Měření geometrických útvarů
Jitka Panáčová
(pracovní verze textu)
duben 2020
1. Předškolní věk: Porovnávání délek a jednoduchá měření
V této kapitole si přiblížíme zkušenosti dětí v předškolním věku, na které
navazují v matematice 1. stupně ZŠ
V předškolním věku děti provádějí jednoduché činnosti, kterými jsou
připravovány na měření délky úsečky. Jednou z jejich základních činností je
porovnávání nejdříve dvou předmětů. Vyhledávají předměty stejné délky, v různých
stavebnicích se setkávají se shodnými předměty. Při manipulativních činnostech
například při stříhání proužků papíru téže délky dle daného vzoru si připravují modely
úseček, i když se často dopouští nepřesností, kdy vystřižený proužek je kratší nebo delší
než zadaný vzor.
Předškoláci rozlišují velikosti předmětů, jsou schopni vybrat předměty největší
nebo nejmenší. Představu o velikosti objektů získávají vzájemným porovnáváním
rozměrů, odhadem a představa jednotky je ještě velmi nepřesná.
Významné pro praxi jsou odhady výsledků porovnávání, kdy porovnávané
předměty jsou umístěny paralelně vele sebe (např. dvě děti, dvě jablka apod.). Součástí
měření je tzv. vyplňování prostoru nebo roviny, kdy zjišťujeme, kolik korálek se vejde
například do skleničky apod. Jedná se vlastně o elementární formu měření objemu či
obsahu.
Veškerá měření provádí předškoláci jen pomocí porovnávaní, přičemž se rozvíjí
schopnost porovnávat zrakem.
2. Měření geometrických útvarů – základní pojmy
Na ZŠ s SŠ se žáci učí poznávat, pojmenovávat a používat geometrické útvary a jejich
vlastnosti, studují jejich tvar, polohové vztahy atd. Významnou vlastností útvarů
charakterizuje jejich velikost, kterou získáme měřením.
Měření je určování velikosti fyzikální veličiny příslušným měřidlem ve zvolených
jednotkách, tj. ve zjištění počtu těchto jednotek obsažených v měřené veličině. Připomeňme,
že veličinou rozumíme pojem, kterého používáme ke kvalitativnímu a kvantitativnímu popisu
jevů, stavů a těles.
Ke stanovení velikosti útvaru dospějeme jeho měřením, kdy základem je tzv.
Jordanova teorie míry. Je však nejprve třeba rozhodnout, které útvary lze měřit, tj. zavést
pojem měřitelného útvaru, k čemuž bude třeba zavést základní topologické pojmy.
2.1 Topologické pojmy
• Okolím bodu M v prostoru En je množina bodů {X∈ En;|MX| < 𝛿}, kde 𝛿 ∈ ℝ+. Okolí
bodu M tedy obsahuje všechny body prostoru En, jejichž vzdálenost od bodu M je
menší než zvolené číslo 𝛿. Budeme-li mít na mysli okolí bodu M pro konkrétní číslo 𝛿,
budeme toto okolí nazývat 𝛿-okolí bodu M a zapisovat symbolem 𝛿(M).
Pojem 𝛿-okolí bodu M lze použít pro libovolný prostor En. Ukážeme si tuto skutečnost
na příkladech pro prostory E1 (přímka),E2 (rovina) a E3 (prostor):
• 𝛿-okolí bodu M v prostoru E1 (na přímce) je množina {X∈ E1;|MX| < 𝛿}, kde 𝛿 ∈ ℝ+.
Všimněte si, že pro 𝛿 - okolí bodu M platí, že |MX| < 𝛿.
𝛿 - okolí bodu M v prostoru E1 (na přímce p) je úsečka X1X2 bez hraničních bodů X1, X2.
• 𝛿-okolí bodu M v prostoru E2 (v rovině) je množina {X∈ E2;|MX| < 𝛿}, kde 𝛿 ∈ ℝ+.
• 𝛿-okolí bodu M v prostoru E3 (v prostoru) je množina {X∈ E3;|MX| < 𝛿}, kde 𝛿 ∈ ℝ+.
K
p
𝛿 𝛿M
𝛿 – okolí bodu M
X1 X2
𝛿
M
Analogicky jako v případě 𝛿 - okolí bodu M
v prostoru E1 i zde platí, že |MX| < 𝛿. Nyní se
však pohybujeme v rovině.
𝛿 - okolí bodu M se tak stává vnitřek K
kruhu (kruh bez hraniční kružnice k)
s poloměrem 𝛿.
K
k
M
𝛿
K
k
Analogicky jako v případě 𝛿 - okolí bodu M
v prostoru E1 i E2 zde platí, že |MX| < 𝛿. Nyní
se však pohybujeme v prostoru.
𝛿 - okolí bodu M se tak stává vnitřek K
koule (koule bez hraniční kulové plochy k )
s poloměrem 𝛿.
V dalším textu budeme přesně definovat pojmy, se kterými běžně intuitivně pracujeme. Tyto
pojmy je možné zavést až ve chvíli, kdy jsme se seznámili s pojmem 𝛿 - okolí bodu M. Pro
nejsnadnější názornost budeme tyto pojmy zavádět v E2, tj. v rovině.
• Množina M se nazývá ohraničená právě tehdy, když je podmnožinou okolí nějakého
bodu X∈ E2.
S pojmem ohraničená množina souvisí rovněž pojem ohraničený útvar.
• Geometrický útvar U se nazývá ohraničený právě tehdy, když existuje alespoň jeden
bod A∈ E2 a jeho okolí 𝛿, pro které platí, že U  𝛿(A).
Množina U1 je ohraničená, množina U2není ohraničená (U2 je konvexní úhel).
• Vnitřní bod geometrického útvaru U je takový bod X ∈ E2, pro který existuje alespoň
jedno 𝛿 – okolí takové, že toto okolí je podmnožinou útvaru U. Platí tedy 𝛿(X)  U.
• Vnější bod geometrického útvaru U je takový bod Y ∈ E2, pro který existuje alespoň
jedno 𝛿 – okolí takové, že 𝛿(Y) ∩ U = ø.
• Hraniční bod geometrického útvaru U je takový bod H ∈ E2, kdy pro každé 𝛿 – okolí
tohoto bodu platí, že obsahuje alespoň jeden bod (Z1), který je prvkem útvaru U a
zároveň obsahuje alespoň jeden bod (Z2), který není prvkem útvaru U.
U1 U2
X
𝛿
U
Y
𝛿
H
𝛿1
Z1
Z2
Bod X je vnitřním bodem útvaru U.
Bod Y je vnějším bodem útvaru U.
Bod H je hraničním bodem útvaru U.
Bod Z1 je vnitřním bodem útvaru U.
Bod Z2 je vnějším bodem útvaru U.
S pojmem hraniční bod geometrického útvaru souvisí pojem hranice útvaru, otevřený a
uzavřený útvar.
• Hranice geometrického útvaru je množina všech jeho hraničních bodů U.
• Geometrický útvar U je uzavřený právě tehdy, když mu náleží všechny jeho hraniční
body.
• Geometrický útvar U je otevřený právě tehdy, když mu nenáleží žádný z jeho
hraničních bodů.
Geometrický útvar U2 je otevřený, geometrický útvar U1 je uzavřený.
2.2 Topologické zobrazení
V této kapitole nebudeme zavádět exaktní definici topologického zobrazení, ale spokojíme se
pouze s jeho intuitivní představou. Pro tuto představu budeme opět pracovat v rovině E2.
• Topologické zobrazení Z je takové zobrazení, které každým dvěma různým velmi
blízkým bodům přiřadí dva různé velmi blízké body. Platí tedy
∀A, B ∈ E2 : A ≠ B ⇒ Z(A) ≠ Z (B).
V tomto zobrazení se nemusí zachovávat délka, rovnoběžnost, tvar, velikost ani dělící poměr.
Topologické zobrazení si lze dobře představit pomocí provázku. Dva útvary jsou si navzájem
topologickými obrazy za předpokladu, že jeden z nich vytvoříme z provázku a jsme schopni
z něj získat druhý, aniž bychom provázek stříhali, spojovali nebo vytvářeli uzly.
➢ Topologickým obrazem úsečky může být jednoduchá křivka, jednoduchá čára či
jednoduchá lomená čára.
➢ Topologickým obrazem kružnice pak může být jednoduchá uzavřená křivka a
jednoduchá uzavřená lomená čára.
➢ Pokud bychom z výše uvedených pojmů vynechali slovo „jednoduchá“, znamenalo by
to, že čáry či křivky by samy sebe mohly protnout. Níže na obrázku si jednotlivé
pojmy vysvětlíme.
Příklad 1: Která z těchto písmen si jsou topologickými obrazy?
M N O D R T W X K L I U P
U1 U2
Jednoduchá křivka
Jednoduchá čára
Jednoduchá lomená čára
Jednoduchá uzavřená křivka
Jednoduchá uzavřená lomená čára
• Geometrický útvar U je konvexní právě tehdy, když pro jeho libovolné dva body
X ∈ U, Y ∈ U platí, že úsečka XY  U.
• Geometrický útvar U je souvislý právě tehdy, když jeho libovolné dva body
X ∈ U, Y ∈ U lze spojit křivkou k, přičemž platí k  U.
Souvislý geometrický útvar si lze představit tak, že jsme schopni se dostat jedním tahem
z jednoho jeho libovolného bodu do jiného jeho libovolného bodu, aniž bychom tento útvar
„opustili“.
a) b) c)
Geometrické útvary a), c) jsou souvislé; geometrický útvar b) není souvislý.
• Dva geometrické útvary se překrývají právě tehdy, když jejich průnik obsahuje
alespoň jeden bod, který je vnitřním bodem obou těchto útvarů.
Na obrázku výše se překrývají pouze útvary trojúhelník a kruh.
3. Míra geometrických útvarů
Mezi matematické pojmy, které se vyvinuly z potřeb praxe lidí, jsou úsečka a její délka, rovinný
geometrický útvar a jeho obsah, těleso a jeho objem. Lidé tyto útvary začali více studovat
v souvislosti s vyměřováním pozemků, při plánování staveb, cest apod. První míry se
odvozovaly od rozměrů částí lidského těla, jakými jsou například loket nebo palec.
Upustíme-li od jednotek měření, přijdeme k závěru, že měřením úsečky či jiného
geometrického útvaru získáme určité číslo. Zjišťujeme tak, že měření útvarů je přiřazování
čísel útvarům, a jedná se tedy zobrazení.
3.1 Míra úsečky, délka úsečky
Definice 1: Zobrazení F množiny všech úseček na množinu všech nezáporných reálných čísel
nazýváme mírou úseček a číslo, které je v tomto zobrazení přiřazeno dané úsečce se nazývá
délka úsečky (délku úsečky AB zapisujeme |AB|) právě tehdy, když
1. Existuje úsečka, jejíž délka je rovna číslu 1 (tzv. jednotková úsečka): (∃ AB)|AB|= 1,
2. Pro každé dvě shodné úsečky platí, že jejich délky jsou si rovny:
(∀AB,CD) AB ≅CD ⇒ |AB| = |CD|,
3. Pro každé dvě úsečky platí, že délka jejich grafického součtu je rovna součtu jejich
délek: (∀AB,CD) |AB + CD| = |AB| + |CD|.
S mírou úsečky jste se seznámili v rámci kurikula předmětu Geometrie 1 v minulém semestru.
Doporučujeme tedy toto téma zopakovat např. z materiálu (Lvovská & Francová, 2014).
Připomeňte si, jak se provádí:
• Grafický součet úseček
• Přenášení úseček
Příklad 2: Jsou dány úsečky MN a OP. Určete velikost úsečky OP, jestliže |MN|= 1 (úsečka MN
je jednotková).
Při hledání řešení se držíme tří pravidel v Definici 1.
První předpoklad existence jednotkové úsečky je již splněn, jednotková úsečka MN je zadána.
Můžeme tedy pokračovat přenášením úsečky MN na polopřímku →OP. Tímto přenesením
získáme bod P1.
Využitím druhého předpokladu získáme MN ≅ OP1 ⇒ |MN| = |OP1| ⇒ |OP1| = 1.
M N
O P
O PP1
Tento postup opakujeme, opět naneseme úsečku MN na polopřímku →OP, ovšem nyní do
bodu P1. Získáme MN ≅ P1P2 ⇒ |MN| = |P1P2| ⇒ |P1P2| = 1.
V tuto chvíli jsme schopni zjistit velikost úsečky OP2. To zjistíme využitím třetího předpokladu
z Definice 1 následovně:
|OP2| = |OP1 + P1P2| = |OP1| + |P1P2| = 1 + 1 = 2.
Další kroky jsou intuitivní. Opět naneseme úsečku MN na polopřímku →OP, nyní do bodu P2.
Nalezneme bod P3, který je v tomto případě totožný s bodem P.
Pro vyřešení úlohy, tj. určení délky úsečky OP stačí použít druhý a třetí předpoklad Definice 1:
MN ≅ P2P3 ⇒ |MN| = |P2P3| ⇒ |P2P3| = 1.
|OP| = |OP2 + P2P3| = |OP2| + |P2P3| = 2 + 1 = 3.
Těmito kroky jsme zjistili, že délka úsečky OP je trojnásobkem délky úsečky MN. Platí tedy, že
|OP| = 3.
Poznámka: Pro žáka základní školy není náročné zjistit délku úsečky vzhledem k dané
jednotkové úsečce, tj. kolikrát je daná úsečka delší než jednotková, za předpokladu, že se
jedná o celočíselný násobek.
Příklad 3: Jsou dány úsečky KL a RS. Určete velikost úsečky RS, jestliže |KL|= 1 dm (úsečka KL
je jednotková).
První tři kroky přenášení úsečky KL na polopřímku →RS jsou analogické jako v Příkladu 2. Rozdíl
nastává ve chvíli, kdy se při přenášení úsečky přiblížíme k hraničnímu bodu S.
Z obrázku výše je zřejmé, že velikost úsečky RS není celočíselným násobkem úsečky KL.
Přeneseme-li úsečku ve čtvrtém kroku na polopřímku →RS, získáme bod S4, přičemž bod
S leží mezi body S3, S4.
O P1 P2
O P1 P2 P3 = P
P
L
R S
K
R S1 S2 S3 S
R S1 S2 S3 S S4
Nyní lze zapsat |RS3| < |RS| < |RS4| a tedy platí 3 dm < |RS| < 4 dm.
• Délka 3 dm úsečky RS3 se nazývá dolní mez úsečky RS.
• Délka 4 dm úsečky RS4 se nazývá horní mez úsečky RS.
Takto ovšem není velikost úsečky RS dána přesně. Abychom zpřesnili své měření úsečky RS,
zvolíme novou jednotkovou úsečku KT, která je přesně jednou desetinou původní
jednotkové úsečky KL, tj.
KT =
1
10
∙ KL a tedy
|KT| =
1
10
∙ |KL| =
1
10
∙ 1 dm = 0,1 dm = 1 cm.
Naneseme nyní úsečku KT na polopřímku →RS do bodu S3 a postupujeme analogicky jako
v předchozích krocích.
Pokud je úsečka S3S celočíselným násobkem úsečky KT, jsme s měřením hotovi. Pokud není
úsečka S3S celočíselným násobkem úsečky KT, zvolíme opět novou jednotkovou úsečku KX,
která je přesně jednou desetinou jednotkové úsečky KT, tj.
KX =
1
10
∙ KT a tedy
|KX| =
1
10
∙ |KT| =
1
10
∙ 1 cm = 0,1 cm = 1 mm.
Následně postupujeme analogicky jako v přechozích krocích.
Poznámka: Podobných úvah využívají žáci již na prvním stupni ZŠ. Sami si uvědomují, že
měřit v milimetrech je přesnější než v centimetrech apod.
Budeme-li měřit délku úsečky RS výše uvedeným způsobem, mohou nastat tři možnosti:
1. Krajní bod S úsečky RS, kterou měříme a na kterou nanášíme postupně jednotkovou
úsečku, splyne s některým z bodů S1,S2,…,Sn dříve, než je potřeba zavést zpřesnění. Délka
úsečky RS je pak kladným celočíselným násobkem jednotkové úsečky.
2. Krajní bod S úsečky RS, kterou měříme a na kterou nanášíme postupně jednotkovou
úsečku, splyne s některým z bodů S1,S2,…,Sn v některém kroku zpřesňování. Pak lze
jednoduše zapsat, že existuje n ∈ N takové, že Sn = S. Délka úsečky RS již není kladným
celočíselným násobkem jednotkové úsečky, délka úsečky RS je kladné racionální číslo.
3. Krajní bod S úsečky RS, kterou měříme a na kterou nanášíme postupně jednotkovou
úsečku, nikdy nesplyne s žádným bodem S1,S2,…,Sn bez ohledu na skutečnost, kolik
zpřesnění provedeme. Pak lze zapsat, že pro každé n ∈ N platí Sn ≠ S. Délka úsečky RS již
není kladným celočíselným násobkem jednotkové úsečky, ani kladné racionální číslo. Délka
úsečky RS je kladné iracionální číslo.
3.2 Míra obrazce, obsah obrazce
V rovině lze měřit pouze tzv. měřitelné útvary:
• Základní měřitelný útvar v rovině je rovinný útvar, který je:
a) Ohraničený,
b) Hranicí je jednoduchá uzavřená křivka,
c) Je souvislý.
• Měřitelný útvar je útvar, který lze získat z konečného počtu tzv. základních měřitelných
útvarů pomocí množinových operací. Měřitelnému útvaru v rovině říkáme obrazec.
Z uvedeného je zřejmé, že například polorovina, konvexní úhel nebo vnějšek kruhu nejsou
měřitelné útvary.
a) b) c)
Pětiúhelník v případě a) je měřitelný útvar. Dvojice kruhů, které nejsou spojité v případě b) a
konvexní úhel nejsou měřitelné útvary.
Definice 2: Míra obrazce je zobrazení f množiny všech rovinných obrazců na množinu všech
nezáporných reálných čísel. Číslo, které je v tomto zobrazení f přiřazeno danému obrazci U, se
nazývá obsah obrazce a značíme jej f (U). Dále platí:
1. Existuje obrazec, jehož obsah je roven číslu 1: (∃ U) f (U) = 1,
2. Pro každé dva shodné obrazce platí, že jejich obsahy jsou si rovny:
(∀ U1, U2) U1 ≅ U2 ⇒ f (U1) = f (U2)
3. Jestliže se obrazce nepřekrývají, pak obsah jejich sjednocení se rovná součtu jejich
obsahů:
(∀ U1, U2) U1, U2 se nepřekrývají ⇒ f(U1 U U2) = f (U1) + f (U2)
Měření obrazce budeme demonstrovat na následujícím příkladu.
Příklad 4: Je dán jednotkový čtverec (čtverec o obsahu 1) KLMN a obdélník ABCD. Jaký má
obsah obdélník ABCD?
α
Chceme-li určit obsah obdélníka ABCD, je třeba, abychom se drželi pravidel z Definice 2. První
předpoklad o existenci jednotkového čtverce je splněn již ze zadání. Můžeme tedy pokračovat
přenášením čtverce KLMN na obdélník ABCD. Získáme tak body P1, P2.
Jistě platí: Čtverec KLMN je shodný se čtvercem AP1P2D, a podle druhého předpokladu
v Definici 2 se jejich obsahy rovnají. Obsah čtverce AP1P2D je tedy rovněž roven jedné.
Celý postup opakujeme, přičemž aplikujeme předpoklady Definice 2. Čtverec KLMN je shodný
se čtvercem P1P2P3P4 a tedy mají podle druhého předpokladu Definice 2 stejné obsahy. Obsah
čtverce P1P2P3P4 je tedy roven jedné. Dle třetího předpokladu Definice 2 je obdélník AP3P4D
sjednocením čtverců AP1P2D a P1P2P3P4, které se nepřekrývají. Platí tedy, že obsah obdélníku
AP3P4D je roven součtu obsahu čtverců AP1P2D a P1P2P3P4.
V dalším kroku opět přeneseme čtverec KLMN a získáme čtverec P3BDP4, oba tyto čtverce mají
stejné obsahy. V posledním kroku obsahy čtverců podle třetího předpokladu sečteme. Součet
obsahů tří čtverců AP1P2D, P1P2P3P4 a P3BDP4 je roven obsahu obdélníka ABCD:
Pro zjednodušení zvolíme jiné označení obrazců, viz obrázek výše:
N M
K L A B
CD
N M
K L A B
CD P2
P1
P4
A B
CD P2
P1 P3
U2 U3 U4
➢ Čtverec AP1P2D označme symbolem U2,
➢ Čtverec P1P3 P4P2 označme symbolem U3,
➢ Čtverec P3BCP4 označme symbolem U4,
➢ Útvar U2 U U3 označme symbolem U23,
➢ Útvar U23 U U4 označme symbolem U234 – jedná se o obdélník ABCD.
Celý postup přenášení čtverce na obdélník můžeme zapsat následujícím způsobem:
U1 ≅ U2 ⇒ f(U1) = f(U2) ⇒ f(U2) = 1,
U1 ≅ U3 ⇒ f(U1) = f(U3) ⇒ f(U3) = 1,
f(U23) = f(U2 U U3) = f(U2 ) + f(U3) = 1 + 1 = 2,
U1 ≅ U4 ⇒ f(U1) = f(U4) ⇒ f(U4) = 1,
f(U234) = f(U23 U U4) = f(U23 ) + f(U4) = 2 + 1 = 3.
Obsah obdélníka ABCD je 3.
Poznámka: Analogicky, jako v případě míry úseček nemusí být jeden obrazec celočíselným
násobkem druhého. Pokud by tomu tak bylo, provedli bychom zpřesnění rozdělením
jednotkového čtverce na shodné čtverce a postupovali bychom analogicky jako při měření
úsečky.
Problematiku měření obsahu a pokrývání jednotkovým čtvercem je možné řešit také
v případě náročnějších měřitelných rovinných obrazců, jejichž hraniční křivky jsou oblé.
V tomto případě je vhodné využít čtvercové sítě. V následujícím příkladu si vysvětlíme
postup měření obsahu libovolného měřitelného rovinného obrazce.
Příklad 5: Určete obsah rovinného obrazce U.
U
Uvažujme čtvercovou síť S v rovině pokrytou jednotkovými čtverci. Za stranu jednotkového
čtverce zvolíme jednotkovou úsečku δ. Obsah jednotkového čtverce je tedy δ2.
Na tomto místě je potřeba formulovat dva důležité pojmy.
• Jádro J obrazce U v síti S je sjednocením všech takových čtverců sítě, že každý jejich
bod náleží obrazci U.
• Obal O obrazce U v síti S je sjednocením všech takových čtverců sítě S, že alespoň
jeden jejich bod náleží obrazci U.
Obal O každého rovinného obrazce U obsahuje aspoň jeden čtverec sítě S, jádro J nemusí
obsahovat žádný čtverec sítě S.
V libovolné síti S je vždy jádro J podmnožinou obrazce U a obrazec U je podmnožinou obalu
O, platí: J  U  O.
Vzhledem k tomu, že jádro J i obal O obrazce U jsou útvary ohraničené, jejich hranice jsou
jednoduché uzavřené křivky, jsou jádro J i obal O obrazce U měřitelné útvary. Můžeme tedy
určit jejich velikost.
• velikost jádra f (J) obrazce U je počet čtverců jádra J (tedy dolní mez obrazce U),
• velikost obalu f (O) obrazce U je počet čtverců obalu O (tedy horní mez obrazce U),
Platí tedy: f (J)  f (U)  f (O), kde f (U) je obsah obrazce U.
U
Síť S
δ
δ2
V případě našeho obrazce U vidíme, že velikost jeho jádra je f (J) = 21 (počet čtverců jádra
obrazce U) a velikost jeho obalu je f (O) = 48 (počet čtverců obrazce U). Platí tedy, že obsah f
(U) obrazce U je 21  f (U)  48. Což je velmi „hrubé“ měření.
Chceme-li měření zpřesnit, vytvoříme tzv. zjemněnou síť S1 o délce jednotkové úsečky δ1, kde
δ1 < δ. Rozdělme tedy jednotkovou úsečku na dvě shodné úsečky, přičemž nová jednotková
úsečka δ1 =
1
2
∙ δ. Zvolíme-li za stranu jednotkového čtverce pro zjemněnou síť S1 jednotkovou
úsečku δ1, pak obsah jednotkového čtverce bude δ1
2.
U
Jádro J Obal O
U
Obal O1
Jádro J1
Síť S1
δ1
δ1
2
Označme pro síť S1 velikost jádra J1 symbolem f (J1) a velikost obalu O1 symbolem f (O1).
Uvažujeme-li síť S1, je velikost jádra f (J1) =
107
4
= 26
3
4
a velikost obalu f (O1) =
158
4
= 39
2
4
.
Porovnejme nyní získané velikosti jader J a J1 i obalů O a O1 obrazce U před zjemněním a po
něm:
21  26
3
4
 f(U) 39
2
4
 48
Vidíme, že po prvním zjemnění sítě jsme získali přesnější údaje o obsahu obrazce.
Z uvedeného postupu zřejmě platí množinová inkluze:
J  J1  U  O1  O.
Vzhledem k této množinové inkluzi pro velikosti jádra a obalu po zjemnění sítě platí:
f(J)  f(J1)  f(U)  f(O1)  f(O)
Tímto způsobem lze ve zjemňování sítí pokračovat. Potom v každé síti Sk (kde 1  k  n pro n,
k ∈ ℕ) lze obrazci U přiřadit jádro Jk a obal Ok. Platí množinová inkluze
J  J1  J2  J3  … Jn  … U  …On  …O3  O2  O1  O
Pro velikosti jader, měřitelného rovinného obrazce a obalů podobně platí
f(J)  f(J1)  f(J2)  f(J3) … f(Jn)  f(U)  f(On) … f(O3)  f(O2)  f(O1)  f(O)
Z praxe víme, že pro přesnější měření volíme vždy pro zjemňování sítě jednu desetinu
jednotkové úsečky, tj. δ1 =
10
1
δ., δ2 =
10
1
δ1 atd.
Postupným zjemňováním sítí se bude velikost jader zvětšovat, velikost obalů se bude
zmenšovat, z obou stran - zdola i shora - se budeme přibližovat k obsahu f(U) rovinného
obrazce U, rozdíl horní meze a dolní meze velikosti obrazce lze učinit libovolně malými.
Příklad 6: Určete obsah obdélníku ABCD, jehož strany mají velikosti:
a) |AB| = 6 cm a |BC| = 4 cm
b) |AB| = 6,3 cm a |BC| = 4,7 cm
a) Vytvoříme si čtvercovou síť S o rozměru δ velikosti 1 cm. Do čtvercové sítě S umístíme
obdélník ABCD tak, aby dvě sousední strany AB, BC obdélníku byly podmnožinami přímek sítě
S. V tomto případě obdélníku budou i strany CD a DA podmnožinami přímek sítě. Není tedy
potřeba již síť S zjemňovat a můžeme určit obsah obdélníku ABCD jako hodnotu, která
vyjadřuje počet čtverců o délce strany δ, které obdélník ABCD vytváří. Celkový počet
jednotkových čtverců je 24, tj. obsah obdélníku ABCD je 24 cm2.
b) Měřený obdélník umístíme ve čtvercové síti S o rozměru δ velikosti 1 cm tak, aby obě jeho
strany AB i BC byly podmnožinami přímek sítě S.
V síti S znázorníme jádro J a obal O obdélníka ABCD.
Velikost jádra f(J) = 24, velikost obalu f(O) = 35. Je zřejmé, že f(J)  f(ABCD)  f(O).
Vzhledem k tomu, že ostatní strany CD a DA obdélníka ABCD nejsou podmnožinami přímek
sítě S, provedeme zjemnění sítě S tak, že zvolíme novou jednotkovou úsečku δ1 velikosti jedné
desetiny původní jednotkové úsečky, tj. δ1 =
10
1
∙ δ = 1 mm. V nové čtvercové síti S1 o velikosti
jednotkové úsečky δ1 = 1 mm určíme velikost jádra f(J1) a velikost obalu f(O1) obdélníku ABCD:
f(J1) = 47 ∙ 63 = 2961, f(O1) = 47 ∙ 63 = 2961.
Zde platí, že f(J1) = f(O1) = f(ABCD) = |AB|∙|CD| = 2961. Označíme-li v obdélníku ABCD
symbolem a velikost úsečky AB a b velikost úsečky BC, pak obsah obdélníka ABCD zapíšeme
jako f(ABCD) = a ∙ b. Označíme-li písmenem S obsah obrazce f(ABCD), tj. S = f(ABCD), získáme
vztah:
S = a ∙ b
A B
CD
δ = 1 cm
δ2 = 1 cm2
A B
CD
Jádro J
Obal O
δ = 1 cm
Obsah obdélníka ABCD je 2961 mm2, což je 29,61 cm2.
Příklad 7: Určete obsah čtverce ABCD o velikosti strany AB 5 cm.
Obsah čtverce vypočítáme jako obsah obdélníku. Protože sousední strany jsou shodné,
vypočítáme obsah čtverce ze vzorce
S = 5 ∙ 5 = 25 25 cm2
Obsah čtverce ABCD je 25 cm2.
Příklad 8: Odvoďte obsah kosodélníku ABCD.
Na přímce ↔ DC nalezneme body E, resp. F tak, že ↔ AE ⟘ ↔ ED, resp. ↔ AF ⟘ ↔ FD.
Trojúhelník AED je shodný s trojúhelníkem BFC (podle věty Ssu). Jestliže dva trojúhelníky jsou
shodné, pak mají podle definice míry stejný obsah. Jestliže posuneme trojúhelník AED na místo
trojúhelníka BFC, vznikne obdélník ABFE, který má stejný obsah jako kosodélník ABCD. Obsah
obdélníku získáme jako součin velikostí sousedních stran (|AB| · |BF|). Strana BF v obdélníku
ABFE je výškou v kosodélníku ABCD na stranu AB. Jestliže obsah kosodélníku ABCD je stejný
jako obsah obdélníku ABFE, tak obsah S kosodélníku vypočítáme jako součin velikosti strany
a a příslušné výšky va, tj:
Příklad 9: Odvoďte obsah trojúhelníku ABC.
S = a ∙ a
S = a ∙ va
A B
CD
A B
CD E
F
V rovině nalezneme body X, Y tak, že vrchol C leží na přímce ↔ XY a útvar ABXY je obdélník.
Bodem C vedeme přímku rovnoběžnou s přímkou ↔ BX, která protíná stranu AB trojúhelníka
ABC v bodě P, což je pata kolmice z bodu C na stranu AB. Platí, že APC ≅ CYA a BPC ≅ CXB
(podle věty sus). Trojúhelníky APC, CYA mají tedy stejný obsah, stejně tak trojúhelníky BPC,
CXB mají stejný obsah. Je zřejmé, že velikost obsahu trojúhelníku ABC činí polovinu obsahu
obdélníka ABXY. Obsah obdélníka ABXY získáme jako součin velikostí sousedních stran (|AB| ·
|BX|). Vzhledem k tomu, že úsečky PC a BX jsou rovnoběžné a shodné, obsah trojúhelníka ABC
získáme jako polovinu součinu |AB| · |PC|, kde úsečka PC je výška trojúhelníka ABC z bodu C
na stranu AB.
Označme |AB| = a, |PC| = va, pak obsah Strojúhelníku ABC vypočítáme jako polovinu součinu
velikosti strany a a příslušné výšky va, tj:
3.3 Povrch prostorového útvaru
Měření obsahu rovinných útvarů se používá v praktických úlohách například při určování
povrchu tělesa.
• Tělesa jsou prostorové útvary, které nejsou podmnožinou téže roviny. Zajímají nás
převážně hranatá tělesa, tj. krychle, kvádry, hranoly a dále rotační tělesa koule, kužel
válec.
• Povrch tělesa je hranice tělesa v prostoru. Určujeme velikost této hranice, tedy obsah
hranice. Povrch tělesa u hranatých těles určíme jako součet obsahů všech jeho stěn. U
hranatých těles můžeme vytvořit síť tělesa, což je povrch tělesa rozvinutý do roviny. U
S =
𝟏
𝟐
∙ a ∙ va
A B
C
Y X
A B
C
P
⦝
rotačních těles si vytvoříme síť kromě koule, která je pro toto komplikovaná (například
při znázorňování zemského povrchu v rovině dochází ke zkreslení).
Příklad 10: Určete povrch krychle, jestliže hrana krychle měří 5 cm.
Povrch krychle je hranice krychle v prostoru. Můžeme si jej rozvinout do roviny a vytvořit tak
rovinný útvar – n-úhelník, z něhož lze zpětně složit povrch této krychle.
Na obrázku níže je znázorněna krychle ve volném rovnoběžném promítání a jedna z jejích sítí.
Povrch krychle je tvořen šesti shodnými čtverci, tedy povrch krychle vypočítáme jako
S = 6 ∙ 25 = 150 cm2
Povrch krychle činí 150 cm2.
Příklad 11: Určete povrch kvádru ABCDEFGH, jestliže délka jeho hrany AB je 4 cm (a = 4 cm),
hrany BC je 5 cm (b = 5 cm) a hrany BF je 6 cm (c = 6 cm).
Analogicky jako u krychle si můžeme pro ilustraci znázornit síť kvádru ABCDEFGH, což je
rozvinutý povrch kvádru do roviny. Kvádr má 6 stěn, z toho 3 dvojice shodných stěn.
Vypočítáme obsah každé stěny a tyto obsahy sečteme. Můžeme také vypočítat obsahy tří
různých stěn, pak tyto obsahy sečíst a vynásobit dvěma. Obecně je vzorec pro povrch kvádru:
S = 6 ∙ a2
Povrch zadaného kvádru vypočteme S = 2 (4 · 5 + 4 · 6 + 5 · 6) = 148 cm2.
Povrch daného kvádru měří 148 cm2.
Úkoly
1. Určete obsahy jednotlivých čtyřúhelníků umístěných ve čtvercové síti o rozměru 𝛿.
2. Určete obsahy jednotlivých trojúhelníků umístěných ve čtvercové síti o rozměru 𝛿.
S = 2 ( a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c )
𝛿S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1
S3
S4
S6
S7
S8
S5
S2
S3
𝛿
3. Určete obsahy jednotlivých obrazců umístěných ve čtvercové síti o rozměru 𝛿.
4. Vypočtěte povrch kolmého hranolu, který má za podstavu rovnoramenný trojúhelník
o základně a = 10 cm a ramenu b = 13 cm, výška hranolu je v = 12 cm.
5. Zakroužkujte obrázky, na kterých není síť krychle:
6. Existuje 11 sítí krychle. Dokážete je všechny najít a načrtnout?
7. Na obrázku je síť krychle, kterou vybarvily děti. Kolik procent povrchu krychle je
vybarveno?
S1
S2
S3
S5
S6
𝛿
8. Na stěnách krychle jsou nakresleny šachové figurky. Jejich polohu vidíte v zobrazené
síti. Určete, které figurky patří na místa otazníků.
9. Je dána krychle, která má na stěnách tečky. Je zobrazena ve třech různých polohách.
Načrtněte její síť.
10. Jsou dány obrazce U a V ve čtvercové síti, kde délka úsečky jednotkového čtverce činí
1 cm. Určete obsah těchto obrazců pomocí jejich jader a obalů analogicky jako
v Příkladu 5. Výsledek zapište pomocí nerovností. Proveďte dále alespoň jedno
zpřesnění pomocí zjemnění sítě?
11. Které ze znázorněných trojúhelníků ve čtvercové síti mají stejné obsahy?
12. Zapište, kolik procent plochy zaujímá trojúhelník v dané podložce tvaru:
a) čtverce, b) obdélníka.
U
V
6 cm
8,4 cm
12, 6 cm
A B
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C1
13. Vyjádřete zlomkem, jakou část obsahu čtverce ABCD tvoří obsahy vybarvených
obrazců. Bod S je střed čtverce, body S1, S2, S3 jsou středy stran.
14. Určete, kolik čtvercových dlaždiček o straně 5 cm je třeba k vydláždění dna a stěn
zahradního bazénu tvaru kvádru. Hloubka bazénu je 1,5 m, šířka 2,5 m a délka 5 m.
Spáry mezi dlaždičkami zanedbejte.
15. Která z kostek odpovídá zobrazení v síti?
3.4 Míra těles, objem tělesa
Definice 3: Míra těles je zobrazení f množiny všech těles na množinu všech nezáporných čísel.
Číslo přiřazené tělesu T v tomto zobrazení se nazývá objem tělesa a značíme jej f(T). Dále platí:
1. Existuje těleso, jehož objem je roven číslu 1: (∃ T) f (T) = 1,
2. Pro každé dvě shodná tělesa platí, že jejich objemy jsou si rovny:
(∀ T1, T2) T1 ≅ T2 ⇒ f (T1) = f (T2)
3. Jestliže tělesa nemají společný žádný bod, pak objem jejich sjednocení se rovná součtu
jejich objemů:
(∀ T1, T2) T1 ∩ T2 = ø ⇒ f(T1 U T2) = f (T1) + f (T2)
Při měření obsahu obrazce jsme vyplňovali měřený obrazec jednotkovými čtverci.
Podobně budeme postupovat při měření tělesa T. Těleso T, které měříme, budeme vyplňovat
jednotkovými krychlemi. Měření tělesa T budeme provádět následujícím postupem:
Vyjdeme z tzv. krychlové sítě S o rozměru 𝛿, kde je jednotková úsečka 𝛿. Těleso T umístíme
do krychlové sítě a určíme jádro a obal obdobně jako při měření rovinného obrazce.
• Jádro J tělesa v síti S je sjednocení všech jednotkových krychlí sítě S, že každý jejich
bod náleží tělesu T.
• Obal O tělesa v síti S je sjednocení všech takových jednotkových krychlí sítě S, že
alespoň jeden jejich bod náleží tělesu T.
Obal každého tělesa T obsahuje alespoň jednu krychli sítě S, jádro nemusí obsahovat žádnou
krychli. Pro jádro J, těleso T a obal O platí vztah:
J  T  O.
Poněvadž jádro J i obal O tělesa T jsou omezené útvary a hranice jádra i obalu jsou
topologickým obrazem kulové plochy, jsou jádro J i obal O měřitelné prostorové útvary, lze
tedy určit jejich velikost.
• Velikost jádra f(J) je počet krychlí jádra J tělesa T v síti S.
• Velikost obalu f(O) je počet krychlí obalu O tělesa T v síti S.
Získáváme vztah:
f(J)  f(T)  f(O)
Velikost jádra f(J) je dolní mez, velikost obalu f(O) je horní mez velikosti tělesa T.
Chceme-li měření zpřesnit, vytvoříme tzv. zjemněnou síť S1, o rozměru 𝛿1, kde 𝛿1 < 𝛿.
Analogicky jako při zjemňování čtvercové sítě při měření obsahu obrazců, volíme novou
jednotkovou úsečku 𝛿1 velikosti jedné desetiny úsečky 𝛿, tj. δ1 =
10
1
δ. Proces zjemňování sítí
není omezen, můžeme vytvořit množinu sítí S1, S2, …, Sk, kde každá ze sítí Sk je zjemněním sítě
Sk-1. V každé síti Sk lze tělesu T přiřadit jádro Jk a obal Ok. Z definice jádra a obalu plyne platnost
množinových inkluzí:
J  J1  J2  J3  … Jn  … T  …On  …O3  O2  O1  O
Pro velikosti jader, tělesa a obalů podobně platí
f(J)  f(J1)  f(J2)  f(J3) … f(Jn)  f(T)  f(On) … f(O3)  f(O2)  f(O1)  f(O)
Úlohy:
1. Rozhodněte, které dvojice ze šesti daných útvarů vytváří krychli.
2. Určete, z kolika krychlí jsou postaveny tyto prostorové útvary.
3. Určete, z kolika krychlí jsou postaveny tyto prostorové útvary.
4. Krychle byla slepena z 27 malých bílých krychliček o hraně délky 2 cm. Dvě malé
krychličky odstraníme a vznikne tak nové těleso. Všechny dostupné plochy tohoto
nového tělesa byly obarvené na šedo (i zespodu). Jaký je celkový obsah všech šedých
ploch nového tělesa?
5. Anička postavila na podložce krychli, která měla v každé řadě 4 krychličky. Když
z postavené krychle odebrala několik krychliček, vytvořila 1. stavbu. Po odebrání
dalších krychliček vytvořila 2. stavbu a z té nakonec vytvořila 3. stavbu. Kolik krychliček
musela Anička odebrat z 1. stavby, aby získala 2. stavbu? Kolik krychliček musela
Anička odebrat z 2. stavby, aby získala 3. stavbu?
6. Tělesa T2 a T3 vznikla z krychle T1 složené z 27 stejných kostek (délka hrany jedné kostky
je 1 cm) tak, že jsme několik kostek odebrali. Na obrázku je vidíte zepředu, při pohledu
zezadu vypadají stejně. Určete:
a) jaký mají tělesa T2 a T3 objem,
b) jaký mají tělesa T2 a T3 povrch.
7. Na obrázku je nakreslena tříposchoďová pyramida složená ze stejných kostek o hraně
1 cm.
a) Jaký má toto těleso objem?
b) Jaký má toto těleso povrch?
c) Kolik poschodí bude mít podobná pyramida složená ze 455 stejných kostek?
8. V krychli slepené ze 125 krychliček (po 5 v každé řadě) se vytvoří 9 otvorů skrz naskrz
(ústí každého otvoru je vyznačeno tmavě).
V první fázi se vytvoří svislé otvory tak, že se vyznačí celkem 15 krychliček ze tří svislých
sloupců. Ve druhé fázi se prorazí tři otvory směřující zepředu dozadu. Ve třetí fázi se
vytlačí poslední krychličky tak, aby vznikly tři otvory směřující zprava doleva. Z kolika
krychliček je složen takto vytvořený prostorový útvar?
9. Pojmenuj těleso, jehož síť je na obrázku:
10. Pojmenuj těleso, jehož síť je na obrázku:
11. Pojmenuj těleso, jehož síť je na obrázku a urči jeho povrch a objem.
Použitá literatura:
1. STOPENOVÁ, Anna: Základy matematiky 5. Vyd. 1. Olomouc: Univerzita Palackého,
Pedagogická fakulta, 2006, 67 stran.
2. FRANCOVÁ, Marta, Květoslava MATOUŠKOVÁ a Milena VAŇUROVÁ: Texty k základům
elementární geometrie. Vyd. 1. Brno: Univerzita J. E. Purkyně, 1985, 104 stran.
3. BĚLÍK, Miloslav: Geometrie s didaktikou: učební text pro studium učitelství prvního
stupně základní školy. Vyd. 1. Ústí nad Labem: Univerzita J. E. Purkyně, Pedagogická
fakulta, Katedra matematiky, 2007, 47 stran.
4. CHYTRÝ, Vlastimil: Geometrie s didaktikou II. Vyd. 1. Ústí nad Labem: Univerzita J. E.
Purkyně, Katedra psychologie, 2013, 84 stran.
5. LVOVSKÁ, Leni a Marta FRANCOVÁ: Texty k základům elementární geometrie: pro
studium učitelství 1. stupně základní školy. Vyd. 1. Brno: Masarykova univerzita,
Pedagogická fakulta, 2014, 77 stran.
6. JEDLIČKOVÁ, M., KRUPKA, P., NECHVÁTALOVÁ, J.: Pracovní sešit. Matematika. Hranoly
a válce. Brno: Nová škola, 2016.
7. JEDLIČKOVÁ, M., KRUPKA, P., NECHVÁTALOVÁ, J.: Pracovní sešit. Matematika. Rovinné
útvary. Brno: Nová škola, 2015.