IMAp09 Didaktika matematiky
P 5 pokračování
Geometrie v učivu matematiky 1. stupně ZŠ - Geometrická zobrazení
Růžena Blažková
Geometrická zobrazení
V geometrii se setkáváme s úlohami, ve kterých je nějakému bodu nebo nějakému geometrickému útvaru
přiřazen jiný bod nebo jiný geometrický útvar, který zpravidla splňuje jisté podmínky. Toto
přiřazení nazýváme geometrickým zobrazením a může se realizovat v rovině nebo i v prostoru. Budeme
se zabývat geometrickými zobrazeními v rovině. Geometrická zobrazení klasifikujeme takto:
Geometrická zobrazení
shodná neshodná
přímo shodná nepřímo shodná podobná nepodobná
identita osová souměrnost podobnost
rotace stejnolehlost
translace
Shodná zobrazení
Zobrazení, které každému bodu X roviny (prostoru) přiřazuje bod X´ téže roviny se nazývá shodné
zobrazení, právě když pro libovolné dva body X, Y této roviny platí: XY @ X´Y´.
Body X,Y nazýváme vzory, body X´, Y´ jsou obrazy bodů X,Y.
Každé shodné zobrazení je prosté zobrazení roviny na sebe.
Obrazem U´ geometrického útvaru U nazýváme množinu obrazů všech bodů útvaru U. Jestliže platí U =
U´, nazýváme útvar U samodružným útvarem v daném zobrazení.
Bod, který se zobrazí sám na sebe, se nazývá samodružný bod v daném zobrazení.
Připomeňte, že ve shodném zobrazení je obrazem úsečky AB úsečka A´B´, která je shodná s úsečkou
AB; obrazem polopřímky PM polopřímka P´M´; obrazem úhlu AVB úhel A´V´B´, který je shodný s úhlem
AVB; obrazy rovnoběžných přímek jsou přímky rovnoběžné.
Druhy shodných zobrazení v rovině:
Identita
je shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz tentýž bod, X = X´
Rotace - otočení
(je určeno bodem S a orientovaným úhlem otáčení α)
je to shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle následujícího
pravidla:
a) jestliže bod X ≠ S, pak orientovaný úhel XSX´ je shodný s orientovaným úhlem α a úsečky XS a
X´S jsou shodné.
b) jestliže bod X = S, pak X´= X.
Zvláštním případem otáčení je středová souměrnost.
Středová souměrnost
( je určena bodem S – středem souměrnosti)
je shodné zobrazení v rovině, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle
následujícího pravidla:
a) jestliže bod X ≠ S, pak S je středem úsečky XX´
b) jestliže bod X = S, pak X´= X.
Translace - posunutí
(je určeno uspořádanou dvojicí bodů AA´ )
je shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ tak, že úsečka XX´ je
shodná s úsečkou AA´ a polopřímky XX´ a AA´ jsou "souhlasně rovnoběžné".
Osová souměrnost
(je určena přímkou o – osou souměrnosti)
je shodné zobrazení v rovině, které každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle
následujícího pravidla:
a) jestliže bod X je bodem přímky o, pak X´= X.
b) jestliže bod X neleží na přímce o, pak XX´^ o a ÷X´,oê= ÷X,oê.
Podobná zobrazení
Podobná geometrická zobrazení jsou charakterizovaná existencí reálného čísla
k > 0, které pro každé dvojice vzoru (X, X´) a obrazu (Y, Y´) splňuje vztah
ǀXY´ǀ = k · ǀXYǀ.
Ve školské matematice na prvním stupni se nejčastěji setkáváme s osovou souměrností.
Osová souměrnost
Osová souměrnost je shodné zobrazení v rovině, které je určeno přímkou o, osou souměrnosti a které
každému bodu X roviny přiřazuje jako obraz bod X´ podle následujícího pravidla:
a) jestliže bod X je bodem přímky o, pak X´= X.
b) jestliže bod X neleží na přímce o, pak XX´^ o a ÷X´,oê= ÷X,oê.
Jestliže bod X leží na ose o, nazývá se samodružný. Na obrázcích ilustrujeme, že osová souměrnost
je nepřímo shodné zobrazení.
Žáci nejprve dokreslují obrázky ve čtvercové síti s vyznačenou osou souměrnosti a zakreslenou jednu
polovinu obrázku. Pokud je osa svislá, zpravidla nemají problémy. Pokud je osa vodorovná, někteří
žáci obrázek posunou. Pokud osa prochází body čtvercové sítě a není na přímkách sítě, je pro
některé žáky nakreslení osově souměrného útvaru náročné.
Další aktivitou je práce s papírem. Žáci přeloží list papíru, přehyb označí jako osu souměrnosti,
špendlíkem propíchnou tři různé body. Papír rozloží a pozorují, co platí pro vzory a obrazy
jednotlivých bodů. Leží na přímce, která je kolmá k ose a vzdálenost vzoru a obrazu od osy je
stejná. Pozorují obraz úsečky v osové souměrnosti (případně přímky) a obraz trojúhelníku. Tato
aktivita je vhodná ve 4. nebo v 5. ročníku, až jsou žáci seznámeni s potřebnými pojmy.
Žáci se seznamují s osově souměrnými útvary. Připomeňme, že geometrický útvar U nazýváme osově
souměrný, právě když se v nějaké osové souměrnosti zobrazí sám na sebe (tzn. že je v tomto
zobrazení samodružný). Útvary osově souměrné a počet os souměrnosti daného útvaru poznávají žáci
konkrétními aktivitami. Obdrží čtverce, obdélníky, trojúhelníky, kruhy a další mnohoúhelníky
vystřižené z papíru a překládáním zjišťují, zda jsou osově souměrné, případně zda mohou najít více
os souměrnosti daného útvaru. Zjišťují tak, že čtverec je souměrný podle čtyř os souměrnosti,
obdélník podle dvou os souměrnosti, kruh má nekonečně mnoho os souměrnosti, trojúhelník
rovnostranný má tři osy souměrnosti, trojúhelník rovnoramenný jednu osu, trojúhelník různostranný
není osově souměrný, Pravidelné mnohoúhelníky, které mají n stran mají n os souměrnosti.
Vyhledávají osově souměrná písmena velké abecedy kolmého písma, osově souměrné číslice apod. Další
činností je vystřihování osově souměrných útvarů (srdíčka, květiny, stromečky aj.). Žáci se učí
rýsovat osu úsečky.
Osově souměrné útvary pozorují i v praxi, např. vyhledávají dopravní značky, které jsou osově
souměrné, portály chrámů, ornamenty apod. osová souměrnost je využívána např. krejčími při stříhání
látek na oděvy, v technické praxi, architektuře, umění.
Posunutí
S posunutím se žáci setkávají již v prvním ročníku, kdy píší tzv. „šikmé čárky“, obloučky apod.
podle vzoru, který je předepsán v písance. Ideální stav je, když všechny objekty jsou stejně velké,
vzdálenosti mezi nimi jsou stejné a příslušné úsečky jsou rovnoběžné.
Na závěr připomeňme, že dva geometrické útvary U[1], U[2] nazýváme shodné, právě když existuje
takové shodné zobrazení, v němž je obrazem útvaru U[1 ]útvar U[2] .Ve školské matematice říkáme,
že dva útvary jsou shodné, když je můžeme přemístit tak, aby se kryly. Shodné útvary mají stejný
tvar i stejnou velikost.
Podobnost
Dva geometrické útvary jsou podobné, jestliže poměry délek všech dvojic odpovídajících si úseček
jsou rovny témuž číslu k > 0 a odpovídající si úhly jsou shodné.
Podobné útvary mají stejný tvar a různou velikost. Představa o podobných útvarech je ve školské
matematice spojována se zvětšováním či zmenšováním útvarů v daném poměru.
Aktivity:
Žáci mají nakreslený útvar ve čtvercové síti s daným modulem a mají nakreslit tentýž útvar ve
čtvercoví síti, která má modul např. dvojnásobný.
Žáci pozorují mapy s různými měřítky.
Žáci zmenšují či zvětšují fotografie získané např. na mobilním telefonu.
Žáci mohou pozorovat zvětšování či zmenšování textu a obrázků na kopírce.