//. Addicio
II. Sčítání
est prima species), addicio (secunda), subtraccio (tercia), me-diacio (quarta), duplacio (quinta), multiplicacio (sexta), divisio (septima), progressio (octava) et radicum extraccio (nona), et hoc dupliciter: in numeris quadratis et in numeris cubicis. De numeracione (tali specie prima huius artis) i am dictum est (scilicet prius tamquam de principáli), sequitur de addicione.
II. Addicio (scilicet integrorum, ad differenciam minucia-rum) est numeri (scilicet unius ad alteram) vel numerorum (id est numeri ad numeros) aggregacio (scilicet per intellectum facta, et sic tangitur causa efficiens), ut sciatur, que erit summa tocius agregati numeri.
Nota, quod omnis numerus, qui debet ad alium addi, vocatur numeru s addendus (scilicet passive, quia additur) et debet sem-
10
[Addicio.] Hie autor exequitur de secunda specie huius artis, scilicet de addicione. Et prime diffi-nit addicionem, ostendendo eciam eius utilitatem, et dicente.
Notandum circa diffinicionem addicionis, quia particula numeri vel numerorum potest intelligi dupliciter. Uno modo sic: Addicio est agregacio numeri, scilicet simi-lis vel uniformis, ut addendo duo ad duo et erunt 4; vel numerorum, scilicet dissimilium vel diffor-mium, ut addendo 2 ad 6 et erunt 8. Alio modo potest intelligi sic: Addicio est agregacio numeri, scilicet unius, ut addendo 2 ad 3 et erunt quinque; vel numerorum, scilicet plurium, ut addendo 24 ad 36.
Unde addicio est quedam accio 15 an i me et est in anima subiective et in numero obiective, et sic numerus est subiectum numeri et obie-ctum anime.
Primo notandum, quod diffini- 20 cio addicionis valet ad hoc, ut si aliquis haberet in aliquo loco 25 sexagenas et in alio loco 72 sexa-genas, ut ergo sciret, quantum esset in summa. Addat numerům nu- 25 mero et habebit propositum.
Nota, quod omnis numerus etc. Hie autor imponendo nomina numeris ipsius addicionis ostendit, quot numeri sint necessarii in ad- 30 dicione et ubi debeant locari. Et hoc dupliciter, quia primo gene-raliter, secundo specialiter; secunda ibi Sic tarnen quod etc.
3 et ] om. F - 5 iam dictum ] dictum est prius F - 8 numerorum ] numerorum ad numerům F - 11 agregati numeri ] numeri aggregati F
prvním úkonem), sčítání (druhý), odčítání (třetí), půlení (čtvrtý), zdvojování (pátý), násobení (šestý), dělení (sedmý), posloupnost (osmý) a hledání kořenů (devátý), a to dvojí: u čísel čtvercových a u čísel krychlových. O numeraci (o tomto prvním úkonu tohoto umění)21 jsem již mluvil (totiž dříve, jako o prvotním), následuje výklad o sčítání.
II. Sčítání (totiž celých čísel, na rozdíl od zlomků) je seskupování (totiž konane' myslí, a tím se pojednává o příčině účinné) čísla (totiž jednoho k druhému) či čísel (tj. čísla k číslům), aby se vědělo, jaká bude suma celého seskupeného čísla.28
Pamatuj, že každé číslo, které má být přičteno k jinému, se jmenuje číslo přičítané29 (totižpasivně, protože se přičítá) a mu-
[Sčítání.] Zde autor vykládá o druhém úkonu tohoto umění, totiž o sčítání. A nejprve sčítání definuje, přičemž ukazuje také jeho užitečnost, a říká (viz text).
Při výkladu sčítání si je třeba všimnout, že vyjádření čísla či čísel může být chápáno dvojím způsobem. Za prvé takto: Sčítání je přidávání čísla, totiž podobného čili stejného, např. 2 a 2 jsou 4; nebo čísel, totiž nepodobných a rozdílných, např. 2 a 6 je 8. Jiným způsobem to lze chápat takto: Sčítání je přidávání čísla, totiž jednoho, např. 2 a 3 je 5; nebo čísel, totiž několikerých, např. 24 a 36.
Sčítání je tedy jakási duševní činnost a existuje v duši subjektivně a v čísle objektivně, a proto je číslo subjekt čísla a objekt duše.
Především si je třeba zapamatovat, že výklad o sčítání slouží k tomu, aby někdo, kdo by měl na jednom místě 25 kop a na jiném 72 kop, věděl, kolik je to dohromady. Nechť sečte číslo s číslem a bude mít to, co hledá.
Pamatuj, že každé číslo atd. Zde autor pojmenovává čísla sčítání a tím ukazuje, kolika čísel je při sčítání třeba a kde mají být umístěna. A to dvojím způsobem, protože za prvé obecně, za drahé speciálně; druhá část začíná slovy A to tak atd.
34
35
II. Addicio
II. Sčítání
per subtus scribi. Sed ille numerus, ad quem fit addicio (id est, qui recipit active addicionem), debet superius scribi (scilicet propter dignitatem, quia agens est dignius pas so), sic tamen, quod prima figura numeri addendi ponatur sub prima figura
40v numeri, cui debet fieri addicio, | secunda sub secunda, tercia sub terci a et sic de aliis, si erunt plures (causa huius est, quia si aliquo modo alio esset ordo, contingeret error in addicione).
Quo facto (id est ordinatis figuris in utroque ordine) adde primam inferioris ordinis (scilicet numeri addendi) ad prim am superioris ordinis (id est ad numerům, cui debet fieri addicio).
Et ex tali addicione (scilicet facta per intellectum) si provenit (id est excrescit) digittus (id est numerus aliquis minor decern), dele (scilicet tunc) superiorem (scilicet figurám numeri adden-
í4v di) I et scribe (scilicet in locum eius) digittum provenientem ex
Nota: Numerus minor debet addi maiori, quia levius est. Hoc patet in naturalibus, nam posito, quod in uno cumulo iaceant lapi-des 6 et in alio 10, patet, quod levius est portare 6 ad 10, quam econverso ceteris paribus, quam-vis eadem summa resultaret.
[Prima figura.] Ilia figura vo-catur prima, que est versus dex-tram manum.
Quo facto. Hie autor exequitur de modo operandi in hac specie et primo de prima figura, secundo de secunda; secunda ibi Tunc post addicionem. Prima pars dividitur in duo, quia primo facit hoc, quod
dictum est, secundo incipit operari in hac specie; secunda ibi Et ex tali. Et cura, hanc partem faciunt tria. Primo ostendit, quid sit faciendum, quando ex addicione unius numeri ad alium provenit digittus, secundo, si articulus, et hoc ibi Si proveniet, tercio, si pro-veniat numerus compositus, et hoc ibi Si autem. Quoad primas duas particulas dicente Quo facto.
[Provenit digittus.] Prima regular Digitto quolibet per addicionem excrescente numerus, cui fit addicio, deleatur et proveniens per addicionem scribatur. I
1 fit ] debet fieri F-2 debet ] debet semper F - 5 tercia sub tercia ] tercia sub tercia, quarta sub quarta F-6 plures ] plures figure F - 11 provenit ] provenerit F- 18b faciunt Si ] facit G, commentarius in F abest
10
15
20
25
30
sí se napsat vždy dolů. Avšak to číslo, k němuž se má přičítat30 (tj. které' aktivně přijímá přidávání), se musí napsat nahoru (totiž kvůli důstojnosti, protože aktivní prvek je důstojnější než pasivní), a to tak, že první číslice přičítaného čísla se napíše pod první číslici čísla, k němuž se přičítá, druhá pod druhou, třetí pod třetí a tak dále, je-li číslic více (důvod toho je ten, že kdyby se dodržoval jiný pořádek, docházelo by při sčítání k omylu)?1
Když se tak stalo (tj. po uspořádání číslic v obou řádcích), přičti první číslici spodního řádku (totiž přičítaného čísla) k první číslici horního řádku (tj. čísla, k němuž se přičítá).
A jestliže z takového sečtení (konaného myslí) vyjde (tj. vznikne) digitus (tj. jakékoliv číslo menší než deset), škrtni (totiž teď) horní (totiž číslici čísla přičítaného) a napiš (totiž na její místo) digitus vycházející ze sčítání (vzniklý sčítáním), např. při
Pamatuj: Menší číslo se má přičítat k většímu, protože je to snazší. To je zřejmé u hmotných věcí, neboť - za předpokladu, že na jedné hromadě leží šest kamenů a na druhé deset - je jasné, že snazší je za stejných podmínek přenést šest k deseti než naopak, ačkoliv by vyšel tentýž výsledek.
[První číslice.] První se nazývá ta číslice, která je u pravé ruky.
Když se tak stalo. Zde autor vykládá o postupu při tomto úkonu a za prvé u první číslice, za druhé u druhé; druhá část začíná slovy Pak po přičtení. První část se dělí na dva úseky, protože za prvé činí to, co bylo řečeno, za
druhé učí, jak při tomto úkonu postupovat; druhý úsek začíná slovy A jestliže z takového sečtení. A dej pozor, tuto část tvoří tři úseky. Za prvé ukazuje, co je třeba dělat, když z přičtení jednoho čísla k druhému vyjde digitus, za druhé, když vyjde artikulus, a to tam, kde jsou slova Vyjde-li, za třetí vyjde-li číslo složené, tam, kde jsou slova Jestliže však. Pokud jde o první dvě části, mluví o nich v úseku Když se tak stalo.
[Vyjde digitus.] První pravidlo: Vyjde-li ze sečtení nějaký digitus, pak se číslo, k němuž se přičítá, škrtne a napíše se číslo vyšlé ze sečtení.
36
37
//. Addicio
II. Sčítání
addicione (excrescentem per addicionem), ut addendo 2 ad 4 dele 4 et scribe 6. Si proveniet (scilicet per addicionem) articulus (id est numer us divisibilis in X partes equates), tunc deleta superioři figura (scilicet numer i addendi) scribatur loco eius cifra 0 et numerus, qui denominat ilium (scilicet ex addicione provenientem) articulum, addatur ad figurám sequentem (scilicet versus sinistram) per modum digitti et non articuli. Et si non est figura sequens, tunc ponatur in loco vacuo sequenti, ut addendo 4 ad 6 faciunt 10; tunc delendo 6 ponatur cifra et unitas addatur figure sequenti, si est, vel ponatur in loco vacuo. Si autem ex addicione aliqua (per intellectum facta) provenerit (id est ex-crescit) numerus compositus, tunc deleta superioři figura (id est numero addicionem suscipiente) scribatur loco eius digittus, qui
G 4v [Si proveniet articulus.] Osten-dit, quid sit faciendum, quando ex addicione unius numeri ad alium proveniat articulus. Et primo facit hoc, secundo ponit unam caute-lam, ibi Et si, tercio dogma suum exemplariter declarat, ibi Ut addendo.
Secunda regula: In addicione numero excrescente articulo articulus transferatur sub nomine digitti versus sinistram et cifra loco digitti deleti ponatur.
Cautele de cifra in addicione. Prima: Quando ambe figure, tarn superioris, quam inferioris ordinis, fuerint cifrc, tunc neutra illarum debet addi alteri, sed debent ambe
manere intacte, ut Secunda: Si aliqua figura inferioris ordinis fue-rit cifra et ei supraponitur figura significativa, tunc iterum neutra illarum debet addi alteri, sed ambe debent manere intacte, ut gQ. Tercia: Si aliqua figura superioris ordinis fuerit cifra et sub ea ponatur figura significativa, ilia debet poni in loco cifre superioris delete, ut
hie
60 34"
[Si...provenerit numerus compositus.] Ostendit, quid sit faciendum, quando ex addicione unius numeri ad alium provenit numerus compositus, et dicente.
Tercia regula: Numero compo-sito per addicionem progrediente
10
1 addicione ] tali addicione F - 2 proveniet ] provenit F - 3 tunc ] eciam F — 4 loco eius ] om. F-7 articuli ] per modum articuli F-8 tunc ] om. F-9 faciunt ] et faciunt F - cifra ] cifra 0 F -10 vacuo ] vacuo, et non est F - 11 provenerit ] provenit F
15
20
25
30
sčítání 2 a 4 škrtni 4 a napiš 6.32 Vyjde-li (totiž ze sečtení) artiku-lus (tj. číslo rozdělitelné na deset stejných částí), tu se po škrtnutí horní číslice (totiž čísla přičítaného) napíše na její místo nula a číslo, které dává jméno tomuto (totiž vycházejícímu ze sčítání) artikulu, se přičte k následující (směrem doleva) číslici jako digitus, nikoliv jako artikulus. A jestliže následující číslice neexistuje, pak se napíše na následující prázdné místo, např. přičtením 4 k 6 vyjde 10; tu se po škrtnutí 6 napíše nula a jednička se přičte k následující číslici, existuje-li, nebo se napíše na prázdné místo. Jestliže však někdy ze sčítání (konaného myslí) vyjde (tj. vznikne) číslo složené, tu se po škrtnutí hořejší číslice (tj. čísla přijímajícího sčítání) napíše na její místo digitus, který je částí onoho složeného čísla, a artikulus (který mu dává jméno)
[Vyjde-li artikulus.] Ukazuje, co je třeba dělat, když z přičtení jednoho čísla k druhému vyjde artikulus. A za prvé činí toto, za druhé uvádí jedno upozornění, tam, kde jsou slova Vyjde-li, za třetí svou poučku osvětluje na příkladu, tam, kde je slovo Přičtením.
Druhé pravidlo: Vyjde-li při sečtení artikulus, přenese se pod jménem digitu směrem doleva a na místo škrtnutého digitu se napíše nula.
Upozornění týkající se přičítání nuly. První: Když obě číslice, jak horního, tak dolního řádku, jsou nuly, pak se žádná z nich nesmí přičítat k druhé, ale obě musí
zůstat nedotčeny, např. 6Q. Druhé: Je-li některá číslice spodního řádku nula a nad ní je napsána číslice významová, pak se rovněž žádná z nich nesmí přičítat k druhé, ale obě musí zůstat nedočteny, např. gQ. Třetí: Jestliže je některá číslice horního řádku nula a pod ní by byla napsána číslice významová, pak musí být tato napsána na místě hořejší škrtnuté nuly, např. 3°.
[Jestliže...vyjde číslo složené.] Ukazuje, co je třeba činit, když z přičtení jednoho čísla k druhému vyjde číslo složené, a říká (viz text).
Třetí pravidlo: Vyjde-li ze sečtení číslo složené, napíše se na
38
39
II. Addicio
II. Sčítání
G5r
G5r
est pars illius numeri compositi, et articulus (denominans ipsum) addatur figure sequenti (scilicet si est) vel ponatur in loco vacuo sequenti, si nulla erit ibi figura (scilicet ut addenda 6 ad 6, et erunt 12), ut superius dictum est de articulo.
Tunc post addicionem prime figure inferioris ordinis ad pri-mam superioris ordinis eodem modo secunda inferioris ordinis addatur secunde superioris ordinis et sic consequenter tercia tercie, donee | totam compleas addicionem. Et fac per omnia, sicut fecisti de prima (scilicet considerando excrescenciam numeri digitti, articuli et numeri compositi), sic tamen, quod ad-dendo articulum, sicut 10 vel 20, non exprimas sub nomine articuli, sed sub nomine digitti (scilicet ita, quod cifra nichil signi-ficet), ut unum vel duo.
Exemplum huius speciei: Numerus, cui debet fieri addicio, sit iste: 100574, et numerus addendus sit iste: 65432.
figura superiore deleta vice ipsius scribatur digitus et articulus trans-feratur versus sinistram.
[Tunc post addicionem.] Hie autor dat modum operandi secunde figure et per consequens alia-rum figurarum. Et primo facit hoc, secundo ponit unam cautelam; secunda ibi Sic tamen, primo dicen-te. I
Cura: Hie notande sunt due re-gule cautele. Prima: Si contingat, quod figura sequens, cui debet fieri addicio, sit cifra, tunc ea deleta
scribatur numerus digittus. Secunda: Si figura si<t> novenaria et ei debet addi unitas, tunc deleto no-venario scribatur cifra et transfe-ratur digittus versus sinistram ser-vans articulum.
[Exemplum.] Hic autor decla-rat exemplariter seu per exempla modum et praxim huius speciei, secundo ponit probam huius artis, ibi etc.
Aliud exemplum; 98706 12345
3 ibi ] om. F - 5 ad primam superioris ordinis ] om. F - 6 eodem ] et eodem F - secunda inferioris ordinis addatur secunde ] secundam inferioris ordinis ad secunde F - 8 per ] om. F - 11 sicut ] sie F - 13 ut unum vel duo ] huius F-14 Exemplum huius speciei: Numerus ] Hoc est numerus F - 15 100574, et numerus addendus Sit iste: 65432 ] 5782. Numerus addendus sit iste 6543 F
10
15
20
25
30
se přičte k následující číslici (totiž existuje-li) nebo se napíše na následující volné místo, jestliže tam žádná číslice není (jako např. při sčítání 6 a 6, tu vyjde 12), jak bylo výše řečeno o artikulu.33
Pak po přičtení první číslice spodního řádku k první číslici horního řádku se týmž způsobem přičte druhá číslice spodního řádku k druhé horního řádku a tak následovně třetí ke třetí, dokud nedokončíš celé sčítání. A u všech číslic čiň tak, jaks činil u první (totiž uvažuj, zda vyjde digitus, artikulus či číslo složené), avšak tak, že přičítáš-li artikulus, např. 10 nebo 20, nevyjádříš ho pod jménem artikulu, ale pod jménem digitu (takto totiž, protože nula nic neznamená), např. jedna či dvě.34
Příklad na tento úkon: Číslo, k němuž se přičítá, budiž: 100574, a číslo přičítané budiž: 65432.35
místo škrtnuté hořejší číslice digitus a artikulus se přenese směrem doleva.
[Pak po přičtení.] Zde autor vysvětluje způsob nakládání s druhou číslicí a následovně s dalšími. A za prvé činí toto, za druhé uvádí jedno upozornění; druhá část začíná slovy Avšak tak, nejprve říká (viz text).
Dej pozor: Zde je nutno si zapamatovat dvě pravidla. První: Stane-li se, že následující číslice, k níž se má přičítat, je nula, tu se
po jejím škrtnutí napíše digitus. Druhá: Je-li tato číslice devítka a k ní se má přičíst jednička, pak se po škrtnutí devítky napíše nula a digitus, který určuje artikulus, se přenese doleva.
[Příklad.] Zde autor osvětluje příkladem čili pomocí příkladů způsob a provádění tohoto úkonu, za druhé uvádí zkoušku tohoto úkonu, tam, kde říká atd.
Jiný příklad: 98706 12345
40
41
///. Subtraccio
III. Odčítání
Et nota, quod subtraccio probat addicionem et addicio subtraccionem (scilicet quia cuiuslibet re i Veritas magis explicatur per suum oppositum quam per seipsam, nam lux magis apparet lucida tenebris comparata, quam sine comparacione ad tene-bras). I
F 41r III. Subtraccio (ilia species) est numeri (unius, equalis ab equali) vel numerorum (multorum; propositis numer is invencio residui) a dato (id est a proposito) numero ablacio (deposicio, scilicet facta per intellectum, scilicet ut inveniat summa dere-licta), ut subtrahendo 3 a 1Ü remanebunt 7.
In subtraccione (scilicet facta per intellectum) duo numeri (id est duo ordines numerorum) sunt necessarii, scilicet numerus subtrahendus (scilicet passive, quia subtrahitur), et dicitur ille, qui ab alio (id est a numero, a quo fit subtraccio) subtrahitur, et numerus, a quo fit subtraccio (id est deposicio numeri subtrahen-di). Et oportet, quod numerus, a quo fit subtraccio, semper sit
[Subtraccio.] Hic magister agit de tercia specie istius artis. Et dividitur in duo, nam primo ponit diffinicionem, secundo ostendit, quot sunt numeri necessarii in ipsa subtraccione, et dicente.
Racio ordinis, quia addicio habet se sicut habitus, subtraccio ve-ro sicut privacio, sed privacio est posterior habitui, ut patet per Phi-losophum in Postpredicamentis.
Subtraccio ad hoc valet, ut homo sciat, supposito, quod in uno loco habeat 99 marcas, et si ab istis sumpserit 30, quantum sibi remanebit, et ut sciat, in quo 99 excedit 30.
Et oportet, quod numerus. Racio primi est hec, quia mayus con-tinet tan turn et amplius quantum minus, et ergo minus potest auf-ferri a mayori. Vel equalis. Racio
10
15
20
25
A pamatuj, že odčítání ověřuje sčítání a sčítání odčítání (totiž proto, že pravdivost jakékoliv veci se lépe objasňuje prostřednictvím svého protikladu než skrze sebe samu, neboť světlo přirovnané ke tmě se jeví více světlé než bez srovnání s tmou).
Hl. Odčítání (tento úkon) je odnímání (odložení, totiž konané myslí, totiž aby byla nalezena zbylá suma) čísla (jednoho, stejného od stejného) nebo čísel (několikerých; nalezení zbytku od daných čísel) od daného (tj. zadaného) čísla,36 např. odečtením 3 od 10 zůstane 7.
Při odčítám (totiž konaném myslí) jsou potřebná dvě čísla (tj. dva řádky čísel), totiž číslo odčítané37 (totiž pasivně, protože je odčítáno), a takto je nazýváno to, které se od jiného (tj. od čísla, od něhož se děje odčítání) odčítá, a číslo, od něhož se děje odčítání38 (tj. odložení odčítaného čísla). A je třeba, aby číslo, od něhož se odčítá, bylo vždy větší (tj. musí více znamenat) než číslo odčítané, nebo jemu rovné, protože menší od většího (pro-
[Odčítání.] Zde učitel pojednává o třetím úkonu tohoto umění. A výklad se dělí na dvě části, protože za prvé podává definici, za druhé ukazuje, kolik čísel je při odčítání třeba, a říká (viz text).
Důvod tohoto pořadí je ten, že sčítání se chová jako stav, odčítání však jako zbavenost, a zbavenost následuje za stavem, jak ozřejmuje Filosof v Postpredikamentech.
Odčítání slouží k tomu, aby člověk, když má - dejme tomu -na jednom místě 99 hřiven a z nich vezme 30, věděl, kolik mu zůstane, a aby věděl, o kolik 99 převyšuje 30.
A je třeba, aby číslo. Důvod prvního tvrzení je ten, že větší obsahuje tolik, kolik menší a ještě něco navíc, tedy menší může být ubráno od většího. Nebo stejné.
1 subtraccionem. ] subtraccionem. Sequitur de subtraccione. AI. m.: Tercia species subtraccionis F - 8 a dato, corr. e addito ] addato F- 10 remanebunt ] remanent F - 15 subtraccio ] subtraccio, i. e. disposicio numeri subtrahendi F - 16 fit ] debet fieri F - sit ] fit F
27a cf. Auctoritates 136,244 (Aristoteles, Metaphysica I 4, 1055a33): Privatio et habitus sunt radices contrariorum; cf. Averroes, Metaphysica X, commentarius 16 (tomus VIII, f.291v)
42
43