1
6. ORTOGONÁLNÍ SOUSTAVY, FOURIEROVY ŘADY
Def.: - Číslo, které značíme gf , a definujeme vztahem
=
b
a
fggf ,
nazýváme skalárním součinem funkcí f a g.
- Říkáme, že funkce f a g jsou ortogonální a píšeme f ⊥ g, právě, když platí
0, =gf
- Říkáme, že systém funkcí  Anfn  je ortogonální, právě když platí
0, =nn ff pro nn  , Ann ,
- Číslo, které značíme f a definujeme vztahem fff ,=
nazýváme normou funkce f.
- Systém funkcí  Anfn  se nazývá normální, právě když platí
1=nf pro An
- Systém se nazývá ortonormální, právě když je ortogonální a zároveň normální.
Věta: Platí:
fggf ,, =
hfgfhgf ,,)(, +=+
gfaagfgaf ,,, == pro  a  R
0, ff
0,0 =f
Některé ortogonální systémy:
)),sin(,),3sin(),2sin(,(sin  nxxxx
)),sin(,),3sin(),2sin(,(sin  xnxxx  0






 ),cos(,),2cos(,cos,
2
1
nxxx
Pozn.: Důležité integrály

+
=
2
0.sin
a
a
dtt 
+
=
Ta
a
dtbt 0).sin( , 0b ,
b
T
2
=

+
=
2
0.cos
a
a
dtt 
+
=
Ta
a
dtbt 0).cos(
2

+
=


2
2
.sin
a
a
dtt 
+
=
Ta
a
T
dtbt
2
).(sin 2

+
=


2
2
.cos
a
a
dtt 
+
=
Ta
a
T
dtbt
2
).(cos2

+
=
2
0.cos.sin
a
a
dttt 
+
=
Ta
a
dtbtbt 0).cos().sin(
Systémy )),sin(),cos(,),2sin(),2cos(,sin,cos,1(  nxnxxxxx na intervalu ( )2, +aa
)),2sin(),2cos(),sin(),cos(,1( dxdxdxdx na intervalu ( )Taa +, ,
kde a je libovolné číslo a
d
T
2
= , jsou ortogonální.
Def.: Nechť ),,,,( 10  nfff je ortogonální systém, f je funkce. Pak čísla
ii
i
i
ff
ff
c
,
,
= , i = 0, 1, ...
nazýváme Fourierovými koeficienty funkce f vzhledem k systému  if .
Pozn.: Značení F - koeficientů vzhledem k úplnému trigonometrickému systému
)),sin(),cos(,),2sin(),2cos(,sin,cos,1(  nxnxxxxx v intervalu( )2, +aa
resp.






























,
2
sin,
2
cos,sin,cos,1 x
l
x
l
x
l
x
l

v intervalu( )laa 2, +
- koeficient příslušný funkci 1 ozn.
2
0a
- koeficienty příslušné funkcím )cos(nx , resp. 





x
l
n
cos ozn. na
- koeficienty příslušné funkcím )sin(nx , resp. 





x
l
n
sin ozn. nb
Přičemž

+
=


2
)cos()(
1
a
a
n dtnttfa resp. 
+






=
la
a
n dtt
l
n
tf
l
a
2
cos)(
1 

+
=


2
)sin()(
1
a
a
n dtnttfb resp. 
+






=
la
a
n dtt
l
n
tf
l
b
2
sin)(
1 
Je-li funkce f - sudá, pak =

 0
)cos()(
2
dtnttfan , 0=nb
- lichá, pak 0=na , =

 0
)sin()(
2
dtnttfbn
Říkáme, že - sudé funkce mají kosinové Fourierovy řady
- liché funkce mají sinové Fourierovy řady
3
Def.: Řadu 

=0i
ii fc nazýváme Fourierovou řadou funkce f vzhledem k ortogonálnímu
systému  if . Píšeme


=

0i
ii fcf
Pro sudou funkci f na intervalu ( ),− , resp. ( )ll,−


=
+
1
0
)cos(
2 n
n nxa
a
f , resp. 

=






+
1
0
cos
2 n
n x
l
n
a
a
f

Pro lichou funkci f na intervalu ( ),− , resp. ( )ll,−


=

1
)sin(
n
n nxbf , resp. 

=







1
sin
n
n x
l
n
bf
