§ 31. ALGEBRAICKÉ FUNKCE. I. §ic^ná^i_funkce_celé. Racionální funkce celé (mnohočleny,polynomy) ásou definované a spojité pro každé z.Jsou-li stupně n-tého,pak může existovat nejvýš (n-1) hodnot proměnné x, jež vedou k lokálním extrémům.Tato x jsou současně hranicemi intervalů monotónnosti. Grafem racionální funkce celé n-tého stupně (n > 2) je tzv.,,vyšší parabola", která může mít nejvýš (n-1) vrcholů a nejvýš (n-2) inflexních bodů. Při výpočtech se setkáme s řešením algebraických rovnic a nerovností vyšších stupňů.Viz III. a IV. kapitola.Některé z nich se nám zatím nepodaří rozřešit. 233.cvičeni.Pro dané funkce určiti lokální extrémy,intervaly monotónnosti,charakteristické body grafu a náčrtek grafu. a) y= 2x3-9x2+12x+l, f V(l,6) , V(2,5) , /J( |,5j) J i b) y= 3x4-4x5, C £(1,-1), —^(0,0) , /J2( |,- ^ ) _7j c) y= x^-3x2+3x+3 , ^~«*-J(l,4), funkce je v int.(-oo ,+00) rostoucí_7 ; d) y= x^x^x2^*-!^- V(^,-3g), V(-l,-9), 1(2,-9), /J^i^^),/^^,)J. e) y= (x-l)2.(x+l)5, f V(|,yi+1,1),Y(1,0),W1(-1,0),/J2(i^,3i),/J3(i^l,^)_7; ,-----■--------------------1 i i DESÍTKA ÚLOH čís. 38 Úkol předešlého cvičení provezte pro funkce 1 . J 1) y= x5^2^^ , ^(5,^), Y('3,-4), >J( f. §7> Ji 2) y= £x3-3x+l , í~V(-2,5), V(2,-3), /J( 0, 1) J ; 3) y= 1 ♦ x - x3, TVÍ 4.aÍ2>. %^ >. 0. D -7; 4) y= x4- 4x5* 4x2, ^V<1,D, V(0,0), V(2,0),^(2^2,^), /^(^Yl,^) J7. 5) y= x4- 2X3* 1 , ' f Ví \,- ^|), ^(0,1), /J2(1,0) _7 ; 6) ys: Jx4 + x5 , « y-i.r-r _7 5) y= . » + _7 6) y= ^-V(l-W,y*7)tV(l+Wtyi íi), J^-^-Sx+lsO); 7=1.::-T _7 ■xŕ* 1 1U + 7) 7- X>i~5x+1, ^V(-1,2Í), V(l,-3), J(x3-3x+l=0); 7=1,=—.z J x - x+1 ^ 8) 7= ?3t>44x*4t^Ť(Ot»)t V(-2,2|), J(x3+3x2-l=0)j 7=3,^ _7 x^+x+l 5 9) 7= x?v t ^(1.2), VC-1,-2), /J^O.O); 7=0,^.7 10)7= ^(o.O.vcV^^.ň-^.l),/^ 2( Ä^*i*s22ty)t/j 4cJfe=ss2iy ), X + 4 " ^ ' . 7=0,^.7. 2. Racionálni_funkce_lomené 7 = t jichž jmenovatel má reálné kořeny ( Q(x) je rozložitelný mnohočlen ) Má-li mnohočlen Q(x) r různých reálných kořenů,má daná funkce r bodů nespo-jitosti.Jsou-li x-^, x2 , Xj ,....xr reálné kořeny,pak kořen x^ je bodem odstranitelné nespojitosti,když lim q)*\ je vlastní, nebo bodem nespojitosti 2.druhu,když lim a}x\ 0e nevlastní , ~ případně jen jednostranná. x-«< V případě nespojitosti 2.druhu je přímka x = xí asymptotou grafu funkce. Platí-li o stupních mnohočlenů P(x) , Q(x) opět n < m , pak grafy těchto funkcí mají asymptoty rovnoběžné s osami souřadnic. V příkladech následujícího cvičení a desítky úloh určete lokální extrémy,charakteristické body grafu,asymptoty rovnoběžné s osami souřadnic a náčrtek grafu. 235.cvičení. a)y= C /J(2,|); y=o,r-^;x= o,_|_; _7, 23 b) y=^ľ?' C /J(o.o)i 7=o,^-T;x=-v3,l,x=V3, 1_ _7; 2 c) y_ x p2 £~ Pro x=l bod nespoj .odstranit., 7=1,--;x=-l, |+ . 7; x2-l Poznámka.Při sestrojování náčrtku grafu narýsujeme nejprve as7mptot7 a věechn7 určené bod7.Teprve podle potřeb7 vypočítáváme souřadnice dalších bodů. - 122 - DESÍTKA ÚLOH čís. 40 J 1)7= -f* x - 4 2x 7 * 2)y= 1- x1 3)y= ť- 1 ^"lok.extr.neexist., /J(0,0); y=0,-—±;x=-2,_ ^"lok.extr.neexist., /J(0,0); y=0,-—-;x=-l,+ r-tSx= 1,+ 5) y= 5p-Í " 2 i Dii-2."?). /J(-3,-2§ ) 6) y= , k = lim f(x) q = lim ff(x) - kx _7 , X-*- +00 X-f +00 za předpokladu, že obě limity existují .Přitom v podmínkách x-*- +co platí současně znaménka horní nebo dolní. Takto určená asymptota nemusí být limitní polohou tečny pro x-*- + oo a že právě část lineární vede k asymptotě y = kx + q . (-x3+ 2x + 3)í =0 7 Vil J-« c x+1 2 c) y= , ^~x= O x ..2. y= x , S(0 , O ) ; 01>2=(1+ \£)x - y = O J d) y= 2xSjc f ^-x= . i , y= 2x- 1 , S(- 1,- $); o, 2=y= (2+V5)x -1 + V? _7 x+1 ' é funkce určiti asymptoty a charakteristické body grafu : C V(-V5,=^2),V(Wt2j2),-^J(OtO)} y=x; x—1,J+| x-l,J*_7l x - 1 b) y= J.^E=ii_t C V(-5,-6|), —J(1,0)5 " (x+1) y= J* - ! x=-i._ _ 7 c) y= £±2^+2žrž,^- vCi,^),v(2,^),vC-3,^),/J(|,y=3j)!y4^i; x=o,J_ _7. III. Ira^oná]^_funkce. Iracionální funkce mají někdy v některém bodě nevlastní derivaci.Je-li v tom to bodě daná funkce definována,pak graf funkce má v tomto bodě tečnu (polotečnu) rovnoběžnou s osou y.Mohou to byt t 1) krajní body intervalů definičního oboru (viz obrazce : 15 , 14 , 15 ) 2) inflexní body (viz bod \J v obrazci 37 ) 3) body vratu (viz body H , H v obrazci 37 ) Pro jejich určení vyšetřujeme jednostranné nevlastni derivace.Pomůckou je nám geometrický význam derivace funkce v bodě (směrnice tečny) Obr. 42 tg0 : tgoč= f'(x) >0 Když x-»s+,f'(x)*+oo!Když x-* s-,f' (x)-»+co lim f'(x) = + oo : lim f'(x) = + oo x-o s+ x-». 3- tgcx= f'(x)<:o : tgcť= f'(x)< o Když x-*- s-,f *■» -oo „• Když x—s+, f-oo lim f'(x) = - oo • lim f'(x) = - oo X— B- :x-»- s+ Kombinací těchto čtyř případů obdržíme body inflexní s tečnou rovnoběžnou s osou y nebo body vratu f 1. nastanou-li oba případy a),b) nebo c),d), má graf pro x=s inflexní bod f J , ^ 2. nastanou-li oba případy a),c) nebo b),d), má graf pro x=s bod vratu H nebo H. Viz obrazec 37, str. 117. - 124 - /84/.přiklad. a) Funkce y = ^x-1 má derivaci y'= ^ —-.která neexistuje v bodě x=l. 3/(x-l)i? Funkce je v bodě x=l definována a proto vyšetřujeme nevlastní derivace : 1 1 lim <9 ■■ - - + oo , lim ■ - = + oo Graf funkce má v bodě x=l inflexní bod s tečnou rovnoběžnou s osou y. b) Funkce y = J^? má derivaci y'= —§■— , která neexistuje v bodě x=0. Nevlastní derivace j li 2 2 lim —- . s - oo lim —-*—- = + oo m s — oo XXiu ■» 3./x~ x,*0+ 3.Vx" Graf funkce má v bodě x-0 bod vratu H . Pro x= 0 existuje lokální minimum. 238.cvičeni. Urcíiti všechny možné lokální extrémy funkcí,případně inflexní body : a) y = 3 - f*^. , C f J(2 , 3) J b) y = y(l-x2).(l+2x2) ,C V(+i,-2),V(0,l);body (-1,0),(1,0) mají ,.svislé" 7 Y5 polotečny . -7 c) y = 3.^? - x2 , ^" V(-1,2),V(1,2), H(0,0) _7 d) y = 2x - 3. C V(l,-1) s H(0,0) 7 1^ DESÍTKA ÚLOH čís. 41 J Úkol předešlého cvičení provezte pro funkce : 1) y= (x+1)5.^2 , C V(- ^.yiO.15), -W(-1,0), H(0,0) _7; 2) y= j^(x+l)2 + y^(x-l)Ž ,/" V(0,2), HjC-l, ), H^(l, V4 ) _7 j 3) y= ^l.^(2x-l)2 , C í< |t ^ ). ♦J(i.o), H( |,0) _7 ; 4) y= {W)2 - ^(x-l)2 ,r H(-l,-|* )» H(l, y4 ), /J(0,0) ; y=0tr—t 7 ; 5) y= ^ - 4 , • ^(2,0), inflex.body existují _7 9) y= ^x2- 1 ., Z" V(0,-1), ♦ J^-I^O), M2(1,0) _7 10)y= i2sŽ52- y= yx^g » -oo ,-2 > ,(2, +oo );bod (-2,0) má svislou polotečnu; x=2, V % c) 7= ^fx^ » a >0» r^J( *#• |fe);bod (a,0) má svislou polotečnu;x=0, l+ 7; d) y= \í Vx^+x+l + Vx^-x+l ), f V(0,1); asympt.: y = x;y = -x_7. - 125 - § 32. TRANSCENDENTNÍ FUNKCE. I. Goniometrické _funkce, Při určování průběhu funkcí goniometrických se setkáváme s řešením goniometrických rovnic a nerovností.V každém případě si uvědomíme,že vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí obdržíme vždy nekonečnou množinu bodů vedoucích k lokálním extrémům,nekonečnou množinu intervalů růstu(klesání),pro graf nekonečnou množinu vrcholů,bodů inflexních apod.Každou množinu zapíšeme užitím celého čísla k a čísla vyjadřujícího periodu příslušné funkce. K správnému sestavení všech zápisů užíváme grafů základních goniometrických funkcí. /85/.přiklad. Určití lokální extrémy a charakteristické body grafu funkce y = - £.sin(3x + jf ), vyšetřované bez užití l.a 2.derivace již v kapitole o grafech funkcí.Viz / str.80, obr.20 /. y = - £.cos(3x+ jjO y = =£.8in(3x+ Nutná podmínka pro lokální extrémyi cos(3x+ ]j) = 0 , což je splněno,když a) 3x + f = f + k.2 5T b) 3x + f = §5T+ k.2J7" x = ^.(8k+l) JT x = j|.(8k+ 5).#" Dosazením do 2.derivace se přesvědčíme o splnění postačující podmínky > y"= ^J.sin^- jICSk+DT* f _7 y"= žJ.ain^jJ.CSk+S) + f J = ^|.sin( f + k.2^) = ^.siní \ j* k.2T) = > 0 = < 0 Množina x = ^(8k+l)^" dává body, jež Množina x = (8k+ 5)Tdává body, vedou k lokálnímu_minimu funkce. Jež vedou k lokálnímu_maximu funkce. Několik bodů těchto množin obdržíme pouhým dosazováním k = 0 , +1 , +2...... = ^JT; v obr.20 je to bod ^2 = '; v obr.20 je to bod^4 = %T', v obr.20 je to bod| 6 =- qT; v obr.20 je to bod ^ =- v obr.20 je to bod^j 240.cvičení.Určete lokální extrémy daných funkcí.případně i charakteristické body a náčrtek grafu funkce i a) y= sin x + cos x fy/ |(8k+l), W / , V/ f(8k+5)t- W / _7 b) y= cos x ♦ cotg x c x= kf.J+j ,h(^+1)t0). ^J2ff(4k+3), o) J ,----------------------"j DESÍTKA ÚLOH čís. 42 j 1) y * 2sinx + sin2x C v(J(6k+l), V(|(6k+5),- ffi) 7 2) y = sin2x - 2sinx f vff(4k+3), 3 ) ; v(f(4k+l), -1 j _7 3) - y = cosx + Jcos 2x C v(k^t (-l)k+ U ;v(| J"(3k+1),- JJ_7 - 126 - k=0, xo= v obr.20 je to bod ^ xó k= 1, *1= v obr.20 je to bod j^ k=2 , • x2= v obr.20 je to bod ^ * *2 • k=-l, hr v obr.20 je to bod^g mmě xl k=-2, • • v obr.20 je to bod^'4 *2 • 4) y = cos3x + sin3x , C V(|(2k+1) ,lj; y/f(4k+l),)!|) pro k sudé vf|(4k+l),- ^y/kT.-ljsy/ftfk+l),-!) pro k lichéľ 5) y = sin5x + sin x , C V^^k+D^J-.vď^k+j),^; /J( k/", O) _7 6) y = 4sin2x + tgx , vf|ír(3k+l),- ^5 v(|^(3k+2),- ^ j ; vfT(2k+l),- |); V(|(2k+1), - J^_7 9) y = -10 2 C Vfk^, 10j; V(t(2k+l), 5) i inflexní body řešením 1 + sin x 4 2 rovnice 2sin x - 5sin x +1=0 7 10) y = sinx - tg x f x* f"(2k+l),J+; v(J(6k+l).^-^ V^<6k+5),- JfeMi) J II. Exponenciální funkce. _----------- f(x) Při vyšetřování průběhu exponenciálni funkce tvaru y = a , a > O , si uvědomujeme,že funkce má gro každé x__kladné_fuokční_hodnot2; proto f(x) 2ro_žádné_x_není__a__ _=__O Poněvadž 1. a 2, derivace takové exponenciální, funkce se dá uvést na tvar f(x) a . P(x) , f(x) pak řešení rovnice a .P(x) = O přechází na řešení rovnice P(x) = O . V příkladech následujícího cvičení a desítky úloh vyšetřete lokální extrémy , případně i charakteristické body a asymptoty grafu dané funkce.(U grafů některých funkcí existují inflexní body,ale vypočet jejich souřadnic je složitý ) 241.cvičení. a) y = x.exx £~ V(-l, -e"1) ; yJÍ-2,-26"2); asymptota y= 0,-- J 1+? _ w- b) 7 = 2 C V(1,V2); V(-l, 1| );exist.J1,J2,J3; y= 1, —± J ! DESÍTKA ÚLOH čís. 43 | i_________________________i -x2 _1 1 D y = 2 c ví0*1); /JiC ~= ,2m ), /j2( -Z^12*); y= o, ^-i 7 ' 1 Vlní * Vln4 2) y = e"^, C VCO.D; /J,< Ú , -± ); /J2(- % , ); y= 0, 7 x Vé Ve - 127 - 5) y=e~x 1 _2 __ _ Asymptota i futO; lim y=0; S3JÍ% );/J2<-|f, -^); 7 = l,r~r_7 x—O 1 eVe * í:> eVe - + - 4) y = ex , r*#>; lim y=0; lim y=+a> ; /J(- i,e~2);x=0, |+;y = 1,-± 7 x-*-0- x-*- 0+ 1 5) y = e5^ , fxé-Z; lim y=0; lim y=+oo ; AK-2Í, e""2) ;x=-2f l+;y=l ,-- 7 x-»- -2- x-*- -2+ 1 -2 6) y = Ž521 , ^ljlim y=0; /J( 2^2, 2^ ); x=l, l+; y = 1,-± 7 x-*-1- 7) y = —1 _t , lim y=l; lim y=Oj y = —- _7 l+ex x-*-0- x-*-0+ c * 8) y = x2^"*, V(2, 4e^);V(0,0);/J1(2+\^, y) ;/J2(2-V2,y); y = 0,=—± _7 9) y = x.e* , ^"x^O; lim y=0; lim y=+oo ;V(l,e); x= Ó,f+; y = 1,-—-J x» O- x-» 0+ -x2 10) y = x.e"2", V(l,-i);V(-l,^ );/J1(0,0)i/J2(|^,y>;J,(-W,y)l ^ ^ y = oir-i:_7 III. Logaritmické_funkce. Derivace logaritmické funkce tvaru y = In f(x) je funkci tvaru f fc^P« Je-li vnitřní složka f(x) racionálni funkci,pak řešeni příslušných rovnic a nerovnosti neni obtižné. Často se setkáváme s rovnici ln x = m , jež je splněna pro x = em nebo s nerovnosti ln x £ m , jež je splněna pro x ^ em . Je však důležité zjistit předem definični obor dané logaritmické funkce a přesvědčovat se,zda x,vypočitané pro lokální extrémy nebo pro charakteristické body grafu,náleži def.oboru funkce. V příkladech následujícího cvičení a desítky úloh určití lokální extrémy daných funkcí,případně charakteristické body a asymptoty grafu. 242.cvičeni. a) y = |?- ln x , £x>0, V(l, £); x= O, l+5 J b) y = , fx>0; V(l,0);VCe2,-4 );/J(e* ,y);x=Ot l + ;y=0,-i _7 x e ,-------------------------1 { DESÍTKA ÚLOH čís. 44 | 1) y = Vx.ln x , fx>0; VCe-2,- -§ ); /J(1,0) J 2) y a x.ln x , C*>Oi V( |,- i ); J 3) y = x2.ln x , 0; V( -i ,=1 ); /j( -±-,=2, ); Vi 2e eVe 2e^ J 4) y In x ~ ~x~* » ^~x>0; V(e,i ); /J(eVe, -2— ); e 2eVe y= o,—t J 5) y 1 - » ln x l~x>0;x*l; /Jíe"2,- J); x=l,_|+; y =o,—± j - 128 - Asymptoty: 6) y = ln(l+ x2) , C V(0,0);/J1(l,ln2);/J2(-l,lu2); ln(l- x2) , ^~Obort(-l,l);V(0,0); x=-l, |_;x= 7) y 8) y = ln(xc- 1) , ^~Obon(-oo ,-l),(lt+co ); x=-i,J ;x= i, |_ _ 9) 10) = x + ln(x2-l),^~Obor:(-oo,-l)f(l,+oo)íVC-l-\^,y);x=l, |_ ;*=-l,J X—l, |_;x= ŕ.In 1 + x 1 - x , ^""Obor:(-l,l); /J(0,0)j J J 7 ? 7 17 • 22fei2S§ííi£iEÉ_£HS^££ • U složených funkcí cyklometrických se setkáváme častěji s některými zvláštnostmi (singularitami),které se zřídka objevovaly u funkcí předešlých tříd.Tyto funkce mívají body nespojitosti I.druhu,jejich grafy mají body úhlové apod.Proto je opět důležité určovat definiční obor funkce a vyšetřovat obě okolí bodů,pro něž není funkce definována. Příklad. y - are sin i Def .obor : (-00 ,-l>, (x) - 129 - Kapitola XIV. NEURČITÉ VÝRAZY. Ľ H O S P I T A I o T O PRAVIDLO. Při výpočtu limity lomené funkce yfcfl v bodě a jsme po dosazení x=a při-0 chazeli k výrazu g ,který jsme ponechali jako symbol,neboí jako zlomek neměl smysl.Poznali jsme mnoho lomených funkcí,jež pro určité x vedly k tomuto symbolu a jejichž limity byly většinou od sebe různé. Symbol ^ , který sám-o sobě nemá žádný početní význam,patří ke skupině tak zvaných neurčitých výrazů,jež zavádíme užitím limit dvou funkcí. Neurčitý._v£raz § : u(x l Je-li lim u(x) s lim v(x) = 0, pak ,rW je pro x-» a neurčitý výraz typu « l l x—a x~a vw 0 : Jestliže k symbolu g můžeme přijít většinou pouhým dosazením určitého čísla do dané funkce,není to možné u jiných neurčitých výrazů,jež jsou vyjádřeny užitím symbolu co.Nelze totiž zapsat,že nějaký výraz dává po dosazení symbol oo a sám symbol oo nelze také dosazovat,nebot není číslem ,kdežto nula je číslo. Z neurčitých výrazů,obsahujících symbol oo.je nejzákladnější aeurčitý_vý_raz ~ í . (115) . . : Je-li lim u(x) = lim v(x)=+oo, pak je pro x-* a neurčitý výraz typu •££• I ! x-*- a x-*- a í Ostatní neurčité výrazy O.oo , oo - oo , 0° , O00 , co0 , l00 zavedeme postupně až při výpočtu limit některých funkcí tvarů u(x).v(x) , u(x) - v(x) , a /-u(x) 7v(x) . 0 00 Liniity__fu^cíAie|_vedou_k_neurči g nebo — vypočítáváme užitím tzv. ĽHOSPITALOVA PRAVIDLA , které stručně zapíšeme t i "-.AI = lim = Um = = Um 4n^ I <116> : x-* a VVl ; x-»> a v (x) x-*-a v (x) x~ a vv"'(x) : • .....t...........• Když po případné úpravě je podíl opět neurčitý výraz typu 2 nebo ^- , "C \ v (x) t určujeme dále lim ——^£2 . Podle potřeby užíváme l'Hospitalova pravidla až po v"(x) limitu,která se dá vypočítat. I. Výj>očet_limit2_funkce Íi|_EO_užití^rvních_deriva /SS/.přiklad, lim - sinx = 11» c°^-x.Sinx-cosx =lim =si£x=_ 1 * *- x* O x3 x* O 3>^r x-* O 3x 9 x 5 256^cvičeni. Vypočtěte limity funkcí s S4. n.7; b)xlim jg^ ,r> i.7, c)xiim ^;d)lim feg , 0 1 - e x 7) lim 1- sin x + cos x t /- 1_7; Q) lim x - arctg x ( ^- 1 7 . x-* J sin2x - cos x x-* 0 x3 3 9) iim 2*^2 , r 1.7; 10) lim arcsin^x-a) /- xj # x-» 1 ln x x-*- a tg(x-a) El.Výpočetlimity funkce po vícenásobném užiti l'Hpspitalova pravidla . 37/.přiklad? lim 6 ~ e ~ x = lim e + e ■ = lim e "e = lim e +e = t = 2 x-» 0 x- sin x x-» 0 1 - cosx x-» 0 sin x x-«-0 cos x ------------------------, DESÍTKA ÚLOH čís. 51 | Vypočtěte limity funkcí : ---.---------------------1 1) lim Bln * z-0 ?5 2) u 1- sin ax /-l 7. 3) 1±m ex- e^bc fljr x—0 1- cos x ~ x-^ (2ax-#-r " 0 x—0 x^ 4) iim ^osr^2, /"O 7; 5) lim ^ ^" ^"X"1t /"I 7; 6)li« SSÄ/" | 7; x-0 sin^x " - x-0 cosx + lx2_1 x-0 y? T£ "fcffX X U 7) iim J^i^o 7; 8)lim X " X ,|^7 cos x - - 2x 2 _.lim ^ , 1 .um £Z- =lim ^ » 2^> ■= x-° (l+x2)!^? x~° l-cos3x ' x*° 3cos2x.sinx x-° 3cos2x.sinx.Vl^? „lim ~\á .um _2L_.iim 1+ 2.íh^ = _ 1 lrfä = - 1 x-* 0 3cos x x-k> sin x x-o ur 3 1 > 57.cvičeni. ^2 a) nm - ^ * ,0 7; b) lim ln ainax,a> 0,b> 0,0,7i c) lim §35=^ . T-2.7 x-*0+ln sinx x-»0+ ln sinbx x-»-0 - 137 - I-----------------------1 DESÍTKA ÚLOH čís. 52 j Vypočtěte limity funkcí : 1) iim tfs^ rlJt 2)lim^inx - x ,r„1_7. 3) lim l^cps^x /- a2 j x—O x? x—0 arcslnx x x-*-0 ln cos bx b „áVx -i _ „cosx _3 4) lim e - 1 ,r-Z 7; 5) lim -^- f/"-e 7; 6) lim ■■^•sin x ,^ 4 7; x— 0 ti gin bx Vb x—O 1- sinx-cosx " x—O (l-cosx)^ 2 „_„_ ln(l-x)+ tg n / \ 7) iim ^.coax f/-2 7 . 8) lim-*2_f ^ 7.9)lim cosx.lnCx-a) ,-osa ? x-*> O 1- cosx x-*-1- cotgTx x-s- a+ ln(e -e ) 1^7 + ix2 - 1 10) lim '- ■ m , /"- 3 7. X-w O COSX -1+ otg ?x x-*-l -±-^- 41 sin^ lífx 2 a) lim x.sin | ,/~a_7; b) lim ln(2-x) .cotg Jx , C~ ňf- J X-*- CO X-*- 1 ■// ,-------------------------, DESÍTKA ÚLOH čís. 53 j Vypočtěte limity funkcí : 1) lim arcsin(x-a).cotg(x-a) ,/~ 1_7; 2) lim (éx- D.cotg x , /" 1 _7 x-*- a x-* O 1 3) lim x.(ex - 1) , /" 1 7; 4) lim (sin a - sin x).tg-^£,^pcosa7 5) lim 2.arctg x).ln x , ^" 0_7; 6) lim x2.ln cos , /"- -^_7 x-*- oo x-»- oo 1-1 7) lim x.ln tg( J + f ) , l~?-TJ\ 8) lim x2.( ax + a2 - 2), £'lnZ& 7 X* 00 X* 00 9) lim x.ln fä±| , a neur.výraz typu oo-oo : ! x-»- a x—a l Obyčejně jde o rozdíl lomených funkcí.Uvedením na společného jmenovatele obdržíme typ °j nebo |g- . Obecně lze užít úpravy: u - v s -ij- - = v ^ 790/.přikladl lim ( i---~— ) = L ; lim i = oo , lim -~— = co.Typ: :x-»0+ x e - 1 x-*0+ x x*0+ ex- 1 Jť L = lim e*- V X = lim /-1 x = lim _£-- = lim _1_ = 1 x-*0+ x.(e -1) X-MD+ e - 1+ xe* X-K3+ e + e + xex x-*0+ 2 + x d oo - OD - 138 - 259«.cvičeni. Vypočtěte limity funkcí : a)j.im (tg x - ) ,/'0_7;b)Jäm(_^ _ /-0_7;c)lim(cotgx - i),/o7 ! DESÍTKA ÚLOH čís. 54 i----------------.---------i l) u, < 2 . ) , r. J _7; 2) lim ( __1__ - l j /- i 7 x-p-1 x - 1 x-1 c x-*0 x.sin x x2 6 3) iim ( ---1 ) , r \l ; 4) lim ( —----1— ), (Z i 7; x-*»0 sin x it y T cotgx 2.cosx 5) iim ( _i_ - —i— ), ,pak u(x)v^je pro x-» a neur.výraz typu 0°° i '. x-*- a x-*- a ; • • :je-li lim u(x)=l a lim v(x)=oo,pak u(x)v^je pro x* a neur.váraz typu l00 l '. x-»» a x-* a : • . v(x) Při výpočtu limity L = lim £ u(x)_7 postupujeme dvojím způsobem (jako při derivování takové funkce) : 1. způsob.(Rovnost logaritmujeme ) ln L = ln^flim u(x)v(x)_7 = lim^fln u(x)víx)_7 = lim^"v(x).ln u(x)_7= m Bxistuje-li lim ^~v(x).ln u(x)_7 = m , pak L = em . 2. způsob. (Užijeme rovnosti = e^'^1 a pro a>0 ) L = lim u(x)v(x) = lim ev(x)-ln uCx) = elim Z~v(x).ln u(x)_7 , em > za předpokladu,že limita v exponentu existuje. Oba způsoby vedou k typu 0 . oo a další úpravou na typ 2 nebo 20- . T u oo cos Äx /91/.přiklad: lim (1-x) = L ; lim(l-x) = 0 , lim cos íx =0 . Typ 0°. x-*-l- x-»l- x*l- 2.způsob: cog p.ind.x) iim cos Jx.ln(l-x) D L = lim e =e = e = e° « 1 , neboí x-*»l- 1 - x m = lim cos 'fx.ln(l-x) = lim —M1"*) = lim -3Qj X* X- x* 1_ (cos fx) Ir (C08 fx)^3in fx.-f 2 , (cos fx) 2 -2cos fx'sin %lM = - -.lim —i—.iim-£- =_ £.i.iim-£-z z - 0 3T-&-+-1 sin 2X x-»»i- 1-x T x—1- - i - 139 -