SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE OBSAH Sbírka úloh STEREOMETRIE Autoři: RNDr. Dag Hrubý, Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Přiložené CD: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Grafická úprava a sazba: Marcel Vrbas SEZNAM POUŽÍVANÝCH SYMBOLŮ 7 A. ZÁKLADY STEREOMETRIE 9 A.l Základní stereometrické pojmy......................................................... 9 A. 2 Zobrazování prostorových útvarů v rovině........................................... 11 B. POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 15 B.l Vzájemná poloha čtyř bodů............................................................ 15 B.2 Vzájemná poloha dvou přímek......................................................... 15 B.3 Průnik roviny a tělesa................................................................... 16 B.4 Vzájemná poloha dvou rovin...........................................................26 B.5 Vzájemná poloha tří rovin..............................................................28 B.6 Vzájemná poloha přímky a roviny.....................................................29 B. 7 Průnik přímky s hranicí tělesa..........................................................31 C. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 33 Cl Odchylka přímek a rovin...............................................................33 C. 2 Vzdálenost bodů přímek a rovin.......................................................35 D. MNOHOSTĚNY 41 D.l Terminologie............................................................................41 1X2 Základní vzorce.........................................................................42 D.3 Hranoly..................................................................................43 D.4 Jehlany...................................................................................45 D. 5 Platonova tělesa.........................................................................47 E. ROTAČNÍ TĚLESA 51 E.l Terminologie............................................................................51 E.2 Základní vzorce.........................................................................52 E.3 Válec.....................................................................................53 E.4 Kužel.....................................................................................54 E.5 Koule....................................................................................56 VÝSLEDKY ÚLOH 59 Milé kolegyně, vážení kolegové, studenti, dostáváte do rukou sbírku úloh ze stereometrie. Autoři sbírky se na základě svých zkušeností přiklání k názoru, že stereometrie představuje ve výuce matematiky partii, která patří k méně oblíbeným. Často se zdůrazňuje, že pro úspěšné studium stereometrie je nezbytná dobrá prostorová představivost, která je u některých studentů méně rozvinuta a bez které nelze učivo ze stereometrie pochopit. Tuto schopnost je však možné zdokonalovat a rozvíjet. Vedle tohoto, jistě důležitého předpokladu, jsou zde důvody další. K těm patří zejména změny v učebních plánech středních škol v posledních desetiletích, které vedly k omezování výuky geometrie. Geometrie je dotována menším počtem hodin a navíc z učebních plánů skoro vymizela deskriptívni geometrie. Autoři sbírky by rádi povzbudili nejen své kolegy učitele, ale i jejich studenty v hledání cesty ke stereometrii, která je krásnou disciplinou s bohatou historií. Právě prostřednictvím stereometrie se matematika velmi výrazně přibližuje k řešení celé řady praktických problémů. Upřímně děkujeme RNDr. Lence Juklové, Ph.D. za kontrolu výsledků u polohových úloh a za pomoc při tvorbě CD. iDMLUVA 5 SEZNAM POUŽÍVANÝCH SYMBOLŮ A, B body A, B a, b přímky a, b ^AB přímka A, B —> AB polopřímkaAB AB úsečka AB p,a roviny p,o ^ABC rovina ABC <—> Ap rovina Ap (rovina určená bodem A a přímkou p) <—> pq rovina pq (rovina určená přímkami pq) Sab střed úsečky AB 4 AVB konvexní úhel AVB a\\b přímka a je rovnoběžná s přímkou b a [f1b přímka a není rovnoběžná s přímkou b a n b = P průsečík P přímek a, b a P\ f! = p prúsečniceľ rovin a, (1 \AB | vzdálenost bodů A, B; délka úsečky AB \Ap | vzdálenost bodu A od přímky p \Aa\ vzdálenost bodu A od roviny a \ab\ vzdálenost rovnoběžných přímek a, b | ajš | vzdálenost rovnoběžných rovin a, 14- AVB | velikost konvexního úhlu AVB 14- &b\ odchylka přímek a, b \4 pa\ odchylka přímky p a roviny a | ^ a/31 odchylka rovin a, V objem tělesa S povrch tělesa SEZNAM POUŽÍVANÝCH SYMBOLŮ 7 A. ZÁKLADY STEREOMETRIE A.1 Základní stereometrické pojmy Stereometrie, neboli geometrie vprostoru se zabývá řešením prostorových geometrických úloh. Aby student byl schopen řešit úlohy na dané téma musí se seznámit s některými stereometrickými pojmy a větami. Za základní útvary ve stereometrii považujeme body, přímky a roviny. Dále uvedeme jejich vlastnosti a vztahy. URČENÍ PŘÍMKY • dvěma různými body A a B je určena jediná přímka. URČENÍ ROVINY • přímkou a bodem, který neleží na této přímce, • třemi body, které neleží na jedné přímce, • dvěma různoběžkami, • dvěma různými rovnoběžkami. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMEK a, b • rovnoběžné: a, b leží v téže rovině a současně adb=0- různé, • rovnoběžné splývající: a = b • různoběžné: aCtb = R,R-průsečík, • mimoběžné: a, b neleží v téže rovině a současně aCíb = 0. VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU ROVIN a, 0 • rovnoběžné: a D /? = 0 - různé, • rovnoběžné splývající: a = • různoběžné: a D /? = r, r - průsečnice. VZÁJEMNÁ POLOHA TŘÍ ROVIN • Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. ZÁKLADY STEREOMETRIE 9 Dvě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. Každé dvě roviny jsou různoběžné a všechny tři průsečnice jsou navzájem rovnoběžné a různé. Každé dvě rovinyjsou různoběžné a všechny průsečnice splývají v jedinou přímku. Každé dvě roviny jsou různoběžné, jejich průsečnice jsou navzájem různoběžné a protínají se v jednom společném bodě. / \ N / 1 N / \ N N. N i \ \ 1 \ --Ž ✓ \ ✓ \ VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY a A ROVINYp • rovnoběžné: ofl p = 0 - různé, • přímka a leží v rovině p: a 6 p, • různoběžné: ofl p = R,R- průsečík. NĚKTERÉ DALŠÍ VLASTNOSTI BODŮ, PŘÍMEK A ROVIN: • Bodem A lze vést právě jednu přímku a rovnoběžnou s přímkou b. • Leží-li dva různé body přímky a v rovině p, pak každý bod přímky a leží v rovině p. • Mají-li dvě různé roviny a a /? společný bod A, pak mají i společnou přímku a, která prochází bodem A. • Přímka a je rovnoběžná s rovinou p, právě když v rovině p existuje přímka rovnoběžná s přímkou a. • Dvě rovinyjsou rovnoběžné, právě když jedna z nich obsahuje dvě různoběžky z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou. • Daným bodem A lze vést jedinou rovinu a rovnoběžnou s danou rovinou p. 10 ZÁKLADY STEREOMETRIE A.2 Zobrazování prostorových útvarů v rovině Rovinu, do níž geometrické útvary rovnoběžně promítáme, nazýváme průmětnou. Tuto průmětnu ztotožňujeme s nákresnou, tj. s rovinou tabule nebo sešitu. K názornému zobrazování prostorových geometrických útvarů a k ilustraci řešení některých stereometrických úloh užíváme volné rovnoběžného promítání. Při zobrazování prostorových geometrických útvarů ve VRP dodržujeme jednoduchá pravidla: 1. Body zobrazujeme jako body. 2. Přímky zobrazujeme jako přímky nebo jako body. 3. Zachováváme incidenci bodů a přímek. 4. Rovnoběžné přímky zobrazujeme jako rovnoběžky nebo jako body. 5. Zachováváme poměr velikostí rovnoběžných úseček. 6. Obrazce ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou zobrazujeme ve skutečné velikosti. Při volném rovnoběžném promítání se jedná o zobrazení, ve kterém jsou bodům prostoru přiřazeny jisté body nákresny. Pro názornost obrazů má praktický význam připojit následující úmluvy, které budeme respektovat: 7. Obrazy přímek kolmých k průmětně (tyto přímky budeme nazývat hloubkové) kreslíme tak, aby svíraly s vodorovnou přímkou zvolený úhel, tzv. úhel zkosení. Většinou volíme úhel o velikosti 45°. 8. Obrazy úseček na hloubkových přímkách zkracujeme na polovinu jejich skutečné velikosti. PRO NÁZORNOST ZOBRAZÍME NĚKOLIK ÚTVARU A TELES: čtverec AB CD krychle ABCDEFGH ZÁKLADY STEREOMETRIE 11 rovnostranný trojúhelník AB C C / v v / "2" \ /45° \ pravidelný šestiúhelník ABCDEF E_. D pravidelný osmiúhelník ABCDEF GH G' c kružnice (obrazem kružnice je elipsa) C pravidelný čtyřstěn AB CD (Ke konstrukci pravidelného čtyřstěnu je nutné určit jeho výšku, a to tak, že sklopíme rovinu, která obsahuje výšku tělesa a hranu CD, do roviny podstavy) \ 0/ T v (D') pravidelný osmistěn ABCDEF a_ pravidelný čtyřboký jehlan ABCD 12 ZÁKLADY STEREOMETRIE 13 B. POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU B.1 Vzájemná poloha čtyř bodů i. Je dána krychle ABCDEFGH. a) zjistěte, zda body E, G, B,Xleží vjedné rovině. BodXje střed hrany BF b) zjistěte, zda body A, C, K, L leží v jedné rovině. Body K, L jsou středy hran EF, FG c) zjistěte, zda body K, L, B, Xleží v jedné rovině. BodíCje střed hrany AE, bod L je střed hrany DHabodXleží na hraně EFaplatí \XE\ =2\XF\. d) zjistěte, zda v krychli ABCDEFGH leží uvedené body K, L, M, S v jedné rovině. Bod K je střed hrany AE, bod L je střed hrany DH, bod M je střed hrany BF a bod S je střed krychle 2. Je dán pravidelný osmistěn ABCDEF. Zjistěte, zda uvedené body B, D, F, K leží vjedné rovině. Bod K leží na úhlopříčce EF a platí 3 |£íC| = \FK\. B.2 Vzájemná poloha dvou přímek 3. Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) ASGH a SABD b) AP a BSCG, bod P je střed stěny CDGH c) AP a SAESGH, bod P je střed stěny CDGH d) ASGfia£C e) SabSads-FH f) AH a SBPG g) BD a SBPH h) BH a SaeScg 4. Vpravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDVrozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) AS^y a BScv 14 ZÁKLADY STEREOMETRIE 15 b) AB a ScvSdv c) BVaCD d) CVuSasSav e) DVa.SDBSBV 5. V pravidelném osmistěnu ABCDEF rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) DSaf a BSCE b) ASce a SaeScf c) AD a CSBP B.3 Průnik roviny a tělesa Při konstrukci řezů na tělesech se řídíme těmito třemi pravidly: • pravidlo č. 1: strany řezu tvoří body které leží v jedné stěně tělesa, (lze spojit body ležící v téže rovině stěny tělesa), • pravidlo č. 2: strany řezu, které leží v rovnoběžných rovinách jsou navzájem rovnoběžné, • pravidlo č. 3: jestliže dvě průsečnice tří rovin procházejí jedním bodem, musí jím procházet také třetí průsečnice. Poznámka: V zadání příkladů nebude výslovně uváděno, kde body určující rovinu řezu leží, a tudíž čtenář se bude orientovat podle obrázku. 6. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou určenou body KLM. Řešení: H G i \ 1 m Rovina řezu je určena body KLM. Protože bod K leží na hraně EF, bod L leží na hraně FG a body EFG určují rovinu, ve které leží horní podstava EFGH krychle ABCDEFGH, proto v této rovině musí ležet i přímka KL, proto spojíme body KL a úsečka KL tak určuje jednu stranu řezu. Analogicky totéž provedeme s body LM a KM, tedy podle pravidla č. 1 spojíme body KL, LM a MK, čímž je řez sestrojený. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou určenou body KLM. Řešení: 1. Body KL leží v téže rovině stěny ABEF a podle pravidla č. 1 tvoří stranu řezu. 2. Roviny ABF a DCG jsou rovnoběžné, takže podle pravidla č. 2 vedeme bodem M rovnoběžku m s KL. 3. Průnik přímky m a hrany DC je bod X. 4. Další body řezu sestrojíme užitím pravidla č. 3. Roviny ADH, CDG a KLM se protínají v jednom bodě I6 DH, kterým procházejí všechny průsečnice těchto rovin. ADH a CDG se protínají v přímce HD a na ní bude ležet bod I, jímž procházejí další dvě průsečnice. Tento bod I určíme jako průsečík přímek HD a m. Přímka IK je průsečnice rovin ADH a KLM. 5. Bod řezu Yje průsečíkem přímky KI s hranou AD. 6. Bodem L vedeme rovnoběžku 1 s XY. 7. Průnik přímky 1 a hrany FG je bod Z. 8. Řez je určen body LZMXYK. 16 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 17 8. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou určenou body KLM. Řešení: xm z/ ! V //i \ ' ľ \ '\ - \ ) 1 1 D \ M'/ ic/^—jr-y ^/ \ -z. X\ Í.'=B 1. Nemůžeme využít žádné pravidlo. Sestrojíme průsečík přímky LM s rovinou podstavy ABC, a to tak, že sestrojíme pravoúhlý průmět této přímky do roviny stěny ABC, což je přímka L 'M'. Průsečík přímky LM s L 'M' je bod I, což je průsečík přímky LM s rovinou podstavy ABC. 2. Sestrojíme přímku KI a její průsečík s hranou AB je další bod řezu X. 3. Spojíme LX. 4. Bodem M vedeme rovnoběžku m s přímkou KX a její průsečík s hranou FG je bod řezu Y. 5. Spojíme LY. 6. Dále bodem M vedeme rovnoběžku I s přímkou LX. 7. Bod Z, který je průsečíkem přímky I a hrany HD, je bodem řezu a spojíme ho s bodem K. 18 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 9. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou určenou body KLM. a) F +m D;_ _ / / / / / v—h— l B d) /-— / 1 1 k F d|----- l / / / / / 1 M, / 1 ' F d|---- / I A 1 B c) /" I F M1 r i ---- / / / / / V-1- f) i h d|---- / / / / v-1- - d|__ / / A i) F - d|---- / / / / / m / F d|----" l 7 ■- ✓ / / POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 19 p) A "A F d}---- 7 / / / / k B ae) H -1— F x 1 ✓ d/---- / c e - aa) h ac) + F ' 1 A A A B ) - H / 1 k F d>---- / / / l A B A 1 A 1 F oj.---- / / / / / l- k A A k 20 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 21 am) r / F i f i i i i D;---±- ' ~ 7 / / / / / i / k B 10. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou určenou bodem P a přímkou ľ, jestliže přímka p leží v rovině a) ABC b) EFG c) CDG 22 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU n. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDVrovinou KLM. a) b) V V 12. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou bodem P a přímkou ľ, jestliže přímka p leží v rovině ABC. V 13. Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu ABCDEFÄB'C'D'E'F' rovinou KLM. b) F_d' A B POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 23 c) P m. d' A' k fj._J.__4D C 14. Sestrojte řez pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFVrovinou KLM. 15. Sestrojte řez pravidelného osmistěnu ABCDEF rovinou KLM. a) b) E E 16. Sestrojte řez pravidelného čtyřstěnu ABCD rovinou KLM. l B 17. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH a současně řez pravidelného osmistěnu PQRSTU rovinou KLM. + ----ý C 24 OSTORU 25 B.4 Vzájemná poloha dvou rovin 18. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin CEF a BDG, je-li dána krychle ABCDEFGH, v případě různoběžných rovin sestrojte jejich průsečnici. Roviny CEF a BDG jsou různé a mají společný bod D, tedy průsečnice těchto rovin musí procházet bodem D. Dále platí pro různoběžné přímky BG a CF, které leží v rovině stěny krychle BCF, že BG leží v rovině BDG a CF leží v rovině CEF, proto bod S = BG D CF náleží současně oběma rovinám a je dalším bodem průsečnice|>. Protože je D & S, je přímka p = DS hledanou průsečnici rovin CEF a BDG. 19. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin BCS^ a EHSBP, je-li dána krychle ABCDEFGH, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. Ukážeme, že rovina EHSBP je rovnoběžná s rovinou BCS^. V rovině EHSBP si vybere např. přímky EH a ESBP a ukážeme, že tyto přímky jsou rovnoběžné s rovinou BCSaz. Přímka EH je rovnoběžná s přímkou SaeSdh a přímka ESBP je rovnoběžná s přímkou SAEB, tedy v rovině EHSBP existují dvě různoběžné přímky rovnoběžné s rovinou BCSAE, a proto jsou roviny BCS^ a EHSBP rovnoběžné. / \ / 1 "S. "S. / F^ ,'\ ' 1 Sár ^ / / / 20. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dána krychle ABCDEFGH, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. a) BFSAOHFSEH b) AFH, BDG c) EFG, BCSAE d) ABS^fj, Sj^ScgSch e) ACE,AFH f) EGSBO BHF g) ABG, HFSjrn h) ABC, FHSAE i) ABC, AFH j) ACF, CGSm k) ACH, Sj^SscS^ 1) ASEPSEH> m) BEG, SabSbcScg n) ASEPSEH) CSPGSHG o) BCSas, BSepSpg p) ACSDH, BCSEP 21. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dán jehlan AB CD V, vpřípadě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. a) BVSAa DSBCSCV b) ACV,BDScv c) BCV,ADV d) ACScv,VSADS e) BDV, SBCSCVK, KG AD A \DK\ = 3\AK\ f) ABC, SCVSAVK, K6 BVA \VK\ = 3\BK\ g) BCV, SAVCK, KGABA \AK\ = 3\BK\ 22. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin BDS^ a S^S^Scb je-li dán pravidelný osmistěn AB CDEF. 26 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 27 B.5 Vzájemná poloha tří rovin B.6 Vzájemná poloha přímky a roviny 23. 26. Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete průsečík přímky BH s rovinou ACE. a) ECG,BDF,ABH ^BCEjAD^SaeSccS^ \h r G Přímkou BH proložíme vhodnou rovinu, v tomto případě to bude rovina BDH. Sestrojíme průsečnici r těchto rovin. Hledaný průsečík přímky BH a roviny ACE je bod x, který je průse- c) ADE, BCSEa SafScgSbf d) BDG,BDE,SEESEGSEH E e) BDH, SabSadSae, SjjgSghScg f) AGH, SbpSCgSgh> SaeSabScd- F 24. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Rozhodněte o vzájemné poloze / ^ A- ^/ číkem přímek BH a r. C tří rovin. ^ \ a)ACV,BDV,SAVSBVScv A e b) ACV, SabSbcSbvj SadScdSdv ^DBVjSmSaoVSbcScoV 27. 25. Je dán pravidelný osmistěn ABCDEF. Rozhodněte o vzájemné poloze tří Je dána krychle ABCDEFGH, rozhodněte o vzájemné poloze roviny a přímky v případě různoběžnosti určete průsečík. í)EC,ABH rovin. a.) ABQ BEF, ACE b) ABScb CDSjtf, SabSceE b) BF, EGC c) FH, BDH d) AG, BHSab 28. V krychli ABCDEFGH j sou body P, Q R, S po řadě středy stěn ADEH, ABEF, BCFG, CDGH Určete vzájemnou poloh u: a) přímky PQa roviny EFG b) přímky RS a roviny ABC c) přímky QR a roviny DHC d) přímky PR a roviny ABF 29. Je dána krychle ABCDEFGH, rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny v případě různoběžnosti určete průsečík. a) přímky PR a roviny SEF, body P, R jsou po řadě středy stěn ADEH, BCFG 28 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 29 b) přímky KL a roviny BDF, bod K leží na AE a platí |£íC| = 2|AíC|, bod L leží na CG aplatí \GL\ = 2\CL\ c) přímky SBPSDH a roviny BSEPSPG d) přímky FSDH a roviny S^S^S^ 30. Je dána krychle ABCDEFGH. Zjistěte, zda leží: a) přímka KD v rovině ABC, bod K leží na BC a platí \BK\ =2\CK\ b) přímka BH v rovině ACG c) přímka AD v rovině AFH d) přímka PR v rovině ABG, body P, R jsou po řadě středy stěn ADEH, BCFG 31. Je dána krychle ABCDEFGH. Zjistěte, zda body E, B a přímka DH leží v jedné rovině. 32. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestrojte průsečík přímky s rovinou a) přímky CSAV s rovinou KLV, K leží na AB a platí \BK\ = 3\AK\, L leží na CD aplatí \DL\ = 3\CL\ b) přímky VSAC s rovinou SjwScvD c) přímky VSAC s rovinou ASBCSCV d) přímky CSAV s rovinou KLM, K leží na AB a platí |AK| = 3\BK\, L leží na CV aplatí\CL\ = 2|VX|,MležínaDVaplatí \MV\ = 3\DM\ e) přímky BVs rovinou JKL, ] leží na AB aplatí |B/| = 3|A/|, íCleží na CVaplatí \VK\ = 3|CíC|,LležínaDVaplatí \DL\ = 3|LV| f) přímky VSBC s rovinou Sj^S^Scd B.7 Průnik přímky s hranicí tělesa 33. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete průsečíky přímky MN s hranicí krychle. Bod M leží na AB, bod N leží na EH Přímkou MN proložíme rovinu rovnoběžnou se svislými hranami krychle (tzv. směrovou rovinu) a určíme její řez STUV s krychlí. Přímka MN protíná hranici tohoto řezu (tj. hranici krychle) v bodech XY. 34. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete průsečíky přímky PQs hranicí krychle. Pro bodyP, Qplatí: a) B = Sap, H = Sqg b) P leží na -> DH a platí \DP\ = 1,S\DH\,B = Sqp c) P leží na -» CB a platí \CP\ = 1,5|BC|, QJeží na-> EH a platí \EQ\ = 1,S\EH\ d) Pležína->FB aplatí |PP| = 1,25\BF\, Qleží na -»DH aplatí \DQ\ = 1,25|DH| 35. Je dán pravidelný šestibokýhranolABCDEFA'B'C'D'E'P'. Určete průsečíky přímky MN s hranicí hranolu. Pro body M, N platí: a) P = SME, N leží na -» B'C aplatí \B'N\ = 1,25|B'C'| b) B = Sam, N leží na -» EE' a platí \EN\ = 1,25 |EE'| 30 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 31 C. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 36. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete průsečíky přímky MN s hranicí jehlanu. Pro bodyM, JVplatí: A = SMB, N = SSv, bod S je střed podstavy ABCD. Přímkou MN proložíme rovinu, která prochází vrcholem jehlanu (tzv. vrcholovou rovinu) a určíme její řez UTVs jehlanem. Přímka MN protíná hranici tohoto řezu (tj. hranici jehlanu) v bodech XY. 37. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete průsečíky přímky PQ s hranicí jehlanu. Pro body P, Qplatí: a) P = SDV, B = SA(j b) Pležína-> VBaplatí\VP\ = 1,5|VB\, Q.= SDV c) P = SAV, QJežína^DCaplatí \DQ\ = 1,5\DC\ 38. Je dán pravidelný osmistěn AB CDEF. Určete průsečíky přímky MN s hranicí osmistěnu. Pro bodyM, JV platí: Mleží na -»AB aplatí |AM| = 1,5|AB|, JVleží na -»FD aplatí \FN\ = 1,25|FD|. 32 POLOHOVÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU C.1 Odchylky přímek a rovin ODCHYLKA RUZNOBEZNYCH PRIMEK 39. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) BD, BH b) BD, BG 7 o) __ / / / c) BH, CE H A / A i \ / F A-\ •v. 7 40. Určete odchylku přímek AH, BH v kvádru ABCDEFGH, je-li dáno \AB\ = 3 cm, \AD\ = 2 cm, \AE\ = 4 cm. 41. BodMje střed hrany AB tetraedru ABCD. Určete odchylku přímek DM, DC. ODCHYLKA Ml M OBÉZNYCH PRIMEK 42. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) AD, BF b) AH, BF /\ / F D,---- / / / / / c) AH, CF H 11 /1 \ /1 \ / \ 7 METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 33 43. V pravidelném trojbokém hranolu ABCDEF je \AB\ = a, \AD\ = v. Vypočtěte odchylku (p přímek AF, BC 44. Bod M je střed hrany CV pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV Určete odchylku

)AM,GN c)BH,MO 63. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV jsou body K, L po řadě vnitřní body hran AV a DV takové, že KL 11 AD. Vyjádřete vzdálenost d přímky KL od roviny ABC pomocí její vzdálenosti x od přímky AD, je-li |AB| = a, \AV\ = b. 36 MET METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 37 64. Je dána krychle ABCDEFGH, body M, N jsou po řadě středy hran EF, FG. Vypočtěte vzdálenost dpřímekMN,AC, je-li \AB\ = 6 cm. VZDÁLENOST PRIMKY A ROVINY 65. V krychli ABCDEFGH o hraně délky a jsou body K, L, M po řadě středy hran BF, DH, AE a bod N je průsečík úhlopříček EG, FH. Vypočtěte vzdálenost přímky a roviny b)KN,ACH 67. V krychli ABCDEFGH s hranou délky a jsou body P, Q, R po řadě středy hran EF, BF, CG. Vypočtěte vzdálenost d rovin BCE, PQR. 68. V kvádru ABCDEFGH s hranami délek \AB\ = a, \BC\ = b, \AE\ = c vypočtěte vzdálenost rovin ACH, BEG. 38 METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU 39 D. MNOHOSTĚNY D.1 Terminologie HRANOL - podstava hranolu KOLMÝ HRANOL - podstavné hrany hranolu KOSÝ HRANOL - boční hrany hranolu ROVNOBĚŽNOSTĚN - boční stěny hranolu PRAVIDELNÝ n-BOKÝ HRANOL - vrcholy hranolu KVÁDR - stěny hranolu KRYCHLE - hranice hranolu KONVEXNÍ MNOHOSTĚN - plášť hranolu - výška hranolu - tělesové úhlopříčky hranolu - stěnové úhlopříčky JEHLAN - podstava jehlanu KOLMÝ JEHLAN - podstavné hrany jehlanu KOSÝ JEHLAN - boční hrany jehlanu PRAVIDELNÝ n-BOKÝ JEHLAN - boční stěny hranolu KOMOLÝ JEHLAN - vrcholy jehlanu - stěny jehlanu - hranice jehlanu - plášť jehlanu - výška jehlanu Hranoly a jehlany patří mezi MNOHO ST ĚNY. OBJEM TĚLESA Objem tělesa T je kladné číslo V(T). 1. Shodná tělesa mají stejné objemy T, - T2 -> V(TJ = V(T2) 2. Objem tělesa složeného ze dvou nepronikajících se těles je roven součtu obje- mu těchto těles. T = T, U T2, T, R T2 = 0 - > VfT, U T2)=V(T1) + V(T2) 3. Objem krychle o hraně velikosti 1 je roven 1. 40 METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU ' 41 POVRCH TĚLESA Povrch tělesa je obsah jeho hranice. D.2 Základní vzorce D.3 Hranoly 69. Vypočtěte objem a povrch krychle, je-li dána velikost hrany a = 2,5 cm. 70. Vypočtěte objemapovrch krychle, je-li dána velikost tělesové úhlopříčkyu = 6 cm. 71. Vypočtěte objem krychle, je-li dán její povrch S = 150 cm2. 72. Vypočtěte povrch krychle, je-li dán její objem V = 1 000 cm3. 73. Určete délku hrany železné krychle, která má hmotnost 1 000 kg. Hustota železa je p = 7,8 g cnT3. 74. Krychli je opsána koule o poloměru r. Vypočtěte objem a povrch krychle. 75. Je dána krychle o hraně délky a. Určete délku hrany krychle, která má vzhledem k dané krychli a) dvojnásobný objem b) dvojnásobný povrch Poznámka. Úloha určit hranu krychle, která má dvojnásobný objem než daná krychle, byla známa již ve starověku. Zdvojení neboli reduplikace krychle, patří mezi slavné úlohy starověku. Vliteratuře se s ní setkáme pod názvem delský problém. Vedle delského problému patří mezi slavné úlohy také kvadratura kruhu a trisekce úhlu. Lze ukázat, že úsečku délky x = a , kde a je velikost dané úsečky, nelze sestrojit pouze pomocí pravítka a kružítka. 76. Vypočtěte objemapovrch kvádru, jsou-li dány délkyjeho hrana = 4 cm, b = 2 cm, c = 6 cm. 42 MNOr rĚNY 43 77. Délky hran kvádru jsou v poměru 2:3:6a tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Vypočtěte objem a povrch kvádru. 78. Délky hran kvádru jsou v poměru 2:3:4, povrch kvádruje 13 dm2. Vypočtěte objem kvádru. 79. Vypočtěte povrch kvádru, je-li dán součet velikostí jeho hran a + b + c = 19 cm a velikost tělesové úhlopříčky u = 13 cm. 80. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li dány obsah podstavy Si a obsahy bočních stěn 81. Povrch kvádru je 136 cm2, délky jeho hran jsou vpoměru 1:2: 5. Vypočtěte objem kvádru. 82. Vypočtěte objem kvádru ABCDEFGH, je-li dáno \BC\ = \CG\ = a, \AG\ = u. 83. Délky hran kvádru jsou kořeny rovnice x3 - \2x2 + 41 x - 60 = 0 Vypočtěte objem a povrch kvádru. Poznámka. Úlohu je možné také řešit s využitím Viétovy věty týkající se vztahů mezi kořeny a koeficienty dané rovnice. V našem případě je xľx2 + xľx3 + x2x3 = 47, xľx2x3 = 60. 84. Vypočtěte objem a povrch pravidelného trojbokého hranolu výšky v a podstavnou hranou délky a. 85. Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je kosočtverec, jehož strana má délku a. vypočtěte objem hranolu, mají-li jeho tělesové úhlopříčky od roviny podstavy odchylky \AE\ = c. Podstavou hranolu je obdélník, odchylka boční hrany a roviny podstavy je (p a odchylka boční stěny BCG a roviny podstavy je ý. 89. V krychli ABCDEFGH o hraně délky a je vedena hranou CG rovina p tak, že rozdělí krychli na dva kolmé hranoly, čtyřboký a trojboký jejichž objemy j sou vpoměru 3 :2. V jakém poměřuje touto rovinou rozdělena hrana AB? D.4 Jehlany 90. Pravidelný čtyřboký jehlan výšky v má délku podstavné hrany a a délku boční hrany b. Vypočtěte objem a povrch jehlanu, je-li dáno: a) a, b h) a, v c) b, v 91. Pravidelný trojboký jehlan výšky v má délku podstavné hrany a a délku boční hrany b. Vypočtěte objem a povrch jehlanu, je-li dáno: a) a, b h) a, v c) b, v 92. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV, je-li dáno |AC| = \CV\ = u. 93. Vypočtěte objem čtyřstěnuABCD, je-li dáno |AB| =2,\AC\ = \AD\ = \BC\ = \BD\ =3, \CD\=5. MNOHOSTĚNY 45 94. Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li dána jeho výška v a odchylka boční stěny od roviny podstavy - poloměr podstavy 6 kulové úseče V = — (3r-v) S = litrv + 7tp2 S = 1%r v obsah kulového vrchlíku KULOVÁ VRSTVA KULOVÝ PAS ■jív V = —(3p21 + 3p22 + v2) S = n{2rv + p\ + p2) E.3 Válec 112. Jaké množství vody proteče za hodinu potrubím kruhového průřezu s průměrem 16 cm, teče-li voda rychlostí 2,5 m s~'? 113. Dvě stejná válcová potrubí s vnitřním průměrem 10 cm byla nahrazena jedním potrubím se stejným průtokem. Vypočtěte vnitřní průměr nového potrubí. 114. Mléko ze tří litrových krabic bylo přelito do válcového hrnce s vnitřím průměrem 20 cm. Jak vysoko byla hladina mléka vhrnci? ROTAČNÍ TĚLESA 53 115. O kolik se zvýší hladina kávy v šálku tvaru válce o průměru 7 cm, jestliže do něj ponoříme 3 kostky cukru o rozměrech 11 mm, 18 mm, 22 mm? 116. Určete poměr objemů dvou válců Vt: V2 , jsou-li jejich pláště shodné obdélníky rozměrů a a b. 117. Plášť rotačního válce je čtverec. Určete odchylku a úhlopříčky osového řezu tohoto válce s rovinou podstavy. 118. Jaký je průměr d měděného drátu délky I = 200 m, je-li jeho hmotnost m = 80 kg a hustota mědi je p = 8,9 g cnT3? 119. Válcová roura má délku d, světlost s a tloušťku t. Jak velký je její povrch? 120. Nádoba tvaru válce o poloměru podstavy r a výškou v, je naplněna vodou. Kolik vody zůstane v nádobě, jestliže ji nakloníme o úhel velikosti a? Řešte obecně a potom pro hodnoty r = 5 cm, v = 20 cm a a = 45°. Návod. Zbývající voda představuje rotační válec seříznutý rovinou nerovnoběžnou 7trz s podstavou, pro jehož objem V platí: V = —— (vl + v2j 121. Nádoba tvaru kosého válce s poloměrem r, jehož strana svírá s podstavou úhel velikosti b) «^-; c) a—; Va2 + fc2 + c2 3 3 [2 aVŠ /—VŠ 60.v = ai—; 61.a =-; 62. a) a V2; b) a-;c)a —— ; V 3 5 3 6 x j 4b2-2a2 9a/2 . V2 .VŠ . a [2 63. d = — ; 64. d = —— cm; a) a —; b) a —; c) — \ — ; V4fc2-a2 2 2 3 2 V 3 N VŠ . VŠ , «V2 , cyla2 + b2 66. a) a; b) a-; c) a-; 67. a =-; 68. a = , ; 3 2 4 Va2 + &2 + 4c2 69. V = 15,625 cm3; S = 37,5 cm2; 70. V = 24 VŠ cm3; S = 72 cm2; 71. V= — J— = 125 cm3; 72.S = 6VvT5 = 600cm2; 73. a = 50,42 cm; 6 \ 6 8 VŠ 74. V = —— r3; S = 8r2; 75. a) * = a %2; b) x = a -Jl; 76. V = 48 cm3; S = 88 cm2; 77. y = 288 cm3; S = 288 cm2; 78. V= 3 dm3; 79. S = 192 cm2; 80. V = VSíS^j; 81. V =80 cm3; 82. V = a2 V«2 - 2a2; 83. V = 60; S = 94; VŠ , VŠ , 4a3cotg9cotgf 27 VŠ 84. V =-a2v; S =-a2 + 3av; 85.V= &r sr ; V=- 4 2 V(cotg2?> + cotg2Ý)3 2 86. S = 75 VŠ + 30 V69 cm2; V = ^-225 V2Š cm3; 87. V = — na2cotg —; S = n[ —a2cotg--hav I; 1 2 n ab + ac V1 — sin 9 cotg ý + í>c- ; siný/ „ . . — x „ V2 , r—:-r /- 89. rovina rozdelí hranu AB v poměru 1:4; 90. a) V — —— a2 y2b2 — a2 ; 6 VÝSLEDKY ÚLOH 75 1 2 S = a2 + a V4b2 - a2-, b) V" = —a2v ■ S = a2 a j 4b2 + a2 ■ c) V = — v(b2 - v2)-, S = 2(fc2-v2) + 2vV-v4; 91. a) V = — a2^2»b2-a2; f3 a2Vš Vš \Í3 1 S = a2—--1--V3ž>2 - a2; b) V = — a2v, S = + — Vl2i/2 + a2; 4 3 ' 12 4 3 c) V = ^-(b2 - v2)v; S = ^-(b2 - v2 + V(fc2-v2)(fc2 + 3v2)); 92.V =-u3;S = — (l + Vľ); y = —Vľ; 94. V = VŠ v2 cotg 9; 12 ^ 6 95-SibycMe = 2S(3- VŠ); V =— a3sin29cos9sin72°; 97. aľ = 10; 12 12; a2 = 4VŠ; v2=15; 98.* = -^=-; 99. y =-j^-(a3 - &3)tg9; -^-Lj ; 102. a) počet hran: 6; 12; 12; 30; 30; b) počet vrcholů: 4; 8; 6; 20; 12; 103. V = cr 12 ' n 2 r V6 V6 1 S = fl2V3; 104./) = «-;r = a-; 105. cos9 =--;9=109°28'; 12 4 3 , 8Vš , , V2 , r /-, 106.F = a3—^—;S = 8r2; 107. V = a3—; S = 2a2 a/3; 108. V = 4 \/3p3; S = \24lp2; 109. V=-^;S = a2V3; 112. 180,956m3; 113.10 V2 cm; 6 114. asi9,5cm; 115. 3,4mm; 116. Vx ■ V2 = a : b; 117. a = 72°20'35"; 118.d = 2i|-- = 0,76cm; 119. S = 2n(s + t) (d+t); Ttpl ^20.V = 7cr2(v-rtga);V = 375■ltcm3; 121. V=2nr3tg