přednáška 07: některá význačná diskrétní i spojitá rozdělení psti Při matematickém popisu jakékoli náhodné veličiny zhruba potřebujeme projít šest základních otázek iii)Jaký je vzorec pro pstní funkci p či hustotu f iv) Jaký je vzorec pro distribuční funkci F v) Jaká je střední hodnota takto se chovající veličiny vi) Jaký je rozptyl této veličiny Podívejme se na pět základních diskrétních rozdělení psti, která jsou tak důležitá, že mají svůj vlastní název: D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti (discrete uniform distribution) D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti (discrete uniform distribution) D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti (discrete uniform distribution) šX= co padne na kostce š šZnačíme zhruba: X ~ Ro(1,2,…,n) Příklad D1= diskrétního rovnoměrného rozdělení psti: D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) šiii) Pstní funkce: p(1)= p š p(0)= 1-p š šObrázek – popřípadě na tabuli / ve skenu 08 D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá pouze dva schody obecně různých výšek (1-p) a p š šviz obr na tabuli / ve skenu 08 š D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) a)X= počet šestek, které padnou při jednom hodu kostkou (0 nebo 1) b)X= počet voličů, kteří budou volit kandidáta AB na prezidenta, pokud se ptáme jen jednoho voliče (tj. nabývá pouze hodnot 0 nebo 1) c)X= počet „úspěchů“ při jednom opakování experimentu (nabývá pouze hodnoty 0 = neúspěch, 1 = úspěch) d) šZnačíme zhruba: X ~ Alt(p) š Příklady D2 = alternativního rozdělení psti: D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá schody různých výšek š šviz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R š D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) a)X= počet šestek z N hodů kostkou … př 11.1- str. 169 z textu BMA3-stary b)X= počet voličů, kteří budou volit kandidáta AB na prezidenta, pokud se ptáme N nezávislých (náhodně vybraných) voličů … př.11.2.str. 170 c)X= počet „úspěchů“ při N nezávislých opakováních experimentu d) šZnačíme zhruba: X ~ Bi(N,p) š Příklady D3 = binomického rozdělení psti: š šX= počet šestek z N hodů kostkou … př 11.1- str. 169 Ø px <- dbinom(0:4,4,1/6) # spocte psti Bi (N=4, p=1/6) Øplot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky šPopis osy x je posunuty, nevim jak to spravit ØFx <- pbinom(0:4,4,1/6) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce) Øbarplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku šcol=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7 š š Ø Bi (N,p) v jazyku R: š Ø qbinom(0.95, 4,1/6) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Bi (N=4, p=1/6) š Øgenbi <- rbinom(1000,4,1/6) # do vektoru genbi nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Bi(4,1/6) …. rbinom = random binom š Øtable(genbi) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X š š Ø Bi (N,p) v jazyku R: kvantily a generování hodnot D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá schody různých výšek, schodů je nekonečně mnoho, ale nesměřují až „do nebe“, nýbrž jsou stále menší a schodiště stoupá pouze k hodnotě 1 š šviz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R š D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) a)X= počet hodů kostkou před prvním padnutím šestky b)X= počet dnů bezporuchového provozu před první poruchou linky (pst poruchy linky v každém dni je stále stejná a nezávislá na předchozích dnech … podobný př. 9.12 z kapitoly 9, ale s tím rozdílem, že hodnoty jsou posunuty o jednu jednotku, protože veličina X tam do počtu dnů zahrnuje i den, ve kterém nastala první porucha š šZnačíme zhruba: X ~ Geom(p) š Příklady D4 = geometrického rozdělení psti: š šX= počet hodů kostkou před prvním padnutím šestky Øx <- c(0:30) # je def pro nekonecne mnoho x, ale pocitac se musi omezit na konecne mnoho Øpx <- dgeom(x,1/6) # spocte psti Geom (p=1/6) pro hodnoty z vekt x Øplot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky šPopis osy x je posunuty, nevim jak to spravit ØFx <- pgeom(x,1/6) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce) Øbarplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku šcol=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7 š š Ø Geom(p) v jazyku R: pozor, ve vzorcích p=5/6, ale R potrebuje p=1/6 (tj. R uziva spise 1-p) š Ø qgeom(0.95,1/6) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Geom (p=1/6) š Øgengeom <- rgeom(1000,1/6) # do vektoru gengeom nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Geom(1/6) …. rgeoom = random geom š Øtable(gengeom) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X š š Ø Geom(p) v jazyku R: kvantily a generování hodnot D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá schody různých výšek, schodů je nekonečně mnoho, ale nesměřují až „do nebe“, nýbrž jsou stále menší a schodiště stoupá pouze k hodnotě 1 š šviz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R š D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) Příklady D5 = Poissonova rozdělení psti: š š19: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti š20: Alternativni rozdělení psti š21: Binomické rozdělení psti š22: geometrické rozdělení psti š23: Poissonovo rozdělení psti š š Rekapitulace otázek: Nyní se podívejme na tři spojitá rozdělení psti S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) Příklad S1= exponenciálního rozdělení psti: š Ø qexp(0.95, 4) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Exp (λ =4) š Øgenexp <- rexp(1000,4) # do vektoru genexp nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Exp(4) …. rexp = random exponential š Øtable(genexp) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X š š Ø ši) X = veličina, kterou měříme v intervalu (a;b) … každá z hodnot intervalu má stejnou šanci být naměřena š šii) X ∊ (a;b) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) a)X= doba příchodu člověka, o které nemáme žádnou informaci, pouze že přijde v daném intervalu b)X= množství zboží koupeného v daný den MĚŘENO NA VÁHU – a prodáváme nově v dané lokalitě, nemáme informaci o tom, kolik se prodá … jakékoli prodané množství je stejně pravděpodobné š šZnačíme zhruba: X ~ Ro(a;b) Příklad S2= rovnoměrného rozdělení psti: š šX= blíže neurčená doba dodání balíku v intervalu (8 hod; 16 hod) Øx<- seq(8,16,0.01) # ulozi do vektoru x dostatecne mnoho bodu z int Øplot(x,x-x+1/8,type=“l”) #oklamani R, aby nakreslil konstantni funkci 1/8 Øw<-seq(0,8,0.01); y<-seq(16,24,0.01) š# w,x,y … intervaly pro ruzne vzorce distribucni funkce Øplot(c(w,x,y), c(w-w+0,x/8-1,y-y+1) # nakresli distrib fci F … museli jsme ji spocitat a zadat vzorcem š Ø Ro(a;b) v jazyku R: š Ø qunif(0.95, 8,16) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Ro(8:16) š Øgenunif <- runif(1000,8,16) # do vektoru genunif nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Ro(8,16) …. runif = random uniform š šPro vytvoření rozumných četností bychom museli z vektoru genunif vytvořit intervalové rozdělení četností – viz cvičení 2 š Ø Ro(a;b) v jazyku R: kvantily a generování hodnot S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) š šX= výška stromu v lese se střední hodnotou 50 m a směro odchylkou 5 m Øx<- seq(30,70,0.01) # ulozi do vektoru x dostatecne mnoho bodu z intervalu (30; 70) Øplot(x,dnorm(x,mean=50,sd=5)) # vykresleni hustoty f Ø Øplot(x, pnorm(x,mean=50,sd=5)) # nakresli distrib fci F š Ø š š24: exponenciální rozdělení psti š25: spojité rovnoměrné rozdělení psti š26: normální rozdělení psti … tato otázka ještě není ukončena š š š Rekapitulace otázek: