funkce určená z implicitního tvaru je obyčejně vyjádřena oběma proměnnými   x,y. Hledáme-li pak derivaci funkce v určitém bodě, tj. pro určité x,musíme si vypočítat i příslušnou funkční hodnotu y   z funkční rovnice   F(x,y) = 0.
231«cvičeni.     Vypočtěte derivace funkcí daných implicitně :
a) y2 = 2px , b) b2x2+ a2y2 = a2b2, c) x3* y3 = 3axy , d) x2^ - x4 - y4 = a4,
e) (x2+ y2)2 = 2a2(x2- y2), f) y - e.sin y = x , g) xy - ln y =a, h) yx2 = e7,
k) yex + e7 = 0 , m) e7 - e~x + xy = 0 , n) y - arctg y = x .
Výsledky , a)y'= E, b) y'= - ^ , c) ^ , d) e)''^* 7?- Q,
7 ya y -ax y(2y - x*)       y(xS ý% tŕ)
f) -i-, g) h) , k) -2-, m) - Žlt-2. , n) K + 1 .
1- e.cos y       1 - xy       x.(y-l)       y-1 eJ + x y*~
Poznámka.Dané funkční implicitní rovnice se užívá někdy k zjednodušení výsledku. Derivaci funkcí daných implicitně budete později počítat užitím tzv. parciálních derivací funkce dvou proměnných.
!  DESÍTKA   ÚLOH   čís. 37    j        Derivujte funkce dané implicitně : I-----,-----------------1
D   xe7 ♦ ye* - e*7 = 0      , y' =   7^ ~ Z* * - g .
xe"7 + e   - xe J
2) sin(xy) - e*7 - x2y = 0   , y' =   7'(2x * °os *Z>
x(cos xy - e ' - x ) 2 2 2 ,
3) x5   +    y5   =    Č y' =   - \/%
4) arctg 2|2    _   Z   = o   , y' =
x
a2
^2
(x+y)
5) x7   =    y*   , y' =   rfr- x>ln 7) = 7g(1- 111 x?
<_ x(x- y.ln x)     x*(l- ln y)
6) ln Vx2+ y2   =   arctg Z   , y' =   §-±-Z ;
7) y   =   2x.arctg |   , y' = Z
o\     x —v ^ ' e^siny + e~7sinx
8) e .sxn y   -   e J.cos. x   = 0 , y   =   -        ^-        T ;
e cosy + e •'cosx
9) x.sin y   -   cos y   +   cos 2y = 0, y' =--s^"n 7
x
2   _   p ' _   y.e    - 2.e
10)   x.e      +   y.e      =2 y =
- 113 -
x.cos y + sin y - 2sin 2y x v 2*
8 "f -J 2.e     - x.e