Mechanika a molekulová fyzika Dynamika tuhého tělesa Doc. RNDr. Petr Sládek, CSc. Pedagogická fakulta Masarykova Univerzita Poříčí 7, 603 00 Brno Pro potřeby přednášky zpracováno s využitím www.studopory.vsb.cz materialy html_files Tuhé těleso §Dynamika tuhého tělesa § §Zabývá se tělesem s nezanedbatelnými rozměry, s určitým tvarem. § §Každé těleso je více či méně uspořádaný soubor atomů, molekul nebo iontů. Rozměry těchto stavebních prvků tělesa jsou ovšem malé v porovnání s rozměry tělesa, takže je můžeme považovat za hmotné body. Těleso tak můžeme považovat za soustavu hmotných bodů. §Když vyšetřujeme pohyb tělesa vycházíme z předpokladu, že síly které jednotlivé částice drží pohromadě (vnitřní síly) nemají na vzájemnou vzdálenost jednotlivých částic prakticky žádný vliv, tj. těleso se nedeformuje. 2 Tuhé těleso je ideální těleso, model tělesa. Jeho tvar ani objem se působením sil nemění. Pohyb tuhého tělesa, těžiště tělesa §Tuhé těleso může konat dva základní druhy pohybů: posuvný a otáčivý § 1.Pohyb posuvný (translační). §Těleso, které se po trajektorii posunuje tak, že všechny body tělesa mají §Během pohybu stejnou rychlost – velikost i směr. § §Trajektorií může být zcela obecná křivka (nejen přímka) §a má pro všechny body tělesa stejný tvar. 2. 2. § 3 Translační pohyb homogenního tělesa můžeme nahradit pohybem jeho těžiště, ve kterém je soustředěna hmotnost tělesa a platí všechny dosud uvedené zákony pro pohyb hmotného bodu Pohyb tuhého tělesa 2.Pohyb otáčivý (rotační). §Otáčivý pohyb, neboli rotační, koná těleso při otáčení kolem pevné osy otáčení o. Při tomto pohybu všechny body tělesa opisují kružnice se středem na ose otáčení. Během pohybu mají stejnou úhlovou rychlost – velikost i směr. § §Při změně úhlové rychlosti mají všechny body stejné §úhlové zrychlení ε. Ve stejném čase opíší také stejnou §úhlovou dráhu φ. 1. 1. § 4 Pohyb tuhého tělesa 5 Těžiště tělesa 6 Těžiště tělesa je působiště výslednice všech tíhových sil působících na jednotlivé hmotné body tvořící dané těleso Těžiště tělesa 7 Otáčivé účinky síly, moment síly, moment hybnosti 8 Otáčivý účinek síly působící na těleso závisí na velikosti síly, na jejím směru a orientaci a na poloze jejího působiště. Moment síly 9 Moment síly 10 Výsledný moment sil současně působících na těleso je roven vektorovému součtu momentů jednotlivých sil vzhledem k dané ose otáčení. Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů všech sil vzhledem k dané ose roven nule. Moment hybnosti 11 Skládání sil působících na těleso §Skládání sil při působení na tuhé těleso není jen o sčítání vektorů, síly totiž nepůsobí jen na jeden hmotný bod, ale na rozměrné tuhé těleso. Záleží tedy na místě působiště síly. Podle toho bude těleso konat pohyb – translační, rotační, složený… § § § §Podle působiště skládaných sil mohou nastat dvě situace. §Buď síly působí • - v jednom bodě tělesa • - v bodech různých. § 12 Skládat síly působící na těleso znamená nahradit je silou jedinou, která má na těleso stejný pohybový účinek. Skládání sil působících na těleso 1.Síly působící v jednom bodě tělesa. § Síly skládáme jako v případě hmotného bodu. 13 Skládání sil působících na těleso 14 Skládání sil působících na těleso 15 Skládání sil působících na těleso 16 Skládání sil působících na těleso 17 Rovnováha tuhého tělesa 18 Rovnováha tuhého tělesa §Stabilní rovnovážnou polohu má také těleso, které je otáčivé §kolem osy umístěné nad svým těžištěm. § §Labilní rovnovážnou polohu má těleso, které se po vychýlení §z této polohy do ní nevrací. Těleso po vychýlení přechází do §nové stabilní polohy. 19 Labilní rovnovážnou polohu má také těleso, které je otáčivé kolem osy umístěné pod svým těžištěm Rovnováha tuhého tělesa §Volnou (indiferentní) rovnovážnou polohu má těleso, které po vychýlení zůstává v jakékoliv nové opět stabilní poloze. § § 20 Volnou rovnovážnou polohu má také těleso, které je otáčivé kolem osy umístěné ve svém těžišti Kinetická energie tuhého tělesa 21 Kinetická energie tuhého tělesa 22 Kinetická energie tuhého tělesa 23 Moment setrvačnosti §Moment setrvačnosti J je veličina, která má u rotačního pohybu stejnou funkci jako hmotnost m u pohybu translačního – charakterizuje setrvačné §vlastnosti rotujícího tělesa. Je to veličina, která charakterizuje rozložení §hmotnosti tělesa vzhledem k ose rotace. § §Moment setrvačnosti tohoto elementu dm je dán §Výrazem r2dm. Moment setrvačnosti celého tělesa §hmotnosti m dostaneme integrováním tohoto vztahu § § 24 Moment setrvačnosti §Moment setrvačnosti J vůči ose procházející těžištěm (označované jako JT) pro jednoduché útvary můžeme spočítat vhodnou volbou elementu dm nebo je lze najít v tabulkách. §Často potřebujete stanovit moment setrvačnosti J vůči ose neprocházející těžištěm. Moment setrvačnosti tělesa J lze pak stanovit pomocí §Steinerovy věty: § § §Osu otáčení o vůči níž chceme stanovit moment §setrvačnosti a která je rovnoběžná s těžištní §osou oT a je ve vzdálenosti a. § 25 Pohybová rovnice translace tělesa I.impulsová věta: § § § § § §Pro vnitřní síly působící na hmotné body soustavy platí zákon akce a reakce a proto je jejich součet nulový. § 26 Těžiště soustavy hmotných bodů se pohybuje tak, jako kdyby celá hmotnost soustavy byla soustředěna v těžišti a všechny vnější síly působily v těžišti. Pohybová rovnice rotace tělesa 27 Pohybová rovnice rotace tělesa §Pohybovou rovnici rotačního pohybu lze také zapsat: § § § § §Rotační impuls L definujeme vztahem § § § § §Působení rotačního impulsu vnějších sil vede ke změně momentu hybnosti – ke změně točivosti tělesa. § 28 Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů a při pohybu tuhého tělesa §Zákon zachování hybnosti § § § § § §Zákon zachování točivosti (momentu hybnosti) § § § § § § §Krasobruslaři - pirueta § 29 Práce a výkon při rotaci 30 Jednoduché stroje § § § §Z fyzikálního hlediska je dělíme do 2 skupin: § stroje založené na rovnováze momentů sil (páka, kladka, kolo na hřídeli = § tělesa otáčivá kolem pevné osy) § § stroje založené na rovnováze sil (nakloněná rovina, klín, šroub) § § § 31 Jednoduché stroje 32 Jednoduché stroje 33 KLADKA Dělení: volná kladka pevná kladka F1 = F2 F1.r = F2.r Kladkostroj – spojení pevných a volných kladek F2 = F1 / 2 F2.2r = F1.r F1 F2 F1 F2 Nakloněná rovina §je rovina svírající s vodorovným směrem úhel α . §h …výška nakloněné roviny §s … délka nakloněné roviny § §podmínka rovnováhy: s.F = h.FG § §Nakloněná rovina se používá k přemísťování těžkých nákladů (šikmo postavený žebřík, schodiště, silnice se stoupáním…) §na principu nakloněné roviny je založen: § a) klín = sekera, dláto, nůž, pluh… § b) šroub = lze vyvinout síly značné velikosti (šroubový zvedák) 35